Zasada Newtona i prawo powszechnej grawitacji. Zasada
d’Aleberta.
Zasady Newtona:
1. Jeżeli na ciało nie działa żadna siła lub siły działające równoważą
się to ciało to pozostaje w spoczynku lub porusza się ruchem
jednostajnym prostoliniowym.
2. Jeżeli na ciało działa siła niezrównoważona to ciało to porusza się
ruchem zmiennym wartość przyspieszenia w tym ruchu jest wprost
proporcjonalna do masy ciała i do wartości liczbowej działające siły.
3. Jeżeli ciało A działa na ciało b pewną siłą F to ciało B działa na
ciało A siłą F o tym samej wartości , kierunku ale o przeciwnym
zwrocie.
Prawo powszechnego ciążenia głosi, że: Między dowolną parą ciał
posiadających masy pojawia się siła przyciągająca, która działa na
linii łączącej ich środki, a jej wartość rośnie z iloczynem ich mas i
maleje z kwadratem odległości. F= Gm

1

m

2

/r

2

.

Zasada d' Alemberta

:

Jeżeli w wyrażeniu P=ma zastąpimy m1a

przez –pb to otrzymamy równanie wyrażające zasadę d’alemberta dla
pky materialnego wg której siła czynna P uzupełniona siłą
bezwładności Pb stanowi układ zerowy P+Pb=0

Wahadło matematyczne i oscylator harmoniczny

Wahadło matematyczne

jest to ciało o masie punktowej zawieszone

na cienkiej, nierozciągliwej nici. Kiedy ciało wytrącimy z równowagi,
zaczyna się ono wahać w płaszczyźnie pionowej pod wpływem siły
ciężkości.
W wahadle matematycznym poruszające się ciało jest punktem
materialnym zawieszonym na nieważkiej, nierozciągliwej nici o
długości l. Na to ciało działo stała siła grawitacyjna. Gdy wahadło
odchylone jest z położenia równowagi, składowa siły grawitacji
wzdłuż nici jest równoważona przez nić, a składowa prostopadła do
nici działająca w kierunku punktu równowagi nadaje ciału
przyspieszenia. Ruch ciała ograniczony nicią jest ruchem po okręgu.
Z definicji przyspieszenia kątowego oraz z II zasady dynamiki dla
ruchu pkt materialnego po okręgu, dla kątów wyrażonych w mierze
łukowej kąta, wynikają zależności: ε=d

2

φ/dt

2

; mglsinφ=ml

2

(d

2

φ/dt

2

)

Równanie ruchu drgającego harmonicznego:

(d

2

φ/dt

2

)+ω

2

φ

=0,

gdzie:

ω=2Π/T- częstość kołowa drgań

; T=2Π√(l/g) – okres.

Oscylator harmoniczny to ciało o pewnej (stałej) masie wykonujące
prostoliniowy ruch drgający o stałej amplitudzie i stałym okresie.
Oznacza to, że stała jest także częstotliwość drgań i częstość kątowa.
Oscylator harmoniczny ma stałą energię - suma energii kinetycznej i
energii potencjalnej jest stała.

Pęd pkt materialnego i ukł pkt materialnych. Prawo zmienności
pędu. Prawo zachowania pędu.
Pędem (ilością ruchu) punktu materialnego poruszającego się z
prędkością V nazywamy wektor mi równy iloczynowi masy i
prędkości V.
Przyspieszenie a=dV/dt, więc równanie ruchu pkt materialnego, na
który działa siła P, można przedstawić w postaci P=(d/dt)(mv)
Pochodna wzgl czasu pędu pkt materialnego jest równa sile
działającej na ten pkt. W przypadku gdy na pkt działa kilka sił, siłę P
należy uważać za ich wypadkową.
Zasada pędu pkt materialnego mówi, że elementarny przyrost pędu
jest równy impulsowi elementarnemu siły Pdt, d(mV)=Pdt
Zasada zachowania pędu: Jeżeli wektor główny układu sił
zewnętrznych działający na układ materialny jest równy zeru, to pęd
tego układu materialnego jest stały.
Pędem układu n pkt materialnych nazywa się sumę geometryczną
wektorów pędu poszczególnych jego pkt. B=∑mV
Zasada pędu ukł pkt materialnych mówi, że elementarny przyrost
pędu ukł jest równy geometrycznej sumie elementarnych impulsów
wszystkich sił zewnętrznych działających na dany ukł pkt. dB=∑Pdt

