Instytut

Spawalnictwa

w Gliwicach

KURS MIĘDZYNARODOWEGO

INŻYNIERA / TECHNOLOGA / MISTRZA / INSTRUKTORA SPAWALNIKA

(IWE/IWT/IWS/IWP)

Podstawy wytrzymałości

materiałów

3.2

opracował:

dr inż. Piotr Sędek

Nowelizacja materiału: 10. 2012 r.

 

1. Informacje podstawowe 

Każde ciało pod wpływem działających na nie obciążeń ulega odkształceniu. 

Jeśli  obciążenia  osiągną  odpowiednio  duże  wartości  mogą  spowodować,  że  ciało 
(element konstrukcyjny) ulega zniszczeniu lub nadmiernemu, nieodwracalnemu od-

kształceniu.  

Zadaniem wytrzymałości materiałów jest opracowanie metod oceny zachowania spo-

tykanych  w praktyce inżynierskiej typowych  elementów konstrukcyjnych poddanych 

działaniu  obciążeń.  Przez  ocenę  odporności,  czyli  sprawdzenie  (kontrolę)  nośności 

istniejących lub projektowanych elementów konstrukcyjnych należy rozumieć: ocenę 

wytrzymałości  (obliczenie  wartości  i  rodzaju  naprężeń)  oraz  ocenę  odkształceń 

(określanie wartości i rodzaju odkształceń), w stosunku do ustalonych (zwykle narzu-

canych normami, zaleceniami producenta lub przepisami odpowiednich służb dozoru 

technicznego) wymagań praktycznych, gwarantujących dostateczne bezpieczeństwo 
i dosta

teczną sztywność elementu. 

Metody  obliczeniowe  stosowane  w  wytrzymałości  muszą  wiązać  zasady  mechaniki 

ciała  stałego  (równania  równowagi)  z  matematycznym  opisem  jego  zachowaniem 

pod  wpływem  obciążeń. W szczególności  koniecznym  jest  zdefiniowanie  stanu od-

kształceń  i  naprężeń  ciała  oraz  wzajemnych  związków  pomiędzy  nimi  a  własności 

materiału(równania konstytutywne), z którego wykonany jest element konstrukcyjny. 

Dla  potrzeb  zagadnień  wytrzymałości  wprowadza  się  szereg  założeń  dotyczących 

materiału, z jakiego wykonany jest element konstrukcyjny. Pozwalają one na ustale-

nie  wzajemnych  zależności  matematycznych  (równań  konstytutywnych)  pomiędzy 

odkształceniami ciała a obciążeniami zewnętrznymi, w oparciu o mechaniczne wła-

sności materiału. Założeniami tymi są: 
- 

ciągłość materiału -  materiale nie występują mikropęknięcia, pustki. Rozpatrywane 

mate

riały można uważać za continuum materialne, 

- 

jednorodność materiału - właściwości mechaniczne materiału nie są funkcjami poło-

żenia, czyli są jednakowe w każdym punkcie elementu konstrukcyjnego, 
- 

izotropowość materiału - właściwości mechaniczne materiału nie zależą od orienta-

cji rozpatrywanej objętości elementarnej ciała, 
- 

liniowa sprężystość materiału - zakłada się, że do pewnej granicy obciążenia ciało 

zachowuje ciągłość struktury oraz, że istnieje jednoznaczny, bez naprężeniowy stan 

ciała, do którego badane ciało powraca, ilekroć zostaną usunięte siły zewnętrzne. 
 
1.1 

Obciążenia 

Jednym  z  podstawowych  zadań  elementów konstrukcyjnych jest zrównowa-

żenie  obciążeń  zewnętrznych  lub  wykonanie  określonej  pracy,  sprowadzonej  do 

przemieszczania w kierunkach wyznaczonych działaniem działających sił. W tym ro-

zumieniu obciążenia zewnętrzne są równe ciężarowi własnemu konstrukcji, obciąże-

niom użytkowym oraz wpływom zewnętrznym związanym z użytkowaniem urządze-

nia. Zwykle obciążenia działające na konstrukcję dzielimy na: 
- 

obciążenia stałe - do obciążeń tych zalicza się ciężar własny konstrukcji oraz ciężar 

własny  elementów  podtrzymywanych  przez  konstrukcję.  Obciążenie  to  w  okresie 
eksploata

cji na niezmienną wartość, 

- 

obciążenia użytkowe (zmienne) - jest to grupa zasadniczych obciążeń, dla których 

projektuje  się  daną  konstrukcję  (obciążenia od  wyposażenia  technologicznego,  siły 
be

zwładności  wynikające  z  pracy  urządzeń,  wpływ  prędkości  odkształceń,  wpływ 

czasu obciążenia, wpływ obciążeń wielokrotnych),  
- 

wpływ otoczenia - grupa warunków pracy konstrukcji obejmująca wpływy atmosfe-

ryczne (śnieg, wiatr), wpływ temperatury otoczenia, napromieniowanie itp., 

Opracowanie Instytut Spawalnictwa - Gliwice.

Wszelkie prawa zastrze

żone. Powielanie lub rozpowszechnianie ca

ło

ści wzgl

ędnie

fragmentu w jakiejkolwiek formie i w jakikolwiek sposób jest zabronione.

KURS MIĘDZYNARODOWEGO

INŻYNIERA / TECHNOLOGA / MISTRZA / INSTRUKTORA SPAWALNIKA

(IWE/IWT/IWS/IWP)

Podstawy wytrzymałości materiałów

3.2

Instytut

Spawalnictwa

w Gliwicach

AW 1

- 

obciążenia  transportowe  i  montażowe  -  są  to  obciążenia  określające  zachowanie 

się elementu lub konstrukcji w czasie transportu i montażu, gdy elementy nie są jesz-

cze całkowicie złączone zgodnie z ich udziałem w maszynie lub urządzeniu. 
 
1.2 

Odkształcenia 

Odkształceniem nazywamy chwilową lub trwałą zmianę wymiarów całego ciała 

lub jego części wywołaną przyłożonym do niego obciążeniem. Ponieważ założyliśmy, 

że analizowane ciało ma postać kontinuum materialnego, możemy założyć, że dwa 
p

unkty  ciała  sąsiadujące  ze  sobą  przed  odkształceniem  pozostają  sąsiednimi  i  po 

odkształceniu. Ponadto należy przyjąć, że przemieszczenia stykających się elemen-

tów, na jakie podzieliliśmy myślowo rozpatrywane ciało są znikomo małe. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Rys.1 Odkszta

łcenia 

a) ciało przed odkształceniem 

b) ciało po odkształceniu 

 

Pod działaniem sił P i momentów M ciało odkształca się (rys.1). Zmiany wymiarów 

długości l (względne wydłużenie ε) i wymiarów kąta (odkształcenie postaciowe γ) wy-

niosą odpowiednio: 

                                      

l

l

l

∆

=

→0

lim

ε

                                           (1) 

                                      

'

'

'

lim

0

,

0

E

D

C

CDE

DE

CE

−

=

→

→

γ

                (2) 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Rys.2 Zmiana objętości i postaci elementarnego prostopadłościanu 

 

W prostokątnym układzie współrzędnych odkształcenie elementarnego prostopadło-

ścianu o bokach dx, dy, dz w przypadku ogólnym określa sześć wielkości jednostko-
wych: 

ε

x

, 

ε

y

,  

ε

z  

opisujących zmiany długości jego boków, oraz γ

xy

, 

γ

yz

, 

γ

zx

 

opisujących 

a) 

b) 

M 

M 

P 

P 

Opracowanie Instytut Spawalnictwa - Gliwice.

Wszelkie prawa zastrze

żone. Powielanie lub rozpowszechnianie ca

ło

ści wzgl

ędnie

fragmentu w jakiejkolwiek formie i w jakikolwiek sposób jest zabronione.

KURS MIĘDZYNARODOWEGO

INŻYNIERA / TECHNOLOGA / MISTRZA / INSTRUKTORA SPAWALNIKA

(IWE/IWT/IWS/IWP)

Podstawy wytrzymałości materiałów

Instytut

Spawalnictwa

w Gliwicach

3.2

AW 2

zmiany j

ego kątów

 

dwuściennych. Jeśli przyjmie się, że wobec jego małych wymia-

rów odpowiednie ściany będą do

 

siebie równoległe, czyli prostopadłościan przecho-

dzi w równoległościan (rys.2) to jednostkowa

 

zmiana objętości:

 

                   

1

cos

cos

cos

)

1

)(

1

)(

1

(

'

−

+

+

+

=

−

=

∆

zx

yz

xy

z

y

x

V

V

V

V

V

γ

γ

γ

ε

ε

ε

          (3) 

gdzie: 

zx

yz

xy

z

y

x

dxdydz

V

dxdydz

V

γ

γ

γ

ε

ε

ε

cos

cos

cos

)

1

)(

1

)(

1

(

'

;

+

+

+

=

=

  

Jeśli odrzucimy iloczyny wielkości ε jako małe wyższego rzędu to otrzymamy: 
 

                    

1

cos

cos

cos

)

1

(

'

−

+

+

+

=

−

=

∆

zx

yz

xy

z

y

x

V

V

V

V

V

γ

γ

γ

ε

ε

ε

                (4) 

a względna zmiana objętości dana wzorem (4) jest superpozycją dwóch odkształceń: 
obj

ętości i postaci. 

 

1.2.1 Odkształcenia czysto objętościowe 

Warunkiem koniecznym i wystarczającym, aby odkształcenia miały charakter 

odkształceń czysto objętościowych jest spełnienie zależności: 
                                                       

0

=

=

=

zx

yz

xy

γ

γ

γ

                                     (5) 

                                                         

ε

ε

ε

ε

=

=

=

z

y

x

                                      (6) 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Rys.3 Odkształcenia a)czysto objętościowe, b) postaciowe 

 

Względna zmiana objętości wyniesie  
zatem: 

                                                      

ε

3

'

=

−

=

∆

V

V

V

V

V

                                     (7) 

 
1.2.2 Od

kształcenia czysto postaciowe 

 

Warunkiem koniecznym i wystarczającym, aby odkształcenia miały charakter 

czysto postaciowy jest: 
                                        

1

cos

,

cos

,

cos

→

zx

yz

xy

γ

γ

γ

   czyli 

0

=

∆V

                (8) 

                                                          

0

=

+

+

z

y

x

ε

ε

ε

                                    (9) 

W  większości  przypadków  rzeczywistych  stanów  odkształceń  mają  one  charakter 

mieszany objętościowo postaciowy tzn. są wynikiem jednoczesnego działania naprę-

żeń normalnych i stycznych. Zilustrowano to na rys.4.  
 
 
 
 

tg

γ  

≠ 0 

γ   

ε

x

 

+  ε

y

   = 0   

a) 

b) 

Opracowanie Instytut Spawalnictwa - Gliwice.

Wszelkie prawa zastrze

żone. Powielanie lub rozpowszechnianie ca

ło

ści wzgl

ędnie

fragmentu w jakiejkolwiek formie i w jakikolwiek sposób jest zabronione.

KURS MIĘDZYNARODOWEGO

INŻYNIERA / TECHNOLOGA / MISTRZA / INSTRUKTORA SPAWALNIKA

(IWE/IWT/IWS/IWP)

Podstawy wytrzymałości materiałów

3.2

Instytut

Spawalnictwa

w Gliwicach

AW 3

 
 
 
 
 
 
 
 

Rys.

4 Odkształcenie objętościowo postaciowe 

 

2. Podstawy teorii sprężystości 

Naprężenia  zależą od wzajemnego położenia elementarnych cząsteczek ciała 

poddanego  działaniu  sił  zewnętrznych.  Naprężenia  są,  zatem  związane    zależno-

ściami funkcyjnymi z odkształceniami, przy czym z kolei odkształcenia są uwarunko-

wane odpowiednimi cechami materiału ciała. Prowadzi to do umownych zapisów: 
                                                            

)

(

ε

σ

f

=

                                            (10) 

Zależności  σ  od  ε  uzyskuje  się  przez  odpowiednie  próby  wytrzymałościowe. Wyłą-
cza

jąc  z rozważań próby specjalistyczne podstawową statyczną próbą wytrzymało-

ściową jest próba na rozciąganie. Wszystkie próby przeprowadza się na znormalizo-

wanych, co do kształtu i wymiarów próbkach umożliwiających jednolitą interpretację 

wyników badań. Materiały sprężysto-plastyczne (metale, niektóre tworzywa sztuczne, 

itp.), poddawane próbom na rozciąganie, bada się na stosunkowo długich próbkach 
wal

cowych, natomiast materiały sprężysto-kruche na krótkich próbkach walcowych. 

