Kurs Mathcad 7.0 Professional

Obsługa programu

Tworzenie dokumentu

Obliczenia

Obliczenia podstawowe

Wykorzystywanie operatorów

Wektory i macierze

Równania i układy równań

Obliczenia symboliczne

Wykresy w prostokątnym układzie współrzędnych

Obsługa programu

| Okno programu |

Obsługa programu za pomocą klawiszy |

Przy instalacji programu Mathcad 7.0 Professional w

Menu Start

zostaje

utworzona nowa grupa w której znajduje się skrót do programu. Po włączeniu
programu pojawi się okno w postaci ukazanej poniżej. W oknie tym jest
widoczne dodatkowe okno

dialogowe. Tip of the Day

które zawiera poradę

dnia, aby wyłączyć to okno na stałe należy wybrać w nim opcję

Show Tips at

Startup

.

Okno Programu

Obsługa programu za pomocą klawiszy

Po włączeniu programu Mathcad 7.0 Professional na ekranie monitora ukaże
się okno w postaci przedstawionej poniżej

Obsługa programu za

pomocą klawiszy

| Okno programu |

Kombinacje klawiszy

|

Klawisze funkcyjne

|

Skróty klawiaturowe operatorów

1. Kombinacje klawiszy

•

Alt + Backspace - cofnięcie ostatniej operacji

•

Alt +F4 - zamknięcie programu MATHCAD

•

Alt + Tab - przechodzenie pomiędzy kolejnymi dokumentami otwartymi
oknami programów uruchomionych pod WINDOWS

•

Ctrl + Enter - wywołanie menu START z paska zadań WINDOWS

•

Ctrl + F4 - zamknięcie aktywnego dokumentu

•

Ctrl + F5 - odnajdywanie wpisanej frazy

•

Ctrl + F6 - przechodzenie pomiędzy kolejnymi dokumentami otwartymi
aktualnie do edycji w programie MATHCAD 7.0

•

Ctrl + F9 - wstawia pustą linię

•

Ctrl + F10 - usuwa pustą linię

•

Ctrl + Tab - przechodzenie pomiędzy otwartymi oknami dokumentów w
oknie programu MATHCAD

•

Ctrl + C - skopiowanie do SCHOWKA zaznaczonych regionów

•

Ctrl + D - usunięcie wybranych (zaznaczonych) regionów

•

Ctrl + F - wywołuje okno dialogowe INSERT FUNCTION, które
pozwala na wstawianie standardowych funkcji programu

•

Ctrl + G - zmiana liter z łacińskich na greckie i na odwrót

•

Ctrl + M - wstawia macierz o żądanych w oknie dialogowym INSERT
MATRIX wymiarach

•

Ctrl + N - utworzenie nowego dokumentu w programie

•

Ctrl + O - wywołuje okno dialogowe OPEN, które umożliwia otwarcie
istniejących dokumentów programu

•

Ctrl + Q - wyjście z programu MATHCAD 7.0 PROFESSIONAL

•

Ctrl + R - odświeżanie aktualnego okna dokumentu

•

Ctrl + T - tworzenie regionu przeznaczonego do rysunku

•

Ctrl + S - zapisanie aktualnego dokumentu pod aktualną nazwą

•

Ctrl + U - wywołuje okno dialogowe do wstawiania jednostek do
dokumentu

•

Ctrl + V - wstawienie zawartości SCHOWKA

•

Ctrl + X - usunięcie do SCHOWKA zaznaczonego obszaru (regionów)

•

Ctrl + 2 - wstawia trójwymiarowy wykres powierzchni

•

Ctrl + 5 - wstawia wykres konturowy

•

Ctrl + 7 - wstawia wykres biegunowy

•

Insert - zmiana położenia punktu wstawienia (przed lub za wyrażeniem)
lub ramki wyboru

•

Shift + 2 - wstawienie wykresu dwuwymiarowego

•

Shift + F1 - wywołanie pomocy kontekstowej

•

Shift + F5 - zastępowanie wpisanej frazy inną

•

Shift + F9 - oszacowanie wyrażeń symbolicznych

•

Shift + , - utworzenie regionu tekstowego w miejscu , w którym znajduje
się kursor roboczy

•

Shift + Enter - wyjście z regionu tekstowego

•

Tab - przemieszczenie pomiędzy znakami braku w wyrażeniach

Wróć

2. Klawisze funkcyjne

•

F1 - uruchomienie systemu pomocy

•

F2 - skopiowanie zaznaczonego obszaru (regionów) do SCHOWKA

•

F3 - wycięcie zaznaczonych regionów z dokumentu i umieszczenie ich w
SCHOWKU

•

F4 - wstawienie zawartości SCHOWKA w miejscu , w którym znajduje
się kursor roboczy

•

F5 - otworzenie istniejącego dokumentu z dysku (pliku) ;wywołanie okna
dialogowego OPEN

•

F6 - zapisanie bieżącego dokumentu na dysk pod bieżącą nazwą

•

F7 - otworzenie nowego dokumentu

•

F9 - ponowne przeliczenie zadeklarowanych obliczeń, funkcji,
aktualizacji wykresów itp.

Wróć

3. Skróty klawiaturowe operatorów

•

: - znak definicji lokalnej

•

~ - znak definicji globalnej

•

+ - operator dodawania

•

- - operator odejmowania

•

* - operator mnożenia

•

/ - operator dzielenia

•

^ - operator potęgowania

•

% - znak procentu

•

! - silnia

•

l - wartość bezwzględna

•

\ - pierwiastek kwadratowy

•

Ctrl + \ - pierwiastek dowolnego stopnia

•

? - pochodna

•

Ctrl + Shift + ? - pochodna wyższego rzędu

•

& - całka oznaczona

•

Ctrl + I - całka nieoznaczona

•

# - iloczyn wyrażeń

•

Ctrl + Shift + 3 - iloczyn wyrażeń z określeniem zakresu

•

$ - suma wyrażeń

•

Ctrl + Shift + 4 - suma wyrażeń z określeniem zakresu

•

( - lewy nawias

•

) - prawy nawias

•

, - wprowadzenie obu nawiasów

•

Ctrl + = - twardy znak równości

•

< - znak mniejszości

•

> - znak większości

•

[ - indeks górny

•

] - dodanie linii programu

•

Shift + ] - operator IF

•

Shift + [ - operator przypisania lokalnego

•

. - indeks dolny

•

; - górna granica przedziału zmienności

•

, - druga wartość z przedziału zmienności

•

Ctrl + . - znak równości symbolicznej

•

Ctrl + - - operator wektora

•

Ctrl + 0 - znak większości lub równe niż

•

Ctrl + 1 - operator transpozycji macierzy

•

Ctrl + 3 - operator różności

•

Ctrl + 4 -suma elementów wektora

•

Ctrl + 6 - podanie wybranej kolumny macierzy

•

Ctrl + 8 - operator iloczynu wektorowego

•

Ctrl + 9 - znak mniejszości lub równe niż

•

Ctrl + A - symbol granicy prawostronnej

•

Ctrl + B - symbol granicy lewostronnej

•

Ctrl + I - symbol całki nieoznaczonej

•

Ctrl + J - dodawanie z przeniesieniem do następnej linii

•

Ctrl + L - symbol granicy

•

Ctrl + P - wstawienie liczby PI (symbolu)

•

Ctrl + Z - wstawienie symbolu nieskończoności

•

Ctrl + Enter - dodawanie z przeniesieniem do następnej linii

Tworzenie dokumentu

| Podstawowe określenia |

Operatory | Stałe | Zmienne | Funkcje | Wprowadzenie tekstu | Opcje programu w menu Math | Ustawienia obliczeń

|

Rozdział ten został poświęcony tworzeniu dokumentu. Przez tworzenie
dokumentu należy rozumieć wprowadzenie elementów które w programie tym
przyjmują nazwę regiony. Dokumenty w programie Mathcad 7.0 wykonywane
są w technice WYSYWING, czyli zostaną wydrukowane w taki sposób jak je
widać na ekranie.

Funkcje

| Podstawowe określenia |

Operatory | Stałe | Zmienne | Wprowadzenie tekstu | Opcje programu w menu Math | Ustawienia obliczeń |

Funkcje w programie Mathcad tworzone są w podobny sposób jak zmienne .
Aby stworzyć funkcję należy:

•

wpisać nazwę funkcji (nazwa nie może zaczynać się od liczby);

•

określić argument funkcji po jej nazwie; określa się go w nawiasach
okrągłych; w przypadku kilku argumentów, należy oddzielić je
przecinkami;

•

wpisać znak przypisania

:

lub

~

co zależne jest od tego czy jest to

definicja lokalna czy globalna;

•

wpisać równanie określające funkcję; w definicji tej mogą występować
zmienne wcześniej zdefiniowane oraz te, które zostały określone jako
argumenty funkcji.

Na poniższym rysunku przestawiono przykładową funkcję, posiadającą jeden
argument. Aby otrzymać postać funkcji jak na poniższym, należy poklei
wcisnąć klawisze:

f

,

(

,

x

,

)

,

:

,

4

,

*

,

x

,

^

,

2

,

strzałka w prawo

,

+

,

2

. By zakończyć

definicję funkcji wciskamy

Enter

.

Chcąc obliczyć funkcję, musimy określić wartość jej argumentu. Czynimy to tak
widać na rysunku poniżej, wpisując wartość argumentu.

Istnieje możliwość znalezienia wartości funkcji w pewnym przedziale. Aby to
wykonać musimy określić zakres zmienności argumentu za pomocą klawiszy

x

,

:

,

1

,

;

,

9

, a następnie wprowadzić funkcję z argumentem. Na koniec wpisać

nazwę funkcji z jej argumentem i wcisnąć klawisz

=

. Nasz funkcja zostanie

obliczona w podanym przedziale. (Patrz poniższy rysunek)

Program umożliwia wprowadzenie kilku zmiennych. Aby to wykonać
postępujemy tak samo jak przy jednej zmiennej, tyle, że w nawias wpisujemy
kilka zmiennych oddzielonych przecinkami, co ukazane jest na poniższym
rysunku.

Tak samo wygląda też obliczanie wartości funkcji kilku zmiennych, czyli
znaleźć wartość funkcji dla podanych argumentów lub też odwołanie się do
wcześniej zdefiniowanej zmiennej, co ukazuje poniższy rysunek.

Zdefiniowane funkcje mogą wchodzić w skład innych funkcji. Tu zdefiniowana
funkcja traktowana jest jako zmienna. (Rysunek poniżej)

Podstawowe określenia

| Regiony

|

Pusty obszar

|

Znak braku

|

Punkt wstawienia

|

Ramka wyboru

|

Regiony

Regionem nazywamy obszar zajmowany przez wprowadzony element, przy
czym obszar wyznaczany jest przez minimalny prostokąt, który otacza
wprowadzany do programu element. W zależności od typu wprowadzonego
elementu regiony dzielmy na:

•

graficzne - zawierają wstawione do programu rysunki,

•

równań - regiony te zawierają definicje zmiennych równania oraz
wyrażenia algebraiczne,

•

tekstowe - obszary w których znajduje się tekst,

•

wykresów - zawierają wszelkiego rodzaju wykresy.

