Układ logiczny

z

1

z

2

z

k

U

rz

ą

dz

en

ia

w

yk

ona

w

cze

OBIEKT

U

rz

ą

dze

n

ia

p

omiaro

w

e

M

M

U

w

U

p

x

1

x

m

y

1

UKŁAD LOGICZNY

x

m

y

2

w

l

w

1

M

M

OPERATOR

Z obiektem sterowania związane są:

Z obiektem sterowania związane są:
− urządzenia służące do pomiaru i przetwarzania danych o stanie obiektu
(x1, x2, …, xm) – sensory,
− urządzenia służące do przetwarzania i wzmacniania sygnałów

urządzenia służące do przetwarzania i wzmacniania sygnałów

wykonawczych (y1, y2, …, yn) – aktory,
− wielkości zakłócające proces (z1, z2, …, zk ).

Prawa algebry logiki

Dwuelementowa algebra Boole’a jest aksjomatyczną teorią funkcji
j d

t

j

ji i

t

j k i k ji

lt

t

i d ó h

jednoargumentowej negacji i n-argumentowej koniunkcji oraz alternatywy i dwóch
wartości 0; 1. Definicję negacji funkcji jednoargumentowej oraz koniunkcji
(iloczynu logicznego) i alternatywy (sumy logicznej) funkcji dwuargumentowej
przedstawiono w tabeli 1 a b c

a)

b)

c)

x

y

=

2

1

x

x

y

=

2

1

x

x

y

+

=

przedstawiono w tabeli 1.a, b, c.

1

x

y

1

x

2

x

y

1

x

2

x

y

0 1

0

0

0 0

0

0

1

0

0

1

0

0

1

1

1

0

0

1

0

0

1

1

1

0

0

1

0

1

1

1

1

1

1

1

Kolejność wykonywania działań, gdy wyrażenie nie zawiera nawiasów, jest
następująca: negacja, koniunkcja, alternatywa. Z definicji wyżej wymienionych
działań wynikają następujące zależności:

Prawa algebry logiki

0

Podstawowe prawa algebry Boole’a są następujące:
− prawa przemienności

0

0

1

1

1

0

=

⋅

=

⋅

=

+

=

+

=

+

=

+

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

1

2

2

1

1

2

2

1

x

x

x

x

x

x

x

x

⋅

=

⋅

+

=

+

− prawa łączności

0

1

=

⋅

=

⋅

x

x

x

x

3

2

1

3

2

1

3

2

1

3

2

1

3

2

1

3

2

1

)

(

)

(

)

(

)

(

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

=

=

+

+

=

+

+

=

+

+

− prawa de Morgana

p

g

3

2

1

3

2

1

3

2

1

3

2

1

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

+

+

=

=

+

+

− prawo podwójnego zaprzeczenia

x

x

=

− reguły sklejania

(

)(

)

,

,

1

2

1

2

1

1

2

1

2

1

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

=

+

=

+

+

,

,

2

1

2

1

1

2

1

2

1

1

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

+

=

+

+

=

+

Tworzenie funkcji logicznej

Postać normalna sumy tworzona jest na podstawie wszystkich wierszy tabeli zależności,
w których funkcja logiczna przyjmuje wartość 1. Poszczególne składniki tej sumy są
iloczynami wszystkich zmiennych wejściowych, przy czym zmienne posiadające w danym

oc y

ws ys

c

e

yc wejśc owyc , p y c y

e

e pos d jące w d y

wierszu wartość 0 pisane są ze znakiem negacji, natomiast posiadające wartość 1 – bez
znaku negacji.

Postać normalna iloczynu tworzona jest na podstawie wszystkich wierszy tabeli zależności,
w których funkcja logiczna przyjmuje wartość 0. Poszczególne czynniki tego iloczynu są
sumą wszystkich zmiennych wejściowych, przy czym zmienne posiadające w danym
wierszu wartość 0 pisane są bez znaku negacji, natomiast posiadające wartość 1 – ze
znakiem negacji.

Postać normalna iloczynu i postać normalna sumy są równoważne.

Przykład rozwiązania

Lp.

