51

Zajmiemy się obecnie

klasycznym rachunkiem zdań

(w skrócie KRZ), który jest bazowym

rachunkiem logicznym.

Rachunki zdań

to formalne systemy dedukcyjne, w których

analizuje się to, w jaki sposób wynikanie zależy od znaczenia spójników łączących zdania.

Natomiast nie wnika się zupełnie w strukturę wewnętrzną zdań. Dlatego, biorąc pod uwagę ich

zastosowanie, są to systemy dość słabe, ponieważ np. poprawność prostych rozumowań

z tematu 3 w module 1. nie daje się na ich podstawie uzasadnić. Są to jednak systemy istotne,

gdyż zasady poprawności ustalone na ich gruncie, zachowują swoją ważność również

w systemach mocniejszych.

Pośród wielu znanych rachunków zdaniowych, najprostszą logiką jest właśnie KRZ, a jego

znajomość to dziś podstawa wszelkiej edukacji logicznej. Jest to również najstarszy system

logiczny tego rodzaju, gdyż reguły, którymi będziemy się dalej zajmowali, były już znane

logikom stoickim w III w. p.n.e. KRZ we współczesnej postaci jest czysto formalnym systemem

dedukcyjnym – stąd konstrukcje tego rodzaju często określa się jako rachunki.

Dowolna logika, pojmowana w taki sposób, składa się z dwóch komponentów: języka i określonej

na tym języku relacji wynikania. Zarówno język, jak i wynikanie mogą być scharakteryzowane

w różny sposób. Jeżeli można wykazać równoważność tych charakterystyk, to mamy do

czynienia z tą samą logiką, tylko różnie zdefiniowaną.

Język może np. zawierać różne zestawy spójników i różnić się definicją zdania (formuły).

Wynikanie może być charakteryzowane zarówno semantycznie, jak i syntaktycznie. W drugim

przypadku mówi się zazwyczaj o relacji dedukowalności (dowiedlności), a nie wynikania.

Jeżeli chodzi o definicje syntaktyczne (węższe rozumienie słowa rachunek), to najpopularniejsze

są

systemy aksjomatyczne

, w których używa się pewnych formuł (aksjomatów) jako

niepodważalnych punktów wyjścia w dowodzie. Jednak znacznie prostsze

w praktycznym użyciu są różnego rodzaju

systemy dedukcji naturalnej

, zwane też

założeniowymi. Korzysta się w nich z dużej ilości reguł i wykorzystuje techniki dowodzenia,

stosowane w matematyce od starożytności. Podana dalej charakterystyka KRZ również

korzysta z takiego systemu.

Omówimy kolejno język KRZ od strony syntaktycznej, następnie jego semantykę oraz system

dedukcyjny, który umożliwi nam formalną konstrukcję dowodów.

52

Słownik

języka KRZ zawiera następujące symbole:

1. Nieskończony, przeliczalny zbiór

zmiennych zdaniowych

, który będziemy oznaczać krótko

ZZ; jego elementy to litery: p, q, r, s, t, ..., p

1

, q

1

,.... Ich funkcją jest reprezentowanie dowolnych

zdań w sensie logicznym.

2.

Stałe logiczne

, którymi w KRZ są jedynie spójniki, czyli funktory zdaniotwórcze kategorii z/z,

bądź z/z,z . Wyróżnimy tu pięć spójników, oznaczanych następującymi symbolami:

jednoargumentowy funktor negacji

¬

dwuargumentowe funktory:

– koniunkcji

∧

– alternatywy

∨

– implikacji

→

– równoważności

↔

Często stosuje się inne symbole, np. dla negacji ~ , a dla równoważności

≡ . To, jakie symbole

zastosujemy, nie ma znaczenia, ważne jest by się od siebie różniły i były używane

konsekwentnie w tym samym znaczeniu. Intuicyjnie negacja ma odpowiadać zaprzeczeniu

zdania, wyrażanemu w języku polskim np. przez zwrot „nieprawda, że”, koniunkcja odpowiada

polskiemu i, alternatywa – lub, implikacja – jeżeli...to, a równoważność – wtedy i tylko wtedy.

3. Nawiasy, czyli znaki interpunkcyjne.

Podamy teraz definicję formuły języka KRZ (w skrócie For(KRZ)). Ponieważ mówimy o języku

i z tego względu używamy

metajęzyka

, więc dla wygody wprowadzimy pewne symbole

metajęzykowe. Niech

ϕ i ψ oznaczają dowolne skończone ciągi symboli z podanego wyżej

słownika. Zbiór For(KRZ) definiujemy następująco:

a) ZZ

⊆ For(KRZ)

53

b) jeżeli

ϕ i ψ należą do For(KRZ), to ¬ϕ, (ϕ∧ψ), (ϕ∨ψ), (ϕ→ψ), (ϕ↔ψ) też należą do

For(KRZ)

c) nic

więcej nie należy do For(KRZ)

Definicja tego typu to definicja indukcyjna. Określa się w niej pewien zbiór elementów

wyjściowych, które bezwarunkowo należą do definiowanego zbioru (w tym przypadku ZZ) oraz

podaje warunki pozwalające tworzyć nowe elementy tego zbioru. Ostatnia klauzula ma

charakter ograniczający od góry definiowany zbiór. Zbiór posiadający charakterystykę tego

rodzaju pozwala na stosowanie

indukcji matematycznej

do udowadniania, że wszystkie

elementy tego zbioru posiadają pewną własność.

