Obwody prądu przemiennego

Obwody prądu przemiennego

Jedn

ą

z licznych odmian pr

ą

du zmiennego jest pr

ą

d sinusoidalnie zmienny

)

2

(

sin

i

m

t

f

I

i

ϕ

π

+

=

Jest to pr

ą

d okresowo zmienny, którego warto

ść

chwilowa i  zmienia si

ę

zgodnie ze wzorem

I

m

- warto

ść

maksymalna pr

ą

du (zwana te

Ŝ

amplitud

ą

f     - cz

ę

stotliwo

ść

zmiany pr

ą

du

ϕϕϕϕ

i 

- faza pocz

ą

tkowa (faza w chwili  t = 0) 

gdzie:

 

i 

α 

0 

I

m

 

π 

2π

 

3π

 

4π

 

5π

 

ω

t

 

T 

ϕ

ι 

Obwody prądu przemiennego

)

cos(

)

(

Θ

⋅

=

Θ

A

f

We

ź

my sinusoidaln

ą

funkcj

ę

w postaci

gdzie: A jest amplitud

ą

lub 

maksymaln

ą

warto

ś

ci

ą

, a 

Θ

jest 

k

ą

tem mierzonym w radianach

W przypadku sygnałów czasowo-
zmiennych k

ą

t 

Θ

zmienia si

ę

proporcjonalnie do czasu: 

Θ

=

ω

t

gdzie:

ω

jest nazywana cz

ę

sto

ś

ci

ą

k

ą

tow

ą

w radianach na sekund

ę

(skrót r/s). 

Wtedy sinusoidalny sygna

ł

jest zapisany

)

cos(

)

(

t

A

f

⋅

⋅

=

Θ

ω

ωω

ω

(8.18)

(8.19)

to powtarza si

ę

w ci

ą

gu ka

Ŝ

dego T sekund, gdzie T jest nazwane jest periodem 

(okresem). K

ą

t 

Θ

odpowiadaj

ą

cy jednemu okresowi jest 2

π

radianów. Dlatego 

otrzymamy:  2

π

= 

ω

T

T

⋅

=

⋅

ω

ωω

ω

ππππ

2

T

ππππ

ω

ωω

ω

2

=

(8.20)

Sygnał z rys. 8.7 mo

Ŝ

e by

ć

zapisany 

nast

ę

puj

ą

co:

Obwody prądu przemiennego

Liczba cykli (okresów) na ka

Ŝ

d

ą

sekund

ę

jest  cz

ę

stotliwo

ś

ci

ą

f

danego sygna

ł

u.

Jednostk

ą

jest Hertz (w skrócie Hz). Stosuj

ą

c (8.20) mamy

T

f

1

=

f

⋅

⋅

=

ππππ

ω

ωω

ω

2

)

2

cos(

)

(

t

f

A

f

⋅

⋅

⋅

⋅

=

Θ

ππππ

Wtedy

(8.22)

Ogólnie amplituda wyst

ę

powa

ć

w 

dowolnym (ka

Ŝ

dym) momencie 

(chwili) czasu. (patrz rys. 8.7)

)

cos(

)

cos(

)

(

cos

)

(

1

1

Φ

+

⋅

=

−

⋅

=

−

⋅

=

t

A

t

t

A

t

t

A

t

f

ω

ωω

ω

ϖ

ϖ

ϖ

ϖ

ϖ

ϖ

ϖ

ϖ

ω

ωω

ω

Rys. 8.7

1

t

ϖ

ϖ

ϖ

ϖ

−

=

Φ

(8.21)

gdzie:

(8.23)

jest nazywany pocz

ą

tkowym k

ą

tem fazowym 

(lub krótko faz

ą

) funkcji sinusoidalnej. 

T

ππππ

ω

ωω

ω

2

=

T

t

1

2

ππππ

⋅

−

=

Φ

Podstawiaj

ą

c 

ω

jest w radianach na sekund

ę

a

ω

t i 

Φ

s

ą

, w radianach chocia

Ŝ

praktycznie jest 

u

Ŝ

ywana miara w stopniach dla k

ą

ta 

fazowego (dla fazy).

otrzymamy inne wyra

Ŝ

enie na 

Φ

(8.24)

Przykład 1

Obwody prądu przemiennego

A= 15,  T= 8 ms, 

Hz

T

f

125

10

8

1

1

3

=

∗

=

=

−

wi

ę

c

a dalej

s

r

f

⋅

⋅

=

⋅

⋅

=

ππππ

ππππ

ω

ωω

ω

250

2

4

8

1

2

ππππ

ππππ

−

=

⋅

−

=

Φ

co odpowiada 45

o

Wi

ę

c wyra

Ŝ

enie na f(t) wygl

ą

da nast

ę

puj

ą

co:

)

45

250

cos(

15

)

(

o

−

⋅

⋅

⋅

=

t

t

f

ππππ

Obwody prądu przemiennego

Przykład 2

A= 5,  T= 50 ms, 

Hz

T

f

20

10

50

1

1

3

=

∗

=

=

−

wi

ę

c

a dalej

s

r

f

⋅

⋅

=

⋅

⋅

=

ππππ

ππππ

ω

ωω

ω

40

2

ππππ

ππππ

28

.

0

50

)

7

(

2

=

−

⋅

−

=

Φ

co odpowiada 50.4

o

Wi

ę

c wyra

Ŝ

enie na f(t) wygl

ą

da nast

ę

puj

ą

co:

)

4

.

50

40

cos(

5

)

(

o

−

⋅

⋅

⋅

=

t

t

f

ππππ

Obwody prądu przemiennego

Chwila czasu w którym wyst

ę

puje maksimum jest u

Ŝ

ywane dla okre

ś

lenia fazy sygna

ł

u 

sinusoidalnego. Jednak

Ŝ

e,  sygna

ł

sinusoidalny ma niesko

ń

czon

ą

liczb

ę

dodatnich 

maksimów. Dlatego k

ą

t fazowy mo

Ŝ

e mie

ć

wi

ę

cej ni

Ŝ

jedn

ą

warto

ść

.  Zatem, taki sygna

ł

mo

Ŝ

e mie

ć

posta

ć

:

n

t

A

t

A

⋅

⋅

±

Φ

+

⋅

=

Φ

+

⋅

ππππ

ϖ

ϖ

ϖ

ϖ

ω

ωω

ω

2

cos(

)

cos(

n

⋅

⋅

±

Φ

ππππ

2

gdzie n jest liczba ca

ł

kowita , a faza jest ogólnie okre

ś

lona przez:

Zwykle do okre

ś

lenia kata fazowego wybieramy dodatnie 

maksimum po

ł

o

Ŝ

one najbli

Ŝ

ej pocz

ą

tkowi uk

ł

adu współrz

ę

dnych.

