moduł 1 logika rozumienie i argumentacja, LOGIKA 2006


Logika dla humanistów

Andrzej Indrzejczak

kierownik projektu: Joanna Opoka

Redaktor: Ilona Urbańska-Grzyb

Metodycy: Agnieszkach Pachnicka, Ilona Urbańska-Grzyb

Grafik: Joanna Graczyk

Informatyk: Mariusz Osiński

copyright c 2006 Polski Uniwersytet Wirtualny

Słowo „logika” jest używane w wielu różnych znaczeniach. Możemy usłyszeć np. o logice biznesu, o tym, że czyjeś postępowanie jest nielogiczne, że to, co się komuś przydarzyło, jest logicznym następstwem jego zachowania. Logiczne postępowanie zwykło się przeciwstawiać działaniom spontanicznym, tak jak rozum przeciwstawia się czasem uczuciom.

Bez względu na różnice znaczenia, wydaje się, że można znaleźć coś wspólnego w tych rozmaitych kontekstach. Słowo „logika” (lub jego pochodne, jak „logiczny”) jest używane wtedy, gdy chcemy podkreślić występowanie jakiejś prawidłowości, kiedy chcemy zaznaczyć, że w grę wchodzi pewna konsekwencja postępowania, stosowanie pewnych reguł bądź zasad. Przymiotnik „(nie)logiczny” stosowany bywa zarówno w odniesieniu do osób, jak i działań, jednak należy go stosować przede wszystkim w odniesieniu do myślenia. Taki jest źródłosłów tego słowa - greckie „logos” tłumaczy się zazwyczaj jako „rozum”, „myśl” (czasem „słowo”).

Słowo „logika” stosowane jest również, a może przede wszystkim, jako nazwa pewnej dyscypliny naukowej o wieloletniej tradycji. Za jej twórcę należy uznać Arystotelesa (384-322 r. p.n.e.), jednego z najwybitniejszych uczonych i myślicieli greckich. Nie znaczy to, że wcześniej ludzie nie myśleli logicznie - wystarczy poczytać dialogi Platona, nauczyciela Arystotelesa, aby się o tym przekonać. Jednak same zasady takiego myślenia nie były wcześniej poddane systematycznej analizie. Ludzie intuicyjnie stosujący zasady logiki byli jak Pan Jourdain z komedii Moliere'a Mieszczanin szlachcicem, który z zachwytem stwierdza, że tyle lat mówił prozą, a o tym nie wiedział. Arystoteles w kilku ze swoich licznych prac prezentuje logikę właśnie jako naukę o zasadach poprawnego myślenia. Naukę tę nazywał też analityką.

To, że ludzie potrafili myśleć logicznie zanim stworzono logikę jako naukę, może budzić podejrzenie, że bez studiowania logiki można sobie znakomicie poradzić. Zapewne można dobrze sobie radzić w praktyce z wieloma zagadnieniami, nie znając teoretycznych zasad, na których się one opierają. Można też doskonale znać teorię, a być kiepskim praktykiem. Znajomość zasad teoretycznych jednak często pomaga i zwiększa naszą sprawność praktyczną - z logiką jest podobnie. Przez wiele wieków była nawet postrzegana bardziej jako sztuka niż jako nauka. Oczekiwano, że jej studiowanie może znacznie usprawnić sposób myślenia. Taki pogląd jest dość dyskusyjny, gdyż myślenie wydaje się działalnością zbyt spontaniczną, aby można było wtłoczyć je w sztywny gorset formalnych zasad. Z pewnością jednak teoretyczna znajomość logiki może dostarczyć nam narzędzi do oceny wartości wyników myślenia własnego i cudzego, wyczulić na błędy logiczne, brak precyzji i myślowy chaos.

Logika przechodziła w ciągu ponad 2 tysięcy lat swojego istnienia zarówno okresy wzlotów, jak i upadków. W starożytności i w średniowieczu cieszyła się raczej dużym uznaniem - była (pod nazwą dialektyki) traktowana jako niezbędny element wykształcenia, jako dyscyplina propedeutyczna, przygotowująca człowieka do dalszych studiów. Rozwój logiki w tych okresach miał bardziej charakter ilościowy niż jakościowy. Zasadniczo nie zmieniono logiki arystotelesowskiej, chociaż pojawiły się nowe działy nieznane wcześniej. Ulepszono ją też znacznie pod względem techniki nauczania.

Epoka nowożytna z początku nie ceniła logiki. Wielu wybitnych myślicieli uważało jej studiowanie za stratę czasu (Francis Bacon), a jej rozwój za zakończony (Immanuel Kant). Zmianę przyniósł wiek XIX — prace Georga Boole'a, Charlesa Sandersa Peirce'a, Ernsta Schrödera i — przede wszystkim — Gottloba Fregego. Na początku XX wieku ostatecznie stworzono współczesną logikę formalną. Jej pionierzy to Bertrand Russell, Alfred North Whitehead, David Hilbert, Kurt Gödel, a także Polacy: Alfred Tarski, Stanisław Leśniewski, Jan Łukasiewicz, Kazimierz Ajdukiewicz i wielu innych.

Logika współczesna to kompleks wielu dyscyplin, który trudno jest opisać wyczerpująco w krótki sposób. Na tę złożoność mają wpływ zarówno historia logiki, jak i jej współczesne związki z innymi naukami. Wiek XX przyniósł ogromny rozwój logiki, ale ubocznym (i szkodliwym) efektem tego rozwoju jest głęboki rozdźwięk pomiędzy potoczną wiedzą na temat logiki, a tym, czym współcześni logicy faktycznie się zajmują i jakie techniki w swoich badaniach stosują. Logika tradycyjna była pojmowana jako dyscyplina filozoficzna, logika współczesna jest postrzegana raczej jako dyscyplina matematyczna. Istotnie, związki logiki współczesnej z matematyką są rozliczne: personalne - wszyscy wymienieni wyżej logicy to wybitni matematycy; przedmiotowe - logika jest traktowana (wraz z teorią mnogości i algebrą abstrakcyjną) jako element podstaw matematyki, a w jej obrębie udowodniono szereg ważnych wyników dotyczących matematyki jako takiej. Przede wszystkim jednak logika współczesna jest dyscypliną matematyczną w sensie metodologicznym, bo korzysta szeroko z technik matematycznych.

Logika jako dyscyplina matematyczna jest jednak tylko jedną stroną tej złożonej nauki. Nie należy zapominać, że logika nadal pozostaje również nauką humanistyczną - zajmuje się przecież ludzkim myśleniem. W dalszym ciągu w szkolnictwie wyższym wykorzystywana jest jako dyscyplina propedeutyczna, której zadaniem jest wyrobienie nawyków krytycznego myślenia. Tradycyjnie zwykło się dzielić taką logikę ogólną na trzy podstawowe działy:

1) semiotykę logiczną,

2) logikę formalną,

3) metodologię nauk.

1. Semiotyka logiczna jest to ogólna teoria systemów znakowych. Szczególnie ważna klasa takich systemów to języki naturalne i sztuczne. Logików interesują zasadniczo tylko pewne aspekty tworów językowych, związane z ich użyciem dla przekazywania i przetwarzania informacji. Ważna jest analiza struktury języka, jego składni - te zadania realizowane są na gruncie syntaktyki, czyli nauki o relacjach pomiędzy znakami. Język przekazuje informację dzięki temu, że jego elementy posiadają znaczenie - semantyka jest tą częścią semiotyki, która bada relacje między znakami a ich znaczeniem. Ostatni dział semiotyki to pragmatyka, która analizuje relacje pomiędzy znakami a ich użytkownikami. Przekaz informacji za pomocą języka naturalnego jest narażony na duże ryzyko zakłóceń, wywoływanych przez takie mechanizmy językowe, jak wieloznaczność, nieostrość, chwiejność znaczeniowa. Stąd dużo uwagi należy poświęcić analizie błędów logicznych oraz badaniu środków służących zwiększaniu precyzji komunikacji.

2. Logika formalna — można o niej powiedzieć, że jest to logika w węższym tego słowa znaczeniu. Ten dział zajmuje się analizą rozumowań, w szczególności badaniem warunków ich poprawności. Analizy tej dokonuje się, budując formalne systemy dedukcyjne w sztucznych językach. Pozwala to uniknąć niebezpieczeństw związanych z brakiem precyzji charakterystycznym dla języków naturalnych. W logice dedukcyjnej poprawność rozumowań utożsamia się z zachodzeniem relacji wynikania pomiędzy przesłankami i wnioskami.

