E. Michlowicz: IMiU – W03: Modelowanie układów dynamicznych

1

WYKŁAD 3

MODELOWANIE UKŁADÓW DYNAMICZNYCH

MODEL WCIĄGARKI PRZEJEZDNEJ

1. Ogólne zasady modelowania układów dynamicznych

Układ rzeczywisty to obiekt techniczny istniejący w rzeczywistości lub w

postaci projektu technicznego. Badanie własności dynamicznych układu
rzeczywistego realizujemy w sposób doświadczalny lub teoretyczny.

Pierwszy z tych sposobów można zastosować jedynie do obiektu

istniejącego w rzeczywistości, np. w postaci prototypu. Sposób teoretyczny
jest bardziej uniwersalny. Umożliwia on określenie i optymalizację własności
dynamicznych obiektu już na etapie jego konstruowania. Badania
doświadczalne

przeprowadza

się

w

warunkach

rzeczywistych

lub

laboratoryjnych,

tzn.

w

warunkach

stworzonych

sztucznie

przez

eksperymentatora. Badania teoretyczne natomiast wymagają stworzenia
pewnego modelu myślowego, nazywanego modelem obliczeniowym, a
następnie opisu jego własności równaniami ruchu.

Opis matematyczny obiektu jako zbiór formuł opisujących

zachodzące w nim procesy dynamiczne nazywamy modelem matematycznym
obiektu.

Układ rzeczywisty można analizować według różnych kryteriów i

zjawisk. Dla każdego obiektu można również opracować nowe modele
matematyczne, zależnie od przyjętego sposobu opisu ruchu, pewnych założeń
i uproszczeń natury matematycznej itp. Najistotniejszymi kryteriami przy
doborze modelu jest uwzględnienie tych właściwości układu rzeczywistego,
które w rozważanym przypadku mają decydujący wpływ na analizowane
zjawisko.

Opracowanie

modelu

polega

na

przyjęciu

szeregu

założeń

upraszczających, które ułatwiają opis matematyczny i analizę procesów
dynamicznych zachodzących w danym obiekcie. Wnikliwość, z jaką
wprowadzone są te uproszczenia, ma zasadniczy wpływ na uzyskane wyniki
analizy. Przyjęcie zbyt dużych uproszczeń może spowodować pominięcie
istotnych cech układu rzeczywistego, natomiast nadmierna złożoność modelu
prowadzi zazwyczaj do skomplikowanego opisu matematycznego. Na obecnym
etapie rozwoju wiedzy nie ma ścisłych i jednoznacznych metod tworzenia
modeli obliczeniowych. Proces ten opiera się w dużej mierze na intuicji i
doświadczeniu inżynierskim.

Najczęściej stosowane przybliżenia, które są przydatne w modelowaniu

obiektów:

a) zastępowanie parametrów rozłożonych parametrami skupionymi,
b) uproszczenie kształtu geometrycznego obiektu,
c) pomijanie mało istotnych oddziaływań zewnętrznych,
d) założenie

jednorodności

materiału

poszczególnych

elementów

rozpatrywanego układu,

E. Michlowicz: IMiU – W03: Modelowanie układów dynamicznych

2

e) pomijanie odkształcalności lub masy niektórych wielkości fizycznych

badanego obiektu,

f) przyjęcie liniowych charakterystyk niektórych wielkości fizycznych

badanego obiektu,

g) założenie, że własności fizyczne układu są niezmienne w czasie,
h) zastępowanie procesów stochastycznych w układzie rzeczywistym

procesami deterministycznymi w jego modelu.

2. Modelowanie wg zasady d’Alamberta:

Układ znajduje się w stanie równowagi dynamicznej, jeśli dla
dowolnego elementu bezwładnego – związanego z sąsiednimi

elementami układu poprzez więzy (sprężyste, z tłumieniem) – suma
wszystkich

sił

uogólnionych:

zewnętrznych,

masowych

i

przenoszonych przez więzy wynosi zero.