Przykład 3

A= 10,  T= 16 ms, 

Hz

T

f

5

.

62

10

16

1

1

3

=

∗

=

=

−

wi

ę

c

a dalej

s

r

f

⋅

⋅

=

⋅

⋅

=

ππππ

ππππ

ω

ωω

ω

125

2

r

..

75

.

1

16

14

2

ππππ

ππππ

−

=

⋅

−

=

Φ

Obliczamy k

ą

t fazowy jako,

ππππ

ππππ

ππππ

⋅

=

⋅

+

⋅

−

25

.

0

2

75

.

1

który odpowiada 45

o

Przykład 3

Obwody prądu przemiennego

Taki sam wynik mo

Ŝ

e by

ć

otrzymany bior

ą

c do oblicze

ń

maksimum 

najbli

Ŝ

sze pocz

ą

tkowi układu współrz

ę

dnych . To wyst

ę

puje dla czasu 

t

1

= -2 ms i wtedy mamy

ππππ

ππππ

⋅

=

−

⋅

−

=

Φ

25

.

0

16

)

2

(

2

Wtedy sygna

ł

jest okre

ś

lony:

)

45

7

.

392

cos(

10

)

(

o

+

⋅

⋅

=

t

t

f

Przykład 4

Obwody prądu przemiennego

Obliczmy k

ą

t przesuni

ę

cia fazowego pomi

ę

dzy:

Jedno wyra

Ŝ

enie jest cosinus a drugie sinus. Dlatego konieczne jest sprowadzenie 

obu wyra

Ŝ

e

ń

do tej samej formy przed obliczeniami k

ą

ta przesuni

ę

cia fazowego.

)

20

1000

cos(

15

)

(

o

+

⋅

=

t

t

a

)

60

1000

sin(

120

)

(

o

+

⋅

=

t

t

b

Przed przekonwertowaniem sygnału b(t) w form

ę

cosinusa u

Ŝ

yjemy 

nast

ę

puj

ą

c

ą

to

Ŝ

samo

ść

trygometryczn

ą

:

teraz mo

Ŝ

emy okre

ś

li

ć

k

ą

t przesuni

ę

cia fazowego pomi

ę

dzy a(t) a b(t) u

Ŝ

ywaj

ą

c 

wyra

Ŝ

enia (8.25)

o

90

cos(

sin

−

=

x

x

)

30

1000

cos(

120

)

90

60

1000

cos(

120

)

(

o

o

o

−

⋅

=

−

+

⋅

=

t

t

t

b

otrzymuj

ą

c:

o

o

o

50

)

30

(

20

=

−

−

=

Φ

−

Φ

b

a

To oznacza, 

Ŝ

e a(t) wyprzedza b(t) o k

ą

t 50

o

lub b(t) opó

ź

nia si

ę

wzgl

ę

dem a(t) o k

ą

t 

)

cos(

)

(

a

t

A

t

a

Φ

+

⋅

=

ϖ

ϖ

ϖ

ϖ

)

cos(

)

(

b

t

B

t

b

Φ

+

⋅

=

ϖ

ϖ

ϖ

ϖ

b

a

Φ

−

Φ

Je

ś

li

Φ

a

>

Φ

b

wtedy a(t) wyprzedza b(t) o k

ą

t (

Φ

a

-

Φ

b

),

a je

ś

li

Φ

a

<

Φ

b

wtedy  a(t) jest opó

ź

niony za b(t) o k

ą

t (

Φ

b

-

Φ

a

).

Je

ś

li mamy dwa sygnały sinusoidalne o tej samej cz

ę

stotliwo

ś

ci ale o ró

Ŝ

nej 

fazie pocz

ą

tkowej:

K

ą

t przesuni

ę

cia fazowego pomi

ę

dzy 

a(t) a b(t) jest okre

ś

lane jako:

(8.25)

 

i, u 

0 

ω

t

 

ϕ

υ 

ϕ 

ϕ 

ϕ

ι 

i 

u 

Obwody prądu przemiennego

Warto

ść ś

rednia i skuteczna pr

ą

du przemiennego

Zapis wektorowy pr

ą

du sinusoidalnego

 

i, u 

0 

ω

t

 

ϕ

υ 

ϕ 

ϕ 

ϕ

ι 

i 

u 

Obwody prądu przemiennego

Warto

ść ś

rednia i skuteczna pr

ą

du przemiennego

Pr

Pr

Pr

Prąąąąd przemienny

d przemienny

d przemienny

d przemienny (AC

(AC

(AC

(AC---- ang

ang

ang

ang. . . . 

alternate current

alternate current

alternate current

alternate current

),),),), pr

pr

pr

prąąąąd sta

d sta

d sta

d stałłłłyyyy (DC

(DC

(DC

(DC----ang

ang

ang

ang. . . . 

direct current

direct current

direct current

direct current

))))

Pr

ą

d i napi

ę

cie sinusoidalnie zmienne, których warto

ś

ci chwilowe zmieni

ą

si

ę

Obwody prądu przemiennego

Zmienno

ść

sinusoidalna  pr

ą

du  w  czasie  utrudnia  prowadzenie  ró

Ŝ

nego  rodzaju 

oblicze

ń

elektrycznych,  prostych  w  przypadku  pr

ą

du  stałego.  St

ą

d  d

ąŜ

enie  do 

wprowadzenia  w  obliczeniach  warto

ś

ci  zast

ę

pczej  – równowa

Ŝ

nego  pr

ą

du  stałego 

dla  danego  pr

ą

du  sinusoidalnego.  Wprowadzenie  jednej  uniwersalnej  warto

ś

ci 

zast

ę

pczej  nie  jest  niestety  mo

Ŝ

liwe  i  warto

ść

zast

ę

pcza  jest ró

Ŝ

nie  definiowana  w 

zale

Ŝ

no

ś

ci od tego do jakich oblicze

ń

ma słu

Ŝ

y

ć

.

