Zadanie, któremu odpowiada cała przestrze zdarze
elementarnych nazywamy
zdarzeniem pełnym
i oznaczamy
.
Zdarzenie niemo
liwe
, to zdarzenie, któremu odpowiada zbiór
pusty i oznaczamy je
∅
.
Dwa zdarzenia s
rozł
czne
je
li ich
zbiory zdarze elementarnych nie maj
elementów wspólnych,
wspólnych ich iloczyn jest zdarzeniem niemo
liwym: A
∩
B=
∅
Prawo rozdzielalno
ci
dodawania wzgl
dem mno
enia:
A
∪
B(B1
∩
B2
∩
…
∩
Bk)=(A
∪
B1)
∩
(A
∪
B2)
∩
…
∩
(A
∪
Bk)
W pewnych przypadkach zbiory zdarze tworz
układ zupełny
zdarze .
Mamy zbiór zdarze losowych A1,A2…Ak, tworzy układ
zupełny zdarze , je
li zdarzenia te s
parami rozł
czne, a ich
suma jest zdarzeniem pewnym.
1)Ai
∩
Aj=
∅
i
≠
j 2) U(przy k=1 nad k) AK=
Definicja aksjomatyczna prawdopodobie
stwa
:
1)
0
≤
P(A)
≤
1
2)
P(
)=1
3)
P(A
∪
B)=P(A)+P(B)
Definicja klasyczna prawdopodobie
stwa
:
Prawdopodobie stwem zdarzenia A nazywamy stosunek liczby
zdarze elementarnych sprzyjaj
cych zaj
ciu zdarzenia A do
liczby wszystkich zdarze elementarnych:
P(A)=m/n m- liczba zdarze elementarnych sprzyjaj
cych;
sprzyjaj
cych- liczba wszystkich zdarze elementarnych.
Definicja geometryczna prawdopodobie
stwa
:
(losujemy punkt z odcinka)…. Pcd- Prawdopodobie stwo
wylosowania punktu odcinka AB b
dzie punktem cd.
Pcd= (d-c)/(b-a)
Definicja statyczna prawdopodobie
stwa:
Je
eli przy wielokrotnym powtarzaniu jakiego
do
wiadczenia, w
wyniku którego mo
e zaj
zdarzenie A, cz
sto
tego zdarzenia
zaczyna oscylowa
do około pewnej liczby P, to liczb
P mo
na
przyj
za prawdopodobie stwo zdarzenia A.
Prawdopodobie
stwa warunkowe:
P(A/B) – prawdopodobie stwo warunkowe A je
eli B
P(A/B)=P(A
∩
B)/P(B)
Je
eli P(B)>0 to prawdopodobie stwem warunkowym zdarzenia
A przy warunku,
e zaszło zdarzenie B nazywamy iloraz
prawdopodobie stwa iloczynu zdarze A i B przez
prawdopodobie stwo zdarzenia P.
TWIERDZENIE BAYESA:
∑
=
=
N
l
l
l
n
n
n
A
P
A
B
P
A
P
A
B
P
B
A
P
1
)
(
*
)
\
(
)
(
*
)
\
(
)
\
(
P(B)>0
∑
=
=
∩
=
N
l
l
l
n
n
n
n
A
P
A
B
P
A
P
A
B
P
B
P
B
A
P
B
A
P
1
)
(
*
)
\
(
)
(
*
)
\
(
)
(
)
(
)
\
(
…….
P(A\B)=P(A)
P(B\A)=
)
(
)
(
)
(
*
)
(
)
(
)
(
B
P
A
P
B
P
A
P
A
P
A
B
P
=
=
∩
Dwa zdarzenia A i B s
zdarzeniami niezale
nymi, je
eli:
P(A\B)=P(A)*P(B)
JEDNOWYMIAROWE ZMIENNE LOSOWE
: x(w)
- przykład zmiennej losowej dyskretnej to kostka
- przykład zmiennej losowej ci
głej to termometr
Zmienne losowe
okre
lamy jako spełniaj
ce okre
lone warunki
funkcje w dziedzinie losowych zdarze elementarnych, których
przeciwdziedzin
s
zbiory liczbowe.
x- zmienna losowa
Je
li zbiór warto
ci ma charakter dyskretny, to zmienn
losow
nazywa
b
dziemy zmienn
losow
dyskretn
. Natomiast, je
li
zbiór warto
ci jest zbiorem ci
głym to zmienn
losow
b
dziemy
okre
la
jako zmienn
losow
ci
gł
.
