Instytut

Spawalnictwa

w Gliwicach

KURS MIĘDZYNARODOWEGO

INŻYNIERA / TECHNOLOGA / MISTRZA / INSTRUKTORA SPAWALNIKA

(IWE/IWT/IWS/IWP)

Podstawy wytrzymałości

materiałów

3.2

opracował:

dr inż. Piotr Sędek

Nowelizacja materiału: 10. 2012 r.

1. Informacje podstawowe

Każde ciało pod wpływem działających na nie obciążeń ulega odkształceniu.

Jeśli obciążenia osiągną odpowiednio duże wartości mogą spowodować, że ciało
(element konstrukcyjny) ulega zniszczeniu lub nadmiernemu, nieodwracalnemu od-

kształceniu.

Zadaniem wytrzymałości materiałów jest opracowanie metod oceny zachowania spo-

tykanych w praktyce inżynierskiej typowych elementów konstrukcyjnych poddanych

działaniu obciążeń. Przez ocenę odporności, czyli sprawdzenie (kontrolę) nośności

istniejących lub projektowanych elementów konstrukcyjnych należy rozumieć: ocenę

wytrzymałości (obliczenie wartości i rodzaju naprężeń) oraz ocenę odkształceń

(określanie wartości i rodzaju odkształceń), w stosunku do ustalonych (zwykle narzu-

canych normami, zaleceniami producenta lub przepisami odpowiednich służb dozoru

technicznego) wymagań praktycznych, gwarantujących dostateczne bezpieczeństwo
i dosta

teczną sztywność elementu.

Metody obliczeniowe stosowane w wytrzymałości muszą wiązać zasady mechaniki

ciała stałego (równania równowagi) z matematycznym opisem jego zachowaniem

pod wpływem obciążeń. W szczególności koniecznym jest zdefiniowanie stanu od-

kształceń i naprężeń ciała oraz wzajemnych związków pomiędzy nimi a własności

materiału(równania konstytutywne), z którego wykonany jest element konstrukcyjny.

Dla potrzeb zagadnień wytrzymałości wprowadza się szereg założeń dotyczących

materiału, z jakiego wykonany jest element konstrukcyjny. Pozwalają one na ustale-

nie wzajemnych zależności matematycznych (równań konstytutywnych) pomiędzy

odkształceniami ciała a obciążeniami zewnętrznymi, w oparciu o mechaniczne wła-

sności materiału. Założeniami tymi są:
-

ciągłość materiału - materiale nie występują mikropęknięcia, pustki. Rozpatrywane

mate

riały można uważać za continuum materialne,

-

jednorodność materiału - właściwości mechaniczne materiału nie są funkcjami poło-

żenia, czyli są jednakowe w każdym punkcie elementu konstrukcyjnego,
-

izotropowość materiału - właściwości mechaniczne materiału nie zależą od orienta-

cji rozpatrywanej objętości elementarnej ciała,
-

liniowa sprężystość materiału - zakłada się, że do pewnej granicy obciążenia ciało

zachowuje ciągłość struktury oraz, że istnieje jednoznaczny, bez naprężeniowy stan

ciała, do którego badane ciało powraca, ilekroć zostaną usunięte siły zewnętrzne.

1.1

Obciążenia

Jednym z podstawowych zadań elementów konstrukcyjnych jest zrównowa-

żenie obciążeń zewnętrznych lub wykonanie określonej pracy, sprowadzonej do

przemieszczania w kierunkach wyznaczonych działaniem działających sił. W tym ro-

zumieniu obciążenia zewnętrzne są równe ciężarowi własnemu konstrukcji, obciąże-

niom użytkowym oraz wpływom zewnętrznym związanym z użytkowaniem urządze-

nia. Zwykle obciążenia działające na konstrukcję dzielimy na:
-

obciążenia stałe - do obciążeń tych zalicza się ciężar własny konstrukcji oraz ciężar

własny elementów podtrzymywanych przez konstrukcję. Obciążenie to w okresie
eksploata

cji na niezmienną wartość,

-

obciążenia użytkowe (zmienne) - jest to grupa zasadniczych obciążeń, dla których

projektuje się daną konstrukcję (obciążenia od wyposażenia technologicznego, siły
be

zwładności wynikające z pracy urządzeń, wpływ prędkości odkształceń, wpływ

czasu obciążenia, wpływ obciążeń wielokrotnych),
-

wpływ otoczenia - grupa warunków pracy konstrukcji obejmująca wpływy atmosfe-

ryczne (śnieg, wiatr), wpływ temperatury otoczenia, napromieniowanie itp.,

Opracowanie Instytut Spawalnictwa - Gliwice.

Wszelkie prawa zastrze

żone. Powielanie lub rozpowszechnianie ca

ło

ści wzgl

ędnie

fragmentu w jakiejkolwiek formie i w jakikolwiek sposób jest zabronione.

KURS MIĘDZYNARODOWEGO

INŻYNIERA / TECHNOLOGA / MISTRZA / INSTRUKTORA SPAWALNIKA

(IWE/IWT/IWS/IWP)

Podstawy wytrzymałości materiałów

3.2

Instytut

Spawalnictwa

w Gliwicach

AW 1

-

obciążenia transportowe i montażowe - są to obciążenia określające zachowanie

się elementu lub konstrukcji w czasie transportu i montażu, gdy elementy nie są jesz-

cze całkowicie złączone zgodnie z ich udziałem w maszynie lub urządzeniu.

1.2

Odkształcenia

Odkształceniem nazywamy chwilową lub trwałą zmianę wymiarów całego ciała

lub jego części wywołaną przyłożonym do niego obciążeniem. Ponieważ założyliśmy,

że analizowane ciało ma postać kontinuum materialnego, możemy założyć, że dwa
p

unkty ciała sąsiadujące ze sobą przed odkształceniem pozostają sąsiednimi i po

odkształceniu. Ponadto należy przyjąć, że przemieszczenia stykających się elemen-

tów, na jakie podzieliliśmy myślowo rozpatrywane ciało są znikomo małe.

Rys.1 Odkszta

łcenia

a) ciało przed odkształceniem

b) ciało po odkształceniu

Pod działaniem sił P i momentów M ciało odkształca się (rys.1). Zmiany wymiarów

długości l (względne wydłużenie ε) i wymiarów kąta (odkształcenie postaciowe γ) wy-

niosą odpowiednio:

l

l

l

∆

=

→0

lim

ε

(1)

'

'

'

lim

0

,

0

E

D

C

CDE

DE

CE

−

=

→

→

γ

(2)

Rys.2 Zmiana objętości i postaci elementarnego prostopadłościanu

W prostokątnym układzie współrzędnych odkształcenie elementarnego prostopadło-

ścianu o bokach dx, dy, dz w przypadku ogólnym określa sześć wielkości jednostko-
wych:

ε

x

,

ε

y

,

ε

z

opisujących zmiany długości jego boków, oraz γ

xy

,

γ

yz

,

γ

zx

opisujących

a)

b)

M

M

P

P

Opracowanie Instytut Spawalnictwa - Gliwice.

Wszelkie prawa zastrze

żone. Powielanie lub rozpowszechnianie ca

ło

ści wzgl

ędnie

fragmentu w jakiejkolwiek formie i w jakikolwiek sposób jest zabronione.

KURS MIĘDZYNARODOWEGO

INŻYNIERA / TECHNOLOGA / MISTRZA / INSTRUKTORA SPAWALNIKA

(IWE/IWT/IWS/IWP)

Podstawy wytrzymałości materiałów

Instytut

Spawalnictwa

w Gliwicach

3.2

AW 2

zmiany j

ego kątów

dwuściennych. Jeśli przyjmie się, że wobec jego małych wymia-

rów odpowiednie ściany będą do

siebie równoległe, czyli prostopadłościan przecho-

dzi w równoległościan (rys.2) to jednostkowa

zmiana objętości:

1

cos

cos

cos

)

1

)(

1

)(

1

(

'

−

+

+

+

=

−

=

∆

zx

yz

xy

z

y

x

V

V

V

V

V

γ

γ

γ

ε

ε

ε

(3)

gdzie:

zx

yz

xy

z

y

x

dxdydz

V

dxdydz

V

γ

γ

γ

ε

ε

ε

cos

cos

cos

)

1

)(

1

)(

1

(

'

;

+

+

+

=

=

Jeśli odrzucimy iloczyny wielkości ε jako małe wyższego rzędu to otrzymamy:

1

cos

cos

cos

)

1

(

'

−

+

+

+

=

−

=

∆

zx

yz

xy

z

y

x

V

V

V

V

V

γ

γ

γ

ε

ε

ε

(4)

a względna zmiana objętości dana wzorem (4) jest superpozycją dwóch odkształceń:
obj

ętości i postaci.

1.2.1 Odkształcenia czysto objętościowe

Warunkiem koniecznym i wystarczającym, aby odkształcenia miały charakter

odkształceń czysto objętościowych jest spełnienie zależności:

0

=

=

=

zx

yz

xy

γ

γ

γ

(5)

ε

ε

ε

ε

=

=

=

z

y

x

(6)

Rys.3 Odkształcenia a)czysto objętościowe, b) postaciowe

Względna zmiana objętości wyniesie
zatem:

ε

3

'

=

−

=

∆

V

V

V

V

V

(7)

1.2.2 Od

kształcenia czysto postaciowe

Warunkiem koniecznym i wystarczającym, aby odkształcenia miały charakter

czysto postaciowy jest:

1

cos

,

cos

,

cos

→

zx

yz

xy

γ

γ

γ

czyli

0

=

∆V

(8)

0

=

+

+

z

y

x

ε

ε

ε

(9)

W większości przypadków rzeczywistych stanów odkształceń mają one charakter

mieszany objętościowo postaciowy tzn. są wynikiem jednoczesnego działania naprę-

żeń normalnych i stycznych. Zilustrowano to na rys.4.

tg

γ

≠ 0

γ

ε

x

+ ε

y

= 0

a)

b)

Opracowanie Instytut Spawalnictwa - Gliwice.

Wszelkie prawa zastrze

żone. Powielanie lub rozpowszechnianie ca

ło

ści wzgl

ędnie

fragmentu w jakiejkolwiek formie i w jakikolwiek sposób jest zabronione.

KURS MIĘDZYNARODOWEGO

INŻYNIERA / TECHNOLOGA / MISTRZA / INSTRUKTORA SPAWALNIKA

(IWE/IWT/IWS/IWP)

Podstawy wytrzymałości materiałów

3.2

Instytut

Spawalnictwa

w Gliwicach

AW 3

Rys.

4 Odkształcenie objętościowo postaciowe

2. Podstawy teorii sprężystości

Naprężenia zależą od wzajemnego położenia elementarnych cząsteczek ciała

poddanego działaniu sił zewnętrznych. Naprężenia są, zatem związane zależno-

ściami funkcyjnymi z odkształceniami, przy czym z kolei odkształcenia są uwarunko-

wane odpowiednimi cechami materiału ciała. Prowadzi to do umownych zapisów:

)

(

ε

σ

f

=

(10)

Zależności σ od ε uzyskuje się przez odpowiednie próby wytrzymałościowe. Wyłą-
cza

jąc z rozważań próby specjalistyczne podstawową statyczną próbą wytrzymało-

ściową jest próba na rozciąganie. Wszystkie próby przeprowadza się na znormalizo-

wanych, co do kształtu i wymiarów próbkach umożliwiających jednolitą interpretację

wyników badań. Materiały sprężysto-plastyczne (metale, niektóre tworzywa sztuczne,

itp.), poddawane próbom na rozciąganie, bada się na stosunkowo długich próbkach
wal

cowych, natomiast materiały sprężysto-kruche na krótkich próbkach walcowych.

Na rys. 5 pokazano wykresy ilustrujące próbę statycznego rozciągania materiału

sprężysto-plastycznego i sprężysto-kruchego.

Rys. 5 Wykresy próby rozciągania materiałów

a)

Materiału sprężysto plastycznego (stali konstrukcyjnej)

b)

Materiału sprężystego i kruchego (żeliwa szarego)

Z wykresów wynika, że funkcja f jest nieliniowa i jest efektem zachowania się mate-

riału podczas próby. Poszczególne liniowości i nieliniowości różnych typów rozdziela-

ją umowne punkty, którym odpowiadają wartości charakterystyczne σ lub ε.
-

Granica proporcjonalności R

H

(punkt A)-

jest to naprężenie, przy którym występuje

jeszcze liniowość między odkształceniem a naprężeniem.
-

Granica sprężystości R

sp

(punkt A') - odpowiada nap

rężeniom, przy których brak

jest liniowości między σ i ε , ale po odciążeniu próbka wraca do swojego kształtu

pierwotnego (brak wyraźnego odkształcenia trwałego); oznacza to, że nagromadzona

podczas odkształcenia energia sprężysta (praca sił wewnętrznych) przy odciążeniu

a)

b)

α

α

Opracowanie Instytut Spawalnictwa - Gliwice.

Wszelkie prawa zastrze

żone. Powielanie lub rozpowszechnianie ca

ło

ści wzgl

ędnie

fragmentu w jakiejkolwiek formie i w jakikolwiek sposób jest zabronione.

KURS MIĘDZYNARODOWEGO

INŻYNIERA / TECHNOLOGA / MISTRZA / INSTRUKTORA SPAWALNIKA

(IWE/IWT/IWS/IWP)

Podstawy wytrzymałości materiałów

Instytut

Spawalnictwa

w Gliwicach

3.2

AW 4

zostaje w całości zwrócona. Zwykle punkty A i A' są położone bardzo blisko siebie i

często przyjmowane jako wspólne.
-

Granica plastyczności R

e

(punkt B) -

jest naprężeniem, przy którym uwidaczniają

się znaczne odkształcenia plastyczne (wzrost ε przy praktycznie stałym σ = R

e

).

Samo zjawisko w obszarze B-B'

, zwane płynięciem materiału, wiąże się ze zmianami

mikrostruktury materiału w postaci mikroskopijnych poślizgów nieznikających po od-

ciążeniu i dających odkształcenia trwałe. Trzeba wyjaśnić, że gdy σ < R

sp

istnieją

również poślizgi strukturalne, co zawsze wiąże się z pewnymi, chociaż bardzo mały-

mi odkształceniami trwałymi. Są one jednak rzadkie i dopiero liczba ich gwałtownie, a
nawet lawinowo wzrasta, gdy

σ → R

e

. Zatem granica sprężystości R

sp

jest poj

ę-

ciem umownym i zależy od dokładności pomiarów i z reguły nie występuje w tabli-

cach własności mechanicznych materiałów. Natomiast wartości R

e

, podawane są

powszechnie. Jeśli jednak punkt R

e

nie zaznacza się wyraźnie w czasie badań,

wpr

owadza się pojęcie umownej granicy plastyczności R

0,2

przyjmując taki punkt

wykresu, w którym odkształcenia trwałe osiągają wartość 0,2%. Uzasadnieniem ta-

kiej umowy jest to, że przy takim odkształceniu trwałym obraz zmian mikrostruktury
jest podobny do ob

razu zmian w materiale z wyraźną granicą R

e

.

-

Wzmocnienie materiału (punkt B'). Punkt, w którym tworzenie się poślizgów doznaje

pewnego zahamowania. Od tego punktu w celu zwiększenia ε trzeba zwiększyć σ

(choć już nie tak szybko jak w pierwszej fazie obciążenia).
-

Wytrzymałość doraźna R

m

(punkt C

). Jest punktem stanu, przy którym naprężenia

prze

stają być jednorodne. W badanych próbkach pojawia się koncentracja poślizgów

w jednym miejscu, uwidoczniona w postaci lokalnego przewężenia (szyjki). Punkt ten

służy do określenia umownej(nie fizycznej) wielkości

A

P

R

m

max

=

(11)

gdzie - A -

początkowe pole przekroju).

W przedziale R

e

<σ < R

m

występuje zjawisko podniesienia granicy plastyczności.

Jeśli proces obciążenia przerwać np. w punkcie E, to proces odciążenia przebiegnie
po linii prostej EF

, równoległej do OA. Całkowitemu odciążeniu (σ = 0) odpowiada

trwałe odkształcenie OF. Powtórne obciążenie spowoduje zmianę odkształceń po linii
FE, po czym dalszy przebieg

σ = f (ε ) będzie odbywał się po linii EC. Gdyby obcią-

żenie przerwać w punkcie E, to okaże się, że po zdjęciu obciążenia materiał wraca
znowu do stanu F

. W przedziale naprężeń 0→σ

e

materiał zachowuje się jak materiał

sprężysty. Zjawisko to zwane procesem wzmocnienia jest szeroko wykorzystywane
w technice.

2.1 Sprężystość materiału prawo Hooke’a (naprężenia normalne i styczne)

Moduł sprężystości podłużnej (moduł Young’a) E określa proporcjonalność

między σ i ε w obszarze 0→ R

H

, i definiowany jest jako (rys. 5):

ε

σ

α

=

=

)

(

tg

E

(12)

Moduł Young’a charakteryzuje własności sprężyste materiału, a ściślej jego sprężysty

opór jaki stawia oddziaływującej na dane ciało sile. Zależność ta przedstawia fun-

damentalne prawo teorii sprężystości zwane również jako prawo Hooke’a:

ε

σ

E

=

(13)

Wydłużane pod wpływem siły wzdłuż jej działania ciało odkształca się zgodnie z pra-

wem Hooke’a (13) o wielkość ε

x

to jego odkształcenia prostopadłe do kierunku od-

działywania siły ε

y

,

ε

z

okre

ślone są parametrem Poissone’a ν i wyniosą:

Opracowanie Instytut Spawalnictwa - Gliwice.

Wszelkie prawa zastrze

żone. Powielanie lub rozpowszechnianie ca

ło

ści wzgl

ędnie

fragmentu w jakiejkolwiek formie i w jakikolwiek sposób jest zabronione.

KURS MIĘDZYNARODOWEGO

INŻYNIERA / TECHNOLOGA / MISTRZA / INSTRUKTORA SPAWALNIKA

(IWE/IWT/IWS/IWP)

Podstawy wytrzymałości materiałów

3.2

Instytut

Spawalnictwa

w Gliwicach

AW 5

E

x

x

z

y

νσ

νε

ε

ε

−

=

−

=

=

(14)

Odkształcenia postaciowe w zakresie sprężystym również wykazują proporcjonal-

ność do oddziaływujących naprężeń stycznych:

γ

τ

G

=

(15)

Opór postaci jaki stawia ciało poddane obciążeniu stycznym określony jest modułem
Kirchoffa G. W tablicy 1

zestawiono zależności naprężeń w funkcji odkształceń.