Model d’Alamberta

Rys. 1. Schemat obciążenia elementu z więzami

gdzie:
M

sn

lub S

sn

– moment lub siła sprężystości w więzi n,

M

tn

lub S

tn

– moment lub siła tłumienia w więzi n,

M

n

lub S

n

– moment lub siła wymuszająca ruch (zewnętrzna) elementu n,

M

bn

lub S

bn

– moment lub siła bierna (oporu) elementu n,

Element

„n”

I

n

(m

n

)

k

n-1

k

n

h

n-1

h

n

M

sn-1

(S

sn-1

)

M

n

(S

n

)

M

tn-1

(S

n-1

)

M

s

(S

sn

)

M

tn

(S

tn

)

M

bn

(S

bn

)

M

bn

+ M

sn

+ M

tn

- M

sn-1

- M

tn-1

– M

n

= 0

E. Michlowicz: IMiU – W03: Modelowanie układów dynamicznych

3

k

n

– współczynnik sprężystości (sztywności) więzi n,

h

n

– współczynnik tłumienia (wiskotycznego) więzi n.

3. Równania ruchu

Układanie równań ruchu w przypadku układów mechanicznych najlepiej

rozpocząć od zasady Hamiltona.

Zasada Hamiltona dla układu zachowawczego:

całka



2

1

t

t

Ldt

przyjmuje wartość ekstremalną

Funkcja L jest nazwana funkcją Lagrange’a i reprezentuje nadwyżkę

energii kinetycznej nad potencjalną.

p

k

E

E

L





Przykładowo:



Masa skupiona o stałym momencie bezwładności I porusza się

ruchem obrotowym:

E

k

= I q

2

/ 2 = I ω

2

/ 2



Energia potencjalna jest całką momentu czynnego M

c

na

elementarnym przesunięciu obrotowym dα :

E

p

=

∫

M

c

dα

Po obliczeniu wariacji całki względem kolejnych zmiennych (współrzędnych

uogólnionych) otrzymuje się równania Lagrange’a drugiego rodzaju:
dla układu zachowawczego –
tj. układu bez strat i bez wymuszenia zewnętrznego:

0

)

(













j

j

q

L

q

L

dt

d



dla układu niezachowawczego –
tj. układu ze stratami i z wymuszeniem:

j

j

j

j

Q

q

R

q

L

q

L

dt

d























)

(

gdzie:



j = 1…k; przy czym k jest liczbą stopni swobody;



q

j

– współrzędna uogólniona;



funkcja strat

)

(

j

q

f

R







funkcja wymuszeń

)

,

,

(

t

q

q

f

Q

j





Układy rzeczywiste są układami niezachowawczymi.
Po odpowiednich podstawieniach (do równania Lagrange’a) i zróżniczkowaniu
otrzymujemy równanie ruchu:

2

2







d

dI

dt

d

I

M

M

M

obc

s

d









E. Michlowicz: IMiU – W03: Modelowanie układów dynamicznych

4

4. Moment dynamiczny i stany nieustalone

Moment dynamiczny jest różnicą pomiędzy momentem silnika

(wymuszeniem zewnętrznym) a momentem oporu (obciążeniem); I = const.

dt

ω

d

I

M

M

M

obc

s

d







Układ znajduje się w stanie równowagi,
Gdy: M

d

= 0, tj. dla M

s

= M

obc

.

Stan równowagi dynamicznej jest punktem pracy układu napędowego. Na
wykresie statycznej charakterystyki mechanicznej silnika jest to punkt
przecięcia się charakterystyki silnika z charakterystyką obciążenia
(rys.2.).

Rys.2. Punkt pracy układu napędowego

Zmiana wartości obciążenia lub siły elektromotorycznej silnika powoduje

zmianę momentu dynamicznego oraz prędkości ruchu.

Zakłócenie równowagi ruchu napędu nazywamy stanem nieustalonym,

który trwa aż do osiągnięcia nowej stałej prędkości ruchu układu napędowego.

Stabilność układu to skłonność powracania do warunków równowagi

statycznej gdy zostanie z nich wytrącony.