X1,x2,x3,…,xk – zbiór warto
ci zmiennej dyskretnej
)
(
k
x
X
P
=
- prawdopodobie stwo tego,
e zmienna losowa x
przyjmie warto
xk.
K=1,2,3,…,k - rozkład prawdopodobie stwa
∑
=
=
=
k
k
k
x
X
P
1
1
)
(
-
warunek normalizacyjny
Zmienne losowe ci
głe:
)
(
*
*
x
x
X
x
P
∆
+
<
≤
)
(
)
(
lim
*
*
*
0
x
p
x
x
x
X
x
P
x
=
∆
∆
+
<
≤
→
∆
)
(
)
(
lim
0
x
p
x
x
x
X
x
P
x
=
∆
∆
+
<
≤
→
∆
-
g
sto
prawdopodobie
stwa
zmiennej losowej ci
głej.
WŁA
CIWO
CI:
1) p(x)>0 - funkcja g
sto
ci prawdopodobie stwa >0
x
x
p
x
x
X
x
p
∆
≈
∆
+
<
≤
)
(
)
(
*
*
*
P(a<x<b)
P(a<x<b)=
∫
b
a
dx
x
p )
(
je
eli =
∫
→∞
→∞
b
a
dx
x
p )
(
- zdarzenie
pewne =1
2) warunek normalizacyjny dla zmiennych losowych ci
głych:
1
)
(
=
∫
+∞
∞
−
dx
x
p
Dystrybuanta zmiennych losowych:
To prawdopodobie stwo przej
cia przez zmienn
losow
X warto
ci
mniejszej od dowolnie wybranej liczby rzecz. x.
F(x)=P(X<x)
1) dystrybuanta jest funkcja okre
lon
w dziedzinie liczb rzecz. w
przedziale
)
;
(
+∞
−∞
∈
x
2)Funkcja niemalej
ca, zało
enie: x1>x2
F(x1)=P(X<x1)=P(X<x2)+P(x2
≤
X
≤
x1)
F(x1)
≥
F(x2)
3) Prawdopodo0bie stwo tego
e zmienna losowa przyjmuje warto
nie mniejsza od -
∞
jest rowna=0
)
(
)
(
−∞
<
=
−∞
X
P
F
=0
)
(
)
(
+∞
<
=
+∞
X
P
F
- prawdopodobie stwo tego = 1
Dystrybuanta
jest to funkcja, której wykres mie
ci si
w przedziale
od 0 do 1 i jest funkcj
niemalej
c
.
Dowód
e dystrybuanta jest f. nie malej
c
:
F(x1)=P(X<x1)=P(X<x2)+P(x2
≤
X
≤
x1)
P(x2
≤
X
≤
x1)=F(x1)-F(x2)
Przyjmujemy,
e x1 b
dzie troche wi
ksze od x2:
X1=x2+
ε
P(x2
≤
X
≤
x2+
ε
)=F(x2+
ε
)-F(x2)
ε
>0
ε
ε
ε
ε
)
(
)
(
)
P(x
2
2
2
2
x
F
x
F
x
X
−
+
=
+
≤
≤
ε
ε
ε
ε
ε
ε
)
(
)
(
lim
)
P(x
lim
2
2
0
2
2
0
x
F
x
F
x
X
−
+
=
+
≤
≤
→
→
)
(
)
(
lim
)
(
2
2
2
0
2
x
p
x
X
x
P
dx
x
dF
x
x
=
+
≤
≤
=
→
=
ε
ε
ε
)
(
)
(
lim
)
(
0
x
p
x
X
x
P
dx
x
dF
=
+
≤
≤
=
→
ε
ε
ε
- G
sto
prawdopodobie
stwa zmiennej losowej ci
głej
G
sto
prawdopodobie stwa zmiennej losowej ci
głej jest pochodn
dystrybuanty:
dx
x
dF
x
p
)
(
)
(
=
Je
eli dystrybuanta funkcji losowej jest funkcj
ró
niczkow
z
wyj
tkiem sko czonej liczby argumentów to zmienn
losow
nazywamy ci
gł
.
