MOMENTY STATYCZNE

I MOMENTY BEZWŁADNOŚCI FIGUR PŁASKICH

W zależnościach wykorzystywanych w obliczeniach wytrzymałościowych elementów konstrukcyjnych występują wielkości zależące od ich kształtu, wielkości pola powierzchni i jego położenia względem przyjętego układu współrzędnych. Mowa tu o momentach statycznych i momentach bezwładności.

MOMENTY STATYCZNE FIGUR PŁASKICH

Rozpatrzmy płaską powierzchnię o polu powierzchni S i wydzielmy z niej element o powierzchni dS, którego wymiary zdążają do zera. Oznaczmy przez x₁, x₂ współrzędne powierzchni dS, natomiast przez x_1c , x_2c współrzędne środka ciężkości całej figury. Dla tak określonych wielkości, moment statyczny całej figury względem osi x₁ definiuje się zależnością:

Podobnie określamy moment statyczny pola figury względem osi x₂:

Schemat układu współrzędnych do obliczania momentów statycznych i momentów bez­władności

Momenty statyczne mogą przyjmować wartości dodatnie, ujemne, względnie mogą być równe zeru. Wartości tych momentów uzależnione są od położenia figury w stosunku do założonego układu osi współrzędnych, względem których przeprowadzamy obliczenia.

Znajomość wartości momentów statycznych umożli­wia obliczenie położenia środka ciężkości figury. Wyznaczenie współrzędnych środka ciężkości pola figury dokonuje się z następujących zależności:

Jak wspomniano, moment statyczny może przyjmować różne wartości. W przypadku, gdy względem dowolnej rozpatrywanej osi moment statyczny figury równy jest zeru, wówczas oś ta przechodzi przez środek ciężkości pola figury i taka oś nazywana jest osią centralną.

MOMENTY BEZWŁADNOŚCI FIGUR PŁASKICH

Bazując na oznaczeniach rys. 2.1, możemy zdefiniować osiowe momenty bez­władności względem założonego układu osi współrzędnych oraz biegunowy moment bezwładności.

Moment bezwładności figury płaskiej o polu S względem osi x₁ można przedstawić w postaci wyrażenia:

gdzie x₂ oznacza odległość elementu dS pola S od osi x₁.

Podobnie określa się moment bezwładności względem osi x₂.

Moment bezwładności figury płaskiej o polu S względem osi x₂ można określić za pomocą wyrażenia:

gdzie x₁ oznacza odległość elementu dS pola S od osi x₂.

Możemy także zdefiniować biegunowy moment bezwładności (tj. moment bezwładności względem punktu), ustalając położenie bieguna. Jeżeli założymy, że będzie nim początek układu współrzędnych (punkt O), wówczas biegunowym momentem bezwładności figury płaskiej o polu S względem punktu O będzie:

gdzie ρ określa odległość elementu dS pola S od punktu O, tzw. bieguna.

Ponieważ zachodzi następująca zależność:

to można wykazać, że między osiowymi momentami bezwładności, a momen­tem biegunowym istnieje związek:

Zatem suma momentów bezwładności pola S względem dwóch osi prosto­padłych do siebie równa się biegunowemu momentowi bezwładności wzglę­dem punktu O przecięcia się tych osi.

Sposób określania momentów bezwładności względem zadanych osi

Moment bezwładności prostokąta względem osi x1. Rozpatrzmy nieskończenie mały pasek prostokąta o bokach b oraz dx2. Pole tego paska wynosi: Podstawiamy tę wielkość do wyra­żenia definiującego moment bez­władności figury względem osi x1:

