Elementy metodologii

Wstęp

Ten moduł poświęcony jest częściowo zagadnieniom metodologicznym. Temat 1 omawia problematykę definiowania w języku naturalnym. Kolejne dwa tematy dotyczą kwestii wprowadzania ładu pojęciowego za pomocą podziału logicznego i porządkowania.

Ostatnie dwa tematy poświęcone są analizie pytań i odpowiedzi. Chcemy pokazać, że logika nie ogranicza się jedynie do tego, co może być ujęte w postaci zdań oznajmujących. Pytania, ze względu na swą wartość poznawczą, są szczególnie interesującym przedmiotem badań. Warto również podkreślić, że chociaż logika pytań jest obecnie dziedziną popularną w logice światowej, to pionierskie rozważania na tym polu były podjęte w latach 30. w Polsce, niezależnie — przez Romana Ingardena i Kazimierza Ajdukiewicza.

1.Definicje

Tworzenie definicji to jeden z najpopularniejszych środków wyjaśniania znaczenia wyrażeń. Każdy człowiek może znaleźć się w sytuacji, kiedy użyte przez niego zwroty nie zostaną zrozumiane przez odbiorców. Umiejętność zbudowania zadowalającej definicji należy więc traktować jako jeden z elementów najogólniej rozumianej kultury logicznej. Problematyka ta jest bardzo bogata, toteż ograniczymy się tylko do podania elementarnych informacji dotyczących definicji w językach naturalnych. Omawiając definicje,skupimy się przede wszystkim na definiowaniu wyrażeń nazwowych.

1.1. Cel definicji

Celem definicji nie zawsze jest wyjaśnianie znaczenia słów. Często definicje buduje się raczej w celu podania zwięzłej charakterystyki definiowanego przedmiotu. Dlatego należy odróżnić dwa typy definicji:realne (charakterystyka przedmiotu) i nominalne (charakterystyka znaczenia).

Różnica między obu rodzajami definicji nie zawsze jest wyraźna. Definicj erealne występują przede wszystkim w podręcznikach z nauk humanistycznych i przyrodoznawstwa. W naukach formalnych, takich jak matematyka, częściej mamy do czynienia z definicjami nominalnymi. Różnicę między dwoma typami definicji można zaobserwować również, porównując hasła w encyklopedii z hasłami w słowniku.

Powyższe rozróżnienie często jest (mylnie) utożsamiane z formą podania definicji(stylizacją). Porównajmy dwie definicje:

1. Przez „sorites” będziemy rozumieli to samo, co „sylogizm łańcusznikowy”.

2. Sorites jest to sylogizm łańcusznikowy.

Pierwsza z nich ma stylizację metajęzykową, co uwydatnia jej nominalny charakter. Druga jest sformułowana w języku przedmiotowym, co jednak nie oznacza, że jest definicją realną. Wydaje się, że nie należy przeceniać znaczenia takiej czy innej stylizacji w formułowaniu definicji,zwłaszcza że możliwe są również rozwiązania pośrednie, np.:

3. „Sorites” oznacza sylogizm łańcusznikowy.

1.2. Budowa definicji normalnych

Powyższe definicje to przykłady definicji normalnych, które mogą mieć postać równości lub równoważności. Definicje takie mają budowę trójczłonową: składają się z definiendum, łącznika definicyjnego (zwanego często spójką definicyjną) i definiensa.

Często spotykane formy łącznika to:

„...jest to...”, „...oznacza...”, „...znaczy tyle, co...”, „...to to samo, co...”, „przez... rozumiemy to samo, co...”, „... i ...oznaczają to samo”, „...wtw...” itd.

Definiendum to ta część definicji,która zawiera wyjaśniany termin. Ze względu na jego budowę można wyróżnić definicje wyraźne i kontekstowe. Podane wyżej przykłady to definicje wyraźne, gdyż definiendum nie zawiera żadnych innych wyrażeń. Czasem jednak wygodniej jest zbudować definicję, w której definiendum zawiera typowy kontekst użycia dla objaśnianego znaczenia. Jest to wygodne rozwiązanie, zwłaszcza w przypadku definicji funktorów. Podaje się je wówczas wraz z argumentami. Oto przykłady:

4. Dziadkiem Kowalskiego nazywamy ojca ojca Kowalskiego, lub ojca matki Kowalskiego.

5. Logarytm liczby a przy podstawie b, to liczba c taka, że liczba b podniesiona do potęgi c jest równa liczbie a.

Definiens jest tą częścią definicji,która służy wyjaśnieniu znaczenia definiowanego terminu. Tutaj również można wyróżnić wiele rozwiązań. Jedna z najbardziej znanych to definicja klasyczna, zwana też — od imienia autora — arystotelesowską. Jest to definicja równościowa i wyraźna, której definiens składa się z dwóch części: rodzaju najbliższego (genus proximum) i różnicy gatunkowej (differentia specifica). Oto przykład:

6. Dom jest to budynek mieszkalny.

Słowo „budynek” to rodzaj najbliższy, czyli zbiór przedmiotów zawierający zbiór domów (rodzaj), a ponadto spełniający warunek bycia najmniejszym takim zbiorem. Słowo „mieszkalny” to nazwa tej cechy, która w obrębie zbioru budynków przysługuje właśnie domom, a innym budynkom nie. Jest zatem różnicą gatunkową, gdyż w obrębie rodzaju pozwala wyróżnić pewien gatunek.

Przez wiele wieków uznawano za poprawną tylko taką formę definicji,dziś zdajemy sobie sprawę z jej istotnych ograniczeń. Definicja klasyczna jest wyrazem Arystotelesowskich przekonań ontologicznych, w myśl których cały wszechświat jest uporządkowaną hierarchicznie strukturą rodzajów i gatunków. Wysiłek badacza zmierza ku temu, aby dla każdej dającej się naturalnie wyróżnić klasy obiektów znaleźć jej miejsce w hierarchii i dać temu wyraz w definicji klasycznej.

Pomijając filozoficzną kwestię, czy taka wizja wszechświata jest poprawna, można stwierdzić, że w wielu dziedzinach zdaje ona egzamin, a co za tym idzie, tworzenie definicji klasycznych jest tam nie tylko możliwe, ale często bardzo naturalne i proste (np. w biologii). W wielu przypadkach jednak niezwykle trudno takie definicje zbudować z tego powodu, że chociaż jesteśmy w stanie wskazać jakiś rodzaj, to nie wiemy, czy jest on najbliższy.

