1
MOMENTY BEZWŁADNOŚCI
FIGUR PŁASKICH
Do wyznaczenia napręŜeń w przypadku działania siły osiowej (rozciąganie i
ś
ciskanie) jest potrzebna znajomość pola powierzchni przekroju pręta. Przy
występowaniu momentu
gnącego
lub
skręcającego
jest konieczne wprowadzenie
nowych wielkości geometrycznych, charakteryzujących przekrój pręta. Będą to:
moment bezwładności
i
moment zboczenia
. Nazwa moment bezwładności
pochodzi z dynamiki, gdzie jest to moment masowy drugiego rzędu, określający w
pewnych warunkach bezwładność ciała.
Rys. 1. Biegunowy i osiowy moment bezwładno
ś
ci
Ogólnie moment bezwładności charakteryzuje w jaki sposób rozłoŜona jest masa
rozpatrywanego przekroju względem danego punktu, prostej lub prostych (rys.1).
Biegunowym momentem bezwładności I
O
figury płaskiej o polu powierzchni A
nazywamy moment bezwładności względem ustalonego punktu O, zwanego często
biegunem, zdefiniowany jako całka po polu tej figury z iloczynu elementu pola dA
i kwadratu odległości
ρ
zawartej pomiędzy tym polem a biegunem (punktem O).
[ ]
I
dA
A
0
2
=
∫
ρ
m
4
(1)
2
Osiowym momentem bezwładności I
l
figury płaskiej o polu powierzchni A
nazywamy moment bezwładności względem ustalonej prostej l, zdefiniowany jako
całka po polu tej figury z iloczynu elementu pola dA i kwadratu odległości r tego
pola od prostej l.
[ ]
I
r dA
l
A
=
∫
2
m
4
(2)
Momenty bezwładności w prostokątnym układzie współrzędnych
Rys.2. Momenty bezwładno
ś
ci w układzie współrz
ę
dnych Oxy
W układzie współrzędnych Oxy (rys. 2) momentami bezwładności względem osi
x,y będą
I
y dA
x
A
=
∫
2
(3)
I
x dA
y
A
=
∫
2
(4)
a momentem biegunowym względem początku układu O będzie
I
dA
A
0
2
=
∫
ρ
(5)
Wartości tych momentów niezaleŜnie od znaków współrzędnych będą zawsze
dodatnie. Wprowadzając zaleŜność
ρ
2
2
2
=
+
x
y
3
otrzymamy związek pomiędzy osiowymi momentami bezwładności względem osi
x,y i biegunowym momentem bezwładności względem początku układu O.
(
)
I
dA
x
y dA
x dA
y dA
I
I
A
A
A
A
x
y
0
2
2
2
2
2
=
=
+
=
+
=
+
∫
∫
∫
∫
ρ
Moment bezwładności biegunowy
figury płaskiej względem początku układu
prostokątnego równa się sumie momentów bezwładności względem dwu osi
układu leŜących w płaszczyźnie tej figury.
I
I
I
x
y
0
=
+
(6)
Moment bezwładności I
l
względem prostej l moŜna przedstawić jako iloczyn
I
Ai
l
l
=
2
gdzie: A - pole figury płaskiej
i
l
- wielkość nazywana
promieniem bezwładności
figury płaskiej.
Promień bezwładności oblicza się ze wzoru
i
I
A
l
l
=
(7)
W układzie prostokątnym
i
I
A
x
x
=
i
I
A
y
y
=
W prostokątnym układzie współrzędnych wprowadza się ponadto pojęcie
momentu względem układu osi, zwanego równieŜ
momentem zboczenia
,
momentem dewiacji lub momentem odśrodkowym. Moment zboczenia figury
płaskiej dla układu osi Oxy definiuje się jako
I
xydA
xy
A
=
∫
(8)
gdzie: x, y - współrzędne elementu powierzchni o polu dA.
Moment ten w odróŜnieni od momentów biegunowych i osiowych moŜe
przyjmować wartości ujemne oraz zero.
4
Momenty bezwładności figur złoŜonych
Momenty bezwładności
skomplikowanej figury
.
Dzieli się na figury składowe, liczy momenty bezwładności poszczególnych figur
składowych i następnie sumuje.
Przykładowo, jeŜeli figurę o polu A (rys.5) podzieli się na figury składowe od I-IV
o polach powierzchni A
I
-A
IV
(A=A
I
+A
II
+A
III
+A
IV
), obliczając momenty
bezwładności poszczególnych figur składowych i sumując je otrzymamy momenty
bezwładności całej figury.
Rys. 5.
Momenty bezwładności złoŜonej figury płaskiej równają się sumie momentów
bezwładności figur składowych
5
Rys. 6.
Podziału figury moŜna dokonać w taki sposób, Ŝe będzie ona składać się z figur
"pełnych" i "pustych" (rys.6). Wówczas przy sumowaniu momentów
bezwładności lub zboczenia momenty otworów naleŜy uwaŜać za ujemne.
Korzystanie z tego stwierdzenia, szczególnie w przypadku figur wielospójnych,
ma znaczenie praktyczne.