1 

PRZESUNIĘCIE i OBRÓT MOMENTÓW 

BEZWŁADNOŚCI FIGUR PŁASKICH 

GŁÓWNE OSIE I MOMENTY BEZWŁADNOŚCI 

 
 
Wpływ przesunięcia osi na momenty bezwładności. Twierdzenie Steinera 
 
Przesuńmy prostokątny układ współrzędnych w stosunku do pierwotnie przyjętego 
Oxy  o  składowe  przesunięcia  a,  b.  W  ten  sposób  uzyskuje  się  nowy  układ 

Ωξη

 

(omega,  ksi,  eta)  (rys.1).  Znając  dla  pierwotnego  układu  osi  momenty 
bezwładności  Ix,  Iy  i  moment  zboczenia  Ixv,  wyznacza  się  dla  nowego  układu 
momenty I

ξ

, I

η

, I

ξη

 

 

I

dA

A

ξ

η

=

∫

2

 

 

I

dA

A

η

ξ

=

∫

2

   

I

dA

A

ξη

ξη

=

∫

 

Rys. 1. 

Po podstawieniu 

ξ

 = x - a, 

η

 = y - b otrzymuje się 

 

(

)

I

y

b dA

y dA

ybdA

b dA

A

A

A

A

ξ

=

−

=

−

+

∫

∫

∫

∫

2

2

2

2

 

 

I

I

b ydA Ab

x

A

ξ

=

−

+

∫

2

2

  

  

 

 

 

 

 

  (1) 

Analogicznie 

 

I

I

a xdA Aa

y

A

η

=

−

+

∫

2

2

 

 

 

 

 

 

 

(2) 

 

2 

Moment zboczenia 

 

(

)

(

)

I

dA

x

a y

b dA

xydA

xbdA

yadA

abdA

A

A

A

A

A

A

ξη

ξη

=

=

−

−

=

=

−

−

+

∫

∫

∫

∫

∫

∫

    

 

 

I

I

b xdA

a ydA

abA

xy

A

A

ξη

=

−

−

+

∫

∫

   

 

 

 

     (3) 

zauwaŜmy, Ŝe całki   

   

 

 

ydA

S

A

x

∫

=

,   

xdA

S

A

y

∫

=

   są 

momentami statycznymi

 

 
W  przypadku  gdy  początek  układu  xy  pokrywa  się  ze  środkiem  cięŜkości  figury, 

momenty statyczne są równe zeru:  

   

 

 

ydA

A

∫

=

0

,   

xdA

A

∫

=

0

 

 
Wówczas wzory (1), (2) i (3) moŜna przedstawić prościej 
 

 

I

I

Ab

x

ξ

=

+

2

  

  

 

 

 

 

 

(4) 

 

I

I

Aa

y

η

=

+

2

 

 

 

 

 

 

 

(5) 

 

I

I

abA

xy

ξη

=

+

   

 

 

 

 

 

(6) 

 
Wzory (4), (5) i (6) wyraŜają 

twierdzenie Steinera

. 

Jakub Steiner (1798-1863) - matematyk szwajcarski. Twierdzenie to jednak było znane ju

Ŝ

 wcze

ś

niej. 

 
 

Moment bezwładności figury płaskiej względem osi odległej od środka cięŜkości

 

o  odległości  a  jest  równy  momentowi  bezwładności  względem  osi  równoległej 
przechodzącej przez środek cięŜkości, zwiększonemu o iloczyn całej powierzchni 
figury przez kwadrat odległości a (Aa

2

). 

 

 

3 

Moment odśrodkowy (zboczenia) figury płaskiej względem układu osi

 o początku 

przesuniętym  względem  środka  cięŜkości  figury  o  odległości  a  i  b  jest  równy 
momentowi  zboczenia  dla  układu  o  osiach  równoległych  i  początku  w  środku 
cięŜkości,  zwiększonemu  o  iloczyn  powierzchni  figury  płaskiej  i  obydwu 
składowych przesunięcia (Aab). 

 
Z twierdzenia Steinera wypływa wniosek, Ŝe moment bezwładności względem 

prostej  przechodzącej  przez  środek  cięŜkości  jest  zawsze  mniejszy  od  momentu 
bezwładności względem prostej do niej równoległej. 
 
 
Obrót układu osi 
 
Obróćmy prostokątny układ współrzędnych względem pierwotnie przyjętego Oxy 
o kąt 

ϕ

. W ten sposób uzyskuje się nowy układ 

Ωξη

, przy czym 

Ω

 = O (rys.2). 

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

η

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ξ

sin

cos

sin

cos

sin

cos

sin

cos

_

_

x

y

OB

AB

DL

AL

AD

y

x

AB

OB

BL

OK

OD

−

=

−

=

−

=

=

+

=

+

=

+

=

=

−

−

−

−

−

−

−

−

 

 

Rys. 2. 