Metazmienne

ϕ, ψ, χ, δ będziemy w dalszym ciągu traktować jako nazwy formuł, a nie

dowolnych ciągów symboli. Ponadto, dla oznaczenia dowolnych zbiorów formuł będziemy

używać symboli

Γ, ∆, Σ. Nazwy negacja, koniunkcja itd. będziemy również używać jako

określenia formuł, których dany spójnik jest główną stałą logiczną. Zdania łączone spójnikiem

będziemy nadal określać – przeważnie – jako argumenty tego spójnika, jednak w przypadku

implikacji będziemy lewy argument nazywali poprzednikiem, a prawy – następnikiem

implikacji, a w przypadku równoważności będziemy mówić o lewej i prawej stronie

równoważności.

Z podanej definicji można wyciągnąć pewne wnioski, odnośnie dopuszczalnych form zdań –

przykładowo: dwie zmienne nie mogą ze sobą bezpośrednio sąsiadować (również pośrednio,

jeżeli oddzielają je tylko nawiasy). Negacja może stać jedynie przed zmienną, przed nawiasem

bądź przed inną negacją; jedyny dopuszczalny symbol, który może ją poprzedzać, to symbol

dowolnej stałej logicznej. Spójnik dwuargumentowy nie może stać w bezpośrednim sąsiedztwie

innego takiego spójnika ani z lewej, ani z prawej (choć może stać przed negacją).

Definicja pozwala ustalić, nawet dla bardzo długich ciągów symboli, czy są one formułami.

Przykładowo, poniższy ciąg jest formułą:

((p

∧¬(q↔r))→¬(s∨¬q))

Można to sprawdzić następująco: q jest formułą, zatem

¬q też nią jest; s jest formułą, zatem

(s

∨¬q) też jest, jak również ¬(s∨¬q). Analogicznie ustalamy, że ¬(q↔r) jest formułą, skoro q i r

są, a ponieważ p też jest, więc (p

∧¬(q↔r)) też jest formułą. Zatem cały ten ciąg jest formułą,

a konkretnie implikacją o poprzedniku (p

∧¬(q↔r)) i następniku ¬(s∨¬q).

Poniższy ciąg nie jest formułą:

(((p

∧¬(q↔r))→¬(s∨¬q))∨((¬p¬q)→(s→t))

54

z dwóch powodów: po pierwsze, brakuje zewnętrznego prawego nawiasu – powinno być ...t))).

Po drugie, nawet po naprawieniu tego błędu analizowany ciąg nie stanie się formułą; głównym

spójnikiem jest w nim druga od lewej alternatywa, jej lewy argument to formuła (ustaliliśmy to

w poprzednim przykładzie), jednak w prawym argumencie mamy niedopuszczalną kombinację

symboli

¬p¬q.

Nawiasy są niezbędne dla uzyskania jednoznaczności (ustalenia hierarchii spójników,

uniknięcia amfibologii), jednak generalnie ich nadmierna ilość może utrudnić odczytanie. Istnieje

radykalny sposób uproszczenia składni, tzw. beznawiasowa notacja Łukasiewicza,

w której spójniki dwuargumentowe stawia się przed argumentami, a nie pomiędzy nimi, jednak

taki zapis jest niezgodny z przyzwyczajeniami większości użytkowników języka naturalnego

i z popularnymi formami zapisu stosowanymi w matematyce. Jednak nadal można postarać się

o uproszczenie zapisu, aby stał się bardziej czytelny. W tym celu wprowadzimy trzy konwencje:

K1) Można pomijać nawiasy zewnętrzne, np. zamiast pisać ((p

∧¬(q↔r))→¬(s∨¬q)) napiszemy

raczej (p

∧¬(q↔r))→¬(s∨¬q). Pamiętajmy jednak, że gdy będziemy chcieli np. zanegować taką

formułę, w której pominęliśmy zewnętrzne nawiasy, to musimy je z powrotem dodać.

K2) Ustalamy hierarchię siły wiązania argumentów dla spójników dwuargumentowych:

najmocniej wiąże swoje argumenty koniunkcja, słabiej alternatywa, jeszcze słabiej implikacja,

a najsłabiej równoważność. Oznacza to, że jeżeli w danym ciągu symboli nawiasy nie

precyzują, jaka jest hierarchia spójników, to za główny spójnik uznamy ten, który najsłabiej

wiąże swoje argumenty, np. ciąg symboli:

p

∨q∧r → ¬q∨s ↔ ¬p∧s∨¬r

należy rozumieć następująco:

((p

∨(q∧r))→(¬q∨s)) ↔ ((¬p∧s)∨¬r)

W dalszym ciągu nie zwalnia nas to z użycia nawiasów w przypadku, gdy zapisywana przez

nas formuła ma inną hierarchię spójników niż ta, która wynika z konwencji K2). Przykładowo,

gdybyśmy chcieli, żeby ten ciąg odczytać inaczej, np., żeby głównym spójnikiem była pierwsza

od lewej koniunkcja, to wtedy oczywiście musimy zastosować nawiasy, zapisując to tak:

(p

∨q)∧(r → ¬q∨s ↔ ¬p∧s∨¬r)

55

Ponadto nawiasy są niezbędne, gdy obok siebie mamy kilka wystąpień takiego samego

spójnika, np. ciąg p

→ q→ r jest syntaktycznie niejasny. Można go sprecyzować tak (p→q)→ r

lub tak p

→(q→ r). Jednak w przypadku niektórych spójników przyjęcie takiej bądź innej

hierarchii nie ma wpływu na sens formuły. Stanie się to jasne po ustaleniu semantyki naszego

języka, jednak już teraz wprowadzimy sobie odpowiednią konwencję.

