1
Wykład 5
Niektóre rozkłady zmiennej losowej ciągłej
PoniŜej poznamy tylko niektóre, wybrane rozkłady zmiennej losowej ciągłej. Dodatkowo,
kilka rozkładów odgrywających waŜną rolę przy wyznaczaniu przedziałów ufności,
weryfikacji hipotez statystycznych takich jak na przykład rozkład t-Studenta, rozkład chi-
kwadrat, rozkład Fishera-Snedecora poznamy przy omawianiu w/w zagadnień lub na
ćwiczeniach.
Rozkład jednostajny
Mówimy, Ŝe zmienna losowa X podlega rozkładowi jednostajnemu (równomiernemu,
prostokątnemu, jednakowych prawdopodobieństw), jeŜeli jej gęstość prawdopodobieństwa
określona jest wzorem:
>
≤
≤
−
<
=
b
x
dla
b
x
a
dla
a
b
a
x
dla
x
f
0
1
0
)
(
Dystrybanta F zmiennej losowej X rozkładu jednostajnego jest równa:
>
≤
<
−
−
≤
=
b
x
dla
b
x
a
dla
a
b
a
x
a
x
dla
x
F
1
0
)
(
f(x)
a
b
1/(b-a)
x
2
Wartość przeciętna E(X) wynosi:
2
)
(
b
a
dx
a
b
x
x
E
b
a
+
=
−
=
∫
Wariancję V(X) dla tego rozkładu moŜna wyliczyć następująco:
3
)
(
2
2
2
2
a
ab
b
dx
a
b
x
x
E
b
a
+
+
=
−
=
∫
12
)
(
4
)
(
3
)
(
2
2
2
2
a
b
b
a
a
ab
b
x
V
−
=
+
−
+
+
==
Rozkład jednostajny mimo prostoty znajduje wiele zastosowań, szczególnie, gdy jest
składnikiem w bardziej złoŜonych rozkładach prawdopodobieństwa. Stosuje się go m.in. do
symulacji tzw. szumu białego.
Rozkład wykładniczy
Mówimy, Ŝe zmienna losowa X podlega rozkładowi wykładniczemu o parametrze λ > 0,
jeŜeli jej gęstość prawdopodobieństwa określona jest wzorem:
x
F(x)
3
≥
≥
<
=
−
0
,
0
0
0
)
(
λ
λ
λ
gdzie
x
dla
e
x
dla
x
f
x
Rozkłady wykładnicze występują m.in. w zagadnieniach czasu ruchu teleinformatycznego,
problemach czasu obsługi klientów, problemach czasu ekspolatacji maszyn, problemach
związanymi z awaryjnością, katastrofami itp.
Dystrybuanta rozkładu wykładniczego dana jest wzorem:
<
≥
−
=
−
0
0
0
1
)
(
x
dla
x
dla
e
x
F
x
λ
x
f(x)
x
F(x)
4
Łatwo sprawdzić, Ŝe dla rozkładu wykładniczego:
λ
1
)
(
=
x
E
oraz
2
1
)
(
λ
=
x
V
Rozkład Weibulla
Mówimy, Ŝe zmienna losowa X podlega rozkładowi Weibulla o parametrach p>0, λ > 0,
jeŜeli jej gęstość prawdopodobieństwa określona jest wzorem:
≤
>
−
=
−
0
0
0
)
exp(
)
(
1
x
dla
x
dla
x
x
p
x
f
p
p
λ
λ
5
Przykład zastosowań rozkładu Weibulla: czas pracy róŜnych elementów, awarie itp. Rozkład
Weibulla jest podobny, ze względu na obszar zastosowań do rozkładu wykładniczego.
Funkcja gęstości tego rozkładu nie posiada nieciągłości „w zerze” i w związku z tym lepiej
opisuje on niektóre zjawiska niŜ rozkład wykładniczy.
Podstawowe parametry rozkładu Weibulla:
+
Γ
−
+
Γ
=
+
Γ
=
)
1
1
(
1
2
(
)
(
),
1
1
(
2
/
2
/
1
p
p
X
D
p
EX
p
p
λ
λ
Rozkład Maxwella
Funkcja gęstości.
≤
>
−
=
0
;
0
0
;
)
exp(
4
)
(
2
2
2
/
3
x
x
x
x
x
f
λ
λ
π
6
Gęstość rozładu Maxwella znany jest dobrze w fizyce, opisuje np. rozkład prędkości
cząsteczek gazu.
Rozkład Laplace’a (dwustronny wykładniczy)
R
x
x
f
∈
>
−
−
=
µ
λ
λ
µ
λ
,
0
,
exp(
2
1
)
(
λ
π
π
π
λ
2
8
3
,
2
2
−
=
=
X
D
EX
x
f(x)
7
Rozkład Cauchy’ego
(brak momentów w szczególności EX, D
2
X)
Rozkład Releigha
2
2
2
,
λ
µ
=
=
=
=
X
D
D
Me
EX
0
,
)
(
1
)
(
2
2
>
−
+
=
λ
µ
λ
λ
π
x
x
f
µ
=
=
D
Me
≤
>
−
=
0
,
0
0
),
exp(
2
)
(
2
x
x
x
x
x
f
λ
λ
x
f(x)
x
f(x)
8
Liczne zastosowania w fizyce: na przykład taki rozkład ma amplituda bocznego kołysania się
okrętu.
