Zasada Newtona i prawo powszechnej grawitacji. Zasada 
d’Aleberta. 
Zasady Newtona: 
1. Jeżeli na ciało nie działa żadna siła lub siły działające równoważą 
się to ciało to pozostaje w spoczynku lub porusza się ruchem 
jednostajnym prostoliniowym. 
2. Jeżeli na ciało działa siła niezrównoważona to ciało to porusza się 
ruchem zmiennym wartość przyspieszenia w tym ruchu jest wprost 
proporcjonalna do masy ciała i do wartości liczbowej działające siły. 
3. Jeżeli ciało A działa na ciało b pewną siłą F to ciało B działa na 
ciało A siłą F o tym samej wartości , kierunku ale o przeciwnym 
zwrocie. 
Prawo powszechnego ciążenia głosi, że: Między dowolną parą ciał 
posiadających masy pojawia się siła przyciągająca, która działa na 
linii łączącej ich środki, a jej wartość rośnie z iloczynem ich mas i 
maleje z kwadratem odległości. F= Gm

1

m

2

/r

2

. 

Zasada d' Alemberta

:

 Jeżeli w wyrażeniu P=ma zastąpimy m1a 

przez –pb to otrzymamy równanie wyrażające zasadę d’alemberta dla 
pky materialnego wg której siła czynna P uzupełniona siłą 
bezwładności Pb stanowi układ zerowy P+Pb=0 
 
Wahadło matematyczne i oscylator harmoniczny 

Wahadło matematyczne

 jest to ciało o masie punktowej zawieszone 

na cienkiej, nierozciągliwej nici. Kiedy ciało wytrącimy z równowagi, 
zaczyna się ono wahać w płaszczyźnie pionowej pod wpływem siły 
ciężkości. 
W wahadle matematycznym poruszające się ciało jest punktem 
materialnym zawieszonym na nieważkiej, nierozciągliwej nici o 
długości l. Na to ciało działo stała siła grawitacyjna. Gdy wahadło 
odchylone jest z położenia równowagi, składowa siły grawitacji 
wzdłuż nici jest równoważona przez nić, a składowa prostopadła do 
nici działająca w kierunku punktu równowagi nadaje ciału 
przyspieszenia. Ruch ciała ograniczony nicią jest ruchem po okręgu. 
Z definicji przyspieszenia kątowego oraz z II zasady dynamiki dla 
ruchu pkt materialnego po okręgu, dla kątów wyrażonych w mierze 
łukowej kąta, wynikają zależności: ε=d

2

φ/dt

2

; mglsinφ=ml

2

(d

2

φ/dt

2

) 

Równanie ruchu drgającego harmonicznego:

 (d

2

φ/dt

2

)+ω

2

φ

=0, 

gdzie: 

ω=2Π/T- częstość kołowa drgań

; T=2Π√(l/g) – okres. 

Oscylator harmoniczny to ciało o pewnej (stałej) masie wykonujące 
prostoliniowy ruch drgający o stałej amplitudzie i stałym okresie. 
Oznacza to, że stała jest także częstotliwość drgań i częstość kątowa. 
Oscylator harmoniczny ma stałą energię - suma energii kinetycznej i 
energii potencjalnej jest stała.  
 
Pęd pkt materialnego i ukł pkt materialnych. Prawo zmienności 
pędu. Prawo zachowania pędu. 
Pędem (ilością ruchu) punktu materialnego poruszającego się z 
prędkością V nazywamy wektor mi równy iloczynowi masy i 
prędkości V. 
Przyspieszenie a=dV/dt, więc równanie ruchu pkt materialnego, na 
który działa siła P, można przedstawić w postaci P=(d/dt)(mv)  
Pochodna wzgl czasu pędu pkt materialnego jest równa sile 
działającej na ten pkt. W przypadku gdy na pkt działa kilka sił, siłę P 
należy uważać za ich wypadkową. 
Zasada pędu pkt materialnego mówi, że elementarny przyrost pędu 
jest równy impulsowi elementarnemu siły Pdt, d(mV)=Pdt 
Zasada zachowania pędu: Jeżeli wektor główny układu sił 
zewnętrznych działający na układ materialny jest równy zeru, to pęd 
tego układu materialnego jest stały. 
Pędem układu n pkt materialnych nazywa się sumę geometryczną 
wektorów pędu poszczególnych jego pkt. B=∑mV 
Zasada pędu ukł pkt materialnych mówi, że elementarny przyrost 
pędu ukł jest równy geometrycznej sumie elementarnych impulsów 
wszystkich sił zewnętrznych działających na dany ukł pkt. dB=∑Pdt 
 
