MOMENTY STATYCZNE
I MOMENTY BEZWŁADNOŚCI FIGUR PŁASKICH
W zależnościach wykorzystywanych w obliczeniach wytrzymałościowych elementów konstrukcyjnych występują wielkości zależące od ich kształtu, wielkości pola powierzchni i jego położenia względem przyjętego układu współrzędnych. Mowa tu o momentach statycznych i momentach bezwładności.
MOMENTY STATYCZNE FIGUR PŁASKICH
Rozpatrzmy płaską powierzchnię o polu powierzchni S i wydzielmy z niej element o powierzchni dS, którego wymiary zdążają do zera. Oznaczmy przez x1, x2 współrzędne powierzchni dS, natomiast przez x1c , x2c współrzędne środka ciężkości całej figury. Dla tak określonych wielkości, moment statyczny całej figury względem osi x1 definiuje się zależnością:
Podobnie określamy moment statyczny pola figury względem osi x2:
|
Schemat układu współrzędnych do obliczania momentów statycznych i momentów bezwładności |
Momenty statyczne mogą przyjmować wartości dodatnie, ujemne, względnie mogą być równe zeru. Wartości tych momentów uzależnione są od położenia figury w stosunku do założonego układu osi współrzędnych, względem których przeprowadzamy obliczenia.
Znajomość wartości momentów statycznych umożliwia obliczenie położenia środka ciężkości figury. Wyznaczenie współrzędnych środka ciężkości pola figury dokonuje się z następujących zależności:
Jak wspomniano, moment statyczny może przyjmować różne wartości. W przypadku, gdy względem dowolnej rozpatrywanej osi moment statyczny figury równy jest zeru, wówczas oś ta przechodzi przez środek ciężkości pola figury i taka oś nazywana jest osią centralną.
MOMENTY BEZWŁADNOŚCI FIGUR PŁASKICH
Bazując na oznaczeniach rys. 2.1, możemy zdefiniować osiowe momenty bezwładności względem założonego układu osi współrzędnych oraz biegunowy moment bezwładności.
Moment bezwładności figury płaskiej o polu S względem osi x1 można przedstawić w postaci wyrażenia:
gdzie x2 oznacza odległość elementu dS pola S od osi x1.
Podobnie określa się moment bezwładności względem osi x2.
Moment bezwładności figury płaskiej o polu S względem osi x2 można określić za pomocą wyrażenia:
gdzie x1 oznacza odległość elementu dS pola S od osi x2.
Możemy także zdefiniować biegunowy moment bezwładności (tj. moment bezwładności względem punktu), ustalając położenie bieguna. Jeżeli założymy, że będzie nim początek układu współrzędnych (punkt O), wówczas biegunowym momentem bezwładności figury płaskiej o polu S względem punktu O będzie:
gdzie ρ określa odległość elementu dS pola S od punktu O, tzw. bieguna.
Ponieważ zachodzi następująca zależność:
to można wykazać, że między osiowymi momentami bezwładności, a momentem biegunowym istnieje związek:
Zatem suma momentów bezwładności pola S względem dwóch osi prostopadłych do siebie równa się biegunowemu momentowi bezwładności względem punktu O przecięcia się tych osi.
Sposób określania momentów bezwładności względem zadanych osi
|
Moment bezwładności prostokąta względem osi x1.
