I

 

Andrzej Indrzejczak 

 

LOGIKA

 

1

 

Logika współczesna to kompleks wielu dyscyplin, który trudno jest opisać wyczerpująco w krótki 

sposób. Składa się na tę  złożoność zarówno historia logiki, jak i jej współczesne związki  

z innymi naukami, zwłaszcza z matematyką i informatyką. Tradycyjnie zwykło się dzielić logikę 

na trzy podstawowe działy: semiotykę logiczną, logikę formalną i metodologię nauk. 

Semiotyka logiczna

 to ogólna teoria systemów znakowych. Szczególnie ważna klasa takich 

systemów to języki naturalne i sztuczne. Logików interesują zasadniczo tylko pewne 

aspekty tworów językowych, związane z ich użyciem dla przekazywania i przetwarzania 

informacji. Ważna jest analiza struktury języka, jego składni – te zadania realizowane są na 

gruncie 

syntaktyki

, czyli nauki o relacjach pomiędzy znakami.  

Język przekazuje informację dzięki temu, że jego elementy posiadają znaczenie – 

semantyka

 

jest tą częścią semiotyki, która bada relacje między znakami a ich znaczeniem. Ostatni dział 

semiotyki to 

pragmatyka

, która analizuje relacje pomiędzy znakami a ich użytkownikami. 

Przekaz informacji z pomocą  języka naturalnego jest narażony na zakłócenia, wywoływane 

przez takie mechanizmy językowe, jak wieloznaczność,  nieostrość,  chwiejność 

znaczeniowa. Stąd dużo uwagi poświęca się analizie błędów logicznych oraz badaniu 

środków służących zwiększaniu precyzji komunikacji.  

Logika w sensie ścisłym to 

logika formalna

. Ten dział zajmuje się analizą rozumowań,  

w szczególności zaś badaniem warunków ich poprawności. Analizy tej dokonuje się budując 

formalne systemy dedukcyjne w sztucznych językach. Pozwala to uniknąć niebezpieczeństw 

związanych z brakiem precyzji charakterystycznym dla języków naturalnych. W logice dedukcyjnej 

poprawność rozumowań utożsamia się z zachodzeniem relacji wynikania pomiędzy 

przesłankami i wnioskami. Wynikanie można badać na drodze czysto syntaktycznej bądź 

semantycznej. 

Na gruncie 

teorii dowodu

 wynikanie opisuje się syntaktycznie, poprzez konstrukcję 

odpowiednich zestawów reguł. 

Teoria modeli

 dostarcza semantycznej charakteryzacji relacji 

wynikania poprzez konstrukcję odpowiednich struktur interpretacyjnych. Oba podejścia są 

komplementarne. 

Ostatnim działem logiki jest 

metodologia nauk

, w której analizuje się podstawowe sposoby 

postępowania badawczego. Do logiki należy tzw. metodologia ogólna, natomiast metodologie 

szczegółowe poszczególnych dyscyplin naukowych należy traktować raczej jako działy tych 

nauk. W ramach logiki mieści się ogólny podział typów nauk i związanych z nimi procedur, 

 

2

analiza pojęcia teorii naukowej oraz takich uniwersalnych zabiegów badawczych, jak 

definiowanie czy klasyfikowanie. Ważną częścią metodologii jest 

metalogika

, w której 

ramach dokonuje się badania systemów formalnych.  

Obecny kurs logiki ma przede wszystkim dwa cele praktyczne: 

-  Zaznajomienie studentów z tymi elementami analizy języka, które mogą wpłynąć na większą 

kontrolę precyzji wypowiedzi.  

- Prezentację pewnych technik, które pozwalają na analizę poprawności rozumowań  

w języku naturalnym. 

Prezentacja teoretycznych zagadnień jest ograniczona do minimum. Kurs ten zasadniczo nie 

zawiera wyników z zakresu metalogiki, chociaż w wielu miejscach podaje się pewne informacje 

dotyczące logiki współczesnej, jej działów i podstawowych zagadnień. Poniższy kurs jest 

samowystarczalny. Nie zakłada się żadnej wiedzy specjalistycznej, w szczególności z zakresu 

logiki. Wiedza wyniesiona ze szkoły  średniej powinna wystarczyć do zrozumienia tekstu. Od 

czytelnika wymaga się jednak uważnego czytania i rozwiązywania wszystkich zadań. Kurs 

obliczony jest na 6 tygodni. 

 

 

 

3

 

 

W pierwszym module kursu zapoznamy się z podstawowymi zadaniami logiki i jej kluczowymi 

pojęciami. Zaczniemy od wyjaśnienia czym jest logika, w różnych znaczeniach tego słowa. 

Następnie zastanowimy się nad tym, czym są rozumowania.  

 

Dwa podstawowe pojęcia logiki związane z analizą rozumowań to wynikanie i sprzeczność 

– ich omówienie zajmie resztę obecnego modułu. Poniższe wiadomości mają charakter wstępny, 

ale ich właściwe zrozumienie i przyswojenie ma fundamentalne znaczenie dla realizacji dalszej 

części kursu.  

 

4

 

 

Słowo logika jest używane w wielu znaczeniach. Możemy usłyszeć np. o logice biznesu, o tym, 

że czyjeś postępowanie jest nielogiczne, że to, iż coś się komuś przydarzyło, jest logicznym 

następstwem jego zachowania. Logiczne postępowanie zwykło się przeciwstawiać działaniom 

spontanicznym, tak jak rozum przeciwstawia się czasem uczuciom. 

Bez względu na różnice się, że można znaleźć coś wspólnego w tych rozmaitych kontekstach. 

Słowo  logika (lub jego pochodne, jak logiczny) jest używane wtedy, gdy chcemy podkreślić 

występowanie jakiejś prawidłowości, kiedy chcemy zaznaczyć,  że w grę wchodzi pewna 

konsekwencja postępowania, stosowanie pewnych reguł bądź zasad. Przymiotnik (nie)logiczny 

stosowany bywa zarówno w odniesieniu do osób, jak i działań, jednak przede wszystkim 

stosować go należy w odniesieniu do myślenia. Taki jest źródłosłów tego wyrazu – greckie 

logos

 tłumaczy się zazwyczaj jako rozum, myśl (czasem słowo). 

 

Słowo logika stosowane jest również, a może przede wszystkim, jako nazwa pewnej dyscypliny 

naukowej o wieloletniej tradycji. Za jej twórcę uznać należy Arystotelesa (384–322 r. p.n.e.), 

jednego z najwybitniejszych uczonych i myślicieli greckich. Nie znaczy to, że wcześniej ludzie 

nie myśleli logicznie – wystarczy poczytać dialogi Platona, nauczyciela Arystotelesa, aby się  

o tym przekonać. Jednak same zasady takiego myślenia nie były wcześniej poddane 

systematycznej analizie; ludzie intuicyjnie stosujący zasady logiki byli jak Pan Jourdain  

z komedii Moliere'a „Mieszczanin szlachcicem”, który z zachwytem stwierdza, że tyle lat mówił 

prozą, a o tym nie wiedział! Arystoteles w swoich pracach prezentuje logikę  właśnie jako 

naukę o zasadach poprawnego myślenia. Naukę tą określał zresztą nazwą 

analityka

.  

 

To,  że ludzie potrafili myśleć logicznie zanim stworzono logikę jako naukę, może budzić 

podejrzenie,  że bez studiowania logiki można sobie znakomicie poradzić. Zapewne można 

dobrze sobie radzić w praktyce z wieloma zagadnieniami, nie znając teoretycznych zasad, na 

 

5

których się one opierają. Można też doskonale znać teorię, a być kiepskim praktykiem. 

Znajomość zasad teoretycznych jednak często pomaga i zwiększa naszą sprawność praktyczną – 

z logiką jest podobnie.  

Przez wiele wieków logika była nawet postrzegana bardziej jako sztuka, niż jako nauka; 

oczekiwano,  że jej studiowanie może znacznie usprawnić sposób myślenia. Taki pogląd jest 

dość dyskusyjny, gdyż myślenie wydaje się być działaniem zbyt spontanicznym, aby można 

było wtłoczyć je w sztywny gorset formalnych zasad. Z pewnością jednak teoretyczna 

znajomość logiki może dostarczyć nam narzędzi do oceny wartości wyników myślenia własnego 

i cudzego, wyczulić na błędy logiczne, brak precyzji i myślowy chaos. 