Na  rys.  5  pokazano  wykresy  ilustrujące  próbę  statycznego  rozciągania  materiału 

sprężysto-plastycznego i sprężysto-kruchego. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Rys. 5  Wykresy próby rozciągania materiałów 

a) 

Materiału sprężysto plastycznego (stali konstrukcyjnej) 

b) 

Materiału sprężystego i kruchego (żeliwa szarego) 

 

Z wykresów wynika, że funkcja f jest nieliniowa i jest efektem zachowania się mate-

riału podczas próby. Poszczególne liniowości i nieliniowości różnych typów rozdziela-

ją umowne punkty, którym odpowiadają wartości charakterystyczne σ lub ε. 
- 

Granica proporcjonalności R

H

 (punkt A)- 

jest to naprężenie, przy którym występuje 

jeszcze  liniowość między odkształceniem a naprężeniem. 
- 

Granica  sprężystości  R

sp

  (punkt  A')  -  odpowiada nap

rężeniom,  przy  których  brak 

jest  liniowości  między  σ  i  ε  ,  ale  po  odciążeniu  próbka  wraca  do  swojego  kształtu 

pierwotnego (brak wyraźnego odkształcenia trwałego); oznacza to, że nagromadzona 

podczas odkształcenia energia sprężysta (praca sił wewnętrznych) przy odciążeniu 

a) 

b) 

α 

α 

Opracowanie Instytut Spawalnictwa - Gliwice.

Wszelkie prawa zastrze

żone. Powielanie lub rozpowszechnianie ca

ło

ści wzgl

ędnie

fragmentu w jakiejkolwiek formie i w jakikolwiek sposób jest zabronione.

KURS MIĘDZYNARODOWEGO

INŻYNIERA / TECHNOLOGA / MISTRZA / INSTRUKTORA SPAWALNIKA

(IWE/IWT/IWS/IWP)

Podstawy wytrzymałości materiałów

Instytut

Spawalnictwa

w Gliwicach

3.2

AW 4

zostaje w całości zwrócona. Zwykle punkty A i A' są położone bardzo blisko siebie i 

często przyjmowane jako wspólne. 
- 

Granica  plastyczności  R

e

  (punkt  B)  - 

jest naprężeniem, przy  którym  uwidaczniają 

się  znaczne  odkształcenia  plastyczne  (wzrost  ε  przy  praktycznie  stałym  σ  =  R

e

  ). 

Samo zjawisko w obszarze B-B'

, zwane płynięciem materiału, wiąże się ze zmianami 

mikrostruktury materiału w postaci mikroskopijnych poślizgów nieznikających po od-

ciążeniu i dających odkształcenia trwałe. Trzeba wyjaśnić, że  gdy  σ < R

sp

  

istnieją 

również poślizgi strukturalne, co zawsze wiąże się z pewnymi, chociaż bardzo mały-

mi odkształceniami trwałymi. Są one jednak rzadkie i dopiero liczba ich gwałtownie, a 
nawet lawinowo wzrasta, gdy  

σ → R

e

 

. Zatem granica sprężystości  R

sp

  jest poj

ę-

ciem umownym i zależy od dokładności pomiarów i z reguły nie występuje w tabli-

cach  własności  mechanicznych  materiałów.  Natomiast  wartości  R

e

 

,  podawane  są 

powszechnie.  Jeśli  jednak  punkt    R

e

 

nie  zaznacza  się  wyraźnie  w  czasie  badań, 

wpr

owadza  się  pojęcie  umownej  granicy  plastyczności    R

0,2

 

przyjmując  taki  punkt 

wykresu, w którym odkształcenia trwałe osiągają wartość 0,2%. Uzasadnieniem ta-

kiej umowy jest to, że przy takim odkształceniu trwałym obraz zmian mikrostruktury 
jest podobny do ob

razu zmian w materiale z wyraźną granicą R

e

 . 

- 

Wzmocnienie materiału (punkt B'). Punkt, w którym tworzenie się poślizgów doznaje 

pewnego  zahamowania.  Od  tego  punktu  w  celu  zwiększenia  ε  trzeba  zwiększyć  σ 

(choć już nie tak szybko jak w pierwszej fazie obciążenia). 
- 

Wytrzymałość doraźna R

m

 (punkt C

). Jest punktem stanu, przy którym naprężenia 

prze

stają być jednorodne. W badanych próbkach pojawia się koncentracja poślizgów 

w jednym miejscu, uwidoczniona w postaci lokalnego przewężenia (szyjki). Punkt ten 

służy do określenia umownej(nie fizycznej) wielkości 

                                                           

A

P

R

m

max

=

                                           (11) 

gdzie - A - 

początkowe pole przekroju). 

 
W przedziale  R

e

 

<σ < R

m

 

występuje  zjawisko podniesienia granicy plastyczności. 

Jeśli proces obciążenia przerwać np. w punkcie E, to proces odciążenia przebiegnie 
po linii prostej EF

,  równoległej  do  OA.  Całkowitemu  odciążeniu  (σ  =  0) odpowiada 

trwałe odkształcenie OF. Powtórne obciążenie spowoduje zmianę odkształceń po linii 
FE, po czym dalszy przebieg 

σ = f (ε ) będzie odbywał się po linii EC. Gdyby obcią-

żenie przerwać w punkcie E, to okaże się, że po zdjęciu obciążenia materiał wraca 
znowu do stanu F

. W przedziale naprężeń  0→σ

e

 

materiał zachowuje się jak materiał 

sprężysty. Zjawisko to zwane procesem wzmocnienia jest szeroko wykorzystywane 
w technice. 
 

2.1 Sprężystość materiału prawo Hooke’a  (naprężenia normalne i styczne) 

Moduł sprężystości podłużnej (moduł Young’a) E określa proporcjonalność 

między σ i ε w obszarze 0→ R

H

 , i definiowany jest jako (rys. 5): 

                                                        

ε

σ

α

=

=

)

(

tg

E

                                        (12) 

Moduł Young’a charakteryzuje własności sprężyste materiału, a ściślej jego sprężysty 

opór jaki stawia oddziaływującej na dane ciało sile.   Zależność ta przedstawia fun-

damentalne prawo teorii sprężystości zwane również jako prawo Hooke’a: 
                                                            

ε

σ

E

=

                                              (13) 

Wydłużane pod wpływem siły wzdłuż jej działania ciało odkształca się zgodnie z pra-

wem Hooke’a (13) o wielkość ε

x

 

to jego odkształcenia prostopadłe do kierunku od-

działywania siły ε

y

,

ε

z

 okre

ślone są parametrem Poissone’a ν i wyniosą:  

Opracowanie Instytut Spawalnictwa - Gliwice.

Wszelkie prawa zastrze

żone. Powielanie lub rozpowszechnianie ca

ło

ści wzgl

ędnie

fragmentu w jakiejkolwiek formie i w jakikolwiek sposób jest zabronione.

KURS MIĘDZYNARODOWEGO

INŻYNIERA / TECHNOLOGA / MISTRZA / INSTRUKTORA SPAWALNIKA

(IWE/IWT/IWS/IWP)

Podstawy wytrzymałości materiałów

3.2

Instytut

Spawalnictwa

w Gliwicach

AW 5

                                                    

E

x

x

z

y

νσ

νε

ε

ε

−

=

−

=

=

                               (14)   

Odkształcenia  postaciowe  w  zakresie  sprężystym  również  wykazują  proporcjonal-

ność do oddziaływujących naprężeń stycznych: 
                                                               

γ

τ

G

=

                                           (15) 

Opór postaci  jaki stawia ciało poddane obciążeniu stycznym określony jest modułem 
Kirchoffa G. W tablicy 1 

zestawiono zależności naprężeń w funkcji odkształceń. 

 

Tablica 1 Zależności naprężeń od odkształceń 

 

 

σ

x 

σ

y 

σ

z 

τ

xy 

τ

yz 

τ

zx 

ε

x 

E

x

σ

 

E

y

σ

ν

−

 

E

z

σ

ν

−

  - 

- 

- 

ε

y 

E

x

σ

ν

−

 

E

y

σ

 

E

z

σ

ν

−

  - 

- 

- 

ε

z 

E

x

σ

ν

−

 

E

y

σ

ν

−

 

E

z

σ

 

- 

- 

- 

γ

xy 

- 

- 

- 

G

xy

τ

 

- 

- 

γ

yz 

- 

- 

- 

- 

G

yz

τ

 

- 

γ

zx 

- 

- 

- 

- 

- 

G

zx

τ

 

 

W  układzie  przestrzennym  w  formie  analitycznej  zwanej  również  uogólnionym  pra-

wem Hooke’a zależności te można przedstawić następująco: 

                                                 

(

)

[

]

z

y

x

x

E

σ

σ

ν

σ

ε

+

−

=

1

                               (16) 

                                                 

(

)

[

]

x

z

y

y

E

σ

σ

ν

σ

ε

+

−

=

1

                              (17) 

                                                  

(

)

[

]

y

x

z

z

E

σ

σ

ν

σ

ε

+

−

=

1

                               (18) 

                                                           

G

xy

xy

τ

γ

=

                                          (19)  

                                                           

G

zx

zx

τ

γ

=

                                          (20) 

                                                          

G

zy

zy

τ

γ

=

                                           (21) 

 
2.2 Zasada de Saint-Venanta 

Siły zewnętrzne mogą być przykładane do ciała nie tylko jako obciążenie cią-

głe, ale też jako obciążenie prawie-skupione. Ponieważ skończona wartość siły sku-

pionej  działa  na  bardzo  małej  powierzchni  w  otoczeniu  punktu  przyłożenia  tej  siły, 

powstają tutaj bardzo duże odkształcenia i naprężenia lokalne. Jednak w dostatecz-
nej odle

głości od punktu przyłożenia tej siły, rozkład naprężeń jest już równomierny w 

Opracowanie Instytut Spawalnictwa - Gliwice.

Wszelkie prawa zastrze

żone. Powielanie lub rozpowszechnianie ca

ło

ści wzgl

ędnie

fragmentu w jakiejkolwiek formie i w jakikolwiek sposób jest zabronione.

KURS MIĘDZYNARODOWEGO

INŻYNIERA / TECHNOLOGA / MISTRZA / INSTRUKTORA SPAWALNIKA

(IWE/IWT/IWS/IWP)

Podstawy wytrzymałości materiałów

Instytut

Spawalnictwa

w Gliwicach

3.2

AW 6

całej objętości rozpatrywanego ciała. Rozpatrywany problem ujmuje zasada de Saint-
Venanta (rys.6). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Rys. 6 Zasada de Saint-Venanta 
 

Równoważne układy sił działające na mały obszar ciała wywołują takie same stany 

naprężenia w całym ciele z wyjątkiem bezpośredniego otoczenia przyłożonych sił. 

Spiętrzenia naprężeń w miejscach styku dociskanych wzajemnie ciał są rozpatrywa-

ne  jako  osobne  zagadnienie  naprężeń  powierzchniowych  (wytrzymałości  kontakto-
wej) w od

różnieniu od naprężeń występujących w całej objętości rozpatrywanych ciał. 