Rozpatrzmy nieskończenie mały pasek prostokąta o bokach b oraz dx2. Pole tego paska wynosi:
Podstawiamy tę wielkość do wyrażenia definiującego moment bezwładności figury względem osi x1:
|
|
Moment bezwładności koła względem osi x1
Obliczmy w pierwszej kolejności biegunowego momentu bezwładności względem środka koła, a następnie określimy moment bezwładności względem osi x1. Pole elementarnego pierścienia wyraża się wzorem:
Podstawiając to wyrażenie do zależności definiującej biegunowy moment bezwładności otrzymujemy:
Stąd wykorzystując symetrię kołową figury, tj. fakt, że Jx1 = Jx2 , otrzymujemy:
|
|
Moment bezwładności trójkąta względem osi x1 Pole każdego z pasków obliczamy ze wzoru:
Szerokość paska x1 jest zmienna i zależy od miejsca jego wyboru. Obliczamy ją, wykorzystując podobieństwo trójkątów ABC i A'B'C, z którego wynika:
Stąd
|
Mając określone momenty bezwładności względem układu osi przechodzących przez środek ciężkości figury, możemy w prosty sposób określić momenty bezwładności względem dowolnego układu współrzędnych, którego osie są równoległe do osi przechodzących przez środek ciężkości (osi centralnych).
|
Zależności wymiarowe między układami osi przesuniętych równolegle:
|
Osiowe momenty bezwładności względem osi równoległych do osi centralnych:
Poszczególne człony oznaczają następujące wielkości:
Stąd zachodza związki:
Ponieważ obie osie Xlc i X2c przechodzą przez środek ciężkości, więc moment statyczny figury względem osi centralnej jest równy zeru:
Ostatecznie wzory na momenty bezwładności względem osi równoległych do osi centralnych przyjmują postać
Związki te reprezentują tzw. twierdzenie Steinera, określające osiowe momenty bezwładności względem osi centralnych i osi do nich równoległych. Treść twierdzenia jest następująca:
Moment bezwładności względem osi jest równy sumie momentu bezwładności względem równoległej osi centralnej oraz iloczynu pola figury i kwadratu odległości między tymi osiami.
PROMIEŃ BEZWŁADNOŚCI
Na podstawie znajomości osiowych momentów bezwładności można określić tzw. ramię lub promień bezwładności. Promienie bezwładności względem osi x1 i x2 definiuje się odpowiednio następującymi zależnościami:
ODŚRODKOWY MOMENT BEZWŁADNOŚCI (MOMENT DEWIACJI)
W wytrzymałości materiałów operuje się również pojęciem odśrodkowego momentu bezwładności, nazywanego również momentem dewiacji. Odśrodkowy moment bezwładności pola figury definiujemy
gdzie x1, x2 oznaczają współrzędne środka ciężkości figury.
Wartości odśrodkowych momentów bezwładności, w odróżnieniu od osiowych momentów bezwładności, mogą być dodatnie, ujemne lub równe zeru.
Jeżeli jedna z osi układu współrzędnych, względem której obliczamy moment dewiacji jest osią symetrii, wówczas wartość momentu odśrodkowego wynosi zero. Osie, względem których odśrodkowy moment bezwładności jest równy zeru, nazywamy osiami głównymi przekroju.
|
Schemat przypadku --> zerowania [Author:S] się odśrodkowego momentu bezwładności
W celu analitycznego wyznaczenia momentu dewiacji figury względem układu współrzędnych (x1, x2) możemy, w przypadku gdy jedna oś jest osią symetrii, podzielić figurę na dwie równe części i napisać
|
|
Moment dewiacji trójkąta względem osi x1, x2 Współrzędne środka ciężkości wybranego paska wynoszą x1/2 oraz x2. Szerokość paska x1 jest zmienna i zależy od współrzędnej x2:
Pole paska określa wzór
Stąd
|
Odśrodkowy moment bezwładności dla układu osi równolegle przesuniętych względem układu osi przechodzących przez środek ciężkości wynosi:
Ponieważ
stąd wzór wiążący moment dewiacji względem układów osi przesuniętych równolegle:
Wzór ten wyraża analityczną postać twierdzenia Steinera dla odśrodkowych momentów bezwładności. Treść tego twierdzenia jest następująca:
Odśrodkowy moment bezwładności figury względem osi równoległych jest równy sumie odśrodkowego momentu bezwładności względem osi centralnych oraz iloczynu pola figury i odległości między osiami.