 

Logika przechodziła w ciągu ponad 2 tysięcy lat swojego istnienia zarówno okresy wzlotów 

jak i upadków. W starożytności i w średniowieczu cieszyła się raczej dużym uznaniem – była 

pod nazwą 

dialektyki

 traktowana jako niezbędny element wykształcenia, jako dyscyplina 

propedeutyczna, przygotowująca człowieka do dalszych studiów. Rozwój logiki w tych okresach 

miał bardziej charakter ilościowy niż jakościowy; zasadniczo nie zmieniono logiki 

Arystotelesowskiej, chociaż pojawiły się nowe, nieznane wcześniej działy. Ulepszono ją też 

znacznie pod względem techniki nauczania. 

Epoka nowożytna z początku nie ceniła logiki; wielu wybitnych myślicieli uważało jej 

studiowanie za stratę czasu (Francis Bacon), a jej rozwój za zakończony (Immanuel Kant). 

Zmianę przyniósł wiek XIX – prace Georga Boole'a, Charlesa Saundersa Peirce'a, Ernsta 

Schrödera, i przede wszystkim, Gotloba Fregego. Na początku XX wieku ostatecznie stworzono 

współczesną logikę formalną. Jej pionierzy to Bertrand Russell, Alfred Northrop Whitehead, 

David Hilbert, Kurt Gödel, Alfred Tarski.  

Logika tradycyjna była pojmowana jako dyscyplina filozoficzna, logika współczesna jest raczej 

postrzegana jako dyscyplina matematyczna. Istotnie, związki logiki współczesnej z matematyką 

są rozliczne: personalne – wszyscy wymienieni wyżej logicy to wybitni matematycy; 

przedmiotowe – logika jest traktowana (wraz z teorią mnogości i algebrą abstrakcyjną) jako 

element podstaw matematyki, a w jej obrębie udowodniono szereg ważnych wyników 

dotyczących matematyki jako takiej. Przede wszystkim jednak logika współczesna jest 

dyscypliną matematyczną w sensie metodologicznym, bo korzysta szeroko z technik 

matematycznych. Nie należy przy tym zapominać,  że logika nadal pozostaje również nauką 

humanistyczną – zajmuje się przecież ludzkim myśleniem! 

 

6

 

Na koniec trzeba podkreślić,  że słowo  logika jest też  używane jako określenie pewnych 

formalnych systemów, które logicy konstruują. Na konstrukcje te można spojrzeć jako na 

matematyczne modele pewnych aspektów myślenia, chociaż nie zawsze (i nie tylko) w tym celu 

się je tworzy. Podstawowym systemem nadal pozostaje 

logika klasyczna

, której stworzenie 

zawdzięczamy Arystotelesowi, ale warto wiedzieć,  że powstało wiele innych logik, często 

określanych zbiorczo jako 

logiki nieklasyczne

. Niektóre z nich są rozwinięciem logiki 

klasycznej – najważniejsze to:  

logiki modalne

– analizujące pojęcia konieczności i możliwości,  

logiki temporalne

 

– badające zależności czasowe wyrażane w języku, 

logiki deontyczne

 

– czyli logiki norm i zobowiązań, 

logiki erotetyczne

 

– czyli logiki pytań, 

logiki epistemiczne

 

– analizujące sposoby wyrażania ludzkiej wiedzy i przekonań. 

Wiele logik nieklasycznych powstało jako reakcja na pewne niedoskonałości logiki klasycznej – 

są to systemy alternatywne. Najważniejsi rywale logiki klasycznej to: 

logika intuicjonistyczna

 – rezygnująca z niekonstruktywnych metod dowodzenia, 

logiki wielowartościowe

 – w których dopuszcza się więcej wartości logicznych niż 

prawda i fałsz, 

logiki parakonsystentne

 

– tolerujące sprzeczność,  

logiki niemonotoniczne

 – dopuszczające zmianę wyniku rozumowania w efekcie 

uwzględnienia dodatkowych informacji, 

logiki relewantne

 – w których bada się implikację przy uwzględnieniu związków 

treściowych między zdaniami. 

Te bardzo skrótowe charakterystyki mają tylko zasygnalizować mnogość kierunków 

poszukiwań. Obecny kurs, który ma charakter podstawowy, ogranicza się siłą rzeczy do logiki 

klasycznej, należy jednak zdawać sobie sprawę, że choć logika jest jedna (jako nauka), to logik 

(jako formalnych systemów) jest wiele. W paru miejscach postaramy się zwrócić uwagę na 

podstawowe założenia i na ograniczenia logiki klasycznej i wtedy – tytułem ilustracji – 

przypomnimy o istnieniu bardziej wyspecjalizowanych systemów, podając trochę więcej informacji. 

 

7

 

Wiek XX przyniósł ogromny rozwój logiki, ale ubocznym i szkodliwym efektem tego rozwoju jest 

głęboki rozdźwięk pomiędzy potoczną wiedzą na temat logiki a tym, czym współcześni logicy 

faktycznie się zajmują i jakie techniki w swoich badaniach stosują. Dlatego paragraf ten 

zakończymy kilkoma uwagami na temat ewolucji logiki w XX wieku.  

Powstanie logiki matematycznej było związane nie tylko z zastosowaniem matematyki w logice, 

ale i odwrotnie – z wykorzystaniem logiki do badania podstaw matematyki. Badania takie 

ukazały szereg trudności i ograniczeń związanych z matematyką i jej zastosowaniami  

w naukach przyrodniczych. Ujawnione trudności (np. sprzeczności w 

teorii mnogości

 Cantora 

w jej pierwotnym ujęciu) doprowadziły między innymi: do 

aksjomatycznego

 

scharakteryzowania wielu ważnych teorii matematycznych, do precyzyjnego sformułowania pojęcia 

teorii naukowej 

i warunków jej użyteczności, wreszcie – do utworzenia 

definicji prawdy

  

w teoriach formalnych. Te ostatnie osiągnięcia Tarskiego z pierwszej połowy XX wieku 

zainicjowały w późniejszych latach nowy nurt badań na pograniczu logiki i matematyki, zwany 

obecnie 

teorią modeli

, który wciąż dostarcza nowych, ważnych wyników. 

Do najważniejszych rezultatów ukazujących ograniczenia metod formalnych zaliczyć należy 

dwa twierdzenia Gödla. 

Twierdzenie o niezupełności

 pokazuje, że w każdej niesprzecznej 

teorii zawierającej arytmetykę liczb naturalnych nie jest możliwe udowodnienie wszystkich praw 

tej teorii. Drugie twierdzenie, 

o niedowiedlności niesprzeczności

, mówi natomiast, że 

niesprzeczność każdej teorii tego typu można wykazać jedynie przez odwołanie się do środków 

bardziej zaawansowanych matematycznie (a zatem zakładających już arytmetykę jako 

niesprzeczną podstawę).  

Konkretne wyniki uzyskano także na polu badań nad możliwością 

automatyzacji

 procesu 

wnioskowania. Idea konstrukcji odpowiednich maszyn sięga XVIII w., kiedy to Gotfried Leibniz, 

oczekiwał,  że w przyszłości odpowiednie maszyny zwolnią człowieka z wysiłku dowodzenia 

twierdzeń.  

W XX w. stworzono kilka precyzyjnych, ale równoważnych definicji 

algorytmu

 (m.in. Allan 

Turing) oraz ukazano istotne ograniczenia automatyzacji. Kluczową  własnością teorii, 

umożliwiającą pełną automatyzację procesu jej poszerzania, jest 

rozstrzygalność

. W przypadku 

braku rozstrzygalności, nawet jeżeli dysponujemy odpowiednim algorytmem, to nie mamy 

gwarancji, czy proces szukania dowodu kiedykolwiek się zakończy. Allonzo Church wykazał, że 

logika klasyczna nie jest rozstrzygalna, chociaż istnieje wiele rozstrzygalnych jej części (m.in. 

rachunek zdań

 omawiany w module 3), zidentyfikowano także wiele rozstrzygalnych teorii 

matematycznych.  