Jeszcze częściej mamy kłopoty ze wskazaniem takiego zbioru cech, którego koniunkcję można uznać za różnicę gatunkową. Nawet tam, gdzie jest to możliwe, z braku wiedzy czasami wygodniej jest nam użyć innej formy definiensa. Przykładowo z pewnością jest możliwe zbudowanie definicji klasycznej dla wyrażenia „drób”, dla większości ludzi jednak bardziej naturalna i łatwiejsza do zbudowania będzie definicja następująca:

7. Drób są to: kury, kaczki, gęsi, indyki i perliczki.

Definiens powstaje tutaj przez wyliczenie nazw tych zbiorów, których suma daje zakres terminu definiowanego.

1.3. Zadania definicji

Definicje mogą spełniać różne zadania. Z tego powodu dzielimy je na: sprawozdawcze, regulujące i projektujące.

1. Definicje sprawozdawcze — inaczej słownikowe — służą do wyjaśniania, w jakim znaczeniu dane wyrażenie jest obecnie w pewnym języku używane.

2. Definicje regulujące służą precyzacji znaczenia danego wyrażenia, np. w przypadku nazw nieostrych podają propozycję uściślenia ich zakresu. Tworzenie definicji regulujących ma duże znaczenie w prawoznawstwie i praktyce ustawodawczej.

3. Definicje projektujące powstają wówczas, gdy pojawia się potrzeba nazwania nowego zjawiska w danym języku. Odbywa sie to albo przez zapożyczenie odpowiedniego terminu z innego języka (np. „komputer”, „skaner”, ...), albo przez utworzenie nowego słowa (neologizm) na podstawie wyrażeń już w danym języku istniejących (np. „długopis”), albo też przez przypisanie nowego znaczenia wyrażeniu, które już w języku występuje (np. „cybernetyka”). Definicja jest projektująca tylko przez pewien czas — jeżeli propozycja terminologiczna się przyjmie, to staje się ona definicją sprawozdawczą, w przeciwnym wypadku ulega zapomnieniu (np. termin „zwis męski” proponowany w latach 70. jako nazwa krawata).

1.4. Warunki poprawności definicji

Aby definicja spełniała swoje zadanie, musi być przede wszystkim zrozumiała dla odbiorcy. Jej definiens musi być sformułowany w taki sposób i w oparciu o taką terminologię, aby odbiorca nie miał wątpliwości, co oznacza definiowany termin. W przeciwnym wypadku popełniamy błąd, zwany tradycyjnie ignotum per ignotum (niezrozumiałe przez niezrozumiałe). Błąd ten ma charakter relatywny, gdyż zależy od kompetencji językowych i poziomu wiedzy odbiorcy. Ktoś, kto małemu dziecku w odpowiedzi na pytanie „Co to jest aspiryna?”, wyjaśnia, że jest to kwas acetylosalicylowy, raczej na pewno popełnia ten błąd.

Pokrewnym, ale już nie relatywnym, błędem jest definiowani eczegoś przez to samo (idem per idem), zwane też błędnym kołem (circulus vitiosus) w definicji .Można tu wyróżnić dwa typy — pierwszy to błędne koło bezpośrednie (ten sam termin w definiendum i definiensie tej samej definicji),np:

8. Rodzaj jest to zbiorowisko indywiduów tego samego rodzaju.

Bardziej wyrafinowaną (i częściej występującą) formą tego błędu jest błędne koło pośrednie. Mamy tutaj do czynienia z ciągiem definicji,takim,że każda następna wyjaśnia pewien termin występujący w definiensie poprzedniej, a w definiensie ostatniej pojawia się ponownie termin z definiendum pierwszej definicji. Oto prosty(tylko dwie definicje)przykład:

9. Logika jest nauką o poprawnym rozumowaniu.

10. Poprawne rozumowanie jest to rozumowanie zgodne z zasadami logiki.

Znów należy zwrócić uwagę, że w pewnych kontekstach trudno uniknąć błędnego koła pośredniego. Przykładem publikacji, w których jest ono nie do uniknięcia, są np. jednojęzyczne słowniki i leksykony.

W przypadku definicji równościowych sprawozdawczych ważnym wymogiem jest warunek adekwatności, sprowadzający się do tego, żeby zakresy definiendum i definiensa były równoważne. Ponieważ są możliwe jeszcze cztery inne relacje zakresowe, można popełnić tyle błędów — oto przykłady:

11. Kwadrat jest to czworobok równoboczny.

12. Ołówek to nazwa przyrządu do pisania złożonego z pręcika grafitu w drewnianej oprawce.

13. Naukowiec jest to pracownik uczelni wyższej.

14. Narkoza to płyn powodujący uśpienie organizmu.

Definicja11.jest za szeroka, gdyż zakres definiendum jest podrzędny względem zakresu definiensa.Definicja12. jest za wąska, gdyż zakres definiendum jest nadrzędny względem zakresu definiensa.Definicja13. to przykład krzyżowania się zakresów, gdyż nie każdy naukowiec pracuje na uczelni i nie każdy pracownik uczelni to naukowiec. Wreszcie w definicji14. Mamy do czynienia z tzw. błędem kategorialnym, gdzie zakresy obu członów definicji są rozłączne, gdyż definiens i definiendum należą do różnych kategorii. Narkoza to nie płyn, ale stan organizmu poddanego działaniu takiego płynu (bądź innej substancji).

2. podział logiczny

2.1. Wprowadzanie ładu pojęciowego

Wprowadzanie i utrzymywanie porządku jest ważne nie tylko w życiu codziennym. Z tego powodu w obrębie ogólnej metodologii nauk dużo miejsca poświęca się procedurom wprowadzania ładu pojęciowego w obrębie badanej dziedziny. Dwie zasadnicze operacje tego rodzaju to podział logiczny (zwany też klasyfikacją) i porządkowanie, które pozwalają na wprowadzanie bardziej zaawansowanych zabiegów, takich jak np. typologia. Operacje te mogą mieć charakter fizyczny lub pojęciowy. Od strony teorii nie ma tutaj zasadniczej różnicy, natomiast w praktyce zdecydowanie lepiej jest, jeżeli podział pojęciowy wyprzedza fizyczną czynność.

W tym temacie skupimy się na podziale logicznym, w następnym zajmiemy się porządkowaniem. Z przykładami podziałów logicznych zetknęliśmy się już np. przy okazji podziału wyrażeń na kategorie syntaktyczne czy różnych podziałów nazw. Pora ustalić teoretyczne podstawy takiego zabiegu.

