Mechanika

Mechanika
teoretyczna

teoretyczna

1

1

teoretyczna

teoretyczna

Modelowanie układów

Modelowanie układów

Modelowanie budowli

Modelowanie budowli

Określenie stanu pracy konstrukcji

Określenie stanu pracy konstrukcji

(odkształcenia, naprężenia) wymaga

(odkształcenia, naprężenia) wymaga
uproszczenia opisu budowli czyli

uproszczenia opisu budowli czyli

2

2

uproszczenia opisu budowli czyli

uproszczenia opisu budowli czyli
zastosowaniu modeli:

zastosowaniu modeli:

materiału,

materiału,

kształtu,

kształtu,

obciążenia

obciążenia

połączeń i podparcia.

połączeń i podparcia.

Modelowanie materiału

Modelowanie materiału

Niejednolita struktura materiału

Niejednolita struktura materiału
z defektami

z defektami

3

3

Beton

Drewno

Materiał z włóknami

Stal

Modelowanie materiału

Modelowanie materiału

Niejednolita struktura materiału z defektami

Niejednolita struktura materiału z defektami

zastępowana jest ośrodkiem ciągłym, wypełnionym

zastępowana jest ośrodkiem ciągłym, wypełnionym
równomiernie masą, o izotropowym lub anizotropowym

równomiernie masą, o izotropowym lub anizotropowym
rozkładzie własności.

rozkładzie własności.

4

4

rozkładzie własności.

rozkładzie własności.

Ośrodek może być wykonany z materiału traktowanego

Ośrodek może być wykonany z materiału traktowanego

jako:

jako:

••

sprężysty,

sprężysty,

••

sprężysto

sprężysto--plastyczny,

plastyczny,

••

lepko

lepko--sprężysty,

sprężysty,

••

sprężysto

sprężysto--plastyczny z defektami.

plastyczny z defektami.

Modelowanie kształtu

Modelowanie kształtu

5

5

Budynek z cegły

Zbiorniki stalowe na zboże

Połączenie stali,
betonu i szkła

Konstrukcja wsporcza dachu

Modele kształtu

Modele kształtu

pręty

pręty

płyty

płyty

tarcze

tarcze

6

6

tarcze

tarcze

powłoki

powłoki

elementy

elementy

przestrzenne (bryłowe)

przestrzenne (bryłowe)

Konstrukcja prętowa

Konstrukcja powłokowa

Fundament - bryła

Połączenie (węzły)

Połączenie (węzły)
i podparcia

i podparcia

7

7

i podparcia

i podparcia

Możliwość ruchu tarczy

Możliwość ruchu tarczy
sztywnej

sztywnej –

– stopnie swobody

stopnie swobody

Sztywna tarcza poruszaj

ą

ca si

ę

po płaszczy

ź

nie ma 3 mo

ż

liwo

ś

ci ruchu:

• przesuwanie wzdłu

ż

2 niezale

ż

nych kierunków, np.

u

x

,

u

y

• obrót wokół osi prostopadłej do płaszczyzny

ϕ

z

8

8

ϕ

z

u

x

u

y

Mówimy zatem,

ż

e sztywna płaska tarcza ma 3 stopnie swobody

Blokowanie ruchu tarczy

Blokowanie ruchu tarczy
sztywnej

sztywnej

•Unieruchomienie tarczy wymaga wprowadzenia wi

ę

zów, które

zablokuj

ą

mo

ż

liwo

ść

przesuwania i obrotu tarczy. W Mechanice

Budowli wi

ę

zy wprowadzane s

ą

przy pomocy podpór.

•Podpory oddziałuj

ą

na tarcz

ę

i s

ą

siłami biernymi - reakcjami, które

powoduj

ą

zerowanie si

ę

wypadkowej i momentu obracaj

ą

cego a w

konsekwencji uniemo

ż

liwiaj

ą

ruch tarczy po płaszczy

ź

nie.