 

8

Powstanie komputerów spowodowało praktyczne wykorzystanie powyższych wyników przy 

tworzeniu rozlicznych programów automatycznego dowodzenia twierdzeń. To przejście od teorii 

do praktyki otworzyło też nowe kierunki badań dotyczące 

efektywności

; okazało się np., że 

teoretyczna rozstrzygalność  to  za  mało, ważne jest, żeby czas działania (a także potrzebna 

pamięć) algorytmu zamykały się w rozsądnych granicach. Analizy tego typu doprowadziły  

w latach 70-tych i 80-tych XX wieku do powstania samodzielnych dyscyplin z pogranicza logiki  

i informatyki, takich jak teoria 

obliczalności

 i teoria 

złożoności obliczeniowej

.  

To tylko kilka aspektów i kierunków rozwoju współczesnej logiki, należy jednak pamiętać, że 

w centrum jej badań nadal znajduje się problematyka analizy poprawności rozumowań, czy to 

wykonywanych przez człowieka, czy przez maszynę. 

 

9

 

 

Wspominaliśmy już kilka razy, że logika zajmuje się w pewien sposób ludzkim myśleniem, a konkretnie 

rozumowaniami. To, że rozumowania są ważne dla człowieka, wydaje się nie budzić 

żadnych wątpliwości. Każdy z nas w ciągu dnia wykonuje co najmniej kilkaset rozumowań  

o różnym stopniu złożoności. Rozumowanie jest bowiem jedną z najważniejszych form 

przetwarzania informacji, bez której trudno wyobrazić sobie normalne funkcjonowanie. 

Rozumowania, w sensie powyższym, są pewnymi procesami psychicznymi, nas jednak będą 

interesowały rozumowania w nieco innym znaczeniu. Należy odróżnić od siebie proces  

i wytwór tego procesu (czy generalnie czynność i jej rezultat). Rozumowania jako mentalne 

procesy zasadniczo nie interesują logików, są raczej przedmiotem badań psychologii poznawczej. 

Nie zawsze tak było; do końca XIX wieku w logice dominował tzw. 

psychologizm

, a logika była 

pojmowana właśnie jako gałąź psychologii.  

Współcześnie logicy zainteresowani są raczej zobiektywizowanymi wytworami tych procesów 

psychicznych, czyli rozumowaniami prezentowanymi w jakimś języku jako pewien typ 

tekstów

.  

 

Czym charakteryzują się rozumowania jako teksty sformułowane w pewnym języku? Czym 

różnią się np. od modlitw albo od wierszy? Nawiasem mówiąc, rozumowania też mogą wystąpić 

w kunsztownej, poetyckiej formie (czego dowodem może być np. „O naturze wszechrzeczy” 

Lukrecjusza), ale nie tego od nich oczekujemy – tak jak nie wymagamy, by wiersze zawierały 

wzory matematyczne. Najlepszym sposobem znalezienia wyznaczników rozumowania jest 

przeanalizowanie kilku przykładów rozumowań w języku polskim. 

1. 

„Kubuś Puchatek usiadł sobie pod tym dębem, podparł  głowę na łapkach i zaczął 

rozmyślać. Z początku powiedział do siebie samego: – To bzykanie coś oznacza: Takie 

bzyczące bzykanie nie bzyka bez powodu. Jeżeli słyszę bzykanie, to znaczy, że ktoś 

bzyka, a jedyny powód bzykania, jaki ja znam, to ten, że się jest pszczołą. Potem znów 

pomyślał dłuższą chwilę i powiedział: – A jedyny powód, żeby być pszczołą, to ten, żeby 

robić miód. Po czym wstał i powiedział: – A jedyny powód robienia miodu to ten, żebym 

 

10

ja go jadł. – I zaczął włazić na drzewo.”

 (A. A. Milne, Kubuś Puchatek, tłum. J. Tuwim, Nasza 

Księgarnia 1965, s. 10-11) 

2.

 

„W szeregu wszystkich przyczyn sprawczych uporządkowanych pierwszy czynnik jest 

przyczyną pośredniego, a ten – czynnika w nim ostatniego. Obojętną przy tym jest 

sprawą, czy ów czynnik pośredni jest liczebnie tylko jeden, czy też jest jeden w sensie 
zbioru. Jeśli wszakże usunie się przyczynę, tym samym usunie się też to, co jest jej 

skutkiem. Skoro przeto usunie się pierwszy czynnik szeregu, to czynnik pośredni też 

przestanie być przyczyną. Gdyby więc w szeregu przyczyn sprawczych szło się  

w nieskończoność, to żadna z nich nie byłaby pierwsza, a tym samym znikłyby również  

i przyczyny pośrednie. To zaś jest oczywistą niedorzecznością; należy przeto uznać 
istnienie pierwszej przyczyny sprawczej, a jest nią Bóg.”

 (Tomasz z Akwinu, Summa contra 

Gentiles, za: L. Wciórka, Wiedzieć, że jest Bóg, PWT Poznań 1994, s. 78) 

3.

  „

Twierdzenie 4

. 

Zbiór wszystkich warstw lewostronnych dowolnej podgrupy danej 

grupy jest podziałem tej grupy.

 

Dowód

. 

Pokazaliśmy przed chwilą,  że zbiór G jest sumą warstw gH, a więc musimy 

jedynie pokazać,  że warstwy, mające elementy wspólne, są identyczne. Pokażemy 

najpierw,  że jeśli k∈gH, to kH = gH. Ponieważ HH = H, to mamy kH ⊆ gHH = gH. 

Jednocześnie, k = gh dla pewnego h∈H, a więc g = kh-1∈kH. Zatem gH ⊆ kHH = kH. 

Załóżmy teraz, że warstwy gH i g’H mają niepuste przecięcie; niech, powiedzmy, k∈gH ∩ 

g’H. Wtedy z tego, co właśnie pokazaliśmy, wynika, że gH = kH = g’H.”

 (K. A. Ross, Ch. R. 

B. Wright, Matematyka dyskretna, PWN Warszawa1996, s.714) 

Nietrudno zauważyć,  że podane przykłady rozumowań bardzo się różnią. Przede wszystkim 

treścią, ale również  język jest bardzo odmienny. Nieporadny i prosty język Kubusia bardzo 

odbiega od żargonu filozoficznego Tomasza, a ostatni przykład idzie w tym kierunku jeszcze 

dalej – nie za dużo tu języka polskiego! Na czym więc polega, że wszystkie przykłady skłonni 

jesteśmy uznać (mam taką nadzieję) za rozumowania?  

Przede wszystkim podane przykłady rozumowań składają się ze zdań oznajmujących.  

W rozumowaniach mogą się wprawdzie pojawiać, i często się pojawiają, np. zdania pytajne, ale 

ich występowanie jest raczej podyktowane względami stylistycznymi. Podstawowym budulcem 

rozumowań  są zdania oznajmujące, gdyż to one przede wszystkim służą do przekazywania 

informacji. Od tej pory będziemy używać określenia zdanie, tylko w odniesieniu do zdań 

oznajmujących, zwanych często zdaniami w sensie logicznym. Nie oznacza to, że logika nie 

podejmuje się też analizy innych rodzajów wypowiedzi językowych, np. pytań czy norm, ale na 

razie ograniczymy się tylko do zdań oznajmujących.  

 

11

 

Zdania w rozumowaniach występują w towarzystwie pewnych charakterystycznych wyrażeń. 

Zwróćmy uwagę,  że mimo dużych różnic językowych, w każdym z podanych przykładów 

występują pewne słowa niezależne od treści rozważań. Należą do nich wyrażenia typu: 

jeżeli...to, skoro...to, a więc, gdyby więc, to zaś, załóżmy więc, z tego...wynika. Niektóre z nich 

potraktujemy jako spójniki, inne jako wskaźniki; ich funkcją jest wskazywanie, że zdania, 

które po nich występują  są  bądź 

założeniami

  (skoro;  gdyby;  załóżmy,  że itd.) tego 

rozumowania bądź jego 

wnioskami

 (a więc; toteż; zatem itd.). 