K3) Dla koniunkcji i alternatywy możemy pomijać nawiasy, jeżeli nie występują między nimi inne

spójniki dwuargumentowe, np. zamiast pisać:

p

∧(q∧r)→(s∨q)∨(p∨r)

możemy napisać:

p

∧q∧r → s∨q∨p∨r

Ta ostatnia konwencja powoduje, że zarówno koniunkcję, jak i alternatywę, można potraktować

także jako spójniki n-argumentowe dla n >2.

56

W poprzednim temacie przypisaliśmy wprawdzie pewien sposób rozumienia wyróżnionych

przez nas spójników, jednak trudno to uznać za semantykę tego języka. Semantyka KRZ jest

ekstensjonalna, tzn., że pod uwagę nie będziemy brali sądów logicznych wyrażanych przez

dane zdanie, a tylko wartość logiczną, jaką ono posiada. Przypomnijmy też, że KRZ jest oparte

na zasadzie dwuwartościowości, co oznacza, iż zakładamy, że przy dowolnej interpretacji

każde zdanie ma ustaloną, jedną (i tylko jedną) z dwóch wartości logicznych. Prawdę będziemy

odtąd oznaczać symbolem 1, a fałsz symbolem 0.

Podstawowym pojęciem naszej semantyki jest pojęcie

wartościowania,

zdefiniowane

następująco:

Wartościowaniem nazywamy dowolne odwzorowanie V ze zbioru ZZ w zbiór {1,0}.

Technicznie jest to zatem funkcja, która każdej zmiennej przypisuje bądź 1, bądź 0. Istnieje

nieskończenie wiele różnych wartościowań, dlatego będziemy w konkretnych przykładach

rozróżniać je, pisząc np. V1, V2,...

Aby móc oceniać wartość logiczną formuł złożonych, musimy ustalić jakiś sposób poszerzania

wartościowań. Ponieważ ograniczyliśmy się do spójników ekstensjonalnych, więc można to

zrobić, definiując znaczenie wszystkich spójników w terminach wartości ich argumentów.

Wygodną formą reprezentacji takich definicji są

tabelki zero-jedynkowe

:

ϕ

ψ

ϕ∧ψ

ϕ∨ψ

ϕ→ψ

ϕ↔ψ

1 1

1

1

1

1

1 0

0

1

0

0

0 1

0

1

1

0

0 0

0

0

1

1

57

Negacja dowolnego zdania po prostu zmienia jego wartość logiczną. Łatwo zauważyć, że

powyższe definicje pozwalają dla dowolnego wartościowania i dowolnej formuły ustalić jej

wartość, np. niech V1(p)=V1(q)=V1(r)=1, to wtedy V1(p

→q∧r )=1.

Jeżeli weźmiemy V2 takie, że V2(p)=V2(q)=1 i V2(r)=0, to wtedy V2(p

→q∧r )=0, gdyż V2(q∧r )=0.

W logice interesuje nas nie tyle to, jaką wartość dana formuła posiada przy określonym

wartościowaniu, ale jak się zachowuje przy wszystkich. Jak to jednak sprawdzać, jeżeli

wartościowań jest nieskończenie wiele? Łatwo jednak zauważyć, że przy sprawdzaniu wartości

formuł bierzemy pod uwagę nie całe wartościowanie, tylko to, co ono przypisuje zmiennym

występującym w analizowanej formule. Jeżeli w formule nie ma zmiennej s, to dla wyniku

sprawdzania nie ma znaczenia, czy s otrzyma 1, czy 0. Tak dokładnie postępowaliśmy

w powyższym przykładzie z wartościowaniami V1 i V2.

Skoro abstrahujemy od zmiennych nie występujących we wzorze, to nasza nieskończona liczba

różnych wartościowań redukuje się do skończonej liczby wartościowań cząstkowych, które

różnią się od siebie tylko dla ustalonych zmiennych. Liczba takich wartościowań jest

wyznaczona wzorem 2n, gdzie n to liczba różnych zmiennych we wzorze, np. dla formuły

z przykładu wyżej mamy 8 różnych podstawień 1 i 0 dla trzech różnych zmiennych p, q, r.

W ten sposób można

metodę tabelkową

stosować do analizy dowolnej formuły. Sprawdźmy to

na przykładzie formuły p

∧q→p∨r, gdzie w tabelce uwzględniamy 8 możliwych rodzajów

wartościowań, a w kolejnych kolumnach podformuły (czyli zdania składowe) sprawdzanej

formuły. Wynik liczymy dla każdego wartościowania po kolei od lewej ku prawej (aż do kolumny

wynikowej).

p q r

p

∧q p∨r p∧q→p∨r

1

1

1

1 1 1

1

1

0

1 1 1

1

0

1

0 1 1

1

0

0

0 1 1

0

1

1

0 1 1

0

1

0

0 0 1

0

0

1

0 1 1

0

0

0

0 0 1

58

Powyższa formuła jest prawdziwa niezależnie od wartościowania. Takie formuły – uniwersalnie

prawdziwe – będziemy określać mianem

tautologii

, czyli prawd logicznych i oznaczać

w następujący sposób:

= ϕ .

Formuła, która przy każdym wartościowaniu jest fałszywa, to

kontrtautologia

albo fałsz

logiczny. Przykładowo – negacja powyższej formuły (i ogólnie każdej tautologii) daje nam

kontrtautologię. Dla oznaczenia dowolnej kontrtautologii będziemy używać symbolu

⊥,

natomiast żeby zaznaczyć, że jakaś konkretna formuła

ϕ jest kontrtautologią (lub zbiór formuł Γ

jest sprzeczny), będziemy pisać

ϕ=⊥ ( Γ=⊥).

Zarówno tautologie, jak i kontrtautologie są zdaniami analitycznymi naszego języka.