 
Znając  dla  pierwotnego  układu  osi  momenty  bezwładności  względem  osi  I

x

,  I

y

  i 

układu  osi  I

xy

,  wyznaczamy  dla  nowego  układu 

Ωξη

  momenty  osiowe  I

ξ

,  I

η

 

i 

moment odśrodkowy (zboczenia) I

ξη

 

A 

B 

L 

D

K 

ϕϕϕϕ

 

 

4 

 

I

dA

A

ξ

η

=

∫

2

 

 

I

dA

A

η

ξ

=

∫

2

   

I

dA

A

ξη

ξη

=

∫

 

Jak wynika z rysunku 2  
 

ϕ

ϕ

η

ϕ

ϕ

ξ

sin

cos

sin

cos

x

y

y

x

−

=

+

=

 

stąd 

 

(

)

I

y

x

dA

y

dA

xy

dA

x

dA

A

A

A

A

ξ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

=

−

=

=

−

+

∫

∫

∫

∫

cos

sin

cos

sin

cos

sin

2

2

2

2

2

2

    

 

 

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ξ

cos

sin

2

sin

cos

2

2

xy

y

x

I

I

I

I

−

+

=

  

  

 

  

ϕ

ϕ

ϕ

sin2

xy

I

2

sin

y

I

2

cos

x

I

ξ

I

−

+

=

                                                   (7) 

 

Analogicznie 

∫

+

=

A

dA

y

x

I

2

)

sin

cos

(

ϕ

ϕ

η

 

 

 

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

η

cos

sin

2

cos

sin

2

2

xy

y

x

I

I

I

I

+

+

=

 

 

ϕ

ϕ

ϕ

sin2

xy

I

2

cos

y

I

2

sin

x

I

η

I

+

+

=

                                                   (8) 

 
Moment zboczenia 

 

(

)(

)

I

dA

x

y

y

x

dA

xy

dA

x

dA

y

dA

xy

dA

A

A

A

A

A

A

ξη

ξη

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

=

=

+

−

=

=

−

+

−

∫

∫

∫

∫

∫

∫

cos

sin

cos

sin

cos

sin

cos

sin

cos

sin

    

                              +

2

2

2

2

 

 

 

 

5 

ϕ

ϕ

cos2

xy

I

sin2

y

I

x

I

2

1

ξη

I

+













−

=

                                            (9) 

 
 
Wstawiając  

2

cos2

1

2

cos

2

cos

1

2

cos

2

cos

2

sin

2

cos

2

cos

1

2

cos

2

sin

0

0

0

0

0

0

0

0

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

+

=

+

−

=

−

=

=

+

 

2

cos2

1

2

sin

2

sin

2

1

2

cos

2

sin

2

sin

1

2

cos

1

2

cos

2

sin

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

−

=

−

=

−

−

=

=

+

 

 

sin

cos

2

1

2

2

ϕ

ϕ

=

−

, 

cos

cos

2

1

2

2

ϕ

ϕ

=

+

, 

2

2

sin

cos

sin

ϕ

ϕ

ϕ

=

 

otrzymujemy 

(

) (

)

I

I

I

I

I

I

x

y

x

y

xy

ξ

ϕ

ϕ

=

+

+

−

−

1

2

1

2

2

2

cos

sin

    

    (10) 

(

) (

)

I

I

I

I

I

I

x

y

x

y

xy

η

ϕ

ϕ

=

+

−

−

+

1

2

1

2

2

2

cos

sin

    

    (11) 

(

)

I

I

I

I

x

y

xy

ξη

ϕ

ϕ

=

−

+

1

2

2

2

sin

cos

 

  

 

 

    (12) 

 

6 

Znając  momenty  bezwładności  dla  danego  układu  prostokątnego,  ze  wzorów 

(10, 11 i 12) moŜna wyznaczyć momenty bezwładności dla układu obróconego o 

dowolny kąt 

ϕ

. 

 
 
Główne osie bezwładności i główne momenty bezwładności 
  
Wyznaczmy  takie  połoŜenie  osi  układu  prostokątnego  określone  kątem 

ϕ

0

,  dla 

którego  moment  odśrodkowy  I

ξη

=  0.  Osie  te  noszą  nazwę 

głównych  osi 

bezwładności

 

Przyrównując I

ξη

 

do zera z równania (12), otrzymujemy 

(

)

1

2

2

2

0

0

0

I

I

I

x

y

xy

−

+

=

sin

cos

ϕ

ϕ

  

Stąd 

tan 2

2

0

ϕ

=

−

−

I

I

I

xy

x

y

  

 

 

 

 

 

(13) 

Wykorzystując zaleŜność (7) oraz (8) poprzez podstawienia toŜsamościowe 

0

0

0

sin2

xy

I

2

sin

y

I

2

cos

x

I

ξ

I

ϕ

ϕ

ϕ

−

+

=

 

0

0

0

sin2

xy

I

2

cos

y

I

2

sin

x

I

η

I

ϕ

ϕ

ϕ

+

+

=

 

2

cos2

1

2

cos

2

cos

1

2

cos

2

cos

2

sin

2

cos

2

cos

1

2

cos

2

sin

0

0

0

0

0

0

0

0

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

+

=

+

−

=

−

=

=

+

 