3. Metodologia nauk to ostatni dział logiki, w obrębie którego analizuje się podstawowe sposoby postępowania badawczego. Do logiki należy tzw. metodologia ogólna, natomiast metodologie szczegółowe poszczególnych dyscyplin naukowych należy traktować raczej jako działy tych nauk. W ramach logiki mieści się ogólny podział typów nauk i związanych z nimi procedur, analiza pojęcia teorii naukowej oraz takich uniwersalnych zabiegów badawczych jak definiowanie czy klasyfikowanie.

Na koniec trzeba dodać, że słowo „logika” jest też używane jako określenie pewnych formalnych systemów, które logicy konstruują. Na konstrukcje te można spojrzeć jako na matematyczne modele pewnych aspektów myślenia, chociaż nie zawsze (i nie tylko) w tym celu się je tworzy. Podstawowym systemem nadal pozostaje logika klasyczna, której stworzenie zawdzięczamy Arystotelesowi, ale warto wiedzieć, że powstało wiele innych logik, często określanych zbiorczo jako logiki nieklasyczne.

Niektóre z nich są rozwinięciem logiki klasycznej. Najważniejsze z nich to:

— logiki modalne, analizujące pojęcia konieczności i możliwości,

— logiki temporalne, badające zależności czasowe wyrażane w języku,

— logiki deontyczne, czyli logiki norm i zobowiązań,

— logiki erotetyczne, czyli logiki pytań,

— logiki epistemiczne, analizujące sposoby wyrażania ludzkiej wiedzy i przekonań.

Wiele logik nieklasycznych powstało jako reakcja na pewne niedoskonałości logiki klasycznej

— są to systemy alternatywne. Najważniejsi rywale logiki klasycznej to:

— logika intuicjonistyczna, rezygnująca z niekonstruktywnych metod dowodzenia,

— logiki wielowartościowe, w których dopuszcza się więcej wartości logicznych niż prawda i fałsz,

— logiki parakonsystentne, czyli tolerujące sprzeczność,

— logiki niemonotoniczne, dopuszczające zmianę wyniku rozumowania w efekcie uwzględnienia dodatkowych informacji,

— logiki relewantne, w których bada się implikację, przy uwzględnieniu związków treściowych między zdaniami.

Te bardzo skrótowe charakterystyki mają tylko zasygnalizować mnogość kierunków poszukiwań. Obecny kurs, który ma charakter podstawowy, ogranicza się siłą rzeczy do logiki klasycznej, należy jednak zdawać sobie sprawę, że choć logika jest jedna (jako nauka), to logik (jako formalnych systemów) jest wiele.

Problematyka zastosowania rozumowań w argumentacji i analizy sposobów przekonywania zajmowała ludzi jeszcze wcześniej niż powstała logika. Mistrzami w sztuce argumentacji byli sofiści, czyli płatni nauczyciele wiedzy praktycznej w Grecji działający w V wieku p.n.e. Ich umiejętności były powszechnie podziwiane i dobrze wynagradzane, gdyż w demokratycznych Atenach umiejętność przekonywania do swoich racji była podstawą w robieniu kariery politycznej. Arystoteles w swoich dziełach pt. Retoryka i O błędach sofistów zajął się teoretycznym ujęciem problematyki argumentacji, podkreślając przy tym, że podejście retoryki do analizy rozumowań ma inny charakter niż podejście logiki. Od czasu Arystotelesa dyscypliny te traktowane są jako z gruntu odrębne, a powstanie logiki współczesnej w jej matematycznej formie tę separację jeszcze bardziej pogłębiło.

Retoryka rozwijała się własnymi torami, zbliżając się coraz bardziej do teorii literatury. Wyodrębniła się z niej też osobna dyscyplina — erystyka — czyli sztuka prowadzenia sporów, sprowadzana przez niektórych (np. XIX-wiecznego myśliciela Artura Schopenhauera) do katalogu nieuczciwych forteli stosowanych w dyskusji. Współcześnie daje się zauważyć tendencja do ponownego zbliżania logiki i retoryki w ramach praktycznych kursów teorii argumentacji czy krytycznego myślenia. W dalszej części tego modułu (i całego kursu) postaramy się również o wzbogacenie wiadomości z zakresu logiki informacjami z szeroko pojętej teorii argumentacji.

Wspominaliśmy już, że logika zajmuje się w pewien sposób ludzkim myśleniem, a konkretnie rozumowaniami. To, że rozumowania są ważne dla człowieka, wydaje się nie budzić żadnych wątpliwości. Każdy z nas w ciągu dnia wykonuje co najmniej kilkaset rozumowań o różnym stopniu złożoności. Rozumowanie jest bowiem jedną z najważniejszych form przetwarzania informacji, bez której trudno wyobrazić sobie normalne funkcjonowanie.

Zastanówmy się, jakie zadania realizują rozumowania w naszym życiu i w nauce. Jedno z najważniejszych zadań realizowanych przez rozumowania to poszerzanie naszej wiedzy, a rozumowania stosowane w takim celu to wnioskowania. We wnioskowaniu dysponujemy pewnymi zdaniami (przesłankami, założeniami) jako danymi, a rozumowanie służy wyprowadzaniu z nich kolejnych zdań jako wniosków (konkluzji).

Często jednak powstanie pewnego rozumowania jest wynikiem procesu odwrotnego. Dysponujemy jakimś zdaniem (wnioskiem), a szukamy dla niego uzasadnienia (przesłanek), np. aby kogoś przekonać, że zdanie to jest prawdziwe. Mamy tutaj do czynienia z uzasadnieniem pośrednim (w przeciwieństwie do bezpośredniego, które uzyskujemy np. na drodze obserwacji), a najbardziej znaną formą takich rozumowań są dowody matematyczne. W dużym uproszczeniu można powiedzieć, że przeprowadzanie wnioskowań ma na celu przede wszystkim zdobywanie wiedzy, natomiast uzasadnianie ma związek z silną potrzebą ugruntowania pewności naszych przekonań.

Rozumowania, w sensie powyższym, są pewnymi procesami psychicznymi. Nas jednak będą interesowały rozumowania w nieco innym znaczeniu. Należy odróżnić od siebie proces i wytwór tego procesu (czy generalnie czynność i jej rezultat). Rozumowania jako mentalne procesy zasadniczo nie interesują logików, są raczej przedmiotem badań psychologii poznawczej. Nie zawsze tak było — do końca XIX wieku w logice dominował tzw. psychologizm, a logika była pojmowana właśnie jako gałąź psychologii. Współcześnie logicy zainteresowani są raczej zobiektywizowanymi wytworami tych procesów psychicznych, czyli rozumowaniami prezentowanymi w jakimś języku jako pewien typ tekstów.

Czym charakteryzują się rozumowania jako teksty sformułowane w pewnym języku? Czym różnią się np. od modlitw albo od wierszy? Nawiasem mówiąc, rozumowania mogą też wystąpić w kunsztownej, poetyckiej formie (czego dowodem może być np. O naturze wszechrzeczy Lukrecjusza), ale nie tego od nich oczekujemy — tak jak nie wymagamy, by wiersze zawierały wzory matematyczne. Najlepszym sposobem znalezienia wyznaczników rozumowania jest przeanalizowanie kilku przykładów rozumowań w języku polskim.

1. „Kubuś Puchatek usiadł sobie pod tym dębem, podparł głowę na łapkach i zaczął rozmyślać. Z początku powiedział do siebie samego: To bzykanie coś oznacza. Takie bzyczące bzykanie nie bzyka bez powodu. Jeżeli słyszę bzykanie, to znaczy, że ktoś bzyka, a jedyny powód bzykania, jaki ja znam, to ten, że się jest pszczołą. Potem znów pomyślał dłuższą chwilę i powiedział: A jedyny powód, żeby być pszczołą, to ten, żeby robić miód. Po czym wstał i powiedział: A jedyny powód robienia miodu to ten, żebym ja go jadł. I zaczął włazić na drzewo” (A. A. Milne, 1965: 10-11).