MOMENTY BEZWŁADNOŚCI WZGLĘDEM OSI OBRÓCONYCH
|
Schemat do ustalenia zależności wymiarowych między układami osi współrzędnych obróconych względem siebie
Współrzędne punktu figury w układzie osi obróconych o kąt określone są następującymi związkami:
|
Z definicji osiowych momentów bezwładności i momentu dewiacji dla układu (x1, x2) otrzymujemy
stąd:
Ponieważ
To po przekształceniach:
i ostatecznie:
czyli wartości osiowych momentów bezwładności i odśrodkowego momentu bezwładności są funkcjami kąta a, o który obrócony jest układ osi.
OSIE GŁÓWNE I MOMENTY BEZWŁADNOŚCI WZGLĘDEM OSI GŁÓWNYCH
Postać funkcji określających wzajemne relacje między osiowymi momentami bezwładności a momentami dewiacji, dla układów osi obróconych, wskazuje, że funkcje te mają wartości ekstremalne.
Aby określić wartość kąta, dla którego funkcja Jx, = f() osiąga ekstremum, poszukujemy jej pierwszej pochodnej i przyrównujemy ją do zera.
Dokonując uproszczeń, otrzymujemy
a po uporządkowaniu wielkości, ostatecznie uzyskujemy zależność
W celu określenia kierunków głównych osi bezwładności bierzemy pod uwagę dwie wartości kata
Osie, względem których osiowe momenty bezwładności osiągają wartości ekstremalne nazywamy głównymi osiami bezwładności pola figury płaskiej, natomiast momenty bezwładności względem głównych osi nazywamy głównymi momentami bezwładności.
Dla określenia wartości głównych momentów bezwładności podstawmy wartość kąta , poprzez wyrażenie funkcji sinus i cosinus przez funkcję tangens:
czyli:
a stąd uzyskujemy ostateczną postać wzorów, określających wartości głównych momentów bezwładności:
|
W podręcznikach i monografiach dotyczących wytrzymałości materiałów przyjmuje się w oznaczeniu maksymalnego momentu bezwładności indeks „l", natomiast dla minimalnego indeks „2".
Ilustracja położenia głównych osi bezwładności |
Dla danej figury płaskiej zawsze można określić położenie głównych osi bezwładności, względem których momenty bezwładności osiągają wartości ekstremalne. Jeśli względem jednej z osi głównych moment bezwładności będzie maksymalny, to względem drugiej osi musi osiągnąć minimum. Jeśli obie główne osie bezwładności przechodzą przez środek ciężkości figury, wówczas nazywane są one głównymi centralnymi osiami bezwładności, natomiast momenty bezwładności względem tych osi nazywamy głównymi centralnymi momentami bezwładności.
Odśrodkowy moment bezwładności w tym przypadku wynosi:
z którego natychmiast wynika, że
A zatem odśrodkowy moment bezwładności pola figury względem głównych osi bezwładności jest równy zeru.
Reasumując wszystkie rozważania dotyczące głównych osi bezwładności i głównych momentów bezwładności, możemy sformułować następujące definicje.
Głównymi osiami bezwładności pola figury płaskiej nazywamy dwie takie osie, względem których osiowe momenty bezwładności osiągają ekstremalne wartości, natomiast odśrodkowy moment bezwładności względem tych osi przyjmuje wartość zero.
Głównymi momentami bezwładności pola figury płaskiej nazywamy momenty bezwładności względem głównych osi bezwładności.
Jeśli obie osie bezwładności figury płaskiej przechodzą przez jej środek ciężkości, wówczas takie osie nazywamy głównymi centralnymi osiami bezwładności.
Jeśli początkowym układem odniesienia są główne osie bezwładności, wtedy zachodzi:
Środki ciężkości powierzchni (powłok)
Na rysunku pokazano powłokę, której grubość jest znikomo mała w porównaniu z pozostałymi wymiarami.
