Mieszczerski statyka rozw

Rozdział I. PŁASKI UKŁAD SIŁ

1. Siły działające wzdłuż jednej prostej

M_3. Na jednej lince wiszą dwa odważniki, 100 N i 50 N, umocowane na niej
w różnych punktach, przy czym większy z nich wisi niżej od mniejszego. Jaka
jest siła w lince powyżej lżejszego odważnik, a jaka poniżej niego?

Rozw:
Prowadzimy myślowy przekrój I, wyodrębniamy ciężar P

= 100 N.

Oznaczamy przez S

siłę w lince działającą między punktem A i B.

Równanie równowagi na oś y:

100

⇒

−

∑

Po wyznaczeniu siły S

prowadzimy przekrój myślowy II, obejmujący ciężar P

i przecinający linkę w dwóch miejscach: między punktem A i B oraz ponad
punktem B.
Równanie równowagi na oś y:

150

⇒

−

∑

Odp.: 100 N i 150 N.

M_4. Jednorodna pionowa kolumna walcowa o
wysokości h = 5 m i ciężarze Q = 30 kN stoi na
fundamencie i podtrzymuje ciężar P = 40 kN. Obliczyć
oddziaływanie kolumny na fundament i osiową siłę
ściskającą w jej przekrojach oddalonych o l

= l

= 0.5

m od górnego i dolnego końca kolumny.

Rozw.
Ciężar jednostkowy kolumny:

kN/m

Nacisk w przekroju 1:

⋅

Nacisk w przekroju 2:

(

)

(

)

−

⋅

−

Nacisk na fundament:

Odp. T = 70 kN, N

= 43 kN, N

= 67 kN.

M_5. Holownik parowy ciągnie trzy barki o różnych wymiarach, połączone linami, jedna za
drugą. Ciąg śruby holownika wynosi w danej chwili 18 kN. Opór stawiany parowcowi przez
wodę wynosi 6 kN, opór wody działający na pierwszą barkę 6 kN, na drugą 4 kN, na trzecią
2 kN. Użyta przy tym lina może być bezpiecznie obciążona siłą 2 kN. Iloma linami należy
połączyć parowiec z pierwszą barką, pierwszą barkę z drugą oraz drugą barkę z trzecią, jeśli
ruch jest prostoliniowy i jednostajny?

Rozw.
Siła w linach łączących ostatnią barkę z drugą wynosi 2 kN – wystarczy jedna lina.
Między drugą a pierwszą:

2 + 4 = 6 kN, 6/2 = 3 liny.

Między holownikiem i pierwszą barką:

2 + 4 + 6 = 12 kN, 12/2 = 6 lin.

Odp. 6, 3, 1.

2. Zbieżny układ sił

M_11. W środku sześciokąta foremnego zaczepione są siły o wartościach 10, 30, 50, 70, 90
i 110 N, skierowane ku jego wierzchołkom. Wyznaczyć wartość i kierunek siły wypadkowej
i równoważącej.

Rozw.
Sumując algebraicznie siły mające wspólną linię działania otrzymamy trzy siły po 60 N.
Wypadkowa:

120

cos

⋅

ma kierunek i zwrot siły 90 N

Odp. 120 N; kierunek wypadkowej pokrywa się z kierunkiem danej siły o wielkości 90 N.

M_12. Wyznaczyć siłę, jaką węzeł mnpqr wywiera na belkę MN, jeżeli siły działające wzdłuż
prętów OA, OB i OC wynoszą P

= P

= 1.41 kN i P

= 1 kN. Kierunki sił pokazano na

rysunku.

Obliczając sumy rzutów sił na kierunek siły P

(oś x) i prostopadły do niej (oś y)

znajdziemy:

cos

−

∑

−

sin

Odp. 1 kN; kierunek działania wzdłuż OB, zwrot przeciwny zwrotowi siły P

M_15. Dwa ciągniki jadące ze stałą prędkością wzdłuż brzegów prostego kanału ciągną barkę
za pomocą dwu lin. Siły napinające liny wynoszą 800 N i 960 N, a liny tworzą między sobą
kąt 60º. Znaleźć opór wody wywierany na barkę przy jej ruchu oraz kąty α i β, jakie liny
tworzą z brzegami, jeżeli barka porusza się równolegle do brzegów.

Rozw.
Składowe poprzeczne sił w linach muszą się równoważyć:

sin

Stąd:

sin

(

)

sin

cos

sin

⋅

−

⋅

−

960

800

cot

−

cot

Odp.

P = 1530 N, α = 33º, β = 27º.

M_17. Pręty AC i BC połączone są między sobą i z pionową ścianą za pomocą przegubów.
Na sworzeń przegubu

C działa pionowa siła P = 10 kN. Wyznaczyć reakcję tych prętów na

sworzeń przegubu

C, jeżeli kąty między prętami a ścianą są α = 30º i β = 60º.

Rozw.

sin

−

cos

−

albo przy odwróconym układzie współrzędnych:

cos

−

cos

⋅

sin

−

sin

⋅

Odp. S

= 8.66 kN, S

= 5 kN.

M_18. Na rysunkach (a), (b), (c), podobnie jak w zadaniu poprzednim, pokazano
schematycznie układy prętów połączonych przegubowo ze sobą, z sufitem i ze ścianą. Na
sworzniach przegubów B, F, K zawieszono ciężary Q = 10 kN. Obliczyć siły w prętach w
przypadkach, gdy:
(a) α = β = 45º;
(b) α = 30º, β = 60º;
(c) α = 60º, β = 30º.