2.2. Formalne wyznaczniki podziału logicznego

Aby dany podział można było określić jako logiczny, musi on spełniać co najmniej dwa warunki:

1. Warunek adekwatności — suma zbiorów będących członami podziału musi dawać w rezultacie zbiór dzielony. Innymi słowy, każdy element dzielonego zbioru musi być gdzieś uwzględniony.

2. Warunek rozłączności — zbiory będące członami podziału muszą być parami rozłączne. Czyli żaden element dzielonego zbioru nie może się znaleźć w więcej niż jednym podzbiorze.

Do tych dwóch warunków często dodaje się jeszcze:

3. Warunek niepustości — każdy człon podziału musi coś zawierać.

Warto jednak podkreślić, że w praktyce naukowej nie zawsze jest on przestrzegany i to nie bez racji. Proponowany podział może bowiem nie odwoływać się do aktualnej wiedzy na temat dziedziny, ale bazować na pewnych założeniach teoretycznych, które pozwalają przewidywać istnienie pewnych obiektów, dla których z góry rezerwuje się miejsce.

Dobrym przykładem takiego podziału jest układ okresowy pierwiastków — nadal są w nim puste kategorie, ale jest ich obecnie mniej niż w momencie, kiedy go zaproponowano, ponieważ w ciągu wieloletnich badań odkryto wiele pierwiastków, których istnienie przewidywano. Osoba, która np. posiada bogaty księgozbiór, nadal zamierza go powiększać i — korzystając z przeprowadzki — dokonuje tematycznego podziału swoich zbiorów, również uczyni słusznie, pozostawiając trochę pustych miejsc na półkach.

2.3. Naturalność podziału

Często formułuje się jeszcze pewien nieformalny warunek poprawności podziału — wymaga się, by był on naturalny. Sprowadza się to do wymagania, by relacja między zbiorem dzielonym a członami podziału była relacją między pewnym rodzajem a jego gatunkami. Otóż raz jeszcze trzeba podkreślić względność takiego wymogu. Podział zbioru książek według wielkości okładek może być sztuczny dla literaturoznawcy, ale jest bardzo naturalny dla bibliotekarza!

Chociaż warunki poprawności podziału są proste, to nie zawsze łatwo jest je zrealizować. Ktoś, kto pewien zespół mężczyzn podzieli np. na katolików, blondynów, inżynierów i brodatych, może (przypadkiem) otrzymać podział logiczny. Jest jednak wysoce prawdopodobne, że złamie każdy z warunków poprawności, gdyż człony tego podziału wydzielone są według różnych kryteriów. Jednym ze sposobów zapobiegania takim problemom jest przestrzeganie jednolitości kryteriów podziału.

2.4. Podział dychotomiczny

Najprostszym sposobem realizowania podziału logicznego jest podział dychotomiczny. Kryterium podziału jest wtedy pewna cecha wyrażana przez nazwę o ostrym zakresie, często zwana cechą (bądź pojęciem) klasyfikacyjną. Jeżeli dysponujemy taką cechą, która stosuje się do dzielonego zbioru (cecha bycia zielonym nie stosuje się np. do zbioru liczb), a ponadto nie jest w nim cechą uniwersalną (jak np. cecha bycia ssakiem w zbiorze tygrysów), to wtedy można omawiany zbiór podzielić na dwa człony: zbiór tych jego elementów, które daną cechę posiadają i tych, które jej nie posiadają.

2.5. Zasada abstrakcji a podział logiczny

Pewne cechy uniwersalne w danym zbiorze pozwalają — dla odmiany — na wydzielenie większej ilości członów podziału, np. zbiór klocków możemy podzielić według kryterium koloru bądź kształtu. Zachodzi ścisły związek między podziałem dokonywanym w ten sposób a pewną relacją równoważności zachodzącą w dzielonym zbiorze.

Dana relacja R jest relacją równoważności wtedy, gdy spełnia zarazem trzy własności:

a) R jest zwrotna, tzn. ∀xRxx,

b) R jest symetryczna, tzn. ∀xy(Rxy → Ryx),

c) R jest przechodnia, tzn. ∀xyz[(Rxy ∧ Ryz) → Rxz].

Zwrotność mówi o tym, że dana relacja zachodzi między dowolnym obiektem a nim samym. Symetria gwarantuje, że jeżeli dana relacja zachodzi między parą obiektów w jedną stronę, to zachodzi też w drugą. Przechodniość dotyczy dziedziczenia relacji. Jeżeli zachodzi ona między pierwszym i drugim obiektem oraz między drugim i trzecim, to zachodzi też między pierwszym a trzecim. Przykładem takiej relacji jest np. relacja identyczności w zbiorze liczb naturalnych.

Ilekroć dla danego zbioru można znaleźć relację równoważności, to daje ona efektywny podział logiczny tego zbioru. Zależność ta jest treścią tzw. zasady abstrakcji. W wyżej wspomnianym zbiorze klocków relacją, która pozwala na utworzenie podziału, jest relacja wyrażona predykatem „...jest tego samego koloru, co...” bądź predykatem „...jest tego samego kształtu, co...”.

Czytelnik łatwo może sprawdzić, że obie relacje są istotnie równoważnościowe (tzn. zwrotne, symetryczne i przechodnie) w zbiorze klocków. Cecha koloru czy kształtu to cecha wyabstrahowana z takiej relacji, natomiast poszczególne kolory (bądź kształty) to wartości tej cechy. Członami podziału stają się wtedy zbiory tych elementów, które przyjmują tę samą wartość danej cechy, a zatem — ze względu na wyabstrahowaną cechę — są w dzielonym zbiorze nierozróżnialne.

2.6. Klasyfikacja

Operowanie jednym kryterium przy tworzeniu podziału zazwyczaj daje dosyć banalne wyniki. Aby otrzymać bardziej zaawansowane konstrukcje, dobrze jest operować różnymi kryteriami podziału. Takie wielopiętrowe, hierarchiczne podziały to klasyfikacje.

Przykładowo, zbiór mężczyzn z pierwszego podziału można poddać czterostopniowej klasyfikacji dychotomicznej z wykorzystaniem podanych tam cech (pod warunkiem,że żadna z nich nie jest w tym zbiorze uniwersalna). Kolejno dzielimy zbiór na katolików i niekatolików (kryterium — wyznanie), następnie oba zbiory na inżynierów i nieinżynierów, potem na blondynów i nieblondynów, wreszcie na brodatych i niebrodatych.