)

2

(

sin

i

m

t

f

I

i

ϕ

π

+

=

I

m

- warto

ść

maksymalna pr

ą

du 

(zwana te

Ŝ

amplitud

ą

f     - cz

ę

stotliwo

ść

zmiany pr

ą

du

ϕϕϕϕ

i 

- faza pocz

ą

tkowa (faza w   t = 0)

gdzie:

i 

α 

0 

I

m

 

π 

2π

 

3π

 

4π

 

5π

 

ω

t

 

T 

ϕ

ι 

Obwody prądu przemiennego

Warto

ść ś

rednia i skuteczna pr

ą

du przemiennego

Dla pr

ą

du posługujemy si

ę

warto

ś

ci

ą ś

redni

ą

, któr

ą

definiujemy: 

(9.1)

Dla przebiegu sinusoidalnie zmiennego 
warto

ść ś

rednia wynosi 0. 

Przy 

analizie 

przebiegu 

sinusoidalnego 

wyprostowanego

dwupołówkowo)  mo

Ŝ

na  posłu

Ŝ

y

ć

si

ę

warto

ś

ci

ą ś

redni

ą

wyznaczon

ą

dla połowy okresu.

(

)

m

T

m

T

m

ś

r

I

t

T

I

dt

t

I

T

I

ππππ

ω

ωω

ω

ω

ωω

ω

2

cos

2

sin

2

2

/

0

2

/

0

=

−

=

=

∫

∫

⋅

=

T

ś

r

dt

i

T

I

0

1

m

m

ś

r

I

I

I

637

,

0

2

≈

=

ππππ

(9.2)

Obwody prądu przemiennego

Warto

ść ś

rednia i skuteczna pr

ą

du przemiennego

W  rozwa

Ŝ

aniach  energetycznych  pr

ą

d  sinusoidalny  wyra

Ŝ

amy  umown

ą

warto

ś

ci

ą

równowa

Ŝ

n

ą

pod  wzgl

ę

dem  energii  pr

ą

dowi  stałego,  który  nazywamy  warto

ś

ci

ą

skuteczn

ą

danego pr

ą

du sinusoidalnego i oznaczamy  – podobnie jak warto

ść

pr

ą

du 

stałego – oznaczonego liter

ą

I

. 

(9.3)

Ten 

równowa

Ŝ

ny 

pr

ą

d 

stały 

ma 

wydzieli

ć

na 

rezystorze 

R 

w ci

ą

gu czasu T tak

ą

sam

ą

energi

ę

ciepln

ą

, jak dany pr

ą

d sinusoidalny.

Wtedy mo

Ŝ

emy zapisa

ć

:

Analogowe

(wychyłowe)

przyrz

ą

dy 

magnetoelektryczne 

mierz

ą

warto

ść

ś

redni

ą

,

a przyrz

ą

dy elektromagnetyczne 

−−−−

warto

ść

skuteczn

ą

.

∫

=

T

dt

i

R

T

I

R

0

2

2

i otrzymujemy:

2

sin

1

1

2

0

2

2

0

2

m

T

m

T

I

dt

t

I

T

dt

i

T

I

=

=

=

∫

∫

ω

ωω

ω

m

m

I

I

I

707

,

0

2

≈

=

warto

ś

ci 

ś

rednie 

i 

skuteczne 

oraz 

analogiczne  wzory  przeliczeniowe  s

ą

stosowane

tak

Ŝ

e 

do 

napi

ęć

i 

sił

elektromotorycznych 

Obwody prądu przemiennego

Zapis wektorowy pr

ą

du sinusoidalnego

Dotychczasowe 

rozwa

Ŝ

ania 

dotyczyły 

zapisu 

pr

ą

du 

w 

postaci 

funkcji 

trygonometrycznej.  Przebieg  dowolnej  wielko

ś

ci  sinusoidalnie  zmiennej  mo

Ŝ

na 

przedstawi

ć

za pomoc

ą

wektora wiruj

ą

cego za sta

łą

pr

ę

dko

ś

ci

ą

k

ą

tow

ą

Na rys. przedstawiono wektor  o warto

ś

ci równej amplitudzie przebiegu 

sinusoidalnego  (I

m

)  wiruj

ą

cy  z  pr

ę

dko

ś

ci

ą

k

ą

tow

ą

ω

ωω

ω

=  2

ππππ

f.  Warto

ść

chwilow

ą

pr

ą

du i reprezentuje składowa pionowa wiruj

ą

cego wektora. 

 

i 

0 

π 

2π

 

ω

t

 

ω

t

 

I

m 

I

m 

i = I

m

 sin 

ω 

t 

Na  wykresach wskazowych  wskazy przedstawiane  s

ą

w  „stanie 

zatrzymanym” (na  ogó

ł

w  chwili  t  =  0).  W  praktyce  dla  wygody 

posługujemy  si

ę

wskazami o  długo

ś

ci  równej  warto

ś

ci  skutecznej  (a 

wi

ę

c zmniejszonymi w stosunku 1 :

do warto

ś

ci maksymalnej). 

Wektor  przedstawiaj

ą

cy  wielko

ść

elektryczn

ą

nazywany  jest wskazem

lub fazorem (dla odró

Ŝ

nienia od innych wektorów np. matematycznych 

lub  fizycznych). Wskazy podobnie  jak  wektory  mo

Ŝ

na  dodawa

ć

odejmowa

ć

itd. 

Obwody prądu przemiennego

Zapis wektorowy pr

ą

du sinusoidalnego

2

 

i 

0 

π 

2π

 

ω

t

 

ω

t

 

I

m 

I

m 

i = I

m

 sin 

ω 

t 

Przedstawienie wielko

ś

ci sinusoidalnych w postaci wektorów na płaszczy

ź

nie 

umo

Ŝ

liwia  wprowadzenie  do  oblicze

ń

obwodów  pr

ą

dów  sinusoidalnych  liczb 

zespolonych (metody symbolicznej), co znacznie upraszcza te obliczenia.

T

ą

posta

ć

liczby zespolonej nazywamy postaci

ą

kanoniczn

ą

. Liczb

ę

(rzeczywist

ą

) 

a

nazywamy cz

ęś

ci

ą

rzeczywist

ą

, za

ś

liczb

ę

b

cz

ęś

ci

ą

urojon

ą

liczby zespolonej 

z

. 

