95

Zajmiemy się obecnie kwestią zastosowania KRK do analizy poprawności rozumowań w języku

naturalnym. Wykorzystanie formalnego rachunku w takim celu zakłada możliwość przekładu

języka naturalnego na sztuczny język logiki. Zadanie to jest bardzo skomplikowane, ze względu

na istotne różnice, które między tymi językami zachodzą (por. temat 5 w module 2). Z tego

względu zajmiemy się dość szczegółowo tym zagadaniem, podając w tematach 1–3 szereg

wskazówek dotyczących przekładu typowych struktur zdaniowych.

Osobna kwestia to wykorzystanie narzędzi logicznych do analizy istniejącego przekładu danego

rozumowania. System dedukcji naturalnej omówiony w module 3 i 4 pozwala na skonstruowanie

dowodu w przypadku rozumowania poprawnego. Co jednak zrobić, gdy rozumowanie nie jest

poprawne? Można wykorzystać semantykę do konstrukcji modeli falsyfikujących, jednak

w przypadku KRZ jest to pracochłonne (konstrukcja tabelek), a w przypadku KRK może wymagać

dużej inwencji.

Idealnym rozwiązaniem jest zastosowanie automatycznych procedur poszukiwania dowodu.

Istnieje wiele procedur tego typu i opartych na nich programów komputerowych.

Najpopularniejsze z nich bazują na tzw.

regule rezolucji

bądź na dedukcyjnych

systemach

tablicowych

.

System dedukcji naturalnej również można wykorzystać jako regułową bazę do realizacji

pewnej procedury tego typu, opartej na systemie KE (por. D'Agostino). Omówimy ją w temacie

4 i 5 – osobno dla KRZ i dla KRK. Ponowne rozróżnienie obu rachunków jest uzasadnione tym,

że KRZ jest logiką

rozstrzygalną

, a KRK nie.

W przypadku KRZ przedstawiona przez nas procedura pozwala w skończonej liczbie kroków

znaleźć odpowiedź (pozytywną lub negatywną) na pytanie, czy dane rozumowanie jest poprawne.

W KRK takiej gwarancji nie mamy; nasza procedura (tak jak każda inna) może prowadzić do

nieskończonej sekwencji kroków. KRK jest jednak logiką

półrozstrzygalną

, co oznacza, że jeśli

analizowane rozumowanie jest poprawne, to nasza procedura da odpowiedź pozytywną (czyli

dowód) w skończonej ilości kroków.

96

Chcąc zastosować formalny aparat logiki do analizy rozumowań w języku naturalnym, musimy

dokonać stosownego przekładu, czyli dokonać operacji

formalizacji tekstu

w języku

naturalnym. Niestety nie jesteśmy w stanie podać precyzyjnych reguł, które można stosować

w sposób mechaniczny. Jest to niemożliwe z racji złożoności języków naturalnych i ich

wieloznaczności. Możemy podać jedynie szereg wskazówek, które w zadowalającej

(statystycznie) liczbie przypadków pozwalają na poprawną formalizację.

Przez poprawną formalizację rozumiemy tutaj taki przekład, w wyniku którego zdanie

wyjściowe i otrzymana formuła mają takie same warunki prawdziwości. Należy jednak

pamiętać, że nie dysponujemy tutaj precyzyjnymi kryteriami oceny efektu formalizacji –

umiejętność formalizowania to duża sztuka i tylko trening czyni mistrza.

Formalizacja środkami KRZ jest znacznie prostsza niż analogiczna operacja wykonywana

środkami KRK. Dysponując tekstem, np. rozumowania, musimy jedynie wyróżnić te wyrażenia,

które sygnalizują przesłanki i wnioski, oraz te, które odpowiadają wyróżnionym przez nas

w KRZ spójnikom. Pozostałe ciągi wyrażeń traktujemy jako zdania proste, czyli przypisujemy im

zmienne zdaniowe. Obowiązują tu dwie zasady poprawności:

1. Należy pamiętać, żeby różne wystąpienia tych samych zdań (lub różnych zdań, ale

wyrażających ten sam sąd logiczny) zastąpić taką samą zmienną zdaniową;

2. Do zdań wyrażających różne sądy logiczne bezwzględnie przypisujemy różne zmienne.

Te pozornie proste wymogi w realizacji mogą napotkać wiele trudności, zwłaszcza wtedy gdy

analizujemy cudze rozumowania. Różne zdania wyrażające ten sam sąd logiczny mogą mieć

bardzo odmienną strukturę, co – przy nie dość dokładnej analizie – może prowadzić do

błędnego przypisania im różnych zmiennych. Natomiast nawet identycznie wyglądające zdania

mogą czasem wyrażać inne sądy.

Problemy te ilustrowaliśmy już przy okazji omawiania

ekwiwokacji

,

elipsy

i

wyrażeń

okazjonalnych

(por. moduł 2, temat 3 i 4). Generalnie, proces formalizacji musi być poprzedzony

dokładną analizą znaczenia zdań w tekście.

97

Jeżeli w konkretnym przypadku nie jesteśmy w stanie definitywnie rozstrzygnąć, w jakim

znaczeniu są użyte pewne wyrażenia, to musimy osobno rozważyć różne, możliwe do

otrzymania schematy. Generalnie, wybierając pomiędzy możliwymi wariantami, powinniśmy się

kierować

zasadą życzliwej interpretacji

, czyli wybierać takie rozumienie, które zagwarantuje

poprawność rozumowania (o ile jest to możliwe).

Rekonstruując formalnie schemat czyjegoś rozumowania, należy też pamiętać, że w większości

przypadków możemy mieć do czynienia z

rozumowaniami entymematycznymi

, czyli niepełnymi.

Przykładowo, ktoś, kto mówi w mroźny zimowy dzień:

1. Pada deszcz. Będzie ślisko

wygłasza poprawne rozumowanie, chociaż jego schemat w KRZ wygląda: "p / q". Autor tego

rozumowania pomija jednak przesłanki, które dla niego i dla dowolnego odbiorcy wydają się

oczywiste. Jeżeli je dodamy, to otrzymamy rozwiniętą formę rozumowania:

2. Jeżeli pada deszcz, to jest mokro. Pada deszcz. Jest niska temperatura. Jeżeli jest
mokro i jest niska temperatura, to będzie ślisko./ Będzie ślisko

które ma schemat:

3. p→r, p, s, r∧s→q / q

Łatwo wykazać, że jest to rozumowanie poprawne, korzystając jedynie z reguł (EI) i (DK).

Analizując poprawność rozumowań entymematycznych, musimy pamiętać o dodaniu brakujących

przesłanek, których pominięcie jest ewidentne.