Formuły – których wartość logiczna nie jest stała, lecz zmienia się w zależności od

wartościowania (jak w przykładzie z formułą p

→q∧r) – to

formuły kontyngentne

.

W tradycyjnym wykładzie logiki przywiązuje się dużą wagę do tautologii, podając często ich

obszerne listy i obdarzając wybrane formuły nazwami, np.:

prawo wyłączonego środka

prawo (nie)sprzeczności

prawo tożsamości

sylogizm hipotetyczny

modus ponendo ponens

p

∨¬p

¬(p∧¬p)

p

→p (lub w mocniejszej postaci p↔p)

(p

→q)∧(q→r) → (p→r)

(p

→q)∧p → q

Dla nas tautologie mają znaczenie pomocnicze, gdyż metoda weryfikowania

tautologiczności

daje nam możliwość sprawdzania wynikania na gruncie KRZ.

Wynikanie

możemy zdefiniować

następująco:

Ze zbioru

Γ wynika ϕ ( Γ= ϕ) wtw dla dowolnego wartościowania V, przy którym

V(

Γ)=1, to V(ϕ)=1

59

Przez V(

Γ)=1 rozumiemy, że wszystkie formuły z Γ są prawdziwe przy tym wartościowaniu.

Chociaż dopuszczamy, że zbiór

Γ może być nieskończony, to w przypadku KRZ zachodzi tzw.

własność zwartości, która gwarantuje istnienie jakiegoś skończonego podzbioru, z którego

dana formuła wynika. To pozwala nam ograniczyć nasze rozważania do wynikania ze

skończonego zbioru przesłanek, co gwarantuje zachodzenie następującego związku między

wynikaniem a tautologicznością:

ψ

1

,...,

ψ

n

= ϕ wtw = ψ

1

∧...∧ψ

n

→ϕ

Powyższa równoważność daje nam możliwość sprawdzania poprawności rozumowań, przy

wykorzystaniu metody tabelkowej. Jednak metoda ta jest wysoce niepraktyczna – wzór 2n jest

wprawdzie prosty, ale jednak wykładniczy i już przy stosunkowo niewielkich wartościach n (czyli

liczbie różnych zmiennych) zmusza nas do konstruowania olbrzymich tabelek.

W wielu wypadkach znacznie lepsze efekty daje

metoda sprawdzania niewprost

. Zamiast

wypisywać wszystkie możliwe wartościowania i dla każdego liczyć wynik, zakładamy, że

analizowana formuła nie jest tautologią i próbujemy skonstruować wartościowanie

falsyfikujące. Albo nam się to udaje, albo (gdy formuła jest tautologią) popadamy

w sprzeczność, która wyraża się tym, że zmuszeni jesteśmy jakiejś podformule przypisać i 1 i 0.

Załóżmy np., że sylogizm hipotetyczny (p

→q)∧(q→r)→(p→r) nie jest tautologią. Ponieważ jest

to implikacja, więc jest to możliwe tylko przy takim wartościowaniu V, dla którego

V((p

→q)∧(q→r))=1, a V(p→r)=0. Wtedy V(p)=1, a V(r)=0, natomiast oba człony koniunkcji

(p

→q)∧(q→r) są prawdziwe. Skoro V(p→q)=1 i V(p)=1, to V(q)=1, ale skoro V(q→r)=1, a V(r)=0,

to V(q)=0. Mamy zatem sprzeczność na wartości q i nie istnieje wartościowanie falsyfikujące

(p

→q)∧(q→r) → (p→r); zatem jest to tautologia.

Wadą metody zero-jedynkowej, czy to w wydaniu pełnym (tabelkowym), czy zastosowanej

niewprost, jest to, że nie można jej rozszerzyć w prosty sposób na całą logikę klasyczną. Z tego

powodu w dalszym wykładzie skoncentrujemy się na dokładniejszej prezentacji pewnej

syntaktycznej metody dedukcji.

60

Istotą syntaktycznych systemów dedukcyjnych jest to, że buduje się w nich dowody, używając

reguł dedukcji. Istnieje duża różnorodność takich systemów i pojęcie dowodu jest zawsze

zrelatywizowane do rodzaju takiego systemu.

W

systemach aksjomatycznych

korzysta się w dowodzie z pewnych twierdzeń (aksjomatów)

przyjętych bez dowodu; w

systemach tablicowych

dowód buduje się tylko w oparciu o negację

dowodzonej formuły.

W obecnym kursie wykorzystamy system

dedukcji naturalnej

w wersji stworzonej przez

Słupeckiego i Borkowskiego (dalej określany jako S/B). Systemy tego rodzaju mają wiele zalet;

dowody w nich konstruowane są na ogół znacznie prostsze od dowodów w innych systemach

i w elastyczny sposób wykorzystują rozmaite techniki czy strategie dowodowe znane od

starożytności. Wadą tych systemów jest bardziej skomplikowana struktura – dlatego

prezentację systemu przeprowadzimy etapami.

Zacznijmy od udowadniania poprawności rozumowań. Podstawą jest stosowanie

reguł

inferencji

, które pozwalają z pewnych formuł (przesłanek) wydedukować inne formuły

(wnioski). Poniżej przedstawiamy pewien zestaw reguł inferencji, który w systemie S/B jest

przyjęty jako zestaw pierwotny, czyli nie wymagający uzasadnienia:

(DK)

ϕ, ψ− ϕ ∧ψ

(EK)

ϕ∧ψ− ϕ

albo

ϕ∧ψ− ψ

(DA)

ϕ− ϕ∨ψ

albo

ϕ− ψ∨ϕ

(EA)

ϕ∨ψ, ¬ϕ− ψ

(EI)

ϕ → ψ, ϕ− ψ

(DR)

ϕ → ψ, ψ → ϕ− ϕ ↔ψ

(ER)

ϕ ↔ψ− ϕ → ψ albo ϕ ↔ψ− ψ → ϕ

(DS)

ϕ, ¬ϕ−⊥

61

gdzie w nazwach reguł wykorzystaliśmy następujące skróty:

D – dołączanie;

E – eliminacja;

K – koniunkcja;

A – alternatywa;

I – implikacja;

R – równoważność;

S – sprzeczność.