Tablica 1 Zależności naprężeń od odkształceń

σ

x

σ

y

σ

z

τ

xy

τ

yz

τ

zx

ε

x

E

x

σ

E

y

σ

ν

−

E

z

σ

ν

−

-

-

-

ε

y

E

x

σ

ν

−

E

y

σ

E

z

σ

ν

−

-

-

-

ε

z

E

x

σ

ν

−

E

y

σ

ν

−

E

z

σ

-

-

-

γ

xy

-

-

-

G

xy

τ

-

-

γ

yz

-

-

-

-

G

yz

τ

-

γ

zx

-

-

-

-

-

G

zx

τ

W układzie przestrzennym w formie analitycznej zwanej również uogólnionym pra-

wem Hooke’a zależności te można przedstawić następująco:

(

)

[

]

z

y

x

x

E

σ

σ

ν

σ

ε

+

−

=

1

(16)

(

)

[

]

x

z

y

y

E

σ

σ

ν

σ

ε

+

−

=

1

(17)

(

)

[

]

y

x

z

z

E

σ

σ

ν

σ

ε

+

−

=

1

(18)

G

xy

xy

τ

γ

=

(19)

G

zx

zx

τ

γ

=

(20)

G

zy

zy

τ

γ

=

(21)

2.2 Zasada de Saint-Venanta

Siły zewnętrzne mogą być przykładane do ciała nie tylko jako obciążenie cią-

głe, ale też jako obciążenie prawie-skupione. Ponieważ skończona wartość siły sku-

pionej działa na bardzo małej powierzchni w otoczeniu punktu przyłożenia tej siły,

powstają tutaj bardzo duże odkształcenia i naprężenia lokalne. Jednak w dostatecz-
nej odle

głości od punktu przyłożenia tej siły, rozkład naprężeń jest już równomierny w

Opracowanie Instytut Spawalnictwa - Gliwice.

Wszelkie prawa zastrze

żone. Powielanie lub rozpowszechnianie ca

ło

ści wzgl

ędnie

fragmentu w jakiejkolwiek formie i w jakikolwiek sposób jest zabronione.

KURS MIĘDZYNARODOWEGO

INŻYNIERA / TECHNOLOGA / MISTRZA / INSTRUKTORA SPAWALNIKA

(IWE/IWT/IWS/IWP)

Podstawy wytrzymałości materiałów

Instytut

Spawalnictwa

w Gliwicach

3.2

AW 6

całej objętości rozpatrywanego ciała. Rozpatrywany problem ujmuje zasada de Saint-
Venanta (rys.6).











Rys. 6 Zasada de Saint-Venanta

Równoważne układy sił działające na mały obszar ciała wywołują takie same stany

naprężenia w całym ciele z wyjątkiem bezpośredniego otoczenia przyłożonych sił.

Spiętrzenia naprężeń w miejscach styku dociskanych wzajemnie ciał są rozpatrywa-

ne jako osobne zagadnienie naprężeń powierzchniowych (wytrzymałości kontakto-
wej) w od

różnieniu od naprężeń występujących w całej objętości rozpatrywanych ciał.

2.3 Płaski stan naprężeń

W ogólnym stanie naprężeń mamy do czynienia z przestrzennym stanem na-

prężeń. Rozważania teoretyczne są jednak wtedy bardzo skomplikowane i analitycz-

nie nieprzejrzyste. I tak jeśli układ geometryczny przestrzeni i sił umieścimy na

płaszczyźnie to otrzymamy płaski układ naprężeń.

Rys. 7 Tarcza jako przykład płaskiego układu naprężeń

Płaską, cienką tarczę obciążono na krawędzi siłami działającymi w jej płaszczyźnie

x,y (rys.7). W dostatecznej odległości od krawędzi naprężenia zgodnie z zasadą de
Sa

int Venanta rozkładają się jednostajnie na jej grubości, a przekroje prostopadłe do

osi z są wolne od naprężeń. Na ściankach wyciętego elementu jednostkowego wy-

stąpią naprężenia (rys. 7). W zależności od położenia elementu jednostkowego na
je

go ściankach stany naprężeń będą się różnić. Jeśli obrócić element jednostkowy

zorientowany w układzie współrzędnych x,y o kąt α wokół osi z tak aby utworzył się

nowy układ ηξ, a układ obciążeń zewnętrznych pozostanie bez zmian to na ścian-

kach obróconego elementu jednostkowego pojawi się nowy układ naprężeń, który

uległ transformacji (rys.8)

Opracowanie Instytut Spawalnictwa - Gliwice.

Wszelkie prawa zastrze

żone. Powielanie lub rozpowszechnianie ca

ło

ści wzgl

ędnie

fragmentu w jakiejkolwiek formie i w jakikolwiek sposób jest zabronione.

KURS MIĘDZYNARODOWEGO

INŻYNIERA / TECHNOLOGA / MISTRZA / INSTRUKTORA SPAWALNIKA

(IWE/IWT/IWS/IWP)

Podstawy wytrzymałości materiałów

3.2

Instytut

Spawalnictwa

w Gliwicach

AW 7

Rys.8 Transformacja układu naprężeń występującego

na brzegach elementu jednostkowego

Za

leżności wektorowe (geometryczne) pomiędzy naprężeniami w obu układach będą

przedstawiać się w następujący sposób:

α

α

τ

α

σ

α

σ

σ

ξ

sin

cos

2

sin

cos

2

2

xy

y

x

+

+

=

(22)

α

α

τ

α

σ

α

σ

σ

η

sin

cos

2

cos

sin

2

2

xy

y

x

−

+

=

(23)

α

α

σ

α

τ

α

τ

α

α

σ

τ

ξη

cos

sin

cos

sin

sin

cos

2

2

y

xy

yx

x

+

+

−

−

=

(24)

Po przekształceniu funkcji trygonometrycznych otrzymamy:

(

) (

)

α

τ

α

σ

σ

σ

σ

σ

ξ

2

sin

2

cos

2

1

2

1

xy

y

x

y

x

+

−

+

+

=

(25)

(

) (

)

α

τ

α

σ

σ

σ

σ

σ

η

2

sin

2

cos

2

1

2

1

xy

y

x

y

x

−

−

−

+

=

(26)

(

)

α

τ

α

σ

σ

τ

ξη

2

cos

2

sin

2

1

xy

y

x

+

−

−

=

(27)

Równania (25-

27) opisują pewien dowolny stan naprężeń, który opisany jest składo-

wymi normalnymi (

σ

x

,

σ

y

) i stycznymi (

τ

xy

). W zależności od kąta orientacji α wartości

składowych będą się odpowiednio różnić. Istnieje jednak jedno położenie osi η,ξ,

przy danej wartości kąta α

0

, przy której wartość τ

ηξ

będzie równa 0. Taki stan na-

zwiemy stanem naprężeń głównych i dla odróżnienia określimy go składowymi σ

1

i

σ

2

. Kąt obrotu względem początkowego układu x, y określimy równaniem:

y

x

η

ξ

σ

x

σ

y

σ

ξ

σ

η

α

τ

yx

τ

xy

τ

ηξ

τ

ξη

Opracowanie Instytut Spawalnictwa - Gliwice.

Wszelkie prawa zastrze

żone. Powielanie lub rozpowszechnianie ca

ło

ści wzgl

ędnie

fragmentu w jakiejkolwiek formie i w jakikolwiek sposób jest zabronione.

KURS MIĘDZYNARODOWEGO

INŻYNIERA / TECHNOLOGA / MISTRZA / INSTRUKTORA SPAWALNIKA

(IWE/IWT/IWS/IWP)

Podstawy wytrzymałości materiałów

Instytut

Spawalnictwa

w Gliwicach

3.2

AW 8

(

)

y

x

xy

tg

σ

σ

τ

α

−

=

2

2

(28)

Po odpowiednich przekształceniach otrzymamy równania służące do określenia war-

tości naprężeń głównych:

(

)

(

)

2

2

1

4

2

1

2

1

xy

y

x

y

x

τ

σ

σ

σ

σ

σ

+

−

+

−

=

(29)

(

)

(

)

2

2

2

4

2

1

2

1

xy

y

x

y

x

τ

σ

σ

σ

σ

σ

+

−

−

−

=

(30)

Rys. 9 Koło Mohra

Równania (29-

30) można zobrazować na kole Mohra (rys.9). Jeśli na płaszczyźnie

określonej współrzędnymi τ, σ narysujemy koło o średnicy σ

2

-

σ

1

, którego środek le-

ży na osi σ to otrzymamy możliwość odzwierciedlenia wszystkich stanów naprężeń
(

σ

x

,

σ

y

,

τ

xy

) działających na element jednostkowy (rys.7) w zależności od kąta jego

usytuowania

α (rys. 8) pod warunkiem spełnienia warunku geometrycznego jak na

rys.9.

Jeśli dany płaski element jednostkowy zostanie obciążony tak, że na jego ściankach

pojawią się naprężenia główne σ

1

i

σ

2

(rys. 10) to jeśli w tym elemencie ustanowimy

płaszczyznę pochyloną pod kątem α

1

to zgodnie z zasadą transformacji (25 ,26 i 27)

oprócz naprężeń normalnych do płaszczyzny σ

α1

pojawią się dodatkowe naprężenia

styczne

τ

α1

. Ob

ecność ich niewątpliwe wpłynie na ogólny stan naprężeń.

1

2

2

1

2

1

sin

cos

α

σ

α

σ

σ

α

+

=

(31)

1

2

1

2

sin

2

α

σ

σ

τ

α

−

=

(32)

Opracowanie Instytut Spawalnictwa - Gliwice.

Wszelkie prawa zastrze

żone. Powielanie lub rozpowszechnianie ca

ło

ści wzgl

ędnie

fragmentu w jakiejkolwiek formie i w jakikolwiek sposób jest zabronione.

KURS MIĘDZYNARODOWEGO

INŻYNIERA / TECHNOLOGA / MISTRZA / INSTRUKTORA SPAWALNIKA

(IWE/IWT/IWS/IWP)

Podstawy wytrzymałości materiałów

3.2

Instytut

Spawalnictwa

w Gliwicach

AW 9

Rys.

10 Stan naprężeń zależny od położenia przekroju

3. Zasady ogólne obliczeń konstrukcyjnych

Projektant przy kształtowaniu konstrukcji musi wypełnić postulaty, do których

można zaliczyć:
- zapewnienie maksymalneg

o bezpieczeństwa, niezawodności i trwałości,

-

nadanie konstrukcji najodpowiedniejszej formy pod względem użytkowym,

-

przeprowadzenie realizacji projektu przy minimalnym nakładzie kosztów.

Spełnienie tych postulatów realizowane jest w różny sposób. Jednym z nich jest

utworzenie naprężenia dopuszczalnego k jako granicy, której naprężenia rzeczywi-

ste w elemencie konstrukcyjnym nie mogą przekroczyć. Wartość naprężeń
dopuszczalnych k

ustala się jako pewien ułamek naprężeń uznawanych za niebez-

pieczne, przyjmo

wanych na podstawie różnych hipotez wytrzymałościowych. Z regu-

ły za stan niebezpieczny przyjmuje się wytrzymałość doraźną materiału R

m

lub też

nadmierne odkształcenia trwałe, co prowadzi do uznania granicy plastyczności R

e

za

stan niebezpieczny. Wobec tego defi

niuje się dwa rodzaje naprężeń dopuszczalnych:

m

m

m

e

e

e

X

R

k

X

R

k

=

=

;

(33)

gdzie liczby X

e

i X

m

są większe od jedności i noszą nazwę współczynników bezpie-

czeństwa odniesionymi odpowiednio do R

e

lub R

m

. Współczynniki bezpieczeństwa

zwykle są podawane w odpowiednich przepisach i normach państwowych dla po-

szczególnych, rodzajów konstrukcji i materiałów konstrukcyjnych. Z wartością k wią-

że się także ekonomiczna opłacalność i koszty. Liczbowa wartość X zależy od do-

kładności, z jaką znane są obciążenia zewnętrzne, od stopnia jednorodności materia-

łu, charakteru obciążeń (stałe czy zmienne w czasie), warunków użytkowania itp. W

związku z tym wartości liczbowe X ustalane są z dużą dozą niepewności i często

opiera się przy tym na intuicji i doświadczeniu inżynierskim. Metoda naprężeń do-

puszczalnych jest oparta na istotnym założeniu, że o bezpieczeństwie całej konstruk-

cji decyduje wartość naprężenia w jednym jej miejscu. Założenie to jest bardzo za-

chowawcze, gdyż ścisłe trzymanie się jego prowadzi z reguły do niepotrzebnego
przewymiarowania konstrukcji.

Nowocześniejszą metodą obliczeniowa jest metoda stanów granicznych, w której
stan gra

niczny konstrukcji należy utożsamić z takim stanem , po osiągnięciu którego

ustrój nośny lub jego element składowy przestają odpowiadać założonym wymaga-

niom realizacji lub użytkowania.

Ogólne stany graniczne można podzielić na:

Opracowanie Instytut Spawalnictwa - Gliwice.

Wszelkie prawa zastrze

żone. Powielanie lub rozpowszechnianie ca

ło

ści wzgl

ędnie

fragmentu w jakiejkolwiek formie i w jakikolwiek sposób jest zabronione.

KURS MIĘDZYNARODOWEGO

INŻYNIERA / TECHNOLOGA / MISTRZA / INSTRUKTORA SPAWALNIKA

(IWE/IWT/IWS/IWP)

Podstawy wytrzymałości materiałów

Instytut

Spawalnictwa

w Gliwicach

3.2

AW 10

-

stan graniczny nośności (SGN) – odpowiadający maksymalnej nośności konstrukcji

lub świadczący o całkowitej jej nieprzydatności do eksploatacji. Stan ten może być
spowodowany:
- -

utratą równowagi występującą w części lub w całości ustroju traktowanego jako

ciało sztywne
- - zniszczeniem krytycznych przekrojów konstrukcj

i w wyniku wyczerpania nośności

ustroju
- -

przekształceniem się ustroju w mechanizm, co prowadzi do jego zniszczenia

- -

utratą stateczności w wyniku nadmiernych odkształceń

- -

zniszczeniem przekrojów z powodu zmęczenia materiału.

Sprawdzenie stanów gran

icznych nośności polega na wykazaniu, że w każdym mia-

rodajnym przekroju w (w elemencie) konstrukcji, przy każdej kombinacji oddziaływań

obliczeniowych spełniony jest warunek:
S

d

<R

d

(34)

gdzie S

d

-

siła wewnętrzna wywołana oddziaływaniami

R

d

–

odpowiednia nośność obliczona przy stali założeniu, że wytrzymałość mate-

riału w odniesieniu do granicy plastyczności osiągają wartości obliczeniowe
-

stan graniczny użytkowalności (SGU) – odpowiadający kryteriom, związanym z

eksploatacją i trwałością konstrukcji. SGU to stany mające negatywny wpływ na
przydat

ność konstrukcji. Są one spowodowane :

- -

nadmiernymi odkształceniami, przemieszczeniami ustroju prowadzącym do utraty

stateczności

- -

wystąpieniem pęknięć połączonym z wystąpieniem rys o nadmiernej szerokości i

zbyt dużymi naprężeniami
- -

nadmiernymi drganiami od obciążeń eksploatacyjnych.

Sprawdzenie stan granicznego użytkowalności polega na wykazaniu, że wartość

ugięć (przemieszczeń, odkształceń), powodowana działaniem obciążeń w najbardziej

niekorzystnym przypadku kombinacji jest mniejsza niż wartość dopuszczalna dla da-

nego typu konstrukcji, elementu podanego w normie. Istotne jest, że w przypadku
SGU

, do sprawdzenia wartości ugięć, bierzemy wartości obciążeń charakterystycz-

nych ( wykorzystując wartości współczynników γ

F

, w tym wypadku musimy

przyjmować wartość 1,0) SGU można zapisać za pomocą nierówności:
E

d

≤ C

d

gdzie poszczególne sk

ładowe nierówności oznaczają:

E

d

-

jest to efekt oddziaływać na konstrukcję, w postaci ugięć, przemieszczeń, rys czy

drgań
C

d

-

oznacza wartość dopuszczalną efektu jaka klasyfikuje element, obiekt do stanu

użytkowania

4. Geometria mas

4.1 Pojęcie momentu bezwładności

Przeprowadzenie redukcji sił wewnętrznych w pręcie w sposób przyjęty w wy-

trzymałości materiałów wymaga znajomości położenia środka ciężkości jego przekro-

ju. Do wyznaczania naprężeń od siły osiowej potrzebna jest znajomość pola po-
wierzchni p

rzekroju poprzecznego pręta. Przy występowaniu momentu gnącego lub

momentu skręcającego koniecznym jest wprowadzenie nowych parametrów geome-

trycznych, które charakteryzowałyby przekrój tak pod względem wielkości jak i pod

względem kształtu. Parametrem tym jest powierzchniowy moment bezwładności i

Opracowanie Instytut Spawalnictwa - Gliwice.

Wszelkie prawa zastrze

żone. Powielanie lub rozpowszechnianie ca

ło

ści wzgl

ędnie

fragmentu w jakiejkolwiek formie i w jakikolwiek sposób jest zabronione.

KURS MIĘDZYNARODOWEGO

INŻYNIERA / TECHNOLOGA / MISTRZA / INSTRUKTORA SPAWALNIKA

(IWE/IWT/IWS/IWP)

Podstawy wytrzymałości materiałów

3.2

Instytut

Spawalnictwa

w Gliwicach

AW 11

moment de

wiacji. W przypadku prostokątnego układu współrzędnych 0,x,y (rys.10)

momentami bezwładności względem osi będą:

dA

y

I

A

x

∫

=

2

(35)

∫

=

A

y

dA

x

I

2

(36)

Rys. 10 Ilustracja położenia układu współrzędnych na płaszczyźnie

Momente

m biegunowym bezwładności względem środka początku układu współ-

rzędnych będzie :

dA

I

A

∫

=

2

0

ρ

(37)

Podstawiając współrzędne prostokątne wykorzystując twierdzenie Pitagorasa otrzy-
mamy:

(

)

y

y

A

I

I

dA

y

x

I

+

=

+

=

∫

2

2

0

(38)

Wprowadzają pojęcie promienia bezwładności (i

x

, i

y

) wzory na momenty bezwładno-

ści przyjmą postaci:

2

x

x

Ai

I

=

(39)

2

y

y

Ai

I

=

(40)

Najl

epiej zilustrować powyższe definicja na przykładach. Wyznaczyć moment bez-

władności prostokąta (rys.11).

