Zadanie, któremu odpowiada cała przestrze zdarze
elementarnych nazywamy
zdarzeniem pełnym
i oznaczamy
.
Zdarzenie niemo
liwe
, to zdarzenie, któremu odpowiada zbiór
pusty i oznaczamy je
∅
.
Dwa zdarzenia s
rozł
czne
je
li ich
zbiory zdarze elementarnych nie maj
elementów wspólnych,
wspólnych ich iloczyn jest zdarzeniem niemo
liwym: A
∩
B=
∅
Prawo rozdzielalno
ci
dodawania wzgl
dem mno
enia:
A
∪
B(B1
∩
B2
∩
…
∩
Bk)=(A
∪
B1)
∩
(A
∪
B2)
∩
…
∩
(A
∪
Bk)
W pewnych przypadkach zbiory zdarze tworz
układ zupełny
zdarze .
Mamy zbiór zdarze losowych A1,A2…Ak, tworzy układ
zupełny zdarze , je
li zdarzenia te s
parami rozł
czne, a ich
suma jest zdarzeniem pewnym.
1)Ai
∩
Aj=
∅
i
≠
j 2) U(przy k=1 nad k) AK=
Definicja aksjomatyczna prawdopodobie
stwa
:
1)
0
≤
P(A)
≤
1
2)
P(
)=1
3)
P(A
∪
B)=P(A)+P(B)
Definicja klasyczna prawdopodobie
stwa
:
Prawdopodobie stwem zdarzenia A nazywamy stosunek liczby
zdarze elementarnych sprzyjaj
cych zaj
ciu zdarzenia A do
liczby wszystkich zdarze elementarnych:
P(A)=m/n m- liczba zdarze elementarnych sprzyjaj
cych;
sprzyjaj
cych- liczba wszystkich zdarze elementarnych.
Definicja geometryczna prawdopodobie
stwa
:
(losujemy punkt z odcinka)…. Pcd- Prawdopodobie stwo
wylosowania punktu odcinka AB b
dzie punktem cd.
Pcd= (d-c)/(b-a)
Definicja statyczna prawdopodobie
stwa:
Je
eli przy wielokrotnym powtarzaniu jakiego
do
wiadczenia, w
wyniku którego mo
e zaj
zdarzenie A, cz
sto
tego zdarzenia
zaczyna oscylowa
do około pewnej liczby P, to liczb
P mo
na
przyj
za prawdopodobie stwo zdarzenia A.
Prawdopodobie
stwa warunkowe:
P(A/B) – prawdopodobie stwo warunkowe A je
eli B
P(A/B)=P(A
∩
B)/P(B)
Je
eli P(B)>0 to prawdopodobie stwem warunkowym zdarzenia
A przy warunku,
e zaszło zdarzenie B nazywamy iloraz
prawdopodobie stwa iloczynu zdarze A i B przez
prawdopodobie stwo zdarzenia P.
TWIERDZENIE BAYESA:
∑
=
=
N
l
l
l
n
n
n
A
P
A
B
P
A
P
A
B
P
B
A
P
1
)
(
*
)
\
(
)
(
*
)
\
(
)
\
(
P(B)>0
∑
=
=
∩
=
N
l
l
l
n
n
n
n
A
P
A
B
P
A
P
A
B
P
B
P
B
A
P
B
A
P
1
)
(
*
)
\
(
)
(
*
)
\
(
)
(
)
(
)
\
(
…….
P(A\B)=P(A)
P(B\A)=
)
(
)
(
)
(
*
)
(
)
(
)
(
B
P
A
P
B
P
A
P
A
P
A
B
P
=
=
∩
Dwa zdarzenia A i B s
zdarzeniami niezale
nymi, je
eli:
P(A\B)=P(A)*P(B)
JEDNOWYMIAROWE ZMIENNE LOSOWE
: x(w)
- przykład zmiennej losowej dyskretnej to kostka
- przykład zmiennej losowej ci
głej to termometr
Zmienne losowe
okre
lamy jako spełniaj
ce okre
lone warunki
funkcje w dziedzinie losowych zdarze elementarnych, których
przeciwdziedzin
s
zbiory liczbowe.
x- zmienna losowa
Je
li zbiór warto
ci ma charakter dyskretny, to zmienn
losow
nazywa
b
dziemy zmienn
losow
dyskretn
. Natomiast, je
li
zbiór warto
ci jest zbiorem ci
głym to zmienn
losow
b
dziemy
okre
la
jako zmienn
losow
ci
gł
.
