Matematyka dyskretna – dr Marcin Raniszewski

Matematyka Dyskretna – ćw. 9

Dyskretna teoria prawdopodobieństwa

Dystrybuanta, wartość oczekiwana i odchylenie standardowe

dyskretnej zmiennej losowej

Dystrybuantą zmiennej losowej

nazywamy funkcję

taką, że:

Własności dystrybuanty dyskretnej zmiennej losowej:



funkcja niemalejąca



przyjmuje wartości z przedziału [0,1]



prawostronnie ciągła

Zad. 1. W urnie znajduje się 5 kul białych i 5 kul niebieskich. Wybieramy losowo cztery kule
bez zwracania. Znajdź rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej

, która oznacza

liczbę wylosowanych kul białych. Zdefiniuj i narysuj wykres dystrybuanty.

Zad. 2. Niech

oznacza liczbę rzutów z zadania 4 (ćw. 7). Określ rozkład

prawdopodobieństwa zmiennej losowej

oraz jej dystrybuantę. Oblicz ,

, , , , .

Zad. 3. Ustal wartość

, dla której funkcja

jest rozkładem

prawdopodobieństwa pewnej zmiennej losowej. Podaj przykład takiej zmiennej losowej.

Wartością oczekiwaną (wartością przeciętną, średnią) dyskretnej zmiennej losowej

nazywamy liczbę:

Własności wartości oczekiwanej:



dla



dla





dla



dla dowolnej funkcji

mamy



Zad. 4. Pewna gra polega na pięciokrotnym rzucie monetą. Jeśli gracz wyrzuci pięć razy orła
lub reszkę wygrywa 10 zł, jeśli wyrzuci na przemian orła i reszkę – wygrywa 6 zł. Jaką opłatę
powinien pobierać prowadzący grę aby interes był dla niego opłacalny?

Matematyka dyskretna – dr Marcin Raniszewski

Wariancją dyskretnej zmiennej losowej

nazywamy liczbę:

Własności wariancji:





dla



dla

Odchyleniem standardowym dyskretnej zmiennej losowej

nazywamy liczbę:

Zad. 5. Znajdź wartości oczekiwane i odchylenia standardowe zmiennych losowych

i

z zadania 5 (ćw. 8).

Zad. 6. Dystrybuanta zmiennej losowej

ma następującą postać:

Wyznacz funkcję rozkładu prawdopodobieństwa zmiennej losowej

. Oblicz ,

, , .