SIMR Analiza 1, zadania: Różniczkowalność, różniczka, styczna do wykresu, reguła
de L’Hospitala
1. Dla jakich wartości parametrów funkcja f (x) jest różniczkowalna:
(a) f (x) =
sin 2x
dla x > 0
ax + b
dla x ¬ 0
(b) f (x) =
ax
2
+ bx
dla x > 1
1
2 − x
dla x ¬ 1
(c) f (x) =
√
4x
dla x > 1
ax
3
+ bx
2
+ cx + d
dla 0 ¬ x ¬ 1
sin x
dla x < 0
2. Oblicz różniczkę df funkcji f (x) w punkcie x
0
(a) f (x) = (x + 3)e
x
;
x
0
= 0
(b) f (x) = x
√
3x + 1
;
x
0
= 1
(c) f (x) =
x
3
+ 2
x − 2
;
x
0
= 1
(d) f (x) = arc tg(x
2
− 3)
;
x
0
= 2
3. Znajdź równanie prostej stycznej do wykresu funkcji y = f (x) w punkcie x
0
(a) f (x) = x
3
− 4x
;
x
0
= 1
(b) f (x) = e
x
2
−4
;
x
0
= 2
(c) f (x) =
x
2
+ x
x − 1
;
x
0
= 2
(d) f (x) = arc sin(2x + 4)
;
x
0
= −2
4. Znajdź kąt przecięcia się krzywych y
1
(x) i y
2
(x) w punkcie x
0
(a) y
1
= x
2
;
y
2
=
√
x
;
x
0
= 1
(b) y
1
= sin x
;
y
2
= cos x
;
x
0
=
π
4
(c) y
1
= e
x
;
y
2
= 2 −
√
2x + 1
;
x
0
= 0
(d) y
1
= ln(x
3
+ x + 1)
;
y
2
= 1 − cosh(3x)
;
x
0
= 0
5. Obliczyć granice:
(a) lim
x→1
1
x − 1
−
1
ln x