W celu wyprowadzenia wzorów określających położenie środka ciężkości wycina się mały element powłoki o powierzchni Ai i ciężarze
gdzie σi - ciężar na jednostkę pola powierzchni powłoki w N.m-2.
Stąd
Występujące w tych wzorach całki są całkami powierzchniowymi, rozciągniętymi na całą powierzchnię A powłoki.
Jeżeli ciężar σi odniesiony do jednostki pola powierzchni jest stały, to wzory upraszczają się do postaci:
gdzie A oznacza całkowite pole powierzchni powłoki.
Położenie środka ciężkości powłoki zależy tylko od kształtu geometrycznego jej powierzchni, dlatego punkt ten nazwano środkiem ciężkości powierzchni.
Środki ciężkości linii
W podobny sposób jak dla powierzchni można wyprowadzić wzory określające współrzędne środka ciężkości linii, których wymiary poprzeczne są znikomo małe w porównaniu z długością (np. pręty, druty, liny).
Ciężar elementu o długości li jest określony wzorem:
gdzie qi - ciężar na jednostkę długości w N.m-1.
Wzory na współrzędne środka ciężkości linii
W powyższych wzorach całkowanie jest rozciągnięte na całą długość linii AB.
Jeżeli ciężar qi odniesiony do jednostki długości linii jest stały, to :
gdzie l - całkowita długość linii AB w m.
Punkt C o współrzędnych określonych ww. wzorami nosi nazwę środka ciężkości linii.
WYKREŚLNY SPOSÓB WYZNACZANIA MOMENTÓW BEZWŁADNOŚCI
Dotychczasowe rozważania zaprezentowały analityczny sposób określania wartości momentów bezwładności. Obecnie przedstawiona zostanie metoda graficzna, polegająca na wykreślaniu tzw. koła Mohra. Jest to równie efektywny sposób wyznaczania wartości momentów bezwładności. Jego skuteczność najlepiej można pokazać na konkretnych przykładach.
W tym celu zastanówmy się najpierw nad tokiem czynności przy określaniu położenia głównych osi bezwładności oraz wartości głównych momentów bezwładności dla zadanych wartości momentów bezwładności względem dwóch osi prostopadłych xl i x2. Kolejność czynności jest następująca:
1. Wyznaczamy w układzie osi współrzędnych punkty A i B odpowiadające wartościom momentów bezwładności względem przyjętego układu współrzędnych;
2. Znajdujemy środek odcinka BA, tj. punkt E — współrzędna środka odcinka BA jest równa OE = 0,5(Jx1+Jx2);
3. W punktach A i B odmierzamy odcinki AC = BD = Jx1x2, które są prostopadłe do osi odciętych;
4. Łączymy punkty C i D (linia łącząca wyznacza środek E okręgu). Rysujemy okrąg o promieniu r = EC =
Połowy kątów CEA oraz CEB określają kierunki główne, natomiast odcinki OF i OG — wartości głównych momentów bezwładności.
|
Zastosowanie koła Mohra do wyznaczenia kierunków głównych i wartości głównych momentów bezwładności na podstawie znajomości osiowych momentów bezwładności i odśrodkowego momentu bezwładności |
Analizując zależności geometryczne zauważamy, że spełnione są następujące wzory wyprowadzone wcześniej w sposób analityczny:
Określają one położenie głównych osi bezwładności oraz wartości głównych momentów bezwładności.