Wróć

Pusty obszar

Jest to obszar znajdujący się między wprowadzonymi do dokumentu regionami.
W obszarze tym kursor ma postać kursora roboczego, czyli małego czerwonego
krzyżyka. Krzyżyk ten oznacza lewy górny narożnik następnego regionu.

Wróć

Znak braku

Znak ten umieszczany jest w niedokończonych wykresach, definicjach
zmiennych itd. Poprzez ten znak program komunikuje nam, że dany obiekt nie
został dokończony. Może tam brakować zarówno liczby, operatora wyrażenia
lub innego elementu potrzebnego do poprawnej definicji danego regionu.

Wróć

Punkt wstawienia

Jest to mała pionowa kreska, która w zależności od regionu przybiera kolor
czerwony lub niebieski. Punkt ten pojawia się po naciśnięciu w dowolnym
regionie. tekst lub składniki wzorów i równań będą umieszczane po lewej
stronie punktu wstawienia.

Wróć

Ramka wyboru

Służy do edycji równań i wzorów. Ramka ta ma postać dwóch kresek
połączonych pod kątem prostym.

W przypadku ukazanym na rysunku powyżej zmiany, które zostaną
wprowadzone do danego wzoru będą umieszczone po prawej stronie pionowej
kreski. Aby otrzymać ramkę wyboru, trzeba kliknąć we wzorze bądź równaniu,
które ma ulec zmianie. Następnie należy przesunąć punkt wstawienia do
miejsca, które będzie zmieniane. Teraz naciskając klawisz

Spacja

należy

zaznaczyć ramką wyboru tę część wzoru, która będzie zmieniana.

Operatory

| Podstawowe określenia |

Stałe | Zmienne | Funkcje | Wprowadzenie tekstu | Opcje programu w menu Math | Ustawienia obliczeń |

Aby umożliwić wykonywanie obliczeń, zdefiniowanie wektorów lub zmiennych
potrzebne są operatory. Operatory mają na celu łączenie liczb i zmiennych w
jedną zrozumiałą dla programu całość. Chodzi tu oczywiście o znaki takie, jak
"+" czy "-", ale także o znaki potęgowania, czy też znak mniejszości i
większości.

•

przypisanie wartości - <:> - definicja lokalna

•

przypisanie wartości - <~> - definicja globalna

•

dodawanie - <+>

•

dodawanie z kontynuacją w następnej linii - [Ctrl + Enter] lub [Ctrl +
J]

•

odejmowanie - <->

•

mnożenie - <*>

•

dzielenie -

•

potęgowanie - <^>

•

pierwiastek kwadratowy - <\>

•

pierwiastek wyższego rzędu - [Ctrl + Shift + \]

•

silnia -

•

moduł (wartość bezwzględna) - <|>

•

pochodna -

•

pochodna wyższego rzędu - [Ctrl + Shift + /]

•

całka - <&>

•

suma wyrażeń - <$>

•

suma z określeniem zakresu - [Ctrl + Shift + 4]

•

iloczyn wyrażeń - <#>

•

iloczyn z określeniem zakresu - [Ctrl + Shift + 3}

•

nawiasy - <(> oraz <)>

•

obydwa nawiasy - <'>

•

obliczenie wyrażenia (miękki znak równości) - <=>

•

twardy znak równości - [Ctrl + =]

•

mniejsze - [<]

•

większe - [>]

•

mniejsze bądź równe - [Ctrl + 9]

•

większe bądź równe - [Ctrl + 0]

•

indeks - <[>

•

druga wartość przedziału - <.>

•

górna wartość przedziału - <;>

•

wektor - [Ctrl + -]

Stałe

| Podstawowe określenia |

Operatory | Zmienne | Funkcje | Wprowadzenie tekstu | Opcje programu w menu Math | Ustawienia obliczeń |

Program Mathcad dokonuje obliczeń matematycznych na liczbach oraz na
różnego rodzaju wzorach. Liczby określone są mianem stałych. Stałe podzielone
są na liczby rzeczywiste oraz zespolone. Liczby rzeczywiste przedstawione są w
programie na kilka sposobów: z kropką dziesiętną, heksadecymalnie, oktalnie
lub w postaci wykładniczej. Dzięki reprezentacji z kropką można wyrazić
dokładność liczby wyświetlanej na ekranie (maksymalna liczba miejsc po
przecinku może wynosić 15 pozycji). Liczby zespolone wyrażone są za pomocą
sumy części rzeczywistej oraz części urojonej, gdzie symbolem części urojonej
jest literka i lub j.

1.

Stałe predefiniowane

Oprócz stałych tworzonych przez użytkownika są w programie Mathcad
przedstawione są jako tzw. stałe predefiniowane. Są one zdefiniowane przez
autorów programu, choć użytkownik ma możliwość zmiany ich wartości
wpisując inną liczbę. Dostępne w programie stałe przedstawione są w poniższej
tabeli.

Chcąc wstawić stałą predefiniowaną do dokumentu, należy wbić kombinację
klawiszy z powyższej tabeli. Chcąc uzyskać wartość danej stałej należy
dodatkowo wybrać klawisz

Enter

. Zmianę stałej predefiniowanej można

uzyskać jak definiowanie zmiennej (opis w rozdziale zmienne). Należy
pamiętać, że do wszystkich obliczeń wartość zmiennej będzie przyjmowana jak
ją ustali użytkownik.

Zmienne

| Podstawowe określenia |

Operatory | Stałe | Funkcje | Wprowadzenie tekstu | Opcje programu w menu Math | Ustawienia obliczeń |

Większość obliczeń wykonuje się na wzorach z konkretnymi liczbami lub
zmiennymi. Jedna zmienna może być używana w kilku wzorach. Zdefiniowana
zmienna pozwala na użycie jej w dowolnym miejscu w dokumencie. W
przypadku zmiany wartości zmiennej w dokumencie Nie musimy wykonywać
poprawek. Chcąc zdefiniować dowolną zmienną wpisujemy dowolną nazwę
zmiennej (na początku nie może być liczba), następnie znak

:

i wpisać wartość

zmiennej.

Chcąc zdefiniować zmienną b o wartości 21, należy wpisać na klawiaturze:

b

,

:

,

2

,

1

i zatwierdzić

Enterem

. Przykład przedstawiony poniżej.

Powyższe zdefiniowanie na powyższym rysunku jest definicją lokalną
zmiennej. To znaczy, że zmienna b osiągalna jest w dokumencie do momentu
ponownego zdefiniowania zmiennej. Sytuacja taka przedstawiona jest na
poniższym rysunku.

Mamy także możliwość wstawienia globalnej definicji zmiennej, obowiązującej
w całym dokumencie. Aby ją zdefiniować, należy wpisać jej nazwę, wpisać
znak definicji globalnej za pomocą klawiszy

Shift + ~

. Następnie należy określić

wartość zmiennej przypisując jej daną wartość i zakończyć

Enterem

. (Patrz

poniższy rysunek)

Aby sprawdzić jaką wartość ma zmienna, należy wpisać jej nazwę, wcisnąć

=

i

wcisnąć

Enter

. (Patrz poniższy rysunek).

Wpisując przed nazwą zmiennej liczbę, definicja zostanie wyświetlona w
kolorze czerwonym jako błędna, a po kliknięciu na definicję wyświetlona
zostanie informacja programu co ukazane jest na poniższym rysunku.

Istnieje także możliwość zdefiniowania zmiennych zakresowych. Różni się ona
od poprzednich tym, że nie przyjmuje tylko jednej wartości, lecz wartości z

określonego zakresu i z określonym krokiem. Aby ją zdefiniować, należy
wpisać jej nazwę, wpisać znak definicji globalnej lub lokalnej (w zależności od
potrzeb). Następnie wpisać dolną granicę przedziału, wpisać

,

, określić przyrost

zakresu, wpisać

;

i górną granicę zmiennej. Zakańczamy klawiszem

Enter

. Aby

zobaczyć kolejne wartości zmiennej, należy wpisać jej nazwę i wcisnąć

=

.

Przykład ukazany poniżej. Krok obliczany jest z różnicy drugiej i pierwszej
liczby podanej w definicji.

Wprowadzanie

tekstu

| Podstawowe określenia |

Operatory | Stałe | Zmienne | Funkcje | Opcje programu w menu Math | Ustawienia obliczeń |

W programie Mathcad istnieje możliwość wprowadzania tekstu do dokumentu.
Tekst wprowadzamy najczęściej w celu opisu przeprowadzanych obliczeń,
komentarzy wyników, wyjaśnienia zagadnienia itp. Taki tekst sprawia wrażenie
bardziej przejrzystego dla odbiorcy. Modyfikacja regionu tekstowego może
odbywać się w bardzo szerokim zakresie (rodzaj i wielkość czcionki,
wyrównywanie tekstu, atrybuty czcionek itp.). Aby wprowadzić do dokumentu

tekst należy kursor roboczy umieścić w miejscu, gdzie ma być wstawiony tekst.
Następnie wybrać

Insert | Text Region

co spowoduje pojawienie się ramki.

Możemy teraz przystąpić do wstawiania tekstu, przykład przedstawiony na
rysunku poniżej.

Aby zakończyć pisanie musimy kliknąć myszką poza regionem tekstowym.

Wstawiając tekst zostaje on automatycznie otaczany ramką, która się
sukcesywnie powiększa. Chcąc przejść do następnej linii, należy wcisnąć

Enter

.

Jeśli tego nie wykonamy, tekst zostanie przeniesiony do następnej linii po
dojściu do marginesu, czyli do pionowej, ciągłej linii.

Innym sposobem wstawienia do programu Mathcad tekstu z dowolnego edytora
tekstu, pracującego pod Windows. W tym celu należy zaznaczyć tekst myszką,
a następnie skopiować go za pomocą kombinacji klawiszy

Ctrl + C

i wstawić go

w miejsce, w którym ma być umiejscowiony do programu Mathcad za pomocą
klawiszy

Ctrl + V

lub wybrać

Edit | Paste

. Spowoduje to wstawienie napisanego

tekstu w nowy region. (Patrz poniższy rysunek)

Taki tekst może podlegać operacjom edycyjnym programu Mathcad. Jeśli
dodamy ten tekst do istniejącego już regionu tekstowego, zostanie on dołączony
z zachowaniem właściwego formatu dla tego regionu.