9

9

•Liczba podpór, ich rodzaj i usytuowanie musi by

ć

tak dobrana aby

odebra

ć

wszystkie stopnie swobody, zatem na płaszczy

ź

nie musimy

wprowadzi

ć

co najmniej 3 wi

ę

zy, które wprowadz

ą

3 reakcje. Kierunki

działania tych reakcji nie mog

ą

przecina

ć

si

ę

w jednym punkcie.

R

y

R

x

R

α

Stopnie swobody

Stopnie swobody

Stopnie swobody: możliwość ruchu ciała niezależnie od

innych ruchów.



Punkt materialny – trzy składowe przesunięcia w trzech

kierunkach w przestrzeni, na płaszczyźnie w dwóch kierunkach



Ciało doskonale sztywne – trzy składowe przesunięcia w

10

10



Ciało doskonale sztywne – trzy składowe przesunięcia w

trzech kierunkach w przestrzeni i trzy składowe wektora obrotu

w przestrzeni, na płaszczyźnie dwie składowe przesunięcia i

obrót o wektorze prostopadłym do płaszczyzny.

Uogólnione przemieszczenia: przemieszczenia liniowe (u,

v, w), kąty obrotu (

ϕ

x

,

ϕ

y

,

ϕ

z

).

Więzy, podpory – blokady uogólnionych przemieszczeń

ograniczające ruch.

Połączenia

Połączenia

Pr

ę

ty mog

ą

by

ć

ł

ą

czone mi

ę

dzy sob

ą

na ró

ż

ne sposoby, tu

przedstawione zostan

ą

dwa najcz

ęś

ciej stosowane:

Poł

ą

czenie przegubowe, które zezwala na

wzajemny obrót pr

ę

tów a nie zezwala na

wzajemne przemieszczenie poł

ą

czonych

11

11

wzajemne przemieszczenie poł

ą

czonych

punktów

Poł

ą

czenie sztywne, które uniemo

ż

liwia

wzajemne obracanie si

ę

, jak i

przemieszczenie poł

ą

czonych pr

ę

tów.

Takie poł

ą

czenie tworzy zatem nowy,

zakrzywiony pr

ę

t

Przeguby

Przeguby

Przegub to poł

ą

czenie elementów pr

ę

towych zrealizowane w sposób, który

umo

ż

liwia swobodny obrót. K

ą

t obrotu (stopie

ń

swobody

ϕ

) nie jest

ograniczony wi

ę

zami wi

ę

c w przegubie nie powstaje moment mog

ą

cy

przeciwdziała

ć

obrotowi.

Moment w przegubie od sił zewnętrznych znajdujących

Moment w przegubie od sił zewnętrznych znajdujących

się po jednej ze stron przegubu równy jest 0.

się po jednej ze stron przegubu równy jest 0.

Przegub walcowy – obrót mo

ż

liwy jest

wokół osi prostopadłej do płaszczyzny xy.

Przegub kulisty – mo

ż

liwy jest obrót wokół

trzech prostopadłych osi

x

y

y

z

x

wokół osi prostopadłej do płaszczyzny xy.

trzech prostopadłych osi

Schematyczne oznaczenie przegubu

Przegub pojedynczy – poł

ą

czenie dwóch pr

ę

tów

Przegub podwójny – poł

ą

czenie trzech pr

ę

tów

Przeguby

Przeguby -- przykłady

przykłady

Poł

ą

czenie mo

ż

na traktowa

ć

jako przegubowe wtedy, gdy:

•

elementy ł

ą

czone maj

ą

mo

ż

liwo

ść

obrotu, np. poł

ą

czenie za pomoc

ą

jednej

ś

ruby, nitu lub sworznia;

•

poł

ą

czenie ma znacznie mniejsz

ą

sztywno

ść

na zginanie ni

ż

ł

ą

czone

elementy;

•

elementy s

ą

poł

ą

czone dokładnie w osi i elementy s

ą

tylko

ś

ciskane lub

•

elementy s

ą

poł

ą

czone dokładnie w osi i elementy s

ą

tylko

ś

ciskane lub

rozci

ą

gane.

