Obwody prądu przemiennego

Obwody prądu przemiennego

Jedn

ą

z licznych odmian pr

ą

du zmiennego jest pr

ą

d sinusoidalnie zmienny

)

2

(

sin

i

m

t

f

I

i

ϕ

π

+

=

Jest to pr

ą

d okresowo zmienny, którego warto

ść

chwilowa i zmienia si

ę

zgodnie ze wzorem

I

m

- warto

ść

maksymalna pr

ą

du (zwana te

ż

amplitud

ą

f - cz

ę

stotliwo

ść

zmiany pr

ą

du

ϕϕϕϕ

i

- faza pocz

ą

tkowa (faza w chwili t = 0)

gdzie:

i

α

0

I

m

π

2π

3π

4π

5π

ω

t

T

ϕ

ι

Obwody prądu przemiennego

)

cos(

)

(

Θ

⋅

=

Θ

A

f

We

ź

my sinusoidaln

ą

funkcj

ę

w postaci

gdzie: A jest amplitud

ą

lub

maksymaln

ą

warto

ś

ci

ą

, a

Θ

jest

k

ą

tem mierzonym w radianach

W przypadku sygnałów czasowo-
zmiennych k

ą

t

Θ

zmienia si

ę

proporcjonalnie do czasu:

Θ

=

ω

t

gdzie:

ω

jest nazywana cz

ę

sto

ś

ci

ą

k

ą

tow

ą

w radianach na sekund

ę

(skrót r/s).

Wtedy sinusoidalny sygna

ł

jest zapisany

)

cos(

)

(

t

A

f

⋅

⋅

=

Θ

ω

ωω

ω

(8.18)

(8.19)

to powtarza si

ę

w ci

ą

gu ka

ż

dego T sekund, gdzie T jest nazwane jest periodem

(okresem). K

ą

t

Θ

odpowiadaj

ą

cy jednemu okresowi jest 2

π

radianów. Dlatego

otrzymamy: 2

π

=

ω

T

T

⋅

=

⋅

ω

ωω

ω

ππππ

2

T

ππππ

ω

ωω

ω

2

=

(8.20)

Sygnał z rys. 8.7 mo

ż

e by

ć

zapisany

nast

ę

puj

ą

co:

Obwody prądu przemiennego

Liczba cykli (okresów) na ka

ż

d

ą

sekund

ę

jest cz

ę

stotliwo

ś

ci

ą

f

danego sygna

ł

u.

Jednostk

ą

jest Hertz (w skrócie Hz). Stosuj

ą

c (8.20) mamy

T

f

1

=

f

⋅

⋅

=

ππππ

ω

ωω

ω

2

)

2

cos(

)

(

t

f

A

f

⋅

⋅

⋅

⋅

=

Θ

ππππ

Wtedy

(8.22)

Ogólnie amplituda wyst

ę

powa

ć

w

dowolnym (ka

ż

dym) momencie

(chwili) czasu. (patrz rys. 8.7)

)

cos(

)

cos(

)

(

cos

)

(

1

1

Φ

+

⋅

=

−

⋅

=

−

⋅

=

t

A

t

t

A

t

t

A

t

f

ω

ωω

ω

ϖ

ϖ

ϖ

ϖ

ϖ

ϖ

ϖ

ϖ

ω

ωω

ω

Rys. 8.7

1

t

ϖ

ϖ

ϖ

ϖ

−

=

Φ

(8.21)

gdzie:

(8.23)

jest nazywany pocz

ą

tkowym k

ą

tem fazowym

(lub krótko faz

ą

) funkcji sinusoidalnej.

T

ππππ

ω

ωω

ω

2

=

T

t

1

2

ππππ

⋅

−

=

Φ

Podstawiaj

ą

c

ω

jest w radianach na sekund

ę

a

ω

t i

Φ

s

ą

, w radianach chocia

ż

praktycznie jest

u

ż

ywana miara w stopniach dla k

ą

ta

fazowego (dla fazy).

otrzymamy inne wyra

ż

enie na

Φ

(8.24)

Przykład 1

Obwody prądu przemiennego

A= 15, T= 8 ms,

Hz

T

f

125

10

8

1

1

3

=

∗

=

=

−

wi

ę

c

a dalej

s

r

f

⋅

⋅

=

⋅

⋅

=

ππππ

ππππ

ω

ωω

ω

250

2

4

8

1

2

ππππ

ππππ

−

=

⋅

−

=

Φ

co odpowiada 45

o

Wi

ę

c wyra

ż

enie na f(t) wygl

ą

da nast

ę

puj

ą

co:

)

45

250

cos(

15

)

(

o

−

⋅

⋅

⋅

=

t

t

f

ππππ

Obwody prądu przemiennego

Przykład 2

A= 5, T= 50 ms,

Hz

T

f

20

10

50

1

1

3

=

∗

=

=

−

wi

ę

c

a dalej

s

r

f

⋅

⋅

=

⋅

⋅

=

ππππ

ππππ

ω

ωω

ω

40

2

ππππ

ππππ

28

.

0

50

)

7

(

2

=

−

⋅

−

=

Φ

co odpowiada 50.4

o

Wi

ę

c wyra

ż

enie na f(t) wygl

ą

da nast

ę

puj

ą

co:

)

4

.

50

40

cos(

5

)

(

o

−

⋅

⋅

⋅

=

t

t

f

ππππ

Obwody prądu przemiennego

Chwila czasu w którym wyst

ę

puje maksimum jest u

ż

ywane dla okre

ś

lenia fazy sygna

ł

u

sinusoidalnego. Jednak

ż

e, sygna

ł

sinusoidalny ma niesko

ń

czon

ą

liczb

ę

dodatnich

maksimów. Dlatego k

ą

t fazowy mo

ż

e mie

ć

wi

ę

cej ni

ż

jedn

ą

warto

ść

. Zatem, taki sygna

ł

mo

ż

e mie

ć

posta

ć

:

n

t

A

t

A

⋅

⋅

±

Φ

+

⋅

=

Φ

+

⋅

ππππ

ϖ

ϖ

ϖ

ϖ

ω

ωω

ω

2

cos(

)

cos(

n

⋅

⋅

±

Φ

ππππ

2

gdzie n jest liczba ca

ł

kowita , a faza jest ogólnie okre

ś

lona przez:

Zwykle do okre

ś

lenia kata fazowego wybieramy dodatnie

maksimum po

ł

o

ż

one najbli

ż

ej pocz

ą

tkowi uk

ł

adu współrz

ę

dnych.

Przykład 3

A= 10, T= 16 ms,

Hz

T

f

5

.

62

10

16

1

1

3

=

∗

=

=

−

wi

ę

c

a dalej

s

r

f

⋅

⋅

=

⋅

⋅

=

ππππ

ππππ

ω

ωω

ω

125

2

r

..

75

.

1

16

14

2

ππππ

ππππ

−

=

⋅

−

=

Φ

Obliczamy k

ą

t fazowy jako,

ππππ

ππππ

ππππ

⋅

=

⋅

+

⋅

−

25

.

0

2

75

.

1

który odpowiada 45

o

Przykład 3

Obwody prądu przemiennego

Taki sam wynik mo

ż

e by

ć

otrzymany bior

ą

c do oblicze

ń

maksimum

najbli

ż

sze pocz

ą

tkowi układu współrz

ę

dnych . To wyst

ę

puje dla czasu

t

1

= -2 ms i wtedy mamy

ππππ

ππππ

⋅

=

−

⋅

−

=

Φ

25

.

0

16

)

2

(

2

Wtedy sygna

ł

jest okre

ś

lony:

)

45

7

.

392

cos(

10

)

(

o

+

⋅

⋅

=

t

t

f

Przykład 4

Obwody prądu przemiennego

Obliczmy k

ą

t przesuni

ę

cia fazowego pomi

ę

dzy:

Jedno wyra

ż

enie jest cosinus a drugie sinus. Dlatego konieczne jest sprowadzenie

obu wyra

ż

e

ń

do tej samej formy przed obliczeniami k

ą

ta przesuni

ę

cia fazowego.

)

20

1000

cos(

15

)

(

o

+

⋅

=

t

t

a

)

60

1000

sin(

120

)

(

o

+

⋅

=

t

t

b

Przed przekonwertowaniem sygnału b(t) w form

ę

cosinusa u

ż

yjemy

nast

ę

puj

ą

c

ą

to

ż

samo

ść

trygometryczn

ą

:

teraz mo

ż

emy okre

ś

li

ć

k

ą

t przesuni

ę

cia fazowego pomi

ę

dzy a(t) a b(t) u

ż

ywaj

ą

c

wyra

ż

enia (8.25)

o

90

cos(

sin

−

=

x

x

)

30

1000

cos(

120

)

90

60

1000

cos(

120

)

(

o

o

o

−

⋅

=

−

+

⋅

=

t

t

t

b

otrzymuj

ą

c:

o

o

o

50

)

30

(

20

=

−

−

=

Φ

−

Φ

b

a

To oznacza,

ż

e a(t) wyprzedza b(t) o k

ą

t 50

o

lub b(t) opó

ź

nia si

ę

wzgl

ę

dem a(t) o k

ą

t

)

cos(

)

(

a

t

A

t

a

Φ

+

⋅

=

ϖ

ϖ

ϖ

ϖ

)

cos(

)

(

b

t

B

t

b

Φ

+

⋅

=

ϖ

ϖ

ϖ

ϖ

b

a

Φ

−

Φ

Je

ś

li

Φ

a

>

Φ

b

wtedy a(t) wyprzedza b(t) o k

ą

t (

Φ

a

-

Φ

b

),

a je

ś

li

Φ

a

<

Φ

b

wtedy a(t) jest opó

ź

niony za b(t) o k

ą

t (

Φ

b

-

Φ

a

).