Odp. (a) S

= S

= 7.07 kN;

(b) S

= 5.77 kN, S

= -11.54 kN;

= -5.77 kN, S

= 11.54 kN.

M_19. Latarnia uliczna zawieszona jest w punkcie B w środku linki ABC przyczepionej do
haków A i C znajdujących się na jednym poziomie. Znaleźć siły T

i T

rozciągające części

linki AB i BC, jeżeli ciężar latarni wynosi 150 N, długość całej linki 20 m, odległość zaś BD
punktu zawieszenia B od poziomej AC wynosi 0.1 m. Ciężar linki pominąć.

Rozw.

cos

−

sin

−

7500

5729

sin

150

sin

⋅

5729

arctan

Odp. T

= T

= 7500 N.

M_21. Lampa elektryczna o ciężarze 20 N zawieszona jest u sufitu na sznurze AB i
przyciągnięta do ściany linką BC. Wyznaczyć siły: T

w sznurze AB i T

w lince BC, jeżeli

wiadomo, że kąt α = 60º, a kąt β = 135º. Ciężar sznura i linki pominąć.

Rozw.

cos

sin

−

sin

cos

−

Odp. T

= 14.6 N, T

= 10.4 N

M_23. Pewien odcinek kolei żelaznej, przebiegającej w górach, przeprowadzony jest w
wąwozie i zawieszony jak na rysunku. Wymiary zaznaczono na rysunku. Zakładając, że
podciąg AB obciąża siła P = 500 kN, znaleźć siły w prętach AC i AD.

11,65m

Odp. Pręty AC i AD są ściskane siłami 539 kN.

M_26. Do linki AB, której jeden koniec umocowany jest w punkcie A, przywiązano w
punkcie B ciężar P i linkę BCD przerzucono przez krążek. Do końca D linki przywiązano

ciężar Q = 100 N. Obliczyć siłę T w lince AB i ciężar P, jeżeli w położeniu równowagi kąty
utworzone przez linki z pionem BE wynoszą α = 45º i β = 60º. Tarcie na krążku pominąć.

α β

Rozw.

sin

−

122

sin

100

sin

⋅

sin

cos

−

136

sin

122

cos

100

sin

cos

⋅

Odp. T = 122.5 N, P = 136.6 N.

M_28. Na dwóch wzajemnie prostopadłych gładkich pochyłych płaszczyznach AB i BC
spoczywa jednorodna kula o ciężarze 60 N. Znaleźć oddziaływania kuli na każdą
z płaszczyzn wiedząc, że płaszczyzna BC tworzy z poziomem kąt 60º.

60°

Rozw.

sin

−

sin

⋅

cos

−

cos

⋅

Odp. N

= 51.96 N, N

= 30 N.

M_29. Przy pionowej gładkiej ścianie AB zawieszono jednorodną kulę O na lince AC. Linka
tworzy ze ścianą kąt α, ciężar kuli wynosi P. Obliczyć siłę T w lince i oddziaływanie Q kuli
na ścianę.

Rozw.

sin

−

tan

cos

−

cos

Odp. T = P/cosα, Q = Ptanα.

M_29_v2. Przy pionowej gładkiej ścianie AB zawieszono jednorodną kulę O na lince AC.
Linka tworzy ze ścianą kąt α = 30°, ciężar kuli wynosi P = 500 N. Obliczyć siłę T w lince i
oddziaływanie Q kuli na ścianę.

Rozw.

sin

−

288

tan

500

tan

⋅

cos

−

577

cos

500

cos

Odp. T = 577.4 N, Q = 288.7 N.

M_31. Kulka B o ciężarze P, wisząca na nici AB umocowanej nieruchomo w punkcie A,
opiera się o powierzchnię gładkiej kuli o promieniu r; odległość punktu A od powierzchni kuli
AC

= d, długość nici AB = l, prosta CA jest pionowa. Wyznaczyć siłę T w nici i reakcję Q

powierzchni kulistej. Promień kulki pominąć.

Odp.

M_32. Jednorodna kula o ciężarze 100 N utrzymywana jest w położeniu równowagi przez
dwie linki AB i CD rozpięte w jednej płaszczyźnie pionowej i tworzące kąt 150º. Linka AB
tworzy z poziomem kąt 45º. Obliczyć siły w linkach.

45°

150°

Odp. T

= 193 N, T

= 141 N.

M_34. Ciężar jednorodnego walca drogowego wynosi 20 kN, a jego promień 60 cm.
Obliczyć poziomą siłę P niezbędną do przetoczenia walca przez kamienną płytę o wysokości
8 cm, położoną jak pokazano na rysunku.

Rozw.

cos

−

cos

⋅

sin

−

sin

−

arcsin

Odp. P = 11.55 kN.

M_36. Jednorodny pręt AB jest przymocowany do pionowej ściany przegubem A i
utrzymywany pod kątem 60º względem pionu przez linkę BC tworzącą z nim kąt 30º. Znaleźć
wielkość i kierunek reakcji R przegubu, jeżeli wiadomo, że ciężar pręta wynosi 20 N.

60°

30°

Rozw. Trójkąt BAC jest trójkątem równoramiennym, reakcja R musi być opuszczona wzdłuż
jego wysokości, aby wszystkie siły przecinały się w jednym punkcie. Stąd

sin

−

sin

sin α

cos

−

⋅

cos

sin

cos

sin

cos

cot

sin

cos

cot

sin

⋅

Odp. R = 10 N, kąt(R, AC) = 60º.