1

x

2

x

3

x

y

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1 0 0 1 0
2 0 1 0 0
3 0 1 1 1
4

1

0

0

0

5 1 0 1 1
6 1 1 0 1
7

1

1

1

1

7

1

1

1

1

Zgodnie z wyżej podanymi zasadami:
−

normalna zupełna postać alternatywna (sumy)

normalna zupełna postać alternatywna (sumy)

(a)

−

normalna zupełna postać koniunkcyjna (iloczynu)

3

2

1

3

2

1

3

2

1

3

2

1

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

y

+

+

+

=

normalna zupełna postać koniunkcyjna (iloczynu)

(b)

)

)(

)(

)(

(

3

2

1

3

2

1

3

2

1

3

2

1

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

y

+

+

+

+

+

+

+

+

=

Minimalizacja funkcji logicznych

Minimalizacja funkcji logicznych

metodą Karnaugha

ą

g

c)

a)

x

2

x

1

0

1

x

3

x

4

x

1

x

2

00

01

11

10

b)

0

1

x

2

x

3

00

01

11

01

00

01

11

x

1

00

01

11

01

0

1

10

-

d)

x

3

x

4

x

5

x

1

x

2

000

001

011

010

110

111

100

101

00

01

11

10

10

Tabele Karnaugha dla dla funkcji 2-, 3-, 4- i 5-cio argumentowych

Zadanie do rozwiązania

lp.

1

x

2

x

3

x

y

0 0 0 0 0
1 0 0 1 1
2 0 1 0 1
3

0

1

1

1

3

0

1

1

1

4 1 0 0 0
5 1 0 1 0
6

1

1

0

1

7 1 1 1 1

Wyznaczyć postacie minimalne (alternatywną i koniunkcyjną) funkcji logicznej określonej

Wyznaczyć postacie minimalne (alternatywną i koniunkcyjną) funkcji logicznej określonej
za pomocą powyższej tabeli metodą tabel Karnaugha.

Metoda Quine’a McCluskeya

Metoda ta stosowana jest dla układów, które posiadają więcej niż
5 sygnałów wejściowych.

Metoda Quine’a Mc Cluskeya jest zazwyczaj wykorzystywana

y j

y

j y

y y

podczas komputerowo wspomaganej minimalizacji, ponieważ
oparta jest na dużej ilości stosunkowo prostych i powtarzalnych
kroków, polegających na porównywaniu ciągu znaków, które
można zapisać w postaci pętli.

Sygnał jest kształtowany zgodnie z określonym wcześniej przez
projektanta algorytmem.

O i

t d Q i ’ M Cl k

Opis metody Quine’a Mc Cluskeya

Pierwszy krok podstawowej jej wersji polega na wypisaniu (w postaci kolumnowej
ciągów zero-jedynkowych) wszystkich wartości składników postaci kanonicznej
sumy. Następnie porządkuje się tę kolumnę, dzieląc ją na grupy o jednakowej
liczbie jedynek w wierszu.

M t d Q i ’ M Cl k

d

Metoda Quine’a Mc Cluskeya - cd

01009
01019

01009
-----

010-
----

1- 1 -

01019
01119
11119
11109

-----
01019
10109
-----

----
01-1
1-109
101-9

10119
10109

01119
11109
10119
-----

----
-111
111-9
1-119

-----
11119

1-119

Wiersze różniące się w jednym tylko miejscu skleja się, tworząc następną kolumnę, przy
czym sklejenie np. 010 z 011 daje 01-. Kreska (lub znak x) oznacza, że argument

y

j

p

j

(

)

,

g

odpowiadający tej pozycji nie wchodzi do zapisu. Wynik ten zapisywany jest w kolejnej
kolumnie. Uprzedni podział na grupy upraszcza wyszukiwanie wyrażeń sąsiednich, gdyż
wiadomo, że muszą one należeć do dwóch różnych kolejnych grup. Sklejone wyrażenia

i

b

dk ślić f kt ż

t

t

j k l

i

oznacza się, aby podkreślić fakt, że są one reprezentowane w następnej kolumnie.

M t d Q i ’ M Cl k

d

Metoda Quine’a Mc Cluskeya - cd

Tabela implikantów do wyznaczenia postaci minimalnej

0100

0101

0111

1111

1110

1011

101

p

y

p

j

funkcji logicznej

0

010-

×

×

01-1

×

×

111

×

×

-111

×

×

1-1-

×

×

×

×

1 1

R li

j f k ji l i

j

Realizacja funkcji logicznej

x

y

Tabela zależności

Nazwa funkcji

Symbol graficzny

Negacja

NOT

1

0

y

0

1

x

x

2

x

1

y

x

y =

Koniunkcja

AND

2

1

x

x

y =

1

0

y

0

0

0

1

1

x

1

0

0

0

1

y

0

1

0

1

x

2

Negacja koniunkcji

NAND

2

1

x

x

y =

x

2

x

1

y

0

0

0

1

1

x

1

1

1

1

0

y

0

1

0

1

x

2

0

0

0

1

y

x

2

x

1

y

Alternatywa

OR

2

1

x

x

y

+

=

0

0

0

1

1

x

1

0

1

1

1

y

0

1

0

1

x

2

Negacja alternatywy

NOR

2

1

x

x

y

+

=

x

2

x

1

y

0

0

0

1

1

x

1

1

0

0

0

y

0

1

0

1

x

2

Nierównoważność

EXOR

2

1

2

1

x

x

x

x

y

+

=

x

2

x

1

y

0

0

0

1

1

x

1

0

1

1

0

y

0

1

0

1

x

2

Realizacja funkcji logicznej - cd

a)

x

x

y

=

x

x

1

2

1

x

x

y

+

=

x

2

x

x

y

=

x

1

x

x

y

=

b)

