1. Metoda bezpośrednia
Częstotliwość mierzoną wyznacza się ze wzoru:

f

T

N

x

w

=

1

*

gdzie:
N-liczba impulsów
Tw-okres wzorcowy

Bł

Ą

d pomiaru częstotliwości jest sumą trzech błędów składowych:

δ δ

δ δ

f

T

B

N

x

w

=

+ +

gdzie:
dTw - błąd wzorca częstotliwości (pomijalnie mały)
dB - błąd bramkowania (pomijalnie mały)
dN - błąd zliczania wyrażony wzorem:

δ

N

W

x

T

f

=

⋅

1

2. Metoda pośrednia
Częstotliwość mierzoną wyznacza się ze wzoru:

f

k f

N

x

w

=

*

gdzie:
k - współczynnik podziału ( u nas równy 1)
N-liczba impulsów
fw-częstotliwość wzorcowa

Błąd pomiaru częstotliwości jest , podobnie jak w metodzie bezpośredniej sumą błędów: wzorca częstotliwości,
bramkowania i zliczania. Błąd zliczania jest tutaj wyrażony wzorem:

δ

N

x

w

f

k f

=

⋅

Ćwiczenie polegało na znalezieniu zakresu częstotliwości dla obu metod pomiaru tak aby błąd popełniany nie
był większy od 0,01%. Po dokonaniu obliczeń wynikających z wzorów na błąd zliczania dla każdej z metod
okazało się że zakresy stosowalności każdej z metod, przy założonej wielkości błędu są następujące:

dla metody bezpośredniej: fx > 1 kHz

dla metody pośredniej: fx < 1 kHz

Aby osiągnąć jak najdokładniejsze wyniki pomiarów dokonaliśmy następujących założeń wartości
częstotliwości generatora wzorcowego:

dla metody bezpośredniej: Tw = 1s

dla metody pośredniej: fw = 1 MHz

Wynika to bezpośrednio ze wzorów na błąd zliczania , a wartości liczbowe wynikały z dostępnych
częstotliwości generatora wzorcowego użytego w ćwiczeniu.

W pomiarach wystąpił rozrzut wyników, dlatego graniczna wartość błędu ma dwie składowe : systematyczną i
przypadkową. Składową systematyczną liczymy zgodnie z podanymi wcześniej wzorami. Graniczny błąd
przypadkowy liczymy wg. wzoru:

δ

pg

xsr

p

f

= ∆

przy czym Dp jest niepewnością przypadkową którą wyraża się wzorem:

∆

p

t

S

q k

f

xsr

=

,

*

Przyjmujemy poziom ufności a=0.95. Z tablic rozkładu Studenta odczytaliśmy wartość zmiennej t dla q=1-
a=0.05 oraz liczby stopni swobody k=5-1=4. U nas wartość ta wyniosła 2,78.
Odchylenie standardowe dla średniej liczyliśmy zgodnie ze wzorem:

S

n

n

f

f

f

x

i

n

xsr

xsr

i

=

−

−

=

∑

1

1

1

2

* (

)

*

(

)

Pomiary:

1. Metoda bezpośrednia

2.Metoda Pośrednia:

∆

P

-

-

-

-

[%]

1000000

10

97935

97927

97931,000000

10,211271

-0,211271

0,211271

0,000010

100000

10

9835

9823

9829,000000

10,173975

-0,173975

0,173975

0,000102

10000

10

980

980

979

979,666667

10,207554

-0,207554

0,207554

0,001021

1000

10

98

99

97

98,000000

10,204082

-0,204082

0,204082

0,010204

1000000

50

19969

19966

19967

19967,333333

50,081800

-0,081800

0,081800

0,000050

100000

50

1999

2001

2001

2000,333333

49,991668

0,008332

-0,008332

0,000500

10000

50

200

200

201

200,333333

49,916805

0,083195

-0,083195

0,004992

1000

50

21

21

21

21,000000

47,619048

2,380952

-2,380952

0,047619

1000000

100

9998

9999

10001

9999,333333

100,006667

-0,006667

0,006667

0,000100

100000

100

1001

1001

1001

1001,000000

99,900100

0,099900

-0,099900

0,000999

10000

100

100

100

101

100,333333

99,667774

0,332226

-0,332226

0,009967

1000

100

10

10

10

10,000000

100,000000

0,000000

0,000000

0,100000

1000000

200

5011

5011

5007

5009,666667

199,614079

0,385921

-0,385921

0,000200

100000

200

502

501

502

501,666667

199,335548

0,664452

-0,664452

0,001993

10000

200

51

50

51

50,666667

197,368421

2,631579

-2,631579

0,019737

1000

200

5

5

5

5,000000

200,000000

0,000000

0,000000

0,200000

1000000

2000

500

502

503

501,666667 1993,355482

6,644518

-6,644518

0,001993

100000

2000

51

51

50

50,666667 1973,684211

26,315789

-26,315789

0,019737

10000

2000

6

5

6

5,666667 1764,705882

235,294118

-235,294118

0,176471

1000

2000

1

1

1

1,000000 1000,000000 1000,000000 -1000,000000

1,000000

1000000

1000

1002

1001

1005

1002,666667

997,340426

2,659574

-2,659574

0,000997

100000

1000

101

101

100

100,666667

993,377483

6,622517

-6,622517

0,009934

10000

1000

10

10

11

10,333333

967,741935

32,258065

-32,258065

0,096774

1000

1000

1

1

2

1,333333

750,000000

250,000000

-250,000000

0,750000

1000000

5000

201

202

201

201,333333 4966,887417

33,112583

-33,112583

0,004967

100000

5000

21

21

21

21,000000 4761,904762

238,095238

-238,095238

0,047619

10000

5000

3

3

3

3,000000 3333,333333 1666,666667 -1666,666667

0,333333

1000

5000

1

1

1

1,000000 1000,000000 4000,000000 -4000,000000

1,000000

f

wz

f

x gen

N

1

N

2

N

3

N

śr

f

x śr

δfxśr

[kHz]