W przypadku, gdy mamy wyznaczyć wartości momentów bezwładności względem osi układu współrzędnych tworzących z osiami głównymi kąty a, a +/2, jeśli znane są wartości głównych momentów bezwładności J1 i J2:
1. Wyznaczamy w układzie osi współrzędnych punkty A i B odpowiadające wartościom głównych momentów bezwładności względem przyjętego układu współrzędnych;
2. Znajdujemy środek odcinka AB, tj. punkt C — współrzędna środka odcinka AB jest równa OC = 0,5(J1 + J2);
3. Rysujemy okrąg o promieniu r = BC = 0,5(J1 - J2)
4. Wykreślamy średnicę okręgu DE, tworzącą kąt 2 z osią odciętych. Punkty D i E na obwodzie okręgu określają szukane wartości momentów bezwładności, natomiast odcinek DD' określa wartość momentu dewiacji.
|
Zastosowanie koła Mohra do wyznaczenia osiowych momentów bezwładności i odśrodkowego momentu bezwładności na podstawie znajomości kierunków głównych i wartości głównych momentów bezwładności |
Z rysunku wynikają związki, które stanowią rozwiązanie postawionego zadania:
Moment statyczny bryły względem płaszczyzny jest równy objętości bryły pomnożonej przez współrzędną środka ciężkości bryły, prostopadłą do tej płaszczyzny.
Metodą dość często stosowaną jest metoda momentów statycznych, w której korzysta się z twierdzenia, że moment statyczny bryły względem płaszczyzny przechodzącej przez środek ciężkości jest równy zeru.
Najczęściej w praktyce inżynierskiej przy obliczaniu środka ciężkości bryły stosuje się metodę dzielenia, która sprowadza się do następujących etapów:
- podziału bryły na proste elementy bryłowe, których położenia środków ciężkości są znane,
- obliczenia momentów statycznych bryły względem płaszczyzn przyjętego układu współrzędnych (sumując iloczyny objętości brył prostych i współrzędnych środków ciężkości),
- obliczenia współrzędnych środka ciężkości bryły (dzieląc momenty statyczne bryły przez całkowitą objętość bryły).
Określenie położenia środka ciężkości przy zastosowaniu metody symetrii ułatwiają w szczególnych przypadkach następujące twierdzenia:
- Jeżeli bryła ma płaszczyznę symetrii, to środek ciężkości leży w tej płaszczyźnie.
- Gdy bryła ma dwie płaszczyzny symetrii, środek ciężkości leży na linii ich przecinania się.
- Gdy bryła ma trzy płaszczyzny symetrii, środek ciężkości leży w punkcie przecięcia się tych płaszczyzn.
Dość często stosowana jest ponadto metoda uzupełniania, zwana także metodą mas ujemnych, która polega na tym, że bryłę uzupełnia się inną bryłą tak dobraną, aby uzyskać bryłę o możliwie prostej postaci. Wyznaczenie środka ciężkości sprowadza się wówczas do metody momentów statycznych, odejmując od momentu statycznego otrzymanej bryły moment statyczny bryły uzupełniającej.
Przykład 1. Znaleźć położenie środka ciężkości jednorodnego ostrosłupa prawidłowego o wysokości h i podstawie kwadratu o boku a.
Rozwiązanie
Środek ciężkości ostrosłupa prawidłowego leży na osi symetrii, która pokrywa się z jego wysokością. Stąd xc = yc = 0,
a wiec wystarczy obliczyć jedną współrzędną zc.
Elementarna objętość w postaci prostopadłościanu o boku podstawy a' i wysokości dz
Bok podstawy a' oblicza się z podobieństwa odpowiednich trójkątów
Stąd
Współrzędną środka objętości zc wyznaczamy się przy zastosowaniu metody analitycznej, na podstawie wzoru:
Przykład 2. Znaleźć położenie środka ciężkości bryły złożonej z połowy walca o wysokości h i promieniu podstawy r oraz prostopadłościanu o wymiarach r x 0,5r x h (rys.).
Rozwiązanie
Objętości i współrzędne środków ciężkości połowy walca i prostopadłościanu wynoszą
Współrzędne środka ciężkości bryły oblicza się przy zastosowaniu metody dzielenia
Przykład 3. Wyznaczyć położenie środka ciężkości przestrzennej powierzchni pokazanej na rysunku. Elementy składowe powierzchni stanowią: połowa koła o promieniu r, prostokąt o wymiarach a x b i trójkąt prostokątny.