Reguły te przedstawiają schematy stosowalne do dowolnych formuł podpadających pod taką

ogólną formę, np. jeżeli w dowodzie mamy w dwóch różnych miejscach formuły: p

∨r i (q↔r)∨s, to

z pomocą (DK) możemy w tym dowodzie dopisać formułę (p

∨r)∧((q↔r)∨s) lub ((q↔r)∨s)∧(p∨r),

gdyż kolejność przesłanek nie ma wpływu na kolejność członów tworzonej koniunkcji. Zwraca

uwagę fakt, że podane reguły idą parami; dla każdej stałej logicznej (z wyjątkiem

⊥, implikacji

i negacji) mamy reguły dołączania i eliminacji).

Symbolem

− oznaczać będziemy

relację dowiedlności

konstytuowaną przez podane reguły.

ψ

1

,....,

ψ

n

− ϕ oznacza, że ϕ ma dowód z formuł (przesłanek) ψ

1

,....,

ψ

n

w oparciu o podane

reguły. W przypadku gdy n=0 zapis,

− ϕ oznacza, że ϕ jest

tezą systemu

S/B, czyli, że ma

dowód w sensie absolutnym (nie z przesłanek). Zachodzi ścisła odpowiedniość pomiędzy tą

relacją, a relacją wynikania zdefiniowaną w paragrafie poprzednim, co stanowi sens

twierdzenia o adekwatności

(TA):

ψ

1

,....,

ψ

n

− ϕ

wtw

ψ

1

,....,

ψ

n

= ϕ

W szczególnym przypadku gdy n=0, TA mówi nam o identyczności zboru tautologii KRZ i tez

systemu S/B. Dowód TA jest dość złożony i nie będziemy go w tym kursie omawiać.

Dowód, najogólniej rzecz biorąc, jest ciągiem formuł, które z lewej strony są poprzedzane

numerami, a z prawej towarzyszy im kolumna uzasadnień zawierająca informacje, skąd dana

formuła wzięła się w dowodzie (nazwa zastosowanej reguły i numery przesłanek). W S/B mamy

kilka możliwości konstruowania dowodu – na początek omówimy sobie najprostszą z nich –

dowód wprost

z danych przesłanek:

62

Jeżeli chcemy wykazać, że

ψ

1

,....,

ψ

n

− ϕ, to dowód wprost będzie miał strukturę następującą:

będzie to ciąg p-elementowy (p>n), którego pierwsze n wierszy zawiera kolejno wypisane

przesłanki, a pozostałe wiersze zawierają formuły uzyskane za pomocą dopuszczalnych reguł,

przy czym wiersz p (ostatni) zawiera wniosek. Przez dopuszczalne reguły rozumiemy tutaj

reguły inferencji podane wyżej oraz wszystkie inne, które wprowadzimy później. Prosty przykład

pozwoli zrozumieć sens powyższej definicji.

1. p

∧q

2. p

→¬r

3. r

∨s

4. p

(1

EK)

5. q

(1

EK)

6.

¬r (2,4

EI)

7. s

(3,6

EA)

8. q

∧s

(5,7 DK)

Powyższy dowód pokazuje, że p

∧q, p→¬r, r∨s− q∧s.

Niestety dowód wprost nie zawsze pozwala na osiągnięcie sukcesu. Czytelnik, który spróbuje

udowodnić wprost, że p

∨q, q→r, r→s, q→¬s − p szybko (już po wypisaniu przesłanek) stanie

w miejscu; żadna, ze znanych nam do tej pory reguł, nie pozwala na dokonanie jakiejś

sensownej dedukcji. Możemy wprawdzie stosować do naszych przesłanek reguły (DK) i (DA),

ale trudno nazwać taką dedukcję sensowną, gdyż nie wydaje się prowadzić nas do celu. Aby

uzasadnić podany wyżej schemat, musimy zastosować

dowód niewprost

. Definicja jest

następująca:

ψ

1

,....,

ψ

n

− ϕ ma dowód niewprost wtw istnieje ciąg p-elementowy (p>n), którego pierwsze

n wierszy zawiera kolejno wypisane przesłanki, wiersz n+1 zawiera

¬ϕ (założenie niewprost),

a pozostałe zawierają formuły uzyskane za pomocą dopuszczalnych reguł, przy czym wiersz p

(ostatni) zawiera

⊥.

Jak widać, różni się on od dowodu wprost tym, że jako dodatkowe założenie wprowadzamy

negację wniosku, a celem dowodu staje się uzyskanie w nim sprzeczności. Dowód niewprost

dla naszego przykładu wygląda następująco:

1. p

∨q

2. q

→r

3. r

→s

63

4. q

→¬s

5.

¬p

ZN

6. q

(1,5

EA)

7.

¬s (4,6

EI)

8. r

(2,6

EI)

9. s

(3,8

EI)

10.

⊥ (7,9

DS)

gdzie:

ZN – założenie niewprost.

W definicji wymagaliśmy, żeby założenie niewprost pojawiło się bezpośrednio po przesłankach,

jednak w praktyce zalecane jest próbowanie dowodu wprost i dołączanie tego założenia dopiero

wtedy, gdy naprawdę nie mamy pomysłu, co robić dalej. Nie wszystko da się udowodnić wprost,

ale jeżeli jest to możliwe, to taki dowód jest często dużo prostszy niż dowód niewprost.