2. „W szeregu wszystkich przyczyn sprawczych uporządkowanych pierwszy czynnik jest przyczyną pośredniego, a ten - czynnika w nim ostatniego. Obojętną przy tym jest sprawą, czy ów czynnik pośredni jest liczebnie tylko jeden, czy też jest jeden w sensie zbioru. Jeśli wszakże usunie się przyczynę, tym samym usunie się też to, co jest jej skutkiem. Skoro przeto usunie się pierwszy czynnik szeregu, to czynnik pośredni też przestanie być przyczyną. Gdyby więc w szeregu przyczyn sprawczych szło się w nieskończoność, to żadna z nich nie byłaby pierwsza, a tym samym znikłyby również i przyczyny pośrednie. To zaś jest oczywistą niedorzecznością; należy przeto uznać istnienie pierwszej przyczyny sprawczej, a jest nią Bóg” (Tomasz z Akwinu, [w:] L. Wciórka, 1994: 78).

3. „Twierdzenie 4. Zbiór wszystkich warstw lewostronnych dowolnej podgrupy danej grupy jest podziałem tej grupy.

Dowód: Pokazaliśmy przed chwilą, że zbiór G jest sumą warstw gH, a więc musimy jedynie pokazać, że warstwy, mające elementy wspólne, są identyczne. Pokażemy najpierw, że jeśli k ∈ gH, to kH = gH. Ponieważ HH = H, to mamy kH ⊆ gHH = gH. Jednocześnie, k = gh dla pewnego h ∈ H, a więc g = kh-1 ∈ kH. Zatem gH ⊆ kHH = kH. Załóżmy teraz, że warstwy gH i g'H mają niepuste przecięcie; niech, powiedzmy, k ∈ gH ∩ g'H. Wtedy z tego, co właśnie pokazaliśmy, wynika, że gH = kH = g'H” (Ross, Wright, 1996: 714).

Nietrudno zauważyć, że podane przykłady rozumowań bardzo się różnią. Przede wszystkim treścią, ale również język jest bardzo odmienny. Nieporadny i prosty język Kubusia bardzo odbiega od wysoce technicznego żargonu filozoficznegoTomasza, a ostatni przykład idzie w tym kierunku jeszcze dalej - niezbyt wiele tu języka polskiego. Dlaczego więc wszystkie przykłady skłonni jesteśmy uznać (mam taką nadzieję) za rozumowania?

Przede wszystkim podane przykłady rozumowań składają się ze zdań oznajmujących. W rozumowaniach mogą się wprawdzie pojawiać - i często się pojawiają - np. zdania pytajne, ale ich występowanie jest raczej podyktowane względami stylistycznymi. Podstawowym budulcem rozumowań są zdania oznajmujące, gdyż to one służą w pierwszej instancji do przekazywania informacji. Od tej pory będziemy używać określenia „zdanie” tylko w odniesieniu do zdań oznajmujących, zwanych często zdaniami w sensie logicznym. Nie oznacza to, że logika nie podejmuje się też analizy innych rodzajów wypowiedzi językowych, np. pytań czy norm, ale na razie ograniczymy się tylko do analizy zdań oznajmujących.

Zdania w rozumowaniach występują w towarzystwie pewnych charakterystycznych wyrażeń. Zwróćmy uwagę, że mimo dużych różnic językowych, w każdym z podanych przykładów występują pewne słowa niezależne od treści rozważań. Należą do nich wyrażenia typu: „jeżeli..., to”, „skoro..., to”, „a więc”, „gdyby więc”, „to zaś”, „załóżmy więc”, „z tego wynika”. Niektóre z nich potraktujemy jako spójniki, inne jako wyrażenia-wskaźniki. Ich funkcją jest wskazywanie, że zdania, które po nich występują, są bądź założeniami („skoro”, „gdyby”, „załóżmy, że” itd.) tego rozumowania, bądź jego wnioskami („a więc”, „toteż”, „zatem” itd.).

Za wyznacznik rozumowania należy więc przyjąć, że pewne zdania występują w nim jako przesłanki (założenia), a inne jako wnioski (konkluzje). Dane zdanie może wystąpić zresztą w obu rolach w obrębie jednego rozumowania, tzn. może być wnioskiem z jakichś przesłanek, a następnie zostać użyte jako przesłanka do wyprowadzenia kolejnych wniosków. Zawsze jednak będą w rozumowaniu obecne jakieś przesłanki wyjściowe (zdania, których w obrębie tego rozumowania już się nie uzasadnia) i jakiś wniosek końcowy (zdanie, które nie jest już wykorzystywane dalej jako przesłanka w obrębie tego rozumowania). Dzieje się tak dlatego, że rozumowanie składa się ze skończonej liczby zdań.

W logicznej analizie rozumowań będziemy zazwyczaj abstrahowali od zdań pośredniczących, tzn. tych, które są zarówno wnioskami, jak i przesłankami — wystarczy nam wyróżnienie przesłanek początkowych i wniosku końcowego, czyli krótko: przesłanek i wniosku danego rozumowania. Przyjmijmy zatem, że kanoniczny zapis danego rozumowania będzie miał następującą postać:

P1, ..., Pn /W,

gdzie:

P1, ..., Pn — to wszystkie przesłanki,

W — to wniosek,

/ — czytamy „zatem”.

Kanoniczna forma rozumowania nie tylko może pomijać pewne zdania z oryginalnego rozumowania (zdania pośredniczące), ale również zmieniać szyk zdań. Wniosek często bywa przecież podawany na początku rozumowania, np. gdy rozumowanie jest częścią czyjejś argumentacji, zazwyczaj zaczyna się od wniosku, a następnie po wskaźniku w rodzaju „ponieważ” rozpoczyna się wyliczenie przesłanek. Przesłanki czasem bywają podane razem i na początku, ale znacznie częściej rozproszone są po całym rozumowaniu, gdyż przywoływane są wtedy, kiedy akurat są potrzebne.

Generalnie porządek, w jakim występują przesłanki, wnioski i zdania pośredniczące w rozumowaniu, może być rozmaity i podyktowany jest raczej względami stylistycznymi, a nie logicznymi. Toteż rekonstrukcja kanonicznej formy danego rozumowania bywa często dosyć trudna, a dobrze sformułowane rozumowanie nie musi wprawdzie przybierać formy kanonicznej, ale powinno w wyraźny sposób korzystać ze wskaźników, aby jego struktura była łatwa do przeanalizowania. Forma kanoniczna podaje logiczny, a nie rzeczywisty porządek zdań w rozumowaniu.

Chociaż rozumowania są niezbędne i powszechnie występują zarówno w nauce, jak i w życiu codziennym, to nie zawsze jesteśmy zadowoleni z ich wyniku. Wiele rozumowań uznajemy z jakichś względów za poprawne, ale jeszcze więcej w końcu odrzucamy lub co najmniej modyfikujemy. Można zastosować rozmaite kryteria oceny rozumowań, jednak nie wszystkie będą ważne z punktu widzenia logiki. Tak jest np. z kryteriami estetycznymi - styl jest ważny, ale z pewnością nie ma wpływu na to, czy dane rozumowanie jest poprawne.

Zbliżoną kwestią jest to, czy jakieś rozumowanie jest dla nas przekonujące, czy nie. Często zdarza nam się ulec czyjejś argumentacji, ale po jakimś czasie dochodzimy do wniosku, że czujemy się oszukani. Takie odczucia są powszechne np. u wyborców, którzy po pewnym czasie porównują społeczną rzeczywistość z przedwyborczymi obietnicami tych, na których oddali swoje głosy. Może dziać się tak dlatego, że przedstawione nam rozumowania były wprawdzie przekonujące, ale logicznie niepoprawne. Z drugiej strony obawiam się, że przykład rozumowania matematycznego podany wyżej dla większości czytelników nie był zbyt przekonujący - aby rozumowanie było przekonujące, musi być przede wszystkim zrozumiałe. Jednak gwarantuję, że jest to przykład rozumowania poprawnego. Jak widać, poprawność i siła przekonywania nie muszą iść w parze, chociaż mogą - i dobrze, jeżeli udaje się to osiągnąć. To, czy rozumowanie jest przekonujące, czy nie, i dlaczego - to problemy analizowane na gruncie retoryki. Logików interesuje, czy rozumowanie jest poprawne w sensie obiektywnym.

Na czym zatem polega logiczna poprawność? Przypomnijmy, że we wnioskowaniu mamy pewne dane i wyprowadzamy z nich wnioski. Jeżeli nasze przesłanki są zdaniami prawdziwymi, to dobrze by było, aby wnioski też okazały się prawdziwe. Zatem dobre rozumowanie to takie, które nie doprowadzi nas od zdań prawdziwych do fałszywych. Pojawiają się tutaj określenia „prawdziwe” i „fałszywe” jako kwalifikacje zdań, a przy okazji dwa problemy: co to jest prawda (fałsz) i na czym polega mechanizm dziedziczenia prawdziwości z jednych zdań na drugie?

