1
Wykład 5
Niektóre rozkłady zmiennej losowej ciągłej
Poniżej poznamy tylko niektóre, wybrane rozkłady zmiennej losowej ciągłej. Dodatkowo,
kilka rozkładów odgrywających ważną rolę przy wyznaczaniu przedziałów ufności,
weryfikacji hipotez statystycznych takich jak na przykład rozkład t-Studenta, rozkład chi-
kwadrat, rozkład Fishera-Snedecora poznamy przy omawianiu w/w zagadnień lub na
ćwiczeniach.
Rozkład jednostajny
Mówimy, że zmienna losowa X podlega rozkładowi jednostajnemu (równomiernemu,
prostokątnemu, jednakowych prawdopodobieństw), jeżeli jej gęstość prawdopodobieństwa
określona jest wzorem:
>
≤
≤
−
<
=
b
x
dla
b
x
a
dla
a
b
a
x
dla
x
f
0
1
0
)
(
Dystrybanta F zmiennej losowej X rozkładu jednostajnego jest równa:
>
≤
<
−
−
≤
=
b
x
dla
b
x
a
dla
a
b
a
x
a
x
dla
x
F
1
0
)
(
f(x)
a
b
1/(b-a)
x
2
Wartość przeciętna E(X) wynosi:
2
)
(
b
a
dx
a
b
x
x
E
b
a
+
=
−
=
∫
Wariancję V(X) dla tego rozkładu można wyliczyć następująco:
3
)
(
2
2
2
2
a
ab
b
dx
a
b
x
x
E
b
a
+
+
=
−
=
∫
12
)
(
4
)
(
3
)
(
2
2
2
2
a
b
b
a
a
ab
b
x
V
−
=
+
−
+
+
==
Rozkład jednostajny mimo prostoty znajduje wiele zastosowań, szczególnie, gdy jest
składnikiem w bardziej złożonych rozkładach prawdopodobieństwa. Stosuje się go m.in. do
symulacji tzw. szumu białego.
Rozkład wykładniczy
Mówimy, że zmienna losowa X podlega rozkładowi wykładniczemu o parametrze λ > 0,
jeżeli jej gęstość prawdopodobieństwa określona jest wzorem:
x
F(x)
3
≥
≥
<
=
−
0
,
0
0
0
)
(
λ
λ
λ
gdzie
x
dla
e
x
dla
x
f
x
Rozkłady wykładnicze występują m.in. w zagadnieniach czasu ruchu teleinformatycznego,
problemach czasu obsługi klientów, problemach czasu ekspolatacji maszyn, problemach
związanymi z awaryjnością, katastrofami itp.
Dystrybuanta rozkładu wykładniczego dana jest wzorem:
<
≥
−
=
−
0
0
0
1
)
(
x
dla
x
dla
e
x
F
x
λ
x
f(x)
x
F(x)
4
Łatwo sprawdzić, że dla rozkładu wykładniczego:
λ
1
)
(
=
x
E
oraz
2
1
)
(
λ
=
x
V
Rozkład Weibulla
Mówimy, że zmienna losowa X podlega rozkładowi Weibulla o parametrach p>0, λ > 0,
jeżeli jej gęstość prawdopodobieństwa określona jest wzorem:
≤
>
−
=
−
0
0
0
)
exp(
)
(
1
x
dla
x
dla
x
x
p
x
f
p
p
λ
λ
5
Przykład zastosowań rozkładu Weibulla: czas pracy różnych elementów, awarie itp. Rozkład
Weibulla jest podobny, ze względu na obszar zastosowań do rozkładu wykładniczego.
Funkcja gęstości tego rozkładu nie posiada nieciągłości „w zerze” i w związku z tym lepiej
opisuje on niektóre zjawiska niż rozkład wykładniczy.
Podstawowe parametry rozkładu Weibulla:
+
Γ
−
+
Γ
=
+
Γ
=
)
1
1
(
1
2
(
)
(
),
1
1
(
2
/
2
/
1
p
p
X
D
p
EX
p
p
λ
λ
Rozkład Maxwella
Funkcja gęstości.
≤
>
−
=
0
;
0
0
;
)
exp(
4
)
(
2
2
2
/
3
x
x
x
x
x
f
λ
λ
π
6
Gęstość rozładu Maxwella znany jest dobrze w fizyce, opisuje np. rozkład prędkości
cząsteczek gazu.
Rozkład Laplace’a (dwustronny wykładniczy)
R
x
x
f
∈
>
−
−
=
µ
λ
λ
µ
λ
,
0
,
exp(
2
1
)
(
λ
π
π
π
λ
2
8
3
,
2
2
−
=
=
X
D
EX
x
f(x)
7
Rozkład Cauchy’ego
(brak momentów w szczególności EX, D
2
X)
Rozkład Releigha
2
2
2
,
λ
µ
=
=
=
=
X
D
D
Me
EX
0
,
)
(
1
)
(
2
2
>
−
+
=
λ
µ
λ
λ
π
x
x
f
µ
=
=
D
Me
≤
>
−
=
0
,
0
0
),
exp(
2
)
(
2
x
x
x
x
x
f
λ
λ
x
f(x)
x
f(x)
8
Liczne zastosowania w fizyce: na przykład taki rozkład ma amplituda bocznego kołysania się
okrętu.
Rozkłady wykładniczy, Weibulla, Maxwella i Rayleigha są szczególnymi przypadkami
uogólnionego rozkładu gamma (trójparametrowego rozkładu gamma).
Funkcja gamma Eulera:
λ
π
λ
π
4
4
,
2
1
2
−
=
⋅
=
X
D
EX
∫
∞
−
−
>
=
Γ
0
1
0
,
)
(
p
dx
e
x
p
x
p
x
f(x)
x
F(x)
9
Własności funkcji gamma Eulera:
1.