Kręt pkt materialnego i ukł pkt materialnych. Prawo zmienności 
krętu. Prawo zachowania krętu. 
Kręt pkt materialnego to moment wektora pędu. Moment krętu 
względem zadanego pkt określony jest zależnością: K=rxmV, gdzie: 
r-promień pkt materialnego m wzgl pkt O. 
Zasada krętu: pochodna wzgl czasu krętu pkt materialnego wzgl 
dowolnego pkt O jest równa momentowi siły działającej na pkt 
materialny wzgl tego dowolnego pkt O. 
Jeżeli na pkt materialny działa kilka sił, to należy uwzględnić sumę 
momentów wszystkich tych sił względem danej osi, co można zapisać 
w postaci skalarnej: (dK

x

/dt) =∑M

x

P; (dK

y

/dt) =∑M

y

P; (dK

z

/dt) 

=∑M

z

P, gdzie K

x

, K

y

, K

z

 – wartość krętu pkt materialnego względem 

osi x,y,z. M

x

 , M

y

 , M

z

 – wartości momentów sił P

i

 względem osi 

x,y,z. 
Jeżeli moment siły (lub suma momentów sił) działającej na pkt 
materialny względem dowolnego pkt jest równy zeru, to kręt 
względem tego pkt jest stały. 
Krętem ukł pkt materialnych względem punktu O nazywamy sumę 
geometryczną krętów wszystkich pkt ukł względem tego punktu. 
K=∑(rxmV), r

i

 – wektor, promień pkt o masie m

i

 wzgl pkt O. 

Zasadę krętu ukł pkt materialnych można wyrazić następująco: 
pochodna względem czasu krętu układu pkt materialnych względem 
pewnego pkt O jest równa sumie momentów wszystkich sił 
zewnętrznych układu względem tego pkt. (dK/dt)=∑M

o

P 

 
Zasada ruchu środka masy układu punktów materialnych 

Jeżeli x

c

, y

c

, z

c

 są współrzędnymi środka masy (ciężkości) układu, Q

c

 

jego przyspieszeniem, zaś M jest sumą mas wszystkich pkt 
materialnych ukł, to zachodzi równość wyrażająca zasadę ruchu 
środka masy, wg której ruch środka masy układu pkt materialnych 
odbywa się tak, jakby skupiona w nim była masa całego układu i 
działała 

….

 Geometryczna suma wszystkich sił zewnętrznych układu. 

Ma

c

=∑P 

Stąd wynikają następujące zależności skalarne: M(d

2

x

c

/dt

2

) =∑P

x

; 

M(d

2

y

c

/dt

2

) =∑P

y

, M(d

2

z

c

/dt

2

) =∑P

z

.  

Po prawej stronie tych równań występują sumy rzutów wszystkich 
sił zewnętrznych działających na układ na odpowiednią od 
współrzędnych. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Momenty bezwładności brył. Definicje. Podstawowe związki. 
Twierdzenie Steinera. Momenty i osie główne.  
Każde ciało można myślowo podzielić na dowolne małe elementy, 
które możemy uważać za pkt materialne. Momentami bezwładności 
ciała o masie m względem płaszczyzn xy, yz, xz nazywamy granice, 
do których dążą sumy iloczynów mas elementów ciała dm przez 
kwadraty ich odległości od tych płaszczyzn, gdy liczba elementów 
rośnie nieograniczenie, zaś ich wymiary dążą do zera. ∫z

2

dm, ∫x

2

dm, 

∫y

2

dm 

Jeżeli pod całką zamiast kwadratów odległości elementów od 
płaszczyzny występują kwadraty odległości elementów od osi, 
wówczas całka przedstawiać będzie moment bezwładności ciała 
względem danej osi.  
I

x

=∫e

2

dm=∫(y

2

+z

2

)dm=∫y

2

dm+∫z

2

dm; I

y

==∫(z

2

+x

2

)dm=∫z

2

dm+∫x

2

dm; 

=∫(x

2

+y

2

)dm=∫x

2

dm+∫y

2

dm. 

Moment bezwładności względem osi jest równy sumie momentów 
bezwładności względem dowolnych dwóch wzajemnie prostopadłych 
płaszczyzn, przecinających się wzdłuż tej osi. 
Momentem odśrodkowym ciała względem dwóch prostopadłych do 
siebie płaszczyzn nazywamy następujące wyrażenia: I

xy

==∫xydm; 

I

yz

=∫yzdm; I

zx

=∫zxdm. 

Twierdzenie Steinera: Moment bezwładności ciała względem 
dowolnej osi jest równy momentowi bezwładności względem osi do 
niej równoległej z przechodzącej przez środek masy I

xc

 zwiększonemu 

o iloczyn masy ciała przez kwadrat odległości ‘a’ między tymi osiami. 
I

x

=I

xc

+ma

2

 

Jeżeli momenty odśrodkowe dowolnego ciała względem trzech par 
płaszczyzn układu współrzędnych są równe zeru, to osie są głównymi 
osiami bezwładności tego ciała. Jeżeli początek tych osi znajduje się 
w środku masy ciała, to osie nazywają się głównymi centralnymi 
osiami bezwładności ciała. 
Jeżeli ciało ma oś symetrii, to oś ta jest jego główną centralną osią 
bezwładności, jeżeli natomiast ciało ma płaszczyznę symetrii to każda 
prosta prostopadła do tej płaszczyzny i przechodząca przez środek 
masy jest główną osią bezwładności.  
 