 

Za wyznacznik  rozumowania należy więc przyjąć, że pewne zdania występują w nim jako 

przesłanki (założenia), a inne jako wnioski (konkluzje). Dane zdanie może wystąpić zresztą  

w obu rolach w obrębie jednego rozumowania, tzn. może być wnioskiem z jakichś przesłanek,  

a następnie zostać  użyte jako przesłanka do wyprowadzenia kolejnych wniosków. Zawsze 

jednak będą w rozumowaniu obecne jakieś przesłanki wyjściowe (zdania, których w obrębie 

tego rozumowania już się nie uzasadnia) i jakiś wniosek końcowy (zdanie, które nie jest już 

wykorzystywane dalej jako przesłanka w obrębie tego rozumowania). Jest tak dlatego, że 

rozumowanie składa się ze skończonej liczby zdań.  

W logicznej analizie rozumowań  będziemy zazwyczaj abstrahowali od zdań pośredniczących, 

tzn. tych, które są zarówno wnioskami, jak i przesłankami – wystarczy nam wyróżnienie 

przesłanek początkowych i wniosku końcowego, czyli – krótko – przesłanek i wniosku danego 

rozumowania. Przyjmijmy zatem, że kanoniczny zapis danego rozumowania będzie miał 

następującą postać: 

P

1

,..., P

n 

/ W 

Gdzie:  

P

1

,..., P

n  – 

to wszystkie przesłanki, 

W – to wniosek, 

/ – oznacza: zatem. 

Kanoniczna forma rozumowania nie tylko może pomijać pewne zdania z oryginalnego 

rozumowania (pośredniki), ale również zmieniać szyk zdań. Wniosek często bywa przecież 

podawany na początku rozumowania, np. gdy rozumowanie jest częścią czyjejś 

argumentacji

, 

zazwyczaj zaczyna się od wniosku, a następnie po wskaźniku w rodzaju ponieważ rozpoczyna 

się wyliczenie przesłanek. Przesłanki czasem bywają podane razem i na początku, ale znacznie 

 

12

częściej rozproszone są po całym rozumowaniu, gdyż przywoływane są wtedy, kiedy akurat są 

potrzebne.  

Generalnie porządek, w jakim występują przesłanki, wnioski i zdania pośredniczące  

w rozumowaniu, może być rozmaity i podyktowany jest raczej względami stylistycznymi, a nie 

logicznymi. Toteż rekonstrukcja kanonicznej formy danego rozumowania bywa często dosyć 

trudna, a dobrze sformułowane rozumowanie nie musi wprawdzie przybierać formy 

kanonicznej, ale powinno w wyraźny sposób korzystać ze wskaźników, aby jego struktura była 

łatwa do przeanalizowania. Forma kanoniczna podaje logiczny, a nie rzeczywisty porządek 

zdań w rozumowaniu.  

 

Osobna kwestia, która wymaga krótkiego komentarza to zadania, jakie realizują rozumowania 

w naszym życiu i w nauce. W pewnym sensie wracamy tutaj do rozumowań jako procesów 

mentalnych, ale tylko częściowo. Jedno z najważniejszych zadań realizowanych przez 

rozumowania to poszerzanie naszej wiedzy, a rozumowania stosowane w takim celu to 

wnioskowania

. We wnioskowaniu dysponujemy pewnymi zdaniami (przesłankami) jako 

danymi, a rozumowanie służy wyprowadzaniu z nich kolejnych zdań jako wniosków.  

Często jednak powstanie pewnego rozumowania jest wynikiem procesu odwrotnego; 

dysponujemy jakimś zdaniem (wnioskiem), a szukamy dla niego 

uzasadnienia

 (przesłanek), 

np. aby kogoś przekonać,  że zdanie to jest prawdziwe. Mamy tutaj do czynienia 

 

z 

uzasadnieniem pośrednim

 (w przeciwieństwie do bezpośredniego, które uzyskujemy na 

drodze np. obserwacji), a najbardziej znaną formą takich rozumowań  są 

dowody 

matematyczne

. W dużym uproszczeniu można powiedzieć,  że przeprowadzanie wnioskowań 

ma na celu przede wszystkim zdobywanie wiedzy, natomiast uzasadnianie ma związek z silną 

potrzebą ugruntowania pewności naszych przekonań. 

 

13

 

Chociaż rozumowania są niezbędne i powszechne zarówno w nauce jak i w życiu codziennym, 

to nie zawsze jesteśmy z nich zadowoleni. Wiele rozumowań uznajemy z jakichś względów za 

poprawne, a jeszcze więcej w końcu odrzucamy lub co najmniej modyfikujemy. Logików 

interesują rozumowania, ale przede wszystkim poprawne, dlatego skupimy się obecnie na 

kwestii wyjaśnienia, na czym (nie)poprawność danego rozumowania polega. 

 

Można zastosować rozmaite kryteria oceny rozumowań, jednak nie wszystkie będą ważne  

z punktu widzenia logiki. Tak jest np. z kryteriami estetycznymi – styl jest ważny, ale  

z pewnością nie ma wpływu na to, czy dane rozumowanie jest poprawne. Zbliżoną kwestią jest 

to, czy jakieś rozumowanie jest dla nas przekonywające, czy nie.  

Często zdarza nam się ulec czyjejś argumentacji, ale po jakimś czasie dochodzimy do wniosku, 

że czujemy się oszukani. Takie odczucia są powszechne np. u wyborców, którzy po pewnym 

czasie porównują społeczną rzeczywistość z przedwyborczymi obietnicami tych, na których 

oddali swoje głosy. Może tak być dlatego, że rozumowania, które zostały nam przedstawione 

były wprawdzie przekonywające, ale logicznie niepoprawne.  

Z drugiej strony, obawiam się,  że przykład rozumowania matematycznego podany 

 

w poprzednim paragrafie, dla większości czytelników nie był zbyt przekonywający – 

rozumowanie musi być przede wszystkim zrozumiałe, aby trafiało do przekonania. Jednak 

gwarantuję,  że jest to przykład rozumowania poprawnego. Jak widać poprawność i siła 

przekonywania nie muszą iść w parze, chociaż mogą, i dobrze jest, jeżeli udaje się to osiągnąć. 

To, czy rozumowanie jest przekonujące, czy nie, i dlaczego, to problemy analizowane na 

gruncie 

retoryki

, nauki o środkach oddziaływania. Logików interesuje, czy rozumowanie jest 

poprawne w sensie obiektywnym. 

 

Na czym zatem polega logiczna poprawność? Przypomnijmy, że we wnioskowaniu mamy 

pewne dane i wyprowadzamy z nich wnioski. Jeżeli nasze przesłanki są zdaniami prawdziwymi, 

to dobrze by było, aby wnioski też okazały się prawdziwe. Zatem dobre rozumowanie to takie, 

 

14

które nie doprowadzi nas od zdań prawdziwych do fałszywych. Pojawiają się tutaj określenia 

prawdziwe i fałszywe jako kwalifikacje zdań, a przy okazji dwa problemy: co to jest prawda 

(fałsz) i na czym polega mechanizm dziedziczenia prawdziwości z jednych zdań na drugie? 

Pierwszy problem zasadniczo do logiki nie należy, choć można go uznać za problem z zakresu 

filozofii logiki. Pewne kwestie dotyczące prawdy i fałszu w kontekście logiki rozważymy  

w module 2, na razie wystarczy nam potoczne pojęcie prawdziwości. Zarówno prawdę, jak  

i fałsz będziemy odtąd określać jako wartości logiczne zdania. Skupmy się zatem na kwestii 

dziedziczenia prawdziwości z przesłanek na wnioski w poprawnym rozumowaniu. Oczywiście 

najlepiej, jeżeli rozumowanie konstruowane jest według takich zasad, które gwarantują,  że 

zawsze od prawdy dojdziemy do prawdy. Rozumowania spełniające ten warunek nazywamy 

rozumowaniami dedukcyjnymi

, a relację zachodzącą pomiędzy przesłankami i wnioskiem 

takiego rozumowania, nazywamy relacją 

wynikania

.  