Jeśli chcemy umieścić wzór matematyczny musimy wpierw wybrać

Insert |

Math Region

, następnie wprowadzić do regionu tekst równania. Po

wprowadzeniu tekstu należy kliknąć na nim myszką, a później nacisnąć klawisz

End

. Dzięki temu kursor tekstowy przejdzie na koniec regionu i umożliwi nam

dalsze tworzenie regionu tekstowego.

1.

Litery greckie

Czasami chcemy wprowadzić literę grecką do równania, definicji zmiennej oraz
do opisu zmiennych. Istnieją dwa sposoby wstawienia do dokumentu litery
greckie. Wybierając w pasku narzędzi

Greek Symbol Palette

(Patrz poniższy

rysunek).

Aby do tekstu wprowadzić literę grecką, należy wpisać jej polski odpowiednik,
a następnie za pomocą kombinacji klawiszy

Ctrl+G

lub wybrać ją z paska

narzędzi

Greek Symbol Palette

(patrz na poniższy rysunek).

Opcje

programu w

menu Math

| Podstawowe określenia |

Operatory | Stałe | Zmienne | Funkcje | Wprowadzenie tekstu | Ustawienia obliczeń |

|Strona Built-In Variables

|

Strona Unit System

|

Strona Dimensions

|

W tym rozdziale zostaną omówione opcje dostępne w oknie dialogowym

Math

Options

, które wywołamy wybierając

Math | Options...

. Poniżej podano opisy

kolejnych stron w tym oknie dialogowym.

Strona Built-In Variables

Na stronie Built-In Variables ukazanej na poniższym rysunku znajdują się
następujące opcje:

•

Tolerance

- pole to, służy do określenia wartości zmiennej systemowej

TOL

, której wartość początkowa wynosi 0.001. Odpowiada ona za

dokładność przeprowadzanych w programie

Mathcad

obliczeń (np. całki)

i może przyjmować wartości z przedziału od 0 do 1. Zmniejszając wartość
zmiennej

TOL

dostajemy dokładniejszy wynik kosztem wydłużenia czasu

obliczeń. Zmiana tego parametru w zasadzie nie jest potrzebna.

•

Array Origin

- pole to, określa wartość zmiennej

ORIGIN

. Zmienna ta

odpowiada za element leżący w pierwszym wierszu i w pierwszej
kolumnie. Jeśli zmienna

ORIGIN

przyjmie wartość 1, to element

macierzy M11 znajduje się w pierwszym wierszu i pierwszej kolumnie
macierzy.

•

PRN File Settings

- grupa ta dotyczy ustawień plików danych. Są to pliki

typu

PRN

, czyli o rozszerzeniu *.prn. Mamy tu dostępne dwie zmienne

systemowe:

o

Precison

- służy ona do określenia wartości zmiennej systemowej

PRNPRECISION

, której wartość ustawiona jest domyślnie i

wynosi 4. Określa ona ilość liczb po przecinku znajdujących się w
plikach wyeksportowanych z programu

Mathcad

;

o

Column Width

- służy ona do określenia wartości zmiennej

systemowej

PRNCOLWIDTH

, której wartość ustawiona jest

domyślnie i wynosi 8. Odpowiada ona za szerokość kolumny, która
będzie wyeksportowana z programu do pliku tekstowego;

•

Seed value for random numbers

- pole służy do określenia wartości

Seed

value

, wykorzystywanej podczas generacji liczb losowych. w to pole

możemy wprowadzić liczby całkowite większe lub równe 1. Jako wartość
domyślna jest liczba 1, co oznacza, że liczby będą generowane z
przedziału od 1 do 0.

•

Restore Defaults

- klikając na ten przycisk spowoduje, że wszystkie

parametry przybiorą wartości domyślne, czyli ustalone przez producenta.

Wróć

Strona Unit System

Strona

Unit System

(na rysunku poniżej) odpowiada za wybór systemu

jednostek miar podczas obliczeń z tymi jednostkami.

Dostępne w programie

Mathcad

jednostki miar to:

•

SI

- międzynarodowy układ miar;

•

MKS

- układ zwany metr, kilogram, sekunda. Najbardziej

rozpowszechniony system miar;

•

CGS

- centymetr, gram, sekunda. System miar, od którego zaczęto

dochodzić do systemu

SI

;

•

U.S.

- system miar anglosaskich. Podstawowe jednostki to: stopa, funt,

sekunda;

•

None

- brak systemu liczbowego.

Aby wybrać daną jednostkę miar, należy zaznaczyć ten układ miar i zatwierdzić
klawiszem

OK

.

Wróć

Strona Dimensions

Służy ona do włączenia nazw jednostek (Patrz poniższy rysunek), jakie
widoczne są w polach tekstowych dla opcji

Dimensions Names

. Aby nazwy

jednostek mogły być wyświetlane, należy zaznaczyć okienko obok

Display

dimensions

.

Różnice w działaniu tej opcji przedstawia poniższy rysunek.

Po zaznaczeniu opcji

Display dimensions

, pola tekstowe z nazwami są dostępne

dla edycji. Po kliknięciu myszką w dowolnym polu można zmienić stare nazwy
na nowe. Można więc wprowadzić polskie nazwy jednostek co ukazano na
poniższym rysunku.

Opcje

programu w

menu Math

| Podstawowe określenia |

Operatory | Stałe | Zmienne | Funkcje | Wprowadzenie tekstu | Ustawienia obliczeń |

|Strona Built-In Variables

|

Strona Unit System

|

Strona Dimensions

|

W tym rozdziale zostaną omówione opcje dostępne w oknie dialogowym

Math

Options

, które wywołamy wybierając

Math | Options...

. Poniżej podano opisy

kolejnych stron w tym oknie dialogowym.

Strona Built-In Variables

Na stronie Built-In Variables ukazanej na poniższym rysunku znajdują się
następujące opcje:

•

Tolerance

- pole to, służy do określenia wartości zmiennej systemowej

TOL

, której wartość początkowa wynosi 0.001. Odpowiada ona za

dokładność przeprowadzanych w programie

Mathcad

obliczeń (np. całki)

i może przyjmować wartości z przedziału od 0 do 1. Zmniejszając wartość
zmiennej

TOL

dostajemy dokładniejszy wynik kosztem wydłużenia czasu

obliczeń. Zmiana tego parametru w zasadzie nie jest potrzebna.

•

Array Origin

- pole to, określa wartość zmiennej

ORIGIN

. Zmienna ta

odpowiada za element leżący w pierwszym wierszu i w pierwszej
kolumnie. Jeśli zmienna

ORIGIN

przyjmie wartość 1, to element

macierzy M11 znajduje się w pierwszym wierszu i pierwszej kolumnie
macierzy.

•

PRN File Settings

- grupa ta dotyczy ustawień plików danych. Są to pliki

typu

PRN

, czyli o rozszerzeniu *.prn. Mamy tu dostępne dwie zmienne

systemowe:

o

Precison

- służy ona do określenia wartości zmiennej systemowej

PRNPRECISION

, której wartość ustawiona jest domyślnie i

wynosi 4. Określa ona ilość liczb po przecinku znajdujących się w
plikach wyeksportowanych z programu

Mathcad

;

o

Column Width

- służy ona do określenia wartości zmiennej

systemowej

PRNCOLWIDTH

, której wartość ustawiona jest

domyślnie i wynosi 8. Odpowiada ona za szerokość kolumny, która
będzie wyeksportowana z programu do pliku tekstowego;

•

Seed value for random numbers

- pole służy do określenia wartości

Seed

value

, wykorzystywanej podczas generacji liczb losowych. w to pole

możemy wprowadzić liczby całkowite większe lub równe 1. Jako wartość
domyślna jest liczba 1, co oznacza, że liczby będą generowane z
przedziału od 1 do 0.

•

Restore Defaults

- klikając na ten przycisk spowoduje, że wszystkie

parametry przybiorą wartości domyślne, czyli ustalone przez producenta.

Wróć

Strona Unit System

Strona

Unit System

(na rysunku poniżej) odpowiada za wybór systemu

jednostek miar podczas obliczeń z tymi jednostkami.

Dostępne w programie

Mathcad

jednostki miar to:

•

SI

- międzynarodowy układ miar;

•

MKS

- układ zwany metr, kilogram, sekunda. Najbardziej

rozpowszechniony system miar;

•

CGS

- centymetr, gram, sekunda. System miar, od którego zaczęto

dochodzić do systemu

SI

;

•

U.S.

- system miar anglosaskich. Podstawowe jednostki to: stopa, funt,

sekunda;

•

None

- brak systemu liczbowego.

Aby wybrać daną jednostkę miar, należy zaznaczyć ten układ miar i zatwierdzić
klawiszem

OK

.

Wróć

Strona Dimensions

Służy ona do włączenia nazw jednostek (Patrz poniższy rysunek), jakie
widoczne są w polach tekstowych dla opcji

Dimensions Names

. Aby nazwy

jednostek mogły być wyświetlane, należy zaznaczyć okienko obok

Display

dimensions

.

Różnice w działaniu tej opcji przedstawia poniższy rysunek.

Po zaznaczeniu opcji

Display dimensions

, pola tekstowe z nazwami są dostępne

dla edycji. Po kliknięciu myszką w dowolnym polu można zmienić stare nazwy
na nowe. Można więc wprowadzić polskie nazwy jednostek co ukazano na
poniższym rysunku.

Ustawienia

obliczeń

| Podstawowe określenia |

Operatory | Stałe | Zmienne | Funkcje | Wprowadzenie tekstu | Opcje programu w menu Math |

Istnieje możliwość wyłączenia z obliczeń dowolnego regionu. Aby to wykonać
należy kliknąć myszką w regionie, który ma być wyłączony z obliczeń, a
następnie wybrać

Format | Properties...

dzięki temu wywołamy okno dialogowe

ukazane na poniższym rysunku.

Musimy następnie przejść na stronę

Calculation

i tam zaznaczyć opcję

Disable

Evaluation

. Akceptujemy nasz wybór klikając na

OK

. Teraz obok regionu, w

którym było wywoływane okno dialogowe z powyższego rysunku będzie
widoczny specjalny znacznik, oznaczający wyłączenie regionu z obliczeń, co
ukazuje na poniższym rysunku podpunkt a). Wszelkie dokonywane zmiany w
takim regionie nie dają żadnych efektów (zmiany wyniku), co ukazuje na
poniższym rysunku podpunkt b).

Obliczenia

| Tryby obliczeń |

Format obliczeń |

Niniejszy rozdział jest poświęcony zarówno obliczeniom jak i tematami z
którymi są one powiązane np. wykorzystanie operatorów, format obliczeń. W
kolejnych rozdziałach przedstawione są obliczenia, począwszy od tych
najprostszych (dodawanie, odejmowanie itp.), a kończąc na tych bardziej
skomplikowanych.