Rys. 11 Wyznaczenie momentu bezwładności prostokąta

Opracowanie Instytut Spawalnictwa - Gliwice.

Wszelkie prawa zastrze

żone. Powielanie lub rozpowszechnianie ca

ło

ści wzgl

ędnie

fragmentu w jakiejkolwiek formie i w jakikolwiek sposób jest zabronione.

KURS MIĘDZYNARODOWEGO

INŻYNIERA / TECHNOLOGA / MISTRZA / INSTRUKTORA SPAWALNIKA

(IWE/IWT/IWS/IWP)

Podstawy wytrzymałości materiałów

Instytut

Spawalnictwa

w Gliwicach

3.2

AW 12

dy

b

dA

=

3

3

0

2

2

bh

b

y

dy

dA

y

I

A

h

x

=

=

=

∫

∫

3

3

h

b

I

y

=

(

)

2

2

0

3

b

h

A

I

I

I

y

x

+

=

+

=

Dla koła o średnicy d=2r w przyjętym układzie współrzędnych 0, x, y wyznaczono

momenty bezwładności I

0

, I

x

i I

y

(rys.12).

Rys. Wyznaczenie biegunowego momentu bezwładności koła

Biegunowy moment bezwładności wyznaczamy całkując po przyroście pola da w

granicach od 0 do promienia koła (rys.12).

32

2

2

2

2

0

2

0

3

2

2

0

d

d

d

I

d

dA

dA

I

d

d

o

A

π

ρ

ρ

π

ρ

πρ

ρ

ρ

πρ

ρ

=

=

=

=

=

∫

∫

∫

Osiowe momenty bezwładności I

x

i I

y

wyznaczamy całkując przyrost pola odpowied-

nio wzdłuż osi y i x (rys.13)

Rys. 13 Wyznaczenie osiowego momentu bezwładności koła

dy

y

b

I

dy

b

dA

dA

y

I

r

y

x

y

A

x

2

0

2

2

∫

∫

=

=

=

Opracowanie Instytut Spawalnictwa - Gliwice.

Wszelkie prawa zastrze

żone. Powielanie lub rozpowszechnianie ca

ło

ści wzgl

ędnie

fragmentu w jakiejkolwiek formie i w jakikolwiek sposób jest zabronione.

KURS MIĘDZYNARODOWEGO

INŻYNIERA / TECHNOLOGA / MISTRZA / INSTRUKTORA SPAWALNIKA

(IWE/IWT/IWS/IWP)

Podstawy wytrzymałości materiałów

3.2

Instytut

Spawalnictwa

w Gliwicach

AW 13

Jeżeli figurę płaską o polu A (rys.14) podzielimy na figury składowe od I … IV o po-
wierzchni A

I

…A

IV

gdzie :

IV

III

II

I

A

A

A

A

A

+

+

+

=

(41)

Rys.14 Wyznaczanie osiowego momentu bezwładności figury złożonej

to moment bezwładności złożonej figury płaskiej będzie równy sumie momentów

bezwładności figur składowych.

xIV

xIII

xII

xI

x

I

I

I

I

I

+

+

+

=

(42)

4.2 Twierdzenie Steinera

Analityczne wyliczanie momentów bezwładności jest bardzo pracochłonne i

nieraz skomplikowane. Wyma

ga dużej wiedzy z matematyki , a szczególnie analizy

matematycznej. Dla uproszczenia,

w tablicach podaje się formuły dla wyliczania mo-

mentów bezwładności względem osi przechodzących przez środki ciężkości. W ta-

blicy 2 zestawiono formuły na obliczanie momentów bezwładności dla różnych figur

geometrycznych. Często jednak istnieje konieczność obliczania momentów bezwład-

ności i wskaźników wytrzymałościowych przekrojów względem osi przesuniętych. Na

rys.15 przedstawiono figurę płaską w układzie współrzędnych prostokątnych 0, x, y

oraz przesunięty układ Ω, ξ, η. Przesunięcie wynosi odpowiednio a i b. Znając mo-

menty bezwładności I

x

i I

y

wyznaczymy momenty dla nowego układu współrzędnych.

2

cos

2

2

sin

2

sin

2

α

α

α

α

r

y

d

r

dy

r

b

y

=

−

=

=

2

2

sin

2

cos

2

sin

2

2

2

2

0

2

α

α

α

α

π

d

r

r

r

I

x

∫

−

=

2

2

sin

2

cos

2

sin

2

2

2

2

0

2

α

α

α

α

π

d

r

r

r

I

x

∫

−

=

Opracowanie Instytut Spawalnictwa - Gliwice.

Wszelkie prawa zastrze

żone. Powielanie lub rozpowszechnianie ca

ło

ści wzgl

ędnie

fragmentu w jakiejkolwiek formie i w jakikolwiek sposób jest zabronione.

KURS MIĘDZYNARODOWEGO

INŻYNIERA / TECHNOLOGA / MISTRZA / INSTRUKTORA SPAWALNIKA

(IWE/IWT/IWS/IWP)

Podstawy wytrzymałości materiałów

Instytut

Spawalnictwa

w Gliwicach

3.2

AW 14

Rys. 15 Układy współrzędne dla wyznaczenia

momentu bezwładności po przesunięciu

Tablica 2 Zestawienie

podstawowych formuł geometrii przekrojów

Lp
.

Przekrój

Moment
bez

władności

Wskaźnik na
zginanie

Wskaźnik na
zginanie pla-
styczne

1

12

3

bh

I

=

6

2

bh

W

=

4

'

2

bh

W

=

2

12

4

a

I

=

3

12

2

a

W

=

3

6

2

'

a

W

=

3

36

3

bh

I

=

12

24

2

2

bh

W

bh

W

II

I

=

=

2

6

2

2

'

bh

W

−

=

4

64

4

d

I

π

=

32

3

d

W

π

=

6

'

3

d

W

=

5

(

)

4

4

64

d

D

I

−

=

π













−

=

D

d

D

W

4

4

32

π

(

)

3

3

6

1

'

d

D

W

−

=

Opracowanie Instytut Spawalnictwa - Gliwice.

Wszelkie prawa zastrze

żone. Powielanie lub rozpowszechnianie ca

ło

ści wzgl

ędnie

fragmentu w jakiejkolwiek formie i w jakikolwiek sposób jest zabronione.

KURS MIĘDZYNARODOWEGO

INŻYNIERA / TECHNOLOGA / MISTRZA / INSTRUKTORA SPAWALNIKA

(IWE/IWT/IWS/IWP)

Podstawy wytrzymałości materiałów

3.2

Instytut

Spawalnictwa

w Gliwicach

AW 15

6

12

3

3

bh

BH

I

+

=

H

bh

BH

W

6

3

3

+

=

4

'

2

2

bh

BH

W

+

=

7

12

3

3

bh

BH

I

−

=

H

bh

BH

W

6

3

3

−

=

4

'

2

2

bh

BH

W

−

=

dA

I

A

∫

=

2

ξ

ξ

(43)

dA

I

A

∫

=

2

η

η

(44)

Podstawiając: ξ= x-a, η= y-b otrzymamy odpowiednio:

(

)

∫

∫

∫

∫

+

+

=

−

=

A

A

A

A

dA

b

ybdA

b

dA

y

dA

b

y

I

2

2

2

2

2

ξ

∫

+

−

=

A

x

Ab

ydA

b

I

I

2

2

ξ

(45)

i

∫

+

−

=

A

y

Aa

xdA

a

I

I

2

2

η

(46)

Kiedy początek pierwotnego układu współrzędnych x, y pokrywa się ze środkiem

ciężkości rozpatrywanej figury płaskiej wówczas momenty statyczne są równe 0:

∫

∫

=

=

A

A

xdA

i

ydA

0

0

(47)

a formuły (45) i (46) możemy przedstawić w prostszej postaci:

2

Ab

I

I

y

+

=

ξ

(48)

2

Aa

I

I

x

+

=

η

(49)

Momenty bezwładności wzgl. osi przesuniętych opisuje twierdzenie Steinera, Które

brzmi: „Moment bezwładności figury płaskiej względem osi odległej od środka cięż-

kości o a jest równy momentowi bezwładności względem osi równoległej przecho-

Opracowanie Instytut Spawalnictwa - Gliwice.

Wszelkie prawa zastrze

żone. Powielanie lub rozpowszechnianie ca

ło

ści wzgl

ędnie

fragmentu w jakiejkolwiek formie i w jakikolwiek sposób jest zabronione.

KURS MIĘDZYNARODOWEGO

INŻYNIERA / TECHNOLOGA / MISTRZA / INSTRUKTORA SPAWALNIKA

(IWE/IWT/IWS/IWP)

Podstawy wytrzymałości materiałów

Instytut

Spawalnictwa

w Gliwicach

3.2

AW 16

dzącej przez ten środek ciężkości, powiększonemu o iloczyn całej powierzchni figury

przez kwadrat odległość a (A x a

2

).

Przykład 1:

Wyznaczyć moment bezwładności trójkąta względem podstawy i względem osi prze-
c

hodzącej przez środek ciężkość i równoległej do podstawy (rys.16).

Moment bezwładności I

x

względem podstawy wyznaczymy z formuły (35). Aby wyko-

nać procedurę całkowania musimy określić miarę przyrostu powierzchni dA. Przyro-

stem powierzchni da będzie pasek równoległy do podstawy o boku b

y

i wysokości

dy. Ze względu, że dy jest mała i dąży do 0 możemy z wystarczającą dokładnością

założyć, że powierzchnia Da jest prostokątem o bokach b

y

i dy. Podstawa b

y

będzie

zmieniać się zależnie od zbieżności wierzchołków rozpatrywanego trójkąta. Z podo-

bieństwa trójkątów otrzymamy:

Rys. 16 Widok trójkąta

h

y

h

b

b

h

y

h

b

b

y

y

−

=

⇒

−

=

dy

h

y

h

b

dy

b

dA

y

−

=

=

Podstawiając do (35) otrzymamy:

12

4

3

3

0

4

0

3

0

3

0

2

2

0

bh

I

y

h

b

y

b

dy

y

h

b

dy

y

b

y

dy

h

y

h

b

I

x

h

h

h

h

h

x

=

−

=

−

=

−

=

∫

∫

∫

Aby otrzymać moment bezwładności względem osi x

c

przechodzącej przez środek

ciężkości należy zastosować twierdzenie Steinera. Znana wartość I

x

jest momentem

bezwładności figury przesuniętej wzgl. środka ciężkości a zadaniem jest wyznacze-

nie momentu bezwładności wzg. środka ciężkości. Musimy zatem przekształcić for-

mułę Steinera

2

Aa

I

I

c

x

x

+

=

do postaci

2

Aa

I

I

x

x

c

−

=

x

x

c

Opracowanie Instytut Spawalnictwa - Gliwice.

Wszelkie prawa zastrze

żone. Powielanie lub rozpowszechnianie ca

ło

ści wzgl

ędnie

fragmentu w jakiejkolwiek formie i w jakikolwiek sposób jest zabronione.

KURS MIĘDZYNARODOWEGO

INŻYNIERA / TECHNOLOGA / MISTRZA / INSTRUKTORA SPAWALNIKA

(IWE/IWT/IWS/IWP)

Podstawy wytrzymałości materiałów

3.2

Instytut

Spawalnictwa

w Gliwicach

AW 17

Po podstawieniu otrzymamy:

36

3

2

12

3

2

3

bh

h

bh

bh

I

c

x

=













−

=

Przykład 2:

Wyznaczyć osiowy moment bezwładności dla ćwiartki koła jak na rysunku.

W danym przypadku całkowania, obliczenia pola powierzchni najwygodniej będzie

wykonać wykorzystując biegunowy układ współrzędnych. Element podstawowy dA
Wyniesie odpowiednio:

ρ

ϕ

ρ

d

d

dA

=

ϕ

ρ

sin

=

y

Pole powierzchni ćwiartki koła :

Rys. 17 Wido

k ćwiartki koła z wymiarami

Odległości krawędzi od środka ciężkości ćwiartki koła:

π

3

4r

x

y

c

c

=

=

Zatem moment bezwładności wzgl. osi x wyniesie:

4

2

0

2

0

2

0

4

2

0

2

0

2

2

16

1

2

sin

4

1

2

4

1

sin

4

1

sin

r

r

d

d

d

dA

y

I

r

r

r

A

x

π

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ρ

ρ

ϕ

ρ

ϕ

ρ

π

π

π

=

−

=

=

=

=

∫

∫∫

∫

4

16

1

r

I

y

π

=

Dla wyliczenia momentu bezwładności względem osi przechodzącej przez środek

ciężkości ćwiartki koła należy wykorzystać twierdzenie Steinera.

4

2

2

3

2

2

2

4

2

05488

,

0

144

16

9

3

4

2

16

1

r

r

r

r

r

r

y

A

I

I

c

x

x

c

=













−

=













−

=

−

=

π

π

π

π

π

4

05488

,

0

r

I

c

y

=

=y

c

=x

c

Opracowanie Instytut Spawalnictwa - Gliwice.

Wszelkie prawa zastrze

żone. Powielanie lub rozpowszechnianie ca

ło

ści wzgl

ędnie

fragmentu w jakiejkolwiek formie i w jakikolwiek sposób jest zabronione.

KURS MIĘDZYNARODOWEGO

INŻYNIERA / TECHNOLOGA / MISTRZA / INSTRUKTORA SPAWALNIKA

(IWE/IWT/IWS/IWP)

Podstawy wytrzymałości materiałów

Instytut

Spawalnictwa

w Gliwicach

3.2

AW 18

Przykład 3:

Obliczyć moment bezwładności przekroju względem osi przechodzącej przez jego

środek ciężkości (rys.18).

Rys.18 Widok przekroju teowego

Rozpatrywana figura rozmieszczona została w układzie współrzędnych prostokąt-

nych x, y. Pierwszym etapem jest obliczenie współrzędnej środka ciężkości x

c

i y

c

.

71

,

2

2

*

6

2

*

8

5

*

2

*

6

1

*

2

*

8

=

+

+

=

c

y

Współrzędnej ze względu na symetrię wzgl. osi y nie wylicza się współrzędnej środka

ciężkości. Moment bezwładności względem osi x wyniesie:

zII

zI

z

I

I

I

c

+

=

4

2

3

52

71

,

1

*

2

*

8

12

2

*

8

cm

I

zI

≅

+

=

4

2

3

99

29

,

2

*

6

*

2

12

6

*

2

cm

I

zII

≅

+

=

4

151cm

I

c

z

=

Przykład 4:

Obliczyć moment bezwładności przekroju jak na rys. 19

Rys.19 Przekrój z otworami

x

c

x

y

Opracowanie Instytut Spawalnictwa - Gliwice.

Wszelkie prawa zastrze

żone. Powielanie lub rozpowszechnianie ca

ło

ści wzgl

ędnie

fragmentu w jakiejkolwiek formie i w jakikolwiek sposób jest zabronione.

KURS MIĘDZYNARODOWEGO

INŻYNIERA / TECHNOLOGA / MISTRZA / INSTRUKTORA SPAWALNIKA

(IWE/IWT/IWS/IWP)

Podstawy wytrzymałości materiałów

3.2

Instytut

Spawalnictwa

w Gliwicach

AW 19

W pierwszej kolejności trzeba obliczyć współrzędne środka ciężkości przekroju. W

Tyma celu należy przekrój podzielić na figury podstawowe (prostokąty, trójkąty i ko-

ła)(rys.19).Obliczenia będą wykonane w cm.

1

;

6

*

2

1

1

=

=

y

A

1

;

5

,

0

*

2

2

2

=

=

y

A

π

1

2

;

3

*

1

*

2

1

3

3

+

=

=

y

A

7

;

10

*

2

4

4

=

=

y

A

cm

A

A

A

A

y

A

y

A

y

A

y

A

y

c

86

,

4

2

3

2

3

4

3

2

1

4

4

3

3

2

2

1

1

=

+

+

−

+

+

−

=

Momenty bezwładności figur składowych względem osi poziomych przechodzących

przez ich środki ciężkości wynoszą:

4

3

1

4

12

2

*

6

cm

I

cx

=

=

4

4

2

049

,

0

4

5

,

0

*

cm

I

cx

=

=

π

4

3

3

25

,

0

36

3

*

1

cm

I

cx

=

=

4

3

4

7

,

166

12

10

*

2

cm

I

cx

=

=

Moment bezwładności figury złożonej względem jej środka ciężkości wyniesie

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

2

4

4

4

2

3

3

2

2

2

2

2

1

1

1

2

2

2

3

3

−

−

+

+

−

+

+

−

−

−

−

+

=

c

cx

c

cx

c

cx

c

cx

x

y

y

A

I

y

y

I

y

y

A

I

y

y

A

I

I

2

2

2

2

14

,

2

*

20

7

,

166

86

,

1

*

5

,

1

*

2

25

,

0

*

2

86

,

3

*

785

,

0

*

3

049

,

0

*

3

86

,

3

*

12

4

+

+

+

+

−

−

+

=

x

I

4

2

,

416

cm

I

x

=

5. Rozciąganie osiowe

Prostoliniowy pręt pryzmatyczny jest obciążony na końcach siłą równomiernie

rozłożoną na powierzchni przekroju. Kierunek obciążenia pokrywa się z osią pręta

(czyli osią x układu współrzędnych związanych z prętem). Obciążenie będzie rozcią-

gające czyli wszystkie siły będą działały od przekroju. Nie rozpatruje się tutaj przy-

padku pręta ściskanego ponieważ w tym przypadku zastosowanie ma inna teoria

(trzeba uwzględnić zjawisko wyboczenia nazywane także utratę stateczności, gdzie

zniszczenie pręta następuje przy siłach dużo mniejszych niż w przypadku pręta roz-

ciąganego). Pręt został przedstawiony na rys.1.

