Zadania z Analizy Matematycznej
1
LOGIKA
Zad. 1. Ustal, czy poniższe sformułowanie jest zdaniem i jeśli tak to jaka jest jego wartość logiczna:
a) Czy świeci słońce?
b) 2
n
= n
2
dla pewnych n ∈ N
c) Idź do sklepu
d) x+y=y+x
e) x-y=y-x dla wszystkich x, y ∈ R
Zad. 2. Niech p, q, r bedą zdaniami:
p="pada deszcz"
q="świeci słońce"
r="na niebie są chmury"
Zapisz nastepujące zdania za pomocą symboliki logicznej używając p, q, r i spójników logicznych:
a) Pada deszcz i świeci słońce
b) Jeśli pada deszcz to na niebie są chmury
c) Jeśli nie pada deszcz, to nie świeci słońce i na niebie są chmury
d) Słońce świeci wtedy i tylko wtedy, gdy nie pada deszcz
e) Jeśli nie ma chmur na niebie to świeci słońce
Zad. 3. Niech p, q, r jak w Zad. 2. Przetłumacz na język polski:
a) (p ∧ q) ⇒ r
b) ∼ (p ∨ q) ∧ r
c) (p ⇒ r) ⇒ q
d) ∼ p ⇒ (q ∨ r)
Zad. 4. Określ wartości logiczne następujących zdań złożonych:
a) Jeśli 2 + 2 = 4, to 2 + 4 = 8
b) Jeśli 2 + 2 = 5, to 2 + 4 = 8
c) Jeśli 2 + 2 = 5, to 2 + 4 = 6
d) Jeśli świat jest płaski to Nowy Jork jest stolicą Polski
e) Jeśli stolicą Polski jest Warszawa to świat jest płaski
Zad. 5. Wyznacz wartość logiczną następujących zdań przy podstawieniu p = 1, q = 0
a) p∧ ∼ q
b) ∼ (p ∨ q)
c) ∼ p ⇒ q
d) ∼ (p ⇔ q)
d) [(p ∧ q) ⇒ p] ∨ q
Zad. 6. Zbuduj tabelkę logiczną dla poniższych zdań i określ czy są to tautologie
a) p∨ ∼ p
b) ∼ (p ∧ q)
c) ∼ p∧ ∼ q
d) ∼ (p ∨ q) ⇔ (∼ p∧ ∼ q)
e) (p ⇒ q) ⇔ (∼ p ∨ q)
f ) [(p ⇒ q)∧ ∼ q] ⇒∼ p
g) [(p ⇒ q) ∧ (q ⇒ r)] ⇒ (p ⇒ r)
Zad. 7. Zbadaj prawdziwość zdań:
a)
_
x
x
3
− x = 0 b)
^
x
x
2
+ 1 > 0 c)
^
x
_
y
x = y d)
_
x
^
y
x = y e)
_
x
_
y
(x − y) = x
2
− y
2
Zad. 8. Napisz zaprzeczeie poniższych wyrażeń tak żeby nie było w nich znaku negacji
a)
_
x
x 6 9
b)
^
x
_
a
_
b
(x 6 a ∨ x > b)
c)
^
x
_
y
^
t
[x < y ⇒ (y = t ∧ x > y)]
Zad. 9. Zapisz przy pomocy kwantyfikatorów
a) każda liczba naturalna daje resztę 0 lub 1 przy dzieleniu przez 2
b) x jest liczbą pierwszą
1