Krzyżować ze sobą można oczywiście nie tylko podziały dychotomiczne. Jeżeli w przypadku danego kryterium nie mamy pewności, czy uwzględniliśmy wszystkie interesujące klasy, to warto dodać (aby zapewnić adekwatność podziału) człon podziału o etykiecie „inne”.

Klasyfikacje wygodnie jest reprezentować w postaci tabel i drzew. Reprezentacja tabelowa najlepiej sprawdza się w przypadku skrzyżowania ze sobą pary kryteriów. W przypadku większej liczby poziomów podziału, reprezentacja tabelowa może okazać się mało czytelna. W takiej sytuacji lepiej sprawdzają się drzewa. Wadą wykresów w postaci drzew jest to, że jeśli jakieś kryterium stosuje się do wszystkich wyodrębnionych do tej pory członów podziału, to odpowiednie rozgałęzienie trzeba powtarzać na końcu każdej istniejącej gałęzi.

3. Porządkowanie

3.1. Rodzaje relacji porządkujących

Bardziej wyrafinowane sposoby wprowadzania ładu pojęciowego łączą się z ustalaniem kolejności elementów lub ich grup w obrębie badanej dziedziny. Teoretyczne omówienie zabiegów tego typu wymaga formalnego wprowadzenia relacji porządkujących. Poniżej zdefiniujemy dwie najważniejsze relacje tego rodzaju.

Relacją częściowego porządku nazywamy dowolną relację R, która spełnia zarazem trzy własności:

a) R jest przeciwzwrotna, tzn. ∀x ¬ Rxx,

b) R jest asymetryczna, tzn. ∀xy(Rxy → ¬Ryx),

c) R jest przechodnia, tzn. ∀xyz[(Rxy ∧ Ryz) → Rxz].

Relacja częściowego porządku, która dodatkowo spełnia warunek:

d) R jest spójna, tzn. ∀xy[x ≠ y → (Rxy ∨ Ryx)],

jest określana jako relacja porządkująca liniowo lub po prostu jako relacja porządkująca.

Przeciwzwrotność powoduje, że dowolny obiekt nie jest sam z sobą w tej relacji. Asymetria mówi, że jeżeli relacja zachodzi między parą obiektów w jedną stronę, to nie zachodzi w drugą (przechodniość już omawialiśmy). Spójność powoduje, że dana relacja zachodzi między dowolną parą różnych obiektów, w jedną lub w drugą stronę. Przykładowo, relacja bycia czyimś potomkiem jest w zbiorze ludzi relacją częściowo porządkującą, ale nie jest spójna, gdyż nie jest tak, że z dwóch dowolnych osobników jeden jest potomkiem drugiego.

3.2. Zbiory uporządkowane

Zbiór, na którym zdefiniowaliśmy pewną relację porządkującą, określamy jako zbiór uporządkowany (przez tę relację). Dowolna lista osób (bez powtórzeń) może nam służyć jako prosty przykład zbioru uporządkowanego (liniowo). Również zbiór liczb naturalnych z relacją „<” jest zbiorem (liniowo) uporządkowanym.

Łatwo także sprawdzić, że relacje wyrażane predykatami: „...jest wyższy od...”, „...jest cięższy od...” bądź „...jest lepiej wykształcony niż...” są relacjami częściowo porządkującymi dowolny zbiór ludzi (są przeciwzwrotne, przechodnie i asymetryczne). W szczególnych przypadkach każda z tych relacji może okazać się też spójna w danym zbiorze, np. gdy w rozważanym zbiorze każdy człowiek będzie miał inny wzrost. Wtedy mamy do czynienia z liniowym uporządkowaniem zbioru.

3.3. Systematyzacja

Skupimy się na szczególnie interesującym z praktycznego punktu widzenia przypadku porządkowania, jakim jest tworzenie systematyzacji pewnego zbioru. Można na tę operację spojrzeć zresztą jako na przykład podziału zbioru połączonego z uporządkowaniem członów tego podziału.

Szczególnym przypadkiem podziału niedychotomicznego przeprowadzanego w taki sposób jest zastosowanie jako kryterium podziału pewnej cechy stopniowalnej, czyli takiej, której nasilenie jest w danym zbiorze zmienne. Jeżeli dysponujemy pewną skalą, pozwalającą mierzyć stopień nasilenia danej cechy u poszczególnych elementów zbioru, to mówimy wtedy o cesze mierzalnej (lub porządkującej). Np. zbiór osób można podzielić według wzrostu, wagi, poziomu wykształcenia.

Cechy takie określa się czasem jako cechy typologiczne, nie jest to jednak praktyka poprawna, gdyż konstrukcja typologii zakłada większą złożoność wykorzystywanych terminów (por. Pawłowski, 1977). Szersze omówienie problematyki pomiaru i rodzajów skal przekracza zakres tego kursu, toteż ograniczymy się tutaj tylko do elementarnych uwag.

Cecha jest mierzalna (jest wielkością) wtedy, gdy zachodzi odwzorowanie pomiędzy wyróżnionymi wartościami tej cechy a liczbami rzeczywistymi, określane jako izomorfizm. Ustalanie takiego izomorfizmut pomiar, a liczba rzeczywista przyporządkowana danej wartości cechy w wyniku danego pomiaru jest jej miarą liczbową. Idealnym rozwiązaniem jest ustalenie izomorfizmu,pozwalającego na miarach liczbowych wykonywać również działania arytmetyczne, których wyniki też są odwzorowane. Mamy wtedy do czynienia z pomiarem właściwym, a cecha mierzalna tego typu jest wielkością addytywną. W naukach humanistycznych częściej udaje się ustalić tylko takie przyporządkowanie, które pozwala mówić jedynie o kolejności miar liczbowych. Mamy wtedy do czynienia ze skalowaniem, a cecha mierzalna tego typu jest wielkością rangową.

Operowanie cechami mierzalnymi pozwala na utworzenie nie tylko podziału, ale dodatkowo również na utworzenie pewnego uporządkowania członów tego podziału. Wynik takiego zabiegu to systematyzacja.

Przykładowo, podzielenie pewnego zbioru ludzi według posiadanej przez nich wagi daje systematyzację tego zbioru. Waga jest bowiem wielkością, a relacja porządkująca przez nią wyznaczana, jest wyrażana predykatem „...jest cięższy od...” lub „...jest lżejszy od...”. Relacja ta może nawet liniowo porządkować rozważany przez nas zbiór, co w dużej mierze zależy od stopnia dokładności przyjętego przez nas pomiaru.