Kręt pkt materialnego i ukł pkt materialnych. Prawo zmienności
krętu. Prawo zachowania krętu.
Kręt pkt materialnego to moment wektora pędu. Moment krętu
względem zadanego pkt określony jest zależnością: K=rxmV, gdzie:
r-promień pkt materialnego m wzgl pkt O.
Zasada krętu: pochodna wzgl czasu krętu pkt materialnego wzgl
dowolnego pkt O jest równa momentowi siły działającej na pkt
materialny wzgl tego dowolnego pkt O.
Jeżeli na pkt materialny działa kilka sił, to należy uwzględnić sumę
momentów wszystkich tych sił względem danej osi, co można zapisać
w postaci skalarnej: (dK

x

/dt) =∑M

x

P; (dK

y

/dt) =∑M

y

P; (dK

z

/dt)

=∑M

z

P, gdzie K

x

, K

y

, K

z

– wartość krętu pkt materialnego względem

osi x,y,z. M

x

, M

y

, M

z

– wartości momentów sił P

i

względem osi

x,y,z.
Jeżeli moment siły (lub suma momentów sił) działającej na pkt
materialny względem dowolnego pkt jest równy zeru, to kręt
względem tego pkt jest stały.
Krętem ukł pkt materialnych względem punktu O nazywamy sumę
geometryczną krętów wszystkich pkt ukł względem tego punktu.
K=∑(rxmV), r

i

– wektor, promień pkt o masie m

i

wzgl pkt O.

Zasadę krętu ukł pkt materialnych można wyrazić następująco:
pochodna względem czasu krętu układu pkt materialnych względem
pewnego pkt O jest równa sumie momentów wszystkich sił
zewnętrznych układu względem tego pkt. (dK/dt)=∑M

o

P

Zasada ruchu środka masy układu punktów materialnych

Jeżeli x

c

, y

c

, z

c

są współrzędnymi środka masy (ciężkości) układu, Q

c

jego przyspieszeniem, zaś M jest sumą mas wszystkich pkt
materialnych ukł, to zachodzi równość wyrażająca zasadę ruchu
środka masy, wg której ruch środka masy układu pkt materialnych
odbywa się tak, jakby skupiona w nim była masa całego układu i
działała

….

Geometryczna suma wszystkich sił zewnętrznych układu.

Ma

c

=∑P

Stąd wynikają następujące zależności skalarne: M(d

2

x

c

/dt

2

) =∑P

x

;

M(d

2

y

c

/dt

2

) =∑P

y

, M(d

2

z

c

/dt

2

) =∑P

z

.

Po prawej stronie tych równań występują sumy rzutów wszystkich
sił zewnętrznych działających na układ na odpowiednią od
współrzędnych.

Momenty bezwładności brył. Definicje. Podstawowe związki.
Twierdzenie Steinera. Momenty i osie główne.
Każde ciało można myślowo podzielić na dowolne małe elementy,
które możemy uważać za pkt materialne. Momentami bezwładności
ciała o masie m względem płaszczyzn xy, yz, xz nazywamy granice,
do których dążą sumy iloczynów mas elementów ciała dm przez
kwadraty ich odległości od tych płaszczyzn, gdy liczba elementów
rośnie nieograniczenie, zaś ich wymiary dążą do zera. ∫z

2

dm, ∫x

2

dm,

∫y

2

dm

Jeżeli pod całką zamiast kwadratów odległości elementów od
płaszczyzny występują kwadraty odległości elementów od osi,
wówczas całka przedstawiać będzie moment bezwładności ciała
względem danej osi.
I

x

=∫e

2

dm=∫(y

2

+z

2

)dm=∫y

2

dm+∫z

2

dm; I

y

==∫(z

2

+x

2

)dm=∫z

2

dm+∫x

2

dm;

=∫(x

2

+y

2

)dm=∫x

2

dm+∫y

2

dm.

Moment bezwładności względem osi jest równy sumie momentów
bezwładności względem dowolnych dwóch wzajemnie prostopadłych
płaszczyzn, przecinających się wzdłuż tej osi.
Momentem odśrodkowym ciała względem dwóch prostopadłych do
siebie płaszczyzn nazywamy następujące wyrażenia: I

xy

==∫xydm;

I

yz

=∫yzdm; I

zx

=∫zxdm.

Twierdzenie Steinera: Moment bezwładności ciała względem
dowolnej osi jest równy momentowi bezwładności względem osi do
niej równoległej z przechodzącej przez środek masy I

xc

zwiększonemu

o iloczyn masy ciała przez kwadrat odległości ‘a’ między tymi osiami.
I

x

=I

xc

+ma

2

Jeżeli momenty odśrodkowe dowolnego ciała względem trzech par
płaszczyzn układu współrzędnych są równe zeru, to osie są głównymi
osiami bezwładności tego ciała. Jeżeli początek tych osi znajduje się
w środku masy ciała, to osie nazywają się głównymi centralnymi
osiami bezwładności ciała.
Jeżeli ciało ma oś symetrii, to oś ta jest jego główną centralną osią
bezwładności, jeżeli natomiast ciało ma płaszczyznę symetrii to każda
prosta prostopadła do tej płaszczyzny i przechodząca przez środek
masy jest główną osią bezwładności.