Przy dokonywaniu obliczeń należy pamiętać, że przy wykorzystywaniu w
obliczeniach funkcji lub zmiennych, należy je najpierw zdefiniować. Sam
program jest bardzo praktyczny, ponieważ obliczenia wykonywane są w taki
sam sposób jak na kartce papieru lecz o wiele szybciej, bez niepotrzebnego
kreślenia oraz ponownego przeliczenia ponieważ to wszystko zostaje wykonane
przez program. Podczas wykonywania obliczeń należy pamiętać o tym, iż
program uwzględnia kolejność działań. Natomiast ilość użytych nawiasów w
obliczeniach jest dowolna, przy czym liczba nawiasów otwierających i
zamykających jest kontrolowana przez program.

Obliczenia

| Tryby obliczeń |

Format obliczeń |

Niniejszy rozdział jest poświęcony zarówno obliczeniom jak i tematami z
którymi są one powiązane np. wykorzystanie operatorów, format obliczeń. W
kolejnych rozdziałach przedstawione są obliczenia, począwszy od tych
najprostszych (dodawanie, odejmowanie itp.), a kończąc na tych bardziej
skomplikowanych.

Przy dokonywaniu obliczeń należy pamiętać, że przy wykorzystywaniu w
obliczeniach funkcji lub zmiennych, należy je najpierw zdefiniować. Sam
program jest bardzo praktyczny, ponieważ obliczenia wykonywane są w taki
sam sposób jak na kartce papieru lecz o wiele szybciej, bez niepotrzebnego
kreślenia oraz ponownego przeliczenia ponieważ to wszystko zostaje wykonane
przez program. Podczas wykonywania obliczeń należy pamiętać o tym, iż
program uwzględnia kolejność działań. Natomiast ilość użytych nawiasów w
obliczeniach jest dowolna, przy czym liczba nawiasów otwierających i
zamykających jest kontrolowana przez program.

Format

obliczeń

| Tryby obliczeń |

W programie istnieje możliwość ustawienia formatów obliczeń wyświetlanych
na ekranie takich jak:

Okno z tymi ustawieniami wywołuje się przez wybranie polecenia

Number...

z

menu

Format

, a także poprzez podwójne kliknięcie w wyniku

przeprowadzonych obliczeń. Wszystkie te ustawienia mogą być zarówno
ustawieniami globalnymi jaki i lokalnymi.

Systemy liczbowe

Program Mathcad 7.0 Professional daje do możliwości użytkownika trzy
systemy liczbowe: system dziesiętny, system szesnastkowy oraz system
ósemkowy.

Zmian systemu liczbowego dokonuje się w polu

Radix

. W polu tym występują

trzy opcje:

•

Decimal - system dziesiętny

•

Hex - system szesnastkowy

•

Octal - system ósemkowy

Jako domyślny dla każdego nowego dokumentu ustawiony jest system
dziesiętny.

Wróć

Dokładność wyników

W oknie tym określa się dokładność wyników obliczeń wykorzystywanych w
programie. Ponadto w polu tym można ustalać parametry takie jak:

•

Displayed Precision
Służy do ustalania do ilu miejsc po przecinku mają być wyświetlane
obliczenia. W polu tym można wprowadzać wartości od 0 do 15 przy
czym domyślnie przyjęto, że obliczenia wyświetlane są z dokładnością do
trzech miejsc po przecinku.

•

Exponential Threshold
Oprócz zapisu z uwzględnieniem kropki dziesiętnej w programie istniej
również możliwość stosowania zapisu ekspotencjalnego. Opcja ta służy
do ustalania od jakiej minimalnej wartości zmiennej lub wartości wyniku
liczby będą ukazane w postaci ekspotencjalnej.

•

Complex Tolerance
W programie liczby zespolone domyślnie ukazane są w postaci sumy
części rzeczywistej i części urojonej. W przypadku gdy któraś z tych
części jest większa o określoną ilość razy od części drugiej to program

wyświetla tylko tą większą część liczby zespolonej. Pole to służy do
określenia ile razy jedna część liczby zespolonej ma być większa od
drugiej aby była wyświetlana tylko jedna część. Domyślnie opcja ta ma
wartość 10.

•

Zero Tolerance
Opcja ta służy do określenia, po przekroczeniu jakiej minimalnej wartości
wyniki zaokrągla się do zera. Domyślna wartość tego pola wynosi 15,
jednak dla obliczeń w których wykorzystane zostały bardzo małe
wartości. Wartość 15 jest zbyt niska dlatego w takich przypadkach
użytkownik powinien zmieniać wartość w tym polu.

Wróć

Jednostka urojona

Ponieważ program umożliwia pracę na liczbach rzeczywistych zespolonych,
dlatego też została uwzględniona możliwość zmiany jednostki urojonej w polu
Imaginary. Do wyboru są dwie opcje i lub j

Wróć

Ustawienia globalne i lokalne

Chcąc dokonywać ustaleń globalnych w oknie dialogowym

Number Format

, to

przed jego otworzeniem należy umieścić kursor w obszarze roboczym. W
wyniku czego po otwarciu tego okna automatycznie zostanie zaznaczona opcja

Set as worksheet default

, która odpowiada za ustawienia globalne. Następnie

można dokonać ustaleń dotyczących dokładności oraz sposobu wykonywania
obliczeń i zatwierdzić je klikając na przycisk OK

Jeśli chcemy dokonywać ustawień lokalnych kursor roboczy należy umieścić w
wyrażeniu w którym mają być one wykonywane. Następnie należy wywołać
okno dialogowe

Number Format

. W oknie tym należy wybrać opcję

Set for

current region only

po czym nastąpi włącznie ustawień lokalnych.

Wróć

Opcje dodatkowe

Oprócz opcji, które zostały omówione powyżej w oknie dialogowym

Number

Format

dostępne są jeszcze dwie opcje:

•

Display as Matrix
Opcja ta powoduje, że macierze które mają powyżej dziewięciu wierszy
wyświetlane są w postaci przewijalnej tablicy.

•

Trailing Zeros
Opcja ta powoduje, iż wszystkie wyniki obliczeń będą wyświetlane z
dokładnością do tylu miejsc po przecinku ile zostało określone w polu
Displayed Precision

Obliczenia podstawowe

| Dodawanie z przeniesieniem |

Procenty |

Obliczenie silni |

Aby rozpocząć obliczenia, najpierw należy wprowadzić zmienne oraz
wyrażenia, które mają być obliczane. Wszelkie wyrażenia są wprowadzane do
programu w taki sposób jak były by definiowane na zwykłej kartce papieru.
Obliczenia mogą być wykonywane zarówno na konkretnych liczbach jak i na
zmiennych ogólnych. Jeżeli obliczenia będą wykonywane na zmiennych, muszą
one być wcześniej zdefiniowane, ponieważ w przypadku nie zdefiniowania
program wyświetli ją w kolorze czerwonym, natomiast w miejscu wyniku
pojawi się komunikat:

"This variable or function is not defined above"

| Dodawanie

|

Odejmowanie

|

Mnożenie

|

Dzielenie

|

Potęgowanie

|

Pierwiastkowanie

|

Moduł

|

Negacja wyrażenia

|

Odwrotność wyrażenia

|

Dodawanie

Aby dodać do siebie dwie liczby, należy najpierw wpisać pierwszą liczbę,
wpisać operator dodawania (klawisz

+

lub poprzez naciśnięcie przycisku

[Adition +]

w pasku narzędzi

Arithmetic Palette

), a następnie wprowadzić drugą

liczbę, na zakończenie należy wpisać klawisz

=

co spowoduje wyświetlenie

otrzymanego wyniku. Innym ze sposobów dodawania jest zdefiniowanie
zmiennych , a następnie wprowadzenie zmiennych wraz z operatorem
dodawania oraz wciśnięcie klawisza

=

. Obydwa przypadki przedstawione

zostały na rysunku poniżej.

Wróć

Odejmowanie

Odejmowanie wykonuje się prawie tak samo jak dodawanie z wyjątkiem jednej
różnicy którą jest wprowadzenie operatora odejmowania (klawisz

-

lub poprzez

naciśnięcie przycisku

[Subtraction -]

w pasku narzędzi

Arithmetic Palette

).

Podobnie jak w dodawaniu działania można wykonywać zarówno na liczbach,
zmiennych jak również przypisywać wynik odejmowania do zmiennej.

Wróć

Mnożenie

Mnożenie dwóch liczb lub zmiennych wykonuje się poprzez wpisanie tych liczb
wraz z operatorem mnożenia (klawisz

*

). Operator ten można również wstawić

przez wybranie przycisku

[Multiplication *]

w pasku narzędzi

Arithmetic

Palette

. Mnożenie komplikuje się gdy dochodzą działania takie jak dodawanie,

odejmowanie itp., ponieważ wynik nie zawsze będzie spełniał nasze

oczekiwania. Rysunek poniżej przedstawia operator mnożenia użyty z
operatorami dodawania i odejmowania. W tym przypadku należy zastosować
nawiasy.

Wróć

Dzielenie

W celu podzielenia dwóch liczb lub zmiennych należy zastosować operator
dzielenia (klawisz

/

). Operator ten można również wstawić poprzez kliknięcie

przycisku

[Division /]

w pasku narzędzi

Arithmetic Palette

. Dzielenie można

przeprowadzić na dwa sposoby. Pierwszy z nich to najpierw wprowadzenie
operatora a następnie liczb lub zmiennych. Natomiast drugi sposób odbywa się
przez wprowadzenie pierwszej liczby, operatora dzielenia, drugiej liczby a na
zakończenie należy nacisnąć klawisz

=

. Rysunek przedstawiony poniżej

przedstawia przykłady dzielenia.

Wróć

Potęgowanie

Podczas wykonywania różnego rodzaju obliczeń zdarza się, że trzeba dokonać
operacji potęgowania. W operacji tej występuje podstawa oraz wykładnik
potęgi. Zarówno wykładnik potęgi jak i podstawa mogą być liczbami
rzeczywistymi lub całkowitymi (dodatnimi lub ujemnymi), Jedynym
ograniczeniem w procesie potęgowania jest to, że liczbę 2 można podnieść
maksymalnie do potęgi 1020.

Operator potęgowania można wstawić do dokumentu na dwa sposoby. Można
wcisnąć kombinację klawiszy

Shift + 6

lub też kliknąć przycisk

Raise to Power

^

w pasku narzędzi

Arithmetic Palette

. Potęgowanie jak i inne operacje można

wykonywać zarówno na liczbach jak i zmiennych. Aby podnieść np. 5 do potęgi
3 należy wcisnąć klawisze:

5

,

Shift + 6

,

3

oraz

Enter

na zakończenie.

Można tu również poruszyć problem podnoszenia liczby e do dowolnej potęgi,
w przypadku tym podstawa potęgi jest stała i wynosi w przybliżeniu 2.718.
Zapis ten można uzyskać na dwa sposoby. Należy wpisać liczbę

e

, a następnie

wcisnąć kombinację klawiszy

Shift + 6

lub przycisk

^

. Innym sposobem jest

wybranie przycisku

[Exponential]

w pasku narzędzi

Arithmetic Palette

, co

spowoduje wstawienie liczby

e

ze znakiem braku w miejscu wykładnika potęgi.

