Nazwisko prowadzącego ćwiczenia:
Wydział Chemiczny

II kolokwium z Analizy matematycznej 2.2B

08.06.2010

Imię i nazwisko

Nr albumu

1

2

3

4

P

A

1.

Wyznaczyć punkt (x

0

, y

0

, z

0

), w którym płaszczyzna styczna do powierzchni z = ln

 1

x

+ y

2



jest równoległa

do płaszczyzny x + z = 0.

2.

Zbadać istnienie ekstremów lokalnych funkcji f (x, y) = 2x

3

+ 5x

2

+ (x + 1)y

2

w punktach P

1

= (−1, −2),

P

2

= (0, 0), P

3

= (1, 1) i określić ich rodzaj.

3.

Całkę podwójną

ZZ

D

f

(x, y) dxdy, po obszarze D ograniczonym krzywymi y = 2 − x

2

, x = |y|, y = −2 zamienić

na całki iterowane na dwa sposoby. Narysować obszar D.

4.

Wyznaczyć wszystkie rozwiązania równania y

′′

− 8y

′

+ 15y = 32te

t

spełniające warunek y(0) = 3.

Rozwiązania

Nazwisko prowadzącego ćwiczenia:
Wydział Chemiczny

II kolokwium z Analizy matematycznej 2.2B

08.06.2010

Imię i nazwisko

Nr albumu

1

2

3

4

P

B

1.

Wyznaczyć punkt (x

0

, y

0

, z

0

), w którym płaszczyzna styczna do powierzchni z = y ln 1 + x + y

2

jest równoległa

do płaszczyzny z − y ln 2 = 0.

2.

Zbadać istnienie ekstremów lokalnych funkcji f (x, y) = 3x

2

y

− 6xy + y

3

w punktach P

1

= (0, 0), P

2

= (1, 1),

P

3

= (−1, 1) i określić ich rodzaj.

3.

Całkę podwójną

ZZ

D

f

(x, y) dxdy po obszarze D ograniczonym krzywymi x = 2 − y

2

, y = |x|, x = −2 zamienić

na całki iterowane na dwa sposoby. Narysować obszar D.

4.

Wyznaczyć wszystkie rozwiązania równania y

′′

+ y

′

− 6y =

11 − 6t

e

t

spełniające warunek y(0) = −2.

Rozwiązania

Nazwisko prowadzącego ćwiczenia:
Wydział Chemiczny

II kolokwium z Analizy matematycznej 2.2B

08.06.2010

Imię i nazwisko

Nr albumu

1

2

3

4

P

C

1.

Wyznaczyć punkt (x

0

, y

0

, z

0

), w którym płaszczyzna styczna do powierzchni z = x ln (

√

y

− 2x) jest równoległa

do płaszczyzny z = 1.

2.

Zbadać istnienie ekstremów lokalnych funkcji f (x, y) = x

3

+3xy

2

−15x−12y w punktach P

1

= (2, 1), P

2

= (1, 0),

P

3

= (1, 2) i określić ich rodzaj.

3.

Całkę podwójną I =

ZZ

D

f

(x, y) dxdy po obszarze D ograniczonym krzywymi x = y

2

− 2, y = −|x|, x = 2

zamienić na całki iterowane na dwa sposoby. Narysować obszar D.

4.

Wyznaczyć wszystkie rozwiązania równania 6y

′′

− 5y

′

+ y = t

2

spełniające warunek y(0) = 38.

Rozwiązania

Nazwisko prowadzącego ćwiczenia:
Wydział Chemiczny

II kolokwium z Analizy matematycznej 2.2B

08.06.2010

Imię i nazwisko

Nr albumu

1

2

3

4

P

D

1.

Wyznaczyć punkt (x

0

, y

0

, z

0

), w którym płaszczyzna styczna do powierzchni z = (x − 1)

2

+ ln



1 +

x
y



jest

równoległa do płaszczyzny z + x = 0.

2.

Zbadać istnienie ekstremów lokalnych funkcji f (x, y) = 3x

3

+ 3x

2

y

− y

3

+ 15y w punktach P

1

=

√

5, −

√

5

,

P

2

= 0,

√

5

, P

3

= (2, −3) i określić ich rodzaj.

3.

Całkę podwójną I =

ZZ

D

f

(x, y) dxdy po obszarze D ograniczonym krzywymi y = x

2

− 2, x = −|y|, y = 2

zamienić na całki iterowane na dwa sposoby. Narysować obszar D.

4.

Wyznaczyć wszystkie rozwiązania równania 3y

′′

− 2y

′

− y = (1 − t)(t + 2) spełniające warunek y(0) = 10.

Rozwiązania