Zasadnicza część tego kursu poświęcona jest 

logice dedukcyjnej

, czyli takiej, która bada 

zasady gwarantujące zachodzenie wynikania. Warto jednak podkreślić,  że w praktyce – nie 

tylko potocznej, ale i naukowej – za poprawne rozumowania uważamy często takie, w których 

relacja wynikania nie występuje. Należą do nich rozmaite formy 

indukcji

 i rozumowań przez 

analogię

, czasem określane zbiorczo mianem 

rozumowań uprawdopodobniających

. Takim 

niededukcyjnym – chociaż poprawnym w szerszym tego słowa znaczeniu – rozumowaniom 

poświęcimy nieco uwagi w 6 module kursu. 

 

Przyjmijmy następujące 

określenie relacji wynikania

:  

Wniosek wynika z przesłanek wtw, jeżeli wszystkie przesłanki są prawdziwe, to  

i wniosek musi być prawdziwy. 

Skrót „wtw” użyty jest tutaj (i w całym kursie) zamiast wyrażenia wtedy i tylko wtedy. W sposób 

negatywny, chociaż równoważny, można scharakteryzować wynikanie następująco: 

Wniosek  wynika z przesłanek wtw, jeżeli jest niemożliwe, żeby wszystkie przesłanki były 

prawdziwe, a wniosek fałszywy.  

 

15

Druga charakterystyka daje nam od razu kryterium niepoprawności – wystarczy, aby 

rozumowanie miało prawdziwe przesłanki i fałszywy wniosek. W obu przypadkach nacisk pada 

na 

modalne

 zwroty musi i niemożliwe. Z tego powodu trudno określenia te uznać za precyzyjne 

definicje relacji wynikania – zwroty modalne są bardzo wieloznaczne i same wymagałyby 

najpierw wyjaśnienia. Dlatego powyższe charakterystyki trzeba potraktować jako pierwsze 

przybliżenie; w module 3 kursu podamy precyzyjne definicje.  

W każdym razie nacisk na słówko  musi  gwarantuje,  że w rozumowaniu dedukcyjnym nie 

wystarczy,  żeby przesłanki i wniosek po prostu były prawdziwe. W przeciwnym wypadku 

należałoby uznać,  że ze zdania 2+2=4  wynika zdanie Napoleon Bonaparte był cesarzem 

Francji; wydaje się jednak, że w tym wypadku prawdziwość przesłanki, w żaden sposób nie 

wymusza prawdziwości wniosku! Na czym polega zatem uzależnienie wartości logicznej 

wniosku od wartości logicznej przesłanek? Przeanalizujemy to na przykładzie konkretnego 

rozumowania. 

1. Azor jest psem. Każdy pies to ssak. / Azor jest ssakiem 

 

Mam nadzieję,  że czytelnik zgodzi się, iż powyższe rozumowanie jest poprawne, tzn., że 

wniosek wynika w nim z przesłanek i to bez względu na to, o jakim Azorze ono mówi. Druga 

przesłanka jest prawdziwa na mocy biologii, natomiast wartość pierwszej może być różna. 

Przypuszczalnie Azor jest istotnie psem, a wtedy (jako pies) musi być ssakiem, czyli przy obu 

przesłankach wniosek musi być prawdziwy. Może jednak pierwsza przesłanka jest fałszywa? np. 

Azor jest kotem.  

Wtedy przesłanki są fałszywe (będziemy dla uproszczenia mówić,  że przesłanki są fałszywe, 

jeżeli co najmniej jedna z nich jest fałszywa – ma to swoje uzasadnienie: często przesłanek jest 

wiele i możemy mieć trudności z rozstrzygnięciem, która z nich jest fałszywa, chociaż wiemy, że 

nie wszystkie są prawdziwe), natomiast wniosek jest nadal prawdziwy – bo koty to też ssaki.  

A gdyby rozważany przez nas Azor był np. złotą rybką, to wtedy nie tylko przesłanki, ale  

i wniosek byłby zdaniem fałszywym.  

Czy w obu przypadkach, kiedy przesłanki okazały się fałszywe, nasze rozumowanie przestało 

być poprawne? Nie! – przecież, gdyby Azor był psem, to musiałby być ssakiem! I tak być 

powinno – mało przydatna byłaby taka logika, w której musielibyśmy zmieniać reguły za każdym 

razem, kiedy dowiedzielibyśmy się czegoś nowego.  

 

16

Logika nie mówi nam, jaka jest aktualna wartość logiczna używanych zdań, tylko jakie 

zachodzą zależności pomiędzy ich wartościami logicznymi. Reguły logiki mają być 

niezawodne

 

bez względu na zastosowania. Powyższy eksperyment myślowy pokazuje, że jeśli w tym 

samym rozumowaniu za oba wystąpienia słowa  Azor podstawimy jakąś inną 

nazwę 

indywidualną

, np. Rex (ale i Napoleon Bonaparte, bądź trójkąt bermudzki), to też otrzymamy 

rozumowanie poprawne.  

Możemy się zresztą posunąć dalej i, zamiast pies lub ssak, użyć innego rzeczownika, tworząc  

w ten sposób nowe rozumowania, ale o tej samej 

formie

  – każde z nich będzie poprawne. 

Poprawność ta zagwarantowana jest tym, że bez względu na treść, każde rozumowanie tego 

typu mówi po prostu, że ilekroć jakiś zbiór obiektów (tutaj psów) jest podzbiorem innego zbioru 

(tutaj ssaków), to dowolny element zbioru pierwszego (tu Azor) jest zarazem elementem zbioru 

drugiego. 

Pojęcie formy rozumowania lub szerzej – 

formy logicznej

, które pojawiło się wyżej, nie jest 

łatwe do wyjaśnienia. Z drugiej strony – należy do najważniejszych pojęć w logice. Już 

Arystoteles zdawał sobie sprawę, że poprawność rozumowania nie zależy od treści zdań, ale od 

ich formy, stąd – 

logika formalna

! Formę powyższego rozumowania można odtworzyć 

następująco:  

2. a jest A. Każde A jest B. / a jest B. 

Gdzie  a jest 

zmienną indywidualną

, tzn. taką, za którą można podstawiać dowolne nazwy 

indywidualne, natomiast A i B to 

zmienne nazwowe

, czyli takie, za które można podstawiać 

dowolne 

nazwy ogólne

 (np. rzeczowniki pospolite). Forma jest zatem pewnym szkieletem 

rozumowania, który można przedstawić w postaci schematu, gdzie zamiast pewnych wyrażeń 

(uznanych za nieistotne) występują odpowiednie zmienne. 

 

Podsumowując, 

zmienne

 to wyrażenia użyte do zaznaczenia występowania takich słów, 

których znaczenie nie ma wpływu na (nie)poprawność; możemy je dowolnie zastępować przez 

inne słowa tej samej kategorii gramatycznej. Innymi słowy, wprowadzając pewien rodzaj 

zmiennych, musimy określić ich 

zakres podstawiania

. Musimy też pamiętać,  że, dokonując  

w schemacie rozumowania podstawień za zmienne, należy to samo wyrażenie podstawić za 

wszystkie wystąpienia danej zmiennej, inaczej uzyskujemy rozumowanie innego typu. Np. 

rozumowanie: 

 

17

3. Tuptuś jest komarem. Każdy komar to owad. / Tuptuś jest zwierzęciem. 

nie jest podstawieniem schematu 

2.

, gdyż za jedno wystąpienie zmiennej B podstawiliśmy 

nazwę owad, a za drugie nazwę zwierzę. Forma tego rozumowania wygląda następująco: 

4. a jest A. Każde A jest B. / a jest C. 

i nie gwarantuje niezawodności; wystarczy w rozumowaniu 

3.

 zamienić nazwę  zwierzę na 

nazwę trójkąt i już mamy podstawienie schematu 

4.

, które od prawdy wiedzie do fałszu.  

Z drugiej strony, w schemacie za różne zmienne tej samej kategorii można podstawiać to samo 

wyrażenie i uzyskiwać rozumowanie o tej samej formie, aczkolwiek mniej zróżnicowane, niż 

dozwala forma. Np. jeżeli w schemacie 

2.

 podstawimy za a – Azor a za A i B – pies, to 

otrzymamy (poprawne) rozumowanie, które realizuje formę 

2.

, a przy okazji – bardziej ogólną 

formę: 

5. a jest A. Każde A jest A. / a jest A. 