 

2.3 Płaski stan naprężeń 

W ogólnym stanie naprężeń mamy do czynienia z przestrzennym stanem na-

prężeń. Rozważania teoretyczne są jednak wtedy bardzo skomplikowane i analitycz-

nie  nieprzejrzyste.    I  tak  jeśli    układ  geometryczny  przestrzeni  i  sił  umieścimy  na 

płaszczyźnie to otrzymamy płaski układ naprężeń. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Rys. 7 Tarcza jako przykład płaskiego układu naprężeń 

 

Płaską, cienką tarczę obciążono na krawędzi siłami działającymi w jej płaszczyźnie 

x,y (rys.7). W dostatecznej odległości od krawędzi naprężenia zgodnie z zasadą de 
Sa

int Venanta rozkładają się jednostajnie na jej grubości, a przekroje prostopadłe do 

osi z są wolne od naprężeń. Na ściankach wyciętego elementu jednostkowego wy-

stąpią naprężenia (rys. 7). W zależności od położenia  elementu jednostkowego na 
je

go  ściankach  stany  naprężeń będą  się  różnić.  Jeśli  obrócić  element  jednostkowy 

zorientowany w układzie współrzędnych x,y o kąt α wokół osi z tak aby utworzył się 

nowy układ ηξ,  a układ obciążeń zewnętrznych pozostanie bez zmian to na ścian-

kach  obróconego  elementu  jednostkowego  pojawi  się  nowy  układ  naprężeń,  który 

uległ transformacji (rys.8) 

Opracowanie Instytut Spawalnictwa - Gliwice.

Wszelkie prawa zastrze

żone. Powielanie lub rozpowszechnianie ca

ło

ści wzgl

ędnie

fragmentu w jakiejkolwiek formie i w jakikolwiek sposób jest zabronione.

KURS MIĘDZYNARODOWEGO

INŻYNIERA / TECHNOLOGA / MISTRZA / INSTRUKTORA SPAWALNIKA

(IWE/IWT/IWS/IWP)

Podstawy wytrzymałości materiałów

3.2

Instytut

Spawalnictwa

w Gliwicach

AW 7

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Rys.8 Transformacja układu naprężeń występującego 

na brzegach elementu jednostkowego 

 
Za

leżności wektorowe (geometryczne) pomiędzy naprężeniami w obu układach będą 

przedstawiać się w następujący sposób: 
                            

α

α

τ

α

σ

α

σ

σ

ξ

sin

cos

2

sin

cos

2

2

xy

y

x

+

+

=

                (22) 

                                   

α

α

τ

α

σ

α

σ

σ

η

sin

cos

2

cos

sin

2

2

xy

y

x

−

+

=

                  (23)   

                     

α

α

σ

α

τ

α

τ

α

α

σ

τ

ξη

cos

sin

cos

sin

sin

cos

2

2

y

xy

yx

x

+

+

−

−

=

         (24) 

Po przekształceniu funkcji trygonometrycznych otrzymamy: 

                       

(

) (

)

α

τ

α

σ

σ

σ

σ

σ

ξ

2

sin

2

cos

2

1

2

1

xy

y

x

y

x

+

−

+

+

=

                       (25) 

                       

(

) (

)

α

τ

α

σ

σ

σ

σ

σ

η

2

sin

2

cos

2

1

2

1

xy

y

x

y

x

−

−

−

+

=

                       (26) 

                                

(

)

α

τ

α

σ

σ

τ

ξη

2

cos

2

sin

2

1

xy

y

x

+

−

−

=

                              (27)   

Równania (25-

27) opisują pewien dowolny stan naprężeń, który opisany jest składo-

wymi normalnymi (

σ

x

, 

σ

y

) i stycznymi (

τ

xy

). W zależności od kąta orientacji α wartości 

składowych  będą  się  odpowiednio  różnić.  Istnieje  jednak  jedno  położenie  osi  η,ξ, 

przy danej wartości kąta α

0

, przy której wartość τ

ηξ

 

będzie równa 0. Taki  stan na-

zwiemy stanem naprężeń głównych i dla odróżnienia określimy go składowymi σ

1

  i 

σ

2

. Kąt obrotu względem początkowego układu x, y określimy równaniem: 

y 

x 

η 

ξ 

σ

x 

σ

y 

σ

ξ 

σ

η 

α 

τ

yx 

τ

xy 

τ

ηξ 

τ

ξη 

Opracowanie Instytut Spawalnictwa - Gliwice.

Wszelkie prawa zastrze

żone. Powielanie lub rozpowszechnianie ca

ło

ści wzgl

ędnie

fragmentu w jakiejkolwiek formie i w jakikolwiek sposób jest zabronione.

KURS MIĘDZYNARODOWEGO

INŻYNIERA / TECHNOLOGA / MISTRZA / INSTRUKTORA SPAWALNIKA

(IWE/IWT/IWS/IWP)

Podstawy wytrzymałości materiałów

Instytut

Spawalnictwa

w Gliwicach

3.2

AW 8

                                                    

(

)

y

x

xy

tg

σ

σ

τ

α

−

=

2

2

                                        (28)   

Po odpowiednich przekształceniach otrzymamy równania służące do określenia war-

tości naprężeń głównych: 

                                      

(

)

(

)

2

2

1

4

2

1

2

1

xy

y

x

y

x

τ

σ

σ

σ

σ

σ

+

−

+

−

=

                       (29) 

                                     

(

)

(

)

2

2

2

4

2

1

2

1

xy

y

x

y

x

τ

σ

σ

σ

σ

σ

+

−

−

−

=

                        (30) 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Rys. 9 Koło Mohra 

 
Równania (29-

30) można zobrazować na kole Mohra (rys.9). Jeśli na płaszczyźnie 

określonej współrzędnymi τ, σ narysujemy koło o średnicy σ

2

 - 

σ

1

, którego środek le-

ży na osi  σ to otrzymamy możliwość odzwierciedlenia wszystkich stanów naprężeń 
(

σ

x

,

σ

y

,

τ

xy

)  działających  na  element  jednostkowy  (rys.7)  w  zależności  od  kąta  jego 

usytuowania 

α  (rys.  8)  pod  warunkiem  spełnienia  warunku  geometrycznego  jak  na 

rys.9.  

Jeśli dany płaski element jednostkowy zostanie obciążony tak, że na jego ściankach 

pojawią się naprężenia główne σ

1

 i  

σ

2

 

(rys. 10) to jeśli w tym elemencie ustanowimy 

płaszczyznę pochyloną pod kątem α

1

 

to zgodnie z zasadą transformacji  (25 ,26 i 27)  

oprócz naprężeń normalnych do płaszczyzny  σ

α1

 

pojawią się dodatkowe naprężenia 

styczne 

τ

α1

 . Ob

ecność ich niewątpliwe wpłynie na ogólny stan naprężeń.   

 
 
                                             

1

2

2

1

2

1

sin

cos

α

σ

α

σ

σ

α

+

=

                              (31) 

 

                                                      

1

2

1

2

sin

2

α

σ

σ

τ

α

−

=

                                (32) 

 
 
 

Opracowanie Instytut Spawalnictwa - Gliwice.

Wszelkie prawa zastrze

żone. Powielanie lub rozpowszechnianie ca

ło

ści wzgl

ędnie

fragmentu w jakiejkolwiek formie i w jakikolwiek sposób jest zabronione.

KURS MIĘDZYNARODOWEGO

INŻYNIERA / TECHNOLOGA / MISTRZA / INSTRUKTORA SPAWALNIKA

(IWE/IWT/IWS/IWP)

Podstawy wytrzymałości materiałów

3.2

Instytut

Spawalnictwa

w Gliwicach

AW 9

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Rys. 

10 Stan naprężeń zależny od położenia przekroju 

 

3. Zasady ogólne obliczeń konstrukcyjnych 

Projektant przy kształtowaniu konstrukcji musi wypełnić  postulaty, do których 

można zaliczyć: 
- zapewnienie maksymalneg

o bezpieczeństwa, niezawodności i trwałości, 

- 

nadanie konstrukcji najodpowiedniejszej formy pod względem użytkowym, 

- 

przeprowadzenie realizacji projektu przy minimalnym nakładzie kosztów. 

Spełnienie  tych  postulatów  realizowane  jest  w  różny  sposób.  Jednym  z nich jest 

utworzenie  naprężenia dopuszczalnego  k jako granicy, której naprężenia rzeczywi-

ste w elemencie konstrukcyjnym nie mogą przekroczyć. Wartość naprężeń 
dopuszczalnych  k 

ustala się jako pewien ułamek naprężeń uznawanych za niebez-

pieczne, przyjmo

wanych na podstawie różnych hipotez wytrzymałościowych. Z regu-

ły  za stan niebezpieczny przyjmuje się  wytrzymałość doraźną materiału R

m

 

lub też 

nadmierne odkształcenia trwałe, co prowadzi do uznania granicy plastyczności R

e

 za 

stan niebezpieczny. Wobec tego defi

niuje się dwa rodzaje naprężeń dopuszczalnych: 

                                                     

m

m

m

e

e

e

X

R

k

X

R

k

=

=

;

                                    (33) 

gdzie liczby  X

e

 i  X

m

 

są większe od jedności i noszą nazwę współczynników bezpie-

czeństwa odniesionymi odpowiednio do R

e

  lub  R

m

 

. Współczynniki bezpieczeństwa 

zwykle  są  podawane  w  odpowiednich  przepisach  i  normach  państwowych  dla  po-

szczególnych, rodzajów konstrukcji i materiałów konstrukcyjnych. Z wartością k wią-

że się także ekonomiczna opłacalność i koszty. Liczbowa wartość X  zależy od do-

kładności, z jaką znane są obciążenia zewnętrzne, od stopnia jednorodności materia-

łu, charakteru obciążeń (stałe czy zmienne w czasie), warunków użytkowania itp. W 

związku  z  tym  wartości  liczbowe  X  ustalane  są  z  dużą  dozą  niepewności  i  często 

opiera  się  przy  tym  na  intuicji  i  doświadczeniu  inżynierskim.  Metoda  naprężeń  do-

puszczalnych jest oparta na istotnym założeniu, że o bezpieczeństwie całej konstruk-

cji decyduje wartość naprężenia w jednym jej miejscu. Założenie to jest bardzo za-

chowawcze,  gdyż  ścisłe  trzymanie  się  jego  prowadzi  z  reguły  do  niepotrzebnego 
przewymiarowania konstrukcji. 

Nowocześniejszą  metodą  obliczeniowa  jest  metoda  stanów  granicznych,  w  której 
stan gra

niczny konstrukcji należy utożsamić z takim stanem , po osiągnięciu którego 

ustrój nośny lub jego element składowy przestają odpowiadać założonym wymaga-

niom realizacji lub użytkowania. 

Ogólne stany graniczne można podzielić na: 

Opracowanie Instytut Spawalnictwa - Gliwice.

Wszelkie prawa zastrze

żone. Powielanie lub rozpowszechnianie ca

ło

ści wzgl

ędnie

fragmentu w jakiejkolwiek formie i w jakikolwiek sposób jest zabronione.

KURS MIĘDZYNARODOWEGO

INŻYNIERA / TECHNOLOGA / MISTRZA / INSTRUKTORA SPAWALNIKA

(IWE/IWT/IWS/IWP)

Podstawy wytrzymałości materiałów

Instytut

Spawalnictwa

w Gliwicach

3.2

AW 10

- 

stan graniczny nośności (SGN) – odpowiadający maksymalnej nośności konstrukcji 

lub świadczący o całkowitej jej nieprzydatności do eksploatacji. Stan ten może być 
spowodowany: 
-  - 

utratą równowagi występującą w części lub w całości ustroju traktowanego jako 

ciało sztywne 
- - zniszczeniem krytycznych przekrojów konstrukcj

i w wyniku wyczerpania nośności 

ustroju 
- - 

przekształceniem się ustroju w mechanizm, co prowadzi do jego zniszczenia 

- - 

utratą stateczności w wyniku nadmiernych odkształceń 

- - 

zniszczeniem przekrojów z powodu zmęczenia materiału. 