M_37. Górny koniec A jednorodnej belki AB o długości 2 m i ciężarze 50 N opiera się na
gładkiej pionowej ścianie. Do dolnego końca B przymocowana jest linka BC. Obliczyć, w
jakiej odległości AC należy przymocować linkę do ściany, aby belka, znajdująca się w
równowadze, tworzyła ze ścianą kąt BAD = 45º. Znaleźć siłę T w lince i reakcję R ściany.

45°

Odp. AC = AD = 1.41 m, T = 56 N, R = 25 N.

M_39. Belka AB utrzymywana jest w położeniu poziomym przez pręt CD; połączenia
w punktach A, C, D są przegubowe. Wyznaczyć reakcję podpór A i D, jeżeli na koniec belki
działa pionowa siła F = 50 kN. Wymiary pokazane są na rysunku. Ciężar własny belki
pominąć.

45°

Odp. R

= 79 kN, R

= 106 kN.

M_40. Koniec A belki umocowany jest przegubowo, koniec B zaś wsparty na wałkach. W
środku belki zaczepiona jest siła P = 20 kN, działająca pod kątem 45º do jej osi. Biorąc
wymiary z rysunku, wyznaczyć w przypadkach (a) i (b) reakcje podpór A i B. Ciężar własny
belki pominąć.

45°

Rozw.
(a)

cos

−

cos

⋅

sin

−

071

sin

−

⋅

−

sin

⋅

−

071

sin

⋅

(b)

cos

⋅

−

cos

⋅

sin

−

071

sin

⋅

−

⋅

−

sin

⋅

−

Odp. (a) R

= 14.14 kN, R

= 7.071 kN, R

= 7.071 kN;

(b) R

= 21.21 kN, R

= 7.071 kN, R

= 10 kN;

M_41. Pokazane na rysunkach belki AB utrzymywane są w położeniu poziomym przez pręt
CD

. Na końcach belek działają siły F = 30 kN pod kątem 60º do poziomu. Biorąc wymiary

z rysunków wyznaczyć siły S w prętach CD oraz oddziaływania Q belek na ściany
przyjmując, że połączenia A, C, D są przegubowe. Ciężar prętów i belek pominąć.

60°

Odp. (a) S = 39 kN, Q = 19.8 kN;

(b) S = 39 kN, Q = -19.8 kN.

M_43. Dla ramy pokazanej na rysunku wyznaczyć reakcje podporowe R

i R

powstające

pod działaniem siły P przyłożonej w punkcie B. Ciężar ramy pominąć.

Odp.

M_50. Dla trójprzegubowego łuku ACB pokazanego na
rysunku wyznaczyć reakcje podpór A i B powstające pod
działaniem poziomej siły P.

Odp.

M_51. Jednorodna prosta belka AB o ciężarze P i nieważki zakrzywiony pręt BC są połączone
przegubowo w punkcie B oraz z odpowiednimi podporami A i C leżącymi na jednej poziomej
AC

. Proste AB i BC tworzą z prostą AC kąty α = 45º. Wyznaczyć reakcje podpór A i C.

Odp.

M_52. Dany jest układ złożony z trzech trójprzegubowych łuków których wymiary pokazane
są na rysunku. Wyznaczyć reakcje podpór A, B, C i D powstające pod działaniem poziomej
siły P.

Odp.

M_63. Nasyp ziemny podparty jest pionowym murem. Znaleźć konieczną grubość muru a
zakładając, że parcie ziemi skierowane jest poziomo, przyłożone na ⅓ wysokości ściany
i równe 60 kN/mb. Grubość ściany należy obliczyć zakładając możliwość obrotu ściany
dookoła krawędzi A. Ciężar właściwy muru wynosi 20 kN/m

Rozw. Ciężar muru wynosi:

⋅

−

⋅

414

⋅

Odp. a ≥ 1.414 m.

M_64. Wieża ciśnień składa się z walcowego zbiornika o wysokości 6 m i średnicy 4 m,
ustawionego na czterech symetrycznie rozstawionych, pochyłych słupach. Dno zbiornika
znajduje się na wysokości 17 m nad fundamentem. Ciężar wieży 80 kN; przy obliczaniu siły
wiatru bierzemy pod uwagę powierzchnię rzutu zbiornika na płaszczyznę prostopadłą do
kierunku wiatru i przyjmujemy, że parcie wiatru wynosi 1.25 kN/m

. Obliczyć niezbędną

odległość AB między podstawami słupów.

Odp. AB ≥ 15 m.

M_74. Skrzynka o ciężarze P leży na chropowatej poziomej płaszczyźnie; współczynnik
tarcia wynosi µ. Wyznaczyć wielkość Q najmniejszej siły potrzebnej do przesunięcia skrzynki
oraz kąt β, jaki tworzy ta siła z poziomem.

Rozw. Sumy rzutów sił na kierunki x i y:

cos

−

sin

−

sin

cos

−

sin

cos

−

Wartość Q osiągnie ekstremum, gdy mianownik ułamka osiągnie ekstremum. Odpowiednią
wartość kąta β wyznaczymy przyrównując do zera pochodną mianownika względem β:

(

)

cos

sin

cos

−

stąd:

tan

czyli:

arctan

podstawiając do wyrażenia:

sin

cos

sin

cos

sin

cos

tan

Odp. β = arctgµ,

sin

3. Siły równoległe i pary sił

M_77. Jednorodny pręt AB, o długości 1 m i ciężarze 20 N, zawieszony jest poziomo na
dwóch równoległych linkach AC i BD. Na pręcie w punkcie E, odległym o AE = ¼ m od
punktu A, zawieszono ciężar P = 120 N. Obliczyć siły w linkach, T

i T

Odp. T

= 100 N, T

= 40 N.