Liczby zespolone interpretujemy geometrycznie jako 
punkty płaszczyzny. Liczbie zespolonej a + jb odpowiada 
punkt o współrzędnych (a,b) płaszczyzny zaopatrzonej w 
prostokątny układ współrzędnych. Punktom osi OX 
odpowiadają liczby rzeczywiste. Płaszczyznę, na której 
umieściliśmy liczby zespolone, nazywamy płaszczyzną
Gaussa.

Obwody prądu przemiennego

Zapis symboliczny  pr

ą

du sinusoidalnego; liczby zespolone

jb

a

z

+

=

1

2

−

=

j

Cz

ęść

rzeczywist

ą

oznaczamy Re z, a 

cz

ęść

urojon

ą

symbolem Im z, mamy wi

ę

c:

Re z = a
Im z = b

1

−

=

j

gdzie:

lub

(9.4)

 
      j 
     
     jb 
 
                      A 
 
 
 
                     

α 

 

        0                         a             1 

Z

K

ą

t 

α

, to k

ą

t który wektor tworzy z prost

ą

Re i oznaczmy go przez arg(z)

Obwody prądu przemiennego

Zapis symboliczny  pr

ą

du sinusoidalnego; liczby zespolone

Ka

Ŝ

dej liczbie zespolonej  mo

Ŝ

na przyporz

ą

dkowa

ć

wektor

jest równa 

Długość wektora

 
      j 
     
     jb 
 
                      A 
 
 
 
                     

α 

 

        0                         a             1 

Z

)

,

( b

a

z

=

→

z

→

2

2

b

a

z

+

=

→

a dla liczby zespolonej z moduł

0

2

2

≥

+

=

b

a

z

Widoczne jest, Ŝe

z

b

=

αααα

sin

z

a

=

αααα

cos

Liczba zespolona r

Liczba zespolona r

Liczba zespolona r

Liczba zespolona różżżżna od zera ma zatem niesko

na od zera ma zatem niesko

na od zera ma zatem niesko

na od zera ma zatem nieskońńńńczenie 

czenie 

czenie 

czenie 

wiele argument

wiele argument

wiele argument

wiele argumentów, ale tylko jeden modu

w, ale tylko jeden modu

w, ale tylko jeden modu

w, ale tylko jeden modułłłł....

Liczba zespolona mo

Liczba zespolona mo

Liczba zespolona mo

Liczba zespolona możżżże by

e by

e by

e byćććć wyra

wyra

wyra

wyrażżżżona przez d

ona przez d

ona przez d

ona przez dłłłługo

ugo

ugo

ugość

ść

ść

ść jej 

jej 

jej 

jej 

wektora (modu

wektora (modu

wektora (modu

wektora (modułłłł) oraz k

) oraz k

) oraz k

) oraz kąąąąt skierowany (argument):

t skierowany (argument):

t skierowany (argument):

t skierowany (argument):

)

sin

(cos

αααα

αααα

j

z

z

b

z

j

z

a

z

jb

a

z

+

=

+

=

+

=

jest to postać trygometryczna 

(9.7)

(9.5)

(9.6b)

(9.6a)

Je

ś

li liczba

(9.8)

Obwody prądu przemiennego

Zapis symboliczny  pr

ą

du sinusoidalnego; liczby zespolone

a funkcje sinus i cosinus zapiszemy za 
pomoc

ąąąą

funkcji wyk

łłłł

adniczej (wzory Eulera):

mamy:

mamy:

mamy:

mamy:

)

sin

(cos

αααα

αααα

j

z

z

+

=

j

e

e

j

j

2

sin

ψ

ψψ

ψ

ψ

ψψ

ψ

ψ

ψψ

ψ

−

−

=

j

e

e

j

j

2

cos

ψ

ψψ

ψ

ψ

ψψ

ψ

ψ

ψψ

ψ

−

+

=

ψ

ψψ

ψ

ψ

ψψ

ψ

ψ

ψψ

ψ

ψ

ψψ

ψ

ψ

ψψ

ψ

ψ

ψψ

ψ

ψ

ψψ

ψ

ψ

ψψ

ψ

ψ

ψψ

ψ

ψ

ψψ

ψ

ψ

ψψ

ψ

j

j

j

j

j

j

j

j

j

e

e

e

e

e

j

e

e

j

e

e

=

−

+

+

=

−

+

+

=

+

−

−

−

−

2

2

2

sin

cos

jest to posta

ć

wyk

ł

adnicza liczby zespolonej z:

Zatem ostatecznie 

αααα

αααα

αααα

j

e

z

j

z

z

=

+

=

sin

(cos

αααα

j

e

z

z

=

 
      j 
     
     jb 
 
                      A 
 
 
 
                     

α 

 

        0                         a             1 

Z

(9.8)

Znaj

ąąąą

c cz

ęęęę

sto

ść

ść

ść

ść

ko

łłłł

ow

ąąąą

ω

ω

ω

ω

wskazu A funkcji sinusoidalnej mo

żżżż

emy j

ąąąą

wyrazi

ćććć

:

a ich

a ich

a ich

a ich wskazy

wskazy

wskazy

wskazy oznaczymy odpowiednio  przez 

oznaczymy odpowiednio  przez 

oznaczymy odpowiednio  przez 

oznaczymy odpowiednio  przez 

A 

A 

A 

A 

i i i i 

B 

B 

B 

B 

tej funkcji przypiszemy liczb

tej funkcji przypiszemy liczb

tej funkcji przypiszemy liczb

tej funkcji przypiszemy liczbęęęę zespolon

zespolon

zespolon

zespolonąąąą

AAAA

, nazwana

, nazwana

, nazwana

, nazwana wskazem

wskazem

wskazem

wskazem zgodnie z 

zgodnie z 

zgodnie z 

zgodnie z 

powy

powy

powy

powyżżżższymi zale

szymi zale

szymi zale

szymi zależżżżno

no

no

nośśśściami:

ciami:

ciami:

ciami:

sygna

sygna

sygna

sygnałłłł sinusoidalny

sinusoidalny

sinusoidalny

sinusoidalny

Rozwa

żżżż

my dwa sygna

łłłł

y sinusoidalne:

Obwody prądu przemiennego

Zapis symboliczny  pr

ą

du sinusoidalnego; liczby zespolone

)

cos(

ϕϕϕϕ

ω

ωω

ω

+

⋅

t

A

m

ϕϕϕϕ

j

m

e

A

A

⋅

=

)

cos(

)