Pierwszy problem zasadniczo do logiki nie należy, choć można go uznać za problem z zakresu filozofii logiki. Pewne kwestiedotyczące prawdy i fałszu w kontekście logiki rozważymy w dalszej części kursu, na razie wystarczy nam potoczne pojęcie prawdziwości. Skupmy się zatem na kwestii dziedziczenia prawdziwości z przesłanek na wnioski w poprawnym rozumowaniu. Oczywiście najlepiej, jeżeli rozumowanie konstruowane jest według takich zasad gwarantujących, że zawsze od prawdy dojdziemy do prawdy. Rozumowania spełniające ten warunek nazywamy rozumowaniami dedukcyjnymi, a relację zachodzącą pomiędzy przesłankami i wnioskiem takiego rozumowania, nazywamy relacją wynikania.

Warto jednak podkreślić, że w praktyce - nie tylko potocznej, ale i naukowej - za poprawne rozumowania uważamy często takie, w których relacja wynikania nie występuje. Należą do nich rozmaite formy indukcji i rozumowań przez analogię, czasem określane zbiorczo mianem rozumowań uprawdopodobniających.

Logików interesują przede wszystkim rozumowania poprawne.

Przyjmijmy następujące określenie relacji wynikania:

Wniosek wynika z przesłanek wtw, jeżeli wszystkie przesłanki są prawdziwe, to i wniosek musi być prawdziwy.

Skrót „wtw” użyty jest tutaj (i w całym kursie) zamiast wyrażenia „wtedy i tylko wtedy, gdy”. W sposób negatywny, chociaż równoważny, można scharakteryzować wynikanie następująco:

Wniosek wynika z przesłanek wtw, jeżeli jest niemożliwe, żeby wszystkie przesłanki były prawdziwe, a wniosek fałszywy.

Druga charakterystyka daje nam od razu kryterium niepoprawności - wystarczy, aby rozumowanie miało prawdziwe przesłanki i fałszywy wniosek. W obu przypadkach nacisk pada na modalne zwroty „musi” i „niemożliwe”. Z tego powodu trudno określenia te uznać za precyzyjne definicje relacji wynikania - zwroty modalne są bardzo wieloznaczne i same wymagałyby najpierw wyjaśnienia. Dlatego powyższe charakterystyki trzeba potraktować jako pierwsze przybliżenie.

W każdym razie nacisk na słówko „musi” gwarantuje, że w rozumowaniu dedukcyjnym nie wystarczy, żeby przesłanki i wniosek po prostu były prawdziwe. W przeciwnym wypadku należałoby uznać, że ze zdania „2 + 2 = 4” wynika zdanie „Napoleon Bonaparte był cesarzem Francji”. Wydaje się jednak, że w tym wypadku prawdziwość przesłanki w żaden sposób nie wymusza prawdziwości wniosku. Na czym polega zatem uzależnienie wartości logicznej wniosku od wartości logicznej przesłanek? Przeanalizujemy to na przykładzie konkretnego rozumowania.

1. Azor jest psem. Każdy pies to ssak. / Azor jest ssakiem.

Mam nadzieję, że Czytelnik zgodzi się, iż powyższe rozumowanie jest poprawne, tzn. że wniosek wynika w nim z przesłanek, i to bez względu na to, o jakim Azorze ono mówi. Druga przesłanka jest prawdziwa na mocy biologii, natomiast wartość pierwszej może być różna. Przypuszczalnie Azor jest istotnie psem, a wtedy (jako pies) musi być ssakiem, czyli przy obu przesłankach wniosek musi być prawdziwy. Może jednak pierwsza przesłanka jest fałszywa - np. Azor jest kotem. Wtedy przesłanki są fałszywe (będziemy dla uproszczenia mówić, że przesłanki są fałszywe, jeżeli co najmniej jedna z nich jest fałszywa- ma to swoje uzasadnienie: często przesłanek jest wiele i możemy mieć trudności z rozstrzygnięciem, która z nich jest fałszywa, chociaż wiemy, że nie wszystkie są prawdziwe), natomiast wniosek jest nadal prawdziwy - bo koty to też ssaki. A gdyby rozważany przez nas Azor był np. złotą rybką, to wtedy nie tylko przesłanki, ale i wniosek byłby zdaniem fałszywym.

Czy w obu przypadkach, kiedy przesłanki okazały się fałszywe, nasze rozumowanie przestało być poprawne? Nie. Przecież gdyby Azor był psem, to musiałby być ssakiem. I tak być powinno - mało przydatna byłaby taka logika, w której musielibyśmy zmieniać reguły za każdym razem, kiedy dowiedzielibyśmy się czegoś nowego. Logika nie mówi nam, jaka jest aktualna wartość logiczna używanych zdań, tylko jakie zachodzą zależności pomiędzy ich wartościami logicznymi. Reguły logiki mają być niezawodne, bez względu na zastosowania. Powyższy eksperyment myślowy pokazuje, że jeśli w tym samym rozumowaniu za oba wystąpienia słowa „Azor” podstawimy jakąś inną nazwę indywidualną, np. „Rex” (ale i „Napoleon Bonaparte” bądź „trójkąt bermudzki”), to też otrzymamy rozumowanie poprawne.

Możemy się zresztą posunąć dalej i zamiast „pies” lub „ssak”, użyć innego rzeczownika pospolitego, tworząc w ten sposób nowe rozumowania, ale o tej samej formie - każde z nich będzie poprawne. Poprawność ta zagwarantowana jest tym, że bez względu na treść, każde rozumowanie tego typu mówi po prostu, że ilekroć jakiś zbiór obiektów (tutaj psów) jest podzbiorem innego zbioru (tutaj ssaków), to dowolny element zbioru pierwszego (tu Azor) jest zarazem elementem zbioru drugiego.

Pojęcie formy rozumowania, lub szerzej - formy logicznej - które pojawiło się wyżej, nie jest łatwe do wyjaśnienia. Z drugiej strony należy do najważniejszych pojęć w logice. Już Arystoteles zdawał sobie sprawę, że poprawność rozumowania nie zależy od treści zdań, ale od ich formy, stąd logika formalna. Formę powyższego rozumowania można odtworzyć następująco:

2. a jest A. Każde A jest B. / a jest B.

„a” jest tu zmienną indywidualną, tzn. taką, za którą można podstawiać dowolne nazwy indywidualne, natomiast „A” i „B” to zmienne nazwowe, czyli takie, za które można podstawiać dowolne nazwy ogólne (np. rzeczowniki pospolite). Forma jest zatem pewnym szkieletem rozumowania, który można przedstawić w postaci schematu, gdzie zamiast pewnych wyrażeń (uznanych za nieistotne) występują odpowiednie zmienne.

Ogólnie zmienne to wyrażenia użyte do zaznaczenia występowania takich słów, których znaczenie nie ma wpływu na (nie)poprawność. Możemy je dowolnie zastępować przez inne słowa tej samej kategorii gramatycznej. Innymi słowy, wprowadzając pewien rodzaj zmiennych, musimy określić ich zakres podstawiania. Musimy też pamiętać, że dokonując w schemacie rozumowania podstawień za zmienne, należy to samo wyrażenie podstawić za wszystkie wystąpienia danej zmiennej, inaczej uzyskujemy rozumowanie innego typu. Weźmy pod uwagę rozumowanie:

3. Tuptuś jest komarem. Każdy komar to owad. / Tuptuś jest zwierzęciem.

Nie jest ono podstawieniem schematu 2., gdyż za jedno wystąpienie zmiennej „B” podstawiliśmy nazwę „owad”, a za drugie — nazwę „zwierzę”. Forma tego rozumowania wygląda następująco i nie gwarantuje niezawodności:

4. a jest A. Każde A jest B. / a jest C.

Wystarczy w rozumowaniu 3. zamienić nazwę „zwierzę” na nazwę „trójkąt” i już mamy podstawienie schematu 4., które od prawdy wiedzie do fałszu.

Z drugiej strony, w schemacie za różne zmienne tej samej kategorii można podstawiać to samo wyrażenie i uzyskiwać rozumowanie o tej samej formie, aczkolwiek mniej zróżnicowane niż dozwala forma. Np. jeżeli w schemacie 2. podstawimy za „a” — „Azor”, a za „A” i „B” — „pies”, to otrzymamy (poprawne) rozumowanie, które realizuje formę 2., a przy okazji — bardziej ogólną formę:

5. a jest A. Każde A jest A. / a jest A.