Rozwiązanie
Obliczenie współrzędnych środka ciężkości rozpatrywanej powierzchni przeprowadza się przy zastosowaniu metody dzielenia. Pola powierzchni i współrzędne środków ciężkości poszczególnych elementów składowych powierzchni wynoszą
Stąd współrzędne środka ciężkości powierzchni są równe
Przykład 4. Wyznaczyć położenie środka ciężkości powłoki pokazanej na rysunku. Elementy składowe powłoki stanowią: połowa powierzchni bocznej walca o promieniu podstawy r i wysokości a, prostokąt o wymiarach a x b.
Rozwiązanie
Pola powierzchni i współrzędne środków ciężkości poszczególnych elementów składowych rozpatrywanej powłoki są równe
Współrzędne środka ciężkości powłoki, na podstawie metody dzielenia, wynoszą
Przykład 5. Wyznaczyć położenie środka ciężkości figury płaskiej pokazanej na rysunku.
Rozwiązanie
Obliczenia współrzędnych środka ciężkości rozpatrywanej figury płaskiej przeprowadza się przy zastosowaniu metody dzielenia. Pola powierzchni i współrzędne środków ciężkości poszczególnych elementów składowych tej figury płaskiej są równe:
Stąd
Przykład 6. Znaleźć położenie środka ciężkości figury płaskiej pokazanej na rysunku.
Rozwiązanie
Współrzędne środka ciężkości rozpatrywanej figury płaskiej wyznacza się przy zastosowaniu metody mas ujemnych. Pola powierzchni i współrzędne środków ciężkości prostokąta 2r x r, połowy koła o promieniu r i koła o promieniu r/4 wynoszą
Stąd
Przykład 7. Wyznaczyć współrzędne środka ciężkości powierzchni wycinka koła o promieniu R i kącie środkowym 2.
Rozwiązanie
Ponieważ rozpatrywana figura płaska ma oś symetrii, środek ciężkości będzie leżał na tej osi. Przyjmując oś symetrii jako oś Ox wystarczy określić współrzędną xc środka ciężkości.
Rozpatrzymy powierzchnię elementarną o kącie środkowym dϕ
i współrzędnej środka ciężkości tej powierzchni
Moment statyczny wycinka koła względem osi y będzie równy
Pole powierzchni tego wycinka wynosi
Stąd współrzędna środka ciężkości
Przykład 8. Określić położenie środka ciężkości łuku koła o promieniu r i kącie środkowym 2.
Rozwiązanie
Ponieważ rozpatrywany łuk koła ma oś symetrii Ox, środek ciężkości będzie leżał na tej osi. Wystarczy więc określić współrzędną xc środka ciężkości. W tym celu rozpatruje się długość elementarną o kącie dϕ
i współrzędnej środka ciężkości tego elementu linii
Moment statyczny rozpatrywanego łuku koła względem osi y będzie równy
Długość łuku jest równa
Stąd otrzymamy współrzędną środka ciężkości
Przykład 9. Wyznaczyć współrzędne środka ciężkości linii łamanej AOBCDE przedstawionej na rysunku.
Rozwiązanie
Momenty statyczne względem osi x i y są równe
Współrzędne środka ciężkości rozpatrywanej linii łamanej wynoszą
Dokonujemy podziału figury na elementy symetryczne względem tej osi - każdemu elementowi pola o współrzędnych x1, x2 odpowiada symetryczny element o współrzędnych -x1 x2. Momenty odśrodkowe takich dwóch elementów względem założonego układu współrzędnych są sobie równe, lecz różnią się znakiem. A zatem przy sumowaniu, wartości tych momentów redukują się. Dokonując sumowania momentów odśrodkowych par elementów symetrycznych dla całej figury zauważamy, że jej moment dewiacji przyjmuje wartość zero.