G
sto
prawdopodobie stwa jest to funkcja
nieujemna.
……
x1=x2+
ε
P(x2
≤
X
≤
x1)=F(x2+
ε
)-F(x2) p(x)=dF(x)/dx
b>a
Prawdopodobie stwo przyj
cia przez zmienn
losowa X warto
ci z
przedziału <a,b> wyra
a si
jako całka z g
sto
ci
prawdopodobie stwa p(x) tej zmiennej losowej w tym przedziale.
∫
∫
−
=
=
b
a
b
a
a
F
b
F
dx
dx
x
dF
dx
x
p
)
(
)
(
)
(
)
(
∫
=
≤
≤
b
a
dx
x
p
b
X
a
P
)
(
)
(
∫
+∞
∞
−
=
1
)
(
dx
x
p
-
warunek normalizacyjny dla g
sto
ci
prawdopodobie
stwa
Je
eli g
sto
prawdopodobie stwa jest pochodn
dystrybuanty to
dystrybuanta musi by
całk
z g
sto
ci prawdopodobie stwa.
∫
=
)
(x
F
p(x)=dF(x)/dx
∫
∫
∞
−
∞
−
−∞
−
=
=
z
z
F
z
F
dx
dx
x
dF
x
p
)
(
)
(
]
)
(
[
)
(
∫
∞
−
=
z
dx
x
p
z
F
)
(
)
(
dz
z
p
x
F
x
)
(
)
(
∫
∞
−
=
G
sto
prawdopodobie stwa i dystrybuanta w sposób równorz
dny
opisuje zmienn
losow
ci
gł
.
Zmienne losowe dyskretne:
)
(
)
(
*
*
x
X
P
x
F
<
=
*
x
- jedna z warto
ci, jak
mo
e przynie
zmienna dyskretna
)
(
lim
)
(
*
*
ε
ε
+
=
→∞
+
x
F
x
F
)
(
)
(
)
(
*
*
*
*
x
F
x
F
x
X
x
P
−
+
=
+
≤
≤
ε
ε
gdy
0
→
ε
to :
)
(
)
(
)
(
*
*
*
x
F
x
F
t
X
P
−
=
=
+
- tutaj mamy uskok
dystrybuanty
Dla jakiego
*
x
mamy uskok dystrybuanty, gdy
)
(
)
(
*
*
x
F
x
F
≠
+
to wysoko
tego uskoku jest
prawdopodobie stwem
)
(
*
x
X
P
=
x1,x2,…,xk
)
(
R
x
X
P
=
k=1,2,3,4,…
∑
<
=
=
x
x
K
R
x
X
x
F
)
(
)
(
- przepis
wyznaczania dystrybuanty według rozkładu
prawdopodobie
stwa zmiennej losowej.
Według rysunku:
- mo
na ustali
zbiór warto
ci zmiennej losowej
- mo
na ustali
rozkład prawdopodobie stwa zmiennej losowej
ZMIENNE LOSOWE WIELOWYMIAROWE:
Zmienna losowa wielowymiarowa – uporz
dkowany zespół N
jednoznacznych i rzeczywistych funkcji x1(w), x2(w), … ,
xN(w), których ka
demu zdarzeniu elementowemu w
przyporz
dkowuje układ liczb rzeczywistych (x1,x2,x3,…,xn)
nazywamy N-wymiarow
zmienn
losow
i oznacza
j
b
dziemy (X1, X2, … , Xn).
Dystrybuanta dla zmiennej losowej wielowymiarowej:
Dystrybuant
zmiennej losowej N-wymiarowej(X1, X2, .. , Xn)
Nazywamy funkcj
:
F(x1,x2,x3,…,xn)=P(X1<x1,X2<x2,...,Xn<xn)
Mo
na przedstawi
j
jako sum
zdarze rozł
cznych.
