ALGEBRA – ZAJĘCIA 3
Wyznacznikiem macierzy kwadratowej A nazywamy liczbę :

gdzie k

oznacza liczbę inwersji w permutacji

ciągu liczb naturalnych 1, 2, …, n a sumowanie przebiega

po wszystkich permutacjach.
Macierz, której wyznacznik jest równy zero, nazywamy macierzą osobliwą natomiast jeżeli wyznacznik jest
różny od zera, to wtedy mówimy o macierzy nieosobliwej.

Minor

ij

M

wyznacznik macierzy powstałej z macierzy kwadratowej A poprzez wykreślenie i-tego wiersza i

j-tej kolumny z macierzy A.

Dopełnieniem algebraicznym

ij

D

nazywamy iloczyn

ij

j

i

M

)

1

(

UWAGA: Wyznacznik liczymy tylko dla macierzy kwadratowych.
TW. LAPLACE’A
Wyznacznik jest równy sumie wszystkich iloczynów każdego elementu dowolnego wiersza (kolumny) i
odpowiadającego temu elementowi dopełnienia algebraicznego, tzn.

in

in

i

i

i

i

D

a

D

a

D

a

A

...

det

2

2

1

1

,

n

i

1

WŁASNOŚCI WYZNACZNIKÓW

1) Jeżeli jakikolwiek wiersz (kolumna) wyznacznika składa się z samych zer, to wyznacznik jest równy

zero.

2) Wyznacznik macierzy równy jest wyznacznikowi macierzy transponowanej.
3) Przestawienie dwóch wierszy (kolumn) w macierzy powoduje zmianę znaku jej wyznacznika.
4) Wyznacznik macierzy o dwóch jednakowych (proporcjonalnych) wierszach (kolumnach) jest równy

zeru.

5) Wartośd wyznacznika nie ulegnie zmianie, jeżeli do dowolnego wiersza (kolumny) dodamy

odpowiadające elementy innego wiersza (kolumny) pomnożone przez dowolną liczbę.

Przekształceniami elementarnymi macierzy nazywamy następujące działania:

a) pomnożenie wszystkich elementów dowolnego wiersza (kolumny) przez liczbę różną od zera,
b) zamianę miejscami dwóch dowolnych wierszy (kolumn) macierzy,
c) dodanie do wszystkich elementów dowolnego wiersza (kolumny) odpowiednich elementów innego

wiersza (kolumny) pomnożonych przez dowolną liczbę różną od zera.

Postad kanoniczna lub bazowa macierzy:

0

0

R

I

k

Macierz kwadratową B stopnia n spełniającą warunek AB = BA =I, gdzie I jest macierzą
jednostkową, nazywamy macierzą odwrotną do macierzy kwadratowej A i oznaczamy symbolem

Metody obliczania macierzy odwrotnej:

1) z definicji,
2) za pomocą wyznaczników,
3) za pomocą przekształceo elementarnych (działamy tylko na wierszach)