Jacek J¦drzejewski c

SEMESTR ZIMOWY  2008/2009

Arkusz 1

Liczby zespolone

1. Przedstaw dan¡ liczb¦ w postaci kanonicznej i oblicz jej moduª

a)



√

2 + i



−



3 − i ·

√

3



,

b) (2 + i) +



3 − i ·

√

3



,

c)



√

2 + i



·



3 − i ·

√

3



,

d) (2 − 3i) ·



3 − 5i ·

√

3



,

e)

4 − i

3 + 2i

.

f)

2 + 7i

3 − 4i

.

g)

1 − 3i

3 + 4i

.

2. Narysowa¢ zbiory:

a) {z ∈ C : Im [(1 + 2i) · z − 3i]},

b) {z ∈ C : re [(1 + 2i) · z − 3i]},

c)

n

z ∈ C : 0 ¬ arg z ¬

π

3

o

,

d) {z ∈ C : Im z ­ 0 ∧ |z − 2i| ¬ 1},

e) {z ∈ C : |z − 2 + 3i| < 2},

f) {z ∈ C : |z + 1 + 2i| ­ 1},

g) {z ∈ C : 1 < |z + 1 − 2i| ­ 3}.

h)

n

z ∈ C : |

z+3

z−2i

| ­ 1

o

.

3. Przedstaw dan¡ liczb¦ w postaci trygonometrycznej

a) −

√

5

,

b) −6 − 6i,

c) −2i,

d)

√

3 − i

,

e) i +

√

3

,

f)

√

2 − i

√

2

.

4. Oblicz i przedstaw dan¡ liczb¦ w postaci kanonicznej

a) (1 + i)

7

,

b)



√

3 − i



32

,

c) (−2 + 2i)

8

,

d) (

1
2

·

√

3 −

1
2

· i)

13

.

2

5. Rozwi¡» równanie

a) z

2

− z + 1 = 0

,

b) z

2

− z ·

4

√

3 −

i

4

= 0

.