Moment bezwładności koła względem osi x1 Obliczmy w pierwszej kolejności biegunowego momentu bezwładności względem środka koła, a następnie określimy moment bez­władności względem osi x1. Pole elementarnego pierścienia wyraża się wzorem: Podstawiając to wyrażenie do zależności definiującej biegunowy moment bez­władności otrzymujemy: Stąd wykorzystując symetrię kołową figury, tj. fakt, że Jx1 = Jx2 , otrzymujemy: Moment bezwładności trójkąta względem osi x1 Pole każdego z pasków obliczamy ze wzoru: Szerokość paska x1 jest zmienna i zależy od miejsca jego wyboru. Obliczamy ją, wykorzys­tując podobieństwo trójkątów ABC i A'B'C, z którego wynika: Stąd

Mając określone momenty bezwładności względem układu osi przechodzą­cych przez środek ciężkości figury, możemy w prosty sposób określić momenty bezwładności względem dowolnego układu współrzędnych, którego osie są równoległe do osi prze­chodzących przez środek ciężkości (osi centralnych).

Zależności wymiarowe między układami osi przesuniętych równolegle:

Osiowe momenty bezwładności wzglę­dem osi równoległych do osi centralnych:

Poszczególne człony oznaczają następujące wielkości:

Stąd zachodza związki:

Ponieważ obie osie X_lc i X_2c przechodzą przez środek ciężkości, więc moment statyczny figury względem osi centralnej jest równy zeru:

Ostatecznie wzory na momenty bezwład­ności względem osi równoległych do osi centralnych przyjmują postać

Związki te reprezentują tzw. twierdzenie Steinera, określające osiowe momenty bezwładności względem osi centralnych i osi do nich równo­ległych. Treść twierdzenia jest następująca:

Moment bezwładności względem osi jest równy sumie momentu bezwładności względem równoległej osi centralnej oraz iloczynu pola figury i kwadratu odległości między tymi osiami.

PROMIEŃ BEZWŁADNOŚCI

Na podstawie znajomości osiowych momentów bezwładności można określić tzw. ramię lub promień bezwładności. Promienie bezwładności względem osi x₁ i x₂ definiuje się odpowiednio następującymi zależnościami:

ODŚRODKOWY MOMENT BEZWŁADNOŚCI (MOMENT DEWIACJI)

W wytrzymałości materiałów operuje się również pojęciem odśrodkowego momentu bezwładności, nazywanego również momentem dewiacji. Odśrodkowy moment bezwładności pola figury definiujemy

gdzie x₁, x₂ oznaczają współrzędne środka ciężkości figury.

Wartości odśrodkowych momentów bez­władności, w odróżnieniu od osiowych momentów bezwładności, mogą być dodatnie, ujemne lub równe zeru.

Jeżeli jedna z osi układu współrzędnych, względem której obliczamy mo­ment dewiacji jest osią symetrii, wówczas wartość momentu odśrodkowego wynosi zero. Osie, względem których odśrodkowy moment bezwładności jest równy zeru, nazywamy osiami głównymi przekroju.

Schemat przypadku --> zerowania [Author:S] się odśrodkowego momentu bezwładności W celu analitycznego wyznaczenia momentu dewiacji figury względem układu współrzędnych (x1, x2) możemy, w przypadku gdy jedna oś jest osią symetrii, podzielić figurę na dwie równe części i napisać

Moment dewiacji trójkąta względem osi x1, x2 Współrzędne środka ciężkości wybranego paska wynoszą x1/2 oraz x2. Szerokość paska x1 jest zmienna i zależy od współrzędnej x2: Pole paska określa wzór Stąd

Odśrodkowy moment bezwładności dla układu osi równolegle przesuniętych względem układu osi przechodzących przez środek ciężkości wynosi:

Ponieważ

stąd wzór wiążący moment dewiacji względem układów osi przesu­niętych równolegle:

Wzór ten wyraża analityczną postać twierdzenia Steinera dla odśrodko­wych momentów bezwładności. Treść tego twierdzenia jest następująca:

Odśrodkowy moment bezwładności figury względem osi równo­ległych jest równy sumie odśrodkowego momentu bezwładności względem osi centralnych oraz iloczynu pola figury i odległości między osiami.