Praca i moc siły. Praca sił potencjalnych. Jednostka pracy i mocy.  
Jeżeli na pkt materialny poruszają się po dowolnym torze S działa 
siła P to praca elementarna wykonana przez siłę P na drodze 
(przesunięciu) dS jest równa iloczynowi skalarnemu tej siły przez 
elementarną drogę.  
dl=PdS lub dl=PdScosα, gdzie α-ką utworzony między linią działania 
siły, a styczną do toru. 
Jeżeli P

x

, P

y

, P

z

 są składowymi siły P w kierunkach osi x,y,z zaś 

dx,dy,dz są składowymi przesunięcia w tychże  kierunkach, to pracę 
elementarną w układzie współrzędnych prostokątnych można wyrazić 
jako: dL=Pxdx+Pydy+Pzdz zaś praca całkowita wykonana przez siłę 
P na drodze krzywoliniowej AB będzie określona przez całkę 
krzywoliniową. L=∫Pxdx+Pydy+Pzdz. 
Jeżeli ruch odbywa się po linii prostej, zaś kierunek siły P tworzy 
stały kąt α z tą prostą wówczas praca całkowita wykonana przez siłę P 
na drodze prostoliniowej S jest równa iloczynowi rzutu siły na 
kierunek drogi przez tę drogę. L=PScosα 
Jeżeli w pewnym obszarze siła P działająca na pkt materialny zalezy 
tylko od położenia tego pkt i praca tej siły przy przesunięciu punktu 
materialnego z pkt A do pkt B nie zależy od toru ruchu, to mówimy, 
że mamy do czynienia z polem potencjalnym. Przy przyspieszeniu w 
polu potencjalnym pkt materialnego o masie ‘m’ po drodze AB, praca 
wykonana przez siłę ciężkości ‘mg’ jest określona wyłącznie przez 
różnicę wartości współrzędnych z

A

-z

B

 na początku i na końcu ruchu. 

L=mg(z

A

-z

B

).  

Jeżeli praca elementarna na drodze ds. zostanie wykonana w czasie 
elementarnym dt to zgodnie z dl=PdS / dl=PdScosα moc w danej 
chwili t jest równa iloczynowi skalarnemu siły i prędkości pkt jej 
przyłożenia. N=(dl/dt)=P(dS/dt)=PV, gdzie V - prędkość pkt 
przyłożenia. 
Jeżeli ruch odbywa się pod działaniem stałej siły i ze stałą 
prędkością wzdłuż lini prostej, wówczas moc jest również stałą i 
wynosi: N=PV 
Jednostka mocy wynika z iloczynu jednostki pracy i jednostki czasu. 
Ponieważ jednostką pracy jest dżul (J), więc jednostką mocy jest 
J/s=wat (W). W technice używa się jednostki 1000 razy większej, 
czyli kilowat (kW) 
 
Energia kinetyczna i potencjalna. Energia mechaniczna. Prawa 
zachowania energii mechanicznej. Twierdzenie Koeniga.  
Energia kinetyczna E

k

 pkt materialnego o masie ‘m’ poruszającego 

się z prędkością V jest określona zależnością: E

k

=mV

2

/2. 

Zasada energii kinetycznej: przyrost energii kinetycznej pkt 
materialnego jest równy pracy wykonanej przez siłę działającą na pkt 
materialny na jego drodze. Można to określić zależnością: (mV

2

B

/2)-

(mV

2

A

/2)=E

kB

-E

kA

=L

AB

, gdzie L

AB

-praca siły P na drodze AB. 

W przypadku ruchu, podczas którego na pkt materialny działa 
wyłącznie siła ciężkości, przyrost energii kinetycznej jest równy pracy 
siły ciężkości, a ta z kolei jest równa różnicy energii potencjalnej 
położenia początkowego i końcowego. A więc zachodzi równość: E

kB

-

E

kA

=E

pA

-E

pB

. 