Re(

)

Re(

)

(

ϕϕϕϕ

ω

ωω

ω

ϕϕϕϕ

ω

ωω

ω

ω

ωω

ω

+

⋅

=

⋅

=

⋅

+

t

A

e

A

e

A

m

t

j

m

t

j

)

cos(

)

(

1

A

m

t

A

t

x

Φ

+

⋅

=

ϖ

ϖ

ϖ

ϖ

)

cos(

)

(

2

B

m

t

B

t

x

Φ

+

⋅

=

ϖ

ϖ

ϖ

ϖ

(9.10)

(9.9)

(9.11)

(9.12b)

(9.12a)

Te dwa sygna

ł

y sinusoidalne

Lemat 1

We

źźźź

my dwie liczby rzeczywiste 

αααα

i  

ββββ

. To sinusoidalny sygna

łłłł

Obwody prądu przemiennego

Zapis symboliczny  pr

ą

du sinusoidalnego; liczby zespolone

)

Re(

)

(

1

t

j

e

A

t

x

ω

ωω

ω

⋅

=

)

Re(

)

(

2

t

j

e

B

t

x

ω

ωω

ω

⋅

=

s

ąąąą

równe wtedy i tylko wtedy je

śśśś

li ich

wskazy s

ą

równe , 

czyli A=B

Lemat 2

)

(

)

(

)

(

2

1

t

x

t

x

t

y

⋅

+

⋅

=

ββββ

αααα

mo

żżżż

e by

ćććć

zapisany jako wskaz 

B

A

C

⋅

+

⋅

=

ββββ

αααα

)

Re(

)

Re(

B

A

=

)

Im(

)

Im(

B

A

=

(9.13)

(9.14)

(9.15)

(9.16)

(9.17)

(9.18)

Je

śśśś

li A jest wskazem opisuj

ąąąą

cym sinusoidalny sygna

łłłł

(9.19)

(9.20)

Obwody prądu przemiennego

Zapis symboliczny  pr

ą

du sinusoidalnego; liczby zespolone

Lemat 3

to zachodzi zale

żżżż

no

ść

ϕϕϕϕ

j

m

e

A

A

⋅

=

)

Re(

))

(Re(

t

j

t

j

e

A

j

e

A

dt

d

ω

ωω

ω

ω

ωω

ω

ω

ωω

ω

⋅

=

⋅

Liniowy rezystor R jest opisany równaniem 

Obwody prądu przemiennego

Wskazy podstawowych elementów obwodów elektrycznych

Teraz rozwa

Ŝ

my typowe elementy obwodów elektrycznych i 

wyra

ź

my ich zale

Ŝ

no

śśśś

ci napi

ęęęę

cie-pr

ą

d za pomoc

ąąąą

wskazów

Oznaczmy przez  V i I odpowiednio wskazy napi

ęęęę

cia i pr

ąąąą

du

Stosuj

ąąąą

c Lemat 1 otrzymamy

)

(

)

(

t

i

R

t

v

⋅

=

I

R

V

⋅

=

które wyra

żżżż

a zale

żżżż

no

ść

ść

ść

ść

napi

ęęęę

cie –pr

ąąąą

d liniowego rezystora 

za pomoc

ąąąą

wskazów

v(t)

i(t)

R

(9.21)

(9.22)

Rezystor 

Indukcyjno

ść

(9.24)

Stosuj

ąąąą

c jak powy

żżżż

ej dla rezystora mamy

a Lemat 1 pozwala zapisa

ćććć

w postaci:

(9.25)

Na podstawie Lematu 3 mo

żżżż

emy to równanie zapisa

ćććć

w postaci:

Obwody prądu przemiennego

dt

t

di

L

t

v

)

(

)

(

⋅

=

))

(Re(

)

Re(

t

j

t

j

e

I

dt

d

L

e

V

ω

ωω

ω

ω

ωω

ω

⋅

⋅

=

⋅

)

Re(

)

Re(

t

j

t

j

e

I

L

j

e

V

ω

ωω

ω

ω

ωω

ω

ω

ωω

ω

⋅

⋅

⋅

=

⋅

I

L

j

V

⋅

⋅

=

ω

ωω

ω

v(t)

i(t)

L

(9.23)

Wskazy podstawowych elementów obwodów elektrycznych

Stosuj

ą

c podobne zale

Ŝ

no

ś

ci jak dla R i L,  dla pojemno

ś

ci otrzymamy:

(9.26)

lub

(9.27)

Obwody prądu przemiennego

Pojemno

ść

dt

dv

C

i

C

⋅

=

V

C

j

I

⋅

⋅

=

ω

ωω

ω

I

C

j

I

C

j

V

⋅

−

=

⋅

=

ω

ωω

ω

ω

ωω

ω

1

1

C

v(t)

i(t)

Wskazy podstawowych elementów obwodów elektrycznych

Rozwa

Ŝ

my sygna

łłłł

sinusoidalny 

i  odpowiadaj

ąąąą

cy jemu wskaz

Wskaz , b

ęęęę

d

ąąąą

c liczb

ąąąą

zespolon

ąąąą

mo

żżżż

e by

ćććć

wykre

śśśś

lony 

na p

łłłł

aszczy

źźźź

nie zespolonej jako wektor (od punktu 

zerowego uk

łłłł

adu wspó

łłłł

rz

ęęęę

dnych do punktu A (rys.)

rzutuj

ą

c na poziom

ąąąą

o

śśśś

koniec tego wektora mamy

(9.28)

(9.30)

D

łłłł

ugo

ść

ść

ść

ść

tego wektora jest A

m

a faza (k

ąąąą

t fazowy) 

αααα

. 