W przeciwnym wypadku, tzn. gdy któraś z rozpatrywanych przez nas relacji nie jest w analizowanym zbiorze spójna (dwóch lub więcej ludzi ma np. tę samą wagę) otrzymujemy przy okazji pewną, stowarzyszoną relację nierozróżnialności. Formalnie, niech P oznacza relację częściowo porządkującą (ale taką, która nie jest spójna) w danym zbiorze. Wtedy relacja R, zdefiniowana następująco:

∀xy[Rxy ↔ (¬Pxy ∧ ¬Pyx)]

jest relacją nie rózróżnialności w rozważanym zbiorze. Łatwo ustalić, że relacja ta jest zwrotna i symetryczna. W szczególnych przypadkach jest też przechodnia, a zatem jest relacją równoważności, która dodatkowo daje podstawę (zgodnie z zasadą abstrakcji) do podziału zbioru. Przykładowo, niech P oznacza predykat „...jest lepiej wykształcony od...”, wtedy R oznacza „...ma takie samo wykształcenie jak...”.

3.4. Uporządkowania wielowymiarowe

W przypadku podziałów podkreślaliśmy, że większe znaczenie poznawcze i praktyczne mają raczej wielopoziomowe klasyfikacje. Podobnie jest w przypadku porządkowania — w praktyce często mamy do czynienia z uporządkowaniami wielowymiarowymi. Chcąc np. ocenić wartość pracowników jakiejś firmy,bierzemy pod uwagę różne czynniki: doświadczenie, uzyskiwane wyniki, wykształcenie, kreatywność itd. Jest to źródłem dodatkowych trudności, gdyż dla każdej z uwzględnionych cech musimy ustalić osobne uporządkowanie, a następnie sprowadzić to do wspólnego mianownika, często dokonując arbitralnych wyborów.

3.5.Problemy dotyczące porządkowania w humanistyce

Szczególne problemy z wprowadzaniem ładu pojęciowego pojawiają się na gruncie nauk humanistycznych. Znacznie częściej mamy tam do czynienia z wyrażeniami nieostrymi, a co za tym idzie — przeprowadzanie podziałów jest utrudnione. Podobnie rzecz wygląda z porządkowaniem. Nawet jeżeli dysponujemy cechami stopniowalnymi, to często trudno je wyskalować (przekształcić je na mierzalne), tak aby mogły posłużyć za podstawę systematyzacji. Co więcej, w przypadku wielu pojęć używanych w humanistyce także ich treść jest niewyraźna — w tym sensie, że co do wielu cech jest rzeczą sporną, czy w ogóle przysługują one (wszystkim) desygnatom odpowiedniej nazwy.

Nie znaczy to, że zabiegi tego typu nie są w humanistyce z powodzeniem podejmowane. Nie każda cecha stopniowalna jest mierzalna, ale teoretycznie każda może się taką stać. Generalnie mamy tutaj do czynienia z cechami wyrażanymi przez nazwy nieostre, w oparciu o które można wprowadzić pewną relację porządkującą, którą następnie — w wyniku pewnych zabiegów teoretycznych — można wyskalować.

Jako przykład może posłużyć nazwa nieostra „inteligentny”, której odpowiada relacja porządkująca denotowana predykatem „...jest bardziej inteligentny od...”, mierzona w oparciu o (dyskusyjną) skalę IQ. Działania zmierzające do przekształcania potocznych i nieostrych wyrażeń w precyzyjne terminy pomiarowe przypominają do pewnego stopnia działania podejmowane przy tworzeniu definicji regulujących.

Zasygnalizowane przez nas trudności powodują, że zabiegiem porządkującym bardziej użytecznym od klasyfikacji i systematyzacj i jest typologia, w której nie wymaga się ani rozłączności wyróżnionych klas (typów), ani adekwatności. W typologii raczej charakteryzuje się pewne obiekty, zwane obiektami typowymi (lub krótko — typami albo wzorcami) i rozdziela się pozostałe obiekty z danego zbioru ze względu na stopień podobieństwa do wydzielonych wzorców.

Często wydzielone typy są wyłącznie konstruktami pojęciowymi (typ idealny) i żaden z obiektów faktycznie należących do dzielonego zbioru nie ma charakterystyki w pełni im odpowiadającej. Np. na wystawie psów rasowych sędziowie dokonują rankingu konkretnych psów danej rasy na podstawie stopnia ich podobieństwa do zdefiniowanego wcześniej wzorca, który jest typem idealnym.

Utworzenie dobrej typologii dla danej dziedziny badań na ogół zakłada wcześniejsze wielowymiarowe uporządkowanie tej dziedziny oraz dobre przygotowanie merytoryczne. Na omawianie złożonej problematyki formalnej tworzenia typologii nie mamy tutaj miejsca. Zainteresowanych odsyłamy do pracy Pawłowskiego (1986), natomiast Tatarkiewicz (1951) dostarcza znakomitego nieformalnego wprowadzenia.

4. Pytania

Logika nie ogranicza się tylko do analizy zdań oznajmujących. Dobrym przykładem poszerzenia zakresu zastosowania logiki jest teoria pytań. Istnieją bardzo zaawansowane technicznie wersje logiki pytań (np. Kubiński, Belnap). Tutaj ograniczymy się do omówienia w nieformalny sposób elementarnych zagadnień, opierając się na jednym z pierwszych opracowań tej problematyki (Ajdukiewicz).

Ważność zdań pytajnych w prawie, dydaktyce czy nauce nie budzi żadnych wątpliwości. Umiejętność postawienia właściwego pytania to często pierwsze stadium sformułowania problemu. Znane powiedzenie „Jakie pytanie, taka odpowiedź” sugeruje, że dobry sposób ujęcia tej problematyki to perspektywa możliwych (dopuszczalnych) odpowiedzi na dane pytanie.

4.1. Pytania i ich funkcja

Pytania można wyróżniać na podstawie gramatycznej lub funkcjonalnej. W pierwszym przypadku podstawą odróżnienia zdań pytajnych od innych rodzajów wyrażeń jest ich struktura. Generalnie pytania wyróżniają się tym, że występują w nich specjalne partykuły pytajne („kto...”, „co...”, „dlaczego...” , „czy...” itd.) bądź zastosowana jest inwersja (przestawienie pewnych członów zdania oznajmującego).