Modele podparcia

Modele podparcia

Podparcie punktowe:

Podparcie punktowe:

••

podpory przegubowe, blokujące przesuw,

podpory przegubowe, blokujące przesuw,

••

podpory przesuwne z możliwością ruchu

podpory przesuwne z możliwością ruchu

14

14

w wybranym kierunku,

w wybranym kierunku,

••

zamocowania sztywne.

zamocowania sztywne.

Podparcie rozłożone np. podłoże

Podparcie rozłożone np. podłoże
Winklera.

Winklera.

Rodzaje podpór

Rodzaje podpór

Podpora przegubowa przesuwna

Podpora przegubowa nieprzesuwna

Rodzaje

Rodzaje podpór

podpór --

przykład

przykład

Podpora przegubowa przesuwna

Rodzaje podpór

Rodzaje podpór

Zamocowanie pełne, sztywne

Inne podparcia

Przykłady podparć belek

Przykłady podparć belek

18

18

Przykłady schematów

Przykłady schematów
statycznych

statycznych

19

19

Przykłady schematów

Przykłady schematów
statycznych

statycznych

Płaszcz zbiornika

Blachownica z żebrami

Przykłady schematów

Przykłady schematów
statycznych

statycznych

Modelu mostu łukowego w Puławach

Konstrukcja żurawia

Modele obciążenia

Modele obciążenia

siła skupiona

siła skupiona

moment skupiony (para sił)

moment skupiony (para sił)

obciążenia ciągłe o różnych rozkładach

obciążenia ciągłe o różnych rozkładach

22

22

obciążenia ciągłe o różnych rozkładach

obciążenia ciągłe o różnych rozkładach

temperaturą

temperaturą

obciążeniem geometrycznym

obciążeniem geometrycznym
(wymuszenie przemieszczenia)

(wymuszenie przemieszczenia)

Modele obciążenia

Modele obciążenia

Siła skupiona

Moment skupiony

23

23

Siła skupiona

Obciążenie ciągłe stałe

Obciążenie ciągłe trójkątne

Obciążenia ciągłe

Obciążenia ciągłe

24

24

Przykład modelu

Przykład modelu

Ludzie, stojący na elemencie
zamocowanym po lewej stronie
i opartym po prawej

25

25

Model

Przykład modelu

Przykład modelu

Kratownice płaskie przekrycia
w Leclercu

26

26

Model

Możliwość policzenia

Możliwość policzenia
reakcji

reakcji

27

27

reakcji

reakcji

Równania równowagi

Równania równowagi

Reakcje wraz z obci

ąż

eniami zewn

ę

trznymi zwykle stanowi

ą

dowolny układ sił czyli mo

ż

na zastosowa

ć

nast

ę

puj

ą

cy zestaw

równa

ń

:

Przedstawiony z boku zestaw równa

ń

mo

ż

e by

ć

zast

ą

piony

przez inne równania, np.:

0

X



=





=

∑
∑

przez inne równania, np.:

0

0

0

D

E

Y

M

M



=





=







=



∑
∑
∑

0

0

0

D

C

E

M

M

M



=





=







=



∑
∑
∑

0

0

A

Y

M



=







=



∑
∑

V

A

H

A

V

B

A

B

C

D

E

0

B

M

=

∑

Sprawdzenie

Przy wyborze równa

ń

równowagi

nale

ż

y si

ę

kierowa

ć

prostot

ą

układu

równa

ń

, który musi zosta

ć

rozwi

ą

zany.

Poprawno

ść

wyznaczenia reakcji

sprawdza si

ę

zapisuj

ą

c równanie

równowagi nie wykorzystane w
obliczeniach.

