Modelowanie układów mechatronicznych w środowiskach obliczeniowych

WYKŁAD

Opracowali z notatek

Piotr Zamorski

Piotr Papaj

WYKŁAD 1

Modelowanie ma na celu przeprowadzenie symulacji na układach dynamicznych.

Układy dynamiczne – są układami w których wielkości opisujące te układy ulegają chwilowym
zmianom. Wielkość jest cechą , którą można wyrazić jednostkowo i wyznaczyć ilościowo.

Symulacja – eksperyment numeryczny prowadzony na pewnego rodzaju modelu – matematycznym ,
informatycznym, lub rzeczywistym, celem określenia znaczenia zmian wartości parametrów lub
wartości zmiennych objaśniających dla wartości zmian prognozowanych.

Do przeprowadzenia symulacji zazwyczaj konieczne jest zbudowanie modelu matematycznego
symulowanego obiektu . Symulacja zastępuje wykonanie eksperymentu na badanym obiekcie.

Model

„Taki dający się pomyśleć lub materialnie zrealizować układ, który odzwierciedlając lub

odtwarzając przedmiot badania zdolny jest zastępować go tak, że jego badanie dostarcza nam nowej
wiedzy o przedmiocie.”
Model to zatem teoretyczny opis badania obiektów , który charakteryzuje się cechami
- jest pewnym uproszczeniem , idealizacją rzeczywistości
- jest w sensie pewnego kryterium zbieżny z rzeczywistością
- jest na tyle prosty, że możliwa jest jego analiza dostępnymi metodami obliczeniowymi
- jego analiza dostarcza nam nowej informacji o obiekcie badań

Modelowanie zjawisk i procesów dynamicznych może posłużyć :
- próbie zrozumienia istoty procesu w celu predykcji jego przebiegu w wyniku zmiennych warunków
przy różnych wartościach parametrów.
- umożliwia badanie cech jakościowych procesu np. stabilności , sterowalności , obserwowalności ,
które mają ogromne znaczenie przy rozpatrywaniu go w dłuższym przedziale czasu .
- umożliwienie sztywnego sterowania procesem poprzez wpływanie w określony sposób na jego
parametry wewnętrzne .
- zastosowanie modelu w systemie adaptacyjnym zamkniętym wnoszącym zmianę procesu w
kierunku pożądanym przez użytkownika.

Schemat badania własności dynamicznych układu rzeczywistego:

Najczęściej stosowane założenia upraszczające polegają na :
- uproszczeniu kształtu geometrycznego rozpatrywanego układu
- założeniu jednorodności materiału poszczególnych elementów rozpatrywanego układu
- przyjęcie pewnych elementów rozpatrywanego modelu jako brył idealnie sztywnych
- przyjęciu pewnych elementów modelu jako nieważkie
- założeniu liniowych charakterystyk właściwości fizycznych modelu
- założeniu że wielkość parametrów fizycznych układu rzeczywistego są niezmienne w czasie
- pominięcie mało istotnych oddziaływań zewnętrznych między rozpatrywanym układem a
otoczeniem
- pominięcie mało istotnych oddziaływań wewnętrznych między poszczególnymi elementami układu
- zastąpieniu procesów stochastycznych jakie zachodzą w układzie rzeczywistym procesami
zdeterminowanymi.

Symulacja układów dynamicznych

1)

Wyprowadzenie równań dynamiki dla utworzonego modelu fizycznego , implementacja
numeryczna i przeprowadzenie symulacji

2)

Budowa modelu układu rzeczywistego w postaci reprezentacji symbolicznej np. Working
model, SimMechanics (Matlab)

3)

Przeprowadzenie symulacji układu na podstawie modeli 2D, 3D utworzonego w specjalnym
programie np. Inventor, ADAMS

Postać równań ruchu stosowanych podczas badania dynamiki układów:
- układy o stałej konfiguracji – symulacja drgań

 +  +  = 

- układy o zmiennej konfiguracji – symulacja ruchu

 = 
 


  =  =
, ,  +




 



,  


,  = 0

Stopnie swobody modeli układów dyskretnych:
lasyfikacja więzów:
- więzy skleronomiczne
- więzy reonomiczne
- więzy holonomiczne – więzy skleronomiczne + reonomiczne
- więzy nieholonomiczne