Je

ś

li mamy dwa sygnały sinusoidalne o tej samej cz

ę

stotliwo

ś

ci ale o ró

ż

nej

fazie pocz

ą

tkowej:

K

ą

t przesuni

ę

cia fazowego pomi

ę

dzy

a(t) a b(t) jest okre

ś

lane jako:

(8.25)

i, u

0

ω

t

ϕ

υ

ϕ

ϕ

ϕ

ι

i

u

Obwody prądu przemiennego

Warto

ść ś

rednia i skuteczna pr

ą

du przemiennego

Zapis wektorowy pr

ą

du sinusoidalnego

i, u

0

ω

t

ϕ

υ

ϕ

ϕ

ϕ

ι

i

u

Obwody prądu przemiennego

Warto

ść ś

rednia i skuteczna pr

ą

du przemiennego

Pr

Pr

Pr

Prąąąąd przemienny

d przemienny

d przemienny

d przemienny (AC

(AC

(AC

(AC---- ang

ang

ang

ang. . . .

alternate current

alternate current

alternate current

alternate current

),),),), pr

pr

pr

prąąąąd sta

d sta

d sta

d stałłłłyyyy (DC

(DC

(DC

(DC----ang

ang

ang

ang. . . .

direct current

direct current

direct current

direct current

))))

Pr

ą

d i napi

ę

cie sinusoidalnie zmienne, których warto

ś

ci chwilowe zmieni

ą

si

ę

Obwody prądu przemiennego

Zmienno

ść

sinusoidalna pr

ą

du w czasie utrudnia prowadzenie ró

ż

nego rodzaju

oblicze

ń

elektrycznych, prostych w przypadku pr

ą

du stałego. St

ą

d d

ąż

enie do

wprowadzenia w obliczeniach warto

ś

ci zast

ę

pczej – równowa

ż

nego pr

ą

du stałego

dla danego pr

ą

du sinusoidalnego. Wprowadzenie jednej uniwersalnej warto

ś

ci

zast

ę

pczej nie jest niestety mo

ż

liwe i warto

ść

zast

ę

pcza jest ró

ż

nie definiowana w

zale

ż

no

ś

ci od tego do jakich oblicze

ń

ma słu

ż

y

ć

.

)

2

(

sin

i

m

t

f

I

i

ϕ

π

+

=

I

m

- warto

ść

maksymalna pr

ą

du

(zwana te

ż

amplitud

ą

f - cz

ę

stotliwo

ść

zmiany pr

ą

du

ϕϕϕϕ

i

- faza pocz

ą

tkowa (faza w t = 0)

gdzie:

i

α

0

I

m

π

2π

3π

4π

5π

ω

t

T

ϕ

ι

Obwody prądu przemiennego

Warto

ść ś

rednia i skuteczna pr

ą

du przemiennego

Dla pr

ą

du posługujemy si

ę

warto

ś

ci

ą ś

redni

ą

, któr

ą

definiujemy:

(9.1)

Dla przebiegu sinusoidalnie zmiennego
warto

ść ś

rednia wynosi 0.

Przy

analizie

przebiegu

sinusoidalnego

wyprostowanego

dwupołówkowo) mo

ż

na posłu

ż

y

ć

si

ę

warto

ś

ci

ą ś

redni

ą

wyznaczon

ą

dla połowy okresu.

(

)

m

T

m

T

m

ś

r

I

t

T

I

dt

t

I

T

I

ππππ

ω

ωω

ω

ω

ωω

ω

2

cos

2

sin

2

2

/

0

2

/

0

=

−

=

=

∫

∫

⋅

=

T

ś

r

dt

i

T

I

0

1

m

m

ś

r

I

I

I

637

,

0

2

≈

=

ππππ

(9.2)

Obwody prądu przemiennego

Warto

ść ś

rednia i skuteczna pr

ą

du przemiennego

W rozwa

ż

aniach energetycznych pr

ą

d sinusoidalny wyra

ż

amy umown

ą

warto

ś

ci

ą

równowa

ż

n

ą

pod wzgl

ę

dem energii pr

ą

dowi stałego, który nazywamy warto

ś

ci

ą

skuteczn

ą

danego pr

ą

du sinusoidalnego i oznaczamy – podobnie jak warto

ść

pr

ą

du

stałego – oznaczonego liter

ą

I

.

(9.3)

Ten

równowa

ż

ny

pr

ą

d

stały

ma

wydzieli

ć

na

rezystorze

R

w ci

ą

gu czasu T tak

ą

sam

ą

energi

ę

ciepln

ą

, jak dany pr

ą

d sinusoidalny.

Wtedy mo

ż

emy zapisa

ć

:

Analogowe

(wychyłowe)

przyrz

ą

dy

magnetoelektryczne

mierz

ą

warto

ść

ś

redni

ą

,

a przyrz

ą

dy elektromagnetyczne

−−−−

warto

ść

skuteczn

ą

.

∫

=

T

dt

i

R

T

I

R

0

2

2

i otrzymujemy:

2

sin

1

1

2

0

2

2

0

2

m

T

m

T

I

dt

t

I

T

dt

i

T

I

=

=

=

∫

∫

ω

ωω

ω

m

m

I

I

I

707

,

0

2

≈

=

warto

ś

ci

ś

rednie

i

skuteczne

oraz

analogiczne wzory przeliczeniowe s

ą

stosowane

tak

ż

e

do

napi

ęć

i

sił

elektromotorycznych

Obwody prądu przemiennego

Zapis wektorowy pr

ą

du sinusoidalnego

Dotychczasowe

rozwa

ż

ania

dotyczyły

zapisu

pr

ą

du

w

postaci

funkcji

trygonometrycznej. Przebieg dowolnej wielko

ś

ci sinusoidalnie zmiennej mo

ż

na

przedstawi

ć

za pomoc

ą

wektora wiruj

ą

cego za sta

łą

pr

ę

dko

ś

ci

ą

k

ą

tow

ą

Na rys. przedstawiono wektor o warto

ś

ci równej amplitudzie przebiegu

sinusoidalnego (I

m

) wiruj

ą

cy z pr

ę

dko

ś

ci

ą

k

ą

tow

ą

ω

ωω

ω

= 2

ππππ

f. Warto

ść

chwilow

ą

pr

ą

du i reprezentuje składowa pionowa wiruj

ą

cego wektora.

i

0

π

2π

ω

t

ω

t

I

m

I

m

i = I

m

sin

ω

t

Na wykresach wskazowych wskazy przedstawiane s

ą

w „stanie

zatrzymanym” (na ogó

ł

w chwili t = 0). W praktyce dla wygody

posługujemy si

ę

wskazami o długo

ś

ci równej warto

ś

ci skutecznej (a

wi

ę

c zmniejszonymi w stosunku 1 :

do warto

ś

ci maksymalnej).

Wektor przedstawiaj

ą

cy wielko

ść

elektryczn

ą

nazywany jest wskazem

lub fazorem (dla odró

ż

nienia od innych wektorów np. matematycznych

lub fizycznych). Wskazy podobnie jak wektory mo

ż

na dodawa

ć

odejmowa

ć

itd.

Obwody prądu przemiennego

Zapis wektorowy pr

ą

du sinusoidalnego

2

i

0

π

2π

ω

t

ω

t

I

m

I

m

i = I

m

sin

ω

t

Przedstawienie wielko

ś

ci sinusoidalnych w postaci wektorów na płaszczy

ź

nie

umo

ż

liwia wprowadzenie do oblicze

ń

obwodów pr

ą

dów sinusoidalnych liczb

zespolonych (metody symbolicznej), co znacznie upraszcza te obliczenia.

T

ą

posta

ć

liczby zespolonej nazywamy postaci

ą

kanoniczn

ą

. Liczb

ę

(rzeczywist

ą

)

a

nazywamy cz

ęś

ci

ą

rzeczywist

ą

, za

ś

liczb

ę

b

cz

ęś

ci

ą

urojon

ą

liczby zespolonej

z

.

Liczby zespolone interpretujemy geometrycznie jako
punkty płaszczyzny. Liczbie zespolonej a + jb odpowiada
punkt o współrzędnych (a,b) płaszczyzny zaopatrzonej w
prostokątny układ współrzędnych. Punktom osi OX
odpowiadają liczby rzeczywiste. Płaszczyznę, na której
umieściliśmy liczby zespolone, nazywamy płaszczyzną
Gaussa.

Obwody prądu przemiennego

Zapis symboliczny pr

ą

du sinusoidalnego; liczby zespolone

jb

a

z

+

=

1

2

−

=

j

Cz

ęść

rzeczywist

ą

oznaczamy Re z, a

cz

ęść

urojon

ą

symbolem Im z, mamy wi

ę

c:

Re z = a
Im z = b

1

−

=

j

gdzie:

lub

(9.4)

j

jb

A

α

0 a 1

Z

K

ą

t

α

, to k

ą

t który wektor tworzy z prost

ą

Re i oznaczmy go przez arg(z)

Obwody prądu przemiennego

Zapis symboliczny pr

ą

du sinusoidalnego; liczby zespolone

Ka

ż

dej liczbie zespolonej mo

ż

na przyporz

ą

dkowa

ć

wektor

jest równa

Długość wektora

j

jb

A

α

0 a 1

Z

)

,

( b

a

z

=

→

z

→

2

2

b

a

z

+

=

→

a dla liczby zespolonej z moduł

0

2

2

≥

+

=

b

a

z

Widoczne jest, że

z

b

=

αααα

sin

z

a

=

αααα

cos

Liczba zespolona r

Liczba zespolona r

Liczba zespolona r

Liczba zespolona różżżżna od zera ma zatem niesko

na od zera ma zatem niesko

na od zera ma zatem niesko

na od zera ma zatem nieskońńńńczenie

czenie

czenie

czenie

wiele argument

wiele argument

wiele argument

wiele argumentów, ale tylko jeden modu

w, ale tylko jeden modu

w, ale tylko jeden modu

w, ale tylko jeden modułłłł....