Opracowanie Instytut Spawalnictwa - Gliwice.

Wszelkie prawa zastrze

żone. Powielanie lub rozpowszechnianie ca

ło

ści wzgl

ędnie

fragmentu w jakiejkolwiek formie i w jakikolwiek sposób jest zabronione.

KURS MIĘDZYNARODOWEGO

INŻYNIERA / TECHNOLOGA / MISTRZA / INSTRUKTORA SPAWALNIKA

(IWE/IWT/IWS/IWP)

Podstawy wytrzymałości materiałów

Instytut

Spawalnictwa

w Gliwicach

3.2

AW 20

Rys.20 Stan obciążenia i naprężenia w pręcie rozciąganym

Obciążenie może zostać przyłożone do pręta także za pomocą siły skupionej P. Bę-

dzie ona odpowiadała obciążeniu powierzchniowemu rozłożonemu na bardzo małej
powierzchni.

qA

P

=

(50)

W odległości większej od wymiarów przekroju pręta można przyjąć, że skutki działa-

nia obu typów obciążenia są takie same. Stanowi to treść zasady de Saint-Venanta.

Jeżeli pręt pryzmatyczny zostanie myślowo przecięty w dowolnym miejscu to aby od-

cięta część pręta była w równowadze, czyli aby wypadkowa siła działająca na odciętą

część pręta wynosiła zero w przekroju muszą się pojawić naprężenia normalne.

Oznacza się je σ. Jednostką naprężenia jest w układzie SI Pascal [Pa]. Najczęściej

korzysta się z wielokrotności MPa [N/mm

2

] Obok założenia jednorodności oraz wła-

ściwości izotropowych materiału, z którego wykonano pręt zakłada się, że podczas

działania siły normalnej przekrój pręta pozostaje płaski czyli nie ulega spaczeniu.

Jest to tak zwana hipoteza płaskich przekrojów. Konsekwencją tej hipotezy będzie

fakt, że rozkład naprężeń normalnych na całej powierzchni przekroju będzie stały

(rys.20). Jeżeli naprężenia normalne są stałe na całym przekroju pręta to możemy je

wyciągnąć przed znak całki. Ostatecznie wzór na obliczenie naprężeń będzie miał

postać

A

N

dA

N

A

=

⇒

=

∫

σ

σ

(51)

Rys.21 Schemat pręta rozciąganego

Na rys. 21 pokazano pręt rozciągany siłą P. Dla ułatwienia przyjęto, że lewy koniec

pręta będzie nieruchomy. W dowolnym punkcie pręta panuje siła normalna N równa

sile P. W zakresie sprężystym materiału wydłużenie pręta dl jest wprost proporcjo-

nalne do siły normalnej N (rys.20). Współczynnikiem proporcjonalności jest moduł
Younga E. Jest to

jedna ze stałych materiałowych. Jednostką modułu Younga jest

MPa.

0

L

L

E

A

N

∆

=

(52)

P

P

q

q

σ

A

N

N

x

y

z

y

Opracowanie Instytut Spawalnictwa - Gliwice.

Wszelkie prawa zastrze

żone. Powielanie lub rozpowszechnianie ca

ło

ści wzgl

ędnie

fragmentu w jakiejkolwiek formie i w jakikolwiek sposób jest zabronione.

KURS MIĘDZYNARODOWEGO

INŻYNIERA / TECHNOLOGA / MISTRZA / INSTRUKTORA SPAWALNIKA

(IWE/IWT/IWS/IWP)

Podstawy wytrzymałości materiałów

3.2

Instytut

Spawalnictwa

w Gliwicach

AW 21

Z kolei wydłużenie dowolnego odcinka a-b pręta wyznaczymy z formuły:

( )

( ) ( )

dx

x

A

x

E

x

N

l

b

a

ab

∫

=

∆

(53)

Gdzie w najogólniejszym przypadku siła rozciągająca, moduł Younga i pole po-

wierzchni może być funkcją x.

Wyrażenie

0

0

L

L

∆

=

ε

(54)

nazywa się odkształceniem liniowym. Jak widać ze wzoru (54) odkształcenie jest

wielkością bezwymiarową. Ostatecznie:

ε

σ

E

=

(55)

Równanie (55) jest matematycznym przedstawieniem wspomnianego już prawa Ho-

oke’a, które brzmi: „W zakresie sprężystości ciała stałego naprężenie jest wprost

proporcjonalne do odkształcenia, a współczynnikiem proporcjonalności jest moduł

sprężystości podłużnej zwany również modułem Younga”. Moduł Younga jest stałą

materiałową. W tablicy 3 zestawiono wartości modułu Younga dla kilku materiałów
konstru

kcyjnych. Podobnie obowiązuje prawo w odniesieniu do odkształceń posta-

ciowych wiążąc je z naprężeniami stycznymi:

G

γ

τ

=

(56)

Tablica 3

Stałe sprężystości dla materiałów konstrukcyjnych

Materiał

Moduł spręży-

stości podłużnej
E [MPa]

Moduł odkształ-
cenia postacio-
wego
G [MPa]

Stal

2,10 10

5

0,80 10

5

Żeliwo

1,90 10

5

0,38 10

5

Miedź

1,00 10

5

0,63 10

5

Al. i stopy

0,69 10

5

0,26 10

5

Tytan i sto-
py

1,20 10

5

0,41 10

5

Analizując zjawiska jakie wystąpią podczas rozciągania pręta na rys. 21 należy prze-

de wszystkim odnieść się do prawa Hooke’a. Po przekształceniu wzoru (52) otrzy-

mamy zależność na całkowite wydłużenie:

EA

NL

L

L

x

0

0

=

=

∆

ε

(57)

Przemieszczenie u w kierunku osi x

w dowolnym punkcie pręta będzie więc wynosiło:

( )

x

EA

N

x

u

=

(58)

Wydłużenie wzdłuż osi x spowoduje zmniejszenie się przekrojów poprzecznych pręta

tak wzdłuż osi y jak i niewidocznej na rys. 21 osi z. Zależności opisujące to zmiany
przedstawiono przy pomocy wzorów (59) i (60).

( )

y

EA

N

y

v

ν

−

=

(59)

( )

z

EA

N

z

w

ν

−

=

(60)

Opracowanie Instytut Spawalnictwa - Gliwice.

Wszelkie prawa zastrze

żone. Powielanie lub rozpowszechnianie ca

ło

ści wzgl

ędnie

fragmentu w jakiejkolwiek formie i w jakikolwiek sposób jest zabronione.

KURS MIĘDZYNARODOWEGO

INŻYNIERA / TECHNOLOGA / MISTRZA / INSTRUKTORA SPAWALNIKA

(IWE/IWT/IWS/IWP)

Podstawy wytrzymałości materiałów

Instytut

Spawalnictwa

w Gliwicach

3.2

AW 22

Powyższe zależności są ważne tylko dla prętów pryzmatycznych, a więc takich, któ-

rych wymiary poprzeczne nie zmieniają się. W przypadku prętów o zmiennym prze-

kroju nie są spełnione warunki brzegowe dla naprężeń, a odkształcenie w kierunkach

osi y i z opisane są innymi prawami.

Siła zewnętrzna wywołująca wewnętrzne reakcje N oraz przemieszczenia wywoła

pewną pracę mechaniczną poprzez uwolnienie energii mechanicznej zmagazynowa-

nej w ciele sprężystym. Porcja energii zamieniona na pracę odkształcenia może być
opisana równaniem:

∫













=

V

dV

U

σε

2

1

(61)

Jak widać energia sprężysta zmagazynowana w ciele związana jest z jego objętością

co jest oczywiste ponieważ podczas obciążania pręt odkształca się wzdłuż wszyst-
kich osi.

Przykład 5:

Wyznaczyć całkowite wydłużenie pręta o zmiennym przekroju obciążonego siłą

wzdłużną N. Reszta danych wg szkicu (rys. 22). W ogólnym przypadku przyjmiemy,

że długości poszczególnych odcinków składowych, pola powierzchni oraz moduły

Younga są różne jak oznaczono to na rys. 22.

Sumary

czne wydłużenie wyniesie zatem:

Rys.22 Widok pręta o zmiennym przekroju

n

n

n

n

A

E

Nl

A

E

Nl

A

E

Nl

l

l

l

l

+

+

+

=

∆

+

+

∆

+

∆

=

∆





2

2

2

1

1

1

2

1

Przykład 6:

Pręt stalowy BD o stałym przekroju A i długości l obciążony jest ciężarem własnym
(rys. 23). Napr

ężenia obliczeniowe wynoszą σ

o

= 160 MPa, R

m

= 370 MPa, gęstość

γ=7,85 g/cm

3

. Obliczyć: ∆l, σ, l

d

, przy których naj

większe naprężenia normalne będą

równe naprężeniom obliczeniowym σ

o

oraz długość l

Rm

, przy której największe na-

prężenia będą równe wytrzymałości doraźnej R

m

.

Rys.23

Obciążenie pręta ciężarem własnym

Opracowanie Instytut Spawalnictwa - Gliwice.

Wszelkie prawa zastrze

żone. Powielanie lub rozpowszechnianie ca

ło

ści wzgl

ędnie

fragmentu w jakiejkolwiek formie i w jakikolwiek sposób jest zabronione.

KURS MIĘDZYNARODOWEGO

INŻYNIERA / TECHNOLOGA / MISTRZA / INSTRUKTORA SPAWALNIKA

(IWE/IWT/IWS/IWP)

Podstawy wytrzymałości materiałów

3.2

Instytut

Spawalnictwa

w Gliwicach

AW 23

Siła N

α

się liniowo wzdłuż długości pręta (rys. 23b). W związku z tym wydłużenie ∆l

obliczymy wykorzystując formułę (53), gdzie funkcją długości x będzie ciężar własny

pręta. Na element pręta o długości dx i przekroju A działa siła osiowa równa cięża-

rowi części BC pręta, czyli N

α

= Ax

γ

g, gdzie g jest wartością przyśpieszenia ziemskie-

go. Wydłużenie pręta o długości początkowej x pod działaniem siły N wyniesie d(∆l).

( )

xdx

E

g

EA

gdx

Ax

EA

dx

N

l

d

γ

γ

α

=

=

=

∆

Po scałkowaniu wydłużenie całkowite wyniesie zatem:

EA

Gl

EA

glAl

x

E

g

xdx

E

g

l

l

l

2

2

2

0

2

0

=

=

=

=

∆

∫

γ

γ

γ

Dla wyliczenia naprężeń rozciągających wykorzystamy:

gx

A

gx

A

A

N

γ

γ

σ

α

=

=

=

Z przekształceń wynika, że naprężenia nie zależą od pola przekroju pręta!

Długości krytyczne pręta pod działaniem naprężeń o wartości naprężeń obliczenio-
wych

σ

o

i o wartości wytrzymałości doraźnej R

m

.

m

g

l

gl

o

d

o

d

d

l

2077

max

=

=

⇒

=

=

γ

σ

σ

γ

σ

m

g

R

l

R

gl

m

R

m

R

m

m

m

R

l

5190

max

=

=

⇒

=

=

γ

γ

σ

Przykład 7:

Obliczyć całkowite wydłużenie elementu przedstawionego na rys. 24. Element jest

obciążony siłą osiową 250 kN i jednocześnie jego temperatura wzrosła o 40

0

C.

Współczynnik rozszerzalności cieplnej dla stali wynosi α

t

= 11*10

-6

1/

0

K. Moduł sprę-

żystości podłużnej E=2,1 10

5

MPa.

Rys. 24

Element o zmiennym przekroju i narażony na oddziaływanie temperatury

Całkowite wydłużenie tak pod działaniem siły rozciągającej jak i temperatury wynie-
sie:

t

P

l

l

l

∆

+

∆

=

∆

*

10

*

1

,

2

900

*

10

*

250

5

3

3

2

1

=

+

+

=

∆

+

∆

+

∆

=

∆

EA

PL

EA

Pl

EA

Pl

l

l

l

l

CD

BC

AB

CD

BC

AB

P

mm

l

P

965

,

1

100

*

20

*

10

*

1

,

2

900

*

10

*

250

20

*

40

*

2

*

10

*

1

,

2

1200

*

10

*

250

100

*

20

*

10

*

1

,

2

900

*

10

*

250

5

3

5

3

5

3

=

+

+

=

∆

mm

t

l

l

t

t

32

,

1

40

*

3000

*

10

*

11

6

=

=

∆

=

∆

−

α

mm

l

97

,

2

=

∆

Opracowanie Instytut Spawalnictwa - Gliwice.

Wszelkie prawa zastrze

żone. Powielanie lub rozpowszechnianie ca

ło

ści wzgl

ędnie

fragmentu w jakiejkolwiek formie i w jakikolwiek sposób jest zabronione.

KURS MIĘDZYNARODOWEGO

INŻYNIERA / TECHNOLOGA / MISTRZA / INSTRUKTORA SPAWALNIKA

(IWE/IWT/IWS/IWP)

Podstawy wytrzymałości materiałów

Instytut

Spawalnictwa

w Gliwicach

3.2

AW 24

Przykład 8:

Wyznaczyć względną zmianę objętości pręta poddanego sile rozciągającej jak na

rys.25. Objętość pręta przed obciążeniem wynosiła V

0

=a*b*l.

Rys.25

Wpływ rozciągania na wymiary poprzeczne elementu

Po

obciążeniu siłą osiową z obu jego końców pręt uległ odkształceniu , a poszcze-

gólne wymiary wynio

sły:

(

)

ε

ε

+

=

+

=

1

1

l

l

l

l

(

)

νε

νε

−

=

−

=

1

1

a

a

a

a

(

)

νε

νε

−

=

−

=

1

1

b

b

b

b

Objętość pręta odkształconego wyniesie zatem:

(

)

2

2

2

2

2

1

1

1

1

2

2

1

ε

ν

νε

ε

ε

ν

νε

+

−

+

+

−

=

=

abl

l

b

a

V

Po odrzuceni

u małych wyższego rzędu otrzymamy:

(

)

νε

ε

2

1

1

−

+

= abl

V

Przyrost objętości wyniesie:

(

)

(

)

(

)

ν

ε

ν

ε

νε

ε

2

1

2

1

2

1

0

0

1

−

=

−

=

−

−

+

=

−

=

∆

V

abl

abl

abl

V

V

V

Względny przyrost objętości wyniesie:

(

) (

)

ν

ε

ν

ε

2

1

2

1

0

0

0

0

1

−

=

−

=

−

V

V

V

V

V

Wartość ν ≤ 0,5 (dla stali ν=0,28), zatem objętość powiększa się ponieważ 1-2ν > 0.

6. Skręcanie

Jeżeli prosty pręt o przekroju kołowym obciążymy w płaszczyźnie prostopadłej do

jego osi parą sił to ulegnie one skręceniu. Para ta w poprzecznym, płaskim przekroju
wywo

ła moment skręcający M

s

jako reakcję na nią (rys. 26).

Rys. 26

Skręcanie pręta

Opracowanie Instytut Spawalnictwa - Gliwice.

Wszelkie prawa zastrze

żone. Powielanie lub rozpowszechnianie ca

ło

ści wzgl

ędnie

fragmentu w jakiejkolwiek formie i w jakikolwiek sposób jest zabronione.

KURS MIĘDZYNARODOWEGO

INŻYNIERA / TECHNOLOGA / MISTRZA / INSTRUKTORA SPAWALNIKA

(IWE/IWT/IWS/IWP)

Podstawy wytrzymałości materiałów

3.2

Instytut

Spawalnictwa

w Gliwicach

AW 25

W rozpatrywanym pręcie mogą oddziaływać w różnych przekrojach różne pary sił

wywołując odpowiednio momenty skręcające. Momenty skręcające stanowią siły

wewnętrzne, które działając na pręt będą tworzyć układ równowagi. Moment skręca-

jący w przekroju α-α (rys.27) jest równy algebraicznej sumie momentów działających

na pręt po jednej stronie tego przekroju.

∑

∑

=

=

α

α

A

B

s

M

M

M

(62)

Przykładowo – umownie - dla określenia zwrotu (znaku) momentu patrzymy od pra-

wego końca w kierunku na lewo (rys. 27). Moment skręcający wyznaczony jako suma

momentów działających na lewo od przekroju, a więc wyrażający oddziaływanie le-

wej części pręta na prawą, uważamy za dodatni, jeśli działa zgodnie z kierunkiem
wskazówek ze

gara. I na odwrót. Oczywiście możemy umówić się na odwrót z tym, że

Rys. 27 Definicja momentu skręcającego

odpowiednia umowa dotycząca tworzenie znaków sił wewnętrznych musi być stoso-

wana bez zmian podczas rozwiązywania całego zagadnienia.

Przykład 9:

Dla nieważkiego pręta jednostronnie utwierdzonego całkowicie zamocowanego (rys.

28) i obciążonego momentami działającymi w płaszczyznach prostopadłych do osi

pręta wyznaczyć reakcje podpory oraz sporządzić wykres momentów skręcających.

Rys. 28

Tworzenie wykresu momentów skręcających

Opracowanie Instytut Spawalnictwa - Gliwice.

Wszelkie prawa zastrze

żone. Powielanie lub rozpowszechnianie ca

ło

ści wzgl

ędnie

fragmentu w jakiejkolwiek formie i w jakikolwiek sposób jest zabronione.