0

x

x

y

x

2

2

1

x

x

y

=

b)

x

x

y

=

x

2

x

1

x

1

2

1

x

x

y

+

=

1

x

x

y

=

x

2

2

1

x

x

y

=

x

1

x

2

Realizacja funkcji logicznych negacji, alternatywy i koniunkcji za pomocą elementów

a) NOR, b) NAND

Realizacja funkcji logicznej - cd

Do realizacji funkcji logicznych (schematów tych funkcji) stosowane są elementy:

Do realizacji funkcji logicznych (schematów tych funkcji) stosowane są elementy:
elektroniczne (tranzystory), elektryczne (przekaźniki), pneumatyczne (zawory
rozdzielające) i inne. W przeszłości (przed pojawieniem się sterowników) wiele
firm na świecie projektowało systemy funkcjonalnie pełne elementów logicznych

firm na świecie projektowało systemy funkcjonalnie pełne elementów logicznych,
a układy sterowania realizowano przy użyciu tych elementów. Obecnie układy
sterujące realizowane są w sterownikach dzięki opracowywanym programom.
Tym niemniej w przemyśle maszynowym układy sterowania, realizujące

y

j

p

y

y

y

y

,

ją

określone funkcje logiczne, budowane są z elementów pneumatycznych
rozdzielających (zawory rozdzielające), sterujących kierunkiem przepływu
powietrza.

Realizacja funkcji logicznej - cd

Znaczenie symboli na elementach pneumatycznych:
A, B, C, ... – przyłącza robocze (wyjściowe) ,
P

il i

i t

t ść

ł

ó

1

P

– zasilanie powietrzem – wartość sygnału równa 1,

R, S, T, ... – odpowietrzenie – wartość sygnału równa 0,
X, Y, Z, ... – przyłącza sterujące (wejściowe).

A

Zawór rozdzielający dwupołożeniowy

P

ją y

p

y

(dwa pola) dwudrogowy normalnie zamknięty

sterowany z jednej strony sprężyną

z drugiej strony sygnałem ciśnieniowym

(wzrost ciśnienia)

B

Zawór rozdzielający dwupołożeniowy

X

Z

P

R

ją y

p

y

trzydrogowy normalnie otwarty sterowany

z jednej strony sprężyną z drugiej strony

sygnałem elektrycznym

A

B

Zawór rozdzielający dwupołożeniowy

Z

A

P

Y

R

B

X

Zawór rozdzielający dwupołożeniowy

czterodrogowy normalnie zamknięty

sterowany obustronnie sygnałem

ciśnieniowym (wzrost ciśnienia)

Zawór rozdzielający dwupołożeniowy

A

B

Zawór rozdzielający dwupołożeniowy

pięciodrogowy sterowany z jednej strony

przyciskiem z drugiej strony sygnałem

elektrycznym

R P S

A

B

Z

Realizacja funkcji logicznej - cd

A

B

Zawór rozdzielający trzypołożeniowy

t

d

ł ż i ś dk

P

T

X

czterodrogowy w położeniu środkowym

zamknięty, obustronnie sterowany sygnałem

ciśnieniowym (spadek ciśnienia)

Y

Zawór podwójnego sygnału

(koniunkcji A = X Y)

A

Y

X

Zawór przełącznik biegu

(alternatywy A = X + Y

A

Y

X

Realizacja funkcji logicznej

Realizacja funkcji logicznej -

przykłady

x

y

y

x

a) y = x

x

y

x

y

y

x

b) y = x

x

y

c) y = x

1

+ x

2

x

1

x

2

y

x

2

x

1

y

y

d) y = x

1

x

2

x

2

x

1

x

2

y

y

x

2

x

1

y

x

1

x

2

x

1

y

Realizacja funkcji logicznej

Realizacja funkcji logicznej -

przykłady

p y

y

e) y = x

1

+ x

2

x

2

x

1

y

x

1

y

f) y = x

1

x

2

+ x

1

x

2

x

2

x

1

x

1

+ x

2

y

x

2

x

1

y

x

2

x

1

+ x

2

.

Dziękuję za uwagę

Dziękuję za uwagę