 

Forma jest determinowana nie tylko przez rodzaj i ilość zmiennych. W schematach 

2.

,

 4. 

i 

5.

 

mamy przecież pewne słowa o ustalonym znaczeniu. Słówka jest i każde to 

stałe logiczne

 tych 

schematów, czyli takie wyrażenia, których nie możemy zamienić na inne przy zachowaniu 

gwarancji poprawności. To, które słowa chcemy potraktować jako stałe, a które jako zmienne, 

jest do pewnego stopnia decyzją arbitralną.  

Na pewno stałą logiczną może zostać tylko takie wyrażenie, które jest używane powszechnie,  

w różnych kontekstach. Słowa  jest  i  każde (jak również ich warianty, np. wszystkie czy są)  

z pewnością ten warunek spełniają, podobnie jak różne rodzaje spójników. To, jakie rodzaje 

zmiennych wyróżnimy, zależy głównie od głębokości analizy logicznej, np. w 

rachunku zdań

 

omawianym w module 3 wyróżnimy tylko 

zmienne zdaniowe

, a jedyne stałe logiczne dostępne 

na tym poziomie to pewne spójniki. 

 

18

 

 

Rozważania z poprzedniego paragrafu pokazują,  że relacja wynikania, chociaż definiowana  

w terminach prawdy i fałszu, jest relacją formalną – jej występowanie (bądź brak) zależy 

tylko i wyłącznie od struktury zdań, a nie od ich wartości logicznej czy treści. Spróbujemy trochę 

dokładniej przeanalizować charakter tej relacji, wprowadzimy też dla niej specjalny symbol 

=,  

a litery Z (z ewentualnymi indeksami dolnymi) na oznaczenie dowolnych zdań oznajmujących  

w pewnym ustalonym języku. Zatem, stawiając symbol  /  między przesłankami a wnioskiem 

niczego nie przesądzamy, natomiast używając 

= zaznaczamy, że rozumowanie jest 

dedukcyjne. W oparciu o nasze rozumienie wynikania łatwo stwierdzić,  że posiada ono 

następujące własności: 

a) Zwrotność;  Z 

= Z 

b) Monotoniczność; jeżeli Z

1

,...., Z

n

 

= Z,  to  Z

1

,...., Z

n

, Z

n

+1

 

= Z 

c) Przechodniość; jeżeli Z

1

,...., Z

k

 

= Z

k

+1

  i   Z

k

+1

, Z

k

+2

,...., Z

n

 

= Z, to Z

1

,...., Z

k

, Z

k

+1

,...., Z

n

 

= Z 

Pierwsza z nich to cecha dość oczywista: dowolne zdanie wynika samo z siebie, gdyż nie jest 

możliwe, aby było jednocześnie prawdziwe (jako przesłanka) i fałszywe (jako wniosek). 

Równocześnie wydaje się, że jest to cecha mało przydatna – jesteśmy raczej zainteresowani, 

kiedy dane zdanie wynika z jakichś innych zdań. Jednak przy konstruowaniu formalnych 

systemów dedukcji uwzględnienie tej własności jest niezwykle ważne. 

Monotoniczność wynikania gwarantuje, że poprawności rozumowania nie można zepsuć 

dołączając do niego nowe przesłanki. Załóżmy,  że Z wynika z Z

1

,...., Z

n

, ale, że nie wynika  

z Z

1

,...., Z

n

, Z

n

+1

. Wtedy możliwa jest taka sytuacja, że Z jest fałszywe, ale wszystkie przesłanki 

są prawdziwe, ale wtedy również nie może zachodzić wynikanie Z z Z

1

,...., Z

n

,

 ponieważ jest to 

podzbiór zbioru Z

1

,...., Z

n

, Z

n

+1

.  

Monotoniczność gwarantuje nam logiczną poprawność pewnego zabiegu retorycznego; mając 

rozumowanie poprawne, możemy w argumentacji dołączać do niego dowolną ilość dodatkowych 

przesłanek, aby uczynić je dla kogoś bardziej przekonywającym.  

Z punktu widzenia logiki bardziej interesujący jest zabieg odwrotny polegający na sprowadzeniu 

nadmiernie rozbudowanego, lecz poprawnego rozumowania do bardziej ekonomicznej postaci. 

 

19

Warto też podkreślić, że można wskazać na rozumowania, które wydają się logicznie poprawne, 

ale po dołączeniu dodatkowych przesłanek wniosek zdaje się tracić swoje uzasadnienie. Brak 

nam tutaj miejsca na przykłady i analizę tego zjawiska, należy jednak zauważyć,  że logicy  

z tego powodu uznają za potrzebne konstruowanie tzw. 

logik niemonotonicznych

, w których 

odpowiednia relacja nie posiada interesującej nas własności. 

Przechodniość jest jedną z najbardziej podstawowych cech wynikania. Gwarantuje nam, że 

ilekroć we wnioskowaniu jakieś zdanie poprawnie wyprowadzimy z przesłanek, a następnie 

użyjemy go jako przesłanki do dalszych (poprawnych) wnioskowań, to bez względu na ilość 

takich pośredniczących przejść, końcowy wniosek wynika z pierwotnych przesłanek. 

Szczególny przypadek przechodniości, który dobrze ilustruje zasadniczy mechanizm ma postać 

następującą: 

jeżeli Z

1

 

= Z

2

  i  Z

2 

= Z

3 

,  to Z

1

 

= Z

3

 

Dla odmiany zwrotność można, w oparciu o monotoniczność, przedstawić w bardziej ogólnej formie: 

 Z

1

,...., Z

n

, Z  

=  Z 

 

Omówiliśmy krótko najważniejsze własności relacji wynikania. Przypatrzmy się teraz dokładniej, 

jakie wartości logiczne mogą mieć zdania, które występują w rozumowaniu poprawnym. 

Wynikanie dopuszcza trzy możliwe konfiguracje wartości logicznych: 

a) przesłanki – prawdziwe, wniosek – prawdziwy 

b) przesłanki – fałszywe, wniosek – prawdziwy 

c) przesłanki – fałszywe, wniosek – fałszywy 

Wykluczone jest natomiast, aby przesłanki były prawdziwe a wniosek fałszywy.  

Wydaje się, że najważniejsze w wynikaniu jest to, co daje konfiguracja a) – startując od prawdy  

i stosując we wnioskowaniu tylko takie reguły, co do których mamy pewność, że są poprawne,  

w bezpieczny sposób poszerzamy wiedzę. Jednak w praktyce również konfiguracja c) jest 

niezwykle ważna. W życiu stosunkowo rzadko przeprowadzamy rozumowania w komfortowym 

przekonaniu,  że wszystkie przesłanki, na których się opieramy, są prawdziwe. A nawet jeżeli 

takie przekonanie mamy, to często się później okazuje, że byliśmy w błędzie.  

Generalnie, znacznie częściej rozumujemy w warunkach ryzyka, tzn. przy nieustalonej wartości 

logicznej przesłanek. Jeżeli dojdziemy do wniosku, który jest fałszywy, to oznacza, że 

 

20

popełniliśmy błędy w rozumowaniu lub że opieraliśmy się na fałszywych przesłankach. Wtedy 

bardzo ważna staje się możliwość kontroli poprawności naszego rozumowania – jeżeli wiemy, 

że wszystkie wnioski wynikały z przesłanek, to mamy pewność, że przesłanki (co najmniej jedna 

z nich) są fałszywe. W ten sposób własność c) wynikania, umożliwia nam przeprowadzanie 

kontroli i modyfikację naszych przekonań.  

 

Klasycznym przykładem zastosowania tej techniki są liczne dialogi Platona (424–344 r. p.n.e.),  

w których jako główna postać występuje jego mistrz Sokrates (469–399 r. p.n.e.). Sokrates 

chcąc wykazać,  że kogoś przekonania są fałszywe, przy pomocy pytań naprowadzał go na 

konsekwencje tychże poglądów. Na każdym kroku upewniał się też, że jego rozmówca zgadza 

się,  że proponowane wnioski wynikają z przesłanek. W końcu pojawiały się takie wnioski, 

których rozmówca już nie mógł zaakceptować, gdyż albo były ewidentnie fałszywe, albo – co 

najmniej – nie do przyjęcia dla niego. Skoro jednak zgadzał się, że wynikają z wcześniejszych 

zdań, a zatem również – przez przechodniość wynikania – z jego wyjściowych przesłanek, 

musiał uznać, że jego poglądy są błędne.  