KURS MIĘDZYNARODOWEGO

INŻYNIERA / TECHNOLOGA / MISTRZA / INSTRUKTORA SPAWALNIKA

(IWE/IWT/IWS/IWP)

Podstawy wytrzymałości materiałów

Instytut

Spawalnictwa

w Gliwicach

3.2

AW 26

Reakcją będzie stanowić moment M

A

działający w płaszczyźnie prostopadłej do osi,

który wyznacza się z warunku równowagi wszystkich momentów działających na

pręt. Przy złożeniu definicji zwrotu momentów otrzymamy:

0

_

3

2

1

=

+

−

=

∑

A

AB

M

M

M

M

M

3

2

1

M

M

M

M

A

+

−

=

W poszczególnych przekrojach pręta momenty skręcające będą następujące:

Nmm

M

M

BC

s

30

1

=

=

Nmm

M

M

M

CD

s

20

50

30

2

1

−

=

−

=

−

=

Nmm

M

M

M

M

DA

s

100

120

50

30

3

2

1

=

+

−

=

+

−

=

6.1 Naprężenia skręcające w prętach o przekroju okrągłym

W przekrojach poprzecznych α-α prostopadłych do osi pręta występują jedy-

nie naprężenia styczne (rys.29), które wyznaczymy ze wzoru:

Rys.29

Naprężenia w skręcanych prętach okrągłych

a

I

M

o

s

k

=

τ

(63)

gdzie:

τ

k

–

naprężenia styczne w odległości a od osi przekroju [N/mm

2

]

M

s

–

moment skręcający w danym przekroju [Nmm]

I

o

–

biegunowy moment bezwładności [mm

4

]

dla przekroju kołowego

3

3

4

4

2

,

0

16

1

,

0

32

d

d

W

d

d

I

s

o

≈

=

≈

=

π

π

(63a)

dla przekroju pi

erścieniowego

(

)

(

)

(

)

(

)

4

4

4

4

4

4

4

4

1

,

0

16

1

,

0

32

d

D

D

d

D

W

d

D

d

D

I

s

o

−

≈

−

=

−

≈

−

=

π

π

(63b)

6.2 Odkształcenia przy skręcaniu prętów okrągłych

Przy skręcaniu pręta o przekroju okrągłym poszczególne przekroje poprzecz-

ne doznają obrotu dookoła osi podłużnej pręta zwanej osia skręcania. Przekroje te

do pewnej wartości naprężeń stycznych (w zakresie sprężystym) τ pozostają przy

odkształceniu płaskie, a poszczególne promienie obracają się o kąt θ zwany katem

skręcenia. Na wybranym odcinku dx będącym elementem podstawowym długości

Opracowanie Instytut Spawalnictwa - Gliwice.

Wszelkie prawa zastrze

żone. Powielanie lub rozpowszechnianie ca

ło

ści wzgl

ędnie

fragmentu w jakiejkolwiek formie i w jakikolwiek sposób jest zabronione.

KURS MIĘDZYNARODOWEGO

INŻYNIERA / TECHNOLOGA / MISTRZA / INSTRUKTORA SPAWALNIKA

(IWE/IWT/IWS/IWP)

Podstawy wytrzymałości materiałów

3.2

Instytut

Spawalnictwa

w Gliwicach

AW 27

pręta (dx→0) obrót nastąpi o kąt dθ (rys. 30a), a po scałkowaniu w granicach okre-

ślonych przez długość pręta wyniesie:

∫

=

b

a

o

s

GI

dx

M

θ

(64)

gdzie: M

s

–

moment skręcający wyrażony w funkcji x [Nmm]

G – m

oduł sprężystości poprzecznej [N/mm

2

]

Kąt skręcenia przekroju dla odcinka AB pręta, Na którym M

s

, G i I

o

przyjmują wartości

stałe (rys. 30b):

o

AB

s

B

GI

l

M

=

θ

(65)

gdzie: l

AB

-

długość pręta [mm]

R

ys.30 Odkształcenia przy skręcaniu

W przypadku konstrukcji wałów, w których zmiany średnic i momentów skręcających

następują w sposób skokowy wzdłuż długości (rys. 31), kąt skręcenia poszczególny
o

bliczy się z zależności:

Rys.31

Wyznaczenie sumarycznego kąta skręcenia

∑

=

+

+

+

=

o

s

ik

o

ik

ik

s

BC

o

BC

BC

s

AB

o

AB

AB

s

I

l

M

G

GI

l

M

GI

l

M

GI

l

M

1



θ

(66)

gdzie: M

s

AB

, M

s

BC

,..., M

s

ik

–

momenty skręcające odpowiednio na odcinkach AB, BC,

ik [Nmm]
l

AB

, l

BC

,..., l

ik

-

długości odcinków, na długości których wielkości I

o

i M

s

są stałe

I

o

AB

, I

o

BC

,..., I

o

ik

–

biegunowe momenty bezwładności odpowiednich przekrojów

Przykład 10

Dla pręta AD (rys. 32) sporządzić wykres zmian kąta skręcenia wału na długo-

ści oraz wyznaczyć maksymalne naprężenia skręcające w przekrojach AC i AD.

Moduł sprężystości poprzecznej G wynosi 80 *10

4

N/mm

2

.

Warunek równowagi sił – momentów wynosi:

Nm

M

M

M

M

M

M

M

M

M

A

A

14000

0

3

2

1

3

2

1

=

+

−

=

→

=

−

+

−

=

∑

b)

a)

Opracowanie Instytut Spawalnictwa - Gliwice.

Wszelkie prawa zastrze

żone. Powielanie lub rozpowszechnianie ca

ło

ści wzgl

ędnie

fragmentu w jakiejkolwiek formie i w jakikolwiek sposób jest zabronione.

KURS MIĘDZYNARODOWEGO

INŻYNIERA / TECHNOLOGA / MISTRZA / INSTRUKTORA SPAWALNIKA

(IWE/IWT/IWS/IWP)

Podstawy wytrzymałości materiałów

Instytut

Spawalnictwa

w Gliwicach

3.2

AW 28

(

)

rd

x

C

0058

,

0

00127

,

0

0071

,

0

9820000

80000

400

2000000

9820000

80000

400

14000000

−

=

+

−

=

−

+

−

=

θ

Przyjmując początek układu w punkcie A oraz wykorzystując zależność (64) możemy

obliczyć kąty skręcenia dla odpowiednich odcinków w funkcji x i obciążenia.

Biegunowe momenty bezwładności poszczególnych przekrojów wyniosą odpowied-
nio:

4

4

4

9820000

32

100

32

mm

d

I

I

BC

o

AB

o

=

=

=

=

π

π

(

)

(

)

4

4

4

4

4

5800000

80

100

32

32

mm

d

D

I

CD

o

=

−

=

−

=

π

π

Rys. 32

Wał obciążony momentami skręcającymi

Kąt skręcenia dla odcinka AB (0 < x ≤ 400 mm) wyniesie:

AB

o

AB

s

AB

GI

x

M

=

θ

dla x = 0

0

0

*

10

78

,

1

9820000

80000

14000000

5

=

=

−

=

−

x

A

θ

dla x = 400 mm

rd

x

B

0071

,

0

400

*

10

78

,

1

9820000

80000

14000000

5

−

=

=

−

=

−

θ

Kąt skręcenie dla odcinka BC (400 < x ≤ 900) wyniesie:

(

)

BC

o

AB

BC

s

AB

o

AB

AB

s

BC

GI

l

x

M

GI

l

M

−

+

=

θ

dla x = 400 mm

dla x = 900 mm

(

)

rd

x

B

0071

,

0

9820000

80000

400

2000000

9820000

80000

400

14000000

−

=

−

+

−

=

θ

Opracowanie Instytut Spawalnictwa - Gliwice.

Wszelkie prawa zastrze

żone. Powielanie lub rozpowszechnianie ca

ło

ści wzgl

ędnie

fragmentu w jakiejkolwiek formie i w jakikolwiek sposób jest zabronione.

KURS MIĘDZYNARODOWEGO

INŻYNIERA / TECHNOLOGA / MISTRZA / INSTRUKTORA SPAWALNIKA

(IWE/IWT/IWS/IWP)

Podstawy wytrzymałości materiałów

3.2

Instytut

Spawalnictwa

w Gliwicach

AW 29

Kąt skręcenia dla odcinka CD (900 < x ≤ 1700 mm)

(

)

[

]

CD

o

BC

AB

CD

S

BC

o

BC

BC

S

AB

o

AB

AB

S

CD

GI

l

l

x

M

GI

l

M

GI

l

M

+

−

+

+

=

θ

dla x = 900 mm

rd

x

C

0058

,

0

5800000

80000

)

900

(

800000

9820000

80000

500

2000000

9820000

80000

400

14000000

−

=

−

−

+

+

−

=

θ

dla x = 1700 mm

rd

C

0196

,

0

5800000

80000

)

900

1700

(

8000000

9820000

80000

500

2000000

9820000

80000

400

14000000

−

=

−

−

+

+

−

=

θ

Na rys. 32 przedstawiono zmianę kąta skręcenia na długości wału.

Maksymalne styczne naprężenia od skręcania wystąpią w przekrojach, w których są

maksymalne momenty skręcające lub najmniejsze biegunowe momenty bezwładno-

ści. Maksymalny moment skręcający o wartości 14 000 Nm wystąpi na odcinku AB

wału. Na odcinku CD wału z kolei mamy do czynienie z wydrążeniem i tym samym

mniejszym biegunowym momentem bezwładności. Obliczone zatem zostaną dwie
warto

ści stycznych naprężeń od skręcania

2

0

/

71

9820000

50

*

14000000

2

max

mm

N

I

D

M

AB

AB

s

AB

=

=

=

τ

2

0

/

69

5800000

50

*

8000000

2

max

mm

N

I

D

M

CD

CD

s

CD

=

=

=

τ

6.3 Skręcanie prętów o przekrojach niekołowych

W praktyce często spotykamy się z przypadkami skręcania prętów o przekroju

innym niż okrągły. W takich przypadkach przekrój poprzeczny po obciążeniu go mo-

mentem skręcającym nie pozostaje płaski lecz ulega przemieszczeniom w kierunku

osi podłużnej (rys. 33). W takim przypadku stan naprężeń stycznych staje się bardzo

Rys. 33

Skręcanie pręta o przekroju nieokrągłym

skomplikowany a

analityczne rozwiązanie pod względem złożoności znacznie prze-

kracza zakres kursu. W celu uproszczenia

rozważań w tablicy 4 podano zależności

dla obliczenia największych naprężeń stycznych na przekroju różnych figur płaskich.

Opracowanie Instytut Spawalnictwa - Gliwice.

Wszelkie prawa zastrze

żone. Powielanie lub rozpowszechnianie ca

ło

ści wzgl

ędnie

fragmentu w jakiejkolwiek formie i w jakikolwiek sposób jest zabronione.

KURS MIĘDZYNARODOWEGO

INŻYNIERA / TECHNOLOGA / MISTRZA / INSTRUKTORA SPAWALNIKA

(IWE/IWT/IWS/IWP)

Podstawy wytrzymałości materiałów

Instytut

Spawalnictwa

w Gliwicach

3.2

AW 30

Tablica 4

Zależności dla przekrojów nieokrągłych

Kształt i wymiary

Wzory określające największe

naprężenia styczne

1

,

16

3

>

=

=

m

b

h

gdzie

m

b

W

s

π

s

s

W

M

=

max

τ

na końcu mniejszej półosi

m

max

τ

τ

=

na końcu większej półosi

3

208

,

0

a

W

s

=

3

208

,

0

a

M

s

=

τ

w środku krawędzi bocznych

2

hb

W

s

α

=

s

s

W

M

=

τ

w środku dłuższych krawędzi

βτ

τ

=

1

w środku krótszych krawędzi

h/b 1,00 1,2 1,5 1,75 2,00 3,00 5,00 8,00

α 0,208 0,219 0,231 0,239 0,246 0,267 0,291 0,307

β 1,00 0,93 0,86 0,79 0,77 0,75 0,74 0,74

1

1

2

g

b

h

W

o

o

s

=

2

2

2

g

b

h

W

o

o

s

=

1

1

s

s

W

M

=

τ

w środku zewn. dłuższej krawędzi

2

2

s

s

W

M

=

τ

w środku zewn. krótszej krawędzi

Uwaga: Naroża powinny być zaokrąglone z

powodu znacznej koncentracji naprężeń

dA

W

s

217

,

0

=

dla sześciokąta

dA

W

s

233

,

0

=

dla ośmiokąta

s

s

W

M

=

τ

w środkach krawędzi

A – pole powierzchni

max

1

3

3

1

g

g

b

M

n

i

i

i

i

s

∑

=

=

=

α

τ

Największe naprężenia występują w środko-

wej części prostokąta o największej grubości
g

max

b

i

- odpo

wiednie długości poszczególnych

prostokątów na które można rozłożyć przekrój
g

i

–

odpowiednie grubości jw

Opracowanie Instytut Spawalnictwa - Gliwice.

Wszelkie prawa zastrze

żone. Powielanie lub rozpowszechnianie ca

ło

ści wzgl

ędnie

fragmentu w jakiejkolwiek formie i w jakikolwiek sposób jest zabronione.

KURS MIĘDZYNARODOWEGO

INŻYNIERA / TECHNOLOGA / MISTRZA / INSTRUKTORA SPAWALNIKA

(IWE/IWT/IWS/IWP)

Podstawy wytrzymałości materiałów

3.2

Instytut

Spawalnictwa

w Gliwicach

AW 31

Przykład 11

Dany jest moment skręcający M

s

= 4500 Nm, G=8*10

4

N/mm

2

, wytrzymałość oblicze-

niowa na skręcanie R

os

= 50 N/mm

2

, maksymalny

kąt skręcenia θ

max

= 0,25

o

/m. Wy-

znaczyć średnicę pręta pełnego d.

os

o

s

R

W

M

≤

=

max

max

τ

Po zaokrągleniu:

3

4

2

,

0

2

32

2

d

d

d

d

I

W

o

o

=

=

=

π

Po przekształceniu

mm

R

M

d

os

s

77

50

2

,

0

4500000

2

,

0

3

3

=

=

≥

Z warunku maksymalnego kąta skręcenia:

max

4

min

max

32

θ

π

θ

G

l

M

d

I

GI

l

M

s

o

o

s

≥

=

→

≤

mm

G

l

M

d

s

107

00436

,

0

*

80000

*

1000

*

4500000

*

32

32

4

4

max

min

=

=

=

π

θ

π

Minimalna

średnica, która spełni obydwa warunki wyniesie 107 mm.

Przykład 12

Obliczyć naprężenia od momentów skręcających dla obwodowych spoin pachwino-
wych

łączących nakładki z blachą podkładową przedstawione na rys. 34.

Rys. 34 Widok nakładek skręcanych

Dane: M

s

– 20 kNm

g

1

-

8 mm (kład grubości spoiny pachwinowej)

Dla przekroju spoiny łączącej nakładkę prostokątną, w której spoina jest prostokątem

otwartym (rys.34a) o grubości g

1

maksymalne na

prężenia od momentu skręcającego

zostaną obliczone ze wzoru z tablicy 4. Dla nakładki okrągłej, w której spoina tworzy

pierścień o grubości g

1

maksymalne

naprężenia od momentu skręcającego wyliczo-

ne zostaną ze wzorów (63 i 63b).Wyniki obliczeń dla kilku wersji wymiarów nakładek
zestawiono w tablicy 5.

M

s

M

s

d

D

h

o

b

o

g

1

g

1

a)

b)

Opracowanie Instytut Spawalnictwa - Gliwice.

Wszelkie prawa zastrze

żone. Powielanie lub rozpowszechnianie ca

ło

ści wzgl

ędnie

fragmentu w jakiejkolwiek formie i w jakikolwiek sposób jest zabronione.

KURS MIĘDZYNARODOWEGO

INŻYNIERA / TECHNOLOGA / MISTRZA / INSTRUKTORA SPAWALNIKA

(IWE/IWT/IWS/IWP)

Podstawy wytrzymałości materiałów

Instytut

Spawalnictwa

w Gliwicach

3.2

AW 32

Tablica 5

Zestawienie wartości naprężeń od momentu skręcającego

Grubość

spoiny g

1

[mm]

Nakładka prostokątna

Nakładka okrągła

h

o

[mm]

b

o

[mm]

τ

sp max

[MPa]

d

[mm]

D

[mm]

τ

so max

[MPa]

8

300

150

28

284

300

19

200

100

63

184

200

44

100

50

250

84

100

200

50

25

384

59

75

333

Z tablicy 5 widać, że elementy okrągłe przenoszące moment skręcający są korzyst-

niejsze od prostokątnych. Przy podobnej powierzchni i przy tej samej grubości spoin
pachwinowych nap

rężenia skręcające w tych elementach są mniejsze. Również wiel-

kość nakładek ma znaczenie.

7. Ścinanie

Rozważmy szczególny przypadek dwuosiowego stanu naprężeń, w którym na

boki kwadratu będą oddziaływać tylko naprężenia normalne równe co do wartości ale
o przeciwnym znaku (rys. 35).

Rys. 35

Stan naprężeń czystego ścinania

Odzwierciedlić ten stan można na kole Mohra (rys.36)

Rys. 36

Odzwierciedlenie ścianie na kole Mohra

Opracowanie Instytut Spawalnictwa - Gliwice.

Wszelkie prawa zastrze

żone. Powielanie lub rozpowszechnianie ca

ło

ści wzgl

ędnie

fragmentu w jakiejkolwiek formie i w jakikolwiek sposób jest zabronione.

KURS MIĘDZYNARODOWEGO

INŻYNIERA / TECHNOLOGA / MISTRZA / INSTRUKTORA SPAWALNIKA

(IWE/IWT/IWS/IWP)

Podstawy wytrzymałości materiałów

3.2

Instytut

Spawalnictwa

w Gliwicach

AW 33

Maksymalne naprężenie styczne można określić kiedy kąt obrotu płaszczyzny α wy-
niesie

π/4. Przy takiej orientacji mamy więc tylko naprężenia styczne odkształcenie

czysto postaciowe. Stan taki nazywa się czystym ścinaniem. W rzeczywistości ści-
nanie

jako efekt oddziaływania poprzecznych sił wewnętrznych jest technicznie nie-

możliwe. Analizując najprostszy przykład tzw. ścinania technologicznego (rys.37)

zawsze wystąpi moment gnący i w ślad za nim normalne naprężenia od zginania.

Rys. 37

Ścinanie sworznia

Na rys. 37 przedstawiono w przybliżeniu rozkład obciążeń sworznia. Oprócz sił po-
przecznych

pojawią się również momenty gnące. Gdy ucha połączenia sworzniowe-

go są dostatecznie sztywne udział momentu gnącego maleje i w przybliżeniu inży-

nierskim można go pominąć. Stan naprężeń będzie można przedstawić w postaci:

A

T

=

τ

(67)

gdzie:

siła poprzeczna (rys. 37)

2

P

T

=

A – pole powierzchni

Rys. 38 Stan na

prężeń w nicie

Opracowanie Instytut Spawalnictwa - Gliwice.

Wszelkie prawa zastrze

żone. Powielanie lub rozpowszechnianie ca

ło

ści wzgl

ędnie

fragmentu w jakiejkolwiek formie i w jakikolwiek sposób jest zabronione.

