Arkusz 02: Statyka. Arkusz przeznaczony do ćwiczeń z przedmiotu „Podstawy wytrzymałości materiałów” na II roku dziennych studiów Wydziału
Inżynierii Mechanicznej i Robotyki AGH na kierunku „IMIM” w roku akademickim 2014/2015.

Notatki do ćwiczeń z przedmiotu „Podstawy wytrzymałości materiałów”

Notatki do ćwiczeń z przedmiotu „Podstawy wytrzymałości materiałów”

Arkusz 02: Statyka

Arkusz 02: Statyka

1. Rodzaje podpór, liczba i rodzaj reakcji (przypadek dwuwymiarowy)

Podstawowe sposoby podparcia konstrukcji (przypadek dwuwymiarowy) oraz reakcje powstają przy danej podporze:

utwierdzenie

pełne

utwierdzenie
z przesuwem

utwierdzenie
z przesuwem

podpora

przegubowa

p. przegubowa

z przesuwem

fixed support

slider

collar

pin support

roller support

Rysunek 1: Podstawowe rodzaje podpór i powstające przy nich reakcje (przypadek dwuwymiarowy)

W konstrukcji może także występować połączenie przegubowe, które przy rozłożeniu konstrukcji na części prostsze może
być modelowane jako podparcie przegubowe, przy którym powstaną w każdej części dwie reakcje wewnętrzne w postaci
sił R

x

i R

z

.

Należy umieć rozpoznać podstawowe sposoby podparcia konstrukcji (przypadek dwuwymiarowy) oraz
wiedzieć, jakie reakcje powstają przy danej podporze.

© Copyright: Anna Stręk. Autorem arkusza jest Anna Stręk. Arkusz stanowi przedmiot prawa autorskiego określonego w Ustawie o prawie
autorskim i prawach pokrewnych (Dz. U. 1994 r. Nr 24 poz.83 z późn. zmianami). Autor nie wyraża zgody na inne wykorzystywanie arkusza niż
podane w jego przeznaczeniu.

1

Arkusz 02: Statyka. Arkusz przeznaczony do ćwiczeń z przedmiotu „Podstawy wytrzymałości materiałów” na II roku dziennych studiów Wydziału
Inżynierii Mechanicznej i Robotyki AGH na kierunku „IMIM” w roku akademickim 2014/2015.

2. Rodzaje konstrukcji

Należy umieć rozpoznać i znać definicje następujących rodzajów konstrukcji:

Układ płaski – układ sił i oś pręta leżą w jednej płaszczyźnie.

Belka – układ prętów o osiach prostoliniowych połączonych między sobą sztywno lub przegubowo tak jednak, że
wszystkie osie leżą na jednej prostej. Obciążenie belki stanowi dowolny układ sił.
Belka prosta – dowolnie obciążony pręt prostoliniowy, jednoprzęsłowy lub przewieszony (tzn taki, w którym co najmniej
jedna z podpór nie znajduje się w końcowym punkcie). Obciążenie belki stanowi dowolny układ sił.
Belka wieloprzęsłowa – zespół belek prostych połączonych przegubowo. Belki opierające się jednym końcem na innych
belkach nazywamy drugorzędowymi, zaś te oparte bezpośrednio na podłożu nazywamy podstawowymi.

Rama – układ prętów prostoliniowych, połączonych w węzłach w sposób sztywny, to jest taki, że w procesie deformacji
nie zmienia się kąt, pod jakim schodzą się pręty w węźle. Obciążenie ramy stanowi dowolny układ sił.
Rama płaska – układ prętów prostoliniowych leżących w jednej płaszczyźnie i obciążonych w tej samej płaszczyźnie.

Kratownica – konstrukcja złożona z prętów prostych połączonych między sobą w węzłach będących idealnymi
przegubami (bez tarcia), do której obciążenie zewnętrzne oraz więzy przyłożone są wyłącznie w węzłach.

(Łuk – konstrukcja złożona z jednego lub więcej prętów krzywoliniowych.)

3. Równania równowagi na płaszczyźnie, obliczanie reakcji

Aby konstrukcja pozostawała w równowadze, jednym z warunków koniecznych jest pozostawanie w równowadze układu
sił reakcji i układu sił zewnętrznych.

Na płaszczyźnie obowiązuje układ trzech podstawowych równań równowagi, wg zestawienia a)-c):

a)

Σ X =0

,

ΣY =0

,

Σ M

A

=0

;

zał.:

X∥Y

,

b)

Σ X =0

,

Σ M

A

=0

,

Σ M

B

=0

;

zał.:

X ⊥ AB

,

c)

Σ M

A

=0

,

Σ M

B

=0

,

Σ M

C

=0

;

zał.: A,B,C spełniają warunek ∆,

d)

dodatkowe równanie przegubu:

Σ M

P

Pr

=0 lub

Σ M

P

L

=0

.

W podpunkcie d) uwzględniono potencjalne dodatkowe równania równowagi wynikające z możliwej obecności
przegubów w konstrukcji.