Do wizualizacji sygna

łłłł

u sinusoidalnego x(t) 

obracamy ten wektor przeciwnie do ruchu zegara o 
pr

ęęęę

dko

ść

ść

ść

ść

k

ąąąą

tow

ąąąą ω

ω

ω

ω

. Je

śśśś

li czas t wzrasta k

ąąąą

t

ω

ω

ω

ω

t

wzrasta z pr

ęęęę

dko

śśśś

ci

ąąąą

k

ąąąą

tow

ąąąą ω

ω

ω

ω

i  wiruj

ąąąą

cy wektor 

jest prezentowany jako:

(9.29)

ω

 α 

0

αααα

ω

ωω

ω

+

t

 

)

Im(

t

j

Ae

ω

ωω

ω

 

 

)

Re(

t

j

Ae

ω

ωω

ω

 

 

t

j

Ae

ω

ωω

ω

 

αααα

j

m

e

A

A

=

Im(Ae

jωt

) 

Re(Ae

jωt

) 

Ae

jα

 

ωt + α 

A = A

m

 e 

jα

  

Obwody prądu przemiennego

Wykresy wskazowe

)

cos(

)

(

αααα

ϖ

ϖ

ϖ

ϖ

+

⋅

=

t

A

t

x

m

αααα

j

m

e

A

A

⋅

=

t

j

e

A

ω

ωω

ω

⋅

m

t

j

t

j

A

A

e

A

e

A

=

=

⋅

=

⋅

ω

ωω

ω

ω

ωω

ω

D

łłłł

ugo

ść

ść

ść

ść

wektora pozostaje taka sama 

dla czasu t

)

cos(

αααα

ϖ

ϖ

ϖ

ϖ

+

⋅

t

A

m

(9.28)

Równania 

(9.22)

, 

(9.25)

, 

(9.27)

, ) mog

ąąąą

by

ćććć

graficznie przedstawione poprzez 

nakre

śśśś

lone wektory odpowiadaj

ąąąą

ce wskazom napi

ęęęę

cia i pr

ąąąą

du. Takie rysunki 

to wykresy wskazowe (diagramy wskazowe).

  

  

  

  

 

I 

  

  

 

V = RI 

Obwody prądu przemiennego

Wykres wskazowy rezystora

I

R

V

⋅

=

(9.22)

Wykresy wskazowe

lub mo

żżżż

emy powiedzie

ćććć

, 

żżżż

e napi

ęęęę

cie na L wyprzedza pr

ą

d indukcyjno

śśśś

ci o 90

o

.

to oznacza, 

żżżż

e faza napi

ęęęę

cia jest wi

ęęęę

ksza ni

żżżż

faza pr

ąąąą

du o 90

o

.

V

90

o 

I 

Obwody prądu przemiennego

Wykres wskazowy indukcyjno

ś

ci

I

e

L

I

L

j

V

o

j

⋅

⋅

⋅

=

⋅

⋅

=

90

ω

ωω

ω

ω

ωω

ω

(9.25)

I

L

j

V

⋅

⋅

=

ω

ωω

ω

faza napi

ęęęę

cia jest mniejsza ni

żżżż

faza pr

ąąąą

du o 90

o

(jak na rys).

to znaczy, 

żżżż

e napi

ęęęę

cie na pojemno

śśśś

ci jest opó

źźźź

nione wzgl

ęęęę

dem pr

ąąąą

du o 90

o

. 

V

I 

-90

o 

Obwody prądu przemiennego

Wykres wskazowy pojemno

ś

ci

I

e

C

I

C

j

I

C

j

V

o

j

⋅

⋅

⋅

=

⋅

−

=

⋅

=

−

90

1

1

1

ω

ωω

ω

ω

ωω

ω

ω

ωω

ω

(9.27)

I

C

j

I

C

j

V

⋅

−

=

⋅

=

ω

ωω

ω

ω

ωω

ω

1

1

Rozwa

żżżż

my obwód pokazany na rys., gdzie jednowej

śśśś

ciowy uk

łłłł

ad zawieraj

ąąąą

cy rezystor, 

indukcyjno

ść

ść

ść

ść

i pojemno

ść

ść

ść

ść

jest zasilany przez sinusoidalne 

źźźź

ród

łłłł

o pr

ąąąą

dowe:

Zak

łłłł

adamy 

żżżż

e obwód jest w stanie ustalonym. Wtedy napi

ęęęę

cie v(t) o sta

łłłł

ej 

cz

ęęęę

sto

śśśś

ci ko

łłłł

owej 

ω

ω

ω

ω

mo

żżżż

e by

ćććć

przedstawione przez wskaz napi

ęęęę

cia V

Zale

Ŝ

no

ść

a podstawiaj

ą

c

okre

śśśś

lamy jako impedancj

ę

dwójnika

gdzie:

v(t) 

i(t) 

Obwody prądu przemiennego

Impedancja i admitancja

)

Re(

)

cos(

)

(

1

t

i

e

I

t

I

t

i

ω

ωω

ω

ϕϕϕϕ

ω

ωω

ω

⋅

=

+

=

)

Re(

)

cos(

)

(

t

j

V

e

V

V

t

v

ω

ωω

ω

ϕϕϕϕ

ω

ωω

ω

⋅

=

+

=

Z

I

V

=

(9.31)

v

j

e

V

V

ϕϕϕϕ

⋅

=

i

j

e

I

I

ϕϕϕϕ

⋅

=

mamy:

ϕϕϕϕ

j

e

Z

Z

⋅

=

(9.32)

I

V

Z

=

i

v

ϕϕϕϕ

ϕϕϕϕ

ϕϕϕϕ

−

=

(9.33)

Wtedy napi

ęęęę

cie v(t) mo

żżżż

na zapisa

ćććć

w postaci:

Impedancja Z dana wyra

żżżż

eniem mo

żżżż

e by

ćććć

transformowana w posta

ćććć

algebraiczn

ąąąą

u

żżżż

ywaj

ąąąą

c

Impedancja pe

łłłł

ni podobn

ąąąą

rol

ęęęę

jak rezystancja w obwodach rezystancyjnych. To nam pozwala 

rozwi

ąąąą

zywa

ćććć

analizowa

ćććć

obwody pr

ąąąą

du sinusoidalnego stosuj

ąąąą

c algebr

ęęęę

liczb zespolonych.

0 

R

φ

|Z| 

X

Re(Z) 

Im(Z) 

Obwody prądu przemiennego

Impedancja i admitancja

=

⋅

⋅

=

⋅

⋅

=

⋅

=

+

+

ϕϕϕϕ

ϕϕϕϕ

ω

ωω

ω

ω

ωω

ω

ω

ωω

ω

i

t

j

t

j

t

j

e

I

Z

e

I

Z

e

V

t

v

(

Re(

)

Re(

)

Re(

)

(

)

cos(

ϕϕϕϕ

ϕϕϕϕ

ω

ωω

ω

+

+

⋅

⋅

=

i

t

I

Z

Jednostka impedancji jest om.

