SIMR Analiza 1, zadania: Granice funkcji, Ciągłość, Elementy topologii

1. Pokazać, że dla dowolnych zbiorów A, B, A

n

⊂ R :

(a) int



A ∩ B



= intA ∩ intB

(b) intA ∪ intB ⊂ int



A ∪ B



, podać przykład zbiorów dla których nie zachodzi

równość

(c)

A ∪ B = A ∪ B

(d) A ∩ B ⊂ A ∩ B , podać przykład zbiorów dla których nie zachodzi równość

(e) Jeżeli A

n

są otwarte to

∞

S

n=1

A

n

też jest otwarty

(f) Jeżeli A

n

są domknięte to

∞

T

n=1

A

n

też jest domknięty

(g) Podać przykład zbiorów otwartych A

n

, takich, że

∞

T

n=1

A

n

nie jest otwarty

2. Obliczyć granicę funkcji:

(a) lim

x→2

x

3

− x − 6

x

4

− 3x

2

− 2x

(b)

lim

x→+∞

q

x+

√

x+

√

x

√

x+1

(c) lim

x→0

x sin x

sin

2

x

(d) lim

x→0

sin

2

x

cos x − 1

(e) lim

x→0

sin(x

2

+ x

3

)

tg(2x

2

+ 3x

3

)

(f) lim

x→∞

x sin(

1

x

)

cos

1

x

(g) lim

x→

π

2

sin 2x + cos x

x −

π

2

(h) lim

x→π

sin

2

x

1 + cos 5x

(i) lim

x→1

(1 − x) tg

πx

2

3. Dla jakich wartości parametrów funkcja f : R → R jest ciągła:

(a) f (x) =



























































x

3

+ 2x − 3

x

2

+ x − 2

dla x > 1

ax + b

dla 0 ¬ x ¬ 1

ln(1 − x)

x

dla x < 0

(b) f (x) =







































x

2

+ ax − 6

x

2

− 4

dla x > 2

b

dla x ¬ 2

(c) f (x) =



















































x + a

√

x

x + sin x

dla x > 0

bx + c

dla − 1 ¬ x ¬ 0

x

2

dla x < −1

(d) f (x) =



























































a

x

2

− x + 2

x

2

+ x − 2

dla x > 2

x

dla 0 ¬ x ¬ 2

b

1 − cos 2x

4x

2

dla x < 0

(e) f (x) =











































































a





x

2

2x − 1





1

1 − x

dla x > 1

b

dla − 1 ¬ x ¬ 1

x

4

+ x

x + 1

dla x < −1