MOMENTY BEZWŁADNOŚCI WZGLĘDEM OSI OBRÓCONYCH

Schemat do ustalenia zależności wymiarowych między układami osi współrzędnych obró­conych względem siebie Współrzędne punktu figury w układzie osi obróconych o kąt  określone są następującymi związkami:

Z definicji osiowych momentów bezwładności i momentu dewiacji dla układu (x₁, x₂) otrzymujemy

stąd:

Ponieważ

To po przekształceniach:

i ostatecznie:

czyli wartości osiowych momentów bezwładności i odśrodkowego momentu bezwładności są funkcjami kąta a, o który obrócony jest układ osi.

OSIE GŁÓWNE I MOMENTY BEZWŁADNOŚCI WZGLĘDEM OSI GŁÓWNYCH

Postać funkcji określających wzajemne relacje między osiowymi mo­mentami bezwładności a momentami dewiacji, dla układów osi obróconych, wskazuje, że funkcje te mają wartości ekstremalne.

Aby określić wartość kąta, dla którego funkcja J_x^, = f() osiąga ekstremum, poszukujemy jej pierwszej pochodnej i przyrównujemy ją do zera.

Dokonując uproszczeń, otrzymujemy

a po uporządkowaniu wielkości, ostatecznie uzyskujemy zależność

W celu określe­nia kierunków głównych osi bezwładności bierzemy pod uwagę dwie wartości kata 

Osie, względem których osiowe momenty bezwładności osiągają wartości ekstremalne nazywamy głównymi osiami bezwładności pola figury płaskiej, natomiast momenty bezwładności względem głównych osi nazywamy głównymi momentami bezwładności.

Dla określenia wartości głównych momentów bezwładno­ści podstawmy wartość kąta _, poprzez wyrażenie funkcji sinus i cosinus przez funkcję tangens:

czyli:

a stąd uzyskujemy ostateczną postać wzorów, określają­cych wartości głównych momentów bezwładności:

W podręcznikach i monografiach dotyczących wytrzymałości materiałów przyjmuje się w oznaczeniu maksymalnego momentu bezwładności indeks „l", natomiast dla minimalnego indeks „2". Ilustracja położenia głównych osi bezwładności

Dla danej figury płaskiej zawsze można określić położenie głównych osi bezwładności, względem których momenty bezwładności osiągają wartości ekstremalne. Jeśli względem jednej z osi głównych moment bezwładności będzie maksymalny, to względem drugiej osi musi osiągnąć minimum. Jeśli obie główne osie bez­władności przechodzą przez środek ciężkości figury, wówczas nazywane są one głównymi centralnymi osiami bezwładności, natomiast momenty bezwład­ności względem tych osi nazywamy głównymi centralnymi momentami bez­władności.

Odśrodkowy moment bezwładności w tym przypadku wynosi:

z którego natychmiast wynika, że

A zatem odśrodkowy moment bezwładności pola figury względem głównych osi bezwładności jest równy zeru.

Reasumując wszystkie rozważania dotyczące głównych osi bezwładności i głównych momentów bezwładności, możemy sformułować następujące definicje.

Głównymi osiami bezwładności pola figury płaskiej nazywamy dwie takie osie, względem których osiowe momenty bezwładnoś­ci osiągają ekstremalne wartości, natomiast odśrodkowy moment bezwładności względem tych osi przyjmuje wartość zero.

Głównymi momentami bezwładności pola figury płaskiej nazy­wamy momenty bezwładności względem głównych osi bezwład­ności.

Jeśli obie osie bezwładności figury płaskiej przechodzą przez jej środek ciężkości, wówczas takie osie nazywamy głównymi cent­ralnymi osiami bezwładności.

Jeśli początkowym układem odniesienia są główne osie bezwładności, wtedy zachodzi:

Środki ciężkości powierzchni (powłok)

Na rysunku pokazano powłokę, której grubość jest znikomo mała w porów­naniu z pozostałymi wymiarami.