[kHz]

[kHz]

[kHz]

[kHz]

∆

P

-

-

-

-

[%]

1000

50

1

1

1

1,00000

1000,00000

-950,00000

950,00000

1,00000

100

50

1

2

1

1,33333

133,33333

-83,33333

83,33333

0,75000

10

50

6

6

6

6,00000

60,00000

-10,00000

10,00000

0,16667

1

50

12410

12131

12270,50000 12270,50000 -12220,50000 12220,50000

0,00008

1000

100

1

2

3

2,00000

2000,00000

-1900,00000

1900,00000

0,50000

100

100

2

2

4

2,66667

266,66667

-166,66667

166,66667

0,37500

10

100

10

10

11

10,33333

103,33333

-3,33333

3,33333

0,09677

1

100

101

102

101

101,33333

101,33333

-1,33333

1,33333

0,00987

1000

1000

3

3

2

2,66667

2666,66667

-1666,66667

1666,66667

0,37500

100

1000

11

11

11

11,00000

1100,00000

-100,00000

100,00000

0,09091

10

1000

100

100

100

100,00000

1000,00000

0,00000

0,00000

0,01000

1

1000

997

997

996

996,66667

996,66667

3,33333

-3,33333

0,00100

1000

2000

3

2

2

2,33333

2333,33333

-333,33333

333,33333

0,42857

100

2000

150

145

139

144,66667 14466,66667 -12466,66667 12466,66667

0,00691

10

2000

2219

2211

2215,00000 22150,00000 -20150,00000 20150,00000

0,00045

1

2000

16381

16464 16422,50000 16422,50000 -14422,50000 14422,50000

0,00006

1000

5000

1

1

1

1,00000

1000,00000

4000,00000

-4000,00000

1,00000

100

5000

54

50

50

51,33333

5133,33333

-133,33333

133,33333

0,01948

10

5000

499

499

498

498,66667

4986,66667

13,33333

-13,33333

0,00201

1

5000

4979

4979

4979

4979,00000

4979,00000

21,00000

-21,00000

0,00020

1000

10000

1

1

1

1,00000

1000,00000

9000,00000

-9000,00000

1,00000

100

10000

418

413

415,50000 41550,00000 -31550,00000 31550,00000

0,00241

10

10000

3279

3146

3212,50000 32125,00000 -22125,00000 22125,00000

0,00031

1

10000

26137

26379 26258,00000 26258,00000 -16258,00000 16258,00000

0,00004

1000

15000

1

1

1

1,00000

1000,00000 14000,00000 -14000,00000

1,00000

100

15000

1

1

1

1,00000

100,00000 14900,00000 -14900,00000

1,00000

10

15000

1917

2070

1993,50000 19935,00000

-4935,00000

4935,00000

0,00050

1

15000

14929

14928

14929 14928,66667 14928,66667

71,33333

-71,33333

0,00007

f

wz

f

x gen

N

1

N

2

N

3

N

śr

f

x śr

δfxśr

[kHz]

[kHz]

[kHz]

[kHz]

[kHz]

Przykładowe obliczenia:

Metoda bezpośrednia:

N

sr

=

N

1

 N

2

 N

3

3

= 499

499498

3

=498,66667

f

xsr

= 1

T

wz

⋅N

sr

= 1

1

f

wz

⋅N

sr

=

1
1

10

−3

⋅498,66667=4976,66667

= f

zgen

− f

sr

=13,33333

p=−=−13,33333



fxsr

=

Twz



B



N

=0,00201



N

=

1

T

W

⋅f

xsr

= 1

N

sr

=0,00201

Metoda pośrednia:

N

sr

=

N

1

 N

2

 N

3

3

=9998

999910001

3

=9999,333333

f

xsr

=

k⋅ f

wz

N

sr

=

1⋅10

6

9999,333333

=100,006667

= f

xgen

− f

xsr

=−0,006667

p=−=−0,006667



fxsr

=

Twz

 

B



N

=0,000100



N

=

f

xsr

k⋅f

wz

= 1

N

sr

=0,000100

Wnioski:

Cyfrowy pomiar częstotliwości jest jedną z najdokładniejszych metod pomiaru dla tej wielkości jednak nie

mogliśmy tego doświadczyć z powodu nie do końca sprawnej aparatury. Przy naszych pomiarach wystąpiły
znacznie odbiegające od normy błędy grube, które odrzuciliśmy.

Na podstawie podanych wyników przy badaniu niestabilności generatora można wywnioskować, że aby

generator podawał sygnał o danej częstotliwości powinno się chwilę odczekać, aby mógł on się ustabilizować.

Następnie na podstawie ćwiczenia można wywnioskować, że przy danej częstotliwości granicznej błędy

pomiaru (nie biorąc pod uwagę grubych błędów) zarówno dla metody pośredniej jak i bezpośredniej są do
siebie podobne.

Jest tak ponieważ metody pomiaru: bezpośrednie i pośrednie uzupełniają się bo dotyczą różnych zakresów

częstotliwości.

Warto również pamiętać o możliwości rozkalibrowania generatora, tzn. wybierane przez nas częstotliwości

niekoniecznie muszą pokrywać się z prawdziwymi.

Aparatura

Zasilacz laboratoryjny Z4
Dekadowy generator RC typ PW-II
Płytki:

generator wzorcowy
układ bramkujący
licznik impulsów