Należy wpisać tylko wykładnik potęgi oraz wcisnąć klawisz

=

w celu uzyskania

wyniku.

Wróć

Pierwiastkowanie

Operator pierwiastkowania wykorzystywany jest w różnego rodzaju wzorach.
Program ten udostępnia nie tylko operator pierwiastkowania drugiego stopnia
ale również operator pierwiastka wyższego rzędu. Operator pierwiastkowania
uzyskuje się poprzez wciśnięcie klawisza

\

lub poprzez wybranie przycisku

[Square Root \]

w pasku narzędzi

Arithmetic Palette

. W wyniku tego w

dokumencie pojawia się operator pierwiastka ze znakiem braku, w którym
należy wpisać liczbę podpierwiastkową. Można również zacząć od wstawienia
liczby a następnie wpisać operator pierwiastka

Jak już było wspomniane powyżej do programu można wprowadzi operator
pierwiastka dowolnego stopnia. W celu wstawienia takiego operatora należy
użyć kombinacji klawiszy

Ctrl + \

lub też kliknąć przycisk

[Nth Root Ctrl + \]

w

pasku narzędzi

Arithmetic Palette

. Po wstawieniu tego operatora widoczne są

dwa znaki braku pomiędzy którymi można poruszać się za pomocą klawiszy

strzałka w prawo

lub

strzałka w lewo

lub poprzez naciśnięcie klawisza

Tab

. W

miejsca te należy wpisać liczbę podpierwiastkową oraz stopień pierwiastka.

Wróć

Moduł

Operator modułu można wstawić na dwa sposoby za pomocą kombinacji
klawiszy

Shift + \

lub poprzez kliknięcie przycisku

[Absolute Value | ]

w pasku

narzędzi

Arithmetic Palette

. Operator ten można wykorzystać zarówno w

stosunku do zmiennych jak i w stosunku do konkretnych liczb. Operator modułu
można również wykorzystać w definicjach funkcji itp. Po umieszczeniu
operatora modułu w programie należy uzupełnić miejsce braku żądanym
wyrażeniem a następnie wcisnąć klawisz

=

. W przypadku gdy po module ma

znajdować się dalszy ciąg wyrażenia to należy wcisnąć przycisk

strzałka w

prawo

, co spowoduje opuszczenie operatora modułu, a następnie wprowadzić

dalszy ciąg wyrażenia.

Wróć

Negacja wyrażenia

Aby otrzymać negację wyrażenia należy otoczyć dane wyrażenie nawiasami i
wstawić minus poprzez wybranie klawisza

-

a następnie zatwierdzić przez

wciśnięcie klawisza

Enter

. W przypadku ułamka w nawias należy wstawić całe

wyrażenie wraz z kreską ułamkową.

Wróć

Odwrotność wyrażenia

Aby uzyskać odwrotność dowolnego wyrażenia liczby lub zmiennej należy
podnieść je do potęgi -1. Zapis ten otrzymuje się poprzez umieszczenie kursora
po prawej stronie danego wyrażenia i naciśnięcie przycisku

[Inverse]

w pasku

narzędzi

Arithmetic Palette

.

Wróć

Dodawanie z przeniesieniem

|

Procenty |

Obliczenie silni |

Podczas wykonywania różnego rodzaju obliczeń może okazać się, że wstawione wyrażenie jest dłuższe niż przyjęta szerokość strony. W takim
przypadku należy przenieść część wyrażenia do drugiej linii. W celu uzyskania takiego przeniesienia należy wcisnąć kombinację klawiszy

Ctrl + J

lub

Ctrl + Enter

w wyniku czego następuje wstawienie odpowiedniego operatora. Jedyną wadą takiego działania jest to, że następnym operatorem po

przeniesieniu jest operator dodawania. Rysunek poniżej jest obrazem tego działania.

Procenty

| Dodawanie z przeniesieniem |

Obliczenie silni |

W wielu obliczeniach zamiast liczb wykorzystuje się procenty. Znak procentu wprowadza się do dokumentu poprzez wpisanie żądanej liczby,
operatora mnożenia oraz znaku procentu. Znak procentu otrzymuje się w wyniku wciśnięcia kombinacji klawiszy

Shift + 5

. Znak ten ma również

przypisaną wartość która jest równa 0,01. Aby wyświetlić wartość procentu należy wcisnąć klawisz

=

po wprowadzeniu do dokumentu znaku

procentu.

Obliczenie silni

| Dodawanie z przeniesieniem |

Procenty |

Silnia jest to iloczyn kolejnych liczb. Operator silni wprowadza się do dokumentu poprzez wciśnięcie
kombinacji klawiszy

Shift + 1

(

!

) lub poprzez wybranie przycisku

[Factorial !]

w pasku narzędzi

Arithmetic

Palette

. Kolejność wprowadzania liczby i operatora jest obojętna. Można zacząć od wpisania liczby, a następnie

wprowadzić operator silni i na końcu wcisnąć klawisz

=

w celu pokazania wyniku. Jeżeli obliczanie zostanie

rozpoczęte od wprowadzenia operatora, to po jego lewej stronie pojawi się znak braku w którym należy wpisać
liczbę oraz wcisnąć klawisz

=

. Program umożliwia obliczanie silni w zakresie od 0 do 120.

Wykorzystywanie operatorów

| Obliczanie wartości pochodnej |

Obliczanie całek oznaczonych |

Obliczanie granic wyrażeń |

W rozdziale tym przedstawione są sposoby wykonania bardziej skomplikowanych obliczeń matematycznych w programie. W rozdziale wykorzystane
są między innymi operatory takie jak całkowanie, różniczkowanie. Dla wygody wprowadzania operatorów należy wywołać pasek narzędzi

Calculus

Palette

, który zawiera wszystkie omawiane w tym programie operatory. Pasek ten uruchamia się poprzez wciśnięcie przycisku

[Calculus Palette]

w

pasku narzędzi

Math Palette

Pasek narzędzi

Calculus Palette

Przykład obliczania wartości pochodnej w punkcie

Obliczanie wartości pochodnej

| Obliczanie całek oznaczonych |

Obliczanie granic wyrażeń |

Program ten daje nam również możliwość obliczania pochodnej. W matematyce nosi to nazwę obliczania wartości pochodnej w miejscu. Wartość
pochodnej najczęściej oblicza się dla konkretnej funkcji, dlatego przed rozpoczęciem obliczania wartości funkcji należy zdefiniować argumenty
funkcji, które będą użyte w obliczeniach, a następnie zdefiniować funkcję. Po tych wszystkich działaniach do dokumentu można wprowadzić operator
pochodnej. Operator ten można wstawić za pomocą kombinacji klawiszy

Shift + /

lub przez wybranie przycisku

[Derivative Shift + / ]

w pasku

narzędzi

Calculus Palette

. Po wstawieniu operatora pojawiają się dwa znaki braku, pomiędzy którymi możemy przemieszczać się za pomocą klawisza

Tab

. W mianowniku (dolny znak braku) należy wprowadzić zmienną, względem której następuje obliczenie wartości pochodnej. W miejscu drugiego

znaku braku należy wprowadzić zdefiniowaną wcześniej funkcję lub wyrażenie, z którego będzie liczona wartość pochodnej dla określonej wartości
zmiennej.

Obliczenie wartości pochodnej

Program Mathcad 7.0 Professional umożliwia nam także obliczanie wartości dla pochodnej wyższego rzędu. Pierwszą czynnością jaką należy
wykonać by przystąpić do tego rodzaju obliczeń jest wprowadzenie operatora pochodnej wyższego rzędu. Operator ten można wstawić za pomocą
kombinacji klawiszy

Ctrl + Shift + /

lub poprzez wybranie przycisku

[Nth Derivative Ctrl + Shift + / ]

w pasku narzędzi

Calculus Palette

. Zasada

obliczania wartości pochodnej wyższego rzędu jest prawie taka sama jak pochodnej pierwszego rzędu. Po wprowadzeniu do dokumentu operatora
użytkownik ma do czynienia z czterema znakami braku, przy czym dwa z nich uzupełnia się identycznie jak w pochodnej pierwszego rzędu. W
dolnym miejscu braku należy wprowadzić zmienną względem której następuje różniczkowanie, następnie należy wcisnąć klawisz

Tab

i wprowadzić

rząd pochodnej (przy zmiennej wygląda to jak wykładnik), w wyniku czego następuje automatyczne wpisanie identycznego rzędu w liczniku. Na
samym końcu należy wprowadzić wyrażenie lub wcześniej zdefiniowaną funkcję. Maksymalnym rzędem pochodnej który można obliczyć w tym
programie jest 5. Program daje również możliwość obliczenia wartości zerowej pochodnej dla zadanej wartości x. W przypadku tym jest to po prostu
wartość funkcji dla zadanej wartości x.

Obliczenie wartości pochodnej wyższego rzędu

Przykład obliczania wartości pochodnej w punkcie

Obliczyć wartość pochodnej w punkcie

1.Najpierw należy zdefiniować zmienne (argumenty funkcji), które będą używane w
obliczeniach.

2.Następnie należy zdefiniować funkcję.

3.Teraz można przystąpić do wprowadzenia do dokumentu operatora pochodnej. Operator ten
można wstawić za pomocą kombinacji klawiszy

Shift + /

lub poprzez kliknięcie przycisku

[Derivative Shift + /]

w pasku narzędzi

Calculus Palette

.

4.Po wstawieniu operatora pochodnej mamy do czynienia z dwoma znakami braku. W
miejsce dolnego (w mianowniku) należy wpisać zmienną, względem której następuje
obliczenie wartości pochodnej. Natomiast w miejsce drugiego znaku braku należy wpisać
zdefiniowaną wcześniej funkcję, z której będzie liczona wartość pochodnej dla określonej
wartości zmiennej.

5.W celu uzyskania wyniku należy nacisnąć klawisz

=

, a następnie

Enter

.

Przykład obliczania granic

Obliczanie granic wyrażeń

| Obliczanie wartości pochodnej |

Obliczanie całek oznaczonych |

Podczas badania zmienności funkcji należy obliczyć granicę funkcji. W programie mamy możliwość obliczenia granicy prawostronnej, lewostronnej
oraz granicy w punkcie. Oprócz tego mamy możliwość obliczenia granicy funkcji w sytuacji, gdy jej argument dąży do plus lub minus
nieskończoności. W celu obliczenia granicy należy wstawić operator obliczenia granicy (w matematyce zwany limesem), określić funkcję oraz
argument, względem którego liczona jest granica. Schemat liczenia granicy dla każdego rodzaju operatora jest identyczny. Aby wstawić operator
granicy należy:

•

dla operatora granicy prawostronnej wcisnąć kombinację klawiszy

CTRL + A

lub wcisnąć przycisk

[Limit from Above Ctrl + A]

w pasku narzędzi

Calculus Palette

.