64

W systemie S/B można również budować dowody założeniowe dla tez zarówno wprost, jak

i niewprost. Przyjmijmy, że każda formuła może być potraktowana jako tzw. implikacja

wstępująca o postaci:

ϕ

1

→(ϕ

2

→(.... (ϕ

n

→ ϕ

n

+1

)...). W szczególności, jeżeli n=0, to formuła po

prostu nie jest implikacją. Dowód wprost dowolnej tezy będziemy odtąd konstruować, wypisując

wszystkie poprzedniki jako założenia dowodu i kończąc go w chwili uzyskania następnika jako

wiersza dowodu. Wpisując ewentualnie negację następnika, konstruujemy założeniowy

dowód niewprost, dążąc w nim do sprzeczności. Przykładowo dowód założeniowy wprost

tezy (p

→(q→r))→((p→q)→(p→r)) wygląda następująco:

1. p

→(q→r) Z

2. p

→q Z

3. p

Z

4. q

(2,3

EI)

5. q

→r (1,3

EI)

6. r

(4,5

EI)

Technikę tę można oczywiście stosować również w przypadku rozumowań: wypisujemy

wszystkie przesłanki rozumowania, a następnie założenia wzięte z wniosku. Uwaga!

w przypadku rozumowań tylko wniosek podlega analizie w terminach implikacji wstępującej,

każda przesłanka jest przepisana w całości, jako wiersz dowodu.

Osobny temat to możliwość wprowadzania do dowodu

dodatkowych założeń

. Jest to

technika niezwykle upraszczająca dowody i jest stosowana w praktyce dowodzenia

powszechnie, tym niemniej musimy ją stosować z dużą ostrożnością, ponieważ łatwo

popełnić tutaj błędy. Najczęstszy błąd polega na nieuprawnionym wykorzystywaniu formuł

zależnych od takich dodatkowych założeń. W systemie S/B w celu uniknięcia problemów

wprowadza się dodatkową numerację w dowodzie, która pokazuje, że w ramach danego

65

dowodu mamy do czynienia z dowodem podporządkowanym (poddowodem) opartym

o założenie dodatkowe.

W praktyce będzie to wyglądało następująco: jeżeli wprowadzamy założenie dodatkowe

i ostatni wiersz dowodu ma numer k, to nowy wiersz (zawierający dodatkowe założenie)

otrzymuje numer k.1 (a nie k+1). Odtąd kolejne wiersze dowodu są numerowane k.2, k.3 itd.,

innymi słowy numeracja dowodu zasadniczego zostaje „zamrożona” w pewnym punkcie,

natomiast poddowód ma numerację własną.

Jeżeli w ramach takiego poddowodu zechcemy wprowadzić kolejne założenie dodatkowe, to

procedurę tę powtarzamy, np. jeżeli ostatni wiersz ma numer k.n, to numer nowego wiersza

(zawierającego nowe założenie) ma postać k.n.1 (a nie k.n+1). Odpowiednie reguły pozwalają

nam w odpowiednim momencie zakończyć taki poddowód i wrócić do dowodu nadrzędnego.

Kiedy wprowadzamy dodatkowe założenia? Wtedy, gdy nie wiemy, co zrobić z formułami, które

już są w dowodzie, ale widzimy, że gdyby w dowodzie wystąpiła pewna formuła, to pozwoliłaby

nam poczynić jakiś postęp. Typowy przypadek zastosowania tej techniki to potrzeba

wprowadzenia do dowodu jakiejś implikacji – w takiej sytuacji wprowadzamy jej poprzednik jako

dodatkowe założenie i dążymy do udowodnienia następnika; jeżeli to się uda, to znaczy, że

udowodniliśmy samą implikację. Jest to w istocie poszerzenie zastosowania techniki dowodu

implikacji wstępujących. Zademonstrujemy na przykładzie, jak w systemie wygląda ta technika,

dowodząc tezy (p

→q∧r)→(p→q)∧(p→r)

1. p

→q∧r

Z

1.1. p

ZD

1.2. q

∧r

(1, 1.1 EI)

1.3. q

(1.2 EK)

2. p

→q

(1.1. – 1.3 DI)

2.1. p

ZD

2.2. q

∧r

(1, 2.1 EI)

2.3. r

(2.2 EK)

3. p

→r

(2.1. – 2.3 DI)

4. (p

→q)∧(p→r) (2,3

DK)

gdzie:

ZD – założenie dodatkowe.

66

Skrót (DI) oznacza, że ta

reguła konstrukcji dowodu

służy dołączaniu implikacji do dowodu,

z powodu braku odpowiedniej reguły inferencji. Zapis w kolumnie uzasadnień, np. (1.1. – 1.3

DI), oznacza, że tym razem uzasadnieniem wprowadzenia tej implikacji do dowodu jest cały

poddowód, od wiersza 1.1. do wiersza 1.3.

(DI) nie jest jedyną regułą umożliwiającą powrót z poddowodu do dowodu nadrzędnego.

Również pojawienie się

⊥ w poddowodzie stanowi świadectwo fałszywości naszego

dodatkowego założenia i podstawę do odrzucenia go, przy równoczesnym przyjęciu

w dowodzie nadrzędnym formuły sprzecznej z dodatkowym założeniem. Jest to

dowód

niewprost w oparciu o dodatkowe założenie

(w skrócie DNW).

Zatem (DNW) możemy zastosować, kiedy potrzebujemy w dowodzie jakiejś formuły, nie

będącej implikacją - wtedy, jako założenie dodatkowe wpisujemy negację tej formuły.