M_78. Na poziomej belce leżącej na dwóch podporach odległych o 4 m położono dwa
ciężary: jeden C = 2 kN, drugi D = 1 kN, tak że reakcja podpory A jest dwa razy większa od
reakcji podpory B. Ciężar własny belki pomijamy, odległość CD między ciężarami wynosi 1
m. Jaka jest odległość x ciężaru C od podpory A?

Odp. x = 1 m.

M_80. Znaleźć siłę wywieraną przez dźwig mostowy na szyny w zależności od położenia
wózka C, na którym umocowany jest kołowrót podnoszący. Położenie wózka określić przez
stosunek odległości jego środka od lewej szyny do całkowitej długości mostu AB. Ciężar
mostu P = 60 kN, ciężar wózka z podnoszonym ciężarem P

= 40 kN.

Odp. R

= (7 – 4n)T, R

= (3 + 4n)T, gdzie n = AC/AB.

M_81. Jednorodna belka AB o długości 10 m i ciężarze 2 kN leży na dwóch podporach C i D.
Podpora C odległa jest od końca A o 2 m, podpora D od końca B o 3 m. Koniec belki A
podciągany jest pionowo ku górze przez ciężar Q = 3 kN, przywiązany do liny przerzuconej
przez krążek. W odległości 3 m od końca A zawieszony jest na belce ciężar P = 8 kN.
Wyznaczyć reakcje podpór pomijając tarcie na krążku.

Rozw.

−

⋅

−

⋅

−

⋅

−

⋅

Odp. R

= 0, R

= 3 kN, R

= 4 kN.

M_82. Poziomy pręt AB o ciężarze 1 N może obracać się dookoła nieruchomego punktu A.
Koniec B pręta jest podciągany ku górze przerzuconą przez krążek linką z uwiązanym na
końcu ciężarem P = 1.5 N. W punkcie znajdującym się 20 cm od końca B zawieszony jest
ciężar Q = 5 N. Jaka jest długość x pręta AB, jeżeli znajduje się on w równowadze?

Odp. x = 25 cm.

M_89. Na poziomą belkę wspornikową działa para sił o momencie M = 60 kNm, a w punkcie
C pionowa siła P = 20 kN. Rozpiętość belki AB = 3.5 m, długość wspornika BC = 0.5 m.
Wyznaczyć reakcje podpór.

Rozw.

−

⋅

−

⋅

−

⋅

Odp. R

= 0, R

= -20 kN, R

= 40 kN.

M_90. Na dwuwspornikową poziomą belkę działa para sił (P, P), na jej lewy wspornik –
jednostajnie rozłożone obciążenie bieżące p, a w punkcie D prawego wspornika – pionowe
obciążenie Q. Wyznaczyć reakcje podpór, jeśli P = 10 kN, Q = 20 kN, p = 20 kN/m,
a = 0.8 m, AB = 2a.

Rozw.

⋅

−

⋅

−

⋅

−

⋅

−

⋅

−

⋅

−

⋅

−

Odp. R

= 0, R

= 15 kN, R

= 21 kN.

M_92. Zawór bezpieczeństwa kotła parowego połączony jest prętem AB z jednorodną
dźwignią CD o długości 50 cm i ciężarze 10 N, która może obracać się dookoła
nieruchomego punktu C; średnica zaworu d = 6 cm, ramię BC = 7 cm. Jaki ciężar Q należy
zawiesić na końcu D dźwigni, aby zawór otwierał się przy 1.1 MPa nadciśnienia?

Odp. Q = 430 N.

M_95. Ciężar dźwigu bez przeciwwagi wynosi 500 kN i działa wzdłuż prostej odległej od
pionu prawej szyny A o 1.5 m. Udźwig wózka wynosi 250 kN, a wysięg 10 m od pionu
prawej szyny. Wyznaczyć najmniejszy ciężar Q oraz największą odległość x środka ciężkości
przeciwwagi od pionu lewej szyny, tak aby dźwig nie wywrócił się przy wszelkich
położeniach wózka zarówno obciążonego, jak i nie obciążonego. Ciężar własny wózka
pominąć.

Odp. Q = 333 kN, x = 6.75 m.

M_112. Pozioma belka przegubowa ACB ma koniec A zamurowany w ścianie, koniec B zaś
oparty na przesuwnej podporze; w punkcie C znajduje się przegub. Belka obciążona jest
dźwigiem unoszącym ciężar P = 10 kN. Przy wysunięciu ramienia dźwigu na odległość
KL = 4 m środek ciężkości dźwigu leży na pionowej CD. Ciężar dźwigu wynosi Q = 50 kN.
Wymiary pokazane są na rysunku. Pomijając ciężar belki, obliczyć reakcje podpór w
punktach A i B. Ramię z ciężarem leży w jednej płaszczyźnie z belką AB.

Rozw. Z warunków równowagi dźwigu:

−

⋅

−

⋅

−

⋅

Z warunków równowagi belki BC

−

⋅

−

⋅

Z warunków równowagi belki AC

−

⋅

−

⋅

−

kNm

205

⋅

Odp.

kNm

205

4. Dowolny płaski układ sił

M_115. Jednorodna kula o ciężarze Q i promieniu a oraz ciężarek P wiszą na linkach
zaczepionych w punkcie O, jak pokazano na rysunku. Odległość OM = b. Wyznaczyć kąt φ,
jaki tworzy w położeniu równowagi prosta OM z pionem.

Odp.

sin

M_119. Jednorodna belka o ciężarze 600 N i długości 4 m, opierająca się jednym końcem na
gładkiej podłodze, a w pośrednim punkcie B – na słupie o wysokości 3 m, tworzy z pionem
kąt 30º. Belka utrzymywana jest w takim położeniu przez linkę AC, przeciągniętą wzdłuż
podłogi. Wyznaczyć siłę w lince T, reakcje R

i R

. Tarcie pominąć.