Powyższe rozważania pokazują, że relacja wynikania, chociaż definiowana w terminach prawdy i fałszu, jest relacją formalną - jej występowanie (bądź brak) zależy tylko i wyłącznie od formy zdań, a nie od ich wartości logicznej czy treści.

Forma jest determinowana nie tylko przez rodzaj i ilość zmiennych. W schematach 2., 4. i 5. mamy przecież pewne słowa o ustalonym znaczeniu. Słówka „jest” i „każde” to stałe logiczne tych schematów, czyli takie wyrażenia, których nie możemy zamienić na inne przy zachowaniu gwarancji poprawności. To, które słowa chcemy potraktować jako stałe, a które jako zmienne, jest do pewnego stopnia decyzją arbitralną.

Na pewno stałą logiczną może zostać tylko takie wyrażenie, które jest używane powszechnie, w różnych kontekstach. Słowo „jest” i „każde” (jak również ich stylistyczne warianty, np. „wszystkie” czy „są”) z pewnością ten warunek spełniają, podobnie jak różne rodzaje spójników. To, jakie rodzaje zmiennych wyróżnimy, zależy głównie od głębokości analizy logicznej, np. w rachunku zdań wyróżnimy tylko zmienne zdaniowe, a jedyne stałe logiczne dostępne na tym poziomie to pewne spójniki.

Przypatrzmy się teraz dokładniej, jakie wartości logiczne mogą mieć zdania, które występują w rozumowaniu poprawnym. Wynikanie dopuszcza trzy możliwe konfiguracje wartości logicznych:

a) przesłanki — prawdziwe, wniosek — prawdziwy,

b) przesłanki — fałszywe, wniosek — prawdziwy,

c) przesłanki — fałszywe, wniosek — fałszywy.

Wykluczone jest natomiast, aby przesłanki były prawdziwe a wniosek fałszywy.

Wydaje się, że najważniejsze w wynikaniu jest to, co daje konfiguracjaa) - startując od prawdy i stosując we wnioskowaniu tylko takie reguły, co do których mamy pewność, że są poprawne, w bezpieczny sposób poszerzamy wiedzę. Jednak w praktyce również konfiguracja c) jest niezwykle ważna. W życiu stosunkowo rzadko przeprowadzamy rozumowania w komfortowym przekonaniu, że wszystkie przesłanki, na których się opieramy, są prawdziwe. A nawet jeżeli takie przekonanie mamy, to często się później okazuje, że byliśmy w błędzie.

Generalnie znacznie częściej rozumujemy w warunkach ryzyka, tzn. przy nieustalonej wartości logicznej przesłanek. Jeżeli dojdziemy do wniosku, który jest fałszywy, to oznacza, że popełniliśmy błędy w rozumowaniu lub że opieraliśmy się na fałszywych przesłankach. Wtedy bardzo ważna staje się możliwość kontroli poprawności naszego rozumowania - jeżeli wiemy, że wszystkie wnioski wynikały z przesłanek, to mamy pewność, że przesłanki (co najmniej jedna z nich) są fałszywe. W ten sposób własność c) wynikania umożliwia nam przeprowadzanie kontroli i modyfikację naszych przekonań.

Klasycznym przykładem zastosowania tej techniki są liczne dialogi Platona (424-344 r. p.n.e.), w których jako główna postać występuje jego mistrz Sokrates (469-399 r. p.n.e.). Sokrates - chcąc udowodnić komuś, że jego poglądy są błędne - za pomocą pytań naprowadzał go na konsekwencje tychże poglądów. Na każdym kroku upewniał się też, że jego rozmówca zgadza się, iż proponowane wnioski wynikają z przesłanek. W końcu pojawiały się takie wnioski, których rozmówca już nie mógł zaakceptować, gdyż albo były ewidentnie fałszywe, albo - co najmniej - nie do przyjęcia dla niego. Skoro jednak zgadzał się, że wynikają z wcześniejszych zdań, a zatem również z jego wyjściowych przesłanek, musiał uznać, że jego poglądy są błędne.

Taki sam mechanizm wykorzystywany jest także w nauce, przede wszystkim do sprawdzania hipotez. Chcąc wyjaśnić jakieś zjawisko, przyjmuje się wstępnie pewne hipotezy, czyli zdania ogólne, które tłumaczą, jak do niego dochodzi, ale co do których prawdziwości nie mamy pewności. Z hipotez (łącznie z innymi uznanymi twierdzeniami) wyprowadzamy dedukcyjnie wnioski, których wartość logiczną możemy sprawdzić (np. przez obserwację lub eksperymenty). Jeżeli znajdziemy zdanie, które jest fałszywe, to znaczy, że któraś z naszych hipotez też jest fałszywa. W ten sposób dokonujemy falsyfikacji hipotezy.

Natomiast żadna ilość prawdziwych wniosków nie uprawnia nas do ostatecznego uznania prawdziwości hipotez. Zwiększa się tylko coraz bardziej prawdopodobieństwo, że przyjęte przez nas wyjaśnienie jest właściwe - proces weryfikacji hipotez teoretycznie jest nieskończony. Oba omówione przykłady pokazują, że wynikanie pozwala nam nie tylko na poszerzenie wiedzy, ale również na jej modyfikowanie.

Dotychczasowe rozważania pokazują również, w jaki sposób można wykazywać, że dane rozumowanie jest niepoprawne. Wynikanie wyklucza prawdziwość przesłanek przy fałszywości wniosku. Dla odmiany, w rozumowaniu niepoprawnym mogą występować wszystkie możliwe zestawienia wartości logicznych, ale żeby wykazać, że dane rozumowanie jest niepoprawne, trzeba aby miało prawdziwe przesłanki i fałszywy wniosek.

Na ogół konkretne analizowane rozumowanie nie spełnia tego warunku, pamiętajmy jednak, że chodzi o jego formę, a nie o treść konkretnych zdań. Wystarczy zatem zbudować jakieś inne rozumowanie, które ma dokładnie taką samą formę i ewidentnie prawdziwe przesłanki, ale fałszywy wniosek. Technika ta określana bywa jako obalenie rozumowania przez kontrprzykład lub jako falsyfikacja rozumowania. Oczywiście, prawdziwość przesłanek i fałszywość wniosku w kontrprzykładzie nie mogą budzić żadnych wątpliwości. Zilustrujemy to na przykładzie. Poniższe rozumowanie może się wydawać poprawne:

6. Każdy pies jest kręgowcem. Niektóre kręgowce są ssakami. / Każdy pies jest ssakiem.

Wystarczy jednak oba wystąpienia słowa „ssak” zastąpić np. przez słowo „ryba”, a już otrzymamy rozumowanie o tej samej formie (którą Czytelnik zechce zapisać jako schemat), prawdziwych przesłankach i fałszywym wniosku. W dalszej części kursu wielokrotnie będziemy korzystali z techniki udowadniania niepoprawności rozumowania, poprzez znajdywanie odpowiedniego przykładu falsyfikującego.

Jak już wiemy, poprawność rozumowania sprowadza się do tego, żeby prawda była przekazywana z przesłanek na wnioski. Cel ten jest doskonale realizowany w rozumowaniach dedukcyjnych, gdyż prawdziwość przesłanek zawsze gwarantuje tam prawdziwość wniosku. Jednak zarówno w nauce, jak i w życiu codziennym kierujemy się nie tylko rozumowaniami dedukcyjnymi. Dlatego określenie „poprawne rozumowania” jest często używane w znaczeniu szerszym, które obejmuje nie tylko rozumowania dedukcyjne, ale również tzw. rozumowania uprawdopodobniające. W rozumowaniach takich wymaga się jedynie, aby prawdziwość przesłanek gwarantowała prawdziwość wniosku w zadowalającej liczbie przypadków.

Potrzeba uwzględnienia takich rodzajów rozumowań jest widoczna zwłaszcza w przypadku nauk empirycznych. Jest tak dlatego, że rolę założeń wyjściowych często pełnią zdania obserwacyjne, dotyczące ograniczonego materiału, natomiast celem budowanych teorii jest uzyskanie twierdzeń o maksymalnym stopniu ogólności. Sposób dochodzenia do takich uogólnień wymaga wyjścia poza niezawodne schematy rozumowań dedukcyjnych. Zresztą współcześnie nawet nauki formalne, takie jak matematyka, coraz częściej sięgają do niededukcyjnych sposobów uzasadniania swoich twierdzeń (np. za pomocą metod probabilistycznych).