•

dla operatora granicy lewostronnej wcisnąć kombinację klawiszy

Ctrl + B

lub wcisnąć przycisk

[Limit

from Below Ctrl + B]

w pasku narzędzi

Calculus Palette

.

•

dla operatora granicy w punkcie wcisnąć kombinację klawiszy

CTRL + L

lub wcisnąć przycisk

[TwoSided Limit Ctrl + L]

w pasku narzędzi

Calculus Palette

.

Operatory granic (wraz z odpowiadającymi im kombinacjami klawiszy)

Po wprowadzeniu operatora granicy, należy wpisać pod nim argument funkcji oraz określić w jakim punkcie ma być obliczona granica.

Wartość granicy dla wprowadzonej do operatora funkcji oblicza się w następujący sposób. Najpierw całe wyrażenie należy otoczyć ramką wyboru a
następnie wcisnąć kombinację klawiszy

Ctrl + F9

. Skutkiem przeprowadzenia tych działań będzie wyświetlenie wyniku wartości granicy dla danej

funkcji.

Przykład obliczania granic

Obliczyć wartość granicy

1.Najpierw należy wprowadzić operator granicy.

2.Po wstawieniu do dokumentu operatora granicy, należy wpisać w miejsce znaków braku
nazwę zmiennej (argument funkcji), funkcję oraz należy określić w jakim punkcie ma być
obliczona granica .

3.Następnie, aby obliczyć wartość granicy dla wprowadzonej do operatora funkcji, należy
całe wyrażenie otoczyć ramką wyboru i wcisnąć kombinację klawiszy

Shift + F9

Przykłady podstawowych obliczeń na macierzach

Wektory i macierze

| Definicja macierzy i wektorów w dokumencie |

Podstawowe obliczenia na macierzach i wektorach | Zmiana rozmiarów macierzy i

wektorów | |Operacje symboliczne na macierzach | Inne operacje na macierzach |

Rozdział ten w całości poświęcony został zagadnieniom dotyczącym wektorów i
macierzy. Przedstawione są tu różne sposoby wstawienia wektorów i macierzy
oraz przeprowadzane na nich operacje. Warto dokonać podziału, co to jest
macierz, a co wektor. Macierz jest to dwuwymiarowa tablica o n wierszach i m
kolumnach, przy czym gdy n=m wtedy mamy do czynienia z macierzą
kwadratową. Natomiast wektor jest tablicą jednowymiarową czyli zawierającą
jeden wiersz lub jedną kolumnę. Do pracy z wektorami i macierzami bardzo
przydatny jest pasek narzędzi, który wyświetla się poprzez naciśnięcie przycisku

[Vector and Matrix Palette]

w pasku narzędzi

Math Palette

.

Pasek narzędzi

Vector and Matrix Palette

Definicja macierzy i

wektorów w

dokumencie

| Podstawowe obliczenia na macierzach i wektorach |

Zmiana rozmiarów macierzy i wektorów | |Operacje symboliczne na

macierzach | Inne operacje na macierzach |

Wstawianie macierzy i wektorów do dokumentu odbywa się w następujący
sposób:

•

kursor roboczy należy umieścić w miejscu gdzie ma być wstawiony wektor lub macierz,

•

wcisnąć kombinację klawiszy

Ctrl + M

lub też wybrać

Insert | Matrix...

w wyniku czego zostanie

wywołane okno dialogowe

Insert Matrix

(rysunek poniżej), można także nacisnąć przycisk

[Matrix or

Vector Ctrl + M]

w pasku narzędzi

Vector and Matrix Palette

,

Okno dialogowe

Insert Matrix

•

w oknie dialogowym

Insert Matrix

znajdują się dwa pola w które należy wprowadzić liczbę wierszy

(pole Rows) oraz liczbę kolumn (pole Columns) dla wstawionej macierzy,

•

w przypadku gdy naciśniemy przycisk

[Insert]

nastąpi wstawienie do dokumentu macierzy o zadanych

rozmiarach natomiast okno dialogowe nie zostanie zamknięte. Jeżeli naciśniemy przycisk

[OK]

to

macierz zostanie wstawiona do dokumentu a okno zamknięte.

Jeżeli w oknie dialogowym

Insert Matrix

w jednym z pól (Rows lub Columns)

zostanie wpisana wartość 1, to do dokumentu zostanie wprowadzony wektor o
zadanej liczbie elementów.

Wstawione do dokumentu puste wektory i macierze

Gdy do dokumentu zostanie wstawiony wektor lub macierz, to należy w nim
uzupełnić znaki braków. Pomiędzy tymi znakami możemy się przemieszczać za
pomocą klawisza

[Tab]

lub poprzez kliknięcie myszką na wybranym znaku

braku.

Przyjęło się, że macierze definiujemy za pomocą wielkich liter (np. A, B, C, D,
E itp.), natomiast wektory za pomocą małych liter (np. a, b, c, d, e, itp.). Aby
zdefiniować macierz lub wektor poprzez przypisanie do zmiennej najpierw
trzeba wpisać nazwę zmiennej, a następnie wcisnąć kombinację klawiszy

Shift +

;

w wyniku czego nastąpi wprowadzenie znaku przypisania i korzystając z

jednej z wcześniej opisanych metod wstawić do dokumentu wektor lub macierz.
Następnie należy uzupełnić miejsca braków.

Zdefiniowany wektor i macierz w dokumencie

Podstawowe obliczenia

na macierzach i

wektorach

| Definicja macierzy i wektorów w dokumencie |

Zmiana rozmiarów macierzy i wektorów | Operacje symboliczne na macierzach |

Inne operacje na macierzach |

W rozdziale tym zostały omówione podstawowe operacje, jakie można
wykonywać na wektorach i macierzach. Podczas opisu wszystkich operacji
przyjęto, że macierze będą oznaczane dużymi literami (np. A, B, C, D itp.) a
wektory małymi (np. a, b, c, d itp.).

Poniżej opisane zostały sposoby wykonywania przedstawionych operacji wraz z
warunkami ich używania.

| Dodawanie wektorów

|

Dodawanie dwóch lub więcej macierzy

|

Odejmowanie wektorów i macierzy

|

Mnożenie macierzy i wektora przez dowolną

liczbę

|

Dzielenie macierzy i wektora przez dowolną liczbę

|

Iloczyn skalarny wektorów

|

Iloczyn wektorowy

|

Mnożenie dwóch macierzy

|

Podnoszenie macierzy do dowolnej potęgi

|

Wyświetlanie dowolnej kolumny z podanej macierzy

|

Dodawanie wektorów

Operację dodawania wektorów wykonuje się z wykorzystaniem operatora (+).
Aby można było dodać do siebie dwa wektory muszą one mieć identyczną
liczbę elementów oraz muszą być identycznych rozmiarów. To znaczy, że do
wektora jednowierszowego nie można dodać wektora jednokolumnowego
nawet, jeśli obydwa mają identyczną liczbę elementów.

Wróć

Dodawanie dwóch lub więcej macierzy

Operację dodawania dwóch lub więcej macierzy wykonuje się z
wykorzystaniem operatora dodawania (+). Przy czym dodawane do siebie
elementy muszą mieć identyczną liczbę kolumn i wierszy oraz liczbę
elementów.

Wróć

Odejmowanie wektorów i macierzy

Operację odejmowania wektorów i macierzy wykonuje się z wykorzystaniem
operatora (-). Warunki odejmowania wektorów i macierzy są takie same jak dla
dodawania.

Wróć

Mnożenie macierzy i wektora przez dowolną liczbę

Operację mnożenia macierzy lub wektora przez dowolną liczbę wykonuje się
wykorzystaniem operatora mnożenia (*). Liczba taka może przyjmować

dowolną wartość rzeczywistą, a kolejność składników operacji jest bez
znaczenia.

Wróć

Dzielenie macierzy i wektora przez dowolną liczbę

Operację dzielenia macierzy lub wektora przez dowolną liczbę wykonuje się z
wykorzystaniem operatora dzielenia (/). Przy tej operacji należy zwrócić uwagę
na kolejność wprowadzania składników operacji. Najpierw należy wprowadzić
macierz (wektor), następnie operator dzielenia, a na samym końcu liczbę przez
którą dzielimy macierz (wektor).

Wróć

Iloczyn skalarny wektorów

Operację iloczynu skalarnego wektorów wykonuje się z wykorzystaniem
operatora mnożenia, przy warunku, że wektory mają identyczną liczbę
elementów. Operację tą można wykonać również przez naciśnięcie przycisku

[Dot Product]

w pasku narzędzi

Vector and Matrix Palette

.

Wróć

Iloczyn wektorowy

Operację iloczynu wektorowego wykonuje się z wykorzystaniem operatora
iloczynu wektorowego, który możemy wstawić do dokumentu przez naciśnięcie
kombinacji klawiszy

Ctrl + 8

lub przez wybranie przycisku

[Cross Product Ctrl

+ 8]

w pasku narzędzi

Vector and Matrix Palette

. Warunkiem wykonania

takiego iloczynu jest to, aby obydwa wektory miały po trzy elementy.

Wróć

Mnożenie dwóch macierzy

Operację mnożenia dwóch macierzy wykonuje się z wykorzystaniem operatora
mnożenia (*). Jeżeli mamy do czynienia z iloczynem macierzy kwadratowych
możemy mnożyć macierze A*B jak również B*A. W przypadku gdy mamy do
czynienia z iloczynem macierzy o różnej liczbie wierszy i kolumn, należy
przestrzegać zasady, że pierwsza macierz musi mieć taką samą liczbę kolumn co
druga wierszy. Jeżeli ta zasada nie zostanie zachowana wówczas wykonanie
operacji będzie niemożliwe.

Wróć

Podnoszenie macierzy do dowolnej potęgi

Operację podnoszenia macierzy do dowolnej potęgi wykonuje się z
wykorzystaniem operatora potęgowania, możemy go wstawić do dokumentu za
pomocą kombinacji klawiszy

Shift + 6

, przy czym operację tą możemy

wykonywać tylko i wyłącznie na macierzy kwadratowej. Podniesienie macierzy
do potęgi n oznacza, że macierz ta została n razy pomnożona przez siebie samą.
W trakcie podnoszenia macierzy do potęgi wykładnik musi należeć do zbioru
liczb całkowitych.

Wróć

Wyświetlanie dowolnej kolumny z podanej macierzy

Program daje nam również możliwość wyświetlenia dowolnej kolumny z
podanej macierzy. Można to uzyskać poprzez wciśnięcie kombinacji klawiszy

Ctrl + 6

lub przez naciśnięcie przycisku

[Matrix Column Ctrl + 6]

w pasku

narzędzi

Vector and Matrix Palette

. Teraz wystarczy tylko wpisać nazwę

macierzy w dolnym miejscu braku a w nawiasach ostrych podać numer kolumny
z zadanej macierzy. Kolumny w macierzy są liczone od zera.