W celu wyprowadzenia wzorów określających położenie środka ciężkości wycina się mały element powłoki o powierzchni A_i i ciężarze

gdzie σ_i - ciężar na jednostkę pola powierzchni powłoki w N^.m^-2.

Stąd

Występujące w tych wzorach całki są całkami powierzchniowymi, rozciągniętymi na całą powierzchnię A powłoki.

Jeżeli ciężar σ_i odniesiony do jednostki pola powierzchni jest stały, to wzory upraszczają się do postaci:

gdzie A oznacza całkowite pole powierzchni powłoki.

Położenie środka ciężkości powłoki zależy tylko od kształtu geometrycznego jej powierzchni, dlatego punkt ten nazwano środkiem ciężkości powierzchni.

Środki ciężkości linii

W podobny sposób jak dla powierzchni można wyprowadzić wzory określające współrzędne środka ciężkości linii, których wymiary poprzeczne są znikomo małe w porównaniu z długością (np. pręty, druty, liny).

Ciężar elementu o długości l_i jest określony wzorem:

gdzie q_i - ciężar na jednostkę długości w N^.m^-1.

Wzory na współrzędne środka ciężkości linii

W powyższych wzorach całkowanie jest rozciągnięte na całą długość linii AB.

Jeżeli ciężar q_i odniesiony do jednostki długości linii jest stały, to :

gdzie l - całkowita długość linii AB w m.

Punkt C o współrzędnych określonych ww. wzorami nosi nazwę środka ciężkości linii.

WYKREŚLNY SPOSÓB WYZNACZANIA MOMENTÓW BEZWŁADNOŚCI

Dotychczasowe rozważania zaprezentowały analityczny sposób określania wartości momentów bezwładności. Obecnie przedstawiona zostanie metoda graficzna, polegająca na wykreślaniu tzw. koła Mohra. Jest to równie efektyw­ny sposób wyznaczania wartości momentów bezwładności. Jego skuteczność najlepiej można pokazać na konkretnych przykładach.

W tym celu zastanów­my się najpierw nad tokiem czynności przy określaniu położenia głównych osi bezwładności oraz wartości głównych momentów bezwładności dla zadanych wartości momentów bezwładności względem dwóch osi prostopadłych x_l i x₂. Kolejność czynności jest następująca:

1. Wyznaczamy w układzie osi współrzędnych punkty A i B odpowiadające wartościom momentów bezwładności względem przyjętego układu współ­rzędnych;

2. Znajdujemy środek odcinka BA, tj. punkt E — współrzędna środka odcin­ka BA jest równa OE = 0,5(J_x1+J_x2);

3. W punktach A i B odmierzamy odcinki AC = BD = J_x1x2, które są prostopadłe do osi odciętych;

4. Łączymy punkty C i D (linia łącząca wyznacza środek E okręgu). Rysu­jemy okrąg o promieniu r = EC =
Połowy kątów CEA oraz CEB określają kierunki główne, natomiast odcinki OF i OG — wartości głównych momentów bezwładności.

Zastosowanie koła Mohra do wyznaczenia kierunków głównych i wartości głównych momentów bezwładności na podstawie znajomości osiowych momentów bezwładności i odśrodko­wego momentu bezwładności

Analizując zależności geometryczne zauważamy, że spełnione są następujące wzory wyprowadzone wcześniej w sposób analityczny:

Określają one położenie głównych osi bezwładności oraz wartości głównych momentów bezwładności.

W przypadku, gdy mamy wyznaczyć wartości momentów bezwładności względem osi układu współ­rzędnych tworzących z osiami głównymi kąty a, a +/2, jeśli znane są wartości głównych momentów bezwładności J₁ i J₂:

1. Wyznaczamy w układzie osi współrzędnych punkty A i B odpowiadające wartościom głównych momentów bezwładności względem przyjętego układu współrzędnych;

2. Znajdujemy środek odcinka AB, tj. punkt C — współrzędna środka odcin­ka AB jest równa OC = 0,5(J₁ + J₂);

3. Rysujemy okrąg o promieniu r = BC = 0,5(J₁ - J₂)

4. Wykreślamy średnicę okręgu DE, tworzącą kąt 2 z osią odciętych. Punkty D i E na obwodzie okręgu określają szukane wartości momentów bezwładności, natomiast odcinek DD' określa wartość momentu dewiacji.

