Zderzenie sprężyste centralne (w jednym wymiarze)

zasada zachowania pędu:

'

'

m

m

m

m

2

2

1

1

2

2

1

1

υ

υ

υ

υ

+

=

+

(1)

= p

pocz

= p

końc

zasada zachowania energii mechanicznej (w tym przypadku wyłącznie energia kinetyczna)

2

2

2

2

1

1

2

2

2

2

1

1

2

1

2

1

2

1

2

1

'

'

m

m

m

m

υ

υ

υ

υ

+

=

+

/

⋅

2

(2)

=

ε

k(pocz)

=

ε

k(końc)

równania (1) i (2) należy rozwiązać razem jako układ równań
równanie (2) jest równaniem kwadratowym – rozwiązanie utrudnione
można uzyskać dwa niezależne równania liniowe
porządkujemy równania (1) i (2) ze względu na masy m

1

i m

2

:

)

(

)

(

2

2

2

1

1

1

'

'

m

m

υ

υ

υ

υ

−

−

=

−

(3)

)

(

)

(

2

2

2

2

2

2

1

2

1

1

'

'

m

m

υ

υ

υ

υ

−

−

=

−

(4)

=

)

)(

(

)

)(

(

2

2

2

2

1

1

1

1

'

'

'

'

υ

υ

υ

υ

υ

υ

υ

υ

+

−

=

+

−

dzielimy (4) przez (3):

'

'

2

2

1

1

υ

υ

υ

υ

+

=

+

(5)

równania (3) i (5) rozwiązujemy jako układ równań:

)

(

)

(

2

2

2

1

1

1

'

'

m

m

υ

υ

υ

υ

−

−

=

−

(3)

'

'

2

2

1

1

υ

υ

υ

υ

+

=

+

(5)

np. z (5) wyznaczamy

'
2

υ

2

1

1

2

υ

υ

υ

υ

−

+

=

'

'

i podstawiamy do (3), mnożąc wszystkie nawiasy:

2

2

1

2

1

2

2

2

1

1

1

1

υ

υ

υ

υ

υ

υ

m

m

m

m

m

m

'

'

−

+

+

−

=

−

'

m

m

m

m

m

1

2

1

2

2

1

2

1

)

(

2

)

(

υ

υ

υ

+

=

+

−

2

2

1

2

1

2

1

2

1

1

2

υ

υ

υ

m

m

m

m

m

m

m

'

+

+

+

−

=

(6)

podstawiając

'

1

υ (5) obliczamy

'
2

υ

2

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

2

2

1

2

1

2

1

2

1

1

2

2

2

υ

υ

υ

υ

υ

υ

υ

m

m

m

m

m

m

m

m

m

m

m

m

m

m

m

m

m

m

'

+

−

−

+

+

−

+

+

=

−

+

+

+

−

+

=

2

2

1

1

2

1

2

1

1

2

2

υ

υ

υ

m

m

m

m

m

m

m

'

+

−

+

+

=

(7)

równania (6) i (7) są symetryczne

w przypadku kiedy ciało 2 porusza się przed zderzeniem w lewo, należy podstawić wartość

υ

2

< 0; wartości

'

1

υ < 0 lub

'
2

υ

< 0 otrzymane w tym przypadku należy również interpretować

jako ruch odpowiedniego ciała w lewo po zderzeniu