Liczba zespolona mo

Liczba zespolona mo

Liczba zespolona mo

Liczba zespolona możżżże by

e by

e by

e byćććć wyra

wyra

wyra

wyrażżżżona przez d

ona przez d

ona przez d

ona przez dłłłługo

ugo

ugo

ugość

ść

ść

ść jej

jej

jej

jej

wektora (modu

wektora (modu

wektora (modu

wektora (modułłłł) oraz k

) oraz k

) oraz k

) oraz kąąąąt skierowany (argument):

t skierowany (argument):

t skierowany (argument):

t skierowany (argument):

)

sin

(cos

αααα

αααα

j

z

z

b

z

j

z

a

z

jb

a

z

+

=

+

=

+

=

jest to postać trygometryczna

(9.7)

(9.5)

(9.6b)

(9.6a)

Je

ś

li liczba

(9.8)

Obwody prądu przemiennego

Zapis symboliczny pr

ą

du sinusoidalnego; liczby zespolone

a funkcje sinus i cosinus zapiszemy za
pomoc

ąąąą

funkcji wyk

łłłł

adniczej (wzory Eulera):

mamy:

mamy:

mamy:

mamy:

)

sin

(cos

αααα

αααα

j

z

z

+

=

j

e

e

j

j

2

sin

ψ

ψψ

ψ

ψ

ψψ

ψ

ψ

ψψ

ψ

−

−

=

j

e

e

j

j

2

cos

ψ

ψψ

ψ

ψ

ψψ

ψ

ψ

ψψ

ψ

−

+

=

ψ

ψψ

ψ

ψ

ψψ

ψ

ψ

ψψ

ψ

ψ

ψψ

ψ

ψ

ψψ

ψ

ψ

ψψ

ψ

ψ

ψψ

ψ

ψ

ψψ

ψ

ψ

ψψ

ψ

ψ

ψψ

ψ

ψ

ψψ

ψ

j

j

j

j

j

j

j

j

j

e

e

e

e

e

j

e

e

j

e

e

=

−

+

+

=

−

+

+

=

+

−

−

−

−

2

2

2

sin

cos

jest to posta

ć

wyk

ł

adnicza liczby zespolonej z:

Zatem ostatecznie

αααα

αααα

αααα

j

e

z

j

z

z

=

+

=

sin

(cos

αααα

j

e

z

z

=

j

jb

A

α

0 a 1

Z

(9.8)

Znaj

ąąąą

c cz

ęęęę

sto

ść

ść

ść

ść

ko

łłłł

ow

ąąąą

ω

ω

ω

ω

wskazu A funkcji sinusoidalnej mo

żżżż

emy j

ąąąą

wyrazi

ćććć

:

a ich

a ich

a ich

a ich wskazy

wskazy

wskazy

wskazy oznaczymy odpowiednio przez

oznaczymy odpowiednio przez

oznaczymy odpowiednio przez

oznaczymy odpowiednio przez

A

A

A

A

i i i i

B

B

B

B

tej funkcji przypiszemy liczb

tej funkcji przypiszemy liczb

tej funkcji przypiszemy liczb

tej funkcji przypiszemy liczbęęęę zespolon

zespolon

zespolon

zespolonąąąą

AAAA

, nazwana

, nazwana

, nazwana

, nazwana wskazem

wskazem

wskazem

wskazem zgodnie z

zgodnie z

zgodnie z

zgodnie z

powy

powy

powy

powyżżżższymi zale

szymi zale

szymi zale

szymi zależżżżno

no

no

nośśśściami:

ciami:

ciami:

ciami:

sygna

sygna

sygna

sygnałłłł sinusoidalny

sinusoidalny

sinusoidalny

sinusoidalny

Rozwa

żżżż

my dwa sygna

łłłł

y sinusoidalne:

Obwody prądu przemiennego

Zapis symboliczny pr

ą

du sinusoidalnego; liczby zespolone

)

cos(

ϕϕϕϕ

ω

ωω

ω

+

⋅

t

A

m

ϕϕϕϕ

j

m

e

A

A

⋅

=

)

cos(

)

Re(

)

Re(

)

(

ϕϕϕϕ

ω

ωω

ω

ϕϕϕϕ

ω

ωω

ω

ω

ωω

ω

+

⋅

=

⋅

=

⋅

+

t

A

e

A

e

A

m

t

j

m

t

j

)

cos(

)

(

1

A

m

t

A

t

x

Φ

+

⋅

=

ϖ

ϖ

ϖ

ϖ

)

cos(

)

(

2

B

m

t

B

t

x

Φ

+

⋅

=

ϖ

ϖ

ϖ

ϖ

(9.10)

(9.9)

(9.11)

(9.12b)

(9.12a)

Te dwa sygna

ł

y sinusoidalne

Lemat 1

We

źźźź

my dwie liczby rzeczywiste

αααα

i

ββββ

. To sinusoidalny sygna

łłłł

Obwody prądu przemiennego

Zapis symboliczny pr

ą

du sinusoidalnego; liczby zespolone

)

Re(

)

(

1

t

j

e

A

t

x

ω

ωω

ω

⋅

=

)

Re(

)

(

2

t

j

e

B

t

x

ω

ωω

ω

⋅

=

s

ąąąą

równe wtedy i tylko wtedy je

śśśś

li ich

wskazy s

ą

równe ,

czyli A=B

Lemat 2

)

(

)

(

)

(

2

1

t

x

t

x

t

y

⋅

+

⋅

=

ββββ

αααα

mo

żżżż

e by

ćććć

zapisany jako wskaz

B

A

C

⋅

+

⋅

=

ββββ

αααα

)

Re(

)

Re(

B

A

=

)

Im(

)

Im(

B

A

=

(9.13)

(9.14)

(9.15)

(9.16)

(9.17)

(9.18)

Je

śśśś

li A jest wskazem opisuj

ąąąą

cym sinusoidalny sygna

łłłł

(9.19)

(9.20)

Obwody prądu przemiennego

Zapis symboliczny pr

ą

du sinusoidalnego; liczby zespolone

Lemat 3

to zachodzi zale

żżżż

no

ść

ϕϕϕϕ

j

m

e

A

A

⋅

=

)

Re(

))

(Re(

t

j

t

j

e

A

j

e

A

dt

d

ω

ωω

ω

ω

ωω

ω

ω

ωω

ω

⋅

=

⋅

Liniowy rezystor R jest opisany równaniem

Obwody prądu przemiennego

Wskazy podstawowych elementów obwodów elektrycznych

Teraz rozwa

ż

my typowe elementy obwodów elektrycznych i

wyra

ź

my ich zale

ż

no

śśśś

ci napi

ęęęę

cie-pr

ą

d za pomoc

ąąąą

wskazów

Oznaczmy przez V i I odpowiednio wskazy napi

ęęęę

cia i pr

ąąąą

du

Stosuj

ąąąą

c Lemat 1 otrzymamy

)

(

)

(

t

i

R

t

v

⋅

=

I

R

V

⋅

=

które wyra

żżżż

a zale

żżżż

no

ść

ść

ść

ść

napi

ęęęę

cie –pr

ąąąą

d liniowego rezystora

za pomoc

ąąąą

wskazów

v(t)

i(t)

R

(9.21)

(9.22)

Rezystor

Indukcyjno

ść

(9.24)

Stosuj

ąąąą

c jak powy

żżżż

ej dla rezystora mamy

a Lemat 1 pozwala zapisa

ćććć

w postaci:

(9.25)

Na podstawie Lematu 3 mo

żżżż

emy to równanie zapisa

ćććć

w postaci:

Obwody prądu przemiennego

dt

t

di

L

t

v

)

(

)

(

⋅

=

))

(Re(

)

Re(

t

j

t

j

e

I

dt

d

L

e

V

ω

ωω

ω

ω

ωω

ω

⋅

⋅

=

⋅

)

Re(

)

Re(

t

j

t

j

e

I

L

j

e

V

ω

ωω

ω

ω

ωω

ω

ω

ωω

ω

⋅

⋅

⋅

=

⋅

I

L

j

V

⋅

⋅

=

ω

ωω

ω

v(t)

i(t)

L

(9.23)

Wskazy podstawowych elementów obwodów elektrycznych

Stosuj

ą

c podobne zale

ż

no

ś

ci jak dla R i L, dla pojemno

ś

ci otrzymamy:

(9.26)

lub

(9.27)

Obwody prądu przemiennego

Pojemno

ść

dt

dv

C

i

C

⋅

=

V

C

j

I

⋅

⋅

=

ω

ωω

ω

I

C

j

I

C

j

V

⋅

−

=

⋅

=

ω

ωω

ω

ω

ωω

ω

1

1

C

v(t)

i(t)

Wskazy podstawowych elementów obwodów elektrycznych

Rozwa

ż

my sygna

łłłł

sinusoidalny

i odpowiadaj

ąąąą

cy jemu wskaz

Wskaz , b

ęęęę

d

ąąąą

c liczb

ąąąą

zespolon

ąąąą

mo

żżżż

e by

ćććć

wykre

śśśś

lony

na p

łłłł

aszczy

źźźź

nie zespolonej jako wektor (od punktu

zerowego uk

łłłł

adu wspó

łłłł

rz

ęęęę

dnych do punktu A (rys.)

rzutuj

ą

c na poziom

ąąąą

o

śśśś

koniec tego wektora mamy

(9.28)

(9.30)

D

łłłł

ugo

ść

ść

ść

ść

tego wektora jest A

m

a faza (k

ąąąą

t fazowy)

αααα

.