X1,x2,x3,…,xk – zbiór warto
ci zmiennej dyskretnej
)
(
k
x
X
P
=
- prawdopodobie stwo tego,
e zmienna losowa x
przyjmie warto
xk.
K=1,2,3,…,k - rozkład prawdopodobie stwa
∑
=
=
=
k
k
k
x
X
P
1
1
)
(
-
warunek normalizacyjny
Zmienne losowe ci
głe:
)
(
*
*
x
x
X
x
P
∆
+
<
≤
)
(
)
(
lim
*
*
*
0
x
p
x
x
x
X
x
P
x
=
∆
∆
+
<
≤
→
∆
)
(
)
(
lim
0
x
p
x
x
x
X
x
P
x
=
∆
∆
+
<
≤
→
∆
-
g
sto
prawdopodobie
stwa
zmiennej losowej ci
głej.
WŁA
CIWO
CI:
1) p(x)>0 - funkcja g
sto
ci prawdopodobie stwa >0
x
x
p
x
x
X
x
p
∆
≈
∆
+
<
≤
)
(
)
(
*
*
*
P(a<x<b)
P(a<x<b)=
∫
b
a
dx
x
p )
(
je
eli =
∫
→∞
→∞
b
a
dx
x
p )
(
- zdarzenie
pewne =1
2) warunek normalizacyjny dla zmiennych losowych ci
głych:
1
)
(
=
∫
+∞
∞
−
dx
x
p
Dystrybuanta zmiennych losowych:
To prawdopodobie stwo przej
cia przez zmienn
losow
X warto
ci
mniejszej od dowolnie wybranej liczby rzecz. x.
F(x)=P(X<x)
1) dystrybuanta jest funkcja okre
lon
w dziedzinie liczb rzecz. w
przedziale
)
;
(
+∞
−∞
∈
x
2)Funkcja niemalej
ca, zało
enie: x1>x2
F(x1)=P(X<x1)=P(X<x2)+P(x2
≤
X
≤
x1)
F(x1)
≥
F(x2)
3) Prawdopodo0bie stwo tego
e zmienna losowa przyjmuje warto
nie mniejsza od -
∞
jest rowna=0
)
(
)
(
−∞
<
=
−∞
X
P
F
=0
)
(
)
(
+∞
<
=
+∞
X
P
F
- prawdopodobie stwo tego = 1
Dystrybuanta
jest to funkcja, której wykres mie
ci si
w przedziale
od 0 do 1 i jest funkcj
niemalej
c
.
Dowód
e dystrybuanta jest f. nie malej
c
:
F(x1)=P(X<x1)=P(X<x2)+P(x2
≤
X
≤
x1)
P(x2
≤
X
≤
x1)=F(x1)-F(x2)
Przyjmujemy,
e x1 b
dzie troche wi
ksze od x2:
X1=x2+
ε
P(x2
≤
X
≤
x2+
ε
)=F(x2+
ε
)-F(x2)
ε
>0
ε
ε
ε
ε
)
(
)
(
)
P(x
2
2
2
2
x
F
x
F
x
X
−
+
=
+
≤
≤
ε
ε
ε
ε
ε
ε
)
(
)
(
lim
)
P(x
lim
2
2
0
2
2
0
x
F
x
F
x
X
−
+
=
+
≤
≤
→
→
)
(
)
(
lim
)
(
2
2
2
0
2
x
p
x
X
x
P
dx
x
dF
x
x
=
+
≤
≤
=
→
=
ε
ε
ε
)
(
)
(
lim
)
(
0
x
p
x
X
x
P
dx
x
dF
=
+
≤
≤
=
→
ε
ε
ε
- G
sto
prawdopodobie
stwa zmiennej losowej ci
głej
G
sto
prawdopodobie stwa zmiennej losowej ci
głej jest pochodn
dystrybuanty:
dx
x
dF
x
p
)
(
)
(
=
Je
eli dystrybuanta funkcji losowej jest funkcj
ró
niczkow
z
wyj
tkiem sko czonej liczby argumentów to zmienn
losow
nazywamy ci
gł
.
