Elektrodynamika I. Lista zadań nr 3.

xvii) W wierzchołkach kwadratu są umieszczone ładunki punktowe w następującej kolejności (okrążając
kwadrat zgodnie ze wskazówkami zegara):
a) +q, -q, +q, -q,
b) +q, +q, -q, -q.
Znajdź elektryczny moment dipolowy układu ładunków w każdym z dwóch przypadków.

xviii) Mamy jednorodnie spolaryzowaną kulę (wektor polaryzacji jest taki sam w każdym punkcie kuli).
Oblicz gęstość objętościową oraz gęstość powierzchniową ładunku polaryzacyjnego (chodzi o wprowadzone
na wykładzie efektywne ładunki, znajomość których umożliwia obliczenie potencjału wytwarzanego przez
dielektryk).

xix) Udowodnij, że układ dwóch ładunków punktowych: ładunek q umieszczony w punkcie (0, 0, a) oraz
ładunek q

0

= −

R

a

umieszczony w punkcie (0, 0,

R

2

a

) (R < a) wytwarzają potencjał którego wartość jest równa

zeru na powierzchni sfery o promieniu R i środku w punkcie (0, 0, 0).

xx) Korzystając z wyniku zadania (xix) oblicz pole elektryczne wytwarzane przez układ: ładunek punk-
towy umieszczony w pobliżu uziemionej przewodzącej sfery. Oblicz gęstość powierzchniową ładunku na
sferze i przez bezpośrednie całkowanie oblicz całkowity ładunek zgromadzony na sferze.

xxi) Pojemność kondensatora płaskiego definiujemy jako C ≡

Q
V

, gdzie Q jest ładunkiem zgromadzonym

na okładkach, zaś V różnicą potencjałów. Oblicz pojemność płaskiego kondensatora znając jego wymiary
geometryczne. Jak zmieni się pojemność kondensatora w dwóch sytuacjach:
a) kondensator został wypełniony dwoma równoległymi jednakowej grubości warstwami dielektryka o względ-
nych przenikalnościach ²

1

, ²

2

.

b) kondensator został wypełniony do połowy powierzchni okładek (rys. 4.25 Griffiths) dielektrykiem o
względnej przenikalności ². (15)

xxii) W pobliżu przewodzącej uziemionej sfery umieszczamy ładunek punktowy q. Czy na ładunek dzi-
ała jakaś siła? Jeśli tak, to oblicz jej wartość.

xxiii) Rozwiąż zagadnienie ładunku punktowego i nieuziemionej przewodzącej sfery.
Wskazówka: w stosunku do sytuacji z uziemioną sferą, trzeba w środku sfery umieścić pewien fikcyjny ładunek
- znajdź jego wielkość? (U10)

xxiv) Oblicz, na trzy sposoby, energię jednorodnie naładowanej kuli o promieniu R i całkowitym ładunku
Q. Sposób 1: skorzystaj z wyrażenia na energię przez pole elektryczne. Sposób 2: dodawaj energię
wydatkowaną podczas nakładania na kulę branych z nieskończoności kolejnych nieskończenie cienkich naład-
owanych warstw. Sposób 3: skorzystaj z wyrażenia zawierającego gęstość ładunku i potencjał. Pamietaj,
żeby uwzględnić pole elektryczne wewnątrz kuli! (7)

Uwaga: Zadania (xvii-xviii) mają charakter kontrolny, są przeznaczone do samodzielnego rozwiązania w
domu i nie będą dyskutowane na zajęciach.

Jan Sobczyk

24 października 2005 r.

1