Dokonując formalizacji środkami KRZ, musimy pamiętać, że zmienne zdaniowe mogą

odpowiadać nie tylko zdaniom prostym. Jest przecież wiele

spójników intensjonalnych

,

których nie jesteśmy w stanie wyróżnić, zatem zdania złożone zbudowane z ich pomocą

musimy potraktować jako zdania proste na gruncie KRZ, czyli przydzielić im jedną zmienną.

Nawet w przypadku wyróżnionych przez nas spójników należy pamiętać, że są one wieloznaczne

i dobrze się zastanowić, czy w danym kontekście można zastąpić je stałymi logicznymi.

Rozważymy tu kolejno kilka problemów związanych z koniunkcją, alternatywą i implikacją.

98

Symbol koniunkcji może w wielu przypadkach zastąpić takie wyrażenia, jak: i, a, ale, lecz.

Trzeba jednak pamiętać, że powyższe wyrażenia nie są w pełni synonimiczne, np. a, ale, lecz

posiadają pewien sens służący konfrontacji bądź przeciwstawienia znaczenia swoich

argumentów, którego i nie posiada. Przykładowo, powiemy raczej: Kowalski jest przystojny, ale

bystry to nie jest niż Kowalski jest przystojny i nie jest bystry.

Pomijając jednak ten naddatek znaczeniowy słowa ale nad i, od strony ekstensjonalnej

zachowują się one tak samo. Gorzej, że samo i może też być używane intensjonalnie w celu

zaznaczenia, np. następstwa czasowego lub przestrzennego. Przykładowo zdania:

4. Zosia miała dziecko i wyszła za mąż
5. Zosia wyszła za mąż i miała dziecko

wydają się mieć inną wartość logiczną. Ekstensjonalna koniunkcja jest jednak

przemienna

i kolejność argumentów nie ma wpływu na wartość logiczną całości! W takich przypadkach

lepszym rozwiązaniem może być nie uwzględnianie i lecz potraktowanie zdań

4.

i

5.

jako

dwóch różnych zdań prostych.

Symbol alternatywy odpowiada zasadniczo wyrażeniom lub i albo. Trzeba jednak pamiętać, że

nasza alternatywa to

alternatywa słaba

(łączna), natomiast w języku naturalnym często mamy

do czynienia z tzw.

alternatywą mocną

(rozłączną). Jest to również spójnik ekstensjonalny tym

tylko różniący się od alternatywy słabej, że zdanie zbudowane z jego pomocą jest fałszywe

również wtedy, gdy oba argumenty są prawdziwe. Przykład: Kowalski zostanie w kraju lub

wyjedzie za granicę.

Istnieje wprawdzie w języku polskim pewna tendencja, aby używać lub w znaczeniu alternatywy

słabej, a albo w znaczeniu alternatywy mocnej, jednak nie jest to konsekwentnie przestrzegana

zasada. W powyższym przykładzie użycie lub dla alternatywy mocnej nie wydaje się

nienaturalne czy sztuczne, równie łatwo można by znaleźć przykłady pokazujące, że albo

używa się wtedy, gdy chodzi o alternatywę słabą (np. Pójdę do kina z Moniką albo z Alicją). Na

pewno ktoś, kto używa wyrażenia albo ..., albo… chce wyrazić alternatywę mocną.

W przypadku gdy nie mamy wątpliwości, że alternatywa występująca w zdaniu jest mocna,

wskazane jest wyraźne zaznaczenie tego w formalizacji. Można wprowadzić dodatkowy symbol

99

bądź wyrazić mocną alternatywę z użyciem spójników już w języku KRZ występujących. Np.

zdanie o schemacie albo p, albo q możemy wyrazić przez formułę

¬(p↔q). (Zastanów się

dlaczego.)

Ekstensjonalna definicja implikacji, zwanej często

implikacją materialną

, zawsze budziła

największe zastrzeżenia. Zastanówmy się nad wartością logiczną zdań:

6. Jeżeli 2+2=5, to Kowalska ma dwójkę dzieci

7. Jeżeli Kowalska ma dwójkę dzieci, to 2+2=4

8. Jeżeli Adaś podniesie świnkę morską za ogon do góry, to jej oczy powypadają

Bez względu na odczucia czytelnika, trzeba stwierdzić, że wszystkie są prawdziwe, zgodnie

z tabelkową definicją implikacji.

6.

i

8.

są prawdziwe, gdyż ich poprzedniki są fałszywe, a

7.

dlatego, że następnik jest prawdziwy. Wartości logiczne pozostałych zdań (i ich związki

treściowe) nie mają na nic wpływu!

Paradoksalność dwóch pierwszych przykładów bierze się stąd, że następnik nie ma żadnego

związku treściowego z poprzednikiem, podczas gdy „normalne" użycie wyrażenia jeżeli …,

to… w języku naturalnym zakłada zachodzenie jakiegoś związku. Natomiast ekstensjonalna

definicja implikacji odwołuje się tylko i wyłącznie do wartości logicznej argumentów.

Obrońcy implikacji materialnej argumentują, że przykłady tego typu wcale nie pokazują, że jej

definicja jest zła. Zdania tego typu powstają bowiem właśnie przez pogwałcenie

pragmatycznych norm poprawnego użycia jeżeli ..., to… Jeżeli się tego nie robi, problem znika.

(Na marginesie, warto zauważyć, że użycia jeżeli ..., to… nie respektujące związku treściowego

argumentów, też się w komunikacji zdarzają, np. Jeżeli Kowalski zda egzamin z logiki, to mi

kaktus na dłoni wyrośnie.)

Sytuacja nie jest taka prosta – przykład

8.

to zdanie warunkowe, w którym poprzednik

i następnik są treściowo powiązane! Co więcej, można znaleźć szereg fałszywych zdań lub

niepoprawnych rozumowań zbudowanych według schematów tautologii albo niezawodnych

reguł, gdzie decydujące znaczenie ma właśnie implikacja materialna.

Logicy niezadowoleni z takiego stanu rzeczy zaproponowali szereg nieklasycznych logik

formalizujących niektóre z intensjonalnych znaczeń implikacji (np.

logiki implikacji ścisłej

,

100

logiki relewantne

,

logiki okresów warunkowych

). Są to jednak konstrukcje znacznie

bardziej skomplikowane i nawet ich pobieżna prezentacja znacznie przekracza zakres tego

kursu.

Czy zatem definicja implikacji materialnej jest dobra? Wydaje się, że w dużej ilości przypadków

można ją bezpiecznie zastosować. Zasadniczo nie budzi wątpliwości to, że gdy oba zdania są

prawdziwe, to całość należy uznać za prawdziwą i że, gdy poprzednik jest prawdziwy,

a następnik fałszywy, to całość jest fałszywa. Wątpliwe przypadki zdarzają się wtedy, gdy

poprzednik jest fałszywy.