Do wizualizacji sygna

łłłł

u sinusoidalnego x(t)

obracamy ten wektor przeciwnie do ruchu zegara o
pr

ęęęę

dko

ść

ść

ść

ść

k

ąąąą

tow

ąąąą ω

ω

ω

ω

. Je

śśśś

li czas t wzrasta k

ąąąą

t

ω

ω

ω

ω

t

wzrasta z pr

ęęęę

dko

śśśś

ci

ąąąą

k

ąąąą

tow

ąąąą ω

ω

ω

ω

i wiruj

ąąąą

cy wektor

jest prezentowany jako:

(9.29)

ω

α

0

αααα

ω

ωω

ω

+

t

)

Im(

t

j

Ae

ω

ωω

ω

)

Re(

t

j

Ae

ω

ωω

ω

t

j

Ae

ω

ωω

ω

αααα

j

m

e

A

A

=

Im(Ae

jωt

)

Re(Ae

jωt

)

Ae

jα

ωt + α

A = A

m

e

jα

Obwody prądu przemiennego

Wykresy wskazowe

)

cos(

)

(

αααα

ϖ

ϖ

ϖ

ϖ

+

⋅

=

t

A

t

x

m

αααα

j

m

e

A

A

⋅

=

t

j

e

A

ω

ωω

ω

⋅

m

t

j

t

j

A

A

e

A

e

A

=

=

⋅

=

⋅

ω

ωω

ω

ω

ωω

ω

D

łłłł

ugo

ść

ść

ść

ść

wektora pozostaje taka sama

dla czasu t

)

cos(

αααα

ϖ

ϖ

ϖ

ϖ

+

⋅

t

A

m

(9.28)

Równania

(9.22)

,

(9.25)

,

(9.27)

, ) mog

ąąąą

by

ćććć

graficznie przedstawione poprzez

nakre

śśśś

lone wektory odpowiadaj

ąąąą

ce wskazom napi

ęęęę

cia i pr

ąąąą

du. Takie rysunki

to wykresy wskazowe (diagramy wskazowe).

I

V = RI

Obwody prądu przemiennego

Wykres wskazowy rezystora

I

R

V

⋅

=

(9.22)

Wykresy wskazowe

lub mo

żżżż

emy powiedzie

ćććć

,

żżżż

e napi

ęęęę

cie na L wyprzedza pr

ą

d indukcyjno

śśśś

ci o 90

o

.

to oznacza,

żżżż

e faza napi

ęęęę

cia jest wi

ęęęę

ksza ni

żżżż

faza pr

ąąąą

du o 90

o

.

V

90

o

I

Obwody prądu przemiennego

Wykres wskazowy indukcyjno

ś

ci

I

e

L

I

L

j

V

o

j

⋅

⋅

⋅

=

⋅

⋅

=

90

ω

ωω

ω

ω

ωω

ω

(9.25)

I

L

j

V

⋅

⋅

=

ω

ωω

ω

faza napi

ęęęę

cia jest mniejsza ni

żżżż

faza pr

ąąąą

du o 90

o

(jak na rys).

to znaczy,

żżżż

e napi

ęęęę

cie na pojemno

śśśś

ci jest opó

źźźź

nione wzgl

ęęęę

dem pr

ąąąą

du o 90

o

.

V

I

-90

o

Obwody prądu przemiennego

Wykres wskazowy pojemno

ś

ci

I

e

C

I

C

j

I

C

j

V

o

j

⋅

⋅

⋅

=

⋅

−

=

⋅

=

−

90

1

1

1

ω

ωω

ω

ω

ωω

ω

ω

ωω

ω

(9.27)

I

C

j

I

C

j

V

⋅

−

=

⋅

=

ω

ωω

ω

ω

ωω

ω

1

1

Rozwa

żżżż

my obwód pokazany na rys., gdzie jednowej

śśśś

ciowy uk

łłłł

ad zawieraj

ąąąą

cy rezystor,

indukcyjno

ść

ść

ść

ść

i pojemno

ść

ść

ść

ść

jest zasilany przez sinusoidalne

źźźź

ród

łłłł

o pr

ąąąą

dowe:

Zak

łłłł

adamy

żżżż

e obwód jest w stanie ustalonym. Wtedy napi

ęęęę

cie v(t) o sta

łłłł

ej

cz

ęęęę

sto

śśśś

ci ko

łłłł

owej

ω

ω

ω

ω

mo

żżżż

e by

ćććć

przedstawione przez wskaz napi

ęęęę

cia V

Zale

ż

no

ść

a podstawiaj

ą

c

okre

śśśś

lamy jako impedancj

ę

dwójnika

gdzie:

v(t)

i(t)

Obwody prądu przemiennego

Impedancja i admitancja

)

Re(

)

cos(

)

(

1

t

i

e

I

t

I

t

i

ω

ωω

ω

ϕϕϕϕ

ω

ωω

ω

⋅

=

+

=

)

Re(

)

cos(

)

(

t

j

V

e

V

V

t

v

ω

ωω

ω

ϕϕϕϕ

ω

ωω

ω

⋅

=

+

=

Z

I

V

=

(9.31)

v

j

e

V

V

ϕϕϕϕ

⋅

=

i

j

e

I

I

ϕϕϕϕ

⋅

=

mamy:

ϕϕϕϕ

j

e

Z

Z

⋅

=

(9.32)

I

V

Z

=

i

v

ϕϕϕϕ

ϕϕϕϕ

ϕϕϕϕ

−

=

(9.33)

Wtedy napi

ęęęę

cie v(t) mo

żżżż

na zapisa

ćććć

w postaci:

Impedancja Z dana wyra

żżżż

eniem mo

żżżż

e by

ćććć

transformowana w posta

ćććć

algebraiczn

ąąąą

u

żżżż

ywaj

ąąąą

c

Impedancja pe

łłłł

ni podobn

ąąąą

rol

ęęęę

jak rezystancja w obwodach rezystancyjnych. To nam pozwala

rozwi

ąąąą

zywa

ćććć

analizowa

ćććć

obwody pr

ąąąą

du sinusoidalnego stosuj

ąąąą

c algebr

ęęęę

liczb zespolonych.

0

R

φ

|Z|

X

Re(Z)

Im(Z)

Obwody prądu przemiennego

Impedancja i admitancja

=

⋅

⋅

=

⋅

⋅

=

⋅

=

+

+

ϕϕϕϕ

ϕϕϕϕ

ω

ωω

ω

ω

ωω

ω

ω

ωω

ω

i

t

j

t

j

t

j

e

I

Z

e

I

Z

e

V

t

v

(

Re(

)

Re(

)

Re(

)

(

)

cos(

ϕϕϕϕ

ϕϕϕϕ

ω

ωω

ω

+

+

⋅

⋅

=

i

t

I

Z

Jednostka impedancji jest om.

Jednostka impedancji jest om.

Jednostka impedancji jest om.

Jednostka impedancji jest om.

ϕϕϕϕ

ϕϕϕϕ

sin

(cos

j

Z

Z

+

=

(9.34)

otrzymamy

Wtedy mo

ż

emy narysowa

ć

tzw. trójk

ąąąą

t impedancji

Oznaczaj

ą

c

ϕϕϕϕ

cos

)

Re(

⋅

=

=

Z

Z

R

ϕϕϕϕ

sin

)

Im(

⋅

=

=

Z

Z

X

wzoru Eulera. Wtedy mamy:

jX

R

Z

+

=

(9.35)

2

2

X

R

Z

+

=













=

−

R

X

1

tan

ϕϕϕϕ

k

ą

t fazowy

Warto

ść

impedancji

Impedancja pe

łłłł

ni podobn

ąąąą

rol

ęęęę

jak rezystancja w obwodach rezystancyjnych.

To nam pozwala rozwi

ąąąą

zywa

ćććć

analizowa

ćććć

obwody pr

ąąąą

du sinusoidalnego

stosuj

ąąąą

c algebr

ęęęę

liczb zespolonych.

0

R

φ

|Z|

X

Re(Z)

Im(Z)

Obwody prądu przemiennego

Impedancja i admitancja

Jednostka impedancji jest om.

Jednostka impedancji jest om.

Jednostka impedancji jest om.

Jednostka impedancji jest om.

Wtedy mo

ż

emy narysowa

ć

tzw. trójk

ąąąą

t impedancji

jX

R

Z

+

=

(9.35)

2

2

X

R

Z

+

=













=

−

R

X

1

tan

ϕϕϕϕ

k

ą

t fazowy

Warto

ść

impedancji

U

2

U

1

I

Z

2

Z

1

U

Dwa elementy poł

ą

czone szeregowo okre

ś

lone przez ich impedancje Z

1

i Z

2

Szeregowe poł

ą

czenie dwóch impedancji

Stosuj

ą

c II prawo Kirchhoffa mamy:

Odwrotno

ść

impedancji Z

to Y, która jest nazywana
admitancj

ą

:

Jednostk

ą

admitancji jest

simens, skrót: S=

Ω

-1

Podstawiaj

ą

c za Z równanie

Impedancja i admitancja

2

1

U

U

U

+

=

(10.1)

2

1

2

1

Z

Z

I

U

U

I

U

Z

+

=

+

=

=

(10.2)

Z

Y

1

=

(10.3)

ϕϕϕϕ

j

e

Z

Z

⋅

=

Wi

ę

c warto

ść

admitancji jest równa odwrotno

ś

ci impedancji a faza jest równa fazie

impedancji z przeciwnym znakiem. Wstawiaj

ą

c równanie (9.35) do równania (10.4)

otrzymujemy

ϕϕϕϕ

ϕϕϕϕ

j

j

e

Z

e

Z

Y

−

⋅

=

⋅

=

1

1

(10.4)

2

2

2

2

2

2

1

X

R

X

j

X

R

R

X

R

jX

R

jX

R

Y

+

−

+

=

+

−

=

+

=

jB

G

Y

+

=

(10.5)

Wykorzystuj

ą

c zale

ż

no

ś

ci (10.6) i (10.7) mo

ż

emy narysowa

ć

tzw. trójk

ą

t admitancji na płaszczy

ź

nie zespolonej (patrz rys.)

0

G

-φ

|Y|

B

Re(Y)

Im(Y)

jB

G

Y

+

=

(10.5)

2

2

X

R

R

G

+

=

2

2

X

R

X

B

+

−

=

W wyra

ż

eniu (10.5)

jest konduktancj

ą

, lub

przewodno

ś

ci

ą

czynn

ą

Jednostk

ą

G i B jest simens

jest susceptancj

ą

lub

przewodno

ś

ci

ą

biern

ą

Widzimy,

ż

e element jest pojemno

ś

ciowy je

ś

li B jest dodatnie

a indukcyjny je

ś

li B jest ujemne.