Praca i moc siły. Praca sił potencjalnych. Jednostka pracy i mocy.
Jeżeli na pkt materialny poruszają się po dowolnym torze S działa
siła P to praca elementarna wykonana przez siłę P na drodze
(przesunięciu) dS jest równa iloczynowi skalarnemu tej siły przez
elementarną drogę.
dl=PdS lub dl=PdScosα, gdzie α-ką utworzony między linią działania
siły, a styczną do toru.
Jeżeli P

x

, P

y

, P

z

są składowymi siły P w kierunkach osi x,y,z zaś

dx,dy,dz są składowymi przesunięcia w tychże kierunkach, to pracę
elementarną w układzie współrzędnych prostokątnych można wyrazić
jako: dL=Pxdx+Pydy+Pzdz zaś praca całkowita wykonana przez siłę
P na drodze krzywoliniowej AB będzie określona przez całkę
krzywoliniową. L=∫Pxdx+Pydy+Pzdz.
Jeżeli ruch odbywa się po linii prostej, zaś kierunek siły P tworzy
stały kąt α z tą prostą wówczas praca całkowita wykonana przez siłę P
na drodze prostoliniowej S jest równa iloczynowi rzutu siły na
kierunek drogi przez tę drogę. L=PScosα
Jeżeli w pewnym obszarze siła P działająca na pkt materialny zalezy
tylko od położenia tego pkt i praca tej siły przy przesunięciu punktu
materialnego z pkt A do pkt B nie zależy od toru ruchu, to mówimy,
że mamy do czynienia z polem potencjalnym. Przy przyspieszeniu w
polu potencjalnym pkt materialnego o masie ‘m’ po drodze AB, praca
wykonana przez siłę ciężkości ‘mg’ jest określona wyłącznie przez
różnicę wartości współrzędnych z

A

-z

B

na początku i na końcu ruchu.

L=mg(z

A

-z

B

).

Jeżeli praca elementarna na drodze ds. zostanie wykonana w czasie
elementarnym dt to zgodnie z dl=PdS / dl=PdScosα moc w danej
chwili t jest równa iloczynowi skalarnemu siły i prędkości pkt jej
przyłożenia. N=(dl/dt)=P(dS/dt)=PV, gdzie V - prędkość pkt
przyłożenia.
Jeżeli ruch odbywa się pod działaniem stałej siły i ze stałą
prędkością wzdłuż lini prostej, wówczas moc jest również stałą i
wynosi: N=PV
Jednostka mocy wynika z iloczynu jednostki pracy i jednostki czasu.
Ponieważ jednostką pracy jest dżul (J), więc jednostką mocy jest
J/s=wat (W). W technice używa się jednostki 1000 razy większej,
czyli kilowat (kW)

Energia kinetyczna i potencjalna. Energia mechaniczna. Prawa
zachowania energii mechanicznej. Twierdzenie Koeniga.
Energia kinetyczna E

k

pkt materialnego o masie ‘m’ poruszającego

się z prędkością V jest określona zależnością: E

k

=mV

2

/2.

Zasada energii kinetycznej: przyrost energii kinetycznej pkt
materialnego jest równy pracy wykonanej przez siłę działającą na pkt
materialny na jego drodze. Można to określić zależnością: (mV

2

B

/2)-

(mV

2

A

/2)=E

kB

-E

kA

=L

AB

, gdzie L

AB

-praca siły P na drodze AB.

W przypadku ruchu, podczas którego na pkt materialny działa
wyłącznie siła ciężkości, przyrost energii kinetycznej jest równy pracy
siły ciężkości, a ta z kolei jest równa różnicy energii potencjalnej
położenia początkowego i końcowego. A więc zachodzi równość: E

kB

-

E

kA

=E

pA

-E

pB

.