Jednak gdyby przypisać takim zdaniom fałszywość, to wtedy implikacja nie różniłaby się

ekstensją od koniunkcji, natomiast uznanie obu przypadków za różnowartościowe, dałoby

w jednym przypadku taką samą ekstensję jak dla równoważności, a w drugim też zupełnie

nieprzekonującą. Przypisanie obu przypadkom prawdziwości jest co najmniej zgodne z użyciem

jeżeli ..., to… w matematyce i to wydaje się być argumentem rozstrzygającym.

Pamiętajmy jednak, że jeżeli ..., to… jest spójnikiem o wielu różnych znaczeniach i w wielu

przypadkach formalizacja tego zwrotu z pomocą implikacji materialnej jest wręcz niewskazana,

bo może prowadzić do paradoksalnych efektów. Tak jest np. w przypadku tzw.

kontrfaktycznych okresów warunkowych

, które – na szczęście – w języku polskim są

wyrażane częściej z użyciem wyrażenia gdyby ..., to… (np. Jeżeli bym się z tobą nie ożenił, to

byłbym szczęśliwym człowiekiem).

Odnośnie synonimicznych form wyrażania implikacji, to warto zapamiętać, że (często) w tym

samym znaczeniu używane są sformułowania:

jeżeli p, to q

q, jeżeli p

q, chyba, że nie p

101

Przypomnijmy, że funkcją predykatów 1-argumentowych jest wyrażanie własności obiektu,

którego nazwa jest ich argumentem. Natomiast predykaty dwu-, trój- i więcej argumentowe

wyrażają relacje zachodzące między parami, trójkami itd. obiektów.

W języku KRK będziemy używać stałych nazwowych jako symboli nazw indywidualnych,

a zmiennych predykatywnych jako symboli odpowiednich predykatów z języka polskiego

(postaramy się, w miarę możliwości, jako symbolu predykatu używać pierwszej litery

odpowiedniego zwrotu w języku polskim). Zasadnicze problemy, jakie mogą tu wystąpić,

dotyczą decyzji, kiedy coś można uznać za nazwę, cechę czy relację.

Zdania typu: Kowalski biegnie czy Kowalski jest mężczyzną zapiszemy jako proste formuły

atomowe: "Ba", "Ma". W przypadku obu zdań nie ma innej możliwości, gdyż oba zdania

przypisują pewnemu obiektowi pewną własność; w szczególności w drugim z nich mamy do

czynienia z tzw. predykatywnym użyciem funktora jest, które oznacza, że obiekt jest elementem

pewnego zbioru. Zdanie:

1.

Kowalski czyta „Kocią kołyskę”

można również potraktować jako formułę tego typu ("Ca"), ale bardziej wskazane jest

potraktowanie go jako

formuły relacyjnej

o schemacie: "Cab", gdzie "b" denotuje tą konkretną

powieść, a "C" dwuargumentowy predykat – _czyta_.

Uwaga! Jeżeli decydujemy się na potraktowanie jakiejś relacji (np. czytania) jako własności, to

musimy pamiętać, że należy tę praktykę stosować konsekwentnie. Przykładowo:

2.

Kowalski czyta książkę

zapiszemy wtedy "Ka" (musimy użyć innej zmiennej, gdyż czyta „Kocią kołyskę” i czyta książkę

nie są równoważnymi zwrotami). Ma to konsekwencje logiczne; ze zdania

1.

wynika zdanie

2.

,

ale z "Ca" nie wynika "Ka"! Natomiast drugie rozwiązanie (czytanie jako relacja) pozwala

formalnie wykazać, że wynikanie zachodzi, jednak

2.

nie jest wtedy formalizowane jako formuła

atomowa (por. dalej).

102

Osobny problem to wyrażanie w KRK charakterystyk złożonych. Zdanie:

3.

Kowalski jest wysokim blondynem

Należy ująć jako koniunkcję dwóch zdań atomowych, czyli " Wa

∧Ba" Jest to poprawna

formalizacja, gdyż zachowuje logiczne własności zdania, np. z formuły tej wynika zarówno

formuła "Wa", jak i "Ba". Analogicznie ze zdania

3.

wynika zarówno zdanie Kowalski jest

wysoki, jak i Kowalski jest blondynem. Z drugiej strony, zdania:

4.

Kowalski jest niskim koszykarzem

nie możemy potraktować tak samo. Ktoś kto jest niskim koszykarzem ma np. 1,80 wzrostu, a to

nie daje podstaw do uznania za prawdziwe zdania Kowalski jest niski.

Zdania

3.

i

4.

mają taką samą formę gramatyczną, ale inną

formę logiczną

. W

3.

o obiekcie

orzeka się dwie niezależne charakterystyki, natomiast w

4.

orzeka się o nim jedną, złożoną

charakterystykę, w której niski odnosi się nie do Kowalskiego, ale do dowolnego koszykarza.

W związku z tym

4.

należy zapisać jako formułę atomową, np. "Na". Konsekwencją tego jest

niestety utrata pewnych logicznych własności zdania

4.

, np. wynika z niego zdanie Kowalski

jest koszykarzem, ale z formuły "Na" nie wynika formuła "Ka" (gdzie "K" denotuje _jest

koszykarzem_). Ważniejsze jest jednak tutaj raczej to, że – na szczęście – formalizacja zdania

Kowalski jest niski (np. "Ma") również nie będzie wynikała z "Na".

Omawiając zdania relacyjne, skupimy się przede wszystkim na relacjach dwuargumentowych,

gdyż relacje o większej liczbie argumentów stosunkowo rzadko się pojawiają i raczej nie

dostarczają specyficznych problemów (przykład: _leży między_a_).

Najważniejszym problemem jest tutaj przestrzeganie kolejności argumentów predykatu,

ponieważ istnieje możliwość pojawienia się różnych form gramatycznych, np. zarówno zdanie

Adam kocha Beatę, jak i Beata jest kochana przez Adama należy wyrazić taką samą atomową

formułą relacyjną "Kab", gdzie "K" denotuje _kocha_.

103

Błędem jest zarówno użycie do każdego z tych zdań innej zmiennej predykatywnej, jak

i przepisanie w drugim przypadku nazw argumentów w takiej kolejności, jaką dyktuje zdanie.

W przypadku rozumowań entymematycznych, w których występują zdania mówiące o relacjach,

trzeba pamiętać, że często pomija się przesłanki, które przypisują danej relacji pewne własności

(por. moduł 4, temat 5). Przykładowo rozumowanie:

5.

Adam jest wyższy od Bogdana. Czarek jest niższy od Bogdana. / Adam jest wyższy od Czarka.

jest poprawne, ale zapisanie jego schematu w następujący sposób:

6.