W języku mówionym można zresztą wyrazić pytanie za pomocą zdania oznajmującego, ale wypowiedzianego z odpowiednią intonacją. Pytania wyrażane przez inwersję bądź intonację można jednak przekształcić na takie pytania, w których odpowiednia partykuła występuje. Przyjmiemy wobec tego ogólny schemat zdania pytajnego (prostego):

partykuła (zaimek lub przysłówek) + datum questionis (dana pytania).

Przy drugim kryterium podstawą wyróżnienia pytań jest ich cel, mianowicie zdobycie informacji. Przy takim ujęciu wyrzucamy poza nawias rozważań wszystkie pytania, które nie są postawione na serio, czyli w celu otrzymania jakiejś informacji. Przykładem takich pseudopytań są wypowiedzi: „No jak tam?”, „Jak leci?”, „Co powiesz?”. Realizują one funkcję fatyczną, tzn. służą do nawiązywania bądź podtrzymywania kontaktu. Innym przykładem są tzw. pytania retoryczne, których celem jest dynamizacja wypowiedzi.

W pewnym sensie można by uznać, że w dydaktyce również mamy do czynienia z pytaniami nie na serio. Nauczyciel zadający pytania uczniowi nie chce zdobyć tej informacji, której pytanie dotyczy, gdyż ją zna (a przynajmniej powinien). Jednak celem takiego pytania jest w dalszym ciągu zdobycie pewnej informacji — nauczyciel chce zdobyć informację na temat wiedzy ucznia. Z tego powodu mamy tutaj do czynienia z pytaniami, bez względu na przyjęte kryterium.

4.2. Podział pytań

Obecnie dokonamy podziału pytań ze względu na typ odpowiedzi, których oczekuje pytający. Warto jednak pamiętać, że liczba schematów odpowiedzi na różne rodzaje pytań jest często bardzo duża. Bez względu na rodzaj pytania, zawsze możliwa jest również odpowiedź uniwersalna: „Nie wiem”. Ze względu na stopień określenia schematu odpowiedzi, pytania podzielimy na otwarte i zamknięte.

Pytania otwarte (albo problemowe) typu: partykuła + Z? Datum questionis jest tutaj zdaniem oznajmującym bądź jakimś jego łatwym do uzupełnienia skrótem. Warunkiem poprawności takich pytań jest prawdziwość datum questionis. Oto przykłady:

Dlaczego Ziemia krąży wokół Słońca?

Czemu siedzisz taka smutna?

Po co tam poszłaś?

Co myślisz o Kowalskim?

Pytania tego typu zasadniczo nie wyznaczają schematu odpowiedzi. Często jest to jakiś dłuższy tekst, którego zadaniem jest udzielenie wyczerpującego wyjaśnienia. Można jednak wskazać, że ewentualne odpowiedzi na pewne specjalne rodzaje pytań otwartych są powiązane związkami logicznym z datum questionis (przynajmniej w odczuciu odpowiadającego!), np.:

— pytania o przyczynę (powód) typu „Dlaczego Z1?”. Odpowiedź często przyjmuje schemat: „Dlatego, że („Bo...”, „Ponieważ...”) Z2”, gdzie odpowiadający zakłada, że Z1 wynika z Z2, np. „Dlaczego się upiłeś?” — „Bo miałem ochotę (pragnienie, pieniądze, klucz do barku, byłem smutny/wesoły... itd.)”;

— pytania o skutek (cel) typu „Po co Z1?”. Odpowiedź często przyjmuje schemat: „Żeby Z2”, gdzie odpowiadający zakłada, że Z2 wynika z Z1, np. „Po co poszedłeś na studia?” — „Żeby się czegoś nauczyć (zostać magistrem, przedłużyć młodość, uniknąć wojska... itd.)”.

W przypadku pytań zamkniętych można wyznaczyć ogólny schemat odpowiedzi narzucany przez pytanie. Odpowiedzi realizujące ten schemat określać będziemy jako odpowiedzi właściwe. Wyróżnimy dwa rodzaje pytań zamkniętych.

Pytania zamknięte-rozstrzygnięcia typu: „Czy Z?” (datum questionis jest znowu zdanie), np. „Czy leci z nami pilot?”. W przypadku pytań tego typu możliwe są dwie odpowiedzi właściwe — potwierdzenie lub zaprzeczenie Z. Pytania tego typu często występują w wariantach wieloczłonowych, np. „Czy piłeś wódkę, czy koniak?”. W takiej sytuacji oczywiście liczba odpowiedzi właściwych odpowiednio wzrasta — w podanym przykładzie do czterech („Tak, piłem jedno i drugie”, „Piłem wódkę, ale nie koniak” itd.).

Pytania zamknięte-dopełnienia typu: partykuła + Z lub partykuła + Z(x1, ..., xn). Datum questionis jest tutaj bądź zdaniem, bądź funkcją zdaniową od pewnej liczby zmiennych. Przykładem pierwszego rodzaju jest pytanie „Kiedy Napoleon został cesarzem?”, przykłady drugiego rodzaju to pytania: „Kto tak głośno ryczy w klasie?”, „Kto napisał to świństwo na tablicy?” (datum questionis — „x tak głośno ryczy w klasie”, „x napisał to świństwo na tablicy”).

Tutaj również mogą wystąpić przypadki złożonych pytań, co w datum questionis daje funkcje zdaniowe od większej liczby zmiennych, np. „Kto i kiedy zabił Kowalskiego?” (datum — „x zabił Kowalskiego w czasie y”). Generalnie w przypadku pytań tego rodzaju odpowiedź właściwa to albo zdanie, które jest datum questionis pytania, ewentualnie uzupełnione przez dodatkowe elementy (okoliczniki czasu, miejsca itd. w odpowiedzi na partykuły „kiedy...”, „gdzie...”, „jak...”, „co...”, ...), albo zdanie, które powstaje przez podstawienie za zmienne w datum questionis jakichś wyrażeń z zakresu dopuszczalnych podstawień danej zmiennej.

Na marginesie powyższych rozważań warto jeszcze podkreślić dwie rzeczy:

1. Nie można generalnie traktować pewnych partykuł pytajnych jako związanych z danym rodzajem pytań. Porównaj przykładowo: „Co sądzisz o Kowalskim?” (pytanie otwarte) i „Co ukradł Kowalski?” (pytanie dopełnienia).

2. Pytania złożone łatwo przekraczają podane wyżej podziały. Można spotkać warianty łączące różne rodzaje pytań, np: „Czy ktoś kiedyś rozwiąże to zadanie?” (pytanie zarówno rozstrzygnięcia, jak i dopełnienia), „Kto i dlaczego zabił Kowalskiego?” (pytanie zamknięte-dopełnienia i otwarte).

