AM I ROK FIZYKI I ASTRONOMII

LISTA 9

1. Znajdź funkcję pierwotną F dla funkcji

a) f (x) = |x|

b) f (x) =

x

|x|

,

x 6= 0

c) f (x) = max(1, x

2

)

2. Znajdź całki nieoznaczone

a)

Z

x

2

1 + x

2

dx

b)

Z

tg

2

x dx

c)

Z

3

x

+ 2

x

6

x

dx

d)

Z

cos 2x

cos x − sin x

dx

e)

Z

1 + cos

2

x

1 + cos 2x

dx

3. Udowodnij następujące wzory

a)

Z

f

0

(x)

f (x)

dx = ln |f (x)| + C

b)

Z

f

0

(x)

q

f (x)

dx = 2

q

f (x) + C

c)

Z

f

0

(x)f (x)dx =

1
2

(f (x))

2

+ C

Uwaga: w przykładzie a) w celu uproszczenia zapisu przyjmujemy, że stałe
na zbiorach A i B, gdzie A = {x : f (x) > 0} i B = {x : f (x) < 0}, są
jednakowe.
4. Stosując wzory z zad. 4 oblicz całki nieoznaczone

a)

Z

1 + ln x

x ln x

dx

b)

Z

arc sin x

√

1 − x

2

dx

c)

Z

dx

sin 2x

5. Stosując metodę całkowania przez podstawienie oblicz całki nieoznaczone

a)

Z

dx

x ln x

b)

Z

cos

2

x sin x dx

c)

Z

dx

1 +

√

x

6. Stosując metodę całkowania przez części oblicz całki nieoznaczone

a)

Z

ln x dx

b)

Z

x arc tg x dx

c)

Z

x

2

sin x dx

1

7. Dana jest funkcja nieparzysta f : [−a, a] → R. Udowodnij, że jeżeli f jest
całkowalna, to

a

R

−a

f (x)dx = 0.

8. Dana jest funkcja parzysta f : [−a, a] → R. Udowodnij, że jeżeli f jest
całkowalna, to

a

R

−a

f (x)dx = 2

a

R

0

f (x)dx.

9. Wykaż, że dla każdego n ∈ N zachodzi

π/2

Z

0

sin

n

x dx =

π/2

Z

0

cos

n

x dx

10. Oblicz całki oznaczone

a)

π/2

Z

0

cos

2

x dx

b)

π/2

Z

0

cos

3

x dx

11. Niech funkcja f będzie ciągła w przedziale [a, b]. Wykaż, że

|

b

Z

a

f (x)dx| ¬

b

Z

a

|f (x)|dx

12. Wykaż, że dla dowolnych a i b, a < b, zachodzi

lim

n→∞

b

Z

a

sin(nx)dx = 0

13.

∗

Oblicz granicę

lim

x→0

+

x

2

R

0

sin

√

t dt

x

3

14.

∗

Oblicz

lim

n→∞

n

q

(n + 1)(n + 2)...(n + n)

n

Robert Olkiewicz

2