Sprawdzenie stanów gran

icznych nośności polega na wykazaniu, że w każdym mia-

rodajnym przekroju w (w elemencie) konstrukcji, przy każdej kombinacji oddziaływań 

obliczeniowych spełniony jest warunek: 
                                                              S

d

<R

d              

                                   (34)        

gdzie S

d

- 

siła wewnętrzna wywołana  oddziaływaniami 

R

d

 – 

odpowiednia nośność obliczona przy stali założeniu, że wytrzymałość     mate-

riału  w odniesieniu do granicy plastyczności osiągają wartości obliczeniowe 
- 

stan  graniczny  użytkowalności (SGU) –  odpowiadający  kryteriom,  związanym  z 

eksploatacją  i  trwałością  konstrukcji.  SGU  to  stany  mające  negatywny  wpływ  na 
przydat

ność konstrukcji. Są one spowodowane : 

- - 

nadmiernymi odkształceniami, przemieszczeniami ustroju prowadzącym do utraty 

stateczności 

    - - 

wystąpieniem pęknięć  połączonym z wystąpieniem rys o nadmiernej szerokości i 

zbyt dużymi naprężeniami 
- - 

nadmiernymi drganiami od obciążeń eksploatacyjnych. 

Sprawdzenie  stan  granicznego  użytkowalności  polega na  wykazaniu,  że  wartość 

ugięć (przemieszczeń, odkształceń), powodowana działaniem obciążeń w najbardziej 

niekorzystnym przypadku kombinacji jest mniejsza niż wartość dopuszczalna dla da-

nego  typu  konstrukcji,  elementu  podanego  w  normie.  Istotne  jest,  że  w  przypadku 
SGU

, do sprawdzenia wartości ugięć, bierzemy wartości obciążeń charakterystycz-

nych ( wykorzystując wartości  współczynników γ

F

 , w  tym  wypadku  musimy 

przyjmować wartość 1,0) SGU można zapisać za pomocą nierówności:  
E

d

 

≤ C

d

 

gdzie poszczególne sk

ładowe nierówności oznaczają: 

E

d

 - 

jest to efekt oddziaływać na konstrukcję, w postaci ugięć, przemieszczeń, rys czy 

drgań 
C

d

 - 

oznacza wartość dopuszczalną efektu jaka klasyfikuje element, obiekt do stanu 

użytkowania 
 
4. Geometria mas 
 

4.1 Pojęcie momentu bezwładności 
 

Przeprowadzenie redukcji sił wewnętrznych w pręcie w sposób przyjęty w wy-

trzymałości materiałów wymaga znajomości położenia środka ciężkości jego przekro-

ju.  Do  wyznaczania  naprężeń  od  siły  osiowej  potrzebna  jest  znajomość  pola  po-
wierzchni p

rzekroju poprzecznego pręta. Przy występowaniu momentu gnącego lub 

momentu skręcającego  koniecznym jest wprowadzenie nowych parametrów geome-

trycznych, które charakteryzowałyby przekrój tak pod względem wielkości jak i pod 

względem  kształtu.  Parametrem  tym  jest  powierzchniowy  moment  bezwładności  i 

Opracowanie Instytut Spawalnictwa - Gliwice.

Wszelkie prawa zastrze

żone. Powielanie lub rozpowszechnianie ca

ło

ści wzgl

ędnie

fragmentu w jakiejkolwiek formie i w jakikolwiek sposób jest zabronione.

KURS MIĘDZYNARODOWEGO

INŻYNIERA / TECHNOLOGA / MISTRZA / INSTRUKTORA SPAWALNIKA

(IWE/IWT/IWS/IWP)

Podstawy wytrzymałości materiałów

3.2

Instytut

Spawalnictwa

w Gliwicach

AW 11

moment de

wiacji. W przypadku  prostokątnego  układu  współrzędnych  0,x,y  (rys.10) 

momentami bezwładności względem osi będą: 
 
 

                                                           

dA

y

I

A

x

∫

=

2

                                          (35)  

                                                           

∫

=

A

y

dA

x

I

2

                                          (36) 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Rys. 10 Ilustracja położenia układu współrzędnych na płaszczyźnie 

 
 
Momente

m  biegunowym  bezwładności  względem  środka  początku  układu  współ-

rzędnych będzie : 
                                                         

dA

I

A

∫

=

2

0

ρ

                                          (37) 

Podstawiając  współrzędne  prostokątne  wykorzystując  twierdzenie  Pitagorasa otrzy-
mamy: 

                                               

(

)

y

y

A

I

I

dA

y

x

I

+

=

+

=

∫

2

2

0

                               (38) 

Wprowadzają pojęcie promienia bezwładności (i

x

, i

y

 

) wzory na momenty bezwładno-

ści przyjmą postaci: 
                                                             

2

x

x

Ai

I

=

                                           (39)  

                                                             

2

y

y

Ai

I

=

                                           (40) 

Najl

epiej  zilustrować  powyższe  definicja  na  przykładach.  Wyznaczyć  moment  bez-

władności prostokąta (rys.11). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Rys. 11  Wyznaczenie momentu bezwładności prostokąta 

 
 

Opracowanie Instytut Spawalnictwa - Gliwice.

Wszelkie prawa zastrze

żone. Powielanie lub rozpowszechnianie ca

ło

ści wzgl

ędnie

fragmentu w jakiejkolwiek formie i w jakikolwiek sposób jest zabronione.

KURS MIĘDZYNARODOWEGO

INŻYNIERA / TECHNOLOGA / MISTRZA / INSTRUKTORA SPAWALNIKA

(IWE/IWT/IWS/IWP)

Podstawy wytrzymałości materiałów

Instytut

Spawalnictwa

w Gliwicach

3.2

AW 12

dy

b

dA

=

 

3

3

0

2

2

bh

b

y

dy

dA

y

I

A

h

x

=

=

=

∫

∫

 

3

3

h

b

I

y

=

 

(

)

2

2

0

3

b

h

A

I

I

I

y

x

+

=

+

=

 

Dla  koła  o  średnicy  d=2r  w  przyjętym  układzie  współrzędnych  0,  x,  y  wyznaczono 

momenty bezwładności I

0

, I

x

 i I

y

 (rys.12). 

 
 
 
 
 
 
 
 
 

Rys. Wyznaczenie biegunowego momentu bezwładności koła 
 

Biegunowy  moment  bezwładności  wyznaczamy  całkując  po  przyroście  pola  da  w 

granicach od 0 do promienia koła (rys.12).  

32

2

2

2

2

0

2

0

3

2

2

0

d

d

d

I

d

dA

dA

I

d

d

o

A

π

ρ

ρ

π

ρ

πρ

ρ

ρ

πρ

ρ

=

=

=

=

=

∫

∫

∫

 

Osiowe momenty bezwładności I

x

 i I

y

 

wyznaczamy całkując przyrost pola odpowied-

nio wzdłuż osi y i x (rys.13)  
 
 
 
 
 
 
 
 

Rys. 13 Wyznaczenie osiowego momentu bezwładności koła 

 
 
 
 
 
 
 
 
 

dy

y

b

I

dy

b

dA

dA

y

I

r

y

x

y

A

x

2

0

2

2

∫

∫

=

=

=

Opracowanie Instytut Spawalnictwa - Gliwice.

Wszelkie prawa zastrze

żone. Powielanie lub rozpowszechnianie ca

ło

ści wzgl

ędnie

fragmentu w jakiejkolwiek formie i w jakikolwiek sposób jest zabronione.

KURS MIĘDZYNARODOWEGO

INŻYNIERA / TECHNOLOGA / MISTRZA / INSTRUKTORA SPAWALNIKA

(IWE/IWT/IWS/IWP)

Podstawy wytrzymałości materiałów

3.2

Instytut

Spawalnictwa

w Gliwicach

AW 13

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Jeżeli figurę płaską o polu A (rys.14) podzielimy na figury składowe od I … IV o po-
wierzchni A

I

…A

IV

 gdzie : 

                                               

IV

III

II

I

A

A

A

A

A

+

+

+

=

                               (41)                      

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Rys.14 Wyznaczanie osiowego momentu bezwładności figury złożonej 

 
 

to  moment  bezwładności  złożonej  figury  płaskiej  będzie  równy  sumie  momentów 

bezwładności figur składowych. 
                                                 

xIV

xIII

xII

xI

x

I

I

I

I

I

+

+

+

=

                              (42) 

 
4.2 Twierdzenie Steinera 
 

Analityczne wyliczanie momentów bezwładności jest bardzo pracochłonne i 

nieraz skomplikowane. Wyma

ga dużej wiedzy z matematyki , a szczególnie  analizy 

matematycznej. Dla uproszczenia, 

w tablicach podaje się formuły dla wyliczania mo-

mentów bezwładności  względem  osi przechodzących przez środki ciężkości. W ta-

blicy 2 zestawiono formuły na obliczanie momentów bezwładności dla różnych figur 

geometrycznych. Często jednak istnieje konieczność obliczania momentów bezwład-

ności i wskaźników wytrzymałościowych przekrojów względem osi przesuniętych.  Na 

rys.15 przedstawiono figurę płaską w układzie współrzędnych prostokątnych 0, x, y 

oraz przesunięty układ Ω, ξ, η. Przesunięcie wynosi odpowiednio  a i b. Znając mo-

menty bezwładności I

x

 i I

y

 

wyznaczymy momenty dla nowego układu współrzędnych. 

 
 
 
 

2

cos

2

2

sin

2

sin

2

α

α

α

α

r

y

d

r

dy

r

b

y

=

−

=

=

2

2

sin

2

cos

2

sin

2

2

2

2

0

2

α

α

α

α

π

d

r

r

r

I

x

∫

−

=

2

2

sin

2

cos

2

sin

2

2

2

2

0

2

α

α

α

α

π

d

r

r

r

I

x

∫

−

=

Opracowanie Instytut Spawalnictwa - Gliwice.

Wszelkie prawa zastrze

żone. Powielanie lub rozpowszechnianie ca

ło

ści wzgl

ędnie

fragmentu w jakiejkolwiek formie i w jakikolwiek sposób jest zabronione.

KURS MIĘDZYNARODOWEGO

INŻYNIERA / TECHNOLOGA / MISTRZA / INSTRUKTORA SPAWALNIKA

(IWE/IWT/IWS/IWP)

Podstawy wytrzymałości materiałów

Instytut

Spawalnictwa

w Gliwicach

3.2

AW 14

 
 
 
 
 

 
 
 
 
 

Rys. 15    Układy współrzędne dla wyznaczenia 

momentu bezwładności po przesunięciu 

 
                   
                   
 

Tablica 2 Zestawienie 

podstawowych formuł geometrii przekrojów 

 

Lp
. 

Przekrój 

Moment  
bez

władności  

Wskaźnik na  
zginanie 

Wskaźnik na  
zginanie pla-
styczne 

1 

 

12

3

bh

I

=

 

6

2

bh

W

=

 

4

'

2

bh

W

=

 

2 

 

12

4

a

I

=

 

3

12

2

a

W

=

 

3

6

2

'

a

W

=

 

3 

 

36

3

bh

I

=

 

12

24

2

2

bh

W

bh

W

II

I

=

=

 

2

6

2

2

'

bh

W

−

=

 

4 

  

 

64

4

d

I

π

=

 

32

3

d

W

π

=

 

6

'

3

d

W

=

 

5 

  

 

(

)

4

4

64

d

D

I

−

=

π

 













−

=

D

d

D

W

4

4

32

π

 

(

)

3

3

6

1

'

d

D

W

−

=

 

Opracowanie Instytut Spawalnictwa - Gliwice.

Wszelkie prawa zastrze

żone. Powielanie lub rozpowszechnianie ca

ło

ści wzgl

ędnie

fragmentu w jakiejkolwiek formie i w jakikolwiek sposób jest zabronione.