Wab, Ncb / Wac

tego nie wyjaśnia. Trzeba dodać przesłankę mówiącą o tym, że relacja _jest wyższy od_ jest

przechodnia

(

∀xyz(Wxy∧Wyz→Wxz)) oraz że relacja _jest niższy od_ jest relacją do niej

przeciwną, czyli jej

konwersem

(

∀xy(Wxy↔Nyx)).

Formalizacja nazw złożonych w języku naturalnym może nastręczać pewne trudności, gdyż nie

każdy funktor nazwotwórczy wyraża

funkcję w sensie matematycznym

. Nazwy złożone

w języku, np. arytmetyki, zawsze mają ekstensję ustaloną w sposób jednoznaczny.

Przykładowo, 2+3 ma dokładnie jeden desygnat, gdyż + jest funkcją dwuargumentową, czyli

dowolnej parze liczb jednoznacznie przyporządkowuje pewną ustaloną liczbę. Nazwy ojciec

Adama i Bartka oraz syn Adama i Barbary mają wprawdzie taką samą formę gramatyczną, ale

tylko pierwszą z nich możemy zapisać jako term "fab". W drugim przypadku nie mamy gwarancji

ani że nie jest to nazwa pusta, ani że nie jest ogólna.

Właściwym rozwiązaniem jest tutaj użycie predykatu _jest synem Adama i Barbary lub ogólniej

i dokładniej _jest synem_i_. Ostatnie rozwiązanie pokazuje zresztą, że dla formalizacji dowolnej

nazwy złożonej n-argumentowej, zawsze zamiast zmiennych funkcyjnych możemy użyć

zmiennych predykatywnych o – co najwyżej – n+1 argumentach.

Wyrażenia z języka polskiego, dla których formalizacji można użyć kwantyfikatora dużego to:

każdy, wszystko, zawsze, wszędzie,

104

natomiast formalizowane przez kwantyfikator mały to:

pewne, niektóre, coś, istnieje, kiedyś, gdzieś.

Łącząc kwantyfikator duży z negacją, można też formalizować zwroty typu:

nie każdy, żaden, nigdy, nigdzie (por. przykład

9.

).

Warto zauważyć, że zwroty typu zawsze, kiedyś, nigdy nie wyrażają kwantyfikacji w sensie

ogólnym, lecz czasowym, co musi być wyrażone dodatkowo odpowiednią kwalifikacją

zmiennych kwantyfikowanych (por. przykład

9.

z następnego tematu). Podobnie w przypadku

zwrotów typu wszędzie itd.

Podejmując decyzję o użyciu kwantyfikatora, trzeba dobrze rozważyć, czy dane wyrażenie

wymaga formalizacji poprzez duży czy mały kwantyfikator. Przykładowo, zdanie Cokolwiek jest

psem jest zwierzęciem jest równoważne zdaniu

7.

(patrz niżej) i wymaga użycia kwantyfikatora

dużego (por.

8.

). Natomiast zdanie Kowalski czyta cokolwiek wymaga raczej użycia

kwantyfikatora szczegółowego, co zaraz zademonstrujemy.

Zdania typu Coś jest ciężkie, Wszystko ma masę wymagają użycia kwantyfikatorów –

odpowiednio: “

∃xCx”, “∀xMx”.

Zdania Wszystko jest większe od czegoś i Coś jest większe od wszystkiego zapiszemy

odpowiednio: “

∀x∃yWxy”, “∃x∀yWxy”.

Zdanie Adam kogoś kocha zapiszemy “

∃xKax” – w analogiczny sposób zapiszemy formę zdania

Kowalski czyta cokolwiek.

Są to proste przykłady kwantyfikacji zdań atomowych. Również rozważane przez nas wyżej

zdanie

2.

wymaga wykorzystania kwantyfikacji szczegółowej, bowiem oznacza, że Kowalski

czyta jakąś książkę, co zapiszemy: “

∃x(Kx∧Cax)” (gdzie “K” denotuje _jest książką, a “a” –

Kowalskiego). Tutaj jesteśmy już zmuszeni do użycia dodatkowego predykatu kwalifikującego

zmienną kwantyfikowaną i zastosowania jakiegoś spójnika łączącego, zatem zdanie, którego

forma gramatyczna jest bardzo nieskomplikowana, okazuje się zdaniem złożonym.

Analizując zdania nieatomowe, skupimy się w pierwszym rzędzie na tzw.

zdaniach

kategorycznych

, czyli podmiotowo-orzecznikowych, rozważanych już przez Arystotelesa.

105

Zdanie:

7. Każdy pies jest zwierzęciem

będące przykładem

zdania ogólno-twierdzącego

zapiszemy następująco:

8.

∀x(Px→Zx)

Zdania ogólno-przeczące

, np.:

9.

Żaden pies nie jest rybą

zapiszemy tak:

10.

∀x(Px→¬Rx)

Zdanie:

11.

Niektóre psy są inteligentne

które reprezentuje tzw.

zdania szczegółowo-twierdzące

, zapiszemy:

12.

∃x(Px∧Ix)

Natomiast

zdanie szczegółowo-przeczące

, np.:

13.

Niektóre psy nie szczekają

zapiszemy tak:

14.

∃x(Px∧¬Sx)

106

Zdania o bardziej skomplikowanej strukturze mogą dostarczyć sporo kłopotów formalizacyjnych.

Dotyczy to zwłaszcza zdań, w których mamy wielokrotną kwantyfikację. Chociaż trudno tu

wskazać jakieś ogólne reguły, to czytelnik powinien przede wszystkim pamiętać o zasadach

formalizowania zdań kategorycznych, gdyż można postarać się wykorzystać je również

w przypadku zdań bardziej skomplikowanych. Często okazuje się, że takie zdanie generalnie

podpada pod schemat zdania kategorycznego, w którym grupa podmiotu lub orzeczenia jest

sama zdaniem złożonym.

Problem polega na tym, że w zdaniach kategorycznych, łącząc ze sobą to, co w podmiocie i to,

co w orzeczniku, zmuszeni jesteśmy dodawać w formalizacji jakieś spójniki, które w zdaniu

wyjściowym nie występują. Użycie przez nas w tym celu implikacji i koniunkcji nie jest

arbitralnym wyborem – czytelnik powinien zastanowić się nad warunkami prawdziwości takich

formalizacji zdań kategorycznych, w których użylibyśmy innych spójników.

Takie zasady dodawania spójników można rozszerzyć z powodzeniem na inne zdania, starając

się dokonywać ich formalizacji etapami – od ogólnej struktury, do składników atomowych. W ten

sposób można krok po kroku „przełożyć" na język KRK nawet bardzo skomplikowane zdania,

trzymając się dwóch wskazówek:

1. jeżeli w zasięgu kwantyfikatora ogólnego, pojawia się zdanie złożone, to jeśli nie występuje

tam jakiś inny spójnik, wtedy należy dodać implikację;

2. jeżeli w zasięgu kwantyfikatora małego, pojawia się zdanie złożone, to jeśli nie występuje tam

jakiś inny spójnik, wtedy należy dodać koniunkcję.