30°

Rozw.

sin

−

150

sin

173

sin

⋅

cos

−

513

cos

173

600

cos

⋅

−

cos

sin

⋅

−

⋅

173

cos

sin

600

cos

sin

⋅

Odp. T = 150 N, R

= 173.2 N, R

= 513.4 N.

M_122. Jednorodny pręt AB o ciężarze 1 kN opiera się jednym końcem na gładkiej poziomej
podłodze, drugim zaś na gładkiej płaszczyźnie nachylonej pod kątem 30º do poziomu. Koniec
B pręta podtrzymywany jest przez linkę przerzuconą przez krążek C i obciążoną ciężarem P.

Część linki BC jest równoległa do pochyłej płaszczyzny. Pomijając tarcie na krążku
wyznaczyć ciężar P i oddziaływania N

i N

na podłogę i pochyłą płaszczyznę.

30°

Odp. P = 250 N, N

= 500 N, N

= 433 N.

M_125. Do gładkiej ściany jest przystawiona jednorodna drabina AB, nachylona pod kątem
45º do poziomu. Ciężar drabiny wynosi 200 N. W punkcie D odległym od dolnego końca o ⅓
długości drabiny stoi człowiek o ciężarze 600 N. Znaleźć oddziaływanie drabiny na podporę
A i na ścianę.

45°

Odp. X

= 300 N, Y

= 800 N, X

= –300 N.

M_137. Normalne oddziaływanie każdego z tylnych kół samochodu na nawierzchnię na
drodze poziomej wynosi 5 kN. Jakie będzie normalne oddziaływanie tych kół na drogę
nachyloną do poziomu pod kątem α = 5º, jeżeli wzniesienie środka ciężkości wynosi h = 0.8
m, a rozstaw kół b = 1.4 m?

Odp. Oddziaływanie niższego koła wynosi 5.48 kN, wyższego 4.48 kN.

M_143. Most składa się z dwóch części złączonych przegubem A i przymocowanych do
przyczółków przegubami B i C. Ciężar każdej części mostu wynosi 40 kN, ich środki
ciężkości leżą w punktach D i E. Na moście znajduje się ciężar P = 20 kN. Wymiary
pokazane są na rysunku. Obliczyć reakcję działającą na przegub A i reakcje w punktach B i C.

Odp. X

= ±20 kN, X

= –X

= 20 kN, Y

= ±8 kN, Y

= 48 kN, Y

= 52 kN.

M_153. Dwa pręty AC i BD mające równe długości są połączone przegubowo w punkcie D
oraz przymocowane do pionowej ściany w punktach A i B. Pręt AC jest obciążony w punkcie
E pionową siłą P

= 400 N, a w punkcie C siłą Q = 1 kN nachyloną do poziomu pod kątem

45º. Pręt BD w punkcie F obciąża pionowa siła P

= 400 N. Wiedząc, że AE = EC, BF = FD,

wyznaczyć reakcje przegubów A i B.

60°

Rozw. Przedstawić najpierw rozwiązanie dla dwóch belek oddzielnie, a następnie szybsze w
następujący sposób:
Równania równowagi dla całego układu:

cos

sin

⋅

−

⋅

−

⋅

−

2161

1000

400

cos

sin

⋅

cos

sin

cos

sin

⋅

−

⋅

−

⋅

−

⋅

−

⋅

−

2868

1000

400

cos

sin

−















⋅

−

⋅

−

sin

−

1448

1000

400

sin

−

⋅

−

Dla belki BD:

sin

cos

⋅

−

⋅

1448

400

2161

sin

cos

⋅

Odp. R

= –2868 N, R

= 59 N, R

= 2161 N, R

= 1448 N.

M_154. Wieszak składa się z dwóch belek AB i CD połączonych przegubowo w punkcie D i
przymocowanych do sufitu przegubami A i C. Ciężar belki AB wynosi Q

= 600 N i

przyłożony jest w punkcie E. Ciężar belki CD wynosi Q

= 500 N i przyłożony jest w punkcie

F. W punkcie B do belki AB przyłożona jest pionowa siła P = 2000 N. Wyznaczyć reakcje
przegubów A i C, jeżeli dane są następujące wymiary: AB = 1 m, CD = 0.8 m, AE = 0.4 m,
CF = 0.4 m oraz kąty nachylenia belek do poziomu wynoszące odpowiednio: α = 60° i β =
45°.

Rozw:

sin

892

866

966

⋅

Równania równowagi dla całego układu:

(

)

cos

⋅

−

⋅

−

⋅

−

⋅

−

(

)

1597

892

500

2000

600

cos















⋅

−

⋅

−

⋅

−

1503

1597

2000

500

600

−

1347

−

Dla belki DC:

(

)

sin

cos

⋅

−

⋅

−

⋅

−

(

)

(

)

1347

1597

500

sin

cos

⋅

−

⋅

−

⋅

−

⋅

−

Odp. R

= –1347 N, R

= 1347 N, R

= 1503 N, R

= 1597 N.

M_170. Trzy jednakowe rury o ciężarze P = 1200 N każda leżą, jak pokazano na rysunku.
Obliczyć oddziaływanie dolnych rur na podłoże i na boczne gładkie ściany. Tarcie pominąć.