UKŁAD RZECZYWISTY

MODEL DYSKRETNY

MODEL FIZYCZNY

MODEL MATEMATYCZNY

PROGRAM KOMPUTEROWY

WYNIKI OBLICZEŃ

DANE DO OBLICZEŃ

Modelowanie fizyczne

Przygotowanie danych do

programu komputerowego

Modelowanie dyskretne

Modelowanie matematyczne

Programowanie

Wykonanie obliczeń

Wykład 2
Równanie ruchu zmiennych zależnych

Sformułowanie polega na rozbiciu układu będącego układem nieswobodnym na układ składający się z
członów swobodnych: Dla którego równania ruchu mają postać:

=A(p)v
M(p)

 + h(p,v) = f(p, v, t) Są zmiennymi stanu ruchu układu

Współrzędne położenia: p = [ p

1

, … , p

n

]

T

Składowe prędkości: v = [v

1

, … , v

n

]

T

Nałożenie na układ swobodny więzów w miejscu występowania par kinematycznych członów,
powoduje że zmienne stają się zależne, a równanie ruchu układu swobodnego uwzględnia reakcje
więzów w formie mnożników Lagrange’a λ = [λ

1

, … , λ

r

]

T

i zapisuje się w postaci równania ruchu

nieswobodnego:
M(p)

 + h(p, v) = f(p, v, t) + C

T

(p, t)λ

Równanie to uzupełnia się o równanie więzów, odpowiadające liczbie mnożników Lagrange’a

m jako ograniczenia nałożone na prędkości układu:

ɸ (p, t) = 0
C

NH

(p, t)v – η

NH

(p, t) = 0

Ostatecznie równanie ma postać:

=A(p)v
M(p)

 + h(p, v) = f(p, v, t) + C

T

(p, t)λ

ɸ (p, t) = 0
C

NH

(p, t)v – η

NH

(p, t) = 0

Ze względu ma komplikację polegające na wyznaczeniu wartości początkowych dla mnożników
Lagrange’a równania więzów zastępuje się ich różniczką względem czasu, czyli więzami
kinematycznymi II rzędu, wyróżniających m ograniczej nakładanych na przyspieszenie układu.
Równanie ruchu będące równaniami różniczkowymi-algebraicznymi przyjmują wówczas postać:

=A(p)v
M(p)

 + h(p, v) = f(p, v, t) + C

T

(p, t)λ

C(p, t

 = ξ(p, v, t)

*przy czym p i v realizują warunki równań więzów niższych rzędów

ɸ (p

0

, t

0

) = 0

C(p

0

, t

0

)v

0

- η (p

0

, t

0

) = 0

Eliminacja jawna

Po wyliczeniu kilku przekształceń otrzymamy równanie ruchu w postaci:

=A(p)v
M

 + h = f + C

T

(CM

-1

C

T

)

-1

[ξ - CM

-1

(f - h)]

Uwagi - Wynikiem stosowania jawnej eliminacji mianowników(?) Lagrange’a otrzymujemy 2

n

równań

różniczkowych zwyczajnych względem zmiennych p i v.
Metoda ta jest rzadko wykorzystywana ze względu na skomplikowane działania macierzowe i
problemy podczas wyznaczania mnożników Lagrange’a układów składających się z dużej liczby
członów.
Eliminacja niejawna

Macierzowa reprezentacja równania ruchu:

=A(p)  (*)
 −



0  



λ 

=

 − ℎ

ξ "

Przekształcając równanie powyższe do postaci:

 λ = G

-1

g = g’ (p, v, t) (**)

Równania (*) i n pierwszych równań (**) odpowiadać będzie Z

n

równań różniczkowych zwyczajnych I

stopnia względem p i v a pozostałe m równań (**) mnożnikom λ w zależności od aktualnych
zmiennych stanu ruchu.

Uwagi
Metoda ta jest powszechnie stosowana ze względu na łatwość formułowania równań ruchu i
możliwość automatyzacji tego procesu.