Dystrybuanta zmiennej wielowymiarowej jest f. niemalej
c
ka
dego z argumentów. Funkcja nie mo
e male
:
)
,...,
,...,
,
(
)
,...,
,...,
,
(
'
2
1
''
2
1
N
N
N
n
x
x
x
x
F
x
x
x
x
F
≥
Je
eli zbiór warto
ci dystrybuanty jest przeliczany, to zmienn
losow
N-wymiarow
nazywamy dyskretn
, je
eli natomiast
F(x1,x2,…,Xl) jest ró
niczkowalna to zmienn
losow
nazywamy zmienn
ci
gł
.
Definicja g
sto
ci prawdopodobie
stwa:
G
sto
wielowymiarowego rozkładu zmiennej losowej ci
głej
definiujemy wzorem:
x
x
x
X
x
P
x
x
∆
∆
+
≤
≤
=
→
∆
)
(
lim
)
(
0
ρ
N
N
N
N
x
x
N
x
x
x
X
x
x
x
X
x
P
x
x
x
p
∆
∆
+
≤
≤
∆
+
≤
≤
=
=
→
∆
→
∆
...
,...,
(
lim
)
,...,
,
(
1
1
1
1
1
0
0
2
1
2
1
ρ
Funkcja g
sto
ci prawdopodobie
stwa spełnia dwa
podstawowe warunki:
1)
0
)
,...,
,
(
2
1
≥
N
x
x
x
p
2)
∫
∫
∫
+∞
∞
−
+∞
∞
−
+∞
∞
−
=
1
,...,
,
)
,...,
,
(
2
1
2
1
N
N
dx
dx
dx
x
x
x
p
-
jest to warunek normalizacyjny.
ROZKŁADY Ł
CZNE BRZEGOWE WARUNKOWE.
Rozkład ł
czny
- opisuje zdarzenia mi
dzy zmiennymi X, Y.
)
,
(
L
K
y
Y
x
X
P
=
=
- prawdopodobie stwo ł
czne
(oba warunki musz
si
zdarzy
) k=1,2,.. L=1,2,…
Warunek normalizacyjny
dla rozkładu ł
cznego:
∑∑
=
=
=
=
=
k
k
l
l
l
K
y
Y
x
X
P
Y
X
1
1
1
)
,
(
)
,
(
- dla rozkładu
ł
cznego
Rozkład rozł
czny
-
)
(
L
x
X
P
=
- mo
na przedstawi
jako sum
L-zdarze rozł
cznych
Wszystkie przypadki, gdy X=
L
x
s
to rozkłady rozł
czne
∑
=
=
=
=
L
L
L
L
L
y
Y
x
X
P
x
X
P
1
)
,
(
)
,
(
ROZKŁAD BRZEGOWY:
∑
=
=
=
=
=
L
L
l
k
k
y
Y
x
X
P
x
X
P
1
)
,
(
)
(
Znaj
c rozkład ł
czny pary X, Y otrzymujemy rozkład
brzegowy zmiennej X.
PRAWDOPODOBIE
STWO WARUNKOWE:
)
(
)
(
)
\
(
B
P
B
A
P
B
A
P
∩
=
)
(
)
,
(
)
\
(
L
L
K
L
K
y
Y
P
y
Y
x
X
P
y
Y
x
X
P
=
=
=
=
=
=
L=const. K=1,2,3,…,k
Rozkład warunkowy zmiennej X przy ustalonej zmiennej
X=const.
Zdarzenie losowe
- mo
liwy wynik eksperymentu. S
one
zdarzeniami
niezdeterminowanymi.
Elementarne zdarzenia losowe-
takie, które mog
si
zdarzy
na jeden sposób.
1.Dodawanie
- jest to polegaj
ce na zaj
ciu conajmniej
jednego ze zdarze A i B lub obydwu tych zdarze ;
C=A
∪
B
.
2.Iloczyn
- zdarzenie polegaj
ce na zaj
ciu
zarówno zdarzenia A jak i B; C=A
∩
B. 3.
Ró
nica-
zdarzenie polegaj
ce na zaj
ciu zdarzenia A i nie zaj
ciu
zdarzenia B; C=A-B.