U

ż

ywaj

ą

c (10.5) i (10.4) otrzymamy:

Je

ś

li reaktancja jest dodatnia (X>0) to ten element nazywa

si

ę

indukcyjny, je

ś

li X<0, to nazywany jest pojemno

ś

ciowy

2

2

B

G

Y

+

=













=

−

=

−

G

B

Y

1

tan

ϕϕϕϕ

<

(10.6)

(10.7)

Impedancja i admitancja

Równoleg

ł

e poł

ą

czenie dwóch admitancji

I

1

I

2

I

Y

2

Y

1

V

Dwa elementy o admitancjach Y

1

i Y

2

poł

ą

czone równolegle

Na postawie I prawa Kirchhoffa

A admitancja tego obwodu:

2

1

I

I

I

+

=

2

1

2

1

Y

Y

U

I

U

I

U

I

Y

+

=

+

=

=

i

L

R

v

S

Ω

+

=

+

=

)

5

10

(

j

L

j

R

Z

ω

ωω

ω

Mamy R= 10

Ω

, L=50 mH, v

S

=100cos(100t) woltów.

Przykład 1

Okre

ś

lmy impedancj

ę

tego dwójnika

nast

ę

pnie znajd

ź

my wskaz napi

ę

cia

ź

ródła i wskaz pr

ą

du

wi

ę

c pr

ą

d w stanie ustalonym w domenie czasu wynosi:

V

e

V

j

S

100

100

0

=

⋅

=

A

e

j

j

j

Z

V

I

o

j

S

6

.

26

94

.

8

)

4

8

(

125

5

10

100

5

10

100

−

⋅

=

−

=

−

⋅

=

+

=

=

A

t

e

e

I

t

i

o

t

j

t

j

o

)

6

.

26

cos(

94

.

8

)

94

.

8

Re(

)

Re(

)

(

)

6

.

26

(

−

=

=

⋅

=

−

ω

ωω

ω

ω

ωω

ω

ω

ωω

ω

Impedancja i admitancja

Graficzna prezentacja relacji pomi

ę

dzy wskazami pr

ą

du i napi

ę

cia nazywana

jest wykresem wskazowym danego obwodu.

spadek napi

ęęęę

cia U

1

wyprzedza pr

ąąąą

d o 90

o

. Wi

ęęęę

c

rysujemy wskaz U

1

skierowany prostopadle ku

górze. Spadek napi

ęęęę

cia U

2

= RI ma te sam

ąąąą

faz

ęęęę

co pr

ąąąą

d wi

ęęęę

c wskaz U

2

jest poziomy tak jak wskaz I.

U

ż

yjemy wskazu pr

ą

du jako poziomego

kierunku odniesienia i rozwa

ż

ymy wskazy

spadków

napi

ęć

poszczególnych

składników obwodu

spadek napi

ęęęę

cia U

3

jest opó

źźźź

niony wzgl

ęęęę

dem pr

ąąąą

du I o 90

o

.

Dlatego U

3

jest narysowany prostopad

łłłł

e w dó

łłłł

.

I

L

R

U

2

U

1

U

S

U

3

C

Wykresy wskazowe obwodów

I

U

U

3

U

2

U

1

o

j

e

LI

I

L

j

U

90

1

⋅

=

⋅

⋅

=

ω

ωω

ω

ω

ωω

ω

o

j

e

I

C

j

U

90

3

1

−

⋅

⋅

−

=

ω

ωω

ω

Te trzy wskazy dodane wektorowo daj

ą

wskaz ca

łłłł

kowitego

spadku napi

ęęęę

cia na tych trzech elementach obwodu

i(t)

v(t)

Moc pr

ą

du przemiennego

Rozwa

żżżż

my dwójnik zawieraj

ąąąą

cy rezystory, pojemno

śśśś

ci i indukcyjno

śśśś

ci zasilany v(t)

Wi

ęęęę

c, moc chwilowa jest sum

ąąąą

dwóch sk

łłłł

adowych:

pierwszej, sinusoidalnej funkcji o amplitudzie 0.5 V

m

I

m

i

cz

ęęęę

sto

śśśś

ci dwa razy wi

ęęęę

kszej

ni

żżżż

napi

ęęęę

cie i pr

ąąąą

d,

drugiej

sk

łłłł

adowej sta

łłłł

ej (nie zale

żżżż

y od cz

ęęęę

sto

śśśś

ci i czasu)

której warto

ść

ść

ść

ść

zale

żżżż

y od

amplitud napi

ęęęę

cia i pr

ąąąą

du oraz od k

ąąąą

ta fazowego pomi

ęęęę

dzy napi

ęęęę

ciem i pr

ąąąą

dem.

(10.10)

(10.8)

(10.9)

)

cos(

)

(

u

m

t

U

t

u

Φ

+

⋅

=

ϖ

ϖ

ϖ

ϖ

)

cos(

)

(

i

m

t

I

t

i

Φ

+

⋅

=

ϖ

ϖ

ϖ

ϖ

)

cos(

)

cos(

)

(

)

(

)

(

i

u

m

m

t

t

I

U

t

i

t

u

t

p

Φ

+

⋅

Φ

+

⋅

⋅

=

⋅

=

ϖ

ϖ

ϖ

ϖ

ϖ

ϖ

ϖ

ϖ

(10.11)

[

]

)

cos(

)

cos(

2

1

)

cos(

)

cos(

y

x

y

x

y

x

−

+

+

=

⋅

)

cos(

2

1

)

2

cos(

2

1

)

(

i

u

m

m

i

u

m

m

I

U

t

I

U

t

p

Φ

−

Φ

⋅

⋅

+

Φ

+

Φ

+

⋅

⋅

=

ϖ

ϖ

ϖ

ϖ

Wi

ęęęę

c, sygna

łłłł

p(t) jest sinusoid

ąąąą

o cz

ęęęę

sto

śśśś

ci 2

ω

ω

ω

ω

przesuni

ęęęę

tej ku górze (w stron

ęęęę

dodatnich warto

śśśś

ci) o warto

ść

ść

ść

ść

sk

łłłł

adowej sta

łłłł

ej z wyra

żżżż

enia (10.11)

Je

śśśś

li T jest okresem sinusoidy o

cz

ęęęę

sto

śśśś

ci k

ąąąą

towej

ω

ω

ω

ω

to

Kiedy p(t) jest dodatnia moc wp

łłłł

ywa do dwójnika (jest pobierana

przez dwójnik), kiedy jest ujemna to moc wyp

łłłł

ywa z dwójnika .

b

ęęęę

dzie okresem sinusoidy o cz

ęęęę

sto

śśśś

ci

k

ąąąą

towej 2

ω

ω

ω

ω

, to mamy:

Wyp

łłłł

yw mocy jest mo

żżżż

liwy z powodu obecno

śśśś

ci elementów przechowuj

ąąąą

cych energi

ęęęę

:

indukcyjno

śśśś

ci i pojemno

śśśś

ci, które mog

ąąąą

dostarcza

ćććć

te w

łłłł

asn

ąąąą

zmagazynowan

ąąąą

energi

ęęęę

do

obwodu.

(10.11)

)

cos(

2

1

)

2

cos(

2

1

)

(

i

u

m

m

i

u

m

m

I

U

t

I

U

t

p

Φ

−

Φ

⋅

⋅

+

Φ

+

Φ

+

⋅

⋅

=

ϖ

ϖ

ϖ

ϖ

Moc pr

ą

du przemiennego

ω

ωω

ω

ππππ

2

=

T

2

2

2

T

T

=

=

≈

ω

ωω

ω

ππππ

(10.12)

(10.13)

a je

ś

li

T

≈

Widoczne jest,

żżżż

e p(t) ma minimaln

ąąąą

warto

ść

ść

ść

ść

zerow

ąąąą

i nieujemn

ąąąą

je

śśśś

li

Φ

Φ

Φ

Φ

u

=

Φ

Φ

Φ

Φ

i

.

W tym przypadku dwójnik ma charakter czysto rezystancyjny i moc wp

łłłł

ywa do tego

dwójniaka (jest pobierana przez dwójnik) w ka

żżżż

dej chwili czasowej.

Bardzo wa

ż

na rol

ę

w analizie pr

ą

du sinusoidalnie zmiennego odgrywa moc

ś

rednia

Moc pr

ą

du przemiennego: moc

ś

rednia

Jest to

ś

rednia warto

ść

mocy chwilowej w ca

ł

ym przedziale T, gdzie T jest okresem

sinusoidy napi

ę

cia lub pr

ą

du;

∫

=

T

ś

r

dt

t

p

T

P

0

)

(

1

(10.14)

wstawiaj

ąąąą

c (10.11) mamy:

∫









Φ

−

Φ

⋅

⋅

+

Φ

+

Φ

+

=

T

i

u

m

m

i

u

m

m

ś

r

dt

I

U

t

I

U

T

P

0

)

cos(

2

1

)

2

cos(

2

1

ϖ

ϖ

ϖ

ϖ

∫

Φ

−

Φ

⋅

=

Φ

−

Φ

⋅

=

T

i

u

m

m

i

u

m

m

ś

r

I

U

dt

I

U

T

P

0

)

cos(

2

1

)

cos(

2

1

1

podstawiaj

ą

c

St

ąąąą

d:

i

u

Φ

−

Φ

=

Φ

mamy:

)

cos(

2

1

Φ

=

m

m

ś

r

I

V

P

(10.15)

Nale

żżżż

y zwróci

ćććć

uwag

ęęęę

,

żżżż

e ca

łłłł

ka z cos(2

ω

ω

ω

ω

+

Φ

Φ

Φ

Φ

u

+

Φ

Φ

Φ

Φ

i

) w ca

łłłł

ym przedziale T jest równa

zero, ca

łłłł

kowity obszar od krzyw

ąąąą

opisan

ąąąą

przez cos(2

ω

ω

ω

ω

+

Φ

Φ

Φ

Φ

u

+

Φ

Φ

Φ

Φ

i

) jest równy zeru;

(10.16)

(10.17)

(10.18)

Moc

Moc

Moc

Moc śśśśrednia jest mierzona w watach (kiedy

rednia jest mierzona w watach (kiedy

rednia jest mierzona w watach (kiedy

rednia jest mierzona w watach (kiedy

uuuu

i

i

i

i

iiii

ssssąąąą odpowiednio w

odpowiednio w

odpowiednio w

odpowiednio w

woltach i amperach), skr

woltach i amperach), skr

woltach i amperach), skr

woltach i amperach), skr

ó

t [W]

t [W]

t [W]

t [W]

.