Eliminacja rzutowa

Metoda przedstawiająca geometryczne równania ruchu układu nieswobodnego. Układ nieswobodny,
sprowadza się do punktu materialnego znajdującego się w n-wymiarowej przestrzeni układu, a
dynamicznie równania ruchu układu nieswobodnego przedstawia się wektorowo.
Równanie ruchu układu nieswobodnego, przedstawione w postaci wektorowej:

M(p)v + h(p, v) = f(p, v, t) + C

T

(p, t)λ

↕

b$ = f̅ + r̅

b$ (b = M v +h)
f̅ (f) i r̅ (r = C

T

λ)

Siła dynamiczna zrównoważona na …. równa się sile czynnej i reakcji więzów jest adekwatna z
ograniczeniami nałożonymi przez więzy

b$ = fc* + r̅

Jeżeli siła dynamiczna zrzutowana będzie na kierunek styczny to odpowiadać będzie dynamicznemu
równaniu ruchu. Oswobodzenie więzów od reakcji , równań ruchu ma postać

+

,

$$$ = -

,

*

Podsumowanie :

- Przedstawione metody modelowania układów wieloczłonowych różnią się sposobem otrzymywania
równań ruchu.
- Modelowanie w zmiennych zależnych cechuje się prostotą formułowania równań ruchu a proces
ten można zautomatyzować. Jednakże wynikiem tego są duże wymiary generowanych równań ruchu
w postaci równań różniczkowo algebraicznych co znacząco obniża dokładność z powodu dużego
wymiaru równań. Mogą także wystąpić nałożenia więzów, co powoduje zastosowanie dodatkowych
algorytmów w celu ich niwelowania. Ostatecznie po wybraniu odpowiedniej metody eliminacji
mnożników, wynikiem modelowania w zmiennych zależnych są równania w postaci równań
różniczkowych zwyczajnych.
- Modelowanie w zmiennych niezależnych jest z założenia uwolnione od reakcji więzów a
otrzymywane równania mają minimalny wymiar. Rozwiązywanie otrzymanych równań ruchu jest
bardziej wydajnie i dokładne niż w przypadku zmiennych zależnych. Jednakże większy wkład pracy
potrzebny jest na etapie modelowania dla każdego układu.

( przykład pominięty ze względu na 3 strony samych popierdolonych wzorów)

WYKŁAD 3

Modelowania układu elektromechanicznego.

M

(t) + (C

v

+ C

g

)

(t) + K

q

(t) = Q

układ mechaniczny

,

,.

L

i

+ R

i

= U → M

el

=

/
0

i

T

,

,1

L

i

układ elektryczny

Gdzie: M, C

v,

K, C

g

, macierze bezwładności, tłumienia, sztywności i efektu żyroskopowego, M

el

–

moment elektromagnetyczny.ω

1

-prędkośc kątowa wirnika.

Postać równań ruchu opisują zjawiska dynamicznego układu
Układy o stałej konfiguracji – symulacja drgań
M

 + C + kq = Q

Układy o zmiennej konfiguracji – symulacja ruchu

 = 
 


  =  =
, ,  +




 



,  


,  = 0

Metody układania dynamicznych równań ruchu:
- metody sił: równanie Newtona, równanie d’Alamberta, prawa Kirchoffa,
- metody energetyczne: równania Lagrange’a II rodzaju, analogie elektromechaniczne

Równanie drgań elektrycznych szeregowego obwodu LRC

Równanie drgań elektrycznych równoległego obwodu LRC

Podobieństwa i analogie

Układ mechaniczny

I elektryczny układ analogii

II elektryczny układ analogii

Siła P

Napięcie U(t)

Prąd I(t)

Przemieszczenie x

Ładunek q

Strumień ψ

Prędkość v

Prąd I

Napięcie U

Masa m

Indukcyjność L

Pojemność C

Współ. tłumienia c

Oporność R

Przewodność 1/R

Sztywność k

Odwro. pojemności 1/C

Odwro. Indukcyjności 1/L

Układ mechaniczny

E

k

=

/
0

mv

2

=

/
0

m

2

2

E

p

= V =

/
0

kx

2

E

d

= D =

/
0

cu

2

=

/
0

c

2

2

I układ analogii elektrycznych

E

k

= E

1e

=

/
0

LI

2

=

/
0

L



2

= W

m

E

p

= V

1e

=

/

03

q

2

= W

e

E

d

= D

1e

=

/
0

RI

2

=

/
0

R



2

II układ analogii elektrycznych

E

k

= E

2e

=

/
0

CU

2

=

/
0

C

4

2

= W

e

E

p

= V

2e

=

/

03

ψ

2

= W

m

E

d

= D

2e

=

/

05

U

2

=

/

05

4

2

Czujnik sejsmiczny

Model matematyczny

Dynamika układów wieloczłonowych z zastosowaniem w badaniach w biomechanice i dynamice
pojazdów.
a) rodzaje współrzędnych - współrzędne kartezjańskie