G
sto
prawdopodobie stwa jest to funkcja
nieujemna.
……
x1=x2+
ε
P(x2
≤
X
≤
x1)=F(x2+
ε
)-F(x2) p(x)=dF(x)/dx
b>a
Prawdopodobie stwo przyj
cia przez zmienn
losowa X warto
ci z
przedziału <a,b> wyra
a si
jako całka z g
sto
ci
prawdopodobie stwa p(x) tej zmiennej losowej w tym przedziale.
∫
∫
−
=
=
b
a
b
a
a
F
b
F
dx
dx
x
dF
dx
x
p
)
(
)
(
)
(
)
(
∫
=
≤
≤
b
a
dx
x
p
b
X
a
P
)
(
)
(
∫
+∞
∞
−
=
1
)
(
dx
x
p
-
warunek normalizacyjny dla g
sto
ci
prawdopodobie
stwa
Je
eli g
sto
prawdopodobie stwa jest pochodn
dystrybuanty to
dystrybuanta musi by
całk
z g
sto
ci prawdopodobie stwa.
∫
=
)
(x
F
p(x)=dF(x)/dx
∫
∫
∞
−
∞
−
−∞
−
=
=
z
z
F
z
F
dx
dx
x
dF
x
p
)
(
)
(
]
)
(
[
)
(
∫
∞
−
=
z
dx
x
p
z
F
)
(
)
(
dz
z
p
x
F
x
)
(
)
(
∫
∞
−
=
G
sto
prawdopodobie stwa i dystrybuanta w sposób równorz
dny
opisuje zmienn
losow
ci
gł
.
Zmienne losowe dyskretne:
)
(
)
(
*
*
x
X
P
x
F
<
=
*
x
- jedna z warto
ci, jak
mo
e przynie
zmienna dyskretna
)
(
lim
)
(
*
*
ε
ε
+
=
→∞
+
x
F
x
F
)
(
)
(
)
(
*
*
*
*
x
F
x
F
x
X
x
P
−
+
=
+
≤
≤
ε
ε
gdy
0
→
ε
to :
)
(
)
(
)
(
*
*
*
x
F
x
F
t
X
P
−
=
=
+
- tutaj mamy uskok
dystrybuanty
Dla jakiego
*
x
mamy uskok dystrybuanty, gdy
)
(
)
(
*
*
x
F
x
F
≠
+
to wysoko
tego uskoku jest
prawdopodobie stwem
)
(
*
x
X
P
=
x1,x2,…,xk
)
(
R
x
X
P
=
k=1,2,3,4,…
∑
<
=
=
x
x
K
R
x
X
x
F
)
(
)
(
- przepis
wyznaczania dystrybuanty według rozkładu
prawdopodobie
stwa zmiennej losowej.
Według rysunku:
- mo
na ustali
zbiór warto
ci zmiennej losowej
- mo
na ustali
rozkład prawdopodobie stwa zmiennej losowej
ZMIENNE LOSOWE WIELOWYMIAROWE:
Zmienna losowa wielowymiarowa – uporz
dkowany zespół N
jednoznacznych i rzeczywistych funkcji x1(w), x2(w), … ,
xN(w), których ka
demu zdarzeniu elementowemu w
przyporz
dkowuje układ liczb rzeczywistych (x1,x2,x3,…,xn)
nazywamy N-wymiarow
zmienn
losow
i oznacza
j
b
dziemy (X1, X2, … , Xn).
Dystrybuanta dla zmiennej losowej wielowymiarowej:
Dystrybuant
zmiennej losowej N-wymiarowej(X1, X2, .. , Xn)
Nazywamy funkcj
:
F(x1,x2,x3,…,xn)=P(X1<x1,X2<x2,...,Xn<xn)
Mo
na przedstawi
j
jako sum
zdarze rozł
cznych.
