Modelowanie

Modelowanie układów dynamiki w pakiecie MATLAB

W pakiecie Matlab modelowanie układów dynamicznych można przeprowadzić na wiele

sposobów. Podstawowymi metodami są:

•

Modelowanie z wykorzystaniem równań różniczkowych opisujących badany układ

(np. równań dynamicznych ruchu)

•

Modelowanie z wykorzystaniem transmitancji.

•

Modelowanie w przestrzeni stanu.

Wszystkie rodzaje modeli są sobie równoważne. Dodatkowo, bazując na metodach podanych

powyżej, możliwe jest modelowanie dynamiki układu, wykorzystując graficzny interfejs

programu MATLAB, tj. SIMULINK’a.

Podstawy teoretyczne

Układ o jednym stopniu swobody.

Dla układu jak na rysunku poniżej, równania dynamiczne ruchu zapisane zostać mogą w

następującej postaci:

(1)

gdzie:

•

M – masa

•

C – tłumienie

•

K – sztywność

•

- przyspieszenie, prędkość przemieszczenie

•

f – siła wymuszająca

•

t – czas.

Rys. 1 Przykład układu o jednym stopniu swobody

f(t)

x(t)

Wykorzystując transformatę Laplace’a, można zalgebraizować powyższe równanie zapisując

je w formie:

(2)

gdzie s jest operatorem Laplace’a.

Równanie to można zapisać wykorzystując pojecie sztywności dynamicznej Z:

(3)

Transmitancję układu wyznaczyć możemy korzystając z zależności:

(4)

czyli

(5)

Podstawiając powyższą zależność do równania opisującego dynamikę układu w dziedzinie

zespolonej(2):

(6)

Powyższa zależność definiuje transmitancję układu.

Licznik transmitancji określa się mianem równania charakterystycznego, a jego rozwiązanie

daje informacje o biegunach układu:

(7)

Korzystając z tej zależności, określić można następujące parametry układu:

Nietłumioną częstość drgań własnych (jeśli w układzie nie ma tłumienia):

(8)

Tłumienie krytyczne (minimalna wartość tłumienia przy której ruch jest periodyczny):

(9)

Stosunek tłumienia:

(10)

Rozwiązaniem równanie w dziedzinie czasu jest zależność:

(11)

W zależności od wartość tłumienia układ można sklasyfikować jako układ z tłumieniem

podkrytycznym (

<1), krytycznym (

=1) lub nadkrytycznym (

>1).

Z punktu widzenia identyfikacji interesującym jest przypadek gdy tłumienie jest

podkrytyczne. Dla tego przypadku rozwiązanie równania charakterystycznego składa się z

dwóch sprzężonych pierwiastków:

(12)

gdzie

jest współczynnikiem tłumienia, a

jest tłumiona częstością drgań własnych.

Inne zależności możliwe do wyznaczenia to:

Układ o dwóch stopniach swobody:

Rys. 2. Układ o dwóch stopniach swobody

Dla układu jak powyżej, równania ruchu można zapisać jako:

(13)

Porządkując współczynniki przy odpowiednich zmiennych, można doprowadzić do zapisu

macierzowego w postaci:

lub inaczej

(14)

gdzie:

•

[M]jest macierzą mas

•

[C] – jest macierzą tłumień

•

[K] – jest macierzą sztywności

•

{f(t)} – jest wektorem sił

•

{x(t)} – jest wektorem odpowiedzi

Zapisując transformatę Lplace’a (zakładając zerowe warunki początkowe):

(15)

Otrzymać możemy macierz sztywności dynamicznej, wyrażoną jako

(16)

Odwracając powyższą zależność otrzymamy macierz transmitancji:

(17)

2. Przykłady.

Sposoby modelowania.

Simulink – graficznie:

Symulacja układu masowo-sprężysto-tłumiącego

Rys. E2-1

Rozpatrzmy układ masowo-sprężysto-tłumiący przedstawiony na rysunku.
Model matematyczny takiego układu opisany jest równaniem:

(2)

gdzie m jest masą układu, c jest współczynnikiem tłumienia oraz k jest
współczynnikiem sztywności. Dodatkowo f(t) jest funkcją wymuszającą układ
w kierunku osi x założonego układu współrzędnych.

W przykładzie pokazane zostanie wykorzystanie Simulinka do symulacji
odpowiedzi układu na wymuszenie sygnałem skoku jednostkowego.

