1

MOMENTY BEZWŁADNOŚCI

FIGUR PŁASKICH

Do wyznaczenia naprężeń w przypadku działania siły osiowej (rozciąganie i

ś

ciskanie) jest potrzebna znajomość pola powierzchni przekroju pręta. Przy

występowaniu momentu

gnącego

lub

skręcającego

jest konieczne wprowadzenie

nowych wielkości geometrycznych, charakteryzujących przekrój pręta. Będą to:

moment bezwładności

i

moment zboczenia

. Nazwa moment bezwładności

pochodzi z dynamiki, gdzie jest to moment masowy drugiego rzędu, określający w

pewnych warunkach bezwładność ciała.

Rys. 1. Biegunowy i osiowy moment bezwładno

ś

ci

Ogólnie moment bezwładności charakteryzuje w jaki sposób rozłożona jest masa
rozpatrywanego przekroju względem danego punktu, prostej lub prostych (rys.1).

Biegunowym momentem bezwładności I

O

figury płaskiej o polu powierzchni A

nazywamy moment bezwładności względem ustalonego punktu O, zwanego często
biegunem, zdefiniowany jako całka po polu tej figury z iloczynu elementu pola dA
i kwadratu odległości

ρ

zawartej pomiędzy tym polem a biegunem (punktem O).

[ ]

I

dA

A

0

2

=

∫

ρ

m

4

(1)

2

Osiowym momentem bezwładności I

l

figury płaskiej o polu powierzchni A

nazywamy moment bezwładności względem ustalonej prostej l, zdefiniowany jako
całka po polu tej figury z iloczynu elementu pola dA i kwadratu odległości r tego
pola od prostej l.

[ ]

I

r dA

l

A

=

∫

2

m

4

(2)

Momenty bezwładności w prostokątnym układzie współrzędnych

Rys.2. Momenty bezwładno

ś

ci w układzie współrz

ę

dnych Oxy

W układzie współrzędnych Oxy (rys. 2) momentami bezwładności względem osi
x,y będą

I

y dA

x

A

=

∫

2

(3)

I

x dA

y

A

=

∫

2

(4)

a momentem biegunowym względem początku układu O będzie

I

dA

A

0

2

=

∫

ρ

(5)

Wartości tych momentów niezależnie od znaków współrzędnych będą zawsze
dodatnie. Wprowadzając zależność

ρ

2

2

2

=

+

x

y

3

otrzymamy związek pomiędzy osiowymi momentami bezwładności względem osi

x,y i biegunowym momentem bezwładności względem początku układu O.

(

)

I

dA

x

y dA

x dA

y dA

I

I

A

A

A

A

x

y

0

2

2

2

2

2

=

=

+

=

+

=

+

∫

∫

∫

∫

ρ

Moment bezwładności biegunowy

figury płaskiej względem początku układu

prostokątnego równa się sumie momentów bezwładności względem dwu osi
układu leżących w płaszczyźnie tej figury.

I

I

I

x

y

0

=

+

(6)

Moment bezwładności I

l

względem prostej l można przedstawić jako iloczyn

I

Ai

l

l

=

2

gdzie: A - pole figury płaskiej

i

l

- wielkość nazywana

promieniem bezwładności

figury płaskiej.

Promień bezwładności oblicza się ze wzoru

i

I

A

l

l

=

(7)

W układzie prostokątnym

i

I

A

x

x

=

i

I

A

y

y

=

W prostokątnym układzie współrzędnych wprowadza się ponadto pojęcie

momentu względem układu osi, zwanego również

momentem zboczenia

,

momentem dewiacji lub momentem odśrodkowym. Moment zboczenia figury

płaskiej dla układu osi Oxy definiuje się jako

I

xydA

xy

A

=

∫

(8)

gdzie: x, y - współrzędne elementu powierzchni o polu dA.

Moment ten w odróżnieni od momentów biegunowych i osiowych może
przyjmować wartości ujemne oraz zero.

4

Momenty bezwładności figur złożonych

Momenty bezwładności

skomplikowanej figury

.

Dzieli się na figury składowe, liczy momenty bezwładności poszczególnych figur

składowych i następnie sumuje.

Przykładowo, jeżeli figurę o polu A (rys.5) podzieli się na figury składowe od I-IV

o polach powierzchni A

I

-A

IV

(A=A

I

+A

II

+A

III

+A

IV

), obliczając momenty

bezwładności poszczególnych figur składowych i sumując je otrzymamy momenty

bezwładności całej figury.

Rys. 5.

Momenty bezwładności złożonej figury płaskiej równają się sumie momentów
bezwładności figur składowych

5

Rys. 6.

Podziału figury można dokonać w taki sposób, że będzie ona składać się z figur

"pełnych" i "pustych" (rys.6). Wówczas przy sumowaniu momentów

bezwładności lub zboczenia momenty otworów należy uważać za ujemne.

Korzystanie z tego stwierdzenia, szczególnie w przypadku figur wielospójnych,

ma znaczenie praktyczne.