Odno

Odno

Odno

Odnośśśśnie zale

nie zale

nie zale

nie zależżżżno

no

no

nośśśści

ci

ci

ci

(10.11) jest

oczywiste,

oczywiste,

oczywiste,

oczywiste, żżżże moc

e moc

e moc

e moc śśśśrednia jest r

rednia jest r

rednia jest r

rednia jest r

ó

wna sk

wna sk

wna sk

wna skłłłładowej sta

adowej sta

adowej sta

adowej stałłłłej mocy

ej mocy

ej mocy

ej mocy

chwilowej

chwilowej

chwilowej

chwilowej

We

ź

my rozpatrywany dwójnik oraz:

St

ą

d, moc

ś

rednia

Moc chwilowa pobierana przez dwójnik:

mo

żżżż

e by

ćććć

zapisana wg równania (10.11):

Moc pr

ą

du przemiennego: moc

ś

rednia

Przykład 2

i(t)

v(t)

V

t

t

u

)

800

cos(

60

)

(

=

A

t

t

i

o

)

45

800

cos(

2

)

(

+

=

)

45

800

cos(

)

800

cos(

120

)

(

o

t

t

t

p

+

⋅

=

)

45

cos(

60

)

45

1600

cos(

60

)

(

o

o

t

t

p

+

+

=

W

P

o

ś

r

43

.

42

)

45

cos(

60

=

=

Moc zespolona jest mierzona w wolto-amperach , skrót [VA]

gdzie U jest wskazem napi

ęęęę

cia na

dwójniku a I

*

jest liczb

ąąąą

zespolon

ąąąą

sprz

ę

żżżż

on

ąąąą

z wskazem pr

ąąąą

du I.

Inn

ąąąą

moc

ąąąą

u

żżżż

yteczn

ąąąą

w analizie obwodów zasilanych pr

ąąąą

dem przemiennym

jest moc zespolona (pozorna)

Wyra

żżżż

enie (10. 20) pokazuje,

żżżż

e cz

ęść

ęść

ęść

ęść

rzeczywista P jest moc

ąąąą śśśś

redni

ąąąą

(10.19)

(10.20)

(10.21)

Moc pr

ą

du przemiennego: moc zespolona

∗

⋅

⋅

=

I

U

P

2

1

Dla u(t) i i(t) okre

śśśś

lonych zale

żżżż

no

śśśś

ciami (10.8) i (10.9) odpowiednio wskazy U i I:

u

j

m

e

U

U

Φ

⋅

=

i

j

m

e

I

I

Φ

⋅

=

Podstawiaj

ąąąą

c do (10.18 ) i wykonuj

ąąąą

c przekszta

łłłł

cenia otrzymamy:

)

sin(

2

1

)

cos(

2

1

2

1

)

(

Φ

⋅

+

Φ

⋅

=

⋅

=

Φ

−

Φ

m

m

m

m

j

m

m

I

U

j

I

U

e

I

U

P

i

u

gdzie

i

u

Φ

−

Φ

=

Φ

)

Re(P

P

ś

r

=

To ostatnie ró

wnanie (10.21) pozwala nam wyprowadzi

wnanie (10.21) pozwala nam wyprowadzi

wnanie (10.21) pozwala nam wyprowadzi

wnanie (10.21) pozwala nam wyprowadzićććć alternatywne

alternatywne

alternatywne

alternatywne

wzory na

moc

moc

moc

moc śśśśredni

redni

redni

rednią

Cz

ęść

ęść

ęść

ęść

urojona mocy zespolonej jest oznaczana przez P

x

i nazywana moc

ąąąą

biern

ąąąą

(10.22)

(10.23)

Je

ś

li mamy

St

ąąąą

d mamy

Moc pr

ą

du przemiennego: moc zespolona

jX

R

Z

+

=

tego dwójnika,

wi

ęęęę

c wyra

żżżż

enie UI

*

mo

żżżż

na zapisa

ćććć

:

Jednostk

ąąąą

mocy biernej jest bierny wolt-amper (skrót VAR) do

podkre

śśśś

lenia ró

żżżż

nicy pomi

ęęęę

dzy t

ąąąą

wielko

śśśś

ci

ąąąą

a moc

ąąąą śśśś

redni

ąąąą

w watach.

oraz

jB

G

Y

+

=













⋅

=

=

∗

I

U

P

P

ś

r

2

1

Re

)

Re(

W podobny sposób znajdujemy:

a

ZI

U

=

2

2

2

)

(

m

m

I

jX

R

I

Z

I

Z

I

I

Z

I

U

⋅

+

=

⋅

=

=

⋅

⋅

=

⋅

∗

∗

2

2

1

)

(

2

1

Re

m

m

ś

r

I

R

jX

R

I

P

⋅

=









+

⋅

=

2

2

2

1

)

(

2

1

Re

2

1

Re

)

(

2

1

Re

m

m

ś

r

GU

U

jB

G

U

U

Y

YU

U

P

=









−

=









⋅

⋅

=









⋅

=

∗

∗

∗

Odno

śśśś

nie zale

żżżż

no

śśśś

ci

(10.20) otrzymamy:

)

sin(

2

1

)

Im(

Φ

⋅

=

=

m

m

x

I

U

P

P

(10.24)

Podobnie jak w przypadku

śśśś

redniej mocy mo

żżżż

emy wyprowadzi

ćććć

alternatywne wyra

żżżż

enia

na moc biern

ąąąą

:

to wtedy zale

żżżż

no

ść

ść

ść

ść

(10.21)

lub

i stosuj

ą

c wzór Euler’a mamy:

Wi

ęęęę

c moc zespolona jest liczb

ąąąą

zespolon

ąąąą

której cz

ęść

ęść

ęść

ęść

rzeczywista jest moc

ąąąą

śśśś

redni

ąąąą

a cz

ęść

ęść

ęść

ęść

urojon

ąąąą

jest moc bierna

U

U

U

Użżżżywaj

ywaj

ywaj

ywająąąąc (10.20) otrzymamy

c (10.20) otrzymamy

c (10.20) otrzymamy

c (10.20) otrzymamy

Wi

ę

c, moc zespolona jest liczba zespolon

ą

o warto

ś

ci 0.5I

m

U

m

i o fazie

Φ

=

Φ

u

-

Φ

i

(10.25)

(10.27)

Moc pr

ą

du przemiennego: moc zespolona

2

2

2

1

)

(

2

1

Im

2

1

Im

)

Im(

m

m

x

I

X

I

jX

R

I

I

Z

P

P

⋅

=









+

=













⋅

⋅

=

=

∗

[

]

2

2

2

2

1

)

(

Im

2

1

Im

)

(

2

1

Im

)

Im(

m

m

m

x

U

B

U

jB

G

U

Y

U

Y

U

P

P

⋅

−

=

−

=









⋅

=









⋅

⋅

=

=

∗

∗

(10.26)

x

ś

r

jP

P

P

+

=

(

)

)

sin(

)

cos(

2

1

)

sin(

2

1

)

cos(

2

1

Φ

+

Φ

=

Φ

⋅

+

Φ

⋅

=

j

I

U

I

U

j

I

U

P

m

m

m

m

m

m

Φ

⋅

⋅

=

j

m

m

e

I

U

P

2

1

(10.28)

Wyra

żżżż

enia (10.27) i (10.28) prowadz

ąąąą

do równa

ńńńń

Kiedy pr

ąąąą

d opó

źźźź

nia si

ęęęę

wzgl

ęęęę

dem napi

ęęęę

cia

Φ

Φ

Φ

Φ

i

<

Φ

Φ

Φ

Φ

u

, k

ąąąą

t

Φ

Φ

Φ

Φ

=

Φ

Φ

Φ

Φ

u

-

Φ

Φ

Φ

Φ

i

jest dodatni

i moc bierna jest dodatnia. Je

śśśś

li natomiast pr

ąąąą

d wyprzedza napi

ęęęę

cia,

Φ

Φ

Φ

Φ

jest

ujemny i moc bierna jest ujemna.
Inaczej, je

śśśś

li dwójnik jest charakteru indukcyjnego to moc bierna jest dodatnia

a je

śśśś

li jest charakteru pojemno

śśśś

ciowego to moc bierna jest ujemna.

Na bazie równa

ń

(10.28) i (10.29) mo

ż

emy zbudowa

ć

tzw. trójk

ą

t mocy

w dwóch wariantach

(10.29)

P

x

< 0

P

śr

|P|

Φ

P

x

> 0

P

śr

|P|

Φ

Moc pr

ą

du przemiennego: moc zespolona

2

2

2

x

ś

r

P

P

P

+

=

ś

r

x

P

P

=

Φ

)

tan(

(10.30)

Mamy uk

łłłł

ad choinkowy z

łłłł

o

żżżż

ony z

żżżż

arówek 14V, 5W po

łą

łą

łą

łą

czonych szeregowo

Moc pr

ą

du przemiennego

Przykład 3

Spe

łłłł

nione jest napi

ęęęę

ciowe prawo Kirchhoffa, wi

ęęęę

c zak

łłłł

adamy

żżżż

e na

ka

żżżż

dej

żżżż

arówce jest takie samo napi

ęęęę

cie

Przyjmujemy n = 17

Oznaczmy: n – ilo

ść

ść

ść

ść żżżż

arówek, U = 230 [V],U

1

= 14 [V] (warto

śśśś

ci skuteczne)

Rozw.:

43

,

16

14

230

1

=

=

U

U

Oznaczmy dodatkowo: P

1

= 5W; P

2

= 3W; n

1

= 16 – ilo

ść

ść

ść

ść żżżż

arówek o mocy

5W; n

2

= 1 – ilo

ść

ść

ść

ść żżżż

arówek o mocy 3W; R

1

– rezystancja

żżżż

arówki o mocy

5W; R

2

– rezystancja

żżżż

arówki o mocy 3W; U

1

– napi

ęęęę

cie na

żżżż

arówkach 14V,

5W;

U

2

– napi

ęęęę

cie na

żżżż

arówce 14V, 3W;

Pr

ą

d p

ł

yn

ą

cy przez

ż

arówki (po

łą

czenie szeregowe):

Rozw.:

Obliczenia:

Ile

żżżż

arówek nale

żżżż

y po

łą

łą

łą

łą

czy

ćććć

szeregowo przy zasilaniu z sieci 230V, aby

żżżż

arówki

śśśś

wieci

łłłł

y przez d

łłłł

ugi okres czasu nie ulegaj

ąąąą

c przepaleniu?