Najbardziej rozpowszechnionym sposobem rozumowania niededukcyjnego, który prowadzi do ogólnych wniosków, jest indukcja. Samo określenie jest (w ewidentnie szkodliwy sposób) wieloznaczne, dlatego omówimy krótko różne rodzaje indukcji.

Najprostszą i najstarszą formą indukcji jest indukcja enumeracyjna, czyli przez wyliczenie. Wniosek ogólny na temat danego zbioru wyprowadza się tutaj w oparciu o skończoną liczbę przesłanek, z których każda stwierdza, że konkretny element tego zbioru spełnia dany warunek. W szczególnych okolicznościach również taka indukcja może stać się rozumowaniem dedukcyjnym. Otóż jeżeli interesujący nas zbiór jest (stosunkowo niewielkim) zbiorem skończonym, to możliwe jest ustalenie o każdym elemencie tego zbioru, że spełnia dany warunek, a następnie bezpieczne uogólnienie. Wniosek jest wtedy wygodnym, bo krótkim, sposobem wyrażenia koniunkcji wszystkich przesłanek. Tak rozumuje np. egzaminator, stwierdzając: „Wszyscy oblali!”, po uprzednim sprawdzeniu każdej pracy. Jest to tzw. indukcja enumeracyjna zupełna. Problem polega na tym, że indukcja zupełna, choć niezawodna, daje zazwyczaj banalne wyniki.

Do wyników ważnych dochodzi się zazwyczaj przez użycie indukcji niezupełnej wtedy, gdy mamy do czynienia ze zbiorami bardzo licznymi lub nieskończonymi.

Ryzyko, że wniosek osiągnięty na tej drodze okaże się fałszywy istnieje zawsze, natomiast możemy (i powinniśmy) dążyć do zmniejszenia prawdopodobieństwa błędu. Przede wszystkim - im więcej przesłanek zgromadzimy, tym mniejsze ryzyko błędu. Ważne jest też, aby przesłanki indukcji były ustalane w możliwie jak najbardziej zróżnicowanych warunkach, przy dużej rozpiętości czasowej i przestrzennej, przez niezależnych obserwatorów. To wszystko można podsumować jako rozsądne warunki zastosowania indukcji enumeracyjnej.

Warunki poprawności stosowania indukcji enumeracyjnej podane wyżej wiążą się z jej zastosowaniem w praktyce naukowej. Jednak w praktyce zdobywania doświadczenia życiowego również mamy do czynienia z wyciąganiem wniosków przez uogólnianie jednostkowych przypadków. W takich wypadkach opieranie się na niewielkiej liczbie przesłanek czasem musi nam wystarczyć, a nawet jest wręcz wskazane. Skrajnym przypadkiem takiego postępowania jest uogólnianie w oparciu o jeden przypadek, które bywa określane jako transdukcja. Chociaż zasadniczo postępowanie takie wypada uznać za błędne, to jednak czasem bywa jedynym rozsądnym rozwiązaniem. Przykładowo dziecko, które oparzyło się wrzątkiem — zamiast dążyć do ponowienia tego doświadczenia — powinno od razu wyciągnąć wniosek, że okoliczność taka zawsze kończy się dotkliwym bólem.

Osobny rodzaj indukcji to tzw. indukcja eliminacyjna, której twórcą jest XIX-wieczny filozof John Stuart Mill. Jej początków można upatrywać w tzw. tablicach obecności i braku - zaproponowanych jako przepis badawczy przez Francisa Bacona w początkach XVII wieku.

Mill wyróżnia pięć tzw. kanonów indukcji, które są ogólnymi schematami wnioskowania zaprojektowanymi dla badań empirycznych. Dla ilustracji omówimy dwa kanony: jedynej zgodności i jedynej różnicy.

Przypuśćmy, że interesuje nas znalezienie przyczyny jakiegoś zjawiska Z. Przeprowadzamy szereg obserwacji, odnotowując, jakie inne zjawiska poprzedzały pojawienie się Z. Dla uproszczenia ograniczmy się do czterech takich zjawisk towarzyszących: A, B, C i D. Wyniki naszych obserwacji (oznaczonych jako o1, o2, o3) odnotujmy w następujący sposób:

o1: Z pojawiło się poprzedzone przez A, B, C,

o2: Z pojawiło się poprzedzone przez A, C, D,

o3: Z pojawiło się poprzedzone przez A, B, D.

Kanon jedynej zgodności pozwala na wywnioskowanie, że przyczyną Z jest A (gdyż tylko A pojawiało się zawsze przed Z). Załóżmy teraz, że wyniki naszych obserwacji wyglądają następująco:

o1: Z pojawiło się poprzedzone przez A, B, C, D,

o2: Z nie pojawiło się, choć wystąpiły B, C, D.

Kanon jedynej różnicy pozwala nam na wyprowadzenie tego samego wniosku (tzn. że A jest przyczyną Z), ale w oparciu o to, że A nie wystąpiło i Z też nie wystąpiło, choć pozostałe warunki były spełnione. Podane tu schematy są bardzo proste, gdyż korzystają z niewielkiej liczby zmiennych i przesłanek, jednak ilustrują generalny schemat stosowania obu kanonów. Również i tutaj prawdopodobieństwo wniosku wzrasta wraz z liczbą obserwacji i uwzględnianych zjawisk. Zilustrujmy zastosowanie obu kanonów prostymi przykładami.

Do szpitala przywieziono trzy osoby z objawami zatrucia pokarmowego. Ponieważ wszyscy spożywali obiad w tym samym lokalu, sprawdzamy menu każdego z poszkodowanych. Okazuje się, że spożywali różne potrawy, ale wszyscy jedli na deser lody. A zatem - na mocy kanonu jedynej zgodności - wnioskujemy, że przyczyną zatrucia są lody.

Matka zauważa, że jej dziecko dostało wysypki. Poprzedniego dnia dziecko jadło pierwsze w tym sezonie truskawki. Po kilku dniach wysypka ustępuje. Ponieważ inne składniki diety dziecka nie uległy zmianie, a w ciągu tych paru dni dziecko już więcej truskawek nie jadło, więc - na mocy kanonu jedynej różnicy - wnioskujemy, że przyczyną wysypki było spożycie truskawek.

Czy indukcja eliminacyjna jest w jakiś sposób lepsza od indukcji enumeracyjnej? Zdania są podzielone. Znaleźć można nawet takich krytyków, którzy stwierdzają, że przepisy tego rodzaju nigdy nie są w praktyce naukowej stosowane (np. Bocheński). Jest to chyba zbyt surowa opinia, jednak nie wydaje się, żeby można było znaleźć wiele interesujących przykładów odkryć naukowych osiągniętych tą drogą. Bez względu na ocenę przydatności, warto wskazać na trudności wiążące się z zastosowaniem kanonów.

Przede wszystkim nigdy nie mamy pewności, czy wzięliśmy pod uwagę właściwych kandydatów. Być może przyczyną Z jest jakieś inne zjawisko E, którego nie odnotowaliśmy, a które (przypadkiem) współwystępowało ze zjawiskiem A. Samo A może nie mieć nic wspólnego z Z, co wykazałaby jakaś kolejna obserwacja. Źródłem błędu może tutaj być nawet niewłaściwa siatka pojęciowa, która zmusza nas do utożsamiania różnych zjawisk bądź zbędnego rozróżniania w obrębie tego, co stanowi w istocie jedną klasę.

Zilustrujemy tę ostatnią uwagę na prostym przykładzie zaczerpniętym z Ajdukiewicza:

Kowalski zaobserwował, że regularnie dokuczają mu bóle wątroby, postanowił więc odkryć ich przyczynę, korzystając z kanonu jedynej zgodności. Jednego dnia zauważył, że wątroba boli go po zjedzeniu kotleta mielonego z frytkami, wypiciu pół litra wódki i litra wody mineralnej. Kolejnego dnia te same objawy pojawiły się po spożyciu schabowego z kluskami, wypiciu dwóch litrów wina i litra wody mineralnej. Kolejny dzień — pieczeń z ziemniakami, pół litra brandy, litr wody mineralnej. Po kilku dniach doświadczeń tego typu, w których jedynym stałym składnikiem był litr wody mineralnej, Kowalski postanowił, że już więcej po wodę nie sięgnie! (Ajdukiewicz, 1965).