KURS MIĘDZYNARODOWEGO

INŻYNIERA / TECHNOLOGA / MISTRZA / INSTRUKTORA SPAWALNIKA

(IWE/IWT/IWS/IWP)

Podstawy wytrzymałości materiałów

Instytut

Spawalnictwa

w Gliwicach

3.2

AW 34

Klasycznym przykładem elementu pracującego na ścinanie jest nit. Chociaż połącze-

nia nitowe nie są już stosowane to stan obciążeń i naprężeń, które tam występują

wart jest wspomnienia. Charakterystyczną cechą połączenia nitowego jest jego cia-

sne dopasowanie w otworze (rys. 38). Z tego też powodu obliczenia wytrzymałościo-

we muszą uwzględniać zjawisko ścinania i docisku.

Obliczenia na ścinanie opierają się na złożeniu, że naprężenia styczne rozłożone są

równomiernie w przekrojach , a każdy z nitów o tej samej średnicy przenosi jednako-

wą część siły tnącej T. Jest to uproszczenie, ale dla celów inżynierskich dokładność
ta

kiego założenia jest wystarczająca. Obliczenie na docisk opiera się również na

pewnym uproszczeniu, które stanowi, że ciśnienie wywierane przez nit na ścianki

otworu rozkłada się równomiernie na powierzchni rzutu pobocznicy nita ( rys.38 ).

Naprężenia ścinające w przekrojach nitów wynoszą:

os

R

d

m

n

P

≤

=

4

2

π

τ

(68)

gdzie: P –

siła działająca na połączenie[N]

m –

liczba płaszczyzn ścinania

n –

liczba nitów w połączeniu

d –

średnica nita [mm]

R

os

–

wytrzymałość obliczeniowa na ścinanie [MPa]

Dla obliczenia naprężeń wynikających z docisku:

d

d

R

nd

P ≤

=

δ

σ

(69)

gdzie:

δ -

grubość [mm]

R

d

– nacisk dopuszczalny [MPa]

Przykład 13

Połączono dwie blachy na styk za pomocą dwu nakładek o grubości t

1

= 8 mm

kazda

. Siła P = 720 kN przenosi się za pomocą pierwszej grupy nitów o wytrzymało-

ści obliczeniowej R

os

= 100 MPa

z lewej blachy

o grubości t = 10 mm na obie nakład-

ki, a poprzez drugą grupę nitów na prawą blachę o tej samej grubości (rys.39).
Wszys

tkie nity mają średnicę d = 20 mm

Rys. 39

Połączenie nitowe

Warunek wytrzymałości na ścinanie dla jednego nitu ze wzoru (68) wyniesie:

12

100

2

4

20

720000

4

2

2

≈

=

≥

π

π

os

mR

d

P

n

Opracowanie Instytut Spawalnictwa - Gliwice.

Wszelkie prawa zastrze

żone. Powielanie lub rozpowszechnianie ca

ło

ści wzgl

ędnie

fragmentu w jakiejkolwiek formie i w jakikolwiek sposób jest zabronione.

KURS MIĘDZYNARODOWEGO

INŻYNIERA / TECHNOLOGA / MISTRZA / INSTRUKTORA SPAWALNIKA

(IWE/IWT/IWS/IWP)

Podstawy wytrzymałości materiałów

3.2

Instytut

Spawalnictwa

w Gliwicach

AW 35

Warunek wytrzymałości na docisk (zgniecenie w otworze) ze wzoru (69) dla wartości
docisku dopuszczalnego R

d

= 240 MPa wyniesie:

15

240

20

10

720000 =

=

≥

d

tdR

P

n

W przypadku

połączenia z nitami posiadającymi dwie płaszczyzny ścinania (dwucię-

te)

decydującym będzie warunek docisku.

Przykład 14

Obliczyć siłę jaką musi wywierać stempel wykrojnika wycinającego krążki o

średnicy d = 20 mm z blachy stalowej o grubości t = 3 mm. Wytrzymałość doraźna na

ścianie blachy wynosi R

t

= 300 MPa.

Rys. 40

Stan naprężeń w wykrojniku

Pole prze

kroju ścinanego wyniesie:

2

4

,

188

3

20

mm

dt

A

=

=

=

π

π

Siła zostanie obliczona z zależności:

N

R

A

P

t

56520

300

4

,

188

=

=

=

Przykład 15

Jaki powinien

być stosunek wysokości h łba do średnicy d cylindrycznej próbki

przeznaczonej do próby rozciągania, aby zabezpieczyć stan, w którym nastąpi ze-

rwanie jej w jej części cylindrycznej. Wytrzymałość na rozciągania materiału próbki
R

m =

460 MPa, wytrzy

małość obliczeniowa na ścinanie materiału próbki R

t

= 280 MPa

Warunek wytrzymałości na ścinanie główki próbki:

t

t

dR

P

h

R

dh

P

π

π

>

⇒

>

Warunek wytrzymałość na rozciąganie (zniszczenia próbki siłą P):

4

4

2

2

d

R

P

R

d

P

m

m

π

π

>

⇒

>

Zatem wysokość główki próbki h wyniesie:

Opracowanie Instytut Spawalnictwa - Gliwice.

Wszelkie prawa zastrze

żone. Powielanie lub rozpowszechnianie ca

ło

ści wzgl

ędnie

fragmentu w jakiejkolwiek formie i w jakikolwiek sposób jest zabronione.

KURS MIĘDZYNARODOWEGO

INŻYNIERA / TECHNOLOGA / MISTRZA / INSTRUKTORA SPAWALNIKA

(IWE/IWT/IWS/IWP)

Podstawy wytrzymałości materiałów

Instytut

Spawalnictwa

w Gliwicach

3.2

AW 36

t

m

dR

d

R

h

π

π

4

2

>

Rys. 41

Ścianie główki próbki do próby rozciągania

Po przekształceniu i zredukowaniu:

t

m

R

R

d

h

4

>

i ostatecznie:

41

,

0

4

1

>

>

t

m

R

R

d

h

Przykład 16

Obliczyć siłę jaką można przyłożyć do końca dźwigni jeśli naprężenia oblicze-

niowe materiału wpustu łączącego dźwignię z wałem wynoszą R

t

=500 MPa? Wpust

jest prostopadłościenny o wymiarach 40x6x6 mm. Długość dźwigni wynosi l = 750
mm.

Rys. 42

Obciążenie wpustu w dźwigni

Siła tnąc powinna spełnić warunek:

kN

FA

R

T

t

12

6

40

500

<

<

<

Opracowanie Instytut Spawalnictwa - Gliwice.

Wszelkie prawa zastrze

żone. Powielanie lub rozpowszechnianie ca

ło

ści wzgl

ędnie

fragmentu w jakiejkolwiek formie i w jakikolwiek sposób jest zabronione.

KURS MIĘDZYNARODOWEGO

INŻYNIERA / TECHNOLOGA / MISTRZA / INSTRUKTORA SPAWALNIKA

(IWE/IWT/IWS/IWP)

Podstawy wytrzymałości materiałów

3.2

Instytut

Spawalnictwa

w Gliwicach

AW 37

Z warunku równowagi dźwigni mamy:

2

d

T

Pl

=

zatem:

N

P

200

2

750

25

12000

=

=

Przykład 17

W spoinach pachwinowych n

ajczęściej występują stany naprężeń ścinania.

Należy obliczyć długość l spoiny łączącej przyspawany do blachy płaskownik rozcią-
gany

siłą P = 300 kN o grubości g = 12 mm. Naprężenia obliczeniowe na ścinanie

materiału spoiny wynosi R

t

= 750 MPa.

Rys. 43 Spoiny pachwinowe

Jeśli przyjąć kierunek oddziaływania siły jak na rys. 43 to przekrojem nośnym

A , w którym wystąpią naprężenia ścinające będzie płaszczyzna określona długością

spoiny i wysokością równoramiennego trójkąta wpisanego w przekrój spoiny.

o

g

l

A

45

cos

2

=

Z drugiej strony

t

R

P

A

=

Po podstawieniu i przekształceniu:

mm

g

R

P

l

o

t

240

707

,

0

2

,

1

2

750

300000

45

cos

2

≈

=

=

Przykład 18

Kątownik 150x150x14 jest przyspawany do płyty. Obliczyć długość spoin jeśli wy-

trzymałość obliczeniowa kątownika na rozciąganie wynosi R

o

=120 MPa, obliczenio-

wa wytrzymałość na ścinanie materiału spoiny R

t

= 80 MPa

Pole przekroju kątownika wynosi A=4030 mm

2

. Maksymalna siła rozciągająca wyno-

si:

kN

x

AR

P

o

483

120

4030

=

=

=

Jest to siła, która muszą przenieść spoiny łączące kątownik z blachą. Długość spoin

określą jej wymiar poprzeczny (grubość) i długość. Wymiar poprzeczny spoiny jest

określony grubością kształtownika (g = 14 mm).

Opracowanie Instytut Spawalnictwa - Gliwice.

Wszelkie prawa zastrze

żone. Powielanie lub rozpowszechnianie ca

ło

ści wzgl

ędnie

fragmentu w jakiejkolwiek formie i w jakikolwiek sposób jest zabronione.

KURS MIĘDZYNARODOWEGO

INŻYNIERA / TECHNOLOGA / MISTRZA / INSTRUKTORA SPAWALNIKA

(IWE/IWT/IWS/IWP)

Podstawy wytrzymałości materiałów

Instytut

Spawalnictwa

w Gliwicach

3.2

AW 38

Rys.44

Połączenie kątownika z blachą

mm

g

a

o

10

2

2

14

45

cos

=

=

=

Długość całkowitą spoin (l = l

1

+ l

2

)

wyznaczymy z warunku na ścinanie.

mm

aR

P

l

R

l

a

P

t

t

600

80

10

483000 ≥≈

≥

≥

⇒

≤

Kątownik do blachy musi być przyspawany z obu stron jak na rys.44. Przy założeniu,

że na jednostkę długości spoiny siła rozkłada się równomiernie to:

mm

N

l

P

p

/

800

≅

=

W

przypadku przyjęcia jednakowych długości spoin (l

1

= l

2

= l = 300 mm) warunek

równowagi momentów

względem osi kątownika (e

1

= 42,1, e

2

= 107,9 mm) przyjmie

postać:

2

1

ple

ple

≠

W

zględem osi wystąpi wypadkowy moment gnący, który spowoduje dodatkowy, nie-

korzystny stan naprężeń gnących.

Aby moment względem osi kątownika był równy zero należ spełnić warunek:

2

1

ple

ple

=

(

)

2

1

2

2

1

1

e

l

l

e

l

e

l

−

=

=

2

1

2

2

e

e

e

l

l

+

=

Z norm określających wymiary kształtowników mamy e

1

= 4,21cm i odpowiednio

e

2

=10,79 cm.

Długości spoin wyniosą zatem l

2

= 216 mm i l

1

= 384 mm.

8. Zginanie
Jak wiadomo

w wyniku oddziaływania momentu gnącego w dowolnym przekroju po-

przecznym do osi podłużnej wystąpią naprężenia normalne, których rozkład na prze-
kroju

jest liniowy. Przekrój poprzeczny do osi pręta jest płaski. Istnieje warstwa obo-

jętna prostopadła do płaszczyzny działania momentu gnącego (kierunek linii – osi

obojętnej jest zgodny z kierunkiem wektora momentu gnącego. W przekroju pręta

wystąpią naprężenia normalne. Os obojętna przekroju poprzecznego pręta musi

przechodzić przez jego środek ciężkości. W przekrojach poprzecznych prętów zgi-

nanych występują naprężenia normalne (σ) skierowane poprzecznie do płaszczyzny

przekroju i naprężenia styczne (τ) równoległe do płaszczyzny przekroju (rys. 45).

e

1

e

2

Opracowanie Instytut Spawalnictwa - Gliwice.

Wszelkie prawa zastrze

żone. Powielanie lub rozpowszechnianie ca

ło

ści wzgl

ędnie

fragmentu w jakiejkolwiek formie i w jakikolwiek sposób jest zabronione.

KURS MIĘDZYNARODOWEGO

INŻYNIERA / TECHNOLOGA / MISTRZA / INSTRUKTORA SPAWALNIKA

(IWE/IWT/IWS/IWP)

Podstawy wytrzymałości materiałów

3.2

Instytut

Spawalnictwa

w Gliwicach

AW 39

Rys. 45 Rozkład naprężeń w przekroju pręta zginanego

o przekroju symetrycznym

Naprężenia normalne od zginania w danym punkcie K przekroju poprzecznego wy-

znacza się z zależności:

z

K

J

My

=

σ

(70)

gdzie: M –

moment gnący [Nmm]

y – odle

głość od osi obojętnej [mm]

J

z

– mo

ment bezwładności wzgl. osi z [mm

4

] – tabl.2

W p

rzypadków przekrojów symetrycznych wzgl. osi z (rys.45) naprężenia w skraj-

nych włóknach będą równe co do wartości bezwzględnych lecz będą miały znaki
przeciwne.

Zależność na wyznaczenie ich przyjmie postać:

W

M

J

My

z

±

=

±

=

max

max

σ

(71)

gdzie: W – w

skaźnik wytrzymałości na zginanie [mm

3

] – tabl. 2

Dla przekrojów niesymetrycznych

naprężenia we włóknach skrajnych będą się różnić

w zależności od odległości y

1

lub y

2

(rys.46).

Rys.46 Rozkład naprężeń w przekroju pręta zginanego

o przekroju nie symetrycznym

Opracowanie Instytut Spawalnictwa - Gliwice.

Wszelkie prawa zastrze

żone. Powielanie lub rozpowszechnianie ca

ło

ści wzgl

ędnie

fragmentu w jakiejkolwiek formie i w jakikolwiek sposób jest zabronione.

KURS MIĘDZYNARODOWEGO

INŻYNIERA / TECHNOLOGA / MISTRZA / INSTRUKTORA SPAWALNIKA

(IWE/IWT/IWS/IWP)

Podstawy wytrzymałości materiałów

Instytut

Spawalnictwa

w Gliwicach

3.2

AW 40

Naprężenia w skrajnych włóknach będą wyliczane z zależności:

1

1

max

W

M

J

My

z

=

+

=

σ

dla włókien rozciąganych (72)

2

2

max

W

M

J

My

z

=

−

=

σ

dla włókien ściskanych (73)

Jak wiadomo w przypadku kiedy na długości belki moment gnący zmienia się pierw-

sza pochodna funkcji równania momentów gnących przedstawia siły poprzeczne.

dx

dM

T

=

(74)

Na rys. 47a

przedstawiono schemat obciążeń cząstkowych na odcinku belki obcią-

żonej zmiennym momentem gnącym.

Rys. 47

Belka obciążona nierównomiernym momentem gnącym

Przecinając płaszczyzną wyznaczoną przez osie zx, następnie wycinając element

objętości belki (rys. 47b) i zakładając układ zrównoważonych sił wewnętrznych zau-

ważymy, że dla założonej równowagi trzeba na płaszczyźnie BCHD przyłożyć do niej
jed

nostkową siłę styczną (

xy

τ

~ ). Układając warunek równowagi sił (rzutów na oś x)

musimy naprężenia (siły jednostkowe) pomnożyć przez odpowiednie pola, na których

działają.

(

)

( )

0

~

'

'

'

'

=

−

−

+

∫

∫

y

b

dx

dA

dA

d

xy

A

A

τ

σ

σ

σ

(75)

( )

( )

y

b

dx

J

dA

y

dM

y

b

dx

dA

d

z

A

A

xy

∫

∫

=

=

'

'

'

σ

τ

(76)

Przyjmując zależność (74) wyrażenie

z

A

S

dA

y

=

∫

'

'

jako moment statyczny przekroju A’

otrzymamy ostatecznie:

( )

y

b

I

TS

z

z

xy

=

τ

~

(77)

Naprężenie

( )

xy

τ

~

odniesione do powierzchni BCHD tworzy na niej siłę rozwarstwiają-

cą. Zgodnie z zasadą odpowiedniości naprężeń stycznych na płaszczyźnie przekroju

prostopadłego belki musza wystąpić te same co do wartości naprężenia τ

yx

, co utwo-

rzy zależność na naprężeni styczne występujące w płaszczyźnie zy (77).

Opracowanie Instytut Spawalnictwa - Gliwice.

Wszelkie prawa zastrze

żone. Powielanie lub rozpowszechnianie ca

ło

ści wzgl

ędnie

fragmentu w jakiejkolwiek formie i w jakikolwiek sposób jest zabronione.

KURS MIĘDZYNARODOWEGO

INŻYNIERA / TECHNOLOGA / MISTRZA / INSTRUKTORA SPAWALNIKA

(IWE/IWT/IWS/IWP)

Podstawy wytrzymałości materiałów

3.2

Instytut

Spawalnictwa

w Gliwicach

AW 41

( )

y

b

I

TS

z

z

yx

=

τ

(77)

Przykład 19

Wyznaczyć rozkład naprężeń stycznych dla przekroju prostokątnego przed-

stawionego na rys. 48

Rys.48

Naprężenia styczne w przekroju prostokątnym

Naprężenia styczne w odległości y od osi obojętnej wyrażą się zależnością (77)
Moment statyczny elementu przekroju o wymiarach b x (h/2 –

y) względem osi obo-

jętnej będzie określony zależnością:













−

=





















−

+











 −

=

2

2

4

2

2

2

2

y

h

b

y

h

y

y

h

b

S

z

Moment bezwładności przekroju prostokąta względem osi obojętnej wyniesie:

12

3

bh

J

z

=

Zależność określająca wielkość naprężenia stycznego od siły poprzecznej w przekro-
ju wyniesie zatem:





























−

=

2

4

1

2

3

h

y

bh

T

xy

τ

I tak, dla włókien skrajnych przekroju współrzędnych y=h/2 lub y=-h/2 naprężenia od

siły poprzecznej wyniosą τ = 0. W środku przekroju dla y = 0 wyniosą odpowiednio:

bh

T

xy

xy

2

3

max

=

=

τ

τ

Przykład 20

Dla belki o przekroju i schemacie obciążenia (rys.49 ) przeprowadzić analizę stanu

naprężeń w przekroju α-α oraz wyznaczyć naprężenia normalne i styczne w punkcie
K na przekroju.