Zastosowanie (DNW) pokazuje następujący dowód niewprost tezy

¬(p→q)→p∧¬q

1.

¬(p→q)

Z

2.

¬(p∧¬q)

ZN

2.1. p

ZD

2.1.1.

¬q

ZDN

2.1.2. p

∧¬q

(2.1, 2.1.1 DK)

2.1.3.

⊥

(2,2.1.2

DS)

2.2. q

(2.1.1. – 2.1.3 DNW)

3. p

→q

(2.1. – 2.2 DI)

4.

⊥

(1,3

DS)

Konstrukcja tego dowodu wymaga komentarza. Teza do udowodnienia jest implikacją o jednym

poprzedniku, więc przyjmujemy go jako założenie wprost Z. Ponieważ nie mamy żadnych

możliwości dowiedzenia koniunkcji z następnika wprost, więc wprowadzamy jej negację jako

założenie niewprost naszego dowodu ZN.

Odtąd celem dowodu staje się uzyskanie sprzeczności; dałoby ją np. udowodnienie implikacji

p

→q. W tym celu wprowadzamy p jako założenie dodatkowe ZD i zaczynamy poddowód,

w którym chcemy dowieść q. Aby to zrobić zaczynamy kolejny poddowód, którego założeniem

dodatkowym niewprost ZDN jest

¬q. W poddowodzie tym uzyskujemy sprzeczność, zatem

możemy go zakończyć przez (DNW), tym sposobem uzyskując q (jako wyrażenie sprzeczne z ZDN

67

w dowodzie nadrzędnym (czyli w pierwszym poddowodzie). To pozwala nam zakończyć

również pierwszy poddowód przez (DI), uzyskując w dowodzie nadrzędnym (czyli w dowodzie

głównym) implikację p

→q. To daje nam ponownie sprzeczność i pozwala zakończyć dowód.

(DI) i (DNW) to jedyne techniki zamykania poddowodu, które tutaj dopuścimy, choć ich

asortyment można zwiększyć. W obu wypadkach implikacja bądź negacja dodatkowego

założenia jest ponownie w dowodzie nadrzędnym. Poddowód zakończony przez (DI) lub (DNW)

jest od tej pory zamknięty i nie wolno dalej używać żadnej formuły, która w nim

występowała!

Przykładowo – w powyższym dowodzie uzyskaliśmy sprzeczność w jednym z poddowodów, ale

to pozwalało nam zakończyć tylko ten poddowód, a nie dowód nadrzędny. Podsumowując:

w poddowodzie możemy używać dowolnych formuł, które występują wyżej w dowodzie

nadrzędnym, ale kiedy poddowód zostaje zamknięty (przez (DI) lub (DNW)), to żaden jego

element nie może być dalej w tym dowodzie użyty!

68

System omówiony do tej pory jest już zasadniczo kompletny, jednak dla ułatwienia praktyki

dedukcyjnej warto go wzbogacić o pewne dodatkowe techniki. Przy niewielkim dodatkowym

wysiłku pozwalają one często znacznie skrócić dowody.

Do dowodu zawsze można dodać w dowolnym miejscu podstawienie tezy, która wcześniej

została dowiedziona. Przykładowo, udowodniliśmy wyżej, że tezą systemu S/B jest

¬(p→q)→p∧¬q, co oznacza, że w innym dowodzie możemy dodać tę formułę, albo każdą inną,

która reprezentuje ten sam schemat, np.

¬(¬s→q∧r)→ ¬s∧¬(q∧r), czyli dowolną formułę

o schemacie

¬(ϕ→ψ)→ϕ∧¬ψ .

Innym sposobem wzbogacania asortymentu środków dowodowych jest dołączanie wtórnych

reguł inferencji. Ich wtórność polega na tym, że poprawność każdej z nich można uzasadnić

budując dowód, w którym przesłanki tej reguły są przesłankami dowodu (i ewentualnie negacja

wniosku założeniem niewprost), a ostatnim wierszem jest wniosek tej reguły (bądź

⊥),

natomiast w dowodzie użyte są tylko reguły pierwotne systemu, bądź wcześniej wprowadzone

reguły wtórne.

Krótko mówiąc, każdy dowód uzasadniający poprawność jakiegoś rozumowania stanowi

podstawę do dołączenia reguły wtórnej, będącej metajęzykowym uogólnieniem tego

rozumowania, np. rozumowanie z przykładu pierwszego w temacie 3 może stanowić podstawę

do używania reguły wtórnej o schemacie:

ϕ∧ψ, ϕ→¬χ, χ∨δ− ψ∧δ

W praktyce podstawę dla reguł wtórnych mogą stanowić jedynie rozumowania proste,

o niedużej liczbie przesłanek i prostej strukturze występujących formuł. Rozumowania złożone

są bowiem trudne do zapamiętania i jest niewielkie prawdopodobieństwo, że w praktyce

napotkamy na inne rozumowania, w których dany schemat można by było zastosować. Poniżej

proponujemy listę reguł wtórnych, których zapamiętanie z pewnością będzie korzystne:

69

(PN)

¬¬ϕ ≅ ϕ

(SH)

ϕ→ψ, ψ→χ− ϕ→χ

(MT)

ϕ→ψ, ¬ψ− ¬ϕ

(TR)

ϕ→ψ ≅ ¬ψ→¬ϕ

(MPR)

ϕ↔ψ, ϕ− ψ lub ϕ↔ψ, ψ− ϕ

(MTR)

ϕ↔ψ, ¬ϕ− ¬ψ lub ϕ↔ψ, ¬ψ− ¬ϕ

(NR)