Oczywiście trzeba pamiętać, że nie są to sztywne reguły – warunkiem dokonania dobrej

formalizacji jest zawsze staranne przeanalizowanie warunków prawdziwości przekładanego

zdania. Oto kilka przykładów:

1. Każdy mężczyzna kocha jakąś kobietę

Zdanie to reprezentuje schemat ogólnego zdania twierdzącego, więc w pierwszym etapie

otrzymujemy następującą parafrazę:

2.

∀x(Mx→x kocha jakąś kobietę)

107

Następnik implikacji, która jest w zasięgu kwantyfikatora dużego, sam jest funkcją zdaniową

złożoną; w szczególności słowo jakąś wymaga użycia kwantyfikatora szczegółowego,

a zmienna, która zostanie nim związana, musi być określona jako odnosząca do kobiety.

Wprowadzamy zatem kolejny predykat, a spójnik, który użyjemy dla połączenia formuł

atomowych, to koniunkcja (zgodnie z zasadą 2). Ostatecznie otrzymujemy formułę:

3.

∀x(Mx→∃y(Ky∧Lxy))

Postępując w sposób analogiczny ze zdaniem:

4.

Istnieje kobieta, którą kochają wszyscy mężczyźni

otrzymamy formułę:

5.

∃x(Kx∧∀y(My→Lyx))

Dokonując w podobny sposób (tzn. etapami) formalizacji zdania:

6. Każdy student w każdej sesji musi zdać każdy egzamin

otrzymamy formułę:

7.

∀x(Sx→∀y(Oy→∀z(Ez→Zxyz)))

Ponieważ mamy tutaj wielokrotną kwantyfikację tego samego rodzaju, więc można zapisać to

prościej (ale równoważnie):

8.

∀xyz(Sx∧Oy∧Ez→Zxyz)

Warto też podkreślić, że predykat dwuargumentowy _musi zdać_ staje się w wyniku dokładnej

formalizacji predykatem trójargumentowym, gdyż chcemy uwzględnić relatywizację czasową

(do sesji). Słowo musi jako zwrot modalny (intensjonalny) nie może być potraktowane osobno

w języku KRK. Precyzyjne uwzględnianie w formalizacji wszystkich odniesień i kwalifikacji

zmiennych często powoduje, że proste gramatycznie zdanie otrzymuje dość skomplikowany

przekład. Oto przykład:

9. Zawsze

gdzieś pada

10.

∀x(Tx→∃y(My∧∃z(Dz∧Pzxy)))

Gdzie: "T" denotuje _jest odcinkiem czasowym, "M" – _jest miejscem, "D" – _jest deszczem,

a "P" denotuje trójargumentową relację padania czegoś (deszczu) w czasie i miejscu.

108

Istnieją pewne sposoby upraszczania zapisu formuł. W przypadku gdy stale używamy

zmiennych odnoszących do pewnego typu obiektów, warto jest zadeklarować z góry, że

używamy różnych rodzajów zmiennych o określonym zakresie. Operujemy wtedy

językiem

wielosortowym.

Przykładowo, jeżeli zadeklarujemy, że zmienne t

1

....t

n

odnoszą do czasu,

a zmienne m

1

....m

n

do przestrzeni, to zdanie

9.

można zapisać następująco:

11.

∀t∃m,x(Dx∧Pxtm)

Jest to sposób zapisu często używany np. w fizyce. Wtedy gdy kategorii obiektów, do których

odnoszą się zmienne, jest zbyt dużo, jest to sposób mało praktyczny, natomiast można

wówczas kwalifikację zmiennych (przez predykaty jednoargumentowe) wydzielić przed nawias.

Jest to użycie tzw.

kwantyfikacji ograniczonej

, np. zdanie

6.

można zapisać:

12.

∀

Sx,Oy,Ez

Zxyz

Uwzględnienie

predykatu identyczności

pozwala znacznie poszerzyć możliwości formalizacyjne

KRK. W szczególności można formalizować różnego typu

zdania numeryczne

, czyli takie,

w których mówi się, że n przedmiotów (a nie tylko wszystkie lub pewne) spełnia jakiś warunek.

Aby powiedzieć, że co najmniej jeden obiekt spełnia pewien warunek, nie potrzebujemy

identyczności, gdyż taki jest dokładnie sens kwantyfikatora małego. Ale żeby powiedzieć, że co

najmniej dwa obiekty spełniają ten warunek, potrzebujemy już identyczności. Przykładowo,

zdanie:

13.

Co najmniej dwóch biegaczy ukończyło wyścig

daje formułę:

14.

∃xy(Bx∧By∧Ux∧Uy∧x≠y)

Jeśli byłoby co najmniej trzech biegaczy (czterech itd.), to musielibyśmy użyć trzech (czterech

itd.) zmiennych i parami zaznaczyć, że dotyczą różnych przedmiotów. Zatem zdanie

13.

dla

n=4 będzie po formalizacji wyglądać następująco:

15.

∃xyzv(Bx∧By∧Bz∧Bv∧Ux∧Uy∧Uz∧Uv∧x≠y∧x≠z∧x≠v∧y≠z∧y≠v∧z≠v)

109

Zwroty typu co najwyżej n wymagają użycia kwantyfikatora dużego i formy warunkowej, gdyż

nie przesądzają, czy w ogóle wymieniona liczba obiektów dany warunek spełnia (być może

żaden obiekt nie spełnia tego warunku, ale na pewno nie więcej niż n). Używamy też n+1

zmiennych. Przykładowo, zdanie:

16. Co

najwyżej jeden biegacz dostanie nagrodę

daje formalizację:

17.

∀xy(Bx∧By∧Dx∧Dy→x=y)

Zdanie:

18.

Każda planeta w tym systemie ma co najwyżej dwie satelity

otrzyma formalizację:

19.

∀x(Px→∀yzv(Syx∧Szx∧Svx→y=z∨y=v∨z=v))

Aby formalizować zdania, mówiące, że dokładnie n obiektów spełnia pewien warunek,

wystarczy po prostu łączyć koniunkcyjnie formuły stwierdzające, że zachodzi to dla co najmniej

i co najwyżej n obiektów. Na przykład zdanie:

20.

Jest tylko jeden zwycięzca

zapiszemy:

21.

∃x(Zx∧∀y(Zy→x=y))

A zdanie:

22.

Każdy patyk ma dwa końce

zapiszemy:

23.