- współrzędne naturalne

- współrzędne względne

Współrzędne względne – położenie ciała jest określone przez podanie współrzędnej kartezjańskeij
q

i

= [r

T

p

T

]

T

i

= [x y z e

0

e

1

e

2

e

3

]

T

i

Współrzędne zastosowane do opisu układu są zależne od współrzędnej kartezjańskiej
Zalety – mała liczba współczynników i równań więzów

-równania ruchu są równaniami różniczkowymi

Wady – złożone obliczenia

-nieliniowy układ

Współrzędne kartezjańskie – położenie każdego ciała jest określone przez współrzędne kartezjańskie
względem globalnego układu odniesienia
q

i

= [r

T

p

T

]

T

i

= [x y z e

0

e

1

e

2

e

3

]

T

i

Zalety – łatwe wykonywanie obliczeń z wykorzystaniem komputera

- równania ze średnim stopniem złożoności

Wady – duża liczba równań różniczkowych

-duża liczba współrzędnych

Współrzędne naturalne – położenie pojedynczego ciała jest określone przez współrzędną naturalne
będące globalnymi współrzędnymi kartezjańskimi układu punktów oraz wersorów bazowych ciała
Zalety – prosta forma równań

- brak niewygodnych w opisie ruchów obrotowych współrzędnych kątowych

Wady – bardzo duża liczba współrzędnych (?)

- duża liczba ..()

Moment siły względem środka masy :

6

7

8∗

− wersor momentu siły

:

7



– moment siły ϕ względem środka masy

Układy wielu ciał
Co trzeba umieć ! - kąty Eulera, macierz transformacji, kąty bryant, parametry Eulera, przypadki
osobliwości współrzędnych obrotowych,
element tłumiący

Siły działające na układ
- siły skupione
- momenty skupione
-siły generowane przez elementy sprężysto tłumiące
Dla każdej przyłożonej siły niezbędne jest aby zweryfikować

WYKŁAD OSTATNI
Poprzez system mechaniczny rozumiemy układ ciał ( ogniw) z których część z nich lub wszy
mogą się przemieszczać względem siebie

siły względem środka masy : 6

7

8

6

7

8∗

 ;̃

7

=

:

7



>

7

ersor momentu siły

względem środka masy

kąty Eulera, macierz transformacji, kąty bryant, parametry Eulera, przypadki

osobliwości współrzędnych obrotowych, -> siła tłumiąca, rozpoznawanie kształtu, model Hertza,

siły generowane przez elementy sprężysto tłumiące

niezbędne jest aby zweryfikować – idealne współrzędne przyłożonej siły…

rozumiemy układ ciał ( ogniw) z których część z nich lub wszy

mogą się przemieszczać względem siebie

kąty Eulera, macierz transformacji, kąty bryant, parametry Eulera, przypadki

> siła tłumiąca, rozpoznawanie kształtu, model Hertza,

idealne współrzędne przyłożonej siły…

rozumiemy układ ciał ( ogniw) z których część z nich lub wszystkie

Poszczególne systemy mechaniczne mogą znacznie od siebie odbiegać. Przykładem najprostszych z
nich może być zwykłe wahadło , powszechnie wykorzystywany mechanizm czworoboku
przegubowego bądź mechanizm korbowo wodzikowy .


Układ ciał połączonych ruchowo stanowi łańcuch kinematyczny
Łańcuch kinematyczny jest zbiorem członów i par kinematycznych
Wyróżniamy łańcuchy kinematyczne otwarte i zamknięte
Para kinematyczna jest to połączenie ruchowe dwóch członów
Para kinetyczna odbiera część stopni swobody członu przez nią związanych
Pary kinetyczne dzieli się na klasy w zależności od liczby stopni swobody oraz w zależności od tego
jakie rodzaje ruchu.