Krok 1

Należy uruchomić Simulinka, utworzyć nowe okno modelu (CTRL+N) oraz za pomocą
myszy przeciągnąć poniższe bloki z okna biblioteki Simulink library:

Bloczki do przeciągnięcia do

nowego okna modelu

Lokalizacja bloczka w bibliotece

Step

Sources

Gain

Math Operation

Sum

Math Operation

Integrator

Continuous

Scope

Sinks

To Workspace

Sinks

Krok 2

Równanie (2) opisujące dynamikę układu należy rozwikłać ze względu na
przyspieszenie i przedstawić w postaci opisanej równaniem (3).

(3)

Bazując na równaniu (3), można zestawić układ blokowy pokazany na rys. E2-2.

Dla przypomnienia: skróty klawiszowe CTRL+F oraz CTRL+R pozwalają na odwracanie
(180°) oraz obracanie zaznaczonego bloczka. Można także użyć przycisku CTRL+prawy
klawisz  myszy  do  wykonania  rozdzielenia  linii  łączącej  bloczki.  Na  tym  etapie  nie
należy  przejmować  się  ustawieniami  parametrów  poszczególnych  bloczków.
Ustawienia  dokonane  zostaną  w  następnym  kroku.  Na  tym  poziomie  konieczne  jest
jedynie poprawne i przejrzyste zdefiniowanie układu i wykonanie połączeń pomiędzy
bloczkami.

Krok 3

W tym kroku należy zadać odpowiednie parametry dla każdego z bloków.
W  tym  przykładzie  należy  ustawić:  m=2.0;  c=0.7;  k=1.  W  dalszej  części
pracy z przykładem możliwe będzie sprawdzenie jak zmiany parametrów
modelu wpływają na otrzymywane charakterystyki układ. Zmiany można
będzie dokonać identycznie jak w tym momencie.
Sygnały będące wynikiem symulacji mogą być nie tylko prezentowane w
formie  wykresów  ale  możliwe  jest  także  ich  dalsze  wykorzystanie.  W
przykładzie  pokazane  jest  użycie  dodatkowego  bloczka  wyjściowego
„simout”.  Element  może  zostać  znaleziony  w  zbiorze  Sinks  group
biblioteki

Simulink

Library

browser.

Wyjście

tego

elementu

przekazywane  jest  bezpośrednio  do  przestrzeni  roboczej  Matlaba.  Dla
pokazania sposobu użycia elementu, należy nazwać parametr wyjściowy
bloczka (przykładowo nadajmy zmiennej wyjściowej taką samą nazwą jak
nazwa  bloczka  „simout”).  Zmianę  tę  można  wykonać  w  okienku
edycyjnym  elementu.  Dostęp  do  niego  jest  uzyskiwany  poprzez
dwukrotne kliknięcie na elemencie w oknie modelu.
Dodatkowo  ustawmy  typ  wynikowej  zmiennej  jako  tablicę  wartości
czasowych uzyskiwanych w trakcie symulacji. Dokonamy tego w okienku
Simulation  Parameter  window  (może  ono  zostać  otwarte  sekwencją
klawiszy  (CTRL+E))  wybierając  zakładkę  Workspace  I/O.  Operację
pokazano na rys. E2-3.

Rys. E2-3

Krok 4

W kolejnym kroku można już uruchomić symulację poprzez kliknięcie

przycisku

(alternatywnie można użyć skrót klawiaturowy CTRL+T ). W

wyniku symulacji uzyskuje się przebieg zaprezentowany na rys. E2-3.

Rys. E2-3

Uzyskanie  przebiegu  odpowiedzi  układ  jest  ostatnim  elementem
symulacji.  Otrzymana  odpowiedź  obrazuje  zachowanie  układu  z
tłumieniem  podkrytycznym.  W  celu  przetestowania  zachowania  obiektu
w innych warunkach, konieczne jest dokonanie zmian parametrów masy,
tłumienia i sprężystości (wartość parametrów wpisanych w bloczkach m,
c lub k).

Zobaczmy teraz jak można wykorzystać dodatkowy blok „simout” użyty w
trakcie symulacji. W oknie poleceń Matlaba wpiszmy polecenie.
>> who

Powoduje  ono  wypisanie  wszystkich  zmiennych  zdefiniowanych  w
przestrzeni  roboczej  Matlaba.  W  wyniku  działania  polecenia  na  ekranie
powinny  zostać  wypisane  m.in.  zmienne  "simout"  oraz  "time".    Zostały
one  utworzone  przez  Simulinka  w  trakcie  wykonywania  przez  niego
symulacji.