∀x(Px→∃yz(Kyx∧Kzx∧y≠z∧∀v(Kvx→v=y∨v=z)))

110

Omówione w poprzednich tematach zasady przekładu z języka polskiego na język KRK

pozwalają na formalizację rozumowań potocznych i kontrolę ich poprawności środkami czysto

logicznymi. System dedukcyjny (omówiony w module 3 i 4) wydaje się mieć tutaj jednak

ograniczoną wartość. W takiej formie, w jakiej go omówiliśmy, pozwala on na dowodzenie tez

i dedukowanie wniosków z wynikających przesłanek. Co jednak wtedy, gdy wynikanie nie

zachodzi lub gdy formuła nie jest tezą?

W podręcznikach logiki formalnej najczęściej dla wykazania niepoprawności wykorzystuje się

techniki semantyczne, czyli buduje się odpowiednią interpretację (wartościowanie lub model)

falsyfikującą. Z drugiej strony, w

automatycznym dowodzeniu twierdzeń

(które, wbrew

rozpowszechnionej nazwie, służy nie tylko do dowodzenia, ale również do falsyfikowania)

częściej wykorzystuje się syntaktyczne systemy dedukcyjne (np.

metodę rezolucji

) jako

podstawę implementacji odpowiedniego programu.

Obecnie pokażemy, że nasz system dedukcyjny, po odpowiedniej modyfikacji, również może

spełniać to zadanie. W tym celu dopuścimy dedukcje, nie będące dowodami, ale stanowiące

podstawę do falsyfikacji przez konstrukcję odpowiedniej interpretacji.

Oczywiście, nie każda dedukcja nie będąca dowodem może być uznana za wystarczającą.

Tworzenie dowodów nie jest czynnością automatyczną i – na ogół – jeżeli nie udaje się nam

dowodu skonstruować, może to być świadectwem, np. naszego braku umiejętności.

Zmodyfikujemy tu system przez dopuszczenie tylko niektórych reguł i przez nałożenie pewnych

warunków zakończenia dedukcji, które bądź dają dowód, bądź umożliwią falsyfikację.

Pamiętać musimy, że między KRZ a KRK zachodzi bardzo istotna różnica. KRZ jest

logiką

rozstrzygalną

, co oznacza, że dla dowolnej formuły (lub schematu rozumowania) można

uzyskać w skończonej liczbie kroków odpowiedź, czy jest to teza (poprawne rozumowanie), czy

nie. Odpowiedź taką uzyskujemy w wyniku zastosowania odpowiedniego

algorytmu

(procedury).

Nie będziemy tutaj formalnie wyjaśniać, czym jest algorytm – wystarczy nam intuicyjne

rozumienie tego terminu i wiedza czytelników wyniesiona ze szkoły średniej, gdzie wielokrotnie

mieli okazję zetknąć się z różnymi algorytmami. Podkreślmy tylko, że algorytm powinien

111

spełniać dwa warunki: działać w sposób mechaniczny i dać odpowiedź w skończonym

czasie.

Dla KRZ taką procedurą jest np. opisana w temacie 2 modułu 3. metoda tabelkowa.

W przypadku KRK nie istnieją takie metody (nie mamy gwarancji zakończenia działania żadnej

procedury), jednak proces szukania dowodu można zautomatyzować w zadowalający sposób.

Ponadto istnieją metody, które zawsze dają w skończonym czasie odpowiedź pozytywną (tzn.

gdy rozumowanie jest poprawne lub formuła jest tezą). Natomiast w przypadku niepoprawnego

rozumowania proces sprawdzania może nigdy się nie zakończyć. Proponowana tutaj procedura

również ma tą własność.

Przyjmujemy następujące

reguły inferencji

:

(EPN)

(EK)

(ENK)

(EA)

(ENA)

(EI)

(ENI)

(MPR)

(MTR)

(ENR)

(EO)

(ENO)

(EM)

(ENM)

(DS)

¬¬ϕ − ϕ

ϕ∧ψ− ψ

¬(ϕ∧ψ), ϕ− ¬ψ

ϕ∨ψ, ¬ϕ− ψ

¬(ϕ∨ψ)− ¬ϕ

ϕ→ψ, ϕ− ψ

¬(ϕ→ψ)− ϕ

ϕ↔ψ, ϕ− ψ

ϕ↔ψ, ¬ϕ− ¬ψ

¬(ϕ↔ψ), ϕ→ψ− ψ

i

¬(ϕ↔ψ), ψ→ϕ− ϕ

∀αϕ−ϕ(α/σ)

¬∀αϕ− ¬ϕ(α/σ),

∃αϕ− ϕ(α/σ),

¬∃αϕ−
¬ϕ(α/σ)

ϕ, ¬ϕ− ⊥

lub

ϕ∧ψ− ϕ

lub

¬(ϕ∧ψ), ψ− ¬ϕ

lub

ϕ∨ψ, ¬ψ− ϕ

lub

¬(ϕ∨ψ)− ¬ψ

lub

ϕ→ψ, ¬ψ− ¬ϕ

lub

¬(ϕ→ψ) − ¬ψ

lub

ϕ↔ψ, ψ− ϕ

lub

ϕ↔ψ, ¬ψ− ¬ϕ

lub

¬(ϕ↔ψ), ϕ→ψ− ¬ϕ

lub

¬(ϕ↔ψ), ψ→ϕ− ¬ψ

gdzie

σ musi być nową stałą

gdzie

σ musi być nową stałą

112

Większość reguł jest już znana z modułu 3 i 4, pozostałe to ich proste modyfikacje. Korzystamy

tylko z reguły konstrukcji dowodu niewprost, możemy w dedukcji wprowadzać dodatkowe

założenia, ale jedyna dopuszczalna forma zamykania poddowodu, to również dowód niewprost

(DNW).

Najpierw ograniczymy się do omówienia zasad konstruowania dedukcji w KRZ.

Reguły inferencji dla formuł nie będących równoważnościami dzielą się na dwie grupy: (EPN),

(EK), (ENA), (ENI) oraz (ENK), (EA), (EI). Te z pierwszej grupy mają tylko jedną przesłankę,

zatem można je w dedukcji zastosować bezwarunkowo. Formuły stanowiące przesłankę do

zastosowania tych reguł będziemy nazywać formułami

typu koniunkcyjnego

. Nakładamy na

konstruowane dedukcje warunek, że przy stosowaniu tych reguł, wypisujemy zawsze oba

możliwe wnioski.

Druga grupa zawiera reguły dwuprzesłankowe, z których pierwszą przesłankę nazywamy

zasadniczą.

Przesłanki zasadnicze

do zastosowania tych reguł, będziemy dalej nazywać

formułami

typu alternatywnego

. W przypadku reguł (MPR) i (MTR) przesłanki zasadnicze to

równoważności, natomiast w regułach (ENR) są to negacje równoważności.