Rozw:
Równanie równowagi dla górnej rury:

cos

−

⋅

693

2000

cos

⋅

Nacisk na ścianę boczną:

sin

−

⋅

346

693

sin

⋅

Nacisk rur dolnych na podłoże:

cos

−

⋅

−

1800

693

1200

cos

⋅

Odp. Oddziaływanie każdej dolnej rury na podłoże równa się 1800 N, a oddziaływanie na
ścianę 346 N.

M_171. Do wału przyłożono parę sił o momencie M = 1 kNm. Na wale zaklinowany jest
bęben hamulcowy, którego promień r = 25 cm. Obliczyć jaką siłą Q należy dociskać do bębna
klocki hamulcowe, aby unieruchomić wał, jeżeli współczynnik tarcia statycznego klocków po
bębnie µ = 0.25.

Rozw. Siły tarcia wynoszą

. Zatrzymanie nastąpi, gdy

−

⋅

Odp. Q = 8 kN.

M_177. Do pionowej ściany przystawiona jest drabina AB oparta dolnym końcem o poziomą
podłogę. Współczynnik tarcia drabiny o ścianę wynosi µ

, a o podłogę µ

. Ciężar drabiny

wraz ze znajdującym się na niej człowiekiem wynosi P i przyłożony jest w punkcie C, który
dzieli długość drabiny w stosunku m:n. Wyznaczyć największy kąt α zawarty między ścianą
a drabiną w położeniu równowagi oraz normalne składowe reakcji ściany N

i podłogi N

dla

tej wartości kąta α.

Odp.

(

)

tan

−

M_178. Drabina AB o ciężarze P opiera się o gładką ścianę i o poziomą chropowatą podłogę.
Siła tarcia w punkcie B nie przekracza µ

N, gdzie µ

oznacza współczynnik tarcia statycznego,

N – normalną reakcję podłogi. Pod jakim kątem α należy przystawić drabinę do ściany, aby
mógł po niej wejść do samej góry człowiek ważący p?

Rozw.

−

sin

cos

⋅

−

⋅

(

)

⋅

(

)

sin

cos

⋅

−

⋅

(

)

tan

Odp.

(

)

tan

M_181. Jednorodna belka AB opiera się w punkcie A na chropowatej poziomej podłodze,
koniec B zaś jest podtrzymywany przez linkę. Współczynnik tarcia belki o podłogę wynosi µ,
a kąt α utworzony przez belkę i podłogę wynosi 45º. Przy jakim kącie nachylenia linki do
poziomu belka zacznie się poruszać?

Rozw. Równania równowagi pręta

cos

−

sin

−

cos

sin

cos

⋅

−

⋅

−

⋅

−

(

)

⋅

(1)

−

sin

(2)

cos

Dzieląc stronami (1) i (2):

(

)

tan

−

⋅

−

Odp.

tan

M_191. Wyznaczyć siłę P potrzebną do jednostajnego toczenia walca o średnicy d = 60 cm
i o ciężarze Q = 3 kN po poziomej płaszczyźnie, jeżeli współczynnik tarcia przy toczeniu
wynosi δ = 0.5 cm, a kąt jaki siła tworzy z poziomem, α = 30º.

Rozw. Warunek równowagi

cos

sin

⋅

−

⋅

cos

005

sin

005

3000

cos

sin

⋅

Odp. P = 57.18 N.

5. Statyka wykreślna

M_198. Wyznaczyć reakcje podpór i siły w prętach wiązania dachowego przedstawionego na
rysunku.

M_203. Wyznaczyć wykreślnie i sprawdzić analitycznie reakcje podpór i siły w prętach
kratownicy przedstawionej na rysunku:

1.5m

204. Wyznaczyć reakcje podpór i siły w prętach kratownicy przedstawionej na rysunku.

Odp. X

= –10 kN, Y

= 30 kN, Y

= 10 kN.

Rozdział II. PRZESTRZENNY UKŁAD SIŁ

6. Przestrzenny układ sił zbieżnych

7. Sprowadzenie układu sił do najprostszej postaci

8. Równowaga dowolnego układu sił

M_255. Na poziomy wał AB nasadzono koło zębate C o promieniu koła podziałowego 1 m i
koło D o promieniu koła podziałowego 10 cm. Inne wymiary podano na rysunku Na koło C

wzdłuż stycznej do koła podziałowego działa w kierunku poziomym siła P = 100 N, a na koło
D, też wzdłuż stycznej, siła pionowa Q. Wyznaczyć siłę Q i reakcje w łożyskach A i B
w przypadku równowagi.

Rozw.

⋅

−

⋅

1000

100

⋅

100

1000

−

⋅

−

⋅

−

⋅

−

⋅

−

100

−

⋅

−

⋅

−

100

−

900

100

1000

−

Odp. Q = 1000 N, R

= –10 N, R

= –900 N, R

= –90 N, R

= –100 N.

M_256. Robotnik podnosi ciężar Q = 800 N za pomocą kołowrotu przedstawionego
schematycznie na rysunku. Promień bębna R = 5 cm, długość ramienia korby AK = 40 cm,
AC = BC = 50 cm. Wyznaczyć siłę P działającą na korbę i oddziaływanie osi kołowrotu na
podpory A i B przy poziomym położeniu ramienia korby. Siłę P przyjąć jako pionową.

Odp. P = 100 N, N

= 400 N, N

= –100 N, N

= 400 N, N

= 0.

M_257. Za pomocą kołowrotu, przedstawionego schematycznie na rysunku, podnoszony jest
ciężar Q = 1000 N. Promień bębna wynosi R = 5 cm, długość ramienia korby KD = 40 cm,
DA = 30 cm, AC = 40 cm, CB = 60 cm. Lina schodzi z bębna po stycznej nachylonej do
poziomu pod kątem 60º. Wyznaczyć siłę P działającą na korbę i reakcje podpór A i B, jeśli
ramię korby jest w położeniu poziomym.

