Zderzenie sprężyste centralne (w jednym wymiarze)

zasada zachowania pędu:

'

'

m υ + m υ = m υ + m υ

1 1

2

2

1 1

2

2

(1)

= ppocz

= pkońc

zasada zachowania energii mechanicznej (w tym przypadku wyłącznie energia kinetyczna) 1

2

1

2

1

2

1

2

'

'

m υ

+ m υ = m υ + m υ

1 1

2

2

1 1

2

2

/ ⋅ 2

(2)

2

2

2

2

= εk( pocz)

= εk( końc)

równania (1) i (2) należy rozwiązać razem jako układ równań równanie (2) jest równaniem kwadratowym – rozwiązanie utrudnione można uzyskać dwa niezależne równania liniowe porządkujemy równania (1) i (2) ze względu na masy m 1 i m 2: m (

'

υ − υ )

= − m (

'

υ − υ )

1

1

1

2

2

2

(3)

2

2

2

2

m (

'

υ − υ ) = − m (

'

υ − υ )

1

1

1

2

2

2

(4)

(

'

υ − υ )(

'

υ + υ )

= (

'

υ − υ )(

'

υ + υ

=

)

1

1

1

1

2

2

2

2

dzielimy (4) przez (3):

'

'

υ + υ = υ + υ

1

1

2

2

(5)

równania (3) i (5) rozwiązujemy jako układ równań: m (

'

υ − υ ) = − m (

'

υ − υ )

1

1

1

2

2

2

(3)

'

'

υ + υ = υ + υ

1

1

2

2

(5)

'

np. z (5) wyznaczamy υ 2

υ' = υ + υ' − υ

2

1

1

2

i podstawiamy do (3), mnożąc wszystkie nawiasy: m υ − m υ' = − m υ + m υ + m υ' − m υ

1 1

1 1

2

2

2 1

2 1

2

2

'

( m − m ) υ + m

2

υ = ( m + m ) υ

1

2

1

2

2

1

2

1

m − m

2 m

'

1

2

2

υ =

υ +

υ

1

1

2

m + m

m + m

(6)

1

2

1

2

podstawiając '

υ

υ

1 (5) obliczamy

'

2

m − m

2 m

m + m + m − m

2 m − m − m

'

1

2

2

1

2

1

2

2

1

2

υ = υ +

υ +

υ − υ =

υ +

υ

2

1

1

2

2

1

2

m + m

m + m

m + m

m + m

1

2

1

2

1

2

1

2

2 m

m − m

'

1

2

1

υ =

υ +

υ

2

1

2

m + m

m + m

(7)

1

2

1

2

równania (6) i (7) są symetryczne

w przypadku kiedy ciało 2 porusza się przed zderzeniem w lewo, należy podstawić wartość υ

υ

υ

2 < 0; wartości

'

1 < 0 lub

'

2 < 0 otrzymane w tym przypadku należy również interpretować jako ruch odpowiedniego ciała w lewo po zderzeniu