KURS MIĘDZYNARODOWEGO

INŻYNIERA / TECHNOLOGA / MISTRZA / INSTRUKTORA SPAWALNIKA

(IWE/IWT/IWS/IWP)

Podstawy wytrzymałości materiałów

3.2

Instytut

Spawalnictwa

w Gliwicach

AW 15

6 

 

 

12

3

3

bh

BH

I

+

=

 

H

bh

BH

W

6

3

3

+

=

 

4

'

2

2

bh

BH

W

+

=

 

7 

 

 

12

3

3

bh

BH

I

−

=

 

H

bh

BH

W

6

3

3

−

=

 

4

'

2

2

bh

BH

W

−

=

 

 

                                                             

dA

I

A

∫

=

2

ξ

ξ

                                       (43) 

                                                             

dA

I

A

∫

=

2

η

η

                                       (44) 

Podstawiając: ξ= x-a, η= y-b otrzymamy odpowiednio: 
                                   

(

)

∫

∫

∫

∫

+

+

=

−

=

A

A

A

A

dA

b

ybdA

b

dA

y

dA

b

y

I

2

2

2

2

2

ξ

 

                                                    

∫

+

−

=

A

x

Ab

ydA

b

I

I

2

2

ξ

                              (45) 

                                          i        

∫

+

−

=

A

y

Aa

xdA

a

I

I

2

2

η

                               (46) 

Kiedy  początek  pierwotnego  układu  współrzędnych  x,  y  pokrywa  się  ze  środkiem 

ciężkości rozpatrywanej figury płaskiej wówczas momenty statyczne są równe 0: 
                                                  

∫

∫

=

=

A

A

xdA

i

ydA

0

0

                               (47) 

a formuły (45) i (46) możemy przedstawić w prostszej postaci:   
                                                          

2

Ab

I

I

y

+

=

ξ

                                      (48) 

                                                           

2

Aa

I

I

x

+

=

η

                                      (49) 

Momenty  bezwładności  wzgl.  osi  przesuniętych  opisuje  twierdzenie  Steinera,  Które 

brzmi: „Moment bezwładności figury płaskiej względem osi odległej od środka cięż-

kości  o  a  jest  równy  momentowi  bezwładności  względem  osi  równoległej  przecho-

Opracowanie Instytut Spawalnictwa - Gliwice.

Wszelkie prawa zastrze

żone. Powielanie lub rozpowszechnianie ca

ło

ści wzgl

ędnie

fragmentu w jakiejkolwiek formie i w jakikolwiek sposób jest zabronione.

KURS MIĘDZYNARODOWEGO

INŻYNIERA / TECHNOLOGA / MISTRZA / INSTRUKTORA SPAWALNIKA

(IWE/IWT/IWS/IWP)

Podstawy wytrzymałości materiałów

Instytut

Spawalnictwa

w Gliwicach

3.2

AW 16

dzącej przez ten środek ciężkości, powiększonemu o iloczyn całej powierzchni figury 

przez kwadrat odległość a (A x a

2

). 

 

Przykład 1: 

Wyznaczyć moment bezwładności trójkąta względem podstawy i względem osi prze-
c

hodzącej przez środek ciężkość i równoległej do podstawy (rys.16). 

Moment bezwładności I

x

 

względem podstawy wyznaczymy z formuły (35). Aby wyko-

nać procedurę całkowania musimy określić miarę przyrostu powierzchni dA. Przyro-

stem  powierzchni da będzie pasek równoległy do podstawy o boku b

y 

i wysokości 

dy. Ze względu, że dy jest mała i dąży do 0 możemy z wystarczającą dokładnością 

założyć, że powierzchnia Da jest prostokątem o bokach b

y

 i dy. Podstawa b

y

 

będzie 

zmieniać się zależnie od zbieżności wierzchołków rozpatrywanego  trójkąta. Z podo-

bieństwa trójkątów otrzymamy:   
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Rys. 16 Widok trójkąta 

 

h

y

h

b

b

h

y

h

b

b

y

y

−

=

⇒

−

=

 

dy

h

y

h

b

dy

b

dA

y

−

=

=

 

Podstawiając do (35) otrzymamy: 

  

12

4

3

3

0

4

0

3

0

3

0

2

2

0

bh

I

y

h

b

y

b

dy

y

h

b

dy

y

b

y

dy

h

y

h

b

I

x

h

h

h

h

h

x

=

−

=

−

=

−

=

∫

∫

∫

 

Aby  otrzymać  moment  bezwładności  względem  osi  x

c

 

przechodzącej  przez  środek 

ciężkości należy zastosować twierdzenie Steinera. Znana wartość I

x

 jest momentem 

bezwładności figury przesuniętej wzgl. środka ciężkości a zadaniem jest wyznacze-

nie momentu bezwładności wzg. środka ciężkości. Musimy zatem przekształcić for-

mułę Steinera  

2

Aa

I

I

c

x

x

+

=

 

do postaci 

2

Aa

I

I

x

x

c

−

=

 

 
 

x 

x

c 

 

Opracowanie Instytut Spawalnictwa - Gliwice.

Wszelkie prawa zastrze

żone. Powielanie lub rozpowszechnianie ca

ło

ści wzgl

ędnie

fragmentu w jakiejkolwiek formie i w jakikolwiek sposób jest zabronione.

KURS MIĘDZYNARODOWEGO

INŻYNIERA / TECHNOLOGA / MISTRZA / INSTRUKTORA SPAWALNIKA

(IWE/IWT/IWS/IWP)

Podstawy wytrzymałości materiałów

3.2

Instytut

Spawalnictwa

w Gliwicach

AW 17

Po podstawieniu otrzymamy: 

36

3

2

12

3

2

3

bh

h

bh

bh

I

c

x

=













−

=

 

 

Przykład 2:  

Wyznaczyć osiowy moment bezwładności dla ćwiartki koła jak na rysunku. 
 

W danym przypadku całkowania, obliczenia pola powierzchni najwygodniej będzie 

wykonać wykorzystując biegunowy układ współrzędnych. Element podstawowy dA  
Wyniesie odpowiednio:  

ρ

ϕ

ρ

d

d

dA

=

 

ϕ

ρ

sin

=

y

 

Pole powierzchni ćwiartki koła : 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 

Rys. 17 Wido

k ćwiartki koła z wymiarami 

 

Odległości krawędzi od środka ciężkości ćwiartki koła: 

π

3

4r

x

y

c

c

=

=

 

Zatem moment bezwładności wzgl. osi x wyniesie: 

4

2

0

2

0

2

0

4

2

0

2

0

2

2

16

1

2

sin

4

1

2

4

1

sin

4

1

sin

r

r

d

d

d

dA

y

I

r

r

r

A

x

π

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ρ

ρ

ϕ

ρ

ϕ

ρ

π

π

π

=

−

=

=

=

=

∫

∫∫

∫

 

4

16

1

r

I

y

π

=

 

Dla  wyliczenia  momentu  bezwładności  względem  osi  przechodzącej  przez  środek 

ciężkości ćwiartki koła  należy wykorzystać twierdzenie Steinera.  

4

2

2

3

2

2

2

4

2

05488

,

0

144

16

9

3

4

2

16

1

r

r

r

r

r

r

y

A

I

I

c

x

x

c

=













−

=













−

=

−

=

π

π

π

π

π

 

4

05488

,

0

r

I

c

y

=

 

 

 

=y

c 

=x

c 

Opracowanie Instytut Spawalnictwa - Gliwice.

Wszelkie prawa zastrze

żone. Powielanie lub rozpowszechnianie ca

ło

ści wzgl

ędnie

fragmentu w jakiejkolwiek formie i w jakikolwiek sposób jest zabronione.

KURS MIĘDZYNARODOWEGO

INŻYNIERA / TECHNOLOGA / MISTRZA / INSTRUKTORA SPAWALNIKA

(IWE/IWT/IWS/IWP)

Podstawy wytrzymałości materiałów

Instytut

Spawalnictwa

w Gliwicach

3.2

AW 18

Przykład 3: 

Obliczyć moment bezwładności przekroju względem osi przechodzącej przez jego 

środek ciężkości (rys.18).  
 
 
 
 
 
 
 
 

 
 

Rys.18 Widok przekroju teowego 

 

Rozpatrywana  figura  rozmieszczona  została  w  układzie  współrzędnych  prostokąt-

nych x, y.  Pierwszym etapem jest obliczenie współrzędnej środka ciężkości x

c

 i y

c

. 

71

,

2

2

*

6

2

*

8

5

*

2

*

6

1

*

2

*

8

=

+

+

=

c

y

 

Współrzędnej ze względu na symetrię wzgl. osi y nie wylicza się współrzędnej środka 

ciężkości. Moment bezwładności względem osi x wyniesie: 

zII

zI

z

I

I

I

c

+

=

 

4

2

3

52

71

,

1

*

2

*

8

12

2

*

8

cm

I

zI

≅

+

=

 

4

2

3

99

29

,

2

*

6

*

2

12

6

*

2

cm

I

zII

≅

+

=

 

4

151cm

I

c

z

=

 

 

Przykład 4: 

Obliczyć moment bezwładności przekroju jak na rys. 19 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 
 
 

Rys.19 Przekrój z otworami 

x

c 

 
 
 

x 

y 

Opracowanie Instytut Spawalnictwa - Gliwice.

Wszelkie prawa zastrze

żone. Powielanie lub rozpowszechnianie ca

ło

ści wzgl

ędnie

fragmentu w jakiejkolwiek formie i w jakikolwiek sposób jest zabronione.

KURS MIĘDZYNARODOWEGO

INŻYNIERA / TECHNOLOGA / MISTRZA / INSTRUKTORA SPAWALNIKA

(IWE/IWT/IWS/IWP)

Podstawy wytrzymałości materiałów

3.2

Instytut

Spawalnictwa

w Gliwicach

AW 19

 

W  pierwszej  kolejności  trzeba  obliczyć  współrzędne  środka  ciężkości  przekroju.  W 

Tyma celu należy przekrój podzielić na figury podstawowe (prostokąty, trójkąty i ko-

ła)(rys.19).Obliczenia będą wykonane w cm. 

1

;

6

*

2

1

1

=

=

y

A

 

1

;

5

,

0

*

2

2

2

=

=

y

A

π

 

1

2

;

3

*

1

*

2

1

3

3

+

=

=

y

A

 

7

;

10

*

2

4

4

=

=

y

A

 

cm

A

A

A

A

y

A

y

A

y

A

y

A

y

c

86

,

4

2

3

2

3

4

3

2

1

4

4

3

3

2

2

1

1

=

+

+

−

+

+

−

=

 

Momenty bezwładności figur składowych względem osi poziomych przechodzących 

przez ich środki ciężkości wynoszą: 

4

3

1

4

12

2

*

6

cm

I

cx

=

=

 

4

4

2

049

,

0

4

5

,

0

*

cm

I

cx

=

=

π

 

 

4

3

3

25

,

0

36

3

*

1

cm

I

cx

=

=

 

4

3

4

7

,

166

12

10

*

2

cm

I

cx

=

=

 

Moment bezwładności figury złożonej względem jej środka ciężkości wyniesie  
 

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

2

4

4

4

2

3

3

2

2

2

2

2

1

1

1

2

2

2

3

3

−

−

+

+

−

+

+

−

−

−

−

+

=

c

cx

c

cx

c

cx

c

cx

x

y

y

A

I

y

y

I

y

y

A

I

y

y

A

I

I

 

 

2

2

2

2

14

,

2

*

20

7

,

166

86

,

1

*

5

,

1

*

2

25

,

0

*

2

86

,

3

*

785

,

0

*

3

049

,

0

*

3

86

,

3

*

12

4

+

+

+

+

−

−

+

=

x

I

 

 

4

2

,

416

cm

I

x

=

 

 
 

5. Rozciąganie osiowe 

Prostoliniowy pręt pryzmatyczny jest  obciążony na końcach siłą równomiernie 

rozłożoną  na  powierzchni  przekroju.  Kierunek  obciążenia  pokrywa  się  z  osią  pręta 

(czyli osią x układu współrzędnych związanych z prętem). Obciążenie będzie rozcią-

gające czyli wszystkie siły będą działały od przekroju. Nie rozpatruje się tutaj przy-

padku pręta ściskanego ponieważ w tym przypadku zastosowanie ma inna teoria 

(trzeba uwzględnić zjawisko wyboczenia nazywane także utratę stateczności, gdzie 

zniszczenie pręta następuje przy siłach dużo mniejszych niż w przypadku pręta roz-

ciąganego). Pręt został przedstawiony na rys.1. 
 
 
 
 
 
 

Opracowanie Instytut Spawalnictwa - Gliwice.