Odp. P = 125 N, X

= –300 N, Z

= –357 N, X

= –200 N, Z

= –384 N.

M_258. Na wał AB kołowrotku nawiniętą jest lina z zawieszonym na niej ciężarem Q.
Promień koła C nasadzonego na wał jest sześć razy większy od promienia wału; inne
wymiary podano na rysunku. Lina nawinięta na koło C i ciągnięta ciężarkiem P = 60 N
schodzi z koła po stycznej nachylonej do poziomu pod kątem α = 30º. Wyznaczyć wielkość
ciężaru Q, dla którego kołowrót będzie w równowadze, a także reakcje w łożyskach A i B,
pomijając ciężar własny wału i tarcie.

Odp. Q = 360 N, X

= –69.3 N, Z

= 160 N, X

= 17.3 kN, Z

= 230 N.

M_260. Jednorodna pokrywa prostokątna o ciężarze P = 400 N jest podtrzymywana przez
ciężar Q, tak że tworzy z poziomem kąt 60º. Wyznaczyć (pomijając tarcie w bloku D) ciężar
Q i reakcje w zawiasach A i B, jeśli blok D jest zamocowany na prostej pionowej
przechodzącej przez A oraz jeśli AD = AC.

Rozw.

⋅

−

⋅

200

400

cos

⋅

−

103

cos

400

cos

⋅

−

cos

⋅

−

cos

103

cos

⋅

−

⋅

sin

−

⋅

173

sin

103

200

400

sin

⋅

−

⋅

−

Odp. Q = 103.5 N, R

= 99.97 N, R

= 173.2 N, R

= 0 N, R

= 200 N.

M_265. Jednorodna rama prostokątna o ciężarze 200 N przymocowana do ściany za pomocą
kulistego przegubu A i zawiasu B jest utrzymywana w położeniu poziomym linką CE
zaczepioną do ramy w punkcie C i do gwoździa w punkcie E. Gwóźdź jest wbity do ściany na
prostej pionowej przechodzącej przez A, przy czym kąt ECA = kąt BAC = 30º. Wyznaczyć
siłę w lince i reakcje podpór.

Odp. T = 200 N, X

= 86.6 N, Y

= 150N, Z

= 100 N, X

= Z

= 0.

M_266. Półka wagonowa ABCD, która może obracać się dookoła osi AB, jest utrzymywana
w położeniu poziomym za pomocą pręta ED przymocowanego przegubowo w punkcie E do
pionowej ściany BAE. Ciężar półki wynosi 800 N, przy czym siła ta przechodzi przez punkt
przecięcia przekątnych prostokąta ABCD. Dane są wymiary: AB = 150 cm, AD = 60 cm,
AK = BH = 25 cm, a długość pręta ED = 75 cm. Wyznaczyć reakcje w zawiasach K i H i siłę
S w pręcie ED pomijając jego ciężar własny.

Odp. S = –667 N, X

= 133 N, Z

= 500 N, X

= –667 N, Z

= -100 N.

M_270. Drzwi prostokątne o pionowej osi obrotu AB są uchylone o kąt CAD = 60º
i utrzymywane w tym położeniu dwiema linkami, z których jedna, CD, przerzucona jest przez
blok i obciążona ciężarem P = 320 N, druga, EF, jest przywiązana do punktu F podłogi.
Ciężar drzwi wynosi Q = 640 N, szerokość AD = AC = 180 cm, a wysokość AB = 240 cm.
Pomijając tarcie bloku wyznaczyć siłę T w lince EF oraz reakcje zawiasu walcowego
w punkcie A i stopowego w punkcie B.

Rozw.

rysunku

⊥

sin

⋅

cos

⋅

sin

⋅

sin

⋅

−

⋅

320

cos

⋅

−

⋅

640

320

cos

−

⋅

sin

⋅

−

⋅

−

⋅

−

280

640

320

sin

−

⋅

−

⋅

−

cos

⋅

−

207

320

cos

−

⋅

−

⋅

sin

⋅

−

440

280

320

sin

−

⋅

−

640

Odp. T = 320 N, R

= 69.28 N, R

= –280 N, R

= 207.85 N, R

= 440 N, R

= 640 N.

M_271. Wyznaczyć reakcje łożyska szyjnego B i stopowego A żurawia oraz siłę S
przenoszoną przez linę, jeśli wysięgnik żurawia ciągnięty jest linką poziomą przerzuconą
przez blok i obciążoną ciężarem Q = 1000 N. Kąt nachylenia liny S do poziomu wynosi 60º,
ciężar żurawia G = 20 kN, ciężar podnoszony P = 40 kN. Wymiary podano na rysunku.
Tarcie na bloku pominąć.

Odp. S = 1000 N, X

= 24 N, Y

= 33.95 kN, Z

= 60.87 kN, X

= 476 N, Y

= –33.95 kN.

M_278. Wagonik o ciężarze Q wyciągany jest ruchem jednostajnym za pomocą urządzenia
pokazanego na rysunku. Wyznaczyć siły P przyłożone do czterech dźwigni prostopadłych do
osi bębna z oraz reakcje podpór A i B, jeżeli ciężar bębna q = 0.1T, jego średnica d = 24 cm,
Q = 10 kN, długość ramienia l = 1 m. Oś bębna zamocowana jest pionowo w łożysku
stopowym A i zwykłym B.

Odp. Y

= –1250 N, Z

= 1000 N, Y

= –3750 N, X

= X

= 0, P = 150 N.