5. Odpowiedzi

5.1. Klasyfikacja odpowiedzi

Ludzie na ogół nie ograniczają się do udzielania odpowiedzi właściwych. Potoczna komunikacja dopuszcza szereg innych możliwości, z których kilka warto wyróżnić:

Odpowiedź całkowita jest to zdanie, z którego wynika co najmniej jedna odpowiedź właściwa. Oczywiście, każda odpowiedź właściwa też jest odpowiedzią całkowitą (gdyż sama z siebie wynika, zgodnie z własnością zwrotności wynikania) — jest to odpowiedź całkowita wprost. W pozostałych wypadkach jest to odpowiedź całkowita niewprost. Oto kilka przykładów:

Czy na Marsie są istoty żywe? — Na Marsie nie ma tlenu (z braku tlenu wynika, że nie ma tam życia).

Czy wieloryb to ryba? — Wieloryb jest ssakiem (skoro to ssak, to nie ryba).

Odpowiedź częściowa to zdanie, z którego nie wynika żadna odpowiedź właściwa, ale które wyklucza niektóre spośród nich. Równoważnie można scharakteryzować odpowiedź częściową jako zdanie, które wynika z odpowiedzi właściwej i prawdziwej. Przykłady:

Kto odkrył Amerykę? — Jakiś Włoch (ze zdania „Kolumb odkrył Amerykę” wynika, że zrobił to jakiś Włoch).

Kto napisał to świństwo na tablicy? — Ja nie napisałem (eliminacja jednego z możliwych podstawień do zmiennej w datum questionis).

Odpowiedź wyczerpująca to zdanie prawdziwe, z którego wynikają wszystkie odpowiedzi właściwe i prawdziwe. Przy skończonej liczbie odpowiedzi właściwych, które są prawdziwe, może być to ich koniunkcja, w przeciwnym wypadku najczęściej jest to kwantyfikacja z ograniczonym zakresem, tzn. z dodatkowym podaniem, o jaki zbiór obiektów nam chodzi, np.:

Kto napisał to świństwo na tablicy? — Kowalski, Nowicki i Borowski to napisali (lub: Wszyscy chłopcy w klasie to zrobili).

Jeśli jest tylko jedna odpowiedź właściwa i prawdziwa, to jest ona zarazem odpowiedzią wyczerpującą — wtedy obie kategorie się pokrywają.

5.2. Pytania właściwie postawione

W życiu możemy często spotkać się z sytuacją, kiedy jakieś pytanie jest dla nas kłopotliwe. Oczywiście, przyczyny mogą być różne, można jednak wskazać pewien typ kłopotliwych pytań, które określimy jako pytania źle albo niewłaściwie postawione. Jest tak wtedy, gdy nie są spełnione założenia pytania, czyli pewne zdania, których prawdziwość zakładamy, zadając pytanie. Przeanalizujmy dwa przykłady, znane z dialogów Platona:

Czy przestałeś już bić swoją matkę?

Kiedy straciłeś rogi?

W pierwszym przypadku mamy do czynienia z pytaniem roztrzygnięcia typu „Czy Z?” Zasadniczo pytania tego rodzaju mają jedno założenie — jest nim zdanie „Z albo nie Z”, i musi ono być zdaniem prawdziwym, gdyż jest tautologią. Jednak nie zawsze człony alternatywy w założeniu muszą być identyczne z datum questionis pytania. Jeżeli tej identyczności nie ma, jest to pytanie źle postawione. Tak jest i w tym wypadku. Założeniem pytania jest bowiem zdanie „Bijesz swoją matkę albo jej nie bijesz”. Żadna odpowiedź właściwa nie jest tutaj dobrym wyjściem. Na takie pytanie należy udzielić odpowiedzi znoszącej założenie pytania (np. „Nigdy nie biłem swojej matki”, „Nie mam matki”, „Czy ja wyglądam na takiego, co bije matkę?” — w takich przypadkach zasadne jest odpowiadanie pytaniem na pytanie).

W przypadku pytań dopełnienia (drugi przykład) mamy dwa założenia — pozytywne i negatywne — będące zdaniami kategorycznymi szczegółowymi. Aby pytanie było właściwie postawione, oba założenia muszą być prawdziwe. Jeżeli jedno z nich jest fałszywe, to pytanie jest źle postawione.

Np. w pytaniu „Kto pierwszy wylądował na Marsie?” założeniem pozytywnym jest stwierdzenie, że ktoś wylądował, natomiast założeniem negatywnym, że ktoś nie wylądował. Ponieważ założenie pozytywne jest fałszywe, dobra odpowiedź powinna je zanegować („Nikt nie wylądował na Marsie”). W przypadku pytania z fałszywym założeniem negatywnym (np. „Kto z ludzi ma mózg?”, „Która liczba parzysta dzieli się przez 2?”) należy w odpowiedzi zanegować to założenie, czyli uogólnić założenie pozytywne („Każdy człowiek ma mózg”, „Każda liczba parzysta dzieli się przez 2”).

5.3. Pytania sugestywne

Określenie to nie odnosi się do jakiejś specjalnej kategorii pytań, ale do ich specyficznegoużycia. Chociaż głównym celem pytań jest zdobycie informacji, to same pytania też mogą być użyte dla dostarczenia informacji, np. gdy z jakichś powodów nie możemy lub nie chcemy danej informacji przekazać wprost. Przykładowo pytanie „Czy widziałeś już nową dziewczynę Kowalskiego?” podaje informację, że Kowalski ma dziewczynę. Pytanie „Komu Kowalski ukradł taką ładną teczkę?” sugeruje, że Kowalski kradnie.

5.4. Zastosowania

Na zakończenie podamy kilka uwag dotyczących ewentualnego zastosowania logicznej teorii pytań w wybranych dziedzinach.

W dydaktyce szczególnie ważna jest umiejętność odpowiedniej hierarchizacji pytań. Po postawieniu pytania głównego należy starać się w razie potrzeby formułować pytania poboczne, naprowadzające na właściwą odpowiedź. Wspominaliśmy już o specjalnej funkcji pytań w procesie edukacyjnym (egzekwowanie wiedzy, sprawdzanie ucznia). Szczególną uwagę należy zwracać na sposób stawiania i na charakter pytań egzaminacyjnych. Uczciwie przeprowadzony egzamin nie powinien opierać się na pytaniach sugestywnych!