Wszelkie prawa zastrze

żone. Powielanie lub rozpowszechnianie ca

ło

ści wzgl

ędnie

fragmentu w jakiejkolwiek formie i w jakikolwiek sposób jest zabronione.

KURS MIĘDZYNARODOWEGO

INŻYNIERA / TECHNOLOGA / MISTRZA / INSTRUKTORA SPAWALNIKA

(IWE/IWT/IWS/IWP)

Podstawy wytrzymałości materiałów

Instytut

Spawalnictwa

w Gliwicach

3.2

AW 20

 
 

 

 

 
 

Rys.20 Stan obciążenia i naprężenia w pręcie rozciąganym 

 

Obciążenie może zostać przyłożone do pręta także za pomocą siły skupionej P. Bę-

dzie ona odpowiadała obciążeniu powierzchniowemu rozłożonemu na bardzo małej 
powierzchni.  
                                                         

qA

P

=

                                              (50) 

W odległości większej od wymiarów przekroju pręta można przyjąć, że skutki działa-

nia obu typów obciążenia są takie same. Stanowi to treść zasady de Saint-Venanta. 

Jeżeli pręt pryzmatyczny zostanie myślowo przecięty w dowolnym miejscu to aby od-

cięta część pręta była w równowadze, czyli aby wypadkowa siła działająca na odciętą 

część  pręta  wynosiła  zero  w  przekroju  muszą  się  pojawić  naprężenia  normalne. 

Oznacza się je σ. Jednostką naprężenia jest w układzie SI Pascal [Pa]. Najczęściej 

korzysta się z wielokrotności MPa [N/mm

2

] Obok założenia jednorodności oraz wła-

ściwości izotropowych materiału, z którego wykonano pręt zakłada się, że podczas 

działania  siły  normalnej  przekrój  pręta  pozostaje  płaski  czyli  nie  ulega  spaczeniu. 

Jest  to  tak  zwana  hipoteza  płaskich  przekrojów.  Konsekwencją  tej  hipotezy  będzie 

fakt,  że  rozkład  naprężeń  normalnych  na  całej  powierzchni  przekroju  będzie  stały 

(rys.20). Jeżeli naprężenia normalne są stałe na całym przekroju pręta to możemy je 

wyciągnąć  przed  znak  całki.  Ostatecznie  wzór  na  obliczenie  naprężeń  będzie  miał 

postać 

                                                   

A

N

dA

N

A

=

⇒

=

∫

σ

σ

                                  (51)       

 
 
 
 
 

Rys.21 Schemat pręta rozciąganego 

 

Na rys. 21 pokazano pręt rozciągany siłą P. Dla ułatwienia przyjęto, że lewy koniec 

pręta będzie nieruchomy. W dowolnym punkcie pręta panuje siła normalna N równa 

sile P. W zakresie sprężystym materiału  wydłużenie pręta dl jest wprost proporcjo-

nalne  do  siły  normalnej  N  (rys.20).  Współczynnikiem  proporcjonalności  jest  moduł 
Younga E. Jest to 

jedna  ze  stałych  materiałowych.  Jednostką modułu  Younga  jest 

MPa. 

                                                         

0

L

L

E

A

N

∆

=

                                           (52) 

 
 

P 

P 

q 

q 

σ 

A 

N 

N 

x 

y 

z 

y 

Opracowanie Instytut Spawalnictwa - Gliwice.

Wszelkie prawa zastrze

żone. Powielanie lub rozpowszechnianie ca

ło

ści wzgl

ędnie

fragmentu w jakiejkolwiek formie i w jakikolwiek sposób jest zabronione.

KURS MIĘDZYNARODOWEGO

INŻYNIERA / TECHNOLOGA / MISTRZA / INSTRUKTORA SPAWALNIKA

(IWE/IWT/IWS/IWP)

Podstawy wytrzymałości materiałów

3.2

Instytut

Spawalnictwa

w Gliwicach

AW 21

Z kolei wydłużenie dowolnego odcinka a-b pręta wyznaczymy z formuły: 

                                                     

( )

( ) ( )

dx

x

A

x

E

x

N

l

b

a

ab

∫

=

∆

                                  (53) 

Gdzie  w  najogólniejszym  przypadku  siła  rozciągająca,  moduł  Younga  i  pole  po-

wierzchni może być funkcją x. 

Wyrażenie 

                                                            

0

0

L

L

∆

=

ε

                                           (54) 

nazywa się odkształceniem liniowym. Jak widać ze wzoru (54) odkształcenie jest 

wielkością bezwymiarową.  Ostatecznie: 
                                                            

ε

σ

E

=

                                            (55)  

Równanie (55) jest matematycznym przedstawieniem wspomnianego już prawa Ho-

oke’a, które brzmi: „W zakresie sprężystości ciała stałego naprężenie jest wprost 

proporcjonalne do odkształcenia, a współczynnikiem proporcjonalności jest moduł 

sprężystości podłużnej zwany również modułem Younga”.  Moduł Younga jest stałą 

materiałową. W tablicy 3 zestawiono wartości modułu Younga dla kilku materiałów 
konstru

kcyjnych. Podobnie obowiązuje prawo w odniesieniu do odkształceń posta-

ciowych wiążąc je z naprężeniami stycznymi: 
                                                           

G

γ

τ

=

                                             (56) 

Tablica 3 

Stałe sprężystości dla materiałów konstrukcyjnych 

 

Materiał 

Moduł spręży-

stości podłużnej 
E [MPa] 

Moduł odkształ-
cenia postacio-
wego 
G [MPa] 

Stal 

2,10  10

5 

0,80 10

5

 

Żeliwo 

1,90  10

5

 

0,38 10

5

 

Miedź 

1,00  10

5

 

0,63 10

5

 

Al. i stopy 

0,69  10

5

 

0,26 10

5

 

Tytan i sto-
py 

1,20  10

5

 

0,41 10

5

 

 

Analizując zjawiska jakie wystąpią podczas rozciągania pręta na rys. 21 należy prze-

de wszystkim odnieść się do prawa  Hooke’a. Po przekształceniu wzoru  (52) otrzy-

mamy zależność na całkowite wydłużenie: 

                                                      

EA

NL

L

L

x

0

0

=

=

∆

ε

                                     (57) 

Przemieszczenie u w kierunku osi x 

w dowolnym punkcie pręta będzie więc wynosiło: 

                                                            

( )

x

EA

N

x

u

=

                                           (58) 

Wydłużenie wzdłuż osi x spowoduje zmniejszenie się przekrojów poprzecznych pręta 

tak wzdłuż osi y jak i niewidocznej na rys. 21 osi z. Zależności opisujące to zmiany 
przedstawiono przy pomocy wzorów (59) i (60). 

                                                        

( )

y

EA

N

y

v

ν

−

=

                                      (59) 

                                                        

( )

z

EA

N

z

w

ν

−

=

                                      (60) 

Opracowanie Instytut Spawalnictwa - Gliwice.

Wszelkie prawa zastrze

żone. Powielanie lub rozpowszechnianie ca

ło

ści wzgl

ędnie

fragmentu w jakiejkolwiek formie i w jakikolwiek sposób jest zabronione.

KURS MIĘDZYNARODOWEGO

INŻYNIERA / TECHNOLOGA / MISTRZA / INSTRUKTORA SPAWALNIKA

(IWE/IWT/IWS/IWP)

Podstawy wytrzymałości materiałów

Instytut

Spawalnictwa

w Gliwicach

3.2

AW 22

Powyższe zależności są ważne tylko dla prętów pryzmatycznych, a więc takich, któ-

rych wymiary poprzeczne nie zmieniają się. W przypadku prętów o zmiennym prze-

kroju nie są spełnione warunki brzegowe dla naprężeń, a odkształcenie w kierunkach 

osi y i z opisane są innymi prawami. 

Siła  zewnętrzna  wywołująca  wewnętrzne  reakcje  N  oraz  przemieszczenia  wywoła 

pewną pracę mechaniczną poprzez uwolnienie energii mechanicznej zmagazynowa-

nej w ciele sprężystym. Porcja energii zamieniona na pracę odkształcenia może być 
opisana równaniem: 

                                                        

∫













=

V

dV

U

σε

2

1

                                     (61) 

Jak widać energia sprężysta zmagazynowana w ciele związana jest z jego objętością 

co jest oczywiste ponieważ podczas obciążania pręt odkształca się wzdłuż wszyst-
kich osi. 
 

Przykład 5: 

Wyznaczyć  całkowite  wydłużenie  pręta  o  zmiennym  przekroju  obciążonego  siłą 

wzdłużną N. Reszta danych wg szkicu (rys. 22). W ogólnym przypadku przyjmiemy, 

że  długości  poszczególnych  odcinków  składowych,  pola  powierzchni  oraz  moduły 

Younga są różne jak oznaczono to na rys. 22. 
 
Sumary

czne wydłużenie wyniesie zatem: 

 
 
 
 
 

Rys.22 Widok pręta o zmiennym przekroju 

 

n

n

n

n

A

E

Nl

A

E

Nl

A

E

Nl

l

l

l

l

+

+

+

=

∆

+

+

∆

+

∆

=

∆





2

2

2

1

1

1

2

1

 

Przykład 6: 

Pręt stalowy BD o stałym przekroju A i długości l obciążony jest ciężarem własnym 
(rys. 23). Napr

ężenia obliczeniowe wynoszą σ

o

= 160 MPa, R

m

 

= 370 MPa, gęstość 

γ=7,85 g/cm

3

. Obliczyć: ∆l, σ, l

d

, przy których naj

większe naprężenia normalne będą 

równe naprężeniom obliczeniowym σ

o

 

oraz  długość l

Rm

, przy której największe na-

prężenia będą równe wytrzymałości doraźnej R

m

. 

  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Rys.23  

Obciążenie pręta ciężarem własnym 

Opracowanie Instytut Spawalnictwa - Gliwice.

Wszelkie prawa zastrze

żone. Powielanie lub rozpowszechnianie ca

ło

ści wzgl

ędnie

fragmentu w jakiejkolwiek formie i w jakikolwiek sposób jest zabronione.

KURS MIĘDZYNARODOWEGO

INŻYNIERA / TECHNOLOGA / MISTRZA / INSTRUKTORA SPAWALNIKA

(IWE/IWT/IWS/IWP)

Podstawy wytrzymałości materiałów

3.2

Instytut

Spawalnictwa

w Gliwicach

AW 23

 

Siła N

α

   

się liniowo wzdłuż długości pręta (rys. 23b). W związku z tym wydłużenie ∆l 

obliczymy wykorzystując formułę (53), gdzie funkcją długości x będzie ciężar własny 

pręta. Na element pręta  o długości dx i przekroju A działa siła osiowa równa cięża-

rowi części BC pręta, czyli N

α

= Ax

γ

g, gdzie g jest wartością przyśpieszenia ziemskie-

go. Wydłużenie pręta o długości początkowej x pod działaniem siły N wyniesie d(∆l). 

( )

xdx

E

g

EA

gdx

Ax

EA

dx

N

l

d

γ

γ

α

=

=

=

∆

 

Po scałkowaniu wydłużenie całkowite wyniesie zatem: 

EA

Gl

EA

glAl

x

E

g

xdx

E

g

l

l

l

2

2

2

0

2

0

=

=

=

=

∆

∫

γ

γ

γ

 

Dla wyliczenia naprężeń rozciągających wykorzystamy: 

gx

A

gx

A

A

N

γ

γ

σ

α

=

=

=

 

Z przekształceń wynika, że naprężenia nie zależą od pola przekroju pręta! 

Długości krytyczne pręta pod działaniem naprężeń o wartości naprężeń obliczenio-
wych  

σ

o 

i o wartości wytrzymałości doraźnej R

m

. 

m

g

l

gl

o

d

o

d

d

l

2077

max

=

=

⇒

=

=

γ

σ

σ

γ

σ

 

m

g

R

l

R

gl

m

R

m

R

m

m

m

R

l

5190

max

=

=

⇒

=

=

γ

γ

σ

 

Przykład 7: 

Obliczyć  całkowite  wydłużenie elementu przedstawionego na rys. 24. Element jest 

obciążony  siłą  osiową  250  kN  i  jednocześnie  jego  temperatura  wzrosła  o  40

0

C. 