Dane  zawarte  w  tych  zmienny  mogą  zostać  użyte  w  klasyczny  sposób
zgodnie  z  możliwościami  jakie  daje  środowisko  Matlab.  Przykładowo
wykorzystajmy  zawartość  uzyskanych  zmiennych  do  pokazania
charakterystyki  czasowej  używając  bezpośrednio    poleceń  środowiska
Matlab.

>>plot(time,simout);grid

Symulacja układu z przykładu 2 lecz zamodelowanego w postaci funkcji przejścia

W  przypadku  modelowania  układu  za  pomocą  funkcji  przejścia  pierwszym  konieczym  do
przeprowadzenia  zadaniem  jest  przekształcenie  równań  dynamicznych  do  postaci  funkcji
przejścia (nazywanej także funkcją transmitancji). Aby tego dokonać równanie ruchu układu
zapisane  w  dziedzinie  czasu  należy  przetransformować  za  pomocą przekształcenia  Laplace'a
do dziedziny transformat. W naszym przypadku równanie w dziedzinie czasu ma postać:

Zakładając zerowe warunki początkowe możemy dokonać transformacji:

( )

′

Funkcja przejścia przybiera w tym przypadku formę:

Mając równanie układu w postaci funkcji transmitancji można przystąpić do pracy w
Simulinku.

Krok 1

Należy uruchomić Simulinka, utworzyć nowe okno modelu (CTRL+N) oraz za pomocą

myszy przeciągnąć poniższe bloki z okna biblioteki Simulink library:

Należy uruchomić Simulinka, utworzyć nowe okno modelu (CTRL+N) oraz za pomocą
myszy przeciągnąć poniższe bloki z okna biblioteki Simulink library:

Bloczki do przeciągnięcia do

nowego okna modelu

Lokalizacja bloczka w bibliotece

Step

Sources

Transfer Function

Continuous

Scope

Sinks

Save File to Workspace

Sinks

Krok 2

Bloczki należy poukładać w oknie modelu np. w sposób przedstawiony na poniższym
rysunku E3-1.

Rys. E3-1
Uwaga: Kolory bloczków można ustawić poprzez kliknięcie prawym przyciskiem myszy
na bloczku oraz wybraniu koloru z menu Background Color.

Krok 3

Wprowadzanie wartości parametrów bloczków.
W  przykładzie  użyte  zostaną  te  same  wartości  parametrów  modelu  m,  c  i  k  co  w
przykładzie  2.  Wartości  tym  razem  należy  wprowadzić  w  oknie  edycyjnym  bloku
Transfer  Fcn  otwartym  poprzez  dwukrotne  kliknięcie  na  bloczek.  Okno  ustawień
pokazane jest na rys. E3-2.

Rys. E3-2

Kliknięcie OK zamknie okno ustawień. W niniejszym przykładzie przedstawiony jest

kolejny blok wyjściowy Save Output To A File. Pozwala on na zapis wyników symulacji
bezpośrednio  do  pliku  dyskowego.  Tym  razem  zestaw  parametrów  jakie  można
ustawić  jest  podobny  do  tego  przedstawionego  w  poprzednim  przykładzie.  Różnica
polega jedynie na dodatkowym polu edycyjnym pozwalającym na wybór nazwy pliku
dyskowego.  Plik  zapisany  na  dysk  w  ten  sposób  ma  typowy  dla  Matlaba  format
binarny.  Pliki  tego  typu  często  nazywane  są  mat-file  z  uwagi  na  rozszerzenie  (.mat).
Użycie  zawartości  takiego  pliku  związane  jest  z  wczytaniem  go  do  Matlaba
poleceniem load NazwPlik. Po tej operacji w przestrzeni roboczej programu znajdują
się wszystkie zmienne zawarte w oryginalnym *.mat pliku.
W przypadku tego konkretnego przykładu mat-plik zostanie zachowany na dysku D: w
katalogu  "temp".  Plik  zostanie  nazwany  "example3out.mat".  Oczywiście  nazwy  i
położenie  pliku  na  dysku  może  być  dowolne.  W  okienku  edycyjnym  bloku  należy
wpisać wszystkie powyższe informacje tzn: nazwę pliku wraz z lokalizacją oraz nazwę
zmiennej  –  w  tym  przypadku  także  "simout".  Wartości  pozostałych  parametrów
można pozostawić niezmienione.