Dystrybuanta zmiennej wielowymiarowej jest f. niemalej
c
ka
dego z argumentów. Funkcja nie mo
e male
:
)
,...,
,...,
,
(
)
,...,
,...,
,
(
'
2
1
''
2
1
N
N
N
n
x
x
x
x
F
x
x
x
x
F
≥
Je
eli zbiór warto
ci dystrybuanty jest przeliczany, to zmienn
losow
N-wymiarow
nazywamy dyskretn
, je
eli natomiast
F(x1,x2,…,Xl) jest ró
niczkowalna to zmienn
losow
nazywamy zmienn
ci
gł
.
Definicja g
sto
ci prawdopodobie
stwa:
G
sto
wielowymiarowego rozkładu zmiennej losowej ci
głej
definiujemy wzorem:
x
x
x
X
x
P
x
x
∆
∆
+
≤
≤
=
→
∆
)
(
lim
)
(
0
ρ
N
N
N
N
x
x
N
x
x
x
X
x
x
x
X
x
P
x
x
x
p
∆
∆
+
≤
≤
∆
+
≤
≤
=
=
→
∆
→
∆
...
,...,
(
lim
)
,...,
,
(
1
1
1
1
1
0
0
2
1
2
1
ρ
Funkcja g
sto
ci prawdopodobie
stwa spełnia dwa
podstawowe warunki:
1)
0
)
,...,
,
(
2
1
≥
N
x
x
x
p
2)
∫
∫
∫
+∞
∞
−
+∞
∞
−
+∞
∞
−
=
1
,...,
,
)
,...,
,
(
2
1
2
1
N
N
dx
dx
dx
x
x
x
p
-
jest to warunek normalizacyjny.
ROZKŁADY Ł
CZNE BRZEGOWE WARUNKOWE.
Rozkład ł
czny
- opisuje zdarzenia mi
dzy zmiennymi X, Y.
)
,
(
L
K
y
Y
x
X
P
=
=
- prawdopodobie stwo ł
czne
(oba warunki musz
si
zdarzy
) k=1,2,.. L=1,2,…
Warunek normalizacyjny
dla rozkładu ł
cznego:
∑∑
=
=
=
=
=
k
k
l
l
l
K
y
Y
x
X
P
Y
X
1
1
1
)
,
(
)
,
(
- dla rozkładu
ł
cznego
Rozkład rozł
czny
-
)
(
L
x
X
P
=
- mo
na przedstawi
jako sum
L-zdarze rozł
cznych
Wszystkie przypadki, gdy X=
L
x
s
to rozkłady rozł
czne
∑
=
=
=
=
L
L
L
L
L
y
Y
x
X
P
x
X
P
1
)
,
(
)
,
(
ROZKŁAD BRZEGOWY:
∑
=
=
=
=
=
L
L
l
k
k
y
Y
x
X
P
x
X
P
1
)
,
(
)
(
Znaj
c rozkład ł
czny pary X, Y otrzymujemy rozkład
brzegowy zmiennej X.
PRAWDOPODOBIE
STWO WARUNKOWE:
)
(
)
(
)
\
(
B
P
B
A
P
B
A
P
∩
=
)
(
)
,
(
)
\
(
L
L
K
L
K
y
Y
P
y
Y
x
X
P
y
Y
x
X
P
=
=
=
=
=
=
L=const. K=1,2,3,…,k
Rozkład warunkowy zmiennej X przy ustalonej zmiennej
X=const.
Zdarzenie losowe
- mo
liwy wynik eksperymentu. S
one
zdarzeniami
niezdeterminowanymi.
Elementarne zdarzenia losowe-
takie, które mog
si
zdarzy
na jeden sposób.
1.Dodawanie
- jest to polegaj
ce na zaj
ciu conajmniej
jednego ze zdarze A i B lub obydwu tych zdarze ;
C=A
∪
B
.
2.Iloczyn
- zdarzenie polegaj
ce na zaj
ciu
zarówno zdarzenia A jak i B; C=A
∩
B. 3.
Ró
nica-
zdarzenie polegaj
ce na zaj
ciu zdarzenia A i nie zaj
ciu
zdarzenia B; C=A-B.