• Trzeba rozumieć pojęcie statycznej wyznaczalności i stopnia statycznej wyznaczalności. Trzeba umieć
sprawdzić, czy konstrukcja jest statycznie wyznaczalna. Co to znaczy, że konstrukcja jest statycznie
niewyznaczalna, jakie ma to konsekwencje dla obliczeń reakcji?
• Trzeba znać ile i jakie są możliwe równania równowagi służące obliczaniu reakcji (przypadek 2D).
• Należy umieć zredukować obciążenie ciągłe do jego środka ciężkości.

© Copyright: Anna Stręk. Autorem arkusza jest Anna Stręk. Arkusz stanowi przedmiot prawa autorskiego określonego w Ustawie o prawie
autorskim i prawach pokrewnych (Dz. U. 1994 r. Nr 24 poz.83 z późn. zmianami). Autor nie wyraża zgody na inne wykorzystywanie arkusza niż
podane w jego przeznaczeniu.

2

Arkusz 02: Statyka. Arkusz przeznaczony do ćwiczeń z przedmiotu „Podstawy wytrzymałości materiałów” na II roku dziennych studiów Wydziału
Inżynierii Mechanicznej i Robotyki AGH na kierunku „IMIM” w roku akademickim 2014/2015.

Zadanie 1
Dla zadanej konstrukcji określić, czy jest ona statycznie wyznaczalna oraz, jeśli tak, obliczyć reakcje
i sprawdzić swoje obliczenia.

(1) Sprawdzenie statycznej wyznaczalności

Konstrukcja ma dwa miejsca podparte, w których generują się
trzy reakcje w postaci sił. Równań równowagi dostępnych dla
przypadku płaskiego jest także trzy, a więc stopień statyczniej
niewyznaczalności wynosi zero, a konstrukcja jest statycznie
wyznaczalna.

(2) Wyznaczenie reakcji

Przyjęto układ współrzędnych zaznaczony na rysunku. W
drugim kroku określono punkty charakterystyczne. Następnie narysowano i odpowiednio oznaczono występujące
reakcje. Ostatnim etapem było rozpisanie i rozwiązanie układu równań równowagi. Warto wybrać ten zestaw równań a)-
c), który w danym przypadku w sposób najszybszy i najprostszy doprowadzi do rozwiązania. Oprócz tego wybór punktu w
którym redukuje się układ także warto dokładnie przemyśleć, aby możliwie wiele sił miało przechodzący przez niego
kierunek działania (zerowe ramię działania).

Σ X =0

⇔

R

x

A

=0

[

kN

]

Σ M

y

A

=0

⇔

25 25⋅3+ R

z

D

=0

⇔

R

z

D

=10

[

kN

]

Σ Z =0

⇔

R

z

A

+ 25 10=0

⇔

R

z

A

=10

[

kN

]

(3) Sprawdzenie obliczonych reakcji

Najkorzystniej wykonać sprawdzenie poprzez skonstruowanie równania momentu względem dowolnego punktu na
płaszczyźnie, dobranego jednak tak, aby obliczenia zawierały wszystkie obliczone reakcje i jednocześnie były możliwie
proste. W tym przypadku wybrano punkt C'. Jak widać zredukowanie układu sprowadziło do tożsamości, a zatem siły
tworzą układ równoważny układowi zerowemu, czyli konstrukcja pozostaje w równowadze (innymi słowy: nie ma sił
niezrównoważonych).

Σ M

y

C '

=0

⇔

R

x

A

⋅1 R

z

A

⋅3+ 25+ R

z

D

⋅2=0

⇔ 0⋅1 15⋅3+ 25+ 10⋅2=0

⇔

45+ 45=0

⇔

0=0

[

kN

]

• Trzeba umieć poprawnie wyznaczyć reakcje w układach statycznie wyznaczalnych z obciążeniem
skupionym i ciągłym. Należy wiedzieć, jak sprawdzić poprawność obliczeń.

Jako poszerzające wiedzę można obliczyć reakcje dla konstrukcji z dowolnych zadań z książki [2] lub innej.

4. Literatura

[1] Dowolny podręcznik do statyki wyjaśniający problematykę podparcia konstrukcji, reakcji, redukcji obciążenia,

statycznej wyznaczalności etc.

[2] Iwulski Z. „Wyznaczanie sił tnących i momentów zginających w belkach: zadania z rozwiązaniami”, Uczelniane

Wydawnictwa Naukowo-Dydaktyczne AGH, Kraków 2001 (lub wersja elektroniczna: Biblioteka Główna AGH,
Kraków 2003).

[3] Programy komputerowe do obliczeń statycznych.

© Copyright: Anna Stręk. Autorem arkusza jest Anna Stręk. Arkusz stanowi przedmiot prawa autorskiego określonego w Ustawie o prawie
autorskim i prawach pokrewnych (Dz. U. 1994 r. Nr 24 poz.83 z późn. zmianami). Autor nie wyraża zgody na inne wykorzystywanie arkusza niż
podane w jego przeznaczeniu.

3

Rysunek 2: Konstrukcja do zadania 1