1

PRZESUNIĘCIE i OBRÓT MOMENTÓW

BEZWŁADNOŚCI FIGUR PŁASKICH

GŁÓWNE OSIE I MOMENTY BEZWŁADNOŚCI

Wpływ przesunięcia osi na momenty bezwładności. Twierdzenie Steinera

Przesuńmy prostokątny układ współrzędnych w stosunku do pierwotnie przyjętego
Oxy o składowe przesunięcia a, b. W ten sposób uzyskuje się nowy układ

Ωξη

(omega, ksi, eta) (rys.1). Znając dla pierwotnego układu osi momenty
bezwładności Ix, Iy i moment zboczenia Ixv, wyznacza się dla nowego układu
momenty I

ξ

, I

η

, I

ξη

I

dA

A

ξ

η

=

∫

2

I

dA

A

η

ξ

=

∫

2

I

dA

A

ξη

ξη

=

∫

Rys. 1.

Po podstawieniu

ξ

= x - a,

η

= y - b otrzymuje się

(

)

I

y

b dA

y dA

ybdA

b dA

A

A

A

A

ξ

=

−

=

−

+

∫

∫

∫

∫

2

2

2

2

I

I

b ydA Ab

x

A

ξ

=

−

+

∫

2

2

(1)

Analogicznie

I

I

a xdA Aa

y

A

η

=

−

+

∫

2

2

(2)

2

Moment zboczenia

(

)

(

)

I

dA

x

a y

b dA

xydA

xbdA

yadA

abdA

A

A

A

A

A

A

ξη

ξη

=

=

−

−

=

=

−

−

+

∫

∫

∫

∫

∫

∫

I

I

b xdA

a ydA

abA

xy

A

A

ξη

=

−

−

+

∫

∫

(3)

zauważmy, że całki

ydA

S

A

x

∫

=

,

xdA

S

A

y

∫

=

są

momentami statycznymi

W przypadku gdy początek układu xy pokrywa się ze środkiem ciężkości figury,

momenty statyczne są równe zeru:

ydA

A

∫

=

0

,

xdA

A

∫

=

0

Wówczas wzory (1), (2) i (3) można przedstawić prościej

I

I

Ab

x

ξ

=

+

2

(4)

I

I

Aa

y

η

=

+

2

(5)

I

I

abA

xy

ξη

=

+

(6)

Wzory (4), (5) i (6) wyrażają

twierdzenie Steinera

.

Jakub Steiner (1798-1863) - matematyk szwajcarski. Twierdzenie to jednak było znane ju

ż

wcze

ś

niej.

Moment bezwładności figury płaskiej względem osi odległej od środka ciężkości

o odległości a jest równy momentowi bezwładności względem osi równoległej
przechodzącej przez środek ciężkości, zwiększonemu o iloczyn całej powierzchni
figury przez kwadrat odległości a (Aa

2

).

3

Moment odśrodkowy (zboczenia) figury płaskiej względem układu osi

o początku

przesuniętym względem środka ciężkości figury o odległości a i b jest równy
momentowi zboczenia dla układu o osiach równoległych i początku w środku
ciężkości, zwiększonemu o iloczyn powierzchni figury płaskiej i obydwu
składowych przesunięcia (Aab).

Z twierdzenia Steinera wypływa wniosek, że moment bezwładności względem

prostej przechodzącej przez środek ciężkości jest zawsze mniejszy od momentu
bezwładności względem prostej do niej równoległej.


Obrót układu osi

Obróćmy prostokątny układ współrzędnych względem pierwotnie przyjętego Oxy
o kąt

ϕ

. W ten sposób uzyskuje się nowy układ

Ωξη

, przy czym

Ω

= O (rys.2).

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

η

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ξ

sin

cos

sin

cos

sin

cos

sin

cos

_

_

x

y

OB

AB

DL

AL

AD

y

x

AB

OB

BL

OK

OD

−

=

−

=

−

=

=

+

=

+

=

+

=

=

−

−

−

−

−

−

−

−

Rys. 2.