Jednostka impedancji jest om.

Jednostka impedancji jest om.

Jednostka impedancji jest om.

ϕϕϕϕ

ϕϕϕϕ

sin

(cos

j

Z

Z

+

=

(9.34)

otrzymamy

Wtedy mo

Ŝ

emy narysowa

ć

tzw. trójk

ąąąą

t impedancji

Oznaczaj

ą

c 

ϕϕϕϕ

cos

)

Re(

⋅

=

=

Z

Z

R

ϕϕϕϕ

sin

)

Im(

⋅

=

=

Z

Z

X

wzoru Eulera. Wtedy mamy:

jX

R

Z

+

=

(9.35)

2

2

X

R

Z

+

=













=

−

R

X

1

tan

ϕϕϕϕ

k

ą

t fazowy 

Warto

ść

impedancji

Impedancja pe

łłłł

ni podobn

ąąąą

rol

ęęęę

jak rezystancja w obwodach rezystancyjnych. 

To nam pozwala rozwi

ąąąą

zywa

ćććć

analizowa

ćććć

obwody pr

ąąąą

du sinusoidalnego 

stosuj

ąąąą

c algebr

ęęęę

liczb zespolonych.

0 

R

φ

|Z| 

X

Re(Z) 

Im(Z) 

Obwody prądu przemiennego

Impedancja i admitancja

Jednostka impedancji jest om.

Jednostka impedancji jest om.

Jednostka impedancji jest om.

Jednostka impedancji jest om.

Wtedy mo

Ŝ

emy narysowa

ć

tzw. trójk

ąąąą

t impedancji

jX

R

Z

+

=

(9.35)

2

2

X

R

Z

+

=













=

−

R

X

1

tan

ϕϕϕϕ

k

ą

t fazowy 

Warto

ść

impedancji

U

2 

 

U

1 

 

I

 

Z

2 

 

Z

1 

 

U 

Dwa elementy poł

ą

czone szeregowo okre

ś

lone przez ich impedancje Z

1

i Z

2

Szeregowe poł

ą

czenie dwóch impedancji

Stosuj

ą

c II prawo Kirchhoffa mamy:

Odwrotno

ść

impedancji Z 

to Y, która jest nazywana
admitancj

ą

:

Jednostk

ą

admitancji jest

simens, skrót: S=

Ω

-1

Podstawiaj

ą

c za Z równanie 

Impedancja i admitancja

2

1

U

U

U

+

=

(10.1)

2

1

2

1

Z

Z

I

U

U

I

U

Z

+

=

+

=

=

(10.2)

Z

Y

1

=

(10.3)

ϕϕϕϕ

j

e

Z

Z

⋅

=

Wi

ę

c warto

ść

admitancji jest równa odwrotno

ś

ci impedancji a faza jest równa fazie 

impedancji z przeciwnym znakiem. Wstawiaj

ą

c równanie (9.35) do równania (10.4)

otrzymujemy

ϕϕϕϕ

ϕϕϕϕ

j

j

e

Z

e

Z

Y

−

⋅

=

⋅

=

1

1

(10.4)

2

2

2

2

2

2

1

X

R

X

j

X

R

R

X

R

jX

R

jX

R

Y

+

−

+

=

+

−

=

+

=

jB

G

Y

+

=

(10.5)

Wykorzystuj

ą

c zale

Ŝ

no

ś

ci (10.6) i (10.7) mo

Ŝ

emy narysowa

ć

tzw. trójk

ą

t admitancji na płaszczy

ź

nie zespolonej (patrz rys.)

0 

G

-φ 

|Y| 

B 

Re(Y) 

Im(Y) 

jB

G

Y

+

=

(10.5)

2

2

X

R

R

G

+

=

2

2

X

R

X

B

+

−

=

W wyra

Ŝ

eniu (10.5) 

jest konduktancj

ą

, lub 

przewodno

ś

ci

ą

czynn

ą

Jednostk

ą

G i B jest simens

jest susceptancj

ą

lub 

przewodno

ś

ci

ą

biern

ą

Widzimy, 

Ŝ

e element jest pojemno

ś

ciowy je

ś

li B jest dodatnie 

a indukcyjny je

ś

li B jest ujemne.

U

Ŝ

ywaj

ą

c (10.5) i (10.4) otrzymamy:

Je

ś

li reaktancja jest dodatnia (X>0) to ten element nazywa 

si

ę

indukcyjny, je

ś

li X<0, to nazywany jest pojemno

ś

ciowy

2

2

B

G

Y

+

=













=

−

=

−

G

B

Y

1

tan

ϕϕϕϕ

<

(10.6)

(10.7)

Impedancja i admitancja

Równoleg

ł

e poł

ą

czenie dwóch admitancji

I

1

I

2

I

Y

2

Y

1

V

Dwa elementy o admitancjach Y

1

i  Y

2

poł

ą

czone równolegle

Na postawie I prawa Kirchhoffa

A admitancja tego obwodu:

2

1

I

I

I

+

=

2

1

2

1

Y

Y

U

I

U

I

U

I

Y

+

=

+

=

=

i 

L

R

 

 

v

S 

Ω

+

=

+

=

)

5

10

(

j

L

j

R

Z

ω

ωω

ω

Mamy R= 10 

Ω

, L=50 mH, v

S

=100cos(100t) woltów. 

Przykład 1

Okre

ś

lmy impedancj

ę

tego dwójnika

nast

ę

pnie znajd

ź

my wskaz napi

ę

cia 

ź

ródła  i wskaz pr

ą

du

wi

ę

c pr

ą

d w stanie ustalonym w domenie czasu wynosi:

V

e

V

j

S

100

100

0

=

⋅

=

A

e

j

j

j

Z

V

I

o

j

S

6

.

26

94

.

8

)

4

8

(

125

5

10

100

5

10

100

−

⋅

=

−

=

−

⋅

=

+

=

=

A

t

e

e

I

t

i

o

t

j

t

j

o

)

6

.

26

cos(

94

.

8

)

94

.

8

Re(

)

Re(

)

(

)

6

.