Maksymalny moment gnący:

Nmm

mm

kN

l

P

M

6

max

10

24

6000

16

4

1

2

2

=

=

=

Maksymalna siła poprzeczna:

N

kN

P

T

3

max

10

0

,

8

2

16

2

=

=

=

Opracowanie Instytut Spawalnictwa - Gliwice.

Wszelkie prawa zastrze

żone. Powielanie lub rozpowszechnianie ca

ło

ści wzgl

ędnie

fragmentu w jakiejkolwiek formie i w jakikolwiek sposób jest zabronione.

KURS MIĘDZYNARODOWEGO

INŻYNIERA / TECHNOLOGA / MISTRZA / INSTRUKTORA SPAWALNIKA

(IWE/IWT/IWS/IWP)

Podstawy wytrzymałości materiałów

Instytut

Spawalnictwa

w Gliwicach

3.2

AW 42

Rys. 49 Belka obciążona momentem gnącym

Współrzędna środka ciężkości:

mm

A

S

y

i

ia

zc

90

40

180

30

240

20

40

180

160

30

240

=

+

+

=

=

∑

∑

Moment be

zwładności przekroju teowego względem środka ciężkości (osi obojętnej)

4

6

2

3

2

3

10

608

,

10

70

40

180

12

40

180

70

240

30

12

240

30

mm

J

zc

=

+

+

+

=

Naprężenia normalne ściskające) na górnym brzegu środnika:

MPa

J

y

M

zc

c

430

10

608

,

10

190

10

0

,

24

6

6

2

max

max

−

=

=

=

σ

Naprężenia normalne (rozciągające) na dolnym brzegu pasa:

MPa

J

y

M

zc

r

204

10

608

,

10

90

10

0

,

24

6

6

1

max

max

=

=

=

σ

Naprężenia normalne w punkcie K przekroju teownika:

MPa

J

y

M

z

K

K

113

10

608

,

10

50

10

0

,

24

6

6

max

=

=

=

σ

Naprężenia te (113 MPa) wystąpią na całej krawędzi pasa tak jak w przekroju β

1

-

β

1

.

Jak widać z zależności (77) naprężenia styczne od sił poprzecznych zależą od wy-
miaru popr

zecznego przekroju. W przypadku wystąpienia w nim nieciągłości również

musi się to odzwierciedlić w rozkładzie naprężeń. W przypadku określenia stanu na-

prężeń w punkcie K taka sytuacja występuje.

Naprężenia styczne w punkcie K od strony środnika wyniosą:

MPa

b

J

TS

y

z

z

K

13

30

10

608

,

10

70

240

30

10

8

6

3

'

'

≅

=

=

τ

Naprężenia styczne w punkcie K od strony pasa wyniosą:

MPa

b

J

TS

y

z

z

K

5

180

10

608

,

10

70

240

30

10

8

6

3

'

''

≅

=

=

τ

Przykład 21

Na belce (rys.50) w przekroju C w punkcie położonym na dolnej części przekroju, je-

go skrajnych włóknie pomierzono odkształcenie jednostkowe tensometrem oporo-

wym. Odkształcenie to wyniosło ε

d

=0,0008.

Wyznaczyć wartość siły P oraz sporzą-

dzić wykresy naprężeń normalnych i stycznych w przekroju, w którym wystąpi M

max

i

T

max

. Pozostałe dane: E=2,0 10

5

MPa, R

H

= 200 MPa, l=2,1 m.

-430

16 kN

204

113 113

204

13

5

Opracowanie Instytut Spawalnictwa - Gliwice.

Wszelkie prawa zastrze

żone. Powielanie lub rozpowszechnianie ca

ło

ści wzgl

ędnie

fragmentu w jakiejkolwiek formie i w jakikolwiek sposób jest zabronione.

KURS MIĘDZYNARODOWEGO

INŻYNIERA / TECHNOLOGA / MISTRZA / INSTRUKTORA SPAWALNIKA

(IWE/IWT/IWS/IWP)

Podstawy wytrzymałości materiałów

3.2

Instytut

Spawalnictwa

w Gliwicach

AW 43

Rys.50

Belka z wydrążeniem wzdłużnym obciążona momentem gnącym

Znając odkształcenie ε

d

możemy wyznaczyć odpowiadające mu naprężenie w skraj-

nym dolnym włóknie przekroju C oraz obliczyć odpowiedni moment gnący w tym

przekroju, co z kolei umożliwi wyznaczyć wartość siły P.

W pierwszej kolejności należy obliczyć parametry geometryczne przekroju - położe-

nie środka ciężkości przekroju:

mm

A

S

y

a

c

136

100

80

300

140

210

100

80

150

300

140

≅

−

−

=

=

Moment bezwładności względem osi obojętnej wyniesie:

4

6

2

3

2

3

10

75

,

272

74

100

80

12

100

80

14

300

140

12

300

140

mm

J

z

=

−

−

+

=

Naprężenia rozciągające w skrajnym dolnym włóknie przekroju C wynoszą:

MPa

E

d

d

160

0008

,

0

10

2

5

=

=

=

ε

σ

Wykorzystując zależność wynikającą z twierdzenia Talesa otrzymamy:

MPa

d

g

g

d

193

136

164

164

136

−

=

=

⇒

−

=

σ

σ

σ

σ

Na rys.50 pokazano wykres rozkładu naprężeń od momentu zginającego.

Moment zginający możemy wyliczyć z zależności:

Nmm

y

J

M

J

y

M

c

z

d

c

z

c

c

d

6

6

10

320

136

10

75

,

272

160

=

=

=

⇒

=

σ

σ

Biorąc pod uwagę schemat statyczny belki otrzymamy:

Pl

l

P

l

R

M

A

c

9

2

3

3

2

3

=

=

=

Podstawiają odpowiednie wielkości:

kN

P

685

2100

2

10

320

9

6

=

=

Maksymalna siła poprzeczna wyniesie:

kN

P

R

T

A

c

457

3

2

=

=

=

Naprężenia styczne na przekroju będą zależeć od siły poprzecznej i od charakteru

przekroju. Poprzednie przykłady pokazały, że rozkłady te są nieciągłe i w jednym

przekroju w zależności od usytuowania wystąpią skoki tych wartości. W przykładzie

wystąpi to również. I tak w przekroju wyznaczonym przez punkt 2 występuje niecią-

głość określona szerokością b

y

. Na poziomie 2’ tzn. we włóknach leżących nieskoń-

czenie blisko powyżej poziomu wyznaczonego punktem2 naprężenia wynoszą:

10

23

35

15

Opracowanie Instytut Spawalnictwa - Gliwice.

Wszelkie prawa zastrze

żone. Powielanie lub rozpowszechnianie ca

ło

ści wzgl

ędnie

fragmentu w jakiejkolwiek formie i w jakikolwiek sposób jest zabronione.

KURS MIĘDZYNARODOWEGO

INŻYNIERA / TECHNOLOGA / MISTRZA / INSTRUKTORA SPAWALNIKA

(IWE/IWT/IWS/IWP)

Podstawy wytrzymałości materiałów

Instytut

Spawalnictwa

w Gliwicach

3.2

AW 44

MPa

b

J

S

T

y

z

z

c

10

140

10

75

,

272

)

2

40

164

(

40

140

457000

6

'

2

2

'

2

≅

−

=

=

τ

Na poziomie 2’’ tzn. we włóknach leżących nieskończenie blisko poniżej poziomu

wyznaczonego punktem 2 naprężenia wynoszą:

MPa

b

J

S

T

y

z

z

c

23

30

2

10

75

,

272

)

2

40

164

(

40

140

457000

6

''

2

2

''

2

≅

−

=

=

τ

Na poziomie 3’ i 3’’ naprężenia styczne wyznacza się analogicznie:

[

(

)

]

MPa

35

30

2

10

75

,

272

90

164

100

30

2

)

2

40

164

(

40

140

457000

6

'

3

≅

−

+

−

=

τ

[

(

)

]

MPa

15

140

10

75

,

272

90

164

100

30

2

)

2

40

164

(

40

140

457000

6

''

3

≅

−

+

−

=

τ

Na osi obojętnej naprężenia styczne wyniosą:

MPa

16

140

10

75

,

272

2

136

136

140

457000

6

4

≅

=

τ

Wykres naprężeń stycznych pokazano na rys.50.

9

Hipotezy wytężenia

Wytężenie jest miarą osiągnięcia stanu niebezpiecznego przez materiał pod

działaniem określonych obciążeń . Za stan niebezpieczny uważa się pojawienie lo-
kalnego

odkształcenia trwałego (uplastycznienie) lub pęknięcia (dekohezja) w dowol-

nym punkcie ciała. Przyjmuje się, że wytężenie jest zależne wyłącznie od składowych
stanu na

prężenia oraz własności mechanicznych materiału określonych przez wiel-

kości zwane stałymi materiałowymi. Dowolny stan naprężenia w przestrzeni można
okre

ślić trzema składowymi głównymi σ

1

,

σ

2

,

σ

3

. Każdemu punktowi A tej przestrzeni

o współrzędnych σ

1

,

σ

2

,

σ

3

odpowiada określony stan naprężenia, któremu jest

przypo

rządkowane wytężenie określone funkcją W(σ

1

,

σ

2

,

σ

3

,C) rys.51.

Rys 51

Widok przestrzeni naprężeń główny

Opracowanie Instytut Spawalnictwa - Gliwice.

Wszelkie prawa zastrze

żone. Powielanie lub rozpowszechnianie ca

ło

ści wzgl

ędnie

fragmentu w jakiejkolwiek formie i w jakikolwiek sposób jest zabronione.

KURS MIĘDZYNARODOWEGO

INŻYNIERA / TECHNOLOGA / MISTRZA / INSTRUKTORA SPAWALNIKA

(IWE/IWT/IWS/IWP)

Podstawy wytrzymałości materiałów

3.2

Instytut

Spawalnictwa

w Gliwicach

AW 45

W przypadku jednoosiowego stanu naprężenia pokrywa się ona z jedną z osi

σ

1

,

σ

2

,

σ

3

układu współrzędnych (punkt B). Zbiór punktów zawierających stany naprę-

żenia, które powodują jednakowe wytężenie, tworzy powierzchnię o równaniu W =

const. A zatem stany naprężenia odpowiadające punktom A i B (rys. ) wywołują iden-

tyczne wytężenie. Można dzięki temu zredukować (czyli zastąpić) dowolny stan na-

prężenia o wytężeniu W(σ

1

,

σ

2

,

σ

3

,C)- punkt A

do jednoosiowego stanu naprężenia o

takim samym wytężeniu W’(σ

red

,0 ,0

,C) - punkt B. Z równania W(

σ

1

,

σ

2

,

σ

3

,C) =

W’(

σ

red

,0 ,0

,C) wyznacza się naprężenie redukowane (czyli zastępcze) σ

red

. Uogól-

niony z

biór wszystkich stanów naprężenia określonych składowymi σ

x

,

σ

y

,

σ

z

,

τ

xy

,

τ

yz

,

τ

zx

tworzy przestrzeń sześciowymiarową. Powtarzając rozumowanie dla przestrzeni

trójwymiarowej

σ

1

,

σ

2

,

σ

3

wyznacza się naprężenie redukowane jako funkcję:

(

)

C

f

zx

yz

xy

z

y

x

red

,

,

,

,

,

τ

τ

τ

σ

σ

σ

σ

=

(78)

Naprężenie redukowane, czyli zastępcze σ

red

, wywołuje w jednoosiowym stanie na-

prężenia, a więc w pręcie rozciąganym lub ściskanym, takie samo wytężenie, jak re-

prezentowany przez nie przypadek złożonego stanu naprężenia. Jeśli przyjąć, jak to

występuje w przypadku stali, że granice plastyczności oraz wytrzymałości na rozcią-

ganie i ściskanie są sobie odpowiednio równe, to stan niebezpieczny będzie, kiedy:

e

red

R

=

σ

(79)

tzn. wystąpi stan zapoczątkowania stanu uplastycznienia lub

m

red

R

=

σ

(80)

wystąpi wtedy stan zniszczenia – dekohezji, inicjacji pęknięcia.

Kluczowym problemem jest znalezienie właściwej miary wytężenia, czyli funkcji W(σ

1

,

σ

2

,

σ

3

,C) lub W’(

σ

x

,

σ

y

,

σ

z

,

τ

xy

,

τ

yz

,

τ

zx

, C).

Nie ma niestety jednoznacznej uzasad-

nionej fizycznie mia

ry wytężenia. Powstało w związku z tym wiele hipotez wytężenia.

Każda z nich przyjmuje inną miarę wytężenia. Poglądy dotyczące słuszności po-
szcze

gólnych hipotez pozostają ciągle dyskusyjne. Omówimy te spośród licznych hi-

potez wytężenia, które opierają się na przekonywających przesłankach fizycznych i

są zgodne z wynikami badań doświadczalnych. Hipotezy te dzielą się na dwie od-

rębne grupy. W pierwszej grupie znajdują się hipotezy wytężenia dotyczące warunku

początku plastyczności, w drugiej dotyczące warunku pęknięcia (dekohezji).

Do hipotez wytężenia określających warunek początku plastyczności zaliczyć należy:

hipotezę energii właściwej odkształcenia postaciowego, za autorów której uważa się
Maxwella, Hubera, Misesa i Hencky’ego, hipo

tezę maksymalnych naprężeń stycz-

nych,

przypisywaną Tresce i de Saint Venantowi. W hipotezach tych przyjmuje się,

że granice plastyczności i wytrzymałości przy ściskaniu i rozciąganiu są sobie odpo-
wiednio równe.

W hipotezie Maxwella, Hubera, Misesa i Hencky’ego jako miarę wytężenia przyjmuje

się energię sprężystą właściwą odkształcenia postaciowego. Z tego względu nazywa

się ją często hipotezą energetyczną. Energia sprężysta właściwa odkształcenia po-
staciowego dla przypadku ogólnego oraz jednoosiowego stanu napr

ężenia Φ

f

oraz

Φ

f’

,

obliczona wg formuły, wynosi odpowiednio:

(

) (

)

(

)

(

)

[

]

2

2

2

2

2

2

6

6

1

zx

yz

xy

x

z

z

y

y

x

f

E

τ

τ

τ

σ

σ

σ

σ

σ

σ

ν

+

+

+

+

+

+

+

+

+

=

Φ

(81)

2

'

2

6

1

red

f

E

σ

ν

+

=

Φ

(82)

Po przekształceniu otrzymamy formułę na wyliczenie naprężenia zredukowanego:

(

) (

)

(

)

(

)

2

2

2

2

2

2

6

2

2

zx

yz

xy

x

z

z

y

y

x

red

τ

τ

τ

σ

σ

σ

σ

σ

σ

σ

+

+

+

+

+

+

+

+

=

(83)

Opracowanie Instytut Spawalnictwa - Gliwice.

Wszelkie prawa zastrze

żone. Powielanie lub rozpowszechnianie ca

ło

ści wzgl

ędnie

fragmentu w jakiejkolwiek formie i w jakikolwiek sposób jest zabronione.

KURS MIĘDZYNARODOWEGO

INŻYNIERA / TECHNOLOGA / MISTRZA / INSTRUKTORA SPAWALNIKA

(IWE/IWT/IWS/IWP)

Podstawy wytrzymałości materiałów

Instytut

Spawalnictwa

w Gliwicach

3.2

AW 46

dla stanu naprężeń opisanego dowolnymi składowymi w przestrzeni x,y,z i

(

) (

) (

)

2

1

3

2

3

2

2

2

1

2

2

σ

σ

σ

σ

σ

σ

σ

−

+

−

+

−

=

red

(84)

dla stanu naprężeń opisanego przy pomocy naprężeń głównych.

W praktyc

e projektowej, gdzie na podstawie obciążeń oblicza się przekroje, napręże-

nie zredukowane jest wielkością, którą porównuje się z wielkościami odniesienia,
który

mi mogą być naprężenia obliczeniowe lub naprężenia dopuszczalne zależnie od

tego jaką metodykę obliczeń zastosowano.

Sposób wykorzystania hipotezy wytrzymałościowej warto zilustrować przykładem.

Przykład 22

Do określenia wytężenia w pewnym punkcie powierzchni elementu użyto prostokąt-
nej rozety tensometrycznej (rys.52). Zmierzone poszczególnymi tensometrami od-

kształcenia po przyłożeniu obciążenia wynoszą: ε

a

= 3 10

-4

, ε

b

= 2 10

-4

, ε

c

= -10

-4

.

Obliczyć naprężenie redukowane według hipotezy energii odkształcenia postaciowe-

go, jeśli stałe sprężyste materiału wynoszą: E = 2 10

5

MPa,

ν = 0,3.

W ce

lu wyliczenia wartość i kierunku naprężeń głównych posłużyć się należy formu-

łami dla danych rozet tensometrycznych.

(

)

(

)

[

]













+

−

+

−

+

+

−

+

=

2

2

1

2

1

1

1

2

c

a

b

c

a

c

a

E

ε

ε

ε

ε

ε

ν

ν

ε

ε

σ

(

)

(

)

[

]













+

−

+

−

+

−

−

+

=

2

2

2

2

1

1

1

2

c

a

b

c

a

c

a

E

ε

ε

ε

ε

ε

ν

ν

ε

ε

σ

(

)

c

a

c

a

b

tg

ε

ε

ε

ε

ε

ϕ

−

+

−

=

2

0

Rys.52 Widok rozety tensometrycznej

Po podstawieniu otrzymamy:

MP

5

,

62

1

=

σ

MPa

5

,

5

2

−

=

σ

0

6

,

26

5

,

0

=

⇒

=

ϕ

ϕ

tg

Naprężenie redukowane dla hipotezy energetycznej oblicza się z zależności (84) i po

podstawieniu wartości otrzymamy:

MPa

red

9

,

59

=

σ

Opracowanie Instytut Spawalnictwa - Gliwice.

Wszelkie prawa zastrze

żone. Powielanie lub rozpowszechnianie ca

ło

ści wzgl

ędnie

fragmentu w jakiejkolwiek formie i w jakikolwiek sposób jest zabronione.