Rozkłady wykładniczy, Weibulla, Maxwella i Rayleigha są szczególnymi przypadkami
uogólnionego rozkładu gamma (trójparametrowego rozkładu gamma).
Funkcja gamma Eulera:
λ
π
λ
π
4
4
,
2
1
2
−
=
⋅
=
X
D
EX
∫
∞
−
−
>
=
Γ
0
1
0
,
)
(
p
dx
e
x
p
x
p
x
f(x)
x
F(x)
9
Własności funkcji gamma Eulera:
1.
2.
Trójparametrowy (uogólniony) rozkład gamma.
1.
JeŜeli p=1, α=1 to otrzymujemy rozkład wykładniczy
2.
JeŜeli p=2, α=2 to otrzymujemy rozkład Rayleigha
3.
JeŜeli p=3, α=2 to otrzymujemy rozkład Maxwella
4.
JeŜeli p=α to otrzymujemy rozkład Weibulla
5.
α=1 to otrzymujemy rozkład gamma (dwuparametrowy)
Dwuparametrowy rozkład gamma
λ – parametr skali, p – parametr kształtu
)
1
(
)
1
(
)
(
−
Γ
−
=
Γ
p
p
p
1
!
0
)
1
(
(
,
,
)!
1
(
)
(
=
=
Γ
∈
=
−
=
Γ
N
n
p
n
n
≤
>
−
⋅
Γ
=
−
0
,
0
0
),
exp(
)
(
)
(
1
/
x
x
x
x
p
x
f
p
p
λ
λ
α
α
α
α
≤
>
−
⋅
Γ
=
−
0
,
0
0
),
exp(
)
(
)
(
1
/
x
x
x
x
p
x
f
p
p
λ
λ
α
α
α
α
10
JeŜeli p>1 to rozkład jest jednomodalny i D=λ(p-1).
Szczególne przypadki rozkładu gamma:
1. JeŜeli p=n/2, λ=2 to otrzymujemy rozkład χ
2
z n stopnami swobody.
2. JeŜeli p=n, n
∈
N to otrzymujemy rozkład Erlanga (z parametrami n oraz λ).
3. JeŜeli p=1 to otrzymujemy rozkład wykładniczy (z parametrami EX=λ,
D
2
X= λ
2
).
p
X
D
p
EX
⋅
=
⋅
=
2
2
,
λ
λ
≤
>
−
⋅
Γ
=
−
0
,
0
0
),
2
1
exp(
2
)
2
1
(
1
)
(
1
2
2
/
x
x
x
x
n
x
f
n
n
≤
>
−
⋅
−
=
−
0
,
0
0
),
exp(
)!
1
(
1
)
(
1
x
x
x
x
n
x
f
n
n
λ
λ
≤
>
−
=
0
,
0
0
),
exp(
1
)
(
x
x
x
x
f
λ
λ
λ=3,p=2
x
f(x)
11
Rozkład beta
Własności funkcji beta.
Definicja:
MoŜna pokazać, Ŝe:
Mówimy, Ŝe zmienna losowa X ma rozkład beta I rodzaju o parametrach p,q>0 jeŜeli jej
gęstość dana jest wzorem:
∫
>
−
=
−
−
1
0
1
1
0
,
,
)
1
(
)
,
(
q
p
dx
x
x
q
p
B
q
p
)
(
)
(
)
(
)
,
(
q
p
q
p
q
p
B
+
Γ
Γ
⋅
Γ
=
<
<
−
=
−
−
x
pozostaych
dla
x
x
x
q
p
B
x
f
q
p
,
0
1
0
,
)
1
(
)
,
(
1
)
(
1
1
x
f(x)
x
F(x)
12
JeŜeli zmienna losowa X jest ograniczona to jej rozkład jest wyznaczony jednoznacznie przez
jej momenty
α
r
, r
∈
N .
Przykład: Zmienna X ma rozkład beta o parametrach p=q=2
(fragment paraboli ramionami do dołu, ograniczony osią OX)
Rozkład normalny (Gaussa, Gaussa-Laplace’a, de Moivre’a-Laplace’a).
Mówimy, Ŝe zmienna losowa X ma rozkład normalny, jeŜeli jej funkcja gęstości dana jest
równaniem:
W skrócie rozkład normalny oznaczamy: X~N(m.,
σ
)
)
1
(
)
(
,
2
2
+
+
+
=
+
=
q
p
q
p
pq
X
D
q
p
p
EX
<
<
−
=
x
pozostaych
dla
x
x
x
x
f
,
0
1
0
),
1
(
6
)
(
R
m
e
x
f
m
x
∈
>
=
−
−
,
0
,
2
1
)
(
2
2
2
)
(
σ
σ
π
σ
x
f(x)
m=0,
σ
=2
13
f(x)
f(x)
f(x)
x
x
x
x
m=2,
σ
=2
σ
=0.5
σ
=2
14
f(x)
x
σ
=4