 

7 

2

cos2

1

2

sin

2

sin

2

1

2

cos

2

sin

2

sin

1

2

cos

1

2

cos

2

sin

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

−

=

−

=

−

−

=

=

+

 

Podstawiając za sin

2

ϕ

 oraz cos

2

ϕ

 do równania (7) oraz (8) otrzymuje się 

0

0

0

sin2

xy

I

2

cos2

-

1

y

I

2

cos2

1

x

I

ξ

I

ϕ

ϕ

ϕ

−

+

+

=

 

0

0

sin2

xy

I

cos2

2

y

I

x

I

2

y

I

x

I

ξ

I

ϕ

ϕ

−

−

+

+

=

                                   (14) 

 

0

0

0

0

0

sin2

xy

I

cos2

2

x

I

y

I

2

y

I

x

I

η

I

sin2

xy

I

2

cos2

1

y

I

2

cos2

-

1

x

I

η

I

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

+

−

+

+

=

+

+

+

=

                            (15) 

Wykorzystując zaleŜności toŜsamościowe 

ϕ

ϕ

ϕ

2

1

2

2

sin

2

tg

tg

+

=

 oraz 

ϕ

ϕ

2

1

1

2

cos

2

tg

+

=

 

podstawiając do zaleŜności (13) związki (14) i (15) uzyskuje się 
 

(

)

cos 2

4

0

2

2

ϕ

=

−

−

+

I

I

I

I

I

x

y

x

y

xy

 

                                                   (16) 

(

)

sin 2

2

4

0

2

2

ϕ

=

−

−

+

I

I

I

I

xy

x

y

xy

 

                                                    (17) 

które  po  pod  stawieniu  do  zaleŜności  (14)  oraz  (15)  pozwalają  na  określenie 

głównych osi bezwładności 

 

 

8 

Wartości  momentów  bezwładności  względem  głównych  osi  bezwładności 

wyznaczamy,  wstawiając  do  wyraŜeń  na  I

ξ

 

  i  I

η

 

obliczony ze wzoru (13, 16 i 17) 

kąt 

ϕ

0 

. Uwzględniając powyŜsze przekształcenia otrzymujemy ostatecznie 

(

) (

)

2

2

2

,

1

4

2

1

xy

y

x

y

x

I

I

I

I

I

I

+

−

±

+

=

 

 

 

    (14) 

 
Dla kaŜdej figury płaskiej i dla dowolnie przyjętego punktu jako początek układu 
moŜna  wyznaczyć  taką  orientację  dwu  osi  prostopadłych,  dla  których 

moment 

zboczenia

 znika. Osie te nazywa się 

głównymi osiami bezwładności 1 i 2.

 

 

Momenty  bezwładności  względem  głównych  osi  bezwładności  nazywa  się 

głównymi momentami bezwładności

. Osiągają one ekstremalne wartości. 

 

JeŜeli  początek  układu  głównych  osi  bezwładności  przyjmie  się  w  środku 

cięŜkości  figury,  to  osie  te  nazywa  się 

głównymi  centralnymi  osiami 

bezwładności,

  momenty  zaś  względem  tych  osi 

głównymi  centralnymi 

momentami  bezwładności

.  W  teorii  prętów  prawie  wyłącznie  występują  główne 

centralne momenty bezwładności (często określenie "centralne" opuszcza się). 

Wyznaczenie  głównych  osi  bezwładności  upraszcza  się  znacznie  dla  figur 

osiowosymetrycznych. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9 

RozwaŜmy figurę jak na rys. 3. Niech oś y będzie zarazem jej osią symetrii i 

dzieli całą figurę na dwie składowe I i II, stąd moment odśrodkowy całej figury I

xy 

równa się sumie momentów odśrodkowych dla figur składowych I

I

xy

 i I

II

xy

 

I

I

I

xy

xy

I

xy

II

=

+

, 

 

 

I

xydA

xy

I

I

A

=

∫

,   

I

xydA

xy

II

II

A

=

∫

 

Rys. 3. 

KaŜdemu  elementowi  powierzchni  figury  dA

I

  odpowiada  symetryczny 

względem osi y element dA

II

, przy czym współrzędne x elementów obydwu figur 

składowych róŜnią się znakami. Stąd 

xydA

xydA

I

A

II

A

∫

∫

= −

 

więc  

I

I

xy

I

xy

II

= −

 

i w rezultacie 

I

I

I

xy

xy

I

xy

II

=

+

=

0

, 

 
W ten sposób jest spełniony warunek dla głównych osi bezwładności. Oś symetrii 
musi ponadto przechodzić przez środek cięŜkości figury, a zatem  

KaŜda  oś

  symetrii  figury  płaskiej  jest  jej  główną  centralną  osią  bezwładności 

Drugą główną centralną

 osią bezwładności jest 

oś prostopadła do osi symetrii

 i 

przechodząca przez środek cięŜkości figury.