5. Więzy sprężyste

Więzy sprężyste charakteryzuje współczynnik sztywności k określony jako

wartość siły potrzebnej dla jednostkowego przesunięcia jednego końca więzów
względem drugiego.

Dla przesunięcia prostoliniowego wartość tego współczynnika można

wyznaczyć ze wzoru:

l

EQ

l

F

k

r







gdzie:
F - siła rozciągająca więzy [N],

M

M

obc



p



Charakterystyka
momentu silnika Ms

P unkt pracy

Charakterystyka
momentu obciążenia

E. Michlowicz: IMiU – W03: Modelowanie układów dynamicznych

5

Δl - wydłużenie liniowe [m],
E - moduł sprężystości Younga [N/m

2

],

Q - przekrój poprzeczny [m

2

],

l - długość więzi [m].
Dla przesunięcia obrotowego współczynnik sztywności jest równy:

l

d

G

M

k

s

32

4











gdzie:
M - moment skracający więzy [Nm],
Δα - skręcenie więzi [rad],
G - moduł sprężystości poprzecznej [N/m

2

],

d - średnica więzi [m].

cz. 2. MODEL WCIĄGARKI PRZEJEZDNEJ

Przy badaniu dynamiki wciągarki przejezdnej (rys. 3) przyjęto następujące
uproszczenia:

a) dyskretyzacja układu, tzn. masy układu są skupione w punktach

materialnych,

b) więzy odkształcają się w granicach sprężystości i nie posiadają

bezwładności,

c) siły i momenty sił działających w układzie przyłożone są do mas

skupionych,

d) straty energii towarzyszące odkształceniom są skutkiem tłumienia

wiskotycznego.

Redukcja sił, momentów sił, mas i momentów bezwładności jest konieczna i
polega

na

zastąpieniu

modelu

rzeczywistego

wciągarki

modelem

uproszczonym, który znacznie ułatwia obliczenia.
Poszczególne elementy modelu charakteryzowane są przez:
- przemieszczenie, prędkość i przyspieszenie (ruchu),
- bezwładność (zastępcza masa lub moment bezwładności),
- zredukowaną siłę lub moment siły przyłożony do elementu.

Rys. 3. Model wciągarki

E. Michlowicz: IMiU – W03: Modelowanie układów dynamicznych

6

1.Redukcja więzów sprężystych

W przypadku gdy więzy składają się z szeregowo połączonych części o
różnych współczynnikach sztywności k

1

i k

2

, w obliczeniach można je zastąpić

więzami zastępczymi, których całkowite odkształcenie jest równe sumie
odkształceń więzów składowych.

Dla więzów skręcanych będzie to:



=



1

+



2

=



















2

1

2

1

1

1

k

k

M

k

M

k

M

;

skręcanie więzów zastępczych charakteryzuje



=

z

k

M

,

stąd ich współczynnik sztywności jest następujący:

......

1

1

1

2

1







k

k

k

z

Gdy elementy układu połączone są dwoma równoległymi więzami
odkształcenia obu więzów są jednakowe:



=



1

=



2

.

Jednak moment przenoszony przez więzy rozkłada się na obie więzi, to:
M = M

1

= M

2

zależnie od sztywności każdej z nich M

i

= k

i



,

zatem:

k

z



= k

1



+ k

2



a stąd otrzymujemy:

k

z

= k

1

+ k

2

Układ szeregowo połączonych więzów poruszających się z różnymi
prędkościami (np. poprzez przekładnie zębatą), może być zastąpiony poprzez
więzy zastępcze mające współczynnik sztywności k

z

-

gdy więzy poruszają się z prędkością kątową silnika:

2

2

1

1

1

k

i

k

k

z





,

-

gdy więzy poruszają się z prędkością kątową elementu roboczego:

2

1

2

1

1

1

k

k

i

k

z





,

gdzie: i - jest przełożeniem między elementami napędu.