Współczynnik rozszerzalności cieplnej dla stali wynosi α

t

= 11*10

-6

 1/

0

K. Moduł sprę-

żystości podłużnej E=2,1 10

5

 MPa. 

 
 
 
 
 
 
 
 

Rys. 24  

Element o zmiennym przekroju i narażony na oddziaływanie temperatury 

 

Całkowite wydłużenie tak pod działaniem siły rozciągającej jak i temperatury wynie-
sie: 
 

t

P

l

l

l

∆

+

∆

=

∆

 

*

10

*

1

,

2

900

*

10

*

250

5

3

3

2

1

=

+

+

=

∆

+

∆

+

∆

=

∆

EA

PL

EA

Pl

EA

Pl

l

l

l

l

CD

BC

AB

CD

BC

AB

P

 

mm

l

P

965

,

1

100

*

20

*

10

*

1

,

2

900

*

10

*

250

20

*

40

*

2

*

10

*

1

,

2

1200

*

10

*

250

100

*

20

*

10

*

1

,

2

900

*

10

*

250

5

3

5

3

5

3

=

+

+

=

∆

 

mm

t

l

l

t

t

32

,

1

40

*

3000

*

10

*

11

6

=

=

∆

=

∆

−

α

 

mm

l

97

,

2

=

∆

 

Opracowanie Instytut Spawalnictwa - Gliwice.

Wszelkie prawa zastrze

żone. Powielanie lub rozpowszechnianie ca

ło

ści wzgl

ędnie

fragmentu w jakiejkolwiek formie i w jakikolwiek sposób jest zabronione.

KURS MIĘDZYNARODOWEGO

INŻYNIERA / TECHNOLOGA / MISTRZA / INSTRUKTORA SPAWALNIKA

(IWE/IWT/IWS/IWP)

Podstawy wytrzymałości materiałów

Instytut

Spawalnictwa

w Gliwicach

3.2

AW 24

Przykład 8: 

Wyznaczyć    względną  zmianę  objętości  pręta  poddanego  sile  rozciągającej  jak  na 

rys.25. Objętość pręta przed obciążeniem wynosiła V

0

=a*b*l. 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Rys.25 

Wpływ rozciągania na wymiary poprzeczne elementu 

 
Po 

obciążeniu siłą osiową z obu jego końców pręt uległ odkształceniu , a poszcze-

gólne wymiary wynio

sły: 

(

)

ε

ε

+

=

+

=

1

1

l

l

l

l

 

(

)

νε

νε

−

=

−

=

1

1

a

a

a

a

 

(

)

νε

νε

−

=

−

=

1

1

b

b

b

b

 

Objętość pręta odkształconego wyniesie zatem: 

(

)

2

2

2

2

2

1

1

1

1

2

2

1

ε

ν

νε

ε

ε

ν

νε

+

−

+

+

−

=

=

abl

l

b

a

V

 

Po odrzuceni

u małych wyższego rzędu otrzymamy: 

(

)

νε

ε

2

1

1

−

+

= abl

V

 

Przyrost objętości wyniesie: 

(

)

(

)

(

)

ν

ε

ν

ε

νε

ε

2

1

2

1

2

1

0

0

1

−

=

−

=

−

−

+

=

−

=

∆

V

abl

abl

abl

V

V

V

 

Względny przyrost objętości wyniesie: 

(

) (

)

ν

ε

ν

ε

2

1

2

1

0

0

0

0

1

−

=

−

=

−

V

V

V

V

V

 

Wartość ν ≤ 0,5 (dla stali ν=0,28), zatem objętość powiększa się ponieważ 1-2ν > 0. 
 

6. Skręcanie 

Jeżeli  prosty  pręt  o  przekroju  kołowym  obciążymy    w  płaszczyźnie  prostopadłej do 

jego osi parą sił to ulegnie one skręceniu. Para ta w poprzecznym, płaskim przekroju 
wywo

ła moment skręcający M

s

 

jako reakcję na nią (rys. 26). 

 
 
 
 
 
 
 
 
 

Rys. 26 

Skręcanie pręta 

 

Opracowanie Instytut Spawalnictwa - Gliwice.

Wszelkie prawa zastrze

żone. Powielanie lub rozpowszechnianie ca

ło

ści wzgl

ędnie

fragmentu w jakiejkolwiek formie i w jakikolwiek sposób jest zabronione.

KURS MIĘDZYNARODOWEGO

INŻYNIERA / TECHNOLOGA / MISTRZA / INSTRUKTORA SPAWALNIKA

(IWE/IWT/IWS/IWP)

Podstawy wytrzymałości materiałów

3.2

Instytut

Spawalnictwa

w Gliwicach

AW 25

W  rozpatrywanym  pręcie  mogą  oddziaływać  w  różnych  przekrojach  różne  pary  sił 

wywołując  odpowiednio  momenty  skręcające.  Momenty  skręcające  stanowią  siły 

wewnętrzne, które działając na pręt będą tworzyć układ równowagi.  Moment skręca-

jący w przekroju α-α (rys.27) jest równy algebraicznej sumie momentów działających 

na pręt  po jednej stronie tego przekroju. 
 

                                                   

∑

∑

=

=

α

α

A

B

s

M

M

M

                                     (62) 

 

Przykładowo – umownie - dla określenia zwrotu (znaku) momentu patrzymy od pra-

wego końca w kierunku na lewo (rys. 27). Moment skręcający wyznaczony jako suma 

momentów działających na lewo od przekroju, a więc wyrażający oddziaływanie le- 

wej  części  pręta  na  prawą,  uważamy  za  dodatni,  jeśli  działa  zgodnie  z  kierunkiem 
wskazówek ze

gara. I na odwrót. Oczywiście możemy umówić się na odwrót z tym, że 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Rys. 27  Definicja momentu skręcającego 

 

odpowiednia umowa dotycząca tworzenie znaków sił wewnętrznych musi być stoso-

wana bez zmian podczas rozwiązywania całego zagadnienia.  
 

Przykład 9: 

Dla nieważkiego pręta jednostronnie utwierdzonego całkowicie zamocowanego (rys. 

28)  i  obciążonego  momentami  działającymi  w  płaszczyznach  prostopadłych  do  osi 

pręta wyznaczyć reakcje podpory oraz sporządzić wykres momentów skręcających. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Rys. 28  

Tworzenie wykresu momentów skręcających 

Opracowanie Instytut Spawalnictwa - Gliwice.

Wszelkie prawa zastrze

żone. Powielanie lub rozpowszechnianie ca

ło

ści wzgl

ędnie

fragmentu w jakiejkolwiek formie i w jakikolwiek sposób jest zabronione.

KURS MIĘDZYNARODOWEGO

INŻYNIERA / TECHNOLOGA / MISTRZA / INSTRUKTORA SPAWALNIKA

(IWE/IWT/IWS/IWP)

Podstawy wytrzymałości materiałów

Instytut

Spawalnictwa

w Gliwicach

3.2

AW 26

 

Reakcją będzie stanowić moment M

A

 

działający w płaszczyźnie prostopadłej do osi, 

który  wyznacza  się  z  warunku  równowagi  wszystkich  momentów  działających  na 

pręt. Przy złożeniu definicji zwrotu momentów otrzymamy: 

0

_

3

2

1

=

+

−

=

∑

A

AB

M

M

M

M

M

 

3

2

1

M

M

M

M

A

+

−

=

 

W poszczególnych przekrojach pręta momenty skręcające będą następujące: 

Nmm

M

M

BC

s

30

1

=

=

 

Nmm

M

M

M

CD

s

20

50

30

2

1

−

=

−

=

−

=

 

Nmm

M

M

M

M

DA

s

100

120

50

30

3

2

1

=

+

−

=

+

−

=

 

 

6.1 Naprężenia skręcające w prętach o przekroju okrągłym 
 

W przekrojach poprzecznych α-α prostopadłych do osi pręta  występują jedy-

nie naprężenia styczne (rys.29), które wyznaczymy ze wzoru: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Rys.29  

Naprężenia w skręcanych prętach okrągłych 

 

                                                            

a

I

M

o

s

k

=

τ

                                          (63) 

gdzie: 

τ

k

 – 

naprężenia styczne w odległości a od osi przekroju [N/mm

2

] 

 

M

s

 – 

moment skręcający w danym przekroju [Nmm] 

 

I

o

 – 

biegunowy moment bezwładności [mm

4

] 

          

dla przekroju kołowego 

                                           

3

3

4

4

2

,

0

16

1

,

0

32

d

d

W

d

d

I

s

o

≈

=

≈

=

π

π

                     (63a) 

           dla przekroju pi

erścieniowego  

                

(

)

(

)

(

)

(

)

4

4

4

4

4

4

4

4

1

,

0

16

1

,

0

32

d

D

D

d

D

W

d

D

d

D

I

s

o

−

≈

−

=

−

≈

−

=

π

π

        (63b) 

 

6.2 Odkształcenia przy skręcaniu prętów okrągłych 
 

Przy skręcaniu pręta o przekroju okrągłym poszczególne przekroje poprzecz-

ne doznają obrotu dookoła osi podłużnej pręta zwanej osia skręcania. Przekroje te 

do  pewnej  wartości  naprężeń  stycznych  (w  zakresie  sprężystym)  τ  pozostają  przy 

odkształceniu płaskie, a poszczególne promienie obracają się o kąt θ zwany katem 

skręcenia.  Na  wybranym  odcinku  dx    będącym  elementem  podstawowym  długości 

Opracowanie Instytut Spawalnictwa - Gliwice.

Wszelkie prawa zastrze

żone. Powielanie lub rozpowszechnianie ca

ło

ści wzgl

ędnie

fragmentu w jakiejkolwiek formie i w jakikolwiek sposób jest zabronione.

KURS MIĘDZYNARODOWEGO

INŻYNIERA / TECHNOLOGA / MISTRZA / INSTRUKTORA SPAWALNIKA

(IWE/IWT/IWS/IWP)

Podstawy wytrzymałości materiałów

3.2

Instytut

Spawalnictwa

w Gliwicach

AW 27

pręta (dx→0) obrót nastąpi o kąt dθ (rys. 30a), a po scałkowaniu w granicach okre-

ślonych przez długość pręta wyniesie:  

                                                           

∫

=

b

a

o

s

GI

dx

M

θ

                                         (64) 

gdzie: M

s

 – 

moment skręcający wyrażony w funkcji x [Nmm] 

 

G – m

oduł sprężystości poprzecznej [N/mm

2

] 

Kąt skręcenia przekroju dla odcinka AB pręta, Na którym M

s

, G i I

o

 

przyjmują wartości 

stałe (rys. 30b): 

                                                           

o

AB

s

B

GI

l

M

=

θ

                                         (65) 

gdzie: l

AB

- 

długość pręta [mm] 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

R

ys.30 Odkształcenia przy skręcaniu 

 

W przypadku konstrukcji wałów, w których zmiany średnic i momentów skręcających 

następują w sposób skokowy wzdłuż długości (rys. 31), kąt skręcenia poszczególny 
o

bliczy się z zależności: 

 
 
 
 
 
 

Rys.31 

Wyznaczenie sumarycznego kąta skręcenia 

 

                                

∑

=

+

+

+

=

o

s

ik

o

ik

ik

s

BC

o

BC

BC

s

AB

o

AB

AB

s

I

l

M

G

GI

l

M

GI

l

M

GI

l

M

1



θ

               (66) 

gdzie: M

s

AB

, M

s

BC

,...,  M

s

ik

 – 

momenty skręcające odpowiednio na odcinkach AB, BC, 

ik [Nmm] 
l

AB

, l

BC

,..., l

ik

 -  

długości odcinków, na długości których wielkości I

o

 i M

s

 

są stałe 

I

o

AB

, I

o

BC

,..., I

o

ik

 – 

biegunowe momenty bezwładności odpowiednich przekrojów  

 
 

Przykład 10 
 

Dla pręta AD (rys. 32) sporządzić wykres zmian kąta skręcenia wału na długo-

ści  oraz wyznaczyć maksymalne naprężenia skręcające w przekrojach AC i AD.  