Nasze omówienie rozumowań indukcyjnych wymaga wspomnienia o jeszcze jednej - popularnej w naukach ścisłych - formie indukcji, tzw. indukcji matematycznej. Jej nagminne mylenie z indukcją enumeracyjną bywa źródłem nieporozumień przy określaniu, do jakiej grupy nauk należy zaliczyć nauki matematyczne. Przede wszystkim trzeba podkreślić, że tzw. indukcja matematyczna nie jest indukcją w interesującym nas tu znaczeniu, gdyż nie jest formą rozumowania uprawdopodobniającego. Jedna z najpopularniejszych form (słabej) indukcji matematycznej, znana z lekcji matematyki, pozwala na udowadnianie zdań ogólnych o liczbach naturalnych na podstawie dwóch przesłanek mówiących, że:

a) liczba 0 spełnia interesujący nas warunek,

b) jeżeli n spełnia ten warunek, to n + 1 też go spełnia.

W ogólności (i dużym uproszczeniu), różne formy indukcji pozwalają na dowodzenie twierdzeń ogólnych o zbiorach, które zdefiniowane zostały w sposób indukcyjny, tzn. przez wyliczenie elementów wyjściowych i podanie reguł konstrukcji wystarczających dla utworzenia pozostałych elementów zbioru. Indukcja matematyczna jest sposobem rozumowania niezawodnym w odniesieniu do tak zdefiniowanego zbioru, a zatem należy do technik dedukcyjnych! Z tradycyjną indukcją ma tylko tyle wspólnego, że też jest formą uogólniania.

Innym rozpowszechnionym sposobem rozumowania niededukcyjnego są rozumowania przez analogię. Przypominają one indukcję enumeracyjną, jeżeli chodzi o przesłanki. Również i tutaj podstawą wnioskowania jest pewien zbiór zdań obserwacyjnych. W przypadku analogii służą one jednak do wyprowadzenia wniosku nie o całym rozważanym zbiorze, ale o jego kolejnym elemencie.

Przykładowo Kowalski zaobserwował, że każda brunetka, z którą do tej pory próbował się umówić, odmówiła. Znajomi proponują mu, żeby umówił się z panią Alicją. Kowalski, dowiedziawszy się, że pani Alicja jest brunetką, rezygnuje ze złożenia jej propozycji spotkania.

Kowalski działa na podstawie wniosku z rozumowania przez analogię. Podstawą zastosowania analogii w takiej postaci jest wstępna identyfikacja pewnego zbioru (tutaj brunetek), często jednak analogia prowadzi niejako do konstruowania pewnego, nienazwanego dotąd zbioru. Dzieje się tak wtedy, kiedy wnioskujemy na podstawie współwystępowania pewnych cech.

Gdyby np. Kowalski spotykał się z odmową tylko ze strony brunetek spod znaku Barana, noszących czerwone sukienki, słuchających Stinga i pijących tylko białe wino, to wtedy jego decyzja odnośnie pani Alicji byłaby uzasadniona (przez analogię), tylko gdyby spełniała wszystkie wymienione warunki.

Rozumowania przez analogię są niezwykle rozpowszechnione również w nauce i w przemyśle. Na przykład wstępne poszukiwania miejsc, w których mogą znajdować się złoża cennych minerałów, opierają się głównie na rozumowaniu przez analogię. W podobny sposób analogią posługują się w swej pracy archeolodzy, wyznaczając miejsca wykopalisk, czy biolodzy poszukujący np. nowych gatunków. A chociaż ryzyko dojścia do fałszywego wniosku wydaje się względnie mniejsze niż w przypadku indukcji enumeracyjnej, to musimy mieć świadomość dużej podatności na błąd. Zwiększanie stopnia pewności naszych wnioskowań odbywa się tutaj tak samo jak w przypadku indukcji enumeracyjnej, czyli generalnie: im większa liczba przesłanek, tym lepiej.

Wymieniliśmy tylko niektóre z rozpowszechnionych sposobów niededukcyjnego rozumowania. Pewne formy, np. rozumowania statystyczne, mają rozbudowaną teorię, której w tym miejscu nie ma sensu - nawet w skrócie - omawiać. Zainteresowanych odsyłamy do kilku pozycji wymienionych w bibliografii (Ajdukiewicz, 1965; Bocheński, 1954).

Omówiliśmy już pojęcie rozumowania poprawnego — zarówno w węższym, jak i w szerszym znaczeniu tego słowa. Obecnie zajmiemy się tymi aspektami rozumowań, które mają ścisły związek z ich praktycznym zastosowaniem, a dla zwykłego użytkownika języka bywają nawet ważniejsze od logicznej poprawności. Nikt nie ma wątpliwości, że przekonywanie o słuszności własnych poglądów jest niezwykle ważnym elementem naszego życia społecznego. Proces przekonywania może przybierać rozmaite formy, dotyczyć poszczególnych ludzi lub całych grup, korzystać ze środków etycznie wątpliwych lub powszechnie akceptowanych. Jednak najważniejszym czynnikiem wydaje się tutaj skuteczność.

Jedną z najważniejszych form przekonywania jest argumentacja. Dowolna argumentacja, rozważana w całości, zawiera zazwyczaj różne składniki, jednak dla nas najważniejszym są rozumowania. Rozumowanie użyte w ramach argumentacji (wypowiedzi argumentacyjnej) w celu przekonania kogoś do uznania pewnych przekonań będziemy określali krótko jako argument. Czasami argumentami nazywa się same przesłanki takiego rozumowania. Wniosek zazwyczaj nazywa się tezą danego argumentu. Argumentów używa się również w celu odrzucenia jakiegoś poglądu. W obu wypadkach mamy do czynienia z użyciem rozumowań uzasadniających - uzasadnia się bądź prawdziwość, bądź fałszywość wniosku.

Przy rozważaniu argumentów pojawia się kilka ważnych kwestii, które należy kolejno przeanalizować. W pewnym uproszczeniu można powiedzieć, że interesuje nas, w jaki sposób argument konstruować oraz jak na argumenty reagować. Oba zagadnienia zawierają cały szereg kwestii bardziej szczegółowych i są ze sobą ściśle powiązane. Mówiąc o konstrukcji argumentu, mamy na myśli zarówno proces jego tworzenia (przygotowywania), jak i strukturę gotowego rozumowania. Biorąc pod uwagę fakt, że argumenty nie istnieją w próżni, musimy już podczas ich tworzenia uwzględnić fakt odbioru. Należy wiedzieć, w jaki sposób je analizować i oceniać, oraz w jaki sposób poddawać je krytyce. Uwzględnienie możliwej reakcji już na poziomie konstruowania argumentu sprzyja podniesieniu jego skuteczności. Z tego powodu zaczniemy rozważania od analizy sposobów odbioru.

Argument jest skuteczny, jeżeli jego konkluzja (teza) zostaje zaakceptowana przez odbiorców. Stopień akceptacji może być różny - od bezwzględnego uznania wniosku za prawdziwy (lub fałszywy w przypadku argumentacji odrzucającej), po życzliwą skłonność do uznania możliwości wniosku.

Akceptacja argumentu nie zawsze jest wynikiem jego obiektywnej wartości. Odbiorca często nie analizuje argumentów, gdyż po prostu wierzy nadawcy - ma do niego zaufanie lub chciałby, żeby stan rzeczy opisany we wniosku faktycznie miał miejsce. Z taką „życzeniową” reakcją mamy często do czynienia zwłaszcza w przypadku odbiorców mało krytycznych i łatwo ulegających perswazji. Dobrego przykładu dostarcza tutaj popularność w pewnych środowiskach polityków o nastawieniu demagogicznym, którzy w niezbyt wyrafinowany sposób po prostu obiecują swoim zwolennikom spełnienie wszystkich oczekiwań, bez względu na obiektywne uwarunkowania. Z drugiej strony, w przypadku odbiorcy słabo przygotowanego do analizy argumentacji, może nastąpić odrzucenie konkluzji bez jakiejkolwiek próby rozważenia przedłożonego argumentu.

Bardziej interesująca jest analiza reakcji krytycznych, będących wynikiem rozpatrzenia argumentu. Odbiorca krytyczny powinien dokonać oceny wniosku, przesłanek i całego argumentu, tzn. stopnia uzasadnienia wniosku przez przesłanki. Zależnie od dokonanej oceny, można dokonać ataku na każdy z wyodrębnionych składników.