Prawo i kryminalistyka to dziedziny, w których umiejętność stawiania pytań może przesądzić nawet o czyimś życiu. Pytania stawiane świadkom i oskarżonym muszą być zrozumiałe i proste.

Przykładowo, jeżeli sędzia śledczy zaczyna od pytania „Czy pozwany uderzył Kowalskiego łomem w głowę o godzinie trzeciej w nocy z piątku na sobotę, na rogu ulicy Wschodniej i Jaracza?”, to odpowiedź „Nie” może oznaczać wiele rzeczy, np. że pozwany potraktował Kowalskiego nie łomem, a kijem bejsbolowym.

Generalnie mamy tu problem pytania rozstrzygnięcia z błędnym założeniem, a ponieważ założenie jest zdaniem o dużym stopniu szczegółowości, więc nie jest łatwo ustalić, co odpowiada za jego fałszywość. Przestrzegając ładu i odpowiedniej hierarchii pytań, należałoby na początku zapytać: „Czy pozwany uderzył Kowalskiego?”.

W toku śledztwa ważne jest takie stawianie pytań, które umożliwi ewentualne wykrycie kłamstwa. Jednym ze sposobów jest zadawanie na przemian pytań dotyczących różnych aspektów sprawy, które wydają się niepowiązane ze sobą. W przypadku przedstawiania fałszywych zeznań utrudnia to budowanie spójnej wersji i pozwala wykryć niekonsekwencję w oparciu o koniunkcję kilku odpowiedzi.

W badaniach naukowych stawianie pytań jest formą odzwierciedlenia i konkretyzowania problemu badawczego. Można tutaj zarysować następujący schemat postępowania:

1) pytanie rozstrzygnięcia główne — wybór odpowiedzi ma za zadanie wskazać drogę dalszych poszukiwań rozwiązania danego problemu;

2) pytania dopełnienia — odpowiedzi mają pomóc w ustalaniu wyników związanych z badanym fenomenem. Np. mamy alternatywę kilku hipotez, przez odpowiedzi na pytania budowane z użyciem partykuł „które...”, „jaki...” itd. będziemy dążyć do redukcji hipotez fałszywych;

3) pytania rozstrzygnięcia cząstkowe — zamykające proces badawczy (tzw. operacjonalizacja badania, eksperymenty rozstrzygające).

Kwestionariusze, sondy, ankiety, ... — któż z nas nie zetknął się z formularzem, w którym na wiele pytań nie potrafił odpowiedzieć? Niestety, częstą przyczyną takich trudności jest niekompetencja ludzi, którzy je przygotowują. Na przygotowanie dobrej ankiety składa się wiele czynników, które należy uwzględnić. Po szersze omówienie odsyłamy do Pawłowskiego (1977), tutaj krótko zasygnalizujemy tylko kilka czynników.

Jednym z najważniejszych czynników jest liczenie się z wiedzą respondenta. Zasadniczo najbezpieczniej jest przyjmować najniższy możliwy poziom, a co za tym idzie — formułować pytania w możliwie najprostszy sposób. Nie zawsze można operować prostymi pytaniami rozstrzygnięcia. Jeżeli nie jest to możliwe, ważne jest, aby złożone pytania rozstrzygnięcia umożliwiały odpowiedź (pełna alternatywa wyczerpująca wszystkie możliwości).

Informacje najważniejsze powinny być w ankiecie poruszane na różne sposoby. Oznacza to podawanie wielu różnych pytań jako wiodących do tej samej informacji niewprost, aby ominąć nierzetelność czy nieszczerość respondenta. Jest to istotne zwłaszcza w przypadku spraw drażliwych, intymnych, jak przekonania religijne,orientacje polityczne czy preferencje seksualne.

Na koniec zapamiętajmy, że kto pyta, nie błądzi.

Bibliografia

1. Ajdukiewicz K., 1965: Logika pragmatyczna, PWN, Warszawa.

2. Ajdukiewicz K., 1959: Zarys logiki, PZWS, Warszawa.

3. Belnap N., 1963: An Analysis of Questions, TM Series, California.

4. Borkowski L., 1976: Elementy logiki formalnej, PWN, Warszawa.

5. Bremer J., W., 2004: Wprowadzenie do logiki, Wydawnictwo WAM, Kraków.

6. Chodkowski T., Nieznański E., Świętorzecka K., Wójtowicz A., 2000: Elementy logiki prawniczej, PWP Iuris, Warszawa.

7. Gumański L., 1990: Wprowadzenie w logikę współczesną, PWN, Warszawa.

8. Ingarden R., 1972: Z teorii języka i filozoficznychpodstawlogiki, PWN, Warszawa.

9. Klug U., 1962: Juristiche Logik, Springer, Berlin.

10. Kmita J., 1977: Wykłady z logiki i metodologii nauk, PWN, Warszawa.

11. Kubiński T., 1970: Wstęp do logicznej teorii pytań, PWN, Warszawa.

12. Lorenzen P., Lorenz K., 1978: Dialogische Logik, Wissenschaftliche Buchgesselschaft, Darmstadt.

13. Marciszewski W., 1977: Metody analizy tekstu naukowego, PWN, Warszawa.

14. Mill J., S., 1962: System logiki dedukcyjnej i indukcyjnej, t. I-II, PWN, Warszawa.

15. Pawłowski T., 1977: Pojęcia i metody współczesnej humanistyki, Ossolineum, Warszawa.

16. Pawłowski T., 1986: Tworzenie pojęć w naukach humanistycznych, PWN, Warszawa.

17. Pelc J., 1984: Wstęp do semiotyki, Wiedza Powszechna, Warszawa.

18. Przybyłowski J., 2001: Logika z ogólną metodologią nauk, Wydawnictwo Uniwersytetu Gdańskiego, Gdańsk.

19. Skarbek W., 2004: Logika dla humanistów, NWP, Piotrków Trybunalski.

20. Szymanek K., 2001: Sztuka argumentacji, słownik terminologiczny, PWN, Warszawa.

21. Tatarkiewicz W., 1951: Skupienie i marzenie, Wydawnictwo M. Kot, Kraków.

22. Tokarz M., 1984: Wprowadzenie do logiki, Uniwersytet Śląski, Katowice.

23. Trzęsicki K., 1996: Logika, nauka i sztuka, Temida, Białystok.

24. Wójcicki R., 2003: Wykłady z logiki z elementami teorii wiedzy, Scholar, Warszawa.

25. Ziembiński Z., 1993: Logika praktyczna, PWN, Warszawa.

---