Moduł sprężystości poprzecznej G wynosi 80 *10

4

 N/mm

2

. 

Warunek równowagi sił – momentów wynosi: 

Nm

M

M

M

M

M

M

M

M

M

A

A

14000

0

3

2

1

3

2

1

=

+

−

=

→

=

−

+

−

=

∑

 

 

b) 

a) 

Opracowanie Instytut Spawalnictwa - Gliwice.

Wszelkie prawa zastrze

żone. Powielanie lub rozpowszechnianie ca

ło

ści wzgl

ędnie

fragmentu w jakiejkolwiek formie i w jakikolwiek sposób jest zabronione.

KURS MIĘDZYNARODOWEGO

INŻYNIERA / TECHNOLOGA / MISTRZA / INSTRUKTORA SPAWALNIKA

(IWE/IWT/IWS/IWP)

Podstawy wytrzymałości materiałów

Instytut

Spawalnictwa

w Gliwicach

3.2

AW 28

(

)

rd

x

C

0058

,

0

00127

,

0

0071

,

0

9820000

80000

400

2000000

9820000

80000

400

14000000

−

=

+

−

=

−

+

−

=

θ

Przyjmując początek układu w punkcie A oraz wykorzystując zależność (64) możemy 

obliczyć kąty skręcenia dla odpowiednich odcinków w funkcji x i obciążenia.  

Biegunowe  momenty  bezwładności  poszczególnych  przekrojów  wyniosą  odpowied-
nio: 

4

4

4

9820000

32

100

32

mm

d

I

I

BC

o

AB

o

=

=

=

=

π

π

 

(

)

(

)

4

4

4

4

4

5800000

80

100

32

32

mm

d

D

I

CD

o

=

−

=

−

=

π

π

 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Rys. 32 

Wał obciążony  momentami skręcającymi 

 
Kąt skręcenia dla odcinka  AB (0 < x ≤ 400 mm) wyniesie: 

AB

o

AB

s

AB

GI

x

M

=

θ

 

dla x = 0 

0

0

*

10

78

,

1

9820000

80000

14000000

5

=

=

−

=

−

x

A

θ

 

dla x = 400 mm 

rd

x

B

0071

,

0

400

*

10

78

,

1

9820000

80000

14000000

5

−

=

=

−

=

−

θ

 

Kąt skręcenie dla odcinka BC (400 < x ≤ 900) wyniesie: 

(

)

BC

o

AB

BC

s

AB

o

AB

AB

s

BC

GI

l

x

M

GI

l

M

−

+

=

θ

 

dla x = 400 mm 

 

dla x = 900 mm 

 
 

(

)

rd

x

B

0071

,

0

9820000

80000

400

2000000

9820000

80000

400

14000000

−

=

−

+

−

=

θ

Opracowanie Instytut Spawalnictwa - Gliwice.

Wszelkie prawa zastrze

żone. Powielanie lub rozpowszechnianie ca

ło

ści wzgl

ędnie

fragmentu w jakiejkolwiek formie i w jakikolwiek sposób jest zabronione.

KURS MIĘDZYNARODOWEGO

INŻYNIERA / TECHNOLOGA / MISTRZA / INSTRUKTORA SPAWALNIKA

(IWE/IWT/IWS/IWP)

Podstawy wytrzymałości materiałów

3.2

Instytut

Spawalnictwa

w Gliwicach

AW 29

 
Kąt skręcenia dla odcinka CD (900 < x ≤ 1700 mm) 

(

)

[

]

CD

o

BC

AB

CD

S

BC

o

BC

BC

S

AB

o

AB

AB

S

CD

GI

l

l

x

M

GI

l

M

GI

l

M

+

−

+

+

=

θ

 

dla x = 900 mm 

rd

x

C

0058

,

0

5800000

80000

)

900

(

800000

9820000

80000

500

2000000

9820000

80000

400

14000000

−

=

−

−

+

+

−

=

θ

 

dla x = 1700 mm 
 

rd

C

0196

,

0

5800000

80000

)

900

1700

(

8000000

9820000

80000

500

2000000

9820000

80000

400

14000000

−

=

−

−

+

+

−

=

θ

 

 

Na rys. 32 przedstawiono zmianę kąta skręcenia na długości wału.   

Maksymalne styczne naprężenia od skręcania wystąpią w przekrojach, w których są 

maksymalne momenty skręcające lub najmniejsze biegunowe momenty bezwładno-

ści. Maksymalny moment skręcający o wartości 14 000 Nm wystąpi na odcinku  AB 

wału. Na odcinku CD wału z kolei mamy do czynienie z wydrążeniem i tym samym 

mniejszym  biegunowym  momentem  bezwładności.  Obliczone  zatem  zostaną  dwie 
warto

ści stycznych naprężeń od skręcania 

2

0

/

71

9820000

50

*

14000000

2

max

mm

N

I

D

M

AB

AB

s

AB

=

=

=

τ

 

2

0

/

69

5800000

50

*

8000000

2

max

mm

N

I

D

M

CD

CD

s

CD

=

=

=

τ

 

 

6.3 Skręcanie prętów o przekrojach niekołowych 
 

W praktyce często spotykamy się z przypadkami skręcania prętów o przekroju 

innym niż okrągły. W takich przypadkach przekrój poprzeczny po obciążeniu go mo-

mentem skręcającym nie pozostaje płaski lecz ulega przemieszczeniom w kierunku 

osi podłużnej (rys. 33). W takim przypadku stan naprężeń stycznych staje się bardzo  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Rys. 33 

Skręcanie pręta o przekroju nieokrągłym 

 
skomplikowany a 

analityczne rozwiązanie pod względem złożoności znacznie prze-

kracza zakres kursu.  W celu uproszczenia 

rozważań w tablicy 4 podano zależności 

dla obliczenia największych naprężeń stycznych na przekroju różnych figur płaskich. 
 

Opracowanie Instytut Spawalnictwa - Gliwice.

Wszelkie prawa zastrze

żone. Powielanie lub rozpowszechnianie ca

ło

ści wzgl

ędnie

fragmentu w jakiejkolwiek formie i w jakikolwiek sposób jest zabronione.

KURS MIĘDZYNARODOWEGO

INŻYNIERA / TECHNOLOGA / MISTRZA / INSTRUKTORA SPAWALNIKA

(IWE/IWT/IWS/IWP)

Podstawy wytrzymałości materiałów

Instytut

Spawalnictwa

w Gliwicach

3.2

AW 30

Tablica 4 

Zależności dla przekrojów nieokrągłych 

 

Kształt i wymiary 

Wzory określające największe  

naprężenia styczne 

 

1

,

16

3

>

=

=

m

b

h

gdzie

m

b

W

s

π

 

s

s

W

M

=

max

τ

na końcu mniejszej półosi 

m

max

τ

τ

=

na końcu większej półosi 

 

 

 

3

208

,

0

a

W

s

=

 

 

3

208

,

0

a

M

s

=

τ

w środku krawędzi bocznych 

 

 

2

hb

W

s

α

=

 

s

s

W

M

=

τ

w środku dłuższych krawędzi 

βτ

τ

=

1

w środku krótszych krawędzi 

 

h/b 1,00     1,2       1,5     1,75    2,00    3,00   5,00    8,00 

α    0,208  0,219  0,231  0,239  0,246  0,267 0,291  0,307 

β    1,00    0,93     0,86    0,79    0,77    0,75  0,74     0,74 

 

1

1

2

g

b

h

W

o

o

s

=

 

2

2

2

g

b

h

W

o

o

s

=

 

1

1

s

s

W

M

=

τ

w środku zewn. dłuższej krawędzi 

2

2

s

s

W

M

=

τ

w środku zewn. krótszej krawędzi 

Uwaga: Naroża powinny być zaokrąglone z 

powodu znacznej koncentracji naprężeń 

 

dA

W

s

217

,

0

=

dla sześciokąta 

dA

W

s

233

,

0

=

dla ośmiokąta 

s

s

W

M

=

τ

w środkach krawędzi 

A – pole powierzchni 

 

max

1

3

3

1

g

g

b

M

n

i

i

i

i

s

∑

=

=

=

α

τ

 

Największe naprężenia występują w środko-

wej części prostokąta o największej grubości 
g

max

 

b

i 

- odpo

wiednie długości poszczególnych 

prostokątów na które można rozłożyć przekrój 
g

i

 – 

odpowiednie grubości jw

 

Opracowanie Instytut Spawalnictwa - Gliwice.

Wszelkie prawa zastrze

żone. Powielanie lub rozpowszechnianie ca

ło

ści wzgl

ędnie

fragmentu w jakiejkolwiek formie i w jakikolwiek sposób jest zabronione.

KURS MIĘDZYNARODOWEGO

INŻYNIERA / TECHNOLOGA / MISTRZA / INSTRUKTORA SPAWALNIKA

(IWE/IWT/IWS/IWP)

Podstawy wytrzymałości materiałów

3.2

Instytut

Spawalnictwa

w Gliwicach

AW 31

Przykład 11 

Dany jest moment skręcający M

s

= 4500 Nm, G=8*10

4

 N/mm

2

, wytrzymałość oblicze-

niowa na skręcanie R

os

 = 50 N/mm

2

, maksymalny 

kąt skręcenia θ

max

 = 0,25 

o

/m. Wy-

znaczyć średnicę pręta pełnego d. 

os

o

s

R

W

M

≤

=

max

max

τ

 

Po zaokrągleniu: 

3

4

2

,

0

2

32

2

d

d

d

d

I

W

o

o

=

=

=

π

 

Po przekształceniu 

mm

R

M

d

os

s

77

50

2

,

0

4500000

2

,

0

3

3

=

=

≥

 

Z warunku maksymalnego kąta skręcenia: 

max

4

min

max

32

θ

π

θ

G

l

M

d

I

GI

l

M

s

o

o

s

≥

=

→

≤

 

mm

G

l

M

d

s

107

00436

,

0

*

80000

*

1000

*

4500000

*

32

32

4

4

max

min

=

=

=

π

θ

π

 

Minimalna 

średnica, która spełni obydwa warunki wyniesie 107 mm.  

 

Przykład 12 

Obliczyć naprężenia od momentów skręcających dla obwodowych spoin pachwino-
wych 

łączących nakładki z blachą podkładową przedstawione na rys. 34. 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Rys. 34 Widok nakładek skręcanych 

 
Dane: M

s

 – 20 kNm 

 

g

1

 -  

8 mm (kład grubości spoiny pachwinowej)

   

Dla przekroju spoiny łączącej nakładkę prostokątną, w której spoina jest prostokątem 

otwartym  (rys.34a) o grubości g

1

 maksymalne na

prężenia od momentu skręcającego 

zostaną obliczone   ze wzoru z tablicy 4. Dla nakładki okrągłej, w której spoina tworzy 

pierścień o grubości g

1

 maksymalne 

naprężenia od momentu skręcającego wyliczo-

ne zostaną ze wzorów (63 i 63b).Wyniki obliczeń dla kilku wersji wymiarów nakładek 
zestawiono w tablicy 5. 
 

M

s 

M

s 

d

 

D

 

h

o 

b

o 

g

1 

g

1 

a) 

b) 

Opracowanie Instytut Spawalnictwa - Gliwice.

Wszelkie prawa zastrze

żone. Powielanie lub rozpowszechnianie ca

ło

ści wzgl

ędnie

fragmentu w jakiejkolwiek formie i w jakikolwiek sposób jest zabronione.

KURS MIĘDZYNARODOWEGO

INŻYNIERA / TECHNOLOGA / MISTRZA / INSTRUKTORA SPAWALNIKA

(IWE/IWT/IWS/IWP)

Podstawy wytrzymałości materiałów

Instytut

Spawalnictwa

w Gliwicach

3.2

AW 32

Tablica 5 

Zestawienie wartości naprężeń od momentu skręcającego 

 

Grubość 

spoiny g

1 

[mm] 

Nakładka prostokątna 

Nakładka okrągła