2.
Trójparametrowy (uogólniony) rozkład gamma.
1.
Jeżeli p=1, α=1 to otrzymujemy rozkład wykładniczy
2.
Jeżeli p=2, α=2 to otrzymujemy rozkład Rayleigha
3.
Jeżeli p=3, α=2 to otrzymujemy rozkład Maxwella
4.
Jeżeli p=α to otrzymujemy rozkład Weibulla
5.
α=1 to otrzymujemy rozkład gamma (dwuparametrowy)
Dwuparametrowy rozkład gamma
λ – parametr skali, p – parametr kształtu
)
1
(
)
1
(
)
(
−
Γ
−
=
Γ
p
p
p
1
!
0
)
1
(
(
,
,
)!
1
(
)
(
=
=
Γ
∈
=
−
=
Γ
N
n
p
n
n
≤
>
−
⋅
Γ
=
−
0
,
0
0
),
exp(
)
(
)
(
1
/
x
x
x
x
p
x
f
p
p
λ
λ
α
α
α
α
≤
>
−
⋅
Γ
=
−
0
,
0
0
),
exp(
)
(
)
(
1
/
x
x
x
x
p
x
f
p
p
λ
λ
α
α
α
α
10
Jeżeli p>1 to rozkład jest jednomodalny i D=λ(p-1).
Szczególne przypadki rozkładu gamma:
1. Jeżeli p=n/2, λ=2 to otrzymujemy rozkład χ
2
z n stopnami swobody.
2. Jeżeli p=n, n
∈
N to otrzymujemy rozkład Erlanga (z parametrami n oraz λ).
3. Jeżeli p=1 to otrzymujemy rozkład wykładniczy (z parametrami EX=λ,
D
2
X= λ
2
).
p
X
D
p
EX
⋅
=
⋅
=
2
2
,
λ
λ
≤
>
−
⋅
Γ
=
−
0
,
0
0
),
2
1
exp(
2
)
2
1
(
1
)
(
1
2
2
/
x
x
x
x
n
x
f
n
n
≤
>
−
⋅
−
=
−
0
,
0
0
),
exp(
)!
1
(
1
)
(
1
x
x
x
x
n
x
f
n
n
λ
λ
≤
>
−
=
0
,
0
0
),
exp(
1
)
(
x
x
x
x
f
λ
λ
λ=3,p=2
x
f(x)
11
Rozkład beta
Własności funkcji beta.
Definicja:
Można pokazać, że:
Mówimy, że zmienna losowa X ma rozkład beta I rodzaju o parametrach p,q>0 jeżeli jej
gęstość dana jest wzorem:
∫
>
−
=
−
−
1
0
1
1
0
,
,
)
1
(
)
,
(
q
p
dx
x
x
q
p
B
q
p
)
(
)
(
)
(
)
,
(
q
p
q
p
q
p
B
+
Γ
Γ
⋅
Γ
=
<
<
−
=
−
−
x
pozostaych
dla
x
x
x
q
p
B
x
f
q
p
,
0
1
0
,
)
1
(
)
,
(
1
)
(
1
1
x
f(x)
x
F(x)
12
Jeżeli zmienna losowa X jest ograniczona to jej rozkład jest wyznaczony jednoznacznie przez
jej momenty
α
r
, r
∈
N .
Przykład: Zmienna X ma rozkład beta o parametrach p=q=2
(fragment paraboli ramionami do dołu, ograniczony osią OX)
Rozkład normalny (Gaussa, Gaussa-Laplace’a, de Moivre’a-Laplace’a).
Mówimy, że zmienna losowa X ma rozkład normalny, jeżeli jej funkcja gęstości dana jest
równaniem:
W skrócie rozkład normalny oznaczamy: X~N(m.,
σ
)
)
1
(
)
(
,
2
2
+
+
+
=
+
=
q
p
q
p
pq
X
D
q
p
p
EX
<
<
−
=
x
pozostaych
dla
x
x
x
x
f
,
0
1
0
),
1
(
6
)
(
R
m
e
x
f
m
x
∈
>
=
−
−
,
0
,
2
1
)
(
2
2
2
)
(
σ
σ
π
σ
x
f(x)
m=0,
σ
=2
13
f(x)
f(x)
f(x)
x
x
x
x
m=2,
σ
=2
σ
=0.5
σ
=2
14
f(x)
x
σ
=4
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
Lab 03 podstawowe rozkłady ciągłe
3 Podstawowe rozkłady ciągłe
LAB 4 podstawowe rozkłady ciągłe
LAB 4 podstawowe rozkłady ciągłe
R Pr MAP1151 wyklad5 rozklady ciagle
Rozklady alarmowe
02b Rozkład normalnyid 4039 ppt
WM1 08 Rozkład naprężeń
w 5 ciagle a dyskretne
BADANIE UKLADU REGULACJI CIAGLE Nieznany (2)
Zginanie prętów obciążenie ciągłe
Rozkład autobusów PKS, informatyka, klasa 2, edytor tekstu, ćwiczenia z podręcznika
02 rozkład ok, Technologia chemiczna pw, 1rok, chemia kolosy egz
cz4Tydzie2, Szkoła, Rozkład, scenariusze, karty pracy, Kolorowa klasa, Operon KL 1
cz4Tydzie1, Szkoła, Rozkład, scenariusze, karty pracy, Kolorowa klasa, Operon KL 1
Rozkład materiału INFORMATYKA klasa 0
ILOCZYN PRZEZ ROZKŁAD NA DZIESIĄTKI, materiały szkolne
Amoniak można oznaczyć z krwi i moczu produkt rozkładu białek
więcej podobnych podstron