Znając dla pierwotnego układu osi momenty bezwładności względem osi I

x

, I

y

i

układu osi I

xy

, wyznaczamy dla nowego układu

Ωξη

momenty osiowe I

ξ

, I

η

i

moment odśrodkowy (zboczenia) I

ξη

A

B

L

D

K

ϕϕϕϕ

4

I

dA

A

ξ

η

=

∫

2

I

dA

A

η

ξ

=

∫

2

I

dA

A

ξη

ξη

=

∫

Jak wynika z rysunku 2

ϕ

ϕ

η

ϕ

ϕ

ξ

sin

cos

sin

cos

x

y

y

x

−

=

+

=

stąd

(

)

I

y

x

dA

y

dA

xy

dA

x

dA

A

A

A

A

ξ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

=

−

=

=

−

+

∫

∫

∫

∫

cos

sin

cos

sin

cos

sin

2

2

2

2

2

2

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ξ

cos

sin

2

sin

cos

2

2

xy

y

x

I

I

I

I

−

+

=

ϕ

ϕ

ϕ

sin2

xy

I

2

sin

y

I

2

cos

x

I

ξ

I

−

+

=

(7)

Analogicznie

∫

+

=

A

dA

y

x

I

2

)

sin

cos

(

ϕ

ϕ

η

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

η

cos

sin

2

cos

sin

2

2

xy

y

x

I

I

I

I

+

+

=

ϕ

ϕ

ϕ

sin2

xy

I

2

cos

y

I

2

sin

x

I

η

I

+

+

=

(8)

Moment zboczenia

(

)(

)

I

dA

x

y

y

x

dA

xy

dA

x

dA

y

dA

xy

dA

A

A

A

A

A

A

ξη

ξη

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

=

=

+

−

=

=

−

+

−

∫

∫

∫

∫

∫

∫

cos

sin

cos

sin

cos

sin

cos

sin

cos

sin

+

2

2

2

2

5

ϕ

ϕ

cos2

xy

I

sin2

y

I

x

I

2

1

ξη

I

+













−

=

(9)

Wstawiając

2

cos2

1

2

cos

2

cos

1

2

cos

2

cos

2

sin

2

cos

2

cos

1

2

cos

2

sin

0

0

0

0

0

0

0

0

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

+

=

+

−

=

−

=

=

+

2

cos2

1

2

sin

2

sin

2

1

2

cos

2

sin

2

sin

1

2

cos

1

2

cos

2

sin

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

−

=

−

=

−

−

=

=

+

sin

cos

2

1

2

2

ϕ

ϕ

=

−

,

cos

cos

2

1

2

2

ϕ

ϕ

=

+

,

2

2

sin

cos

sin

ϕ

ϕ

ϕ

=

otrzymujemy

(

) (

)

I

I

I

I

I

I

x

y

x

y

xy

ξ

ϕ

ϕ

=

+

+

−

−

1

2

1

2

2

2

cos

sin

(10)

(

) (

)

I

I

I

I

I

I

x

y

x

y

xy

η

ϕ

ϕ

=

+

−

−

+

1

2

1

2

2

2

cos

sin

(11)

(

)

I

I

I

I

x

y

xy

ξη

ϕ

ϕ

=

−

+

1

2

2

2

sin

cos

(12)

6

Znając momenty bezwładności dla danego układu prostokątnego, ze wzorów

(10, 11 i 12) można wyznaczyć momenty bezwładności dla układu obróconego o

dowolny kąt

ϕ

.

Główne osie bezwładności i główne momenty bezwładności

Wyznaczmy takie położenie osi układu prostokątnego określone kątem

ϕ

0

, dla

którego moment odśrodkowy I

ξη

= 0. Osie te noszą nazwę

głównych osi

bezwładności

Przyrównując I

ξη

do zera z równania (12), otrzymujemy

(

)

1

2

2

2

0

0

0

I

I

I

x

y

xy

−

+

=

sin

cos

ϕ

ϕ

Stąd

tan 2

2

0

ϕ

=

−

−

I

I

I

xy

x

y

(13)