26

(

−

=

=

⋅

=

−

ω

ωω

ω

ω

ωω

ω

ω

ωω

ω

Impedancja i admitancja

Graficzna  prezentacja  relacji  pomi

ę

dzy wskazami pr

ą

du  i  napi

ę

cia  nazywana 

jest  wykresem wskazowym danego obwodu. 

spadek napi

ęęęę

cia U

1

wyprzedza pr

ąąąą

d o 90

o

. Wi

ęęęę

c 

rysujemy wskaz U

1

skierowany prostopadle ku 

górze. Spadek napi

ęęęę

cia U

2

= RI ma te sam

ąąąą

faz

ęęęę

co pr

ąąąą

d  wi

ęęęę

c wskaz U

2

jest poziomy tak jak wskaz I.

U

Ŝ

yjemy wskazu pr

ą

du  jako  poziomego 

kierunku  odniesienia  i  rozwa

Ŝ

ymy wskazy

spadków 

napi

ęć

poszczególnych 

składników obwodu

spadek napi

ęęęę

cia U

3

jest opó

źźźź

niony wzgl

ęęęę

dem pr

ąąąą

du I o 90

o

.

Dlatego U

3

jest narysowany prostopad

łłłł

e w dó

łłłł

.

I

 

L

R 

U

2 

U

1 

U

S 

U

3 

C

Wykresy wskazowe obwodów

I

 

U

 

U

3 

U

2 

U

1 

o

j

e

LI

I

L

j

U

90

1

⋅

=

⋅

⋅

=

ω

ωω

ω

ω

ωω

ω

o

j

e

I

C

j

U

90

3

1

−

⋅

⋅

−

=

ω

ωω

ω

Te trzy wskazy dodane wektorowo daj

ą

wskaz ca

łłłł

kowitego 

spadku napi

ęęęę

cia na tych trzech elementach obwodu

i(t) 

v(t) 

Moc pr

ą

du przemiennego 

Rozwa

żżżż

my dwójnik zawieraj

ąąąą

cy rezystory, pojemno

śśśś

ci i indukcyjno

śśśś

ci zasilany v(t)

Wi

ęęęę

c, moc chwilowa jest sum

ąąąą

dwóch sk

łłłł

adowych:

pierwszej, sinusoidalnej funkcji o amplitudzie 0.5 V

m

I

m

i 

cz

ęęęę

sto

śśśś

ci dwa razy wi

ęęęę

kszej 

ni

żżżż

napi

ęęęę

cie i pr

ąąąą

d,

drugiej 

sk

łłłł

adowej sta

łłłł

ej (nie zale

żżżż

y od cz

ęęęę

sto

śśśś

ci i czasu)

której warto

ść

ść

ść

ść

zale

żżżż

y od 

amplitud napi

ęęęę

cia i pr

ąąąą

du oraz od k

ąąąą

ta fazowego pomi

ęęęę

dzy napi

ęęęę

ciem i pr

ąąąą

dem.

(10.10)

(10.8)

(10.9)

)

cos(

)

(

u

m

t

U

t

u

Φ

+

⋅

=

ϖ

ϖ

ϖ

ϖ

)

cos(

)

(

i

m

t

I

t

i

Φ

+

⋅

=

ϖ

ϖ

ϖ

ϖ

)

cos(

)

cos(

)

(

)

(

)

(

i

u

m

m

t

t

I

U

t

i

t

u

t

p

Φ

+

⋅

Φ

+

⋅

⋅

=

⋅

=

ϖ

ϖ

ϖ

ϖ

ϖ

ϖ

ϖ

ϖ

(10.11)

[

]

)

cos(

)

cos(

2

1

)

cos(

)

cos(

y

x

y

x

y

x

−

+

+

=

⋅

)

cos(

2

1

)

2

cos(

2

1

)

(

i

u

m

m

i

u

m

m

I

U

t

I

U

t

p

Φ

−

Φ

⋅

⋅

+

Φ

+

Φ

+

⋅

⋅

=

ϖ

ϖ

ϖ

ϖ

Wi

ęęęę

c,  sygna

łłłł

p(t)  jest  sinusoid

ąąąą

o  cz

ęęęę

sto

śśśś

ci  2

ω

ω

ω

ω

przesuni

ęęęę

tej  ku  górze  (w  stron

ęęęę

dodatnich warto

śśśś

ci) o warto

ść

ść

ść

ść

sk

łłłł

adowej sta

łłłł

ej z wyra

żżżż

enia (10.11)

Je

śśśś

li  T  jest  okresem  sinusoidy  o 

cz

ęęęę

sto

śśśś

ci k

ąąąą

towej 

ω

ω

ω

ω

to

Kiedy p(t) jest dodatnia moc wp

łłłł

ywa do dwójnika (jest pobierana 

przez dwójnik), kiedy jest  ujemna to moc wyp

łłłł

ywa z dwójnika . 

b

ęęęę

dzie  okresem  sinusoidy  o  cz

ęęęę

sto

śśśś

ci 

k

ąąąą

towej  2

ω

ω

ω

ω

, to mamy:

Wyp

łłłł

yw  mocy  jest  mo

żżżż

liwy  z  powodu  obecno

śśśś

ci  elementów  przechowuj

ąąąą

cych  energi

ęęęę

: 

indukcyjno

śśśś

ci i pojemno

śśśś

ci, które mog

ąąąą

dostarcza

ćććć

te w

łłłł

asn

ąąąą

zmagazynowan

ąąąą

energi

ęęęę

do 

obwodu.

(10.11)

)

cos(

2

1

)

2

cos(

2

1

)

(

i

u

m

m

i

u

m

m

I

U

t

I

U

t

p

Φ

−

Φ

⋅

⋅

+

Φ

+

Φ

+

⋅

⋅

=

ϖ

ϖ

ϖ

ϖ

Moc pr

ą

du przemiennego

ω

ωω

ω

ππππ

2

=

T

2

2

2

T

T

=

=

≈

ω

ωω

ω

ππππ

(10.12)

(10.13)

a je

ś

li 

T

≈

Widoczne  jest, 

żżżż

e  p(t) ma  minimaln

ąąąą

warto

ść

ść

ść

ść

zerow

ąąąą

i  nieujemn

ąąąą

je

śśśś

li

Φ

Φ

Φ

Φ

u

=

Φ

Φ

Φ

Φ

i

. 

W  tym  przypadku  dwójnik  ma  charakter  czysto  rezystancyjny  i  moc  wp

łłłł

ywa  do  tego

dwójniaka (jest pobierana przez dwójnik) w ka

żżżż

dej chwili czasowej.