2. Model 2-masowy (wciągarki przejezdnej)

Podczas rozpatrywania skutków oddziaływania podnoszonego ciężaru na

ustrój nośny wciągarki, wielomasowy układ podtrzymujący może być
zastąpiony odpowiednio dobranym modelem masowym o zmniejszonej liczbie
elementów składowych. Rysunek 4 przedstawia model fizyczny mechanizmu
podnoszenia sprowadzony do układu dwóch mas zredukowanych połączonych
ze sobą elementem sprężysto – tłumiącym. Masa m

1

jest to masa

zredukowana na wał wolnoobrotowy reduktora, która zastępuje momenty
bezwładności elementów obrotowych: wirnika silnika, sprzęgieł, bębna
hamulcowego, kół zębatych i bębna z nawiniętą liną. Masa m

2

jest to masa

E. Michlowicz: IMiU – W03: Modelowanie układów dynamicznych

7

zredukowana zastępująca masę ładunku zawieszonego na linie oraz masę
zblocza.

W mechanizmie jazdy elementy wykonują ruch obrotowy zarówno od strony
napędowej (wał silnika, sprzęgło hamulcowe, koła zębate) jak i od strony
napędzanej (sprzęgła zębate koła jezdne). Dlatego model fizyczny
mechanizmu (rys. 5.) sprowadzono do modelu dwóch mas poruszających się
względem siebie ruchem obrotowym.

Rys. 5. Mechanizm jazdy sprowadzony do modelu obrotowego

M

1

,M

2

- momenty czynne i bierne, I

1

,I

2

– momenty bezwładności, k – zastępczy

współczynnik sztywności wałów napędzających koła jezdne h – zastępczy współczynnik
tłumienia w wałach napędzających koła jezdne.

Równania ruchu mas w modelach dwumasowych wyprowadzono posługując się

równaniami Lagrange’a II rodzaju dla układu niezachowawczego tj. układu ze

stratami i wymuszeniami.

j

j

j

j

Q

q

R

q

L

q

L

dt

d







































gdzie:

L = E

k

- E

p

=f (

t

q

q

j

j

,

,



) jest funkcją Lagrange’a,

E

k

– jest energią kinetyczną,

E

p

- jest energią potencjalną,

R = f (



j

q

) – jest funkcją strat,

Rys.4. Model obliczeniowy

mechanizmu podnoszenia
sprowadzony do układu dwóch mas

zredukowanych,

k – zredukowana sztywność liny
zastępczej,
h – zredukowany współczynnik
tłumienia liny,
S

1

, S

2

– siły zastępcze

.

E. Michlowicz: IMiU – W03: Modelowanie układów dynamicznych

8

















t

q

q

f

Q

j

j

j

,

,

- jest funkcją wymuszenia,

q

i

– jest współrzędną uogólnioną, a wskaźnik j = 1,...,k

przy czym k jest liczbą stopni swobody układu.

3. Równania ruchu dla mechanizmów wciągarki

Mechanizm podnoszenia:
Układ mechanizmu podnoszenia (rys.6.) ma dwa stopnie swobody i opisany
jest dwoma równaniami:















 

















2

1

2

1

1

1

1

x

x

h

x

x

k

S

x

m















 



















2

1

2

1

2

2

2

x

x

h

x

x

k

S

x

m

Rys. 6. Model obliczeniowy mechanizmu podnoszenia sprowadzony do układu

dwóch mas zredukowanych, k – zredukowana sztywność liny zastępczej, h –
zredukowany współczynnik tłumienia, S

1

,S

2

– siły zastępcze.

Mechanizmu jazdy:
Układ mechanizmu jazdy, układ dwumasowy (rys.7.) z więzami sprężystymi
ma dwa stopnie swobody i opisany jest dwoma równaniami:



 



2

1

2

1

2

2

2

























h

k

M

I

Rys. 7. Model dwumasowy mechanizmu jazdy wciągarki sprowadzony do
modelu obrotowego,

k –zastępczy współczynnik sztywności wałów napędzających

koła jezdne, M

1

,M

2

– momenty czynne i bierne, I

1

,I

2

– momenty bezwładności, h –

zastępczy współczynnik tłumienia w wałach napędzających koła jezdne.



 



2

1

2

1

1

1

1

























h

k

M

I