4.Dopełnienie zdarze
- Zdarzenie
polegaj
ce na nie zaj
ciu zdarzenia A; B=
A
.
Zdarzenie pewne
- zdarzenie, któremu odpowiada cała
przestrze zdarze elementarnych
Ω
tj. przestrze , która
obejmuje wszystkie mo
liwe rezultaty eksperymentu.
Zdarzenie niemo
liwe
- zdarzenie, któremu odpowiada
zbiór pusty
∅
tj. zbiór niezawieraj
cy
adnego zdarzenia
elementarnego.
Zdarzenie rozł
czne
-
dwa zdarzenia A i B s
rozł
czne,
je
eli ich iloczyn jest zdarzeniem niemo
liwym; A
∩
B=
∅
.
Je
eli do zdarzenia A dodamy zdarzenia A to otrzymamy
zdarzenie A. Tak samo jest z mno
eniem
Zdarzenie pewne
- zdarzenie, któremu odpowiada cała
przestrze zdarze elementarnych
Ω
tj. przestrze , która
obejmuje wszystkie mo
liwe rezultaty eksperymentu.
Zdarzenie niemo
liwe
- zdarzenie, któremu odpowiada
zbiór pusty
∅
tj. zbiór niezawieraj
cy
adnego zdarzenia
elementarnego.
Zdarzenie rozł
czne
- dwa zdarzenia A i B s
rozł
czne,
je
eli ich iloczyn jest zdarzeniem niemo
liwym; A
∩
B=
∅
.
Je
eli do zdarzenia A dodamy zdarzenia A to otrzymamy
zdarzenie A. Tak samo jest z mno
eniem;
Prawa de Morgana:
B
A
B
A
∩
=
∪
;
B
A
B
A
∪
=
∩
; A
∩
B=B
∩
A;
A
∪
B=B
∪
A;
Wła
ciwo
ci przemienno
ci i ł
czno
ci
zdarze
: 1.Prawo rozdzielno
ci mno
enia wzgl
dem
dodawania: A
∩
(B
1
∪
B
2
∪
B
3
∪
…
∪
B
N
)=(A
∩
B
1
)
∪
(A
∩
B
2
)
∪
…
∪
(A
∩
B
N
); 2.Prawo rozdzielno
ci dodawania
wzgl
dem
mno
enia:A
∪
(B
1
∩
B
2
∩
B
3
∩
…
∩
B
N
)=(A
∪
B
1
)
∩
(
A
∪
B
2
)
∩
…
∩
( A
∪
B
N
).
Układ zupełny zdarze
- Zdarzenia A
1
, A
2
…A
k
tworz
układ zupełny je
eli zdarzenia te s
parami rozł
czne a ich
suma jest zdarzeniem pewnym
Ω
tzn.: A
i
∩
A
j
=
∅
dla i
≠
j
(i,j=1,2,3…N) A
1
∪
A
2
∪
…
∪
A
N
=
U
A
n
=
Ω
. Zdarzeniom
losowym mo
emy przypisywa
liczby.
Prawdopodobie
stwo
-
pewna f-cja, która zdarzeniom
losowym przypisuje warto
ci liczbowe; P(A)=A-
prawdopodobie stwo zdarzenia A
Aksjomatyczna definicja
prawdopodobie
stwa1
.Prawdopodobie
stwo P(A)
dowolnego zdarzenia losowego A nie mo
e by
liczb
ujemn
z drugiej strony nie mo
e przekracza
warto
ci 1;
0
≤
P(A)
≤
1. 2.Prawdopodobie
stwo P(
Ω
Ω
Ω
Ω
) jest równe 1;
P(
Ω
)=1. 3.Je
eli A
∩
∩
∩
∩
B=
∅
∅
∅
∅
tzn. je
eli A i B s
zdarzeniami
rozł
cznymi to prawdopodobie stwo sumy tych zdarze
jest równe sumie prawdopodobie stw poszczególnych
zdarze P(A
∪
B)=P(A)
∪
P(B).