Jedna z

żżżż

arówek uleg

łłłł

a przepaleniu. U

żżżż

ytkownik wymieni

łłłł

j

ąąąą

na inn

ąąąą

, równie

żżżż

o napi

ęęęę

ciu 14V,

ale nie zauwa

żżżż

y

łłłł

,

żżżż

e jest na niej napisane 3W, zamiast 5W.

Czy mo

żżżż

e si

ęęęę

wydarzy

ćććć

co

śśśś

niedobrego?

]

[

2

,

39

5

14

2

1

2

1

1

Ω

=

=

=

P

U

R

]

[

33

,

65

3

14

2

2

2

1

2

Ω

=

=

=

P

U

R

Wniosek: Nowa

żżżż

arówka szybko ulegnie uszkodzeniu

]

[

332

,

0

53

,

692

230

33

,

65

2

,

627

230

33

,

65

2

,

39

16

230

16

2

1

A

R

R

U

R

U

I

=

=

+

=

+

⋅

=

+

=

=

]

[

01

,

13

332

,

0

2

,

39

1

1

V

I

R

U

=

⋅

=

=

]

[

69

,

21

332

,

0

33

,

65

2

2

V

I

R

U

=

⋅

=

=

Poprawa współczynnika mocy

2

2

2

1

cos

L

R

R

ω

ϕ

+

=

1

1

cos

ϕ

U

P

I

I

=

=

U

P

I

OC

=

=

1

1

cos

ϕ

A

Poprawa współczynnika mocy

ϕ

cos

U

P

I

=

A

U

P

oc

C

U

I

tg

oc

dc

tg

oc

bc

dc

bc

I

I

I

I

C

C

C

=

=

=

=

−

=

−

=

ω

ϕ

ϕ

;

1

1

1

2

ϕ

ω

tg

U

P

C

=

I

L

R

U

C

U

L

U

S

U

R

C

Rozwa

żżżż

my obwód szeregowego po

łą

łą

łą

łą

czenia indukcyjno

śśśś

ci, pojemno

śśśś

ci i

rezystora zasilanego przez

źźźź

ród

łłłł

o napi

ęęęę

cia sinusoidalnego o wskazie U

S

(10.31)

lub

Obwody rezonansowe

Napi

ęęęę

cie

źźźź

ród

łłłł

a:

Obwód rezonansu szeregowego (rezonans napi

ę

ciowy)

(

)

S

S

t

j

S

S

t

U

e

U

t

u

Φ

+

⋅

=

⋅

=

ω

ωω

ω

ω

ωω

ω

cos(

Re

)

(













−

+

=

−

+

=

C

L

j

R

C

j

L

j

R

Z

ω

ωω

ω

ω

ωω

ω

ω

ωω

ω

ω

ωω

ω

1

1

Wskaz pr

ą

du I jaki p

ł

ynie przez te wszystkie elementy jest taki sam

(szeregowe po

łą

czenie)

Ten obwód mo

żżżż

na rozwa

żżżż

y

ćććć

jako dwójnik

zawieraj

ąąąą

cy trzy elementy R,L, C po

łą

czonych

szeregowo zasilanego

ź

ród

ł

em napi

ę

ciowym.

Wtedy impedancja tego dwójnika wynosi:

(10.32)

Cz

ęść

ęść

ęść

ęść

rzeczywista impedancji jest sta

łłłł

a, a cz

ęść

ęść

ęść

ęść

urojona (reaktancja) jest funkcj

ąąąą ω

ω

ω

ω

C

L

X

ω

ωω

ω

ω

ωω

ω

ω

ωω

ω

1

)

(

−

=

Wykres X=f(

ω

)

Dla

Dla

Dla

Dla ω

ω

ω

ω

0000

krzywa przecina o

krzywa przecina o

krzywa przecina o

krzywa przecina ośśśś ω

ω

ω

ω a X(

a X(

a X(

a X(ω

ω

ω

ω

0000

)=0.

)=0.

)=0.

)=0.

Impedancja dw

Impedancja dw

Impedancja dw

Impedancja dw

ó

jnika widziana przez

jnika widziana przez

jnika widziana przez

jnika widziana przez źźźźrrrr

ó

ddddłłłło

o

o

o

napi

napi

napi

napięęęęciowe dla dowolnej cz

ciowe dla dowolnej cz

ciowe dla dowolnej cz

ciowe dla dowolnej częęęęstotliwo

stotliwo

stotliwo

stotliwośśśści wynosi:

ci wynosi:

ci wynosi:

ci wynosi:

które ma rozwi

ą

zanie

(10.32)

(10.35)

Cz

Cz

Cz

Częęęęstotliwo

stotliwo

stotliwo

stotliwość

ść

ść

ść

ffff

0000

nazywa si

nazywa si

nazywa si

nazywa sięęęę cz

cz

cz

częęęęstotliwo

stotliwo

stotliwo

stotliwośśśści

ci

ci

ciąąąą rezonansow

rezonansow

rezonansow

rezonansowąąąą a obw

a obw

a obw

a obw

ó

d przy tej

d przy tej

d przy tej

d przy tej zzzzęęęęstotliwo

stotliwo

stotliwo

stotliwośśśści

ci

ci

ci

jest w rezonansie.

jest w rezonansie.

jest w rezonansie.

jest w rezonansie.

St

ąąąą

d mamy nast

ęęęę

puj

ąąąą

ce równanie:

(10.36)

Obwody rezonansowe

Obwód rezonansu szeregowego (rezonans napi

ę

ciowy)

0

1

0

0

=

⋅

−

⋅

C

L

ω

ωω

ω

ω

ωω

ω

C

L

⋅

=

1

0

ω

ωω

ω

(10.33)

Wi

Wi

Wi

Więęęęc, dla cz

c, dla cz

c, dla cz

c, dla częęęęstotliwo

stotliwo

stotliwo

stotliwośśśści rezonansowej mamy

ci rezonansowej mamy

ci rezonansowej mamy

ci rezonansowej mamy

:

lub

C

L

f

⋅

=

=

ππππ

ππππ

ω

ωω

ω

2

1

2

0

0

(10.34)

R

jX

R

Z

=

+

=

)

(

0

0

ω

ωω

ω

R

U

Z

U

I

S

S

=

=

0

0

)

(

)

(

ω

ωω

ω

ω

ωω

ω

jX

R

Z

+

=

(10.37)

Dla ka

Dla ka

Dla ka

Dla każżżżdej warto

dej warto

dej warto

dej wartośśśści

ci

ci

ci ω

ω

ω

ω impedancja Z(

impedancja Z(

impedancja Z(

impedancja Z(ω

ω

ω

ω) jest reprezentowana przez punkt ma

) jest reprezentowana przez punkt ma

) jest reprezentowana przez punkt ma

) jest reprezentowana przez punkt ma

ppppłłłłaszczy

aszczy

aszczy

aszczyźźźźnie zespolonej. Je

nie zespolonej. Je

nie zespolonej. Je

nie zespolonej. Jeśśśśli zmienia si

li zmienia si

li zmienia si

li zmienia sięęęę ω

ω

ω

ω punkt Z(

punkt Z(

punkt Z(

punkt Z(ω

ω

ω

ω) kre

) kre

) kre

) kreśśśśli krzyw

li krzyw

li krzyw

li krzywąąąą zwan

zwan

zwan

zwanąąąą

miejscem geometrycznym tej zale

miejscem geometrycznym tej zale

miejscem geometrycznym tej zale

miejscem geometrycznym tej zależżżżno

no

no

nośśśści Z(

ci Z(

ci Z(

ci Z(ω

ω

ω

ω). Odci

). Odci

). Odci

). Odcięęęęta R jest sta

ta R jest sta

ta R jest sta

ta R jest stałłłła , wi

a , wi

a , wi

a , więęęęc to miejsce

c to miejsce

c to miejsce

c to miejsce

geometryczne jest lini

geometryczne jest lini

geometryczne jest lini

geometryczne jest liniąąąą prost

prost

prost

prostąąąą rrrr

ó

wnoleg

wnoleg

wnoleg

wnoległłłła do osi urojonej.

a do osi urojonej.

a do osi urojonej.

a do osi urojonej.

Dystans od punktu Z(

Dystans od punktu Z(

Dystans od punktu Z(

Dystans od punktu Z(ω

ω

ω

ω) do pocz

) do pocz

) do pocz

) do począąąątku uk

tku uk

tku uk

tku ukłłłładu wsp

adu wsp

adu wsp

adu wsp

ó

łłłłrz

rz

rz

rzęęęędnych jest r

dnych jest r

dnych jest r

dnych jest r

ó

wna modu

wna modu

wna modu

wna modułłłłowi ,

owi ,

owi ,

owi ,

natomiast k

natomiast k

natomiast k

natomiast kąąąąt pomi

t pomi

t pomi

t pomięęęędzy osi

dzy osi

dzy osi

dzy osiąąąą rzeczywist

rzeczywist

rzeczywist

rzeczywistąąąą a lini

a lini

a lini

a liniąąąą łą

łą

łą

łącz

cz

cz

cząąąąccccąąąą pocz

pocz

pocz

począąąątek z

tek z

tek z

tek z

ko

ko

ko

końńńńcem Z(

cem Z(

cem Z(

cem Z(ω

ω

ω

ω) jest faz

) jest faz

) jest faz

) jest faząąąą Z(

Z(

Z(

Z(ω

ω

ω

ω).