Uznamy, że dowolna formuła złożona użyta jest w dedukcji, jeżeli jest typu koniunkcyjnego

i oba dopuszczalne wnioski znajdują się w dedukcji lub jeśli jest typu alternatywnego i co

najmniej jeden z dopuszczalnych wniosków znajduje się w dedukcji.

W przypadku równoważności uznamy, że jest użyta, jeżeli zarówno wniosek, jak i druga

przesłanka (MPR) lub (MTR) znajduje się w dedukcji (czyli bądź oba argumenty równoważności,

bądź ich negacje).

Negację równoważności uznamy za użytą, jeżeli oba wnioski z pierwszej lub z drugiej pary

reguł (ENR) są w dedukcji. Negacje zmiennych, podobnie jak same zmienne, traktujemy jako

formuły niezłożone.

Łatwo zauważyć, że aby dowolna formuła złożona była w dedukcji użyta, wcale nie musimy

zastosować do niej żadnej reguły – tak będzie w przypadku, gdy wymagane wnioski (wniosek)

znajdą się w dedukcji jako założenia lub wnioski z zastosowania innych reguł do innych formuł.

113

Wszystkie reguły inferencji mają tak zwaną

własność podformuł

, tzn. w wyniku ich

zastosowania w dedukcji pojawiają się tylko podformuły (bądź negacje podformuł) przesłanki

(zasadniczej). Dedukcja, która wykorzystuje tylko takie reguły ma charakter

analityczny

, tzn.

postępuje do przodu poprzez rozbijanie (analizę) formuł złożonych na ich podformuły.

Ponieważ, każda formuła czy rozumowanie jest skończone, zatem proces taki zawsze musi

prowadzić do nasycenia dedukcji, w tym sensie, że kolejne zastosowania reguł, prowadziłyby

jedynie do powielania formuł w dedukcji.

Jedyna możliwość zakłócenia analityczności dedukcji bierze się z możliwości wprowadzania

dodatkowych założeń, dlatego wprowadzimy tutaj też ograniczenie.

Jedyne dopuszczalne dodatkowe założenia to podformuły (bądź ich negacje) formuł

występujących już w dedukcji. Te ograniczenia dają nam gwarancję każdorazowego zakończenia

dedukcji. Zewnętrzną kontrolę będziemy sprawować poprzez sprawdzanie, czy każda formuła

złożona jest już w dedukcji użyta. Dedukcja spełniająca ten warunek jest

dedukcją skończoną

.

W praktyce wygodnie jest w jakiś sposób zaznaczać z boku formuły złożone, które zostały już

użyte.

W przypadku KRK mogą pojawić się pewne komplikacje wynikające z braku rozstrzygalności.

Oczywiście, dalej możliwa jest sytuacja tego typu, że nie otrzymamy dowodu, ale wykonamy

wszystko, co trzeba, aby moć zbudować skończony model falsyfikujący. Jednak warunki

zakończenia konstrukcji dedukcji wyglądają trochę inaczej, ze względu na to, że wnioski reguł

(EO), (ENO), (EM) i (ENM) nie są podformułami, lecz podstawieniami podformuł przesłanek.

Reguły dla kwantyfikatorów wprowadzają stałe nazwowe na miejsce zmiennych, co powoduje,

że każdy predykat może wystąpić z potencjalnie nieskończoną ilością różnych argumentów.

Generalnie, nie możemy z góry ustalić liczby stałych, które trzeba będzie wprowadzić do

dedukcji przez zastosowanie tych reguł. W związku z tym zachowamy dotychczasowe ustalenia

dla formuł zdaniowych (tzn. kiedy będą w dedukcji użyte) i nałożymy odpowiednie warunki na

zastosowanie reguł kwantyfikatorowych:

1. Do każdej formuły egzystencjalnej (czyli poprzedzonej kwantyfikatorem małym lub zanegowanym

ogólnym) stosujemy regułę jeden raz.

2. Do każdej formuły uniwersalnej (czyli poprzedzonej kwantyfikatorem ogólnym lub zanegowanym

małym) stosujemy regułę na każdą stałą nazwową, która pojawiła się w dedukcji.

114

Wynika z tego, że co do praktycznej sugestii zaznaczania formuł użytych, może być ona

z powodzeniem dalej stosowana do formuł egzystencjalnych, ale nie powinna być używana do

formuł uniwersalnych.

115

Pokażemy teraz działanie systemu w roli procedury sprawdzającej, ilustrując to przykładami.

Nie dążymy tutaj do ściśle deterministycznego opisu i w tym sensie nasza procedura nie jest

automatyczna. Jednak można ją łatwo zmodyfikować tak, że może być realizowana mechanicznie

przez odpowiedni program. Osobno przeanalizujemy jej działanie w KRZ i w KRK.

Zaczynamy oczywiście od wypisania wszystkich założeń – przesłanek i negacji wniosku bądź

po prostu negacji sprawdzanej formuły. Następnie stosujemy systematycznie reguły –

wskazane jest, aby dla ułatwienia zaznaczać sobie każdą formułę złożoną, która jest użyta

w dedukcji. W wyniku tych działań możliwe są trzy sytuacje:

a) W dedukcji pojawia się

⊥, co daje nam dowód.

b) Dedukcja jest skończona. Poniżej podajemy przykład:

1.

p→q∨r, p∧s≠ s∧(¬q→t)

1. p

→q∨r

2. p

∧s

3.

¬(s∧(¬q→t)) ZN

4.

p

(2

EK)

5.

s

(2

EK)

6. q

∨r

(1,4

EI)

7.

¬(¬q→t)

(3,5

ENK)

8.

¬q

(7

ENI)

9.

¬t

(7

ENI)

10.

r

(6,8

EA)

c) Dedukcja nie jest skończona, gdyż jakaś formuła typu alternatywnego (bądź równoważność

lub jej negacja) nie jest użyta, a nie dysponujemy drugą przesłanką umożliwiającą

zastosowanie odpowiedniej reguły. W takim przypadku wprowadzamy do dedukcji jako

dodatkowe założenie brakującą przesłankę i kontynuujemy procedurę.

Znów możliwe są te same trzy przypadki. Jeżeli zachodzi b), to oczywiście kończymy. Jeżeli a),

to tym razem wprawdzie nie mamy dowodu (

⊥ jest w poddowodzie), ale wracamy do dowodu

116

głównego, mając w nim dodatkowo negację naszego założenia dodatkowego – a to i tak

w rezultacie pozwala zaznaczyć formułę, która była źródłem kłopotu, jako użytą. Jeżeli znów

zachodzi c), to ponownie wprowadzamy nowe założenie dodatkowe.