P

Równania równowagi

Równania równowagi

Gdy w konstrukcji zastosowano poł

ą

czenie przegubowe uzyskuje si

ę

dodatkowy

punkt, w którym moment od sił zewn

ę

trznych znajduj

ą

cych si

ę

po jednej ze stron

przegubu musi by

ć

równy 0. Dodatkowe równanie nie mo

ż

e by

ć

zwykł

ą

sum

ą

momentów wszystkich sił wzgl

ę

dem przegubu, ale sum

ą

momentów sił działaj

ą

cych

na układ tylko po jednej stronie przegubu. Ka

ż

dy przegub musi zosta

ć

wykorzystany

co najmniej jeden raz. Je

ż

eli zapisuje si

ę

równania dla obu stron przegubu, to jedno z

tych równa

ń

zast

ę

puje główne równanie równowagi (zwykle sum

ę

momentów

wzgl

ę

dem dowolnego punktu).

0

0

0

x

y

A

P

X

P

Y

M



=

=





=

=







=



∑

∑

∑

∑

∑

0

0

0

A

B

C

M

M

M



=





=







=



∑
∑
∑

0

0

0

x

A

B

P

X

M

M



=

=





=







=



∑

∑

∑
∑

Dodatkowo:

0

lewo

C

M

=

∑

0

prawo

C

M

=

∑

lub

:

wzgl

ę

dem dowolnego punktu).

P

A

B

C

D

E

V

A

H

A

V

B

H

B

Zamknięte układy

Zamknięte układy
prętowe

prętowe

Układ zamkni

ę

ty jest wewn

ę

trznie 3-krotnie

statycznie niewyznaczalny, poniewa

ż

nie jest

mo

ż

liwe okre

ś

lenie sił wewn

ę

trznych bez jego

przeci

ę

cia.

Przeci

ę

cie pr

ę

ta powoduje konieczno

ść

uwzgl

ę

dnienia 3 „sił” wewn

ę

trznych

N, T, M

Mo

ż

liwe jest te

ż

wstawienie mi

ę

dzy pr

ę

tami 3

przegubów, które pozwol

ą

rozdzieli

ć

układ na 2

układy statycznie wyznaczalne.

Dodanie przegubów powoduje konieczno

ść

uwzgl

ę

dnienia 3 momentów zginaj

ą

cych (

M

1

,

M

2

,

M

3

),

które działały w pierwotnym układzi

e.

M

M

T

T

N

N

M

1

M

2

M

3

Stopień statycznej

Stopień statycznej
niewyznaczalności

niewyznaczalności -- SSN

SSN

Sposób rozwi

ą

zywania konstrukcji zale

ż

y od stopnia statycznej wyznaczalno

ś

ci.

SSN – stopie

ń

statycznej niewyznaczalno

ś

ci n:



Belka: n=r-(g+rs);



Rama: n=(r+3z)-(g+rs);



Kratownica: n=r-rs lub n=p-2w.

Oznaczenia:



r – liczba reakcji;



r – liczba reakcji;



g – liczba przegubów pojedynczych;



z – liczba pól zamkni

ę

tych;



rs=3 – liczba równa

ń

statyki;



p – liczba pr

ę

tów;



w – liczba w

ę

złów.

Klasyfikacja konstrukcji ze wzgl

ę

du na stopie

ń

statycznej wyznaczalno

ś

ci:



Układ jest statycznie wyznaczalny, je

ż

eli współczynnik n = 0;



Układ jest statycznie niewyznaczalny, je

ż

eli współczynnik n > 0;



Układ jest geometrycznie zmienny, je

ż

eli współczynnik n < 0.

Niewła

ś

ciwe rozmieszczenie podpór mo

ż

e powodowa

ć

,

ż

e układ b

ę

dzie geometrycznie

zmienny (np. reakcje równoległe – płaszczyzna przesuwu) lub chwilowo geometrycznie
zmienny (reakcje przecinaj

ą

ce si

ę

w jednym punkcie – chwilowy

ś

rodek obrotu).

Koniec

Koniec

32

32

Koniec

Koniec