Prawdopodobie
stwo sumy dwóch
dowolnych zdarze
jest równe sumie poszczególnych prawdopodobie stw
zmniejszonej o prawdopodobie stwo ich iloczynu;
P(A
∪
B)=P(A)+P(B)-P(A
∩
B).
Prawdopodobie
stwo zdarzenia niemo
liwego jest
równe zero; P(
∅
)=0
Prawdopodobie
stwo warunkowe
prawdopodobie stwo
zdarzenia A pod warunkiem B; P(A|B).Je
eli P(B)>0 to
prawdopodobie
stwo warunkowe zdarzenia A przy
warunku,
e zaszło zdarzenie B b
dziemy nazywa
ilorazem prawdopodobie stwa iloczynu zdarze A i B
przez prawdopodobie stwo zdarzenia B;
Tw. o
prawdopodobie
stwie zupełnym Je
eli zdarzenia
A
1
,A
2
,…,A
N
tworz
układ zdarze , do dal ka
dego
zdarzenia A:
P(A)=P(A|A
1
)P(A
1
)+P(A|A
2
)P(A
2
)+…+P(A|A
N
)P(A
N
);
P(A) wyst
puj
ce w tym wzorze jest nazywane
prawdopodobie stwem zupełnym zdarzenia A
Tw. Bayesa:
Niech zdarzenia A1,A2,…,AN tworz
układ
zupełny zdarze . Dla dowolnego zdarzenia B o
prawdopodobie stwie P(B) ró
nym od zera mamy
+
+
+
+
=
)
(
)
|
(
...
)
(
)
|
(
)
(
)
|
(
)
(
)
|
(
)
|
(
2
2
1
1
N
N
n
n
N
A
P
A
B
P
A
P
A
B
P
A
P
A
B
P
A
P
A
B
P
B
A
P
n=1,2…N Je
eli
zdarzenia A
1
,A
2
,…,A
n
s
zdarzeniami rozł
cznymi o
sumie A i je
li dla ka
dego j=1,2,…,n zdarzenia A
j
i B s
niezale
ne, to zdarzenia A i B s
niezale
ne; Zdarzenia A
i B nazywamy niezale
nymi, je
eli prawdopodobie stwo
ich iloczynu jest równa iloczynowi ich
prawdopodobie stw P(A
∩
B)=P(A)*P(B).
Jednowymiarowe zmienne losowe
Zmienne losowe
okre
lamy jako spełniaj
ce okre
lone warunki funkcje w
dziedzinie losowych zdarze elementarnych których
przeciwdziedzin
s
zbiory liczbowe Dystrybuanta jest f-
cj
okre
lon
w dziedzinie liczb rzeczywistych w
przedziale od + do – niesko czono
ci. Zmienna losowa
jest typu ci
głego, je
eli jej dystrybuanta F(x) jest f-cj
ci
gł
i przeliczana jest liczba argumentów, dla których nie
jest ona ró
niczkowalna. Zmienna losowa jest typu
dyskretnego, je
eli jej dystrybuanta jest typu
schodkowego. G
sto
prawdopodobie
stwa to
pochodna dystrybuanty; p(x)=dF(x)/dx. Warunek
normalizacyjny dla zmiennych losowych dyskretnych
wymaga, aby suma wszystkich prawdopodobie stw, z
jakimi zmienna dyskretna przyjmuje swoje warto
ci była
równa jedno
ci; ∑P(X=x
n
) =1
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
proba sciaga probalistyka
sciaga probalistyka
Próba rozciągania sciaga1dl
Próba rozciągania sciaga1
ZDMI, zdm-sciaga, Statyczna proba rozciagania -temp otoczenia 20C(+15 -20)temp obnizone 0>-196 te
Próba rozciągania sciaga1(1)
1 sciaga ppt
metro sciaga id 296943 Nieznany
ŚCIĄGA HYDROLOGIA
AM2(sciaga) kolos1 id 58845 Nieznany
Narodziny nowożytnego świata ściąga
finanse sciaga
Lubelska Próba Przed Maturą Marzec 2015 GR B Poziom Rozszerzony
Jak ściągać na maturze
Ściaga Jackowski
Aparatura sciaga mini
OKB SCIAGA id 334551 Nieznany
więcej podobnych podstron