4.Dopełnienie zdarze
- Zdarzenie
polegaj
ce na nie zaj
ciu zdarzenia A; B=
A
.
Zdarzenie pewne
- zdarzenie, któremu odpowiada cała
przestrze zdarze elementarnych
Ω
tj. przestrze , która
obejmuje wszystkie mo
liwe rezultaty eksperymentu.
Zdarzenie niemo
liwe
- zdarzenie, któremu odpowiada
zbiór pusty
∅
tj. zbiór niezawieraj
cy
adnego zdarzenia
elementarnego.
Zdarzenie rozł
czne
-
dwa zdarzenia A i B s
rozł
czne,
je
eli ich iloczyn jest zdarzeniem niemo
liwym; A
∩
B=
∅
.
Je
eli do zdarzenia A dodamy zdarzenia A to otrzymamy
zdarzenie A. Tak samo jest z mno
eniem
Zdarzenie pewne
- zdarzenie, któremu odpowiada cała
przestrze zdarze elementarnych
Ω
tj. przestrze , która
obejmuje wszystkie mo
liwe rezultaty eksperymentu.
Zdarzenie niemo
liwe
- zdarzenie, któremu odpowiada
zbiór pusty
∅
tj. zbiór niezawieraj
cy
adnego zdarzenia
elementarnego.
Zdarzenie rozł
czne
- dwa zdarzenia A i B s
rozł
czne,
je
eli ich iloczyn jest zdarzeniem niemo
liwym; A
∩
B=
∅
.
Je
eli do zdarzenia A dodamy zdarzenia A to otrzymamy
zdarzenie A. Tak samo jest z mno
eniem;
Prawa de Morgana:
B
A
B
A
∩
=
∪
;
B
A
B
A
∪
=
∩
; A
∩
B=B
∩
A;
A
∪
B=B
∪
A;
Wła
ciwo
ci przemienno
ci i ł
czno
ci
zdarze
: 1.Prawo rozdzielno
ci mno
enia wzgl
dem
dodawania: A
∩
(B
1
∪
B
2
∪
B
3
∪
…
∪
B
N
)=(A
∩
B
1
)
∪
(A
∩
B
2
)
∪
…
∪
(A
∩
B
N
); 2.Prawo rozdzielno
ci dodawania
wzgl
dem
mno
enia:A
∪
(B
1
∩
B
2
∩
B
3
∩
…
∩
B
N
)=(A
∪
B
1
)
∩
(
A
∪
B
2
)
∩
…
∩
( A
∪
B
N
).
Układ zupełny zdarze
- Zdarzenia A
1
, A
2
…A
k
tworz
układ zupełny je
eli zdarzenia te s
parami rozł
czne a ich
suma jest zdarzeniem pewnym
Ω
tzn.: A
i
∩
A
j
=
∅
dla i
≠
j
(i,j=1,2,3…N) A
1
∪
A
2
∪
…
∪
A
N
=
U
A
n
=
Ω
. Zdarzeniom
losowym mo
emy przypisywa
liczby.
Prawdopodobie
stwo
-
pewna f-cja, która zdarzeniom
losowym przypisuje warto
ci liczbowe; P(A)=A-
prawdopodobie stwo zdarzenia A
Aksjomatyczna definicja
prawdopodobie
stwa1
.Prawdopodobie
stwo P(A)
dowolnego zdarzenia losowego A nie mo
e by
liczb
ujemn
z drugiej strony nie mo
e przekracza
warto
ci 1;
0
≤
P(A)
≤
1. 2.Prawdopodobie
stwo P(
Ω
Ω
Ω
Ω
) jest równe 1;
P(
Ω
)=1. 3.Je
eli A
∩
∩
∩
∩
B=
∅
∅
∅
∅
tzn. je
eli A i B s
zdarzeniami
rozł
cznymi to prawdopodobie stwo sumy tych zdarze
jest równe sumie prawdopodobie stw poszczególnych
zdarze P(A
∪
B)=P(A)
∪
P(B).