W każdym przypadku nasza konstrukcja musi się zakończyć bądź dowodem, bądź dedukcją

skończoną, gdyż każdorazowe wprowadzenie dodatkowego założenia powoduje zmniejszenie

ilości formuł nieużytych dotąd w dedukcji. Uwaga! Jeżeli zaznaczamy jako użyte formuły

złożone należące do dedukcji nadrzędnej, ale te, które wykorzystaliśmy w poddowodzie, to

musimy pamiętać, że po wyjściu z takiego poddowodu należy na ogół skasować takie

zaznaczenie. Przeanalizujmy poniższy przykład:

2.

p∨q→r∨s≠ (p→r)∧(q→s)

1. p

∨q→r∨s

2.

¬((p→r)∧(q→s)) ZN

2.1. p

→r ZD

2.2.

¬(q→s)

(2, 2.1 ENK)

2.3.

q

(2.2

ENI)

2.4.

¬s

(2.2

ENI)

2.4.1. p

∨q ZD

2.4.2. r

∨s

(1, 2.4.1 EI)

2.4.3. r

(2.4, 2.4.2 EA)

W powyższym przykładzie od samego początku nie mamy możliwości zastosowania żadnej

reguły do założeń. Jako założenie dodatkowe wprowadzamy więc przesłankę niezbędną do

zastosowania (ENI) na formule z wiersza 2. Po dojściu w dedukcji do wiersza 2.4 nadal formuła

z wiersza 1. nie jest użyta (jak również formuła z wiersza 2.1). Wprowadzamy więc kolejne

założenie dodatkowe umożliwiające zastosowanie do niej (EI).

Nowe założenie umożliwia kontynuację dedukcji (przez użycie formuły z wiersza 1.) i choć

samo jest formułą złożoną, to jest od razu formułą użytą w dedukcji, gdyż wyżej, w wierszu 2.3

mamy formułę “q”. Po uzyskaniu w wierszu 2.4.3 formuły “r” użyta jest zarówno formuła

z wiersza 2.4.2, jak i przy okazji jedyna dotąd nie użyta formuła z wiersza 2.1. W ten sposób

dedukcja jest skończona.

W jaki sposób wykorzystujemy dedukcję skończoną do sfalsyfikowania analizowanego

przykładu? Tworzymy wartościowanie w oparciu o zbiór zmiennych obecny w dedukcji: jeżeli

zmienna występuje niezanegowana, to przypisujemy jej 1, jeżeli jest zanegowana, to – 0.

117

I tak, wartościowanie falsyfikujące dla przykładu

1.

wygląda następująco: V(p)=V(s)=V(r)=1,

V(q)=V(t)=0. W przykładzie

2.

w dedukcji nie pojawiła się ani zmienna “p”, ani jej negacja,

oznacza to, że możemy jej przypisać dowolną wartość, natomiast dla pozostałych zmiennych

wartość jest zdeterminowana: V(q)=V(r)=1 i V(s)=0. Czytelnik powinien samodzielnie przekonać

się, że każde z zaproponowanych wartościowań istotnie daje nam interpretację falsyfikującą dla

obu schematów rozumowań.

3. ∀x(Ax∨Bx)≠ ∀xAx∨∀xBx

1.

∀x(Ax∨Bx)

2.

¬(∀xAx∨∀xBx) ZN

3.

¬∀xAx

(2

ENA)

4.

¬∀xBx

(2

ENA)

5.

¬Aa (3

ENO)

6.

¬Bb (4

ENO)

7. Aa

∨Ba

(1

EO)

8.

Ba

(5,

7

EA)

9. Ab

∨Bb

(1

EO)

10.

Ab

(6,

9

EA)

Mamy tutaj przykład dedukcji skończonej, gdyż nie ma potrzeby wprowadzać kolejnych stałych

nazwowych. W oparciu o tę dedukcję można skonstruować skończony model falsyfikujący,

którego dziedzina zawiera dwa obiekty o nazwie “a” i “b” takie, że V(A)={V(a)} i V(B)={V(b)}.

4.

∀x∃yRxy≠ ∃y∀xRxy

1.

∀x∃yRxy

2.

¬∃y∀xRxy

ZN

3.

∃yRay (1

EO)

4. Rab

(3

EM)

5.

¬∀xRxb

(2

ENM)

6.

¬Rcb (5

ENO)

7.

∃yRcy (1

EO)

8. Rcd

(7

EM)

9.

¬∀xRxd

(2

ENM)

10.

¬Red (9

ENO)

118

Powyższy przykład pokazuje, że przestrzeganie warunków nałożonych przez nas na

zastosowanie reguł kwantyfikatorowych może prowadzić do dedukcji nieskończonej. W wierszu

10. pojawiła się przecież nowa stała, więc powinniśmy ponownie zastosować (EO) do formuły

z wiersza 1., podstawiając “e” za “x”, to znów zmusi nas do zastosowania (EM) i wprowadzenia

nowej stałej itd.

Przerwaliśmy konstrukcję dedukcji, gdyż zaobserwowaliśmy, że popadła ona w pętlę (stałą

sekwencję kroków). Przykład ten jednak pokazuje tylko pewne wady naszej procedury, a nie

brak rozstrzygalności KRK.

Otóż rozumowanie

4.

łatwo sfalsyfikować modelem skończonym, nawet o dziedzinie

dwuelementowej, jak w przykładzie poprzednim. Niech V(R)={<V(a),V(a)>, <V(b), V(b)>}, wtedy

każdy obiekt jest w relacji “R” do jakiegoś obiektu (bo “Raa” i “Rbb” są w tym modelu

spełnione), ale nie istnieje taki obiekt, który byłby w relacji “R” do wszystkich. Brak

rozstrzygalności KRK można pokazać jednak na przykładach, których nie sposób sfalsyfikować

w żadnym skończonym modelu.

5.

∀xyz(Rxy∧Ryz→Rxz), ∀x∃yRxy≠ ∃xRxx

Próba zbudowania dowodu dla tego rozumowania, też doprowadzi do niekończącej się

dedukcji. Co więcej, nie tak łatwo będzie zauważyć, że popadliśmy w pętlę, w której ciągle

powtarzamy pewne sekwencje reguł, tylko że z nowymi stałymi. Aby wykazać niepoprawność

powyższego schematu, możemy jednak poszukać w bardziej twórczy sposób modelu

falsyfikującego.

Niech dziedziną naszego modelu będzie zbiór wszystkich liczb naturalnych, a V(R) = ”<”, czyli

niech “R” denotuje relację _jest większa od_. Obie przesłanki są przy takiej interpretacji

prawdziwe, ale wniosek jest fałszywy. Przykład ten (a do pewnego stopnia również poprzedni)

pokazuje, że czasem łatwiej znaleźć model falsyfikujący nie poprzez analizę zbioru formuł

w dedukcji, ale poprzez zastanowienie się nad ich możliwą treścią.