).

).

).

W rezonansie

Obwody rezonansowe

Obwód rezonansu szeregowego (rezonans napi

ę

ciowy)

0

R

φ

|Z|

Im(Z)

)

(

ω

ωω

ω

Z

[

]

0

)

(

)

(

Im

=

=

ω

ωω

ω

ω

ωω

ω

X

Z

i impedancja jest r

i impedancja jest r

i impedancja jest r

i impedancja jest r

ó

wna rezystancji R, to oznacza ze

wna rezystancji R, to oznacza ze

wna rezystancji R, to oznacza ze

wna rezystancji R, to oznacza ze

po

po

po

połą

łą

łą

łączenie indukcyjno

czenie indukcyjno

czenie indukcyjno

czenie indukcyjność

ść

ść

ść i pojemno

i pojemno

i pojemno

i pojemność

ść

ść

ść tworz

tworz

tworz

tworząąąą zwarcie w

zwarcie w

zwarcie w

zwarcie w

obwodzie.

obwodzie.

obwodzie.

obwodzie. W tym przypadku warto

W tym przypadku warto

W tym przypadku warto

W tym przypadku wartość

ść

ść

ść impedancji osi

impedancji osi

impedancji osi

impedancji osiąąąąga

ga

ga

ga

minimum a jego faza jest k

minimum a jego faza jest k

minimum a jego faza jest k

minimum a jego faza jest kąąąątem zerowym.

tem zerowym.

tem zerowym.

tem zerowym.

Konsekwentnie, je

Konsekwentnie, je

Konsekwentnie, je

Konsekwentnie, jeśśśśli obw

li obw

li obw

li obw

ó

d jest zasilany napi

d jest zasilany napi

d jest zasilany napi

d jest zasilany napięęęęciem o

ciem o

ciem o

ciem o

sta

sta

sta

stałłłłe amplitudzie |U

e amplitudzie |U

e amplitudzie |U

e amplitudzie |U

SSSS

| a zmienia si

| a zmienia si

| a zmienia si

| a zmienia sięęęę cz

cz

cz

częęęęsto

sto

sto

stość

ść

ść

ść ω

ω

ω

ω wtedy

wtedy

wtedy

wtedy

pr

pr

pr

prąąąąd sinusoidalny osi

d sinusoidalny osi

d sinusoidalny osi

d sinusoidalny osiąąąąga maksymaln

ga maksymaln

ga maksymaln

ga maksymalnąąąą amplitud

amplitud

amplitud

amplitudęęęę przy

przy

przy

przy

cz

cz

cz

częęęęstotliwo

stotliwo

stotliwo

stotliwośśśści rezonansowej.

ci rezonansowej.

ci rezonansowej.

ci rezonansowej.

Dla rezonansu

Dla rezonansu

Dla rezonansu

Dla rezonansu spadekinapi

spadekinapi

spadekinapi

spadekinapięęęęcia

cia

cia

cia na indukcyjno

na indukcyjno

na indukcyjno

na indukcyjnośśśści i

ci i

ci i

ci i

pojemno

pojemno

pojemno

pojemnośśśścccc sumuj

sumuj

sumuj

sumująąąą si

si

si

sięęęę do zera i ca

do zera i ca

do zera i ca

do zera i całłłłe napi

e napi

e napi

e napięęęęcia zasilania

cia zasilania

cia zasilania

cia zasilania

odk

odk

odk

odkłłłłada si

ada si

ada si

ada sięęęę na rezystancji.

na rezystancji.

na rezystancji.

na rezystancji.

a drugie prawo

a drugie prawo

a drugie prawo

a drugie prawo Kirchhoffa

Kirchhoffa

Kirchhoffa

Kirchhoffa dla tego obwodu:

dla tego obwodu:

dla tego obwodu:

dla tego obwodu:

Wskazy

Wskazy

Wskazy

Wskazy spadk

spadk

spadk

spadk

ó

w napi

w napi

w napi

w napięć

ęć

ęć

ęć na poszczeg

na poszczeg

na poszczeg

na poszczeg

ó

lnych elementach obwodu wynosz

lnych elementach obwodu wynosz

lnych elementach obwodu wynosz

lnych elementach obwodu wynosząąąą ::::

Dla niskich cz

Dla niskich cz

Dla niskich cz

Dla niskich częęęęsto

sto

sto

stośśśści mamy

ci mamy

ci mamy

ci mamy ω

ω

ω

ωLLLL<<1/

<<1/

<<1/

<<1/ω

ω

ω

ωC

C

C

C

i wi

i wi

i wi

i więęęększo

kszo

kszo

kszość

ść

ść

ść napi

napi

napi

napięęęęcia odk

cia odk

cia odk

cia odkłłłłada si

ada si

ada si

ada sięęęę

na pojemno

na pojemno

na pojemno

na pojemnośśśści (dominuje spadek napi

ci (dominuje spadek napi

ci (dominuje spadek napi

ci (dominuje spadek napięęęęcia na pojemno

cia na pojemno

cia na pojemno

cia na pojemnośśśści)

ci)

ci)

ci)

Dla du

Dla du

Dla du

Dla dużżżżych cz

ych cz

ych cz

ych częęęęsto

sto

sto

stośśśści

ci

ci

ci ω

ω

ω

ωLLLL>>1/

>>1/

>>1/

>>1/ω

ω

ω

ωC

C

C

C iiii wi

wi

wi

więęęększo

kszo

kszo

kszośśśścccc napi

napi

napi

napięęęęcia zasilania odk

cia zasilania odk

cia zasilania odk

cia zasilania odkłłłłada si

ada si

ada si

ada sięęęę na

na

na

na

indukcyjno

indukcyjno

indukcyjno

indukcyjnośśśści.

ci.

ci.

ci.

Obwody rezonansowe

Obwód rezonansu szeregowego (rezonans napi

ę

ciowy)

U

L

U

C

U

R

=U

S

I

I

R

U

R

⋅

=

I

L

j

U

L

⋅

=

ω

ωω

ω

I

C

j

U

C

⋅

−

=

ω

ωω

ω

1

I

C

L

j

R

U

U

U

U

C

L

R

S

⋅

























−

+

=

+

+

=

ω

ωω

ω

ω

ωω

ω

1

W rezonansie

W rezonansie

W rezonansie

W rezonansie

wi

ę

c otrzymamy

Dla rezonansu stosunek warto

Dla rezonansu stosunek warto

Dla rezonansu stosunek warto

Dla rezonansu stosunek wartośśśści spadku napi

ci spadku napi

ci spadku napi

ci spadku napięęęęcia na indukcyjno

cia na indukcyjno

cia na indukcyjno

cia na indukcyjnośśśści (lub

ci (lub

ci (lub

ci (lub

pojemno

pojemno

pojemno

pojemnośśśści) to warto

ci) to warto

ci) to warto

ci) to wartośśśści napi

ci napi

ci napi

ci napięęęęcia zasilania jest nazywany wsp

cia zasilania jest nazywany wsp

cia zasilania jest nazywany wsp

cia zasilania jest nazywany wspóóóółłłłczynnikiem dobroci i

czynnikiem dobroci i

czynnikiem dobroci i

czynnikiem dobroci i

oznaczany Q

oznaczany Q

oznaczany Q

oznaczany Q

(10.38)

Obwody rezonansowe

Obwód rezonansu szeregowego (rezonans napi

ę

ciowy)

S

m

C

m

S

m

L

m

U

U

U

U

Q

)

)

(

)

)

(

=

=

0

ω

ωω

ω

ω

ωω

ω

=

m

C

C

m

m

L

L

m

I

C

U

U

I

L

U

U

⋅

=

=

=

⋅

=

=

0

0

1

)

(

)

(

ω

ωω

ω

ω

ωω

ω

m

S

S

m

I

R

U

U

⋅

=

=

)

(

R

C

R

L

Q

⋅

⋅

=

⋅

=

0

0

1

ω

ωω

ω

ω

ωω

ω

(10.39)

Teraz rozwa

Teraz rozwa

Teraz rozwa

Teraz rozważżżżmy stosunek spadku napi

my stosunek spadku napi

my stosunek spadku napi

my stosunek spadku napięęęęcia na rezystorze do napi

cia na rezystorze do napi

cia na rezystorze do napi

cia na rezystorze do napięęęęcia

cia

cia

cia

zasilania przy dowolnych cz

zasilania przy dowolnych cz

zasilania przy dowolnych cz

zasilania przy dowolnych częęęęsto

sto

sto

stośśśściach

ciach

ciach

ciach

to mamy

wyra

wyra

wyra

wyrażżżżenie (10.40) mo

enie (10.40) mo

enie (10.40) mo

enie (10.40) możżżże by

e by

e by

e byćććć zapisane

zapisane

zapisane

zapisane

inaczej i wtedy mamy

inaczej i wtedy mamy

inaczej i wtedy mamy

inaczej i wtedy mamy

(10.40)

Obwody rezonansowe

Obwód rezonansu szeregowego (rezonans napi

ę

ciowy)













−

+

=

⋅

=

C

L

j

R

U

R

I

R

U

S

R

ω

ωω

ω

ω

ωω

ω

1













−

+

=

C

L

j

R

R

U

U

S

R

ω

ωω

ω

ω

ωω

ω

1

2

0

0

2

1

1

)

(

)

(













−

+

=

=

ω

ωω

ω

ω

ωω

ω

ω

ωω

ω

ω

ωω

ω

Q

U

U

U

U

S

m

R

m

S

R

(10.41)













−

−

=













−

ω

ωω

ω

ω

ωω

ω

ω

ωω

ω

ω

ωω

ω

0

0

1

tan Q

U

U

S

R

<

(10.42)