Przez klasę pary kinetycznej „i” (i=1,2…5) rozumie się liczbę odebranych stopni swobody jednemu
członowi przez współpracujący z nim drugi człon
- klasę pary kinematycznej określamy z zależności i = 6-s gdzie liczba podstawowych stopni swobody
W celu określenia klasy pary kinetycznej należy unieruchomić myślowo jeden z członów tworzących
parę i odliczyć pozostałe drugiemu członowi stopnie swobody.








Jeżeli człony stykają się powierzchniowo ( na rys płaskim wzdłuż linii lub punktowo) to taką parę
nazywamy niższą






Jeżeli stykają się liniowo lub punktowo ( na rys płaskich tylko punktowo lub taką parę nazywamy
wyższą.

Kinetyka łańcuchów otwartych - Współrzędne Hantenbarga Denavita
Zakładamy że z każdą parą obrotową

…..

o numerze i wiąże się lokalny układ współrzędnych x

i

,y

i

,z

i

Oś x

i

przecina prostopadle oś z

i+i

związaną z następną parą

Oś y

i

stanowi dopełnienie osi xi , xi do prawoskrętnego układu współrzędnych.

Układ nieruchomy związany z ostoją oznaczamy x

o

y

o

z

o

Przejście do układu x

i+1

, y

i+1

, z

i+1

do układu x

i

,y

i

z

i

związane jest wtedy zawsze z czterema

przekształceniami elementarnymi wykonywanymi w określonej kolejności

1)

Obrót wokół osi z

i+1

o kąt ϑ tak aby oś x

i+1

..

2)

Przesunięcie równoległe wzdłuż osi z

i+1

o odległość d tak aby os x

i+1

pokryła się z osią x

i

3)

Przesunięcie równoległe wzdłuż osi x

i+1

(x

i

) o odległość l tak aby pokryły się ze sobą początki

obu układów współrzędnych

4)

4) obrót wokół osi x

i+1

(x

i

) o kąt α tak aby oś z

i+1

pokryła się z osią z

i

a oś y

i+1

pokryła się z osią

y

i

4 współrzędne : ϑ, d, l i α nazywa się współrzędnymi Hanterberga Denavita ( współrzędnymi HD)

Tworzenie macierzy przejścia i macierzy orientacji

Zgodnie z wzorem Ƭ= Ƭek…Ƭe2 Ƭe1 macierz przejścia, biorąc pod uwagę 4 opisane wcześniej
przekształcenia będą miały następującą postać : Ƭ=R

x

(α)T(l,0,d)R

z

)ϑ)

Wyznaczając zaś cały otwarty łańcuch kinetyczny współrzędnymi HD

…..

Dla każdych dwóch kolejnych par kinetycznych można zbudować macierz przejścia z układu xp yp zp
związanego z ostatnią parą kinetyczną (ostatnią w danej gałęzi drzewa) do nieruchomego układu.

Przesunięcie równoległe układu współrzędnych
P[x’y’]=T(∆2,

∆@)p[x,y]- warunek przesunięcia równoległego układu.

Trzy liczby tzn. dwie współrzędne oraz jedynkę zastępowane są współrzędnymi jednorodnymi
(homogenicznymi)
Wyprowadzenie współrzędnych jednorodnych , wymaga aby macierz obrotu R została rozszerzona:

A
B = C

DE;B

−;F6B

;F6B

DE;B

0

0

B 0 1

H

W celu uogólnienia powyższych zagadnień na przypadek przestrzenny należy zastosować 4
współrzędne jednorodne x,y,z i 1
Macierz przestrzennego przesunięcia równoległego układu :


∆2, ∆@, ∆I =

J

K

K

L

1

0

0

1

0

0

−∆2

−∆@

0

0

0

0

1

0

−∆I

1 M

N

N

O

Przesunięcie równoległe układu współrzędnych oraz obroty wokół 3 osi układu nazwiemy
przekształceniami elementarnymi