Rys E3-3

Krok 4

W kolejnym kroku można już uruchomić symulację poprzez kliknięcie przycisku
(alternatywnie można użyć skrót klawiaturowy CTRL+T ). W wyniku symulacji uzyskuje
się przebieg zaprezentowany na rys. E3-4.

Rys E3-4

Z porównania przebiegów rys E2-3 oraz rys. E3-4 wynika iż są one identyczne.
Oczywiście nie ma w tym nic dziwnego, obie symulacje dotyczą przecież tego samego
modelu.

Wykorzystanie danych symulacyjnych zachowanych w pliku dyskowym

Aby wykorzystać wyniki smulacji zapisane w postaci pliku należy najpierw dokonać ich
odczytu. Jak zostało to już powiedziane wcześniej odczytu dokonuje się poleceniem:

>> load example3out

Należy zauważyć iż taka postać powyższego polecenia jest poprawna jedynie wtedy
gdy lokalizacja wczytywanego pliku zawarta jest w predefiniowanym zestawie ścieżek
dostępu Matlaba lub w bieżącym katalogu. Jeśli tak nie jest polecenie powinno mieć
pełną formę zawierającą dodatkowo ścieżkę dostepu do pliku (w tym przypadku load

D:/temp/example3out.mat

). Sprawdzenie czy zmienne zostały wczytane poprawnie

wykonane zostanie poleceniem

>> who

Jeśli wszystko przebiegło poprawnie Matlab powinien wyświetlić

Your variables are:

simout

"simout"  jest  w  tym  przypadku  oczekiwaną  przez  nas  macierzą  zawierającą  wyniki
wykonanej  symulacji.  Jej  rozmiar  w  tym  przypadku  to  2  x  m,  gdzie  m  oznacza  liczbę
kolumn i jest równe liczbie punktów na danych wygenerowanych w trakcie przebiegu
symulacji. Pierwszy rząd zawiera informacje o punktach na osi czasu natomiast drugi
odpowiadające  im  wartość.  Po  to  aby  wygenerować  wykres  odpowiedzi  układu  na
wymuszenie krokowe wystarczające jest użycie funkcji plot w odniesieniu do macierzy
"simout". Dla tego przykładu polecenie to będzie miało postać:

>> plot(simout(1,:),simout(2,:));grid

W wyniku jego działania narysowany zostanie przebieg pokazany na rys. E3-5.

Rys. E3-5

Podobny efekt przyniesie symulacja układu z wykorzystaniem funkcji przejścia w trybie

tekstowym:

Definiujemy licznik i mianownik transmitancji jako wektor wartości odpowiadających

kolejnym współczynnikom przy zmiennej s zaczynając od najwyższej jej potęgi:

L = [1]’

M = [2 0.7 1]

Definiujemy funkcje przejścia:

sys = tf(L,M);

badamy podpowiedź układu na:

Skok jednostkowy – step(sys,t), gdzie t oznacza czas symulacji.

Impuls – impulse(sys, t);

Dowolne wymuszenie – lsim(sys, u, t), gdzie u jest wektorem wymuszenia, a t wektorem

czasu.

Przestrzeń stanu.

Rozważmy układ jak na rysunku (fizyczny model np. elastycznego mocowania silnika).

Równania dynamiczne można zapisać następująco

Zdefiniujmy zmienne stanu jako x1(t) oraz x2(t)

Podstawiając za y(t) i y’(t) zastępujemy równanie drugiego rzędu układem równań

pierwszego rzędu.

Równanie wyjść ma postać

W postaci macierzowej równania stanu dla układu możemy zapisać jako

Równanie wyjść:

Schemat blokowy układu przedstawia rysunek

Dla tak wyznaczonego modelu możliwa jest transformacja z opisu za pomocą przestrzeni

stanu do opisu w postaci transmitancji. Służy do tego polecenie:

[num,den] = ss2tf(A,B,C,D)

gdzie num oraz den jest odpowiednio licznikiem i mianownikiem transmitancji. Możliwa jest

również odwrotna transformacja:

[A,B,C,D] = tf2ss(num,den)

Zadania do samodzielnego wykonania.

Zamodeluj w środowisku Matlab układ jak na rysunku 2, przyjmując dowolne parametry

układu (m,c, k). Zasymuluj układ, używając jako wymuszenia:

•

Funkcji harmonicznej

•

Wymuszenia losowego

•

Wymuszenia impulsowego

•

Skoku jednostkowego.

Zamodeluj układ jak na rysunku poniżej, przyjmując dowolne wartości parametrów

mechanicznych. Przeprowadź symulację jak w punkcie 1.