A stąd wynika, że suma energii kinetycznej i potencjalnej pkt
materialnego poruszają się w polu potencjalnym nazywaną energią
mechaniczną ma wartość stałą. E

kB

+E

kA

=E

pA

+E

pB

=const

Stwierdzenie to wyraża zasadę zachowania energii mechanicznej,
stanowiącej szczególny przypadek ogólnej zasady zachowania
energii.
Energia potencjalna-energia, jaką ma układ ciał umieszczony w polu
sił zachowawczych, wynikająca z rozmieszczenia tych ciał. Równa
jest pracy, jaką trzeba wykonać, aby uzyskać daną konfigurację ciał,
wychodząc od innego rozmieszczenia, dla którego umownie
przyjmuje się jej wartość równą zeru. Konfigurację odniesienia dla
danego układu fizycznego dobiera się zazwyczaj w ten sposób, aby
układ miał w tej konfiguracji minimum energii potencjalnej. Energię
potencjalną mierzy się w dżulach [J]
E

p

=W=mgh.

Twierdzenie Koeniga: Energia kinetyczna ciała sztywnego jest
równa sumie energii kinetycznej środka masy w którym jest skupiona
cała masa ciała i energii kinetycznej chwilowego ruchu obrotowego
ciała wokół osi przechodzącej przez środek masy
E

k

=(mV

2

c

/2)+(I

c

ω

2

/2), gdzie V

c

-prędkość środka masy. I

c

-moment

bezwładności wzgl chwilowej osi obrotu. Ω-prędkość kątowa ciała.

Prawo zmienności energii kinetycznej układu pkt materialnego w
czasie:
Energią kinetyczną ukł n pkt materialnych jest połową sumy i
iloczynów mas wszystkich pkt układu przez kwadraty ich prędkości.
E

k

=(1/2)∑mV

2

.

Jeżeli w chwili t

1

energia kinetyczna układu wynosi E

k1

, a w chwili t

2

odpowiednio E

k2

, to różnica E

k2

-E

k1

jest równa sumie prac

wykonanych przez siły zewnętrzne i wewnętrzne działające na pkt
układu. Ponieważ przy sztywnym układzie pkt materialnych siły
wewnętrzne nie wykonują pracy, więc różnica E

k2

-E

k1

jest równa

sumie prac sił zewnętrznych działających na pkt materialne układu w
przedziale czasu t

2

t

1

E

k2

-E

k1

=L

12

.

Zasada energii dla ukł pkt materialnych: przyrost energii
kinetycznej ukł pkt materialnych w dowolnym przedziale czasu jest
równy sumie prac sił zewnętrznych działających na układ w tym
przedziale czasu.

Płaski ruch ciała sztywnego. Wahadło fizyczne.
Ruch płaski ciała sztywnego to ruch podczas, którego wszystkie pkt
ciała poruszają się w płaszczyznach równoległych do pewnej
nieruchomej płaszczyzny zwanej płaszczyzną kierującą.
Wszystkie pkt leżące na prostej prostopadłej do płaszczyzny
kierującej poruszają się po równoległych bokach i mają taką samą
prędkość i przyspieszenie.
Wahadło fizyczne – Bryła sztywna mogąca wykonywać obroty
dookoła poziomej osi przechodzącej ponad środkiem ciężkości tej
bryły pod działaniem siły grawitacyjnej.
Wzór na okres drgań wahadła fizycznego:
T=2Π√(I/mgd)=2Π√(l

0

/g); l

0

– długość zredukowana wahadła

l

0

=I/md; d-długość od pkt zawieszenia do środka ciężkości, I-moment

bezwładności ciała wzgl osi obrotu

Ruch kulisty ciała sztywnego. Równanie Eulera.
Ruchem kulistym nazywamy taki ruch ciała sztywnego, w którym
jeden pkt ciała jest nieruchomy. W ruchu tym wszystkie pkt
poruszając się po powierzchniach współśrodkowych kul, których
środkiem jest ten nieruchomy pkt. Ruch kulisty ciała można w danej
chwili uważać za obrót wokół pewnej osi zwanej chwilową osią
obrotu, przechodzącą przez nieruchomy pkt. Jeżeli ciało wykonuje
ruch kulisty wokół pkt 0 i w danej chwili osią obrotu jest oś l to
prędkość pkt M ciała określić można iloczynem: v=w*h

M

,w-chwilowa

pręd kątowa ciała, h

M

-odleglość pkt M od od osi l.Równanie Eulera

W mechanice klasycznej opisuje ono ruch q

k

(t) układu ciał i

przyjmuje postać: d/dt* (δL/ δq’

k

) – (δL/ δq

k

)=0 gdzie L

(q

1…

q

n….

q

1’…

q

n’;

t) jest funkcja lagrangea opisującą rozważany układ.

Otrzymujemy je z zasady najmniejszego działania i dla znanej funkcji
lagrangea są one układem n równań różniczkowych zwyczajnych na
funkcje q

k

(t). (δL/ δq

k

)=F

k

- siła uogólniona, (δL/ δq’

k

)=p

k

- pęd

uogólniony.