 

Taki sam mechanizm wykorzystywany jest także w nauce, w szczególności do 

sprawdzania 

hipotez

. Chcąc wyjaśnić jakieś zjawisko, przyjmuje się wstępnie pewne hipotezy (czyli zdania 

ogólne, które tłumaczą, jak do danego zjawiska dochodzi), co do których prawdziwości nie 

mamy pewności. Z hipotez (łącznie z innymi uznanymi twierdzeniami) wyprowadzamy 

dedukcyjnie wnioski, których wartość logiczną możemy sprawdzić (np. przez 

obserwację

 lub 

eksperymenty

). Jeżeli znajdziemy zdanie, które jest fałszywe, to znaczy, że któraś z naszych 

hipotez też jest fałszywa. W ten sposób dokonujemy 

falsyfikacji

 hipotezy.  

Natomiast  żadna ilość prawdziwych wniosków nie uprawnia nas do ostatecznego uznania 

prawdziwości hipotez. Zwiększa się tylko coraz bardziej prawdopodobieństwo, że przyjęte przez 

nas wyjaśnienie jest właściwe – proces 

weryfikacji

 hipotez teoretycznie jest nieskończony. Oba 

omówione przykłady pokazują, że wynikanie pozwala nam nie tylko na poszerzenie wiedzy, ale 

również na jej modyfikowanie. 

 

21

 

Dotychczasowe rozważania pokazują również, w jaki sposób można wykazywać,  że dane 

rozumowanie jest niepoprawne. Wynikanie wyklucza prawdziwość przesłanek przy fałszywości 

wniosku. Natomiast w rozumowaniu niepoprawnym mogą występować wszystkie możliwe 

zestawienia wartości logicznych. Jednak aby wykazać, że dane rozumowanie jest niepoprawne, 

trzeba udowodnić, że miało ono prawdziwe przesłanki i fałszywy wniosek.  

Na ogół konkretne analizowane rozumowanie nie spełnia tego warunku, pamiętajmy jednak, że 

chodzi o jego formę, a nie o treść konkretnych zdań. Wystarczy zatem zbudować jakieś inne 

rozumowanie, które ma dokładnie taką samą formę i ewidentnie prawdziwe przesłanki, ale 

fałszywy wniosek. Technika ta określana bywa jako obalenie rozumowania przez 

kontrprzykład

 lub jako 

falsyfikacja

 rozumowania. Oczywiście prawdziwość przesłanek  

i fałszywość wniosku w kontrprzykładzie nie mogą budzić żadnych wątpliwości. Zilustrujemy to 

na przykładzie:  

1. Każdy pies jest kręgowcem. Niektóre kręgowce są ssakami. / Każdy pies jest ssakiem. 

Rozumowanie to wydawać się może poprawne. Wystarczy jednak słowo  ssak zastąpić przez 

np. słowo  ryba, a już otrzymamy rozumowanie o tej samej formie (którą czytelnik zechce 

zapisać jako schemat), prawdziwych przesłankach i fałszywym wniosku. W dalszej części tego 

kursu wielokrotnie będziemy korzystali z techniki udowadniania niepoprawności rozumowania 

poprzez znajdywanie odpowiedniego przykładu falsyfikującego.  

 

22

 

 

Rozumowania nie są jedynym rodzajem tekstów, a wynikanie nie jest jedynym ważnym pojęciem, 

analizowanym na gruncie logiki. Logika pomaga badać dowolne teksty pod kątem ich spójności. 

Najgorszym objawem chaosu myślowego jest sytuacja, kiedy ktoś sam sobie przeczy i nawet tego 

nie zauważa. Dlatego dla logiki, jako dyscypliny dbającej o porządek i konsekwencję myślenia, nie 

mniej ważna jest analiza (nie)sprzeczności ludzkich przekonań. Powiemy, że.: 

Zbiór zdań jest sprzeczny wtw, gdy jest niemożliwe, aby wszystkie zdania w tym 

zbiorze były prawdziwe. 

W powyższym określeniu znów nacisk kładziemy na modalny zwrot niemożliwe. Nie należy 

sprzeczności w powyższym sensie mylić z innymi przejawami niekonsekwencji. Człowiek, który 

twierdzi,  że kłamstwo jest niemoralne, a sam okłamuje swoich bliźnich, jest z pewnością 

niekonsekwentny, ale w sensie interesującym raczej etyka niż logika. Ponieważ sprzeczność łatwo 

jest pomylić z innymi fenomenami, takimi jak dwulicowość, niesprawiedliwość czy nielojalność, więc 

znów zaczniemy od kilku przykładów. Wyobraźmy sobie ludzi wypowiadających poniższe zdania: 

1. Byłoby niestosowne poddawać cenzurze programy TV, w których pokazuje się przemoc, 

gdyż to, co widać na ekranie, nie ma wpływu na ludzkie zachowania. Natomiast dobrą 

ideą jest pokazywanie większej ilości programów, które ukazują nasze osiągnięcia 
gospodarcze, gdyż to mogłoby osłabić argumentację, a nawet zmienić poglądy malkontentów. 

2. W ciągu ostatnich 5 lat miałem 3 duże i kilka mniejszych wypadków samochodowych.  

W 2 przypadkach sąd orzekł moją odpowiedzialność, ale naprawdę jestem bardzo dobrym 
kierowcą, tylko nie mam szczęścia. 

3. Powierzchnia Ziemi jest płaska (wyjąwszy góry, morza i inne względnie małe wypukłości  

i wgłębienia). Kiedy ludzie myślą,  że opłynęli Ziemię dookoła, to tak naprawdę tylko 

przemieścili się z jednego miejsca do drugiego, które jest identyczne jak to, z którego 
wystartowali, ale oddalone od tamtego o tysiące mil.

 (źródło: W. Hodges, Logic, Penguin Books 

1991) 

 

23

Czy każdy z powyższych tekstów jest sprzeczny? Pierwszy jest sprzeczny bez wątpienia; nie 

można równocześnie utrzymywać,  że to, co oglądamy w telewizji, nie ma wpływu i zarazem 

może mieć wpływ na nasze zachowanie. Autor wypowiedzi 

1.

 mógłby starać się ją poprawić, na 

przykład zaznaczając,  że według niego pokazywanie zjawisk negatywnych nie ma wpływu na 

ludzi, a pokazywanie zjawisk pozytywnych ma. Poglądy takie nie byłyby już sprzeczne (choć 

wydają się dziwaczne).  

Tekst 2.

 nie jest sprzeczny, choć wydaje się głupi i nierozsądny. Jednak jest możliwe, że autor 

istotnie jest dobrym kierowcą, tylko ma niezwykłego pecha. W końcu – jak wiadomo – nawet 

sądy często się mylą. 

Tekst 3.

 jest po prostu fałszywy (w świetle powszechnie uznawanych 

poglądów), ale pogląd w nim reprezentowany nie jest niemożliwy w sensie logicznym. Co 

więcej, należy podkreślić, że jego autor usilnie stara się o konsekwencję swojego wywodu, np. 

tłumaczy, na czym polega zjawisko opłynięcia świata dookoła. Zatem, chociaż 

3.

 samo w sobie 

nie jest sprzeczne, to jest sprzeczne z naszymi poglądami. 

 

W krótkich tekstach sprzeczność jest zazwyczaj dosyć  łatwa do wykrycia, a to, że mamy 

skłonność uznać za sprzeczność mniej niebezpieczne fenomeny, jak zwykły fałsz lub niskie 

prawdopodobieństwo, nie wydaje się groźne. Bardziej niebezpieczne jest to, że możemy 

sprzeczność przeoczyć w przypadkach, kiedy ona faktycznie występuje. Jest tak zwłaszcza  

w przypadku tekstów długich o skomplikowanej strukturze. Jednak nawet kiedy mamy do 

czynienia ze względnie małymi zbiorami zdań, również możemy sprzeczności nie zauważyć, 

jeśli zdania te mają wystarczająco złożoną strukturę.  