Wróć

Definicja macierzy i

wektorów w

dokumencie

| Podstawowe obliczenia na macierzach i wektorach |

Zmiana rozmiarów macierzy i wektorów | |Operacje symboliczne na

macierzach | Inne operacje na macierzach |

Wstawianie macierzy i wektorów do dokumentu odbywa się w następujący
sposób:

•

kursor roboczy należy umieścić w miejscu gdzie ma być wstawiony wektor lub macierz,

•

wcisnąć kombinację klawiszy

Ctrl + M

lub też wybrać

Insert | Matrix...

w wyniku czego zostanie

wywołane okno dialogowe

Insert Matrix

(rysunek poniżej), można także nacisnąć przycisk

[Matrix or

Vector Ctrl + M]

w pasku narzędzi

Vector and Matrix Palette

,

Okno dialogowe

Insert Matrix

•

w oknie dialogowym

Insert Matrix

znajdują się dwa pola w które należy wprowadzić liczbę wierszy

(pole Rows) oraz liczbę kolumn (pole Columns) dla wstawionej macierzy,

•

w przypadku gdy naciśniemy przycisk

[Insert]

nastąpi wstawienie do dokumentu macierzy o zadanych

rozmiarach natomiast okno dialogowe nie zostanie zamknięte. Jeżeli naciśniemy przycisk

[OK]

to

macierz zostanie wstawiona do dokumentu a okno zamknięte.

Jeżeli w oknie dialogowym

Insert Matrix

w jednym z pól (Rows lub Columns)

zostanie wpisana wartość 1, to do dokumentu zostanie wprowadzony wektor o
zadanej liczbie elementów.

Wstawione do dokumentu puste wektory i macierze

Gdy do dokumentu zostanie wstawiony wektor lub macierz, to należy w nim
uzupełnić znaki braków. Pomiędzy tymi znakami możemy się przemieszczać za
pomocą klawisza

[Tab]

lub poprzez kliknięcie myszką na wybranym znaku

braku.

Przyjęło się, że macierze definiujemy za pomocą wielkich liter (np. A, B, C, D,
E itp.), natomiast wektory za pomocą małych liter (np. a, b, c, d, e, itp.). Aby
zdefiniować macierz lub wektor poprzez przypisanie do zmiennej najpierw
trzeba wpisać nazwę zmiennej, a następnie wcisnąć kombinację klawiszy

Shift +

;

w wyniku czego nastąpi wprowadzenie znaku przypisania i korzystając z

jednej z wcześniej opisanych metod wstawić do dokumentu wektor lub macierz.
Następnie należy uzupełnić miejsca braków.

Zdefiniowany wektor i macierz w dokumencie

Podstawowe obliczenia

na macierzach i

wektorach

| Definicja macierzy i wektorów w dokumencie |

Zmiana rozmiarów macierzy i wektorów | Operacje symboliczne na macierzach |

Inne operacje na macierzach |

W rozdziale tym zostały omówione podstawowe operacje, jakie można
wykonywać na wektorach i macierzach. Podczas opisu wszystkich operacji
przyjęto, że macierze będą oznaczane dużymi literami (np. A, B, C, D itp.) a
wektory małymi (np. a, b, c, d itp.).

Poniżej opisane zostały sposoby wykonywania przedstawionych operacji wraz z
warunkami ich używania.

| Dodawanie wektorów

|

Dodawanie dwóch lub więcej macierzy

|

Odejmowanie wektorów i macierzy

|

Mnożenie macierzy i wektora przez dowolną

liczbę

|

Dzielenie macierzy i wektora przez dowolną liczbę

|

Iloczyn skalarny wektorów

|

Iloczyn wektorowy

|

Mnożenie dwóch macierzy

|

Podnoszenie macierzy do dowolnej potęgi

|

Wyświetlanie dowolnej kolumny z podanej macierzy

|

Dodawanie wektorów

Operację dodawania wektorów wykonuje się z wykorzystaniem operatora (+).
Aby można było dodać do siebie dwa wektory muszą one mieć identyczną
liczbę elementów oraz muszą być identycznych rozmiarów. To znaczy, że do
wektora jednowierszowego nie można dodać wektora jednokolumnowego
nawet, jeśli obydwa mają identyczną liczbę elementów.

Wróć

Dodawanie dwóch lub więcej macierzy

Operację dodawania dwóch lub więcej macierzy wykonuje się z
wykorzystaniem operatora dodawania (+). Przy czym dodawane do siebie
elementy muszą mieć identyczną liczbę kolumn i wierszy oraz liczbę
elementów.

Wróć

Odejmowanie wektorów i macierzy

Operację odejmowania wektorów i macierzy wykonuje się z wykorzystaniem
operatora (-). Warunki odejmowania wektorów i macierzy są takie same jak dla
dodawania.

Wróć

Mnożenie macierzy i wektora przez dowolną liczbę

Operację mnożenia macierzy lub wektora przez dowolną liczbę wykonuje się
wykorzystaniem operatora mnożenia (*). Liczba taka może przyjmować
dowolną wartość rzeczywistą, a kolejność składników operacji jest bez
znaczenia.

Wróć

Dzielenie macierzy i wektora przez dowolną liczbę

Operację dzielenia macierzy lub wektora przez dowolną liczbę wykonuje się z
wykorzystaniem operatora dzielenia (/). Przy tej operacji należy zwrócić uwagę
na kolejność wprowadzania składników operacji. Najpierw należy wprowadzić
macierz (wektor), następnie operator dzielenia, a na samym końcu liczbę przez
którą dzielimy macierz (wektor).

Wróć

Iloczyn skalarny wektorów

Operację iloczynu skalarnego wektorów wykonuje się z wykorzystaniem
operatora mnożenia, przy warunku, że wektory mają identyczną liczbę
elementów. Operację tą można wykonać również przez naciśnięcie przycisku

[Dot Product]

w pasku narzędzi

Vector and Matrix Palette

.

Wróć

Iloczyn wektorowy

Operację iloczynu wektorowego wykonuje się z wykorzystaniem operatora
iloczynu wektorowego, który możemy wstawić do dokumentu przez naciśnięcie
kombinacji klawiszy

Ctrl + 8

lub przez wybranie przycisku

[Cross Product Ctrl

+ 8]

w pasku narzędzi

Vector and Matrix Palette

. Warunkiem wykonania

takiego iloczynu jest to, aby obydwa wektory miały po trzy elementy.

Wróć

Mnożenie dwóch macierzy

Operację mnożenia dwóch macierzy wykonuje się z wykorzystaniem operatora
mnożenia (*). Jeżeli mamy do czynienia z iloczynem macierzy kwadratowych
możemy mnożyć macierze A*B jak również B*A. W przypadku gdy mamy do
czynienia z iloczynem macierzy o różnej liczbie wierszy i kolumn, należy
przestrzegać zasady, że pierwsza macierz musi mieć taką samą liczbę kolumn co
druga wierszy. Jeżeli ta zasada nie zostanie zachowana wówczas wykonanie
operacji będzie niemożliwe.

Wróć

Podnoszenie macierzy do dowolnej potęgi

Operację podnoszenia macierzy do dowolnej potęgi wykonuje się z
wykorzystaniem operatora potęgowania, możemy go wstawić do dokumentu za
pomocą kombinacji klawiszy

Shift + 6

, przy czym operację tą możemy

wykonywać tylko i wyłącznie na macierzy kwadratowej. Podniesienie macierzy
do potęgi n oznacza, że macierz ta została n razy pomnożona przez siebie samą.
W trakcie podnoszenia macierzy do potęgi wykładnik musi należeć do zbioru
liczb całkowitych.

Wróć

Wyświetlanie dowolnej kolumny z podanej macierzy

Program daje nam również możliwość wyświetlenia dowolnej kolumny z
podanej macierzy. Można to uzyskać poprzez wciśnięcie kombinacji klawiszy

Ctrl + 6

lub przez naciśnięcie przycisku

[Matrix Column Ctrl + 6]

w pasku

narzędzi

Vector and Matrix Palette

. Teraz wystarczy tylko wpisać nazwę

macierzy w dolnym miejscu braku a w nawiasach ostrych podać numer kolumny
z zadanej macierzy. Kolumny w macierzy są liczone od zera.

Wróć

Zmiana rozmiarów

macierzy i wektorów

| Definicja macierzy i wektorów w dokumencie |

Podstawowe obliczenia na macierzach i wektorach | Operacje symboliczne na

macierzach | Inne operacje na macierzach |

Jeżeli okazuje się, że wprowadzony do dokumentu macierz (lub wektor) ma
nieodpowiedni rozmiar nie należy usuwać go z dokumentu wystarczy zmienić
rozmiar. Sposób wykonania tego jest prosty. Należy umieścić kursor roboczy
przy tym elemencie macierzy za i pod którym będą wstawiane elementy.
Następnie należy wcisnąć kombinację klawiszy

Ctrl + M

, w wyniku czego

zostanie wywołane okno dialogowe

Insert Matrix

. W polach tekstowych Rows

oraz Columns należy określić liczbę kolumn i wierszy, jaką chcemy wstawić do
macierzy i na zakończenie wcisnąć klawisz

[OK]

. Spowoduje to wstawienie do

wybranej macierzy zadanej liczby wierszy i kolumn, co zostało przedstawione
na rysunku poniżej.

Wstawienie zadanej liczby wierszy i kolumn do macierzy

W przypadku, gdy w oknie dialogowym naciśniemy przycisk

[Delete]

, wówczas

żą

dana liczba kolumn i wierszy zostanie usunięta z wybranej macierzy. Rysunek

poniżej przedstawia sytuację, gdy w oknie dialogowym

Insert Matrix

kliknięto

przycisk

[Delete]

przy następujących wartościach Rows: 0 oraz Columns: 2.

Efekt usuwania wierszy i kolumn z macierzy

Do zmiany rozmiar macierzy w dokumencie można także wykorzystać dwie
funkcje: stock() oraz augment() (nazwy tych funkcji należy wprowadzać do
dokumentu małymi literami. Działanie tych funkcji przedstawione jest na
rysunku poniżej.

Wstawienie zadanej liczby wierszy i kolumn do macierzy

Jak widać na rysunku funkcja stack służy do łączenia macierzy o tej samej
liczbie kolumn, a funkcja augment o tej samej liczbie wierszy. Podczas
przeprowadzania tego działania należy pamiętać, że kolejność wpisywania
macierzy ma bardzo duże znaczenie.