Przekształcenia elementarne można składać Ƭ= Ƭek°…° Ƭe2 ° Ƭe1
Gdzie Ƭ oznacza przekształcenie będące wynikiem złożenia k przekształceń elementarnych
p[x’,y’,z’] = Ƭp[x,y,z] gdzie Ƭ= Ƭ

ek

… Ƭ

e2

, Ƭ

e1

jest macierzą przejścia , będącą iloczynem ( w kolejności

„od tyłu”) macierzy przekształceń elementarnych.
Translacja wektora
Rozpatrzmy wektor, który zaczepiony jest w początku układu xyz, a jego koniec leży w punkcie p.
Aby znaleźć odpowiedni wzór transformujący współrzędne wektorów należy utworzyć macierz
podobną do macierzy przejścia, ale mnożąc ją jedynie macierzą obrotów i pomijając macierz
translacji.

…..

Układy dwuwymiarowe – współrzędne uogólnione q=[ Ф]

Współrzędne bezwzględne q=

C

Ф1

Ф2

Ф3

H

Współrzędne kartezjańskie q=[x

1

,y

1

Ф

1

, x

2

,y

2

Ф

2,

x

3

,y

3

Ф

3

]

Współrzędne
uogólnione

Współrzędne
bezwzględne

Współrzędne
kartezjańskie

Ilość współrzędnych

Minimum

średnia

duża

Ilość wzajemnych zależności
algebraicznych

brak

Otrzymane równania ruchu

trudne

Otrzymanie pochodnych
równań ruchu

trudne

Stopień nieliniowości

brak

Wydajność numeryczna

Wydajna

Komputerowa synteza
równań

trudna

Zadanie programowania liniowego ZPL
ograniczenia są funkcjami liniowymi. W przeciwnym przypadku jest to zadanie programowania
nieliniowego.
- jeżeli funkcje ograniczeń są liniowe a funkcja celu

Metody numeryczne są w stanie znaleźć miejsca zerowe funkcji
metody charakteryzują

…..

Szczegółowa analiza badanego układu jest wstępem do właściwej
systemu. Znajomość stopni swobody mechanizmu może być przydatne w procesie formułowania
równań ruchu.
Często zdarza się, że obrazowe przedstawienie mechanizmu może być mylące. Kilkoro węzłów może
ograniczać układ.

Stopnie swobody układu
- liczba el * 3 stopnie swobody
- liczba par obrotowych * 2 równania
- liczba przesuwnych
- liczba el Uz * 3 równania

brak

Średnia

Duża

trudne

Średnia trudność

Łatwe

trudne

Średnia trudność

Łatwe

brak

Średni

niski

Wydajna

Wydajna

Średnio wydajna

trudna

Relatywnie trudna

łatwa

Zadanie programowania liniowego ZPL – jest to zadanie w którym definiowane się funkcje celi i
ograniczenia są funkcjami liniowymi. W przeciwnym przypadku jest to zadanie programowania

jeżeli funkcje ograniczeń są liniowe a funkcja celu

Metody numeryczne są w stanie znaleźć miejsca zerowe funkcji Ф
x 0. Jednak w zależności od

Szczegółowa analiza badanego układu jest wstępem do właściwej analizy kinetycznej czy dynamicznej
systemu. Znajomość stopni swobody mechanizmu może być przydatne w procesie formułowania

Często zdarza się, że obrazowe przedstawienie mechanizmu może być mylące. Kilkoro węzłów może

= 15 niewiadomych

= 12 niewiadomych

liczba par obrotowych * 2 równania

= 12

=8

=0

=0

= 3 –> 15 równań

= 3 ->11 równań

Brak rozwiązania

1 stopień swobody

Duża

Łatwe
Łatwe

niski
Średnio wydajna
łatwa

jest to zadanie w którym definiowane się funkcje celi i

ograniczenia są funkcjami liniowymi. W przeciwnym przypadku jest to zadanie programowania

. Jednak w zależności od

analizy kinetycznej czy dynamicznej

systemu. Znajomość stopni swobody mechanizmu może być przydatne w procesie formułowania

Często zdarza się, że obrazowe przedstawienie mechanizmu może być mylące. Kilkoro węzłów może

= 12 niewiadomych

>11 równań

1 stopień swobody