Wykorzystując zależność (7) oraz (8) poprzez podstawienia tożsamościowe

0

0

0

sin2

xy

I

2

sin

y

I

2

cos

x

I

ξ

I

ϕ

ϕ

ϕ

−

+

=

0

0

0

sin2

xy

I

2

cos

y

I

2

sin

x

I

η

I

ϕ

ϕ

ϕ

+

+

=

2

cos2

1

2

cos

2

cos

1

2

cos

2

cos

2

sin

2

cos

2

cos

1

2

cos

2

sin

0

0

0

0

0

0

0

0

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

+

=

+

−

=

−

=

=

+

7

2

cos2

1

2

sin

2

sin

2

1

2

cos

2

sin

2

sin

1

2

cos

1

2

cos

2

sin

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

−

=

−

=

−

−

=

=

+

Podstawiając za sin

2

ϕ

oraz cos

2

ϕ

do równania (7) oraz (8) otrzymuje się

0

0

0

sin2

xy

I

2

cos2

-

1

y

I

2

cos2

1

x

I

ξ

I

ϕ

ϕ

ϕ

−

+

+

=

0

0

sin2

xy

I

cos2

2

y

I

x

I

2

y

I

x

I

ξ

I

ϕ

ϕ

−

−

+

+

=

(14)

0

0

0

0

0

sin2

xy

I

cos2

2

x

I

y

I

2

y

I

x

I

η

I

sin2

xy

I

2

cos2

1

y

I

2

cos2

-

1

x

I

η

I

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

+

−

+

+

=

+

+

+

=

(15)

Wykorzystując zależności tożsamościowe

ϕ

ϕ

ϕ

2

1

2

2

sin

2

tg

tg

+

=

oraz

ϕ

ϕ

2

1

1

2

cos

2

tg

+

=

podstawiając do zależności (13) związki (14) i (15) uzyskuje się

(

)

cos 2

4

0

2

2

ϕ

=

−

−

+

I

I

I

I

I

x

y

x

y

xy

(16)

(

)

sin 2

2

4

0

2

2

ϕ

=

−

−

+

I

I

I

I

xy

x

y

xy

(17)

które po pod stawieniu do zależności (14) oraz (15) pozwalają na określenie

głównych osi bezwładności

8

Wartości momentów bezwładności względem głównych osi bezwładności

wyznaczamy, wstawiając do wyrażeń na I

ξ

i I

η

obliczony ze wzoru (13, 16 i 17)

kąt

ϕ

0

. Uwzględniając powyższe przekształcenia otrzymujemy ostatecznie

(

) (

)

2

2

2

,

1

4

2

1

xy

y

x

y

x

I

I

I

I

I

I

+

−

±

+

=

(14)

Dla każdej figury płaskiej i dla dowolnie przyjętego punktu jako początek układu
można wyznaczyć taką orientację dwu osi prostopadłych, dla których

moment

zboczenia

znika. Osie te nazywa się

głównymi osiami bezwładności 1 i 2.

Momenty bezwładności względem głównych osi bezwładności nazywa się

głównymi momentami bezwładności

. Osiągają one ekstremalne wartości.

Jeżeli początek układu głównych osi bezwładności przyjmie się w środku

ciężkości figury, to osie te nazywa się

głównymi centralnymi osiami

bezwładności,

momenty zaś względem tych osi

głównymi centralnymi

momentami bezwładności

. W teorii prętów prawie wyłącznie występują główne

centralne momenty bezwładności (często określenie "centralne" opuszcza się).

Wyznaczenie głównych osi bezwładności upraszcza się znacznie dla figur

osiowosymetrycznych.

9

Rozważmy figurę jak na rys. 3. Niech oś y będzie zarazem jej osią symetrii i

dzieli całą figurę na dwie składowe I i II, stąd moment odśrodkowy całej figury I

xy

równa się sumie momentów odśrodkowych dla figur składowych I

I

xy

i I

II

xy

I

I

I

xy

xy

I

xy

II

=

+

,

I

xydA

xy

I

I

A

=

∫

,

I

xydA

xy

II

II

A

=

∫

Rys. 3.

Każdemu elementowi powierzchni figury dA

I

odpowiada symetryczny

względem osi y element dA

II

, przy czym współrzędne x elementów obydwu figur

składowych różnią się znakami. Stąd

xydA

xydA

I

A

II

A

∫

∫

= −

więc

I

I

xy

I

xy

II

= −

i w rezultacie

I

I

I

xy

xy

I

xy

II

=

+

=

0

,

W ten sposób jest spełniony warunek dla głównych osi bezwładności. Oś symetrii
musi ponadto przechodzić przez środek ciężkości figury, a zatem

Każda oś

symetrii figury płaskiej jest jej główną centralną osią bezwładności

Drugą główną centralną

osią bezwładności jest

oś prostopadła do osi symetrii

i

przechodząca przez środek ciężkości figury.