Zastosowanie koła Mohra do wyznaczenia osiowych momentów bezwładności i odśrodkowego momentu bezwładności na podstawie znajomości kierunków głównych i wartości głównych momentów bezwładności

Z rysunku wynikają związki, które stanowią rozwiązanie postawionego zadania:

Moment statyczny bryły względem płaszczyzny jest równy objętości bryły pomnożonej przez współrzędną środka ciężkości bryły, prostopadłą do tej płaszczyzny.

Metodą dość często stosowaną jest metoda momentów statycznych, w której korzysta się z twierdzenia, że moment statyczny bryły względem płaszczyzny przechodzącej przez środek ciężkości jest równy zeru.

Najczęściej w praktyce inżynierskiej przy obliczaniu środka ciężkości bryły stosuje się metodę dzielenia, która sprowadza się do następujących etapów:

- podziału bryły na proste elementy bryłowe, których położenia środków ciężkości są znane,

- obliczenia momentów statycznych bryły względem płaszczyzn przyję­tego układu współrzędnych (sumując iloczyny objętości brył prostych i współrzędnych środków ciężkości),

- obliczenia współrzędnych środka ciężkości bryły (dzieląc momenty statyczne bryły przez całkowitą objętość bryły).

Określenie położenia środka ciężkości przy zastosowaniu metody syme­trii ułatwiają w szczególnych przypadkach następujące twierdzenia:

- Jeżeli bryła ma płaszczyznę symetrii, to środek ciężkości leży w tej płasz­czyźnie.

- Gdy bryła ma dwie płaszczyzny symetrii, środek ciężkości leży na linii ich przecinania się.

- Gdy bryła ma trzy płaszczyzny symetrii, śro­dek ciężkości leży w punkcie przecięcia się tych płaszczyzn.

Dość często stosowana jest ponadto metoda uzupełniania, zwana także metodą mas ujemnych, która polega na tym, że bryłę uzupełnia się inną bryłą tak dobraną, aby uzyskać bryłę o możliwie prostej postaci. Wyznaczenie środka cięż­kości sprowadza się wówczas do metody momentów statycznych, odejmując od momentu statycznego otrzymanej bryły moment statyczny bryły uzupełniającej.

Przykład 1. Znaleźć położenie środka ciężkości jednorodnego ostrosłupa prawidło­wego o wysokości h i podstawie kwadratu o boku a.

Rozwiązanie

Środek ciężkości ostrosłupa prawidłowego leży na osi symetrii, która pokrywa się z jego wysokością. Stąd x_c = y_c = 0,

a wiec wystarczy obliczyć jedną współrzędną z_c.

Elementarna objętość w postaci prostopadłościanu o boku podstawy a' i wysokości dz

Bok podstawy a' oblicza się z podobieństwa odpowiednich trójkątów

Stąd

Współrzędną środka objętości z_c wyznaczamy się przy zastosowaniu metody analitycznej, na podstawie wzoru:

Przykład 2. Znaleźć położenie środka ciężkości bryły złożonej z połowy walca o wy­sokości h i promieniu podstawy r oraz prostopadłościanu o wymiarach r x 0,5r x h (rys.).

Rozwiązanie

Objętości i współrzędne środków ciężkości połowy walca i prostopadłościanu wynoszą

Współrzędne środka ciężkości bryły oblicza się przy zastosowaniu metody dzielenia

Przykład 3. Wyznaczyć położenie środka ciężkości przestrzennej powierzchni pokaza­nej na rysunku. Elementy składowe powierzchni stanowią: połowa koła o promieniu r, prostokąt o wymiarach a x b i trójkąt prostokątny.