A stąd wynika, że suma energii kinetycznej i potencjalnej pkt 
materialnego poruszają się w polu potencjalnym nazywaną energią 
mechaniczną ma wartość stałą. E

kB

+E

kA

=E

pA

+E

pB

=const 

Stwierdzenie to wyraża zasadę zachowania energii mechanicznej, 
stanowiącej szczególny przypadek ogólnej zasady zachowania 
energii. 
Energia potencjalna-energia, jaką ma układ ciał umieszczony w polu 
sił zachowawczych, wynikająca z rozmieszczenia tych ciał. Równa 
jest pracy, jaką trzeba wykonać, aby uzyskać daną konfigurację ciał, 
wychodząc od innego rozmieszczenia, dla którego umownie 
przyjmuje się jej wartość równą zeru. Konfigurację odniesienia dla 
danego układu fizycznego dobiera się zazwyczaj w ten sposób, aby 
układ miał w tej konfiguracji minimum energii potencjalnej. Energię 
potencjalną mierzy się w dżulach [J] 
E

p

=W=mgh. 

Twierdzenie Koeniga: Energia kinetyczna ciała sztywnego jest 
równa sumie energii kinetycznej środka masy w którym jest skupiona 
cała masa ciała i energii kinetycznej chwilowego ruchu obrotowego 
ciała wokół osi przechodzącej przez środek masy 
E

k

=(mV

2

c

/2)+(I

c

ω

2

/2), gdzie V

c

-prędkość środka masy. I

c

-moment 

bezwładności wzgl chwilowej osi obrotu. Ω-prędkość kątowa ciała.  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Prawo zmienności energii kinetycznej układu pkt materialnego w 
czasie:  
Energią kinetyczną ukł n pkt materialnych jest połową sumy i 
iloczynów mas wszystkich pkt układu przez kwadraty ich prędkości. 
E

k

=(1/2)∑mV

2

. 

Jeżeli w chwili t

1

 energia kinetyczna układu wynosi E

k1

, a w chwili t

2

 

odpowiednio E

k2

, to różnica E

k2

-E

k1

 jest równa sumie prac 

wykonanych przez siły zewnętrzne i wewnętrzne działające na pkt 
układu. Ponieważ przy sztywnym układzie pkt materialnych siły 
wewnętrzne nie wykonują pracy, więc różnica E

k2

-E

k1

 jest równa 

sumie prac sił zewnętrznych działających na pkt materialne układu w 
przedziale czasu t

2

 t

1

 E

k2

-E

k1

=L

12

. 

Zasada energii dla ukł pkt materialnych: przyrost energii 
kinetycznej ukł pkt materialnych w dowolnym przedziale czasu jest 
równy sumie prac sił zewnętrznych działających na układ w tym 
przedziale czasu. 
 
Płaski ruch ciała sztywnego. Wahadło fizyczne. 
Ruch płaski ciała sztywnego to ruch podczas, którego wszystkie pkt 
ciała poruszają się w płaszczyznach równoległych do pewnej 
nieruchomej płaszczyzny zwanej płaszczyzną kierującą.  
Wszystkie pkt leżące na prostej prostopadłej do płaszczyzny 
kierującej poruszają się po równoległych bokach i mają taką samą 
prędkość i przyspieszenie.  
Wahadło fizyczne – Bryła sztywna mogąca wykonywać obroty 
dookoła poziomej osi przechodzącej ponad środkiem ciężkości tej 
bryły pod działaniem siły grawitacyjnej.  
Wzór na okres drgań wahadła fizycznego: 
T=2Π√(I/mgd)=2Π√(l

0

/g); l

0

 – długość zredukowana wahadła 

l

0

=I/md; d-długość od pkt zawieszenia do środka ciężkości, I-moment 

bezwładności ciała wzgl osi obrotu 
 
Ruch kulisty ciała sztywnego. Równanie Eulera. 
Ruchem kulistym nazywamy taki ruch ciała sztywnego, w którym 
jeden pkt ciała jest nieruchomy. W ruchu tym wszystkie pkt 
poruszając się po powierzchniach współśrodkowych kul, których 
środkiem jest ten nieruchomy pkt. Ruch kulisty ciała można w danej 
chwili uważać za obrót wokół pewnej osi zwanej chwilową osią 
obrotu, przechodzącą przez nieruchomy pkt. Jeżeli ciało wykonuje 
ruch kulisty wokół pkt 0 i w danej chwili osią obrotu jest oś l to 
prędkość pkt M ciała określić można iloczynem: v=w*h

M

,w-chwilowa 

pręd kątowa ciała, h

M

-odleglość pkt M od od osi l.Równanie Eulera 

W mechanice klasycznej opisuje ono ruch q

k

(t) układu ciał i 

przyjmuje postać: d/dt* (δL/ δq’

k

) – (δL/ δq

k

)=0 gdzie L 

(q

1…

q

n….

q

1’…

q

n’;

t) jest funkcja lagrangea opisującą rozważany układ. 

Otrzymujemy je z zasady najmniejszego działania i dla znanej funkcji 
lagrangea są one układem n równań różniczkowych zwyczajnych na 
funkcje q

k

(t). (δL/ δq

k

)=F

k

- siła uogólniona, (δL/ δq’

k

)=p

k

- pęd 

uogólniony.