Jeżeli nie chcemy uznać wniosku, to siłą rzeczy musimy się ustosunkować do pozostałych elementów argumentu. Musimy pamiętać, że odrzucenie wniosku niejako nakłada na nas obowiązek wykazania - bądź że przynajmniej jedna z przesłanek jest fałszywa, bądź że rozumowanie nie jest dedukcyjne. Człowiek, który akceptuje przesłanki i zgadza się, że wynika z nich wniosek, ale nie chce go zaakceptować, zachowuje się irracjonalnie.

Jeżeli odbiorca jest w stanie wykazać fałszywość co najmniej jednej przesłanki, to wykazuje tym samym, że w argumentacji popełniono tzw. błąd materialny. Trzeba pamiętać, że fałszywość przesłanek wcale nie przesądza o fałszywości wniosku - nawet w przypadku rozumowania dedukcyjnego. Jednak sytuacja tego typu wskazuje, że dany argument nie dostarcza uzasadnienia proponowanego wniosku. Podobnie jest w przypadku, gdy wprawdzie odbiorca nie wykazał fałszywości ani jednej przesłanki, ale jest w stanie poddać w wątpliwość ich prawdziwość i uznać je za nieuzasadnione. Wtedy wniosek odbierany jest jako równie nieuzasadniony.

Atak dokonany na związek wniosku z przesłankami zazwyczaj przybiera postać kontrprzykładu. Należy pamiętać, że przy takiej formie krytyki trzeba uwzględnić intencje argumentującego. Jeżeli autor argumentacji twierdzi, że wniosek wynika z przesłanek, chociaż faktycznie rozumowanie nie jest dedukcyjne, to popełnia błąd formalny. Dostarczenie kontrprzykładu w takiej sytuacji definitywnie pokazuje brak uzasadnienia wniosku, nawet jeżeli nie sposób odrzucić przesłanek. Inaczej jest w przypadku, gdy argument nie jest prezentowany jako niezawodny, ale jako uprawdopodobniający. W takiej sytuacji trudniej wykazać, że przesłanki nie uzasadniają wniosku. Zazwyczaj sposób podważania wartości takiego argumentu w mniejszym stopniu odwołuje się do jego formy, a w większym do kwestii merytorycznych.

Pamiętając o podanych wyżej uwagach, skupimy się na kwestii konstruowania argumentacji. W kolejnych punktach wymienimy najważniejsze warunki, które powinny spełniać skuteczne argumenty.

Pomijamy tutaj omawianie kwestii językowych, odsyłając Czytelnika do opracowań z zakresu retoryki. Skupimy się raczej na kwestiach kompozycyjnych. Pamiętajmy, że wypowiedź argumentacyjna jest prezentowana w celu zmiany czyichś przekonań czy nakłonienia do odpowiednich działań. W związku z tym - oprócz rozumowań - musi zawierać stosowną ekspozycję problemu, niezbędne wyjaśnienia i komentarze.

Jeżeli w obrębie argumentacji występuje kilka rozumowań, należy zadbać o to, aby nie były ze sobą przemieszane, ale tworzyły łatwo identyfikowalne całości. Warto też zadbać o podanie ich według pewnej hierarchii, np. jeżeli uważamy, że argumenty są różnej jakości, warto zaprezentować je w kolejności od najsłabszego do najsilniejszego.

W obrębie danego rozumowania należy precyzyjnie i wyraźnie sformułować jego tezę, najlepiej umieszczając ją na samym początku lub na końcu argumentu. Poszczególne zdania powinny być wyraźnie oznaczone jako wnioski lub przesłanki, za pomocą odpowiednich słów-wskaźników. Argument, w którym trzeba zgadywać, co jest wnioskiem, a co przesłanką, jest wyraźnym świadectwem myślowego bałaganu jego autora.

W tradycji scholastycznej przyjęte było, że przy prezentacji argumentów dokonywano też systematycznego przeglądu możliwych obiekcji i alternatywnych rozwiązań. Uwzględnianie takiego czynnika w argumentacji, zwłaszcza doraźnej, nie jest wprawdzie konieczne, a czasem wydaje się wręcz niewskazane. Jednak w niektórych okolicznościach może okazać się zabiegiem sprzyjającym poprawie skuteczności argumentacji, wywołując w odbiorcach np. wrażenie obiektywizmu nadawcy argumentu i wzbudzając do niego większe zaufanie.

Jest rzeczą dość ryzykowną operować argumentami bardzo rozwlekłymi. Adresat łatwo może ulec dezorientacji lub po prostu stracić zainteresowanie tematem. Nadmierna dbałość o podanie wszystkich logicznie niezbędnych przesłanek i kroków przejściowych we wnioskowaniu niesie też inne zagrożenie. Adresat argumentu może dojść do przekonania, że wątpi się w jego inteligencję, skoro niczego nie pozostawia się jego domyślności.

Szacowna zasada brzytwy Ockhama (XIV-wieczny filozof i logik) - nawołująca do tego, by nie mnożyć bytów bez potrzeby - również w argumentacji znajduje zastosowanie. Dobrze skonstruowany argument powinien być zwięzły, co można uzyskać, pomijając pewne przesłanki oraz część zdań-pośredników. Rozumowania tego typu określa się jako entymematyczne i w zasadzie zdecydowana większość rozumowań, z którymi mamy do czynienia, zalicza się do tej grupy.

Bezpieczne i wskazane jest pomijanie przesłanek oraz tych przejść w rozumowaniu, które są oczywiste. Problem polega natomiast na tym, że nie ma czytelnych kryteriów uznawania zdań za oczywiste. Często to, co jest oczywiste dla jednego odbiorcy, dla drugiego może okazać się wysoce wątpliwe. Oczywistości nie należy też utożsamiać z prawdziwością: dla milionów ludzi przez tysiące lat oczywiste było, że Ziemia jest w centrum Wszechświata a Słońce ją obiega. Z drugiej strony, nauka zmusza nas do uznawania wielu zdań bynajmniej nie oczywistych. Podobne uwagi można odnieść do kompetencji logicznych. Nie jest jasne, które reguły wnioskowania można uznać za oczywiste. Zatem prezentacja przekonującego entymematu wymaga dobrej orientacji co do stanu wiedzy adresata argumentu.

Dążenie do nadmiernej zwięzłości też niesie pewne ryzyko. Może się okazać, że adresat argumentu nie będzie w stanie zauważyć związku wniosku z podanymi przesłankami lub nie identyfikuje przesłanek entymematycznych (tj. pominiętych z racji ich oczywistości). Argument taki jest nieprzekonujący, gdyż łamie zasadę racji dostatecznej, pochodzącą od XVIII-wiecznego filozofa Gottfrieda Wilhelma Leibniza. Zgodnie z nią, dla każdego twierdzenia należy podać wystarczające uzasadnienie, czyli dostateczną rację dla jego uznania.

Żeby argument trafiał do przekonania odbiorcy, trzeba zadbać o to, aby użyte przesłanki nie budziły jego wątpliwości. Wymaga to pewnej wiedzy na temat przekonań, skłonności czy upodobań żywionych przez odbiorcę danego argumentu. Przykładowo, polityk dokonujący agitacji powinien mieć świadomość, że w zależności od audytorium ten sam argument może być odebrany bardzo pozytywnie bądź wręcz zdyskredytować go w oczach słuchaczy. Z tego powodu zdania, które nawet obiektywnie stanowią uzasadnienie wniosku, ale mogą nie być wiarygodne dla adresata argumentacji, nie powinny być brane pod uwagę jako przesłanki.

Na koniec zwróćmy uwagę na pewne aspekty argumentacji, które nie mają bezpośredniego związku ze skutecznością. Co najmniej od czasu działalności sofistów (IV w. p.n.e.) w teorii argumentacji widoczna jest tendencja do abstrahowania od etycznych założeń na rzecz instrumentalnie pojmowanej skuteczności. Znanej z polityki, a pochodzącej od Machiavellego (XV w.) zasadzie, głoszącej, że cel uświęca środki, odpowiada jeszcze starsza łacińska maksyma, że zwycięstwo w sporze należy osiągać per fas et nefas (prawem i lewem).

Znajomość nieuczciwych chwytów argumentacyjnych bywa przydatna - choćby po to, żeby się przed nimi bronić. Na razie jednak ograniczymy się do argumentacji rzetelnej. Budując argumenty, należy sięgać tylko do takich przesłanek, które uważamy za prawdziwe i za uzasadniające wniosek. Oczywiście, możemy być w błędzie i np. uważać zdania fałszywe za prawdziwe. Ważne jest jednak, abyśmy swoje argumenty budowali i przedstawiali w dobrej wierze, abyśmy przekonywali innych wtedy, gdy sami czujemy się przekonani.