Operacje symboliczne

na macierzach

| Definicja macierzy i wektorów w dokumencie |

Podstawowe obliczenia na macierzach i wektorach | Zmiana rozmiarów macierzy i

wektorów | Inne operacje na macierzach |

W rozdziale tym przedstawione zostały operacje symboliczne dostępne w
programie. W celu wykonania każdej operacji opisanej w tym rozdziale, należy
całą macierz otoczyć ramką wyboru, przy czym nie może to być macierz
zdefiniowana z wykorzystaniem zmiennej.

| Transpozycja macierzy

|

Macierz odwrotna

|

Wyznacznik macierzy

|

Transpozycja macierzy

W celu wykonania transpozycji macierzy, należy po otoczeniu całej macierzy
ramką wyboru, wybrać z menu

Symbolics | Matrix | Transpose

. Działanie to

przedstawione jest na rysunku poniżej.

Wróć

Macierz odwrotna

Aby obliczyć macierz odwrotną należy otoczyć ramką wyboru całą macierz i
wybrać

Symbolics | Matrix | Invert

lub ponieść całą macierz do potęgi -1.

Macierz odwrotną można uzyskać tylko i wyłącznie z macierzy kwadratowej.
Przykład obliczenia macierzy odwrotnej został przedstawiony na rysunku
poniżej.

Wróć

Wyznacznik macierzy

Aby obliczyć wyznacznik z dowolnej macierzy kwadratowej, należy otoczyć
ramką wyboru całą macierz, a następnie wcisnąć przycisk

[Determinant | ]

w

pasku narzędzi

Vector and Matrix Palette

lub wybrać

Symbolics | Matrix |

Determinant

, co spowoduje wstawienie symbolu wyznacznika. Na zakończenie

należy wcisnąć klawisz

=

. Na rysunku poniżej został przedstawiony przykład

obliczenia wyznacznika macierzy.

Wróć

Inne operacje na

macierzach

| Definicja macierzy i wektorów w dokumencie |

Podstawowe obliczenia na macierzach i wektorach | Zmiana rozmiarów macierzy i

wektorów | Operacje symboliczne na macierzach |

W rozdziale tym przedstawione zostały inne dostępne w programie operacje na
macierzach. Są to operacje wykonywane z wykorzystaniem funkcji
standardowych.

| Największa i najmniejsza wartość w macierzy

|

Zliczanie wierszy i kolumn

|

Rząd macierzy

|

Macierz jednostkowa

|

Największa i najmniejsza wartość w macierzy

Do wyszukiwania największego i najmniejszego elementu macierzy służą dwie
funkcje standardowe: min() dla znalezienia najmniejszej wartości w macierzy
oraz max() dla znalezienia maksymalnej wartości w macierzy. W miejsce braku
można wpisać zarówno zdefiniowany macierz jak i cały macierz. Działanie tych
funkcji przedstawione jest na rysunku poniżej.

Wróć

Zliczanie wierszy i kolumn

Do zliczenia wierszy i kolumn w macierzy służą dwie funkcje standardowe:
Rows() do obliczenia liczby wierszy, oraz cols() do obliczenia liczby kolumn w
zadanej macierzy. Przykład zastosowania tych funkcji przedstawiony został na
rysunku poniżej.

Wróć

Rząd macierzy

Do wyznaczania rzędu macierzy służy funkcja standardowa: rank(). Przykłady
zastosowania tej funkcji jest na rysunku poniżej.

Wróć

Macierz jednostkowa

Macierz jednostkową można tworzyć ręcznie lub za pomocą funkcji
standardowej: identity(). Funkcja ta tworzy macierz jednostkową o zadanym
rozmiarze. Macierz jednostkowa to taka, która na głównej przekątnej ma same
jedynki. Przykłady tworzenia macierzy jednostkowej przedstawione są na
rysunku poniżej.

Wróć

Przykłady

podstawowych obliczeń

na macierzach

| Definicja macierzy i wektorów w dokumencie |

Podstawowe obliczenia na macierzach i wektorach | Zmiana rozmiarów macierzy i

wektorów | |Operacje symboliczne na macierzach | Inne operacje na macierzach |

1.

Dodawanie macierzy

2.

Odejmowanie macierzy

3.

Mnożenie i dzielenie macierzy przez liczbę

4.

Mnożenie macierzy

Przykład dodawania macierzy

1.Dodawanie macierzy należy rozpocząć od wprowadzenia macierzy do dokumentu. Można
to zrobić za pomocą kombinacji klawiszy

Ctrl + M

.

2.Po wstawieniu do dokumentu macierzy należy je zdefiniować korzystając z kombinacji
klawiszy

Shift + ;

.

3.Po wykonaniu wyżej wymienionych działań należy wykonać dodawanie na zdefiniowanych
macierzach (tzn. A+B).

Przykład odejmowania macierzy

1.Odejmowania macierzy należy rozpocząć od wprowadzenia macierzy do dokumentu.
Można to zrobić za pomocą kombinacji klawiszy

Ctrl + M

.

2.Po wstawieniu do dokumentu macierzy należy je zdefiniować korzystając z kombinacji
klawiszy

Shift + ;

.

3.Po wykonaniu wyżej wymienionych działań należy wykonać odejmowanie na
zdefiniowanych macierzach (tzn. A-B).

Mnożenie i dzielenie macierzy przez liczbę

1.Mnożenie oraz dzielenie macierzy przez liczbę należy rozpocząć od wprowadzenia jej do
dokumentu. Można to zrobić za pomocą kombinacji klawiszy

Ctrl + M

.

2.Po wstawieniu do dokumentu macierzy należy je zdefiniować korzystając z kombinacji
klawiszy

Shift + ;

.

3.Aby wykonać mnożenie przez liczbę należy wcześniej zdefiniowaną macierz pomnożyć z
wykorzystaniem operatora mnożenia przez daną liczbę. Natomiast dzielenie przez liczbę
należy rozpocząć od wpisania zdefiniowanego macierzą, następnie trzeba wprowadzić
operator dzielenia (klawisz

/

), a na końcu liczbę przez którą chcemy podzielić macierz.

Równania i układy

równań

| Rozwiązywanie równań |

Rozwiązywanie układów równań | Rozwiązywanie równań nieliniowych |

Niniejszy rozdział przedstawia metody rozwiązywania prostych równań, układy
równań oraz równań nieliniowych.

Przykład rozwiązywania równań

1.Aby rozwiązać równanie należy najpierw doprowadzić do takiej sytuacji, aby wszystkie
składniki równania znajdowały się po lewej stronie równania, a samo równanie należy
przyrównać do zera. W zapisie należy użyć znaku równości wprowadzonego z
wykorzystaniem kombinacji klawiszy

Ctrl + =

.

2.Po wprowadzeniu do dokumentu równania, należy następnie określić przybliżoną wartość
niewiadomej.

3.Aby wyznaczyć rozwiązanie należy teraz wpisać

root(f(x),x)

i nacisnąć klawisz

=

. Funkcja

f(x) może być wpisana zarówno w całości, jak też można użyć do tego celu zmiennej.

Rozwiązywanie równań

Rozwiązywanie układów równań |

Rozwiązywanie równań nieliniowych |

Aby rozwiązać równanie, należy zacząć od doprowadzenia do takiej sytuacji,
ż

eby wszystkie składniki równania znajdowały się po lewej stronie równania, a

samo równanie należy przyrównać do zera, czyli należy doprowadzić do
następującej sytuacji: f(x)=0. Podczas wprowadzania równań do dokumentu
należy użyć operatora równości, ale wprowadzać go należy z wykorzystaniem
kombinacji klawiszy

Ctrl + =

. Następnie po wprowadzeniu równania należy

podać przybliżoną wartość niewiadomej. Aby otrzymać rozwiązanie należy
wpisać

root(f(x),x)

oraz nacisnąć klawisz

=

w wyniku czego nastąpi

wyświetlenie rozwiązania. Funkcja f(x) może być wprowadzona z użyciem

zmiennej lub w całości. Przedstawiony sposób rozwiązywania równań stosuje
się do równań pierwszego i wyższego rzędu, można także rozwiązywać
równania zawierające funkcje standardowe oraz równania trygonometryczne.

Przybliżona wartość zmiennej nie musi być dokładna np. na rysunku powyżej
zmiennej y została przypisana wartość 5. Chodzi tu tylko i wyłącznie o to aby
zmienna użyta w równaniu była zdefiniowana. W przeciwnym wypadku
program nie był by wstanie rozwiązać równania. Inaczej przedstawia się
sytuacja w przypadku równań, w których rozwiązanie może się powtarzać np.
równań trygonometrycznych. Ponieważ w tym przypadku zdefiniowanie
wartości zmiennej narzuca punkt wokół którego będzie szukane rozwiązanie
(rysunek poniżej).

Rozwiązywanie równań

nieliniowych

| Rozwiązywanie równań |

Rozwiązywanie układów równań |

Program Mathcad 7.0 Professional oprócz rozwiązywania zwykłych równań
oraz układów umożliwia nam rozwiązywanie równań nieliniowych. Do
rozwiązywania tych równań służą dwie funkcje standardowe:

given

oraz

find()

.

Aby rozwiązać układ równań nieliniowych, należy postępować zgodnie z
poniższym opisem:

•

rozwiązywanie układu należy rozpocząć od zdefiniowania wszystkich
zmiennych które będą występowały w układzie równań nieliniowych;
nadajemy im dowolne wartości, ponieważ chodzi tylko o ich
zdefiniowanie w dokumencie;

•

następnie należy wprowadzić polecenie

gicen

;

•

poniżej polecenia

given

lub na jego wysokości wpisujemy układ równań

nieliniowych, przy czym znak równości do równań wprowadzić należy za
pomocą kombinacji klawiszy

Ctrl + =

, we wprowadzonych równaniach

wyrazy wolne wpisujemy po prawej stronie równania;

•

wpisujemy polecenie

find()

, przy czym w nawiasach wprowadzamy

nazwy wszystkich zmiennych jakie występują w rozwiązywanym
układzie równań, poszczególne zmienne oddzielamy przecinkami;

•

na zakończenie należy wcisnąć klawisz

=

, w wyniku czego nastąpi

obliczenie niewiadomych z układu równań.

Przykład rozwiązywania równań

1.Aby rozwiązać równanie należy najpierw doprowadzić do takiej sytuacji, aby wszystkie
składniki równania znajdowały się po lewej stronie równania, a samo równanie należy
przyrównać do zera. W zapisie należy użyć znaku równości wprowadzonego z
wykorzystaniem kombinacji klawiszy

Ctrl + =

.

2.Po wprowadzeniu do dokumentu równania, należy następnie określić przybliżoną wartość
niewiadomej.

3.Aby wyznaczyć rozwiązanie należy teraz wpisać

root(f(x),x)

i nacisnąć klawisz

=

. Funkcja

f(x) może być wpisana zarówno w całości, jak też można użyć do tego celu zmiennej.