Sprzeczność jest ewidentna, kiedy mamy dwa zdania, z których jedno jest po prostu 

zaprzeczeniem drugiego – jest to jawna sprzeczność. W takim przypadku zachodzi między 

dwoma zdaniami mocniejsza relacja logiczna, gdyż nie tylko nie mogą być razem prawdziwe, 

ale również nie mogą być razem fałszywe; krótko mówiąc, nie mogą mieć równocześnie tej 

samej wartości logicznej.  

Warto zauważyć,  że w tradycyjnej terminologii logicznej, nadal często używanej, właśnie ta 

mocna relacja określana jest jako sprzeczność, podczas gdy w przypadku dwóch zdań, które 

tylko nie mogą być razem prawdziwe (choć mogą być oba fałszywe), mówi się, że wzajemnie 

się 

wykluczają

 lub że są przeciwne

. 

Przykładem może być para zdań:  Każdy Polak to pijak  

i Żaden Polak nie jest pijakiem. Nie mogą być one oba prawdziwe, chociaż mogą być (i są) oba 

fałszywe. Są zatem sprzeczne w sensie definicji podanej na początku tematu, chociaż nie są 

 

24

jawnie sprzeczne. Nasza charakterystyka sprzeczności ma tę przewagę, że stosuje się nie tylko 

do par zdań, ale do ich zbiorów o dowolnej wielkości, nawet nieskończonych. 

 

Pokażemy teraz, że zachodzi bardzo bliski związek pomiędzy sprzecznością a wynikaniem. 

Twierdzenie 1.

 Z

1

,....., Z

n

 

= Z

n+

1

  wtw  zbiór {Z

1

,....., Z

n

, negZ

n+

1

} jest sprzeczny  

 (wyrażeniem negZ oznaczyliśmy we wzorze zaprzeczenie zdania Z) 

Aby wykazać prawdziwość twierdzenia o postaci równoważności, należy udowodnić, że z lewej 

strony tej równoważności wynika prawa i odwrotnie.  

1. Załóżmy,  że rozumowanie z lewej strony jest poprawne. Wszystkie możliwe interpretacje 

zdań  Z

1

,....., Z

n

 można podzielić na dwie grupy te, przy których pewne zdanie nie jest 

prawdziwe, i te przy których wszystkie są prawdziwe. Dowolna interpretacja, przy której 

przynajmniej jedna przesłanka jest fałszywa, da nam (to samo) fałszywe zdanie 

 

w analizowanym zbiorze. Dowolna interpretacja, przy której wszystkie przesłanki są prawdziwe, 

musi czynić prawdziwym również  Z

n+

1

; inaczej rozumowanie nie byłoby poprawne! Ale wtedy 

zaprzeczenie Z

n+

1

 

jest fałszywe w rozważanym zbiorze. Zatem nie jest możliwe, aby zawierał 

on tylko zdania prawdziwe, jest więc sprzeczny. 

2. Załóżmy, że zbiór po prawej jest sprzeczny, a rozumowanie po lewej jednak niepoprawne. 

Zatem przy pewnej interpretacji zdania Z

1

,....., Z

n

  są prawdziwe, a Z

n+

1

 

jest fałszywe, wtedy 

jednak jego przeczenie jest prawdziwe, a więc rozważany zbiór zawiera tylko prawdziwe zdania  

i nie jest sprzeczny! Ale to jest sprzeczne z pierwszym założeniem, zatem musimy odrzucić 

drugie założenie. 

Część 2. naszego dowodu wymaga krótkiego komentarza. Przyjęliśmy tam dwa założenia,  

z których jedno jest zaprzeczeniem zdania, które chcemy udowodnić. Takie założenia 

określamy jako 

założenia niewprost

, a dowód, który takie założenia wykorzystuje, to 

dowód 

niewprost

 albo 

apagogiczny

, albo przez redukcję do absurdu. Celem dowodu tego rodzaju, 

jest nie tyle dojście do zdania, które chcemy udowodnić, ile raczej dojście do jawnej 

sprzeczności (czyli do zaprzeczenia jakiegoś zdania wyżej występującego).  

 

25

Wprawdzie w powyższym przykładzie jawnej sprzeczności dostarczają  właśnie założenie 

niewprost i zdanie, które chcemy dowieść, ale wcale tak być nie musi. Dowód niewprost 

uznamy za poprawny, jeżeli pojawi się w nim jawna sprzeczność dowolnych dwóch zdań. 

Dowody tego typu są powszechnie wykorzystywane, chociaż matematycy zazwyczaj wyżej 

sobie cenią 

dowody wprost

, czyli takie, w których nie używa się założeń niewprost, i których 

celem jest dedukcja dowodzonego zdania. 

 

Zwróćmy uwagę na jeszcze jedną własność sprzeczności, określaną czasem jako: 

Zasada Dunsa Szkota:

 Dowolne zdanie wynika ze sprzecznego zbioru zdań. 

Dlaczego? Dlatego, że skoro nie jest możliwe, aby zdania w tym zbiorze były razem prawdziwe, 

to nie jest możliwe, aby były prawdziwe, gdy wniosek jest fałszywy. Zatem rozumowanie, 

którego przesłanki są sprzeczne, jest poprawne, ale jest to poprawność trywialna, gdyż 

przesłanki wcale nie uzasadniają przyjęcia wniosku! Rozumowanie tego typu jest poprawne, ale 

bezwartościowe poznawczo.  

Powyższa zasada wyjaśnia, dlaczego pojawienie się dowolnej sprzeczności w dowodzie, 

stanowi wystarczający warunek dla uznania go za zakończony; ze sprzeczności (jakiejkolwiek) 

wynika przecież cokolwiek – również zdanie, które było celem dowodu. Jest tak nawet wtedy, 

gdy nie użyliśmy w dowodzie założenia niewprost – widocznie inne założenia były sprzeczne. 

 

Zasada Dunsa Szkota pokazuje również, dlaczego sprzeczność jest taka groźna; dlaczego należy 

się starać  ją wykryć i wyeliminować. Dowolna teoria naukowa, pojmowana jako zbiór twierdzeń  

w pewnym języku, traci swoją  użyteczność, jeżeli okaże się sprzeczna. Przecież każde zdanie  

w tym języku, wynika z tej sprzeczności, a zatem da się potraktować jako kolejne twierdzenie. 

Teoria taka nie daje już podstaw do tego, aby odróżnić od siebie zdania akceptowane i odrzucane 

– wszystkie są równie dobre. Obowiązuje tu prosta konsekwencja zasady Dunsa, tzw.: 

 

26

Zasada Przepełnienia: 

Teoria sprzeczna jest identyczna ze zbiorem wszystkich 

zdań w języku tej teorii.

 

Właśnie dlatego, udowadnianie niesprzeczności teorii naukowych, uchodziło za podstawowy 

wymóg, a rezultat Gödla (por. temat 1, moduł 1) dotyczący niedowiedlności niesprzeczności  

w teoriach zawierających arytmetykę, stanowił tak duży wstrząs dla środowiska matematyków.  

 

I znów wypada podkreślić,  że logicy starają się negatywne oddziaływanie sprzeczności 

ograniczyć, skoro nie zawsze można ją łatwo wykryć. Wyobraźmy sobie program komputerowy 

wspomagający policję przy prowadzeniu śledztwa poprzez automatyczne dedukowanie 

 

w oparciu o zebrane dane. Łatwo wyobrazić sobie sytuację,  że zbiór danych staje się 

sprzeczny, np. ktoś z przesłuchiwanych kłamał. Gdyby program działał w oparciu o logikę 

klasyczną, to mógłby z tych danych wyprowadzić dowolny wniosek, np., że sprawca 

przestępstwa to główny inspektor! 

Jeden z możliwych sposobów przeciwdziałania to wykorzystywanie 

logik parakonsystentnych

. 

W logikach takich toleruje się sprzeczność, w tym sensie, że nie uznaje się zasady Dunsa 

Szkota i zasady przepełnienia. W pozostałej części kursu skupimy się jednak na logice 

klasycznej jako na podstawowym systemie dedukcyjnym.