Prawdopodobie
stwo sumy dwóch
dowolnych zdarze
jest równe sumie poszczególnych prawdopodobie stw
zmniejszonej o prawdopodobie stwo ich iloczynu;
P(A
∪
B)=P(A)+P(B)-P(A
∩
B).
Prawdopodobie
stwo zdarzenia niemo
liwego jest
równe zero; P(
∅
)=0
Prawdopodobie
stwo warunkowe
prawdopodobie stwo
zdarzenia A pod warunkiem B; P(A|B).Je
eli P(B)>0 to
prawdopodobie
stwo warunkowe zdarzenia A przy
warunku,
e zaszło zdarzenie B b
dziemy nazywa
ilorazem prawdopodobie stwa iloczynu zdarze A i B
przez prawdopodobie stwo zdarzenia B;
Tw. o
prawdopodobie
stwie zupełnym Je
eli zdarzenia
A
1
,A
2
,…,A
N
tworz
układ zdarze , do dal ka
dego
zdarzenia A:
P(A)=P(A|A
1
)P(A
1
)+P(A|A
2
)P(A
2
)+…+P(A|A
N
)P(A
N
);
P(A) wyst
puj
ce w tym wzorze jest nazywane
prawdopodobie stwem zupełnym zdarzenia A
Tw. Bayesa:
Niech zdarzenia A1,A2,…,AN tworz
układ
zupełny zdarze . Dla dowolnego zdarzenia B o
prawdopodobie stwie P(B) ró
nym od zera mamy
+
+
+
+
=
)
(
)
|
(
...
)
(
)
|
(
)
(
)
|
(
)
(
)
|
(
)
|
(
2
2
1
1
N
N
n
n
N
A
P
A
B
P
A
P
A
B
P
A
P
A
B
P
A
P
A
B
P
B
A
P
n=1,2…N Je
eli
zdarzenia A
1
,A
2
,…,A
n
s
zdarzeniami rozł
cznymi o
sumie A i je
li dla ka
dego j=1,2,…,n zdarzenia A
j
i B s
niezale
ne, to zdarzenia A i B s
niezale
ne; Zdarzenia A
i B nazywamy niezale
nymi, je
eli prawdopodobie stwo
ich iloczynu jest równa iloczynowi ich
prawdopodobie stw P(A
∩
B)=P(A)*P(B).
Jednowymiarowe zmienne losowe
Zmienne losowe
okre
lamy jako spełniaj
ce okre
lone warunki funkcje w
dziedzinie losowych zdarze elementarnych których
przeciwdziedzin
s
zbiory liczbowe Dystrybuanta jest f-
cj
okre
lon
w dziedzinie liczb rzeczywistych w
przedziale od + do – niesko czono
ci. Zmienna losowa
jest typu ci
głego, je
eli jej dystrybuanta F(x) jest f-cj
ci
gł
i przeliczana jest liczba argumentów, dla których nie
jest ona ró
niczkowalna. Zmienna losowa jest typu
dyskretnego, je
eli jej dystrybuanta jest typu
schodkowego. G
sto
prawdopodobie
stwa to
pochodna dystrybuanty; p(x)=dF(x)/dx. Warunek
normalizacyjny dla zmiennych losowych dyskretnych
wymaga, aby suma wszystkich prawdopodobie stw, z
jakimi zmienna dyskretna przyjmuje swoje warto
ci była
równa jedno
ci; ∑P(X=x
n
) =1
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
proba sciaga probalistyka
proba, sciaga probalistyka
1 sciaga ppt
metro sciaga id 296943 Nieznany
ŚCIĄGA HYDROLOGIA
AM2(sciaga) kolos1 id 58845 Nieznany
Narodziny nowożytnego świata ściąga
finanse sciaga
Jak ściągać na maturze
Ściaga Jackowski
Aparatura sciaga mini
OKB SCIAGA id 334551 Nieznany
Przedstaw dylematy moralne władcy i władzy w literaturze wybranych epok Sciaga pl
fizyczna sciąga(1)
Finanse mala sciaga
Podział węży tłocznych ze względu na średnicę ściąga
OLIMPIADA BHP ŚCIĄGAWKA
Opracowanie Sciaga MC OMEN
więcej podobnych podstron