¬(ϕ↔ψ), ϕ→ψ− ¬(ψ→ϕ) lub ¬(ϕ↔ψ), ψ→ϕ− ¬( ϕ→ψ)

(NK)

¬(ϕ∧ψ) ≅ ¬ϕ∨¬ψ

(NA)

¬(ϕ∨ψ) ≅ ¬ϕ∧¬ψ

(NI)

¬(ϕ→ψ) ≅ ϕ∧¬ψ

Zapisu

ϕ ≅ ψ użyliśmy dla oznaczenia

reguł obustronnie poprawnych

, w tym sensie, że

zarówno

ϕ− ψ, jak i ψ− ϕ (obie formuły są sobie równoważne). (PN) to reguła podwójnej

negacji, która pozwala kasować (lub dodawać) przy dowolnej formule dwie negacje. (SH)

(hipotetyczny sylogizm) pozwala na łańcuchy wnioskowań bazujące na przechodniości

implikacji. (MT) (od Modus Tollens) pozwala na rozbijanie implikacji nie tylko w oparciu

o występowanie poprzednika, ale i o negację następnika. (TR) (reguła transpozycji, czasem

określana jako reguła kontrapozycji) pozwala odwracać człony implikacji.

Reguły (MPR) (Modus Ponens dla równoważności), (MTR) (Modus Tolens dla równoważności)

i (NR) uogólniają na równoważność charakterystyczne reguły dla implikacji. Grupa reguł (NK),

(NA) i (NI) pozwala czynić użytek również z negacji rozmaitych formuł; (NA) i (NK) są często

określane jako reguły DeMorgana.

Uzasadnienie reguły (NI) (w jedną stronę) daje nam ostatni dowód z poprzedniego tematu. Oto

uzasadnienie reguły (NK) (w obie strony):

1.

¬(p∧q)

2.

¬(¬p∨¬q) ZN

2.1.

¬p

ZDN

2.2.

¬p∨¬q

(2.1 DA)

2.3.

⊥ (2,2.2

DS)

3. p

(2.1.-2.3

DNW)

3.1.

¬q

ZDN

3.2.

¬p∨¬q

(3.1 DA)

3.3.

⊥ (2,3.2

DS)

70

4. q

(3.1.-3.3

DNW)

5. p

∧q

(3,4

DK)

6.

⊥ (1,5

DS)

1.

¬p∨¬q

2.

¬¬(p∧q) ZN

3. p

∧q

(2

PN)

4. p

(3

EK)

5.

¬¬p

(4

PN)

6.

¬q

(1,5

EA)

7. q

(3,

EK)

8.

⊥ (6,7

DS)

Szczególnie przydatne mogą się w dowodzie okazać reguły obustronne. O ile reguły

jednostronne są stosowane poprawnie, tylko jeżeli ich przesłanki są samodzielnymi formułami

w dowodzie, to w przypadku reguł obustronnych można je poprawnie stosować także wtedy,

gdy przesłanka jest częścią jakiejś większej formuły (nie stanowi samodzielnego wiersza

dowodu). Przykładowo, mając w dowodzie w dwóch wierszach formuły p

∨(q→r) i q, nie można

zastosować (EI) i uzyskać p

∨r, ale można poprawnie zastosować (TR) i uzyskać p∨(¬r→¬q),

gdyż jest to reguła obustronna. Poprawność takich zabiegów jest zagwarantowana

poprawnością

meta-reguły ekstensjonalności

:

(RE) Jeżeli

ϕ ≅ ψ , to χ ≅ χ[ϕ//ψ]

Zapis

χ[ϕ//ψ] oznacza, że w formule χ zastąpiono jedno lub więcej wystąpień ϕ (jako

podformuły) przez wystąpienia formuły

ψ. W powyższym przykładzie zastąpiono w formule

p

∨(q→r) jedno wystąpienie podformuły q→r – przez równoważną jej (na mocy reguły (TR))

formułę

¬r→¬q.

Standardowe dowody tez o postaci równoważności zazwyczaj są przeprowadzane w dwóch

etapach; udowadnia się, że

ϕ→ψ i ψ→ϕ, aby potem zastosować do tych implikacji regułę (DR)

i otrzymać

ϕ↔ψ.

71

Analogicznie udowadnia się też poprawność reguł obustronnych, czego ilustrację mieliśmy

powyżej w dowodzie uzasadniającym poprawność reguły (NK). Reguły obustronne wraz

z regułą (RE) pozwalają często na uproszczony sposób dowodzenia tez o postaci

równoważności. Przykładowo, zwykły dowód tezy

¬(¬p∧(q→r))↔p∨q∧¬r jest dość

skomplikowany (zwłaszcza, jeżeli nie użyjemy reguł wtórnych), ale z użyciem reguł

obustronnych i (RE) można go otrzymać bardzo prosto:

1.

¬(¬p∧(q→r))

2.

¬¬p∨¬(q→r)

(1

NK)

3. p

∨¬(q→r) (2

PN)

4. p

∨q∧¬r

(3

NI)

W powyższym przykładzie założyliśmy jedną stronę równoważności i przekształcaliśmy ją przy

użyciu wyłącznie reguł obustronnych ((NK), (PN) i (NI)) oraz (RE) (w przejściu od wiersza 2. do

3. i od 3. do 4.), aż otrzymaliśmy drugą stronę równoważności. Taki sposób postępowania

gwarantuje, że nie tylko z

¬(¬p∧(q→r)) można wydedukować p∨q∧¬r, ale i odwrotnie. Należy

jednak pamiętać, że w dowodach tego typu nie wolno nam w ogóle stosować reguł

jednostronnych, czyli takich gdzie zależność między przesłanką a wnioskiem jest wyrażana

tylko przez

− .