M_279. Ręczny kołowrót służący do wyciągania urobku z pochyłego wykopu składa się
z drewnianego wału o średnicy 0.25 m i długości 1.5 m obracanego w łożyskach A i B za
pomocą korby AC. Wyznaczyć siłę F przyłożoną do punktu C prostopadle do ramienia korby
oraz reakcje łożysk przy pionowym położeniu korby pokazanym na rysunku, jeżeli ciężar
wału wynosi 300 N, ciężar sań z urobkiem 1000 N, współczynnik tarcia sań o drewniany tor
0.5, kąt nachylenia wykopu do poziomu 30º, długość ramienia korby 0.5 m, a miejsce zejścia
liny z bębna jest odległe o 50 cm od łożyska B. Odległości punktu C od prostej pionowej
przechodzącej przez A nie uwzględniać, a obrót przyjąć jako jednostajny.

Odp. X

= –36.1 N, Z

= 306 N, X

= –539 N, Z

= 461 N, F = 233 N.

M_280. Poziomy wał pędniany, na którym są osadzone dwa koła pasowe C i D, może się
obracać w łożyskach A i B. Promienie kół są r

= 20 cm, r

= 25 cm, odstęp kół od łożysk

a = b = 50 cm, a odległość między kołami c = 100 cm. Siły w gałęziach pasa nałożonego na
koło C są skierowane poziomo i mają wartości T

i t

, przy czym T

= 2t

= 5000 N, a siły

w gałęziach pasa nałożonego na koło D tworzą z pionem kąt α = 30º i mają wartości T

i t

przy czym T

= 2t

. Wyznaczyć siły T

i t

dla położenia równowagi oraz reakcje łożysk

spowodowane siłami w pasach.

Odp. T

= 4000 N, t

= 2000 N, X

= –6375 N, Z

= 1300 N, X

= –4125 N, Z

= 3900 N.

9. Środek ciężkości

M_286. Wyznaczyć położenie środka ciężkości C ramki AFBD składającej się z łuku ADB
będącego ćwiartką okręgu koła o promieniu FD = R i półokręgu AFB zbudowanego na
cięciwie AB jako na średnicy. Ciężar jednostki długości obu prętów tworzących ramkę jest
jednakowy.

Odp.

(

)

(

)

524

−

M_287. Wyznaczyć położenie środka ciężkości C powierzchni ograniczonej półokręgiem
AOB o promieniu R i dwoma odcinkami równej długości AD i DB, jeśli OD = 3R.

Rozw.
Półkole ABO:

pole

, odcięta środka ciężkości













−

Trójkąt ABD:

pole

, odcięta środka ciężkości

Dla całości:

(

)

(

)

185

≈

⋅

−

⋅

Odp.

185

≈

M_289. Wyznaczyć położenie środka ciężkości C jednorodnego krążka z okrągłym otworem
zakładając, że promień krążka wynosi r

, promień otworu r

, a środek otworu znajduje się w

odległości r

/2 od środka krążka.

Rozw.
Pole figury:

(

)

−

(

)

(

)

−

⋅

−

Odp.

(

)

−

M_290. Znaleźć współrzędne środka ciężkości przekroju poprzecznego kątownika
nierównoramiennego, którego półki mają szerokość OA = a, OB = b, a grubość AC = BD = d.

Rozw. Przekrój kątownika dzielimy na dwa prostokąty, których pola i współrzędne środków
ciężkości oznaczamy przez S

i (x

, y

) oraz S

i (x

, y

(

)

−

(

)

(

)

(

)

(

)

−

⋅

−

(

) (

)

(

)

(

)

−

⋅

−

Odp.

(

)

−

(

)

−

M_291. Znaleźć odległość środka ciężkości przekroju teownika ABCD od jego boku AC,
jeżeli wysokość środnika DB = h, szerokość półki AC = c, grubość półki wynosi d, a grubość
środnika b.

Rozw. Teownik dzielimy na dwa prostokąty pokazane na rysunku

(

)

−

(

)

(

) (

)

(

)

(

)

−

⋅

−

Odp.

(

)

−

M_295. Przeprowadzić przez wierzchołek D jednorodnego prostokąta ABCD prostą DE tak,
aby po odcięciu części wzdłuż tej prostej i zawieszeniu pozostałego trapezu za wierzchołek E,
bok AD o długości a znalazł się w położeniu poziomym.

Rozw. Aby bok AD pozostawał w położeniu poziomym przy zawieszeniu płytki w punkcie E,
środek ciężkości F obciętej płytki musi leżeć na prostopadłej opuszczonej z punku E na bok
AD, a więc x

= EB.

Pole prostokąta AXEB:

Pole trójkąta DXE:

−

⇒

366

≈

−

Odp.

366

≈

M_296. Dany jest kwadrat ABCD, którego boki mają długość a. Znaleźć takie położenie
punktu E, aby był on środkiem ciężkości powierzchni powstałej po wycięciu z kwadratu
równoramiennego trójkąta AEB.

Pole trójkąta ABE:

Pole figury AEBDC:

−

Pole kwadratu:













−

634

−

Odp.

634

Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
30 Struktury zaleznosci miedzy wskaznikami zrow rozw K Chmura
Mieszcza
Ekon Rozw W 5 9
Ekon Rozw W 13
Ekon Rozw W 9
4 Statyka Kinetyka
Ekon Rozw W 17
logika rozw zadan v2
kolos2 rozw id 242277 Nieznany
al lin zad3 rozw
2010kolo1 rozw
ICh S schemat rozw zad konwekcja
ust. o szczeg. sposobach rozw. stos. pr., bhp
Podstawy Statyki Budowli

więcej podobnych podstron