FUNKCJE CIA

¸ G LE - LISTA ZADA ´

N NR 9

1. Zbada´c ci¸ag lo´s´c funkcji:

f

(x) =







x

+ 1

dla

x

≥ 2

x

2

− 3x + 5 dla 0 < x < 2

5 − x

dla

x

≤ 0

; f (x) =







2

dla x ∈ {−2, 0, 2}

4 − x

2

dla x ∈ (−2, 0) ∪ (0, 2)

4

dla x ∈ (∞, −2) ∪ (2, ∞)

;

f

(x) =

(

x

2

−1

x

−1

dla x 6= 1

2

dla x = 1

; f (x) =



|x|

x

dla x 6= 0

0

dla x = 0

;

f

(x) =

(

x

2

+x+1

x

+1

dla x 6= −1

2

dla x = −1

; f (x) =



sin 5x

x

dla x 6= 0

5

dla x = 0

;

f

(x) =

(

2

1

x

−1

2

1
x

+1

dla x 6= 0

0

dla x = 0

; f (x) =



arctan

1
x

dla x 6= 0

1

dla x = 0

;

f

(x) =



sin

1
x

dla x 6= 0

0

dla x = 0

; f (x) =



(x + 2)

2

dla x < 0

2

−x

+ 3

dla x ≥ 0

;

f

(x) =



1 − x

dla x < 1

√

x

− 1 dla x ≥ 1

; f (x) =







2

dla x ∈ {−2, 0, 2}

4 − x

2

dla

0 < |x| < 2

4

dla

|x| > 2

;

f

(x) =







1

4x

2

dla

x <

−1

2

x

−1

dla −1 ≤ x ≤ 1

2 − x dla

x >

1

; f (x) =







x

cos

1

x

dla x < 0

0

dla x = 0

√

x

sin

1

√

x

dla x > 0

;

f

(x) =

(

√

1−cos 2x

x

dla x 6= 0

2

dla x = 0

; f (x) =



1

dla x = kπ;

k

∈ Z

x

sin x

dla

x

6= kπk ∈ Z

;

f

(x) =

(

e

1

x

+2

e

1

x

+1

dla x 6= 0

e

dla x = 0

; f (x) =



|x|+x

x

2

dla x 6= 0

0

dla x = 0

;

f

(x) =











(1 − x)

1

x

dla x < 0

e

dla x = 0

(1 + x)

1

x

dla x > 0

; f (x) =



x

arctan

1
x

dla x 6= 0

π

2

dla x = 0

;

f

(x) =



1 − cos

1

x

dla x 6= 0

0

dla x = 0

; f (x) =

(

x

3

−x

2

|x−1|

dla x 6= 1

1

dla x = 1

;

f

(x) =



x

sin

1
x

− cos

1
x

dla x 6= 0

0

dla x = 0

;

2. Dla jakich warto´sci parametr´

ow a, b funkcja f (x) jest ci¸ag la w ca lej

dziedzinie:

f

(x) =



(x + a)

2

dla x ≤ 0

−x + 1 dla x > 0

; f (x) =



ln x

dla x ≥ 1

2(x − a) dla x < 1

;

1

f

(x) =



e

x

+ a

dla x > 0

−x

2

− x dla x ≤ 0

; f (x) =



5

1−x

dla x ≤ 0

a

dla x > 0

;

f

(x) =







ax

+ 1

dla

x <

−2

3 − x

dla −2 ≤ x < 3

x

2

+ x + b dla

3 ≤ x

; f (x) =



sin x

dla |x| ≥

π

2

ax

+ b dla |x| <

π

2

;

f

(x) =







2

dla

x

≤ 0

a

x

+ b dla 0 < x < 1

3

dla

x

≥ 1

; f (x) =



a

sin x + b cos x dla |x| >

π

4

1 + tan(x)

dla |x| ≤

π

4

;

f

(x) =



a

sin x + b cos x dla |x| >

π

4

1 + tan(x)

dla |x| ≤

π

4

; f (x) =



arctan

a

x

dla x 6= 0

b

dla x = 0

;

3. Dobra´c parametr a tak, aby zadana funkcja by la ci¸ag la we wskazanym

punkcie x

0

:

f

(x) =

(

x

2

+x−2

x

−1

dla x < 0

a

dla x ≥ 0

x

0

= 0 ;

f

(x) =



sin x

2x

dla x < 0

x

+ a dla x ≥ 0

x

0

= 0 ;

f

(x) =

(

x

3

−27

x

−3

dla x 6= 3

a

dla x = 3

x

0

= 3 ;

f

(x) =



sin 2x
sin 5x

dla x 6= 0

a

dla x = 0

x

0

= 0 ;

f

(x) =

(

arcsin (x+2)

x

2

+2x

dla x 6= −2

a

dla x = −2

x

0

= −2;

f

(x) =



x

−

π

2

tan(x) dla x 6=

π

2

a

dla x =

π

2

x

0

=

π

2

;

f

(x) =



bx

dla x < π

sin x

ax

dla x ≥ π

x

0

= π ;

4. Wyznaczy´c punkty nieci¸ag lo´sci oraz naszkicowa´c wykres funkcji f (x);

f

(x) =



x

+ 2

dla x ≥ 0

2x + 1 dla x < 0

; f (x) =



1 + x

2

dla x ≥ 0

1 − x

2

dla x < 0

;

f

(x) =



1
x

dla x ≥ 1

x

dla x < 1

; f (x) =



−

x

2

2

dla x ≤ 2

x

dla x > 2

;

f

(x) =

(

x

2

|x|

dla x 6= 0

0

dla x = 0

; f (x) =



x

+|x|

2x

dla x 6= 0

0

dla x = 0

;

f

(x) =







1 − x

2

dla

x <

0

(x − 1)

2

dla 0 ≤ x ≤ 2

4 − x

dla

x >

2

; f (x) =







2

x

dla

x

≤ 0

−x + 1 dla 0 < x ≤ 1

log x

dla

x >

1

;

2

f

(x) =



arctan x dla x ≥ 0

x

3

dla x < 0

; f (x) =



arctan x dla x ≥ 0

e

x

dla x < 0

;

f

(x) =



ln x dla x ≥ 1

2x

dla x < 1

;

5. Uzasadni´c, ˙ze podane r´

ownania maj¸a jedno rozwi¸azanie na wskazanych

przedzia lach:

a) x

4

= 4

x

,

(−∞, 0],

b) ln(x) = 2 − x, [1, 2],
c) x

4

+ x − 1 = 0, (0, ∞).

6. Korzystaj¸ac z tw. Darboux uzasadni´c, ˙ze:

a) ka˙zdy wielomian stopnia nieparzystego ma co najmniej jeden pier-
wiastek rzeczywisty,

b) na obwodnicy miejskiej, kt´

ora na mapie ma kszta lt okr¸egu, istniej¸a

dwa przeciwleg le punkty le˙z¸ace na tej samej wysoko´sci.

3