‚WICZENIA Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ  ZADANIA

RACHUNEK CAŠKOWY FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH

1. Obliczy¢ dane caªki podwójne po wskazanych prostok¡tach:

a) R R

R

y

3

e

x

2

dxdy

, R = [0; 2] × [−1; 1];

b) R R

R

x

y

2

dxdy

, R = [1; 2] × [4; 6];

c) R R

R

1

(x+y+1)

3

dxdy

, R = [0; 2] × [0; 1];

d) R R

R

x sin xydxdy

, R = [0; 1] × [π; 2π].

2. Zamieni¢ caªk¦ podwójn¡ RR

D

f (x, y)dxdy

na caªki iterowane, gdzie D

jest obszarem ograniczonym krzywymi:
a) x

2

+ y

2

= 2

, y

3

= x

2

;

b) x

2

+ y

2

= 4

, y = 2x − x

2

, x = 0;

c) xy = 6, x + y = 7;
d) x = y

2

, x =

y

2

2

+ 1

.

3. W podanych caªkach iterowanych zmieni¢ (je±li jest to wykonalne) kolej-

no±¢ caªkowania:
a) R

2

−6

dy

R

2−y

y2

4

−1

f (x, y) dx

,

b) R

π

0

dx

R

2

sin x

f (x, y) dy

,

c) R

1

−1

dx

R

|x|

−

√

4−x

2

f (x, y) dy

.

4. Obliczy¢ caªki podwójne po wskazanych obszarach:

a) RR

D

| cos(x + y)| dxdy

, D = [0; π] × [0; π];

b) RR

D

max(2x, y) dxdy

, D = [0; 2] × [0; 1];

c) RR

D

(x

2

+ y

2

) dxdy

, D : x

2

+ y

2

− 2y ≤ 0

;

d) RR

D

1

(1−x

2

−y

2

)

2

dxdy

, D : x

2

+ y

2

≤ x, x

2

+ y

2

≤ y

;

5. Obliczy¢ pola obszarów ograniczonych krzywymi:

a) y = x

2

− x

, y = x;

b) y = e

x

, y = ln x, x + y = 1, x = 2;

c) x

2

+ y

2

− 2y = 0

, x

2

+ y

2

− 4y = 0

.

6. Obliczy¢ obj¦to±¢ bryª ograniczonych powierzchniami:

a) x

2

+ y

2

= 1

, x + y + z = 3, z = 0;

b) y = 0, y = 1 − |x|, z = 0, z = 10 − 5x − 2y;
c) x

2

+ y

2

+ z

2

− 2z = 0

;

d) z = 0, z =

1

√

a

2

−(x

2

+y

2

)

, x

2

= y

2

− ax ≤ 0

;

e) x

2

+ y

2

= 1

, x

2

+ y

2

= 4

, z = 0, z = 2;

f) x

2

+ y

2

+ z

2

= R

2

, y = x, y =

√

3x

;

g) z = x

2

+ y

2

, z = 4 − x

2

− y

2

.

1