Rozwiązanie

Obliczenie współrzędnych środka ciężkości rozpatrywanej powierzchni przeprowadza się przy zastosowaniu metody dzielenia. Pola powierzchni i współrzędne środków ciężkości poszcze­gólnych elementów składowych powierzchni wynoszą

Stąd współrzędne środka ciężkości powierzchni są równe

Przykład 4. Wyznaczyć położenie środka ciężkości powłoki pokazanej na rysunku. Ele­menty składowe powłoki stanowią: połowa powierzchni bocznej walca o promieniu podstawy r i wy­sokości a, prostokąt o wymiarach a x b.

Rozwiązanie

Pola powierzchni i współrzędne środków ciężkości poszczególnych elementów składo­wych rozpatrywanej powłoki są równe

Współrzędne środka ciężkości powłoki, na podstawie metody dzielenia, wynoszą

Przykład 5. Wyznaczyć położenie środka ciężkości figury płaskiej pokazanej na rysunku.

Rozwiązanie

Obliczenia współrzędnych środka ciężkości rozpatrywanej figury płaskiej przeprowadza się przy zastosowaniu metody dzielenia. Pola powierzchni i współrzędne środków ciężkości po­szczególnych elementów składowych tej figury płaskiej są równe:

Stąd

Przykład 6. Znaleźć położenie środka ciężkości figury płaskiej pokazanej na rysunku.

Rozwiązanie

Współrzędne środka ciężkości rozpatrywanej figury płaskiej wyznacza się przy zastoso­waniu metody mas ujemnych. Pola powierzchni i współrzędne środków ciężkości prostokąta 2r x r, połowy koła o promieniu r i koła o promieniu r/4 wynoszą

Stąd

Przykład 7. Wyznaczyć współrzędne środka ciężkości powierzchni wycinka koła o pro­mieniu R i kącie środkowym 2.

Rozwiązanie

Ponieważ rozpatrywana figura płaska ma oś symetrii, środek ciężkości będzie leżał na tej osi. Przyjmując oś symetrii jako oś Ox wystarczy określić współrzędną x_c środka ciężkości.

Rozpatrzymy powierzchnię elementarną o kącie środkowym dϕ

i współrzędnej środka ciężkości tej powierzchni

Moment statyczny wycinka koła względem osi y będzie równy

Pole powierzchni tego wycinka wynosi

Stąd współrzędna środka ciężkości

Przykład 8. Określić położenie środka ciężkości łuku koła o promieniu r i kącie środ­kowym 2.

Rozwiązanie

Ponieważ rozpatrywany łuk koła ma oś symetrii Ox, środek ciężkości będzie leżał na tej osi. Wystarczy więc określić współrzędną x_c środka ciężkości. W tym celu rozpatruje się długość elementarną o kącie dϕ

i współrzędnej środka ciężkości tego elementu linii

Moment statyczny rozpatrywanego łuku koła względem osi y będzie równy

Długość łuku jest równa

Stąd otrzymamy współrzędną środka ciężkości

Przykład 9. Wyznaczyć współrzędne środka ciężkości linii łamanej AOBCDE przedstawionej na rysunku.

Rozwiązanie

Momenty statyczne względem osi x i y są równe

Współrzędne środka ciężkości rozpatrywanej linii łamanej wynoszą

3

Dokonujemy podziału figury na elementy symetryczne względem tej osi - każdemu elementowi pola o współrzędnych x₁, x₂ odpowiada symetryczny element o współrzędnych -x₁ x₂. Momenty od­środkowe takich dwóch elementów względem założonego układu współrzęd­nych są sobie równe, lecz różnią się znakiem. A zatem przy sumowa­niu, wartości tych momentów redukują się. Dokonując sumowania momentów odśrodkowych par elementów symetrycznych dla całej figury zauważamy, że jej moment dewiacji przyjmuje wartość zero.

---