KURS MIĘDZYNARODOWEGO

INŻYNIERA / TECHNOLOGA / MISTRZA / INSTRUKTORA SPAWALNIKA

(IWE/IWT/IWS/IWP)

Podstawy wytrzymałości materiałów

3.2

Instytut

Spawalnictwa

w Gliwicach

AW 47

10. Stany graniczne zniszczenia

Oblic

zenie wytrzymałościowe w rezultacie sprowadzają się do sprawdzenia

wpływu stanów naprężeń w danych przekrojach lub obszarach na własności eksploa-
tacyjne elementów lub konstrukcji. Jednym z wielu stanów kon

strukcji będącej pod

obciążeniem w danych warunkach jest stan zapoczątkowania jej zniszczenia. Jest to
oczywi

ście stan skrajny i żaden projektant nie będzie wykonywał obliczeń zakładając

jej znisz

czenie. Przeciwnie, będzie tak dobierał procedury obliczeniowe, uwzględniał

warunki eksploatacji oraz przyjmow

ał własności materiałów, aby konstrukcja w rze-

czywistości procesowi zniszczenia nie uległa. Istnieje cały szereg metod projekto-

wania konstrukcji, które uwzględniają wszelkie możliwe czynniki eksploatacyjne
w

pływające na wytężenie konstrukcji i zachowanie się jej. Własności materiałów me-

talowyc

h przeznaczonych na konstrukcje również muszą uwzględniać warunki eks-

ploatacji i obciążeń. W zależności od tych czynników reakcje konstrukcji będą się

różnić. I tak w przypadku konstrukcji metalowej obciążonej siłami statycznymi gra-
niczny parametr jej

wytrzymałości określi granica plastyczności R

0,2

lub doraźna wy-

trzymałość na rozciąganie R

m

w przypadku materiałów ciągliwych.

Dla materiałów narażonych na kruche pękanie graniczny parametr wytrzyma-

łościowy musi to zjawisko uwzględnić. Dla konstrukcji spawanych wykonywanych z
takich

materiałów parametrem granicznym oprócz wymienionych wcześniej parame-

trów wytrzymałościowych może być krytyczna wartość rozwarcia wierzchołka szcze-
liny (CTOD)

δ

c

. Parametr ten wyznaczany jest

przy założeniu sprężysto plastycznych

własności materiału konstrukcyjnego. Przy jego pomocy można wyznaczyć krytyczne

rozmiary niezgodności, przy danym wymiarze konstrukcji (jej grubości) i warunkach

środowiskowych (temperatura|), przy których istnieje niebezpieczeństwo zainicjowa-

nia kruchego pękania. Parametr ten jest wykorzystywany rzadko, przy projektowaniu

konstrukcji pracujących w ekstremalnych warunkach klimatycznych (platformy wiert-

nicze, rurociągi magistralne, zbiorniki ciśnieniowe pracujące w strefie arktycznej).

Konstrukcje pracujące pod obciążeniem w wysokich temperaturach narażone

są na zjawiskom pełzania. Pełzanie jest to powolne, ciągłe odkształcanie się stali w

czasie. Zjawisko to zależy od wielkości naprężeń, temperatury i czasu. Jako para-

metr graniczny stosowany jest przy projektowaniu konstrukcji narażonych na obcią-

żenia mechaniczne, oddziaływanie temperaturowe przy wymogu zachowania odpo-

wiedniej trwałości w tych warunkach eksploatacyjnych. Wytrzymałość na pełzanie
opisana jest dwoma parametrami:

wytrzymałość na pełzanie i granica pełzania.

Obciążenia zmienne mogą spowodować wystąpienie zjawiska zmęczenia ma-

teriału. Parametrem granicznym wytrzymałości konstrukcji lub jej części jest wytrzy-

małość zmęczeniowa jako wielkość wynikająca z kształtu elementu, naprężenia oraz
trwa

łości w postaci liczby cykli do zniszczenia. W zależności od konstrukcji stosuje

się różne procedury obliczeniowe, w których stosuje się jako parametr graniczny róż-

ne formy wytrzymałości zmęczeniowej. W przypadku konstrukcji, których czas życia

wyrażony w liczbie cykli obciążeń, jest niższy od 2 10

6

liczby cykli możną jako wiel-

kość graniczną wyznaczyć wytrzymałość niskocyklową.

W tablicy 6 zastawiono różne wytrzymałościowe kategorie graniczne w zależności od
rodzaju o

ddziaływań.

Opracowanie Instytut Spawalnictwa - Gliwice.

Wszelkie prawa zastrze

żone. Powielanie lub rozpowszechnianie ca

ło

ści wzgl

ędnie

fragmentu w jakiejkolwiek formie i w jakikolwiek sposób jest zabronione.

KURS MIĘDZYNARODOWEGO

INŻYNIERA / TECHNOLOGA / MISTRZA / INSTRUKTORA SPAWALNIKA

(IWE/IWT/IWS/IWP)

Podstawy wytrzymałości materiałów

Instytut

Spawalnictwa

w Gliwicach

3.2

AW 48

Tablica 6 Zestawienie wielkości granicznych dla różnych oddziaływań

Oddziaływanie

Parametr

Stan graniczny
do zniszczenia

Obciążenia mecha-
niczne statyczne
jedno i wieloosiowe

Gatunek materiału

Naprężenie zredukowane

(zastępcze)

R

m

Wytrzymałość doraźna

R

e

Granica plastyczności

Obciążenia mecha-
niczne statyczne
jedno i wieloosiowe

Oddziaływanie
cieplne

Gatunek materiału

Naprężenie zredukowane

(zastępcze)
Temperatura

R

m/t

–

Wytrzymałość doraźna na roz-

ciąganie w danej temperaturze
R

0,2/t,

R

1,0/t

– Umowna granica pla-

styczności dla wydłużenia odpowied-
nio: 0,2% lub 1,0% w danej temperatu-
rze

Obciążenia zmienne

Kształt (koncentra-
cja napr

ężeń)

Zakres naprężeń Δσ

Naprężenia maksymalne

σ

max

Amplituda naprężeń σ

a

Wsp. asymetrii cyklu R
Trwa

łość (liczba cykli) N

Δσ

A (2 x 10

6

)

– kategoria zm

ęczeniowa

Δσ

D (2 x 10

7

)- Wytrzyma

łość zmęczenio-

wa trwała przy stałej amplitudzie
Δσ

L ( 10

8

)-

Wytrzymałość zmęczeniowa

trwała

Obciążenie mecha-
niczne

Oddziaływanie
cieplne

Kształt (koncentra-
cja napr

ężeń)

Gatunek materiału

Naprężenie zredukowane

(zastępcze)
Temperatura
Niezgodno

ści

δ

c

– CTOD (krytyczny wymiar rozwar-

tości szczeliny przy zapoczątkowaniu

kruchego pękania)
a –

Parametr krytyczny niezgodności

wyliczany na podstawie wyznaczone-
go

δ

c

l, c – graniczne wymiary niezgodno

ści

Obciążenia mecha-
niczne statyczne
jedno i wieloosiowe

Oddziaływanie
cieplne

Pełzanie

Gatunek materiału

Naprężenie zredukowane

(zastępcze)
Temperatura

R

z(10

4

)/t

, R

z(10

5

)/t,

R

z(2x10

5

)/t

– Wytrzyma-

łośc na pełzanie po czasie odpowied-
nio 10

4

, 10

5

i 2x10

5

godzin oddziały-

wania cieplnego

11. Sprężysto plastyczny stan naprężeń
Prawo Hooke’a

służy do analizy stanów naprężeń i odkształceń w zakresie spręży-

stym. Maksymalne zatem naprężenia nie mogą przekroczyć granicy sprężystości lub
gran

icy plastyczności. W przypadku zginania tylko skrajne włókna przekroju mogą

osiągnąć maksymalne naprężenia – reszta przekroju jest w stanie sprężystym. Zy

istnieje możliwość bardziej intensywnego obciążenia przekroju tak aby jego stan gra-
niczny – uplastycz

nienie objął cały przekrój poprzeczny. Zastosowane zostanie nowe

podejście, w którym ustalone zostaną nowe związki pomiędzy odkształceniami a na-

prężeniami. Jeśli spojrzeć na rys.5 to widać, że po przekroczeniu przez naprężenia

granicy plastyczności odkształcenia i naprężenia nie zachowują już proporcjonalno-

ści, a pojawia się stan nieliniowej zależności. Przy pewnym uproszczeniu można wy-

korzystać idealnie sprężysto plastyczny model zależności naprężeń od odkształceń
przedstawiony na rys. 53. Sk

łada się on z odcinka prostego 0B, wyrażającego prawo

Hooke’a, a więc materiału idealnie sprężystego. W punkcie B naprężenia rozciągają-
ce

osiągają granicę plastyczności σ’= R

e

by dalej w miarę odkształcania już nie ro-

snąć. Wzrastają jednak odkształcenia i jeśli np. w punkcie C zostanie zdjęte obciąże-

nie to odciążony element nie powróci do swego początkowego wymiaru chociaż na-

prężenia znikną. Przy odciążaniu materiał zachowuje swa sprężystość. Linia CD jest

równoległa do 0B.

Opracowanie Instytut Spawalnictwa - Gliwice.

Wszelkie prawa zastrze

żone. Powielanie lub rozpowszechnianie ca

ło

ści wzgl

ędnie

fragmentu w jakiejkolwiek formie i w jakikolwiek sposób jest zabronione.

KURS MIĘDZYNARODOWEGO

INŻYNIERA / TECHNOLOGA / MISTRZA / INSTRUKTORA SPAWALNIKA

(IWE/IWT/IWS/IWP)

Podstawy wytrzymałości materiałów

3.2

Instytut

Spawalnictwa

w Gliwicach

AW 49

Rys. 53 Idealnie sprężysto plastyczne zachowanie się materiału

Prosty pręt o przekroju A pokazany na rys. 54 jest zginany. Osią obojętną dla zgina-

nia sprężystego pręta jest oś z.

Rys. 54 Zginanie sprężysto plastyczne pręta

Wzrost momentu gnącego powoduje wystąpienie w jego przekroju naprężeń od zgi-

nania rozłożonych jak na rys. 54a. Naprężenia te są w zakresie sprężystym. Dalszy

wzrost momentu gnącego powoduje również wzrost naprężeń i w konsekwencji od-

kształceń. Przy założeniu modelu materiału przedstawionego na rys. 53, po przekro-

czeniu granicy plastyczności materiału na przekroju pojawia się strefa odkształcona

plastycznie zmieniająca swój rozkład w miarę wzrostu momentu gnącego jak na rys.

53 b. W stanie granicznym, w którym moment gnący przyjmie wartość M’ (moment
uplastycznienia)

wykres przyjmie kształt jak na rys. 53c. W tym stanie cały przekrój

został uplastyczniony. Oś obojętna przekroju po uplastycznieniu przekroju przyjęła
no

we położenie i dzieli przekrój na dwie części o tej samej powierzchni. Warunek

uplastyczn

ienia przekroju można zapisać w postaci:

'

'

'

W

M

=

σ

(85)

Gdzie:

σ’ –

naprężenia uplastycznienia (granica plastyczności R

e

)

M’ – moment uplastycznienia
W’ –

wskaźnik przekroju jako suma wartości bezwzględnych momentów sta-

tycznych części przekrojów po obu stronach osi przesuniętej

Przykład 23

Wyznaczyć wartość momentu uplastycznienia M’

g

dla przekro

ju prostokątnego (rys.

55).

σ’=R

e

Opracowanie Instytut Spawalnictwa - Gliwice.

Wszelkie prawa zastrze

żone. Powielanie lub rozpowszechnianie ca

ło

ści wzgl

ędnie

fragmentu w jakiejkolwiek formie i w jakikolwiek sposób jest zabronione.

KURS MIĘDZYNARODOWEGO

INŻYNIERA / TECHNOLOGA / MISTRZA / INSTRUKTORA SPAWALNIKA

(IWE/IWT/IWS/IWP)

Podstawy wytrzymałości materiałów

Instytut

Spawalnictwa

w Gliwicach

3.2

AW 50

Rys. 55 Prze

krój prostokątny

Jak wspomniano powyżej w przypadku uplastycznienia całego przekroju oś obojętna

przybiera takie położenie, w którym momenty statyczne części przekrojów po każdej

ze stron tej osi są sobie równe.

8

4

2

2

2

1

bh

h

bh

S

S

=

=

=

Zatem wskaźnik wytrzymałości dla przekroju uplastycznionego wyniesie:

4

8

8

'

2

2

2

2

1

bh

bh

bh

S

S

W

=

+

=

+

=

Moment gnący uplastycznienia wyniesie:

4

'

2

bh

R

M

e

g

=

W przypadku, kiedy uznamy za stan dopuszczalny stan osiągnięcia granicy plastycz-

ności R

e

przez włókna skrajne to moment dopuszczalny wyniesie odpowiednio:

6

2

bh

R

M

e

g

=

Z obu wyników widać, że w przypadku obliczeń na uplastycznienie całego przekroju

możemy zastosować większe obciążenie ponieważ moment gnący uplastycznienia

jest większy o ok. 30%.

Przykład 24

Wyznaczyć wartość momentu uplastycznienia M’

g

dla przekroju pokazanego na

rys.56

Rys. 56 Widok przekroju

Należy wyznaczyć położenie osi obojętnej dla warunku uplastycznienia, który będzie

spełniony, kiedy momenty statyczne po obu jej stronach będą równe.

A

1

A

2

y

s1

y

s2

I

II

Opracowanie Instytut Spawalnictwa - Gliwice.

Wszelkie prawa zastrze

żone. Powielanie lub rozpowszechnianie ca

ło

ści wzgl

ędnie

fragmentu w jakiejkolwiek formie i w jakikolwiek sposób jest zabronione.

KURS MIĘDZYNARODOWEGO

INŻYNIERA / TECHNOLOGA / MISTRZA / INSTRUKTORA SPAWALNIKA

(IWE/IWT/IWS/IWP)

Podstawy wytrzymałości materiałów

3.2

Instytut

Spawalnictwa

w Gliwicach

AW 51

(

)

2

1

2

1

2

1

A

A

A

A

+

=

=

(

)

2

2

1

2

1

2

1

2

1

2

2

bh

A

A

cg

A

=

+

=

=

Z twierdzenia Talesa otrzymamy proporcje:

h

b

g

c

h

b

g

c

2

2

=

⇒

=

Podstawiając wartość c do wzoru na pole trójkąta otrzymamy:

h

g

bh

h

b

g

cg

A

2

2

2

2

1

2

1

2

1

2

2

2

2

2

=

⇒

=

=

=

b

h

b

h

h

b

g

c

2

2

2

2

2

=

=

=

2

2

2

2

2

2

24

2

2

2

3

1

2

2

2

2

2

3

1

2

bh

h

b

g

cg

y

A

S

s

=

=

=

=













+

+

+

=

=

b

c

b

c

g

g

c

b

y

A

S

s

2

3

2

1

1

1

1

1











 −

=

−

=

−

=

2

2

2

2

2

2

1

h

h

h

g

h

g

























+

+











 −











 −

+

=

b

b

b

b

h

h

b

b

S

2

2

2

2

2

2

2

2

3

2

2

2

2

2

2

1

(

)

























+

+

−











 +

=

2

2

2

2

4

2

2

2

12

2

2

2

2

2

2

1

h

b

S

(

)

2

5

8

24

2

1

−

=

bh

S

(

)

2

2

6

'

2

2

1

−

=

+

=

bh

S

S

W

Moment uplastycznienia wyniesie:

'

'

'

'

W

R

W

M

e

g

=

=

σ

W przypadku, kiedy uznamy

za stan dopuszczalny stan osiągnięcia granicy plastycz-

ności R

e

przez włókna skrajne to momenty dopuszczalne w zależności od rozpatry-

wanego włókna (tablica 2) wyniosą odpowiednio:

24

2

bh

R

M

e

Ig

=

12

2

bh

R

M

e

IIg

=

W odniesieniu do momentu up

lastycznienia całego przekroju relacje wyniosą odpo-

wiednio:

Opracowanie Instytut Spawalnictwa - Gliwice.

Wszelkie prawa zastrze

żone. Powielanie lub rozpowszechnianie ca

ło

ści wzgl

ędnie

fragmentu w jakiejkolwiek formie i w jakikolwiek sposób jest zabronione.

KURS MIĘDZYNARODOWEGO

INŻYNIERA / TECHNOLOGA / MISTRZA / INSTRUKTORA SPAWALNIKA

(IWE/IWT/IWS/IWP)

Podstawy wytrzymałości materiałów

Instytut

Spawalnictwa

w Gliwicach

3.2

AW 52

(

)

34

,

2

24

2

2

6

'

2

2

=

−

=

bh

R

bh

R

M

M

e

e

Ig

g

(

)

17

,

1

12

2

2

6

'

2

2

=

−

=

bh

R

bh

R

M

M

e

e

IIg

g

Jak widać momenty uplastycznienia w zależności od ułożenia przekroju w odniesie-

niu do kierunku obciążenia będą się różnić.




12 Literatura uzupe

łniająca

1.

A. Jakubowicz, Z. Orłoś, Wytrzymałość materiałów, WNT, W-wa 1968

2.

R.Kurowski, Z. Parszewski, Zbiór zadań z wytrzymałości materiałów, PWN, W-wa
1966

3.

W. Orłowski, L. Słowański, Wytrzymałość materiałów p przykłady obliczeń, Arka-
dy, W-wa 1963

4. M.M. Biel

ajew, Wytrzymałóść materiałów, Wyd. MON, W-wa 1956

5.

R. Bąk, T. Burczyński, Wytrzymałość materiałów z elelmnatmi ujęcia komputero-
wego, WNT W-wa 2001

6.

R. Bąk, Piętnaście wykładów z wytrzymałości, Wyd. Politechniki Śląskiej, Gliwice
1996

Opracowanie Instytut Spawalnictwa - Gliwice.

Wszelkie prawa zastrze

żone. Powielanie lub rozpowszechnianie ca

ło

ści wzgl

ędnie

fragmentu w jakiejkolwiek formie i w jakikolwiek sposób jest zabronione.

KURS MIĘDZYNARODOWEGO

INŻYNIERA / TECHNOLOGA / MISTRZA / INSTRUKTORA SPAWALNIKA

(IWE/IWT/IWS/IWP)

Podstawy wytrzymałości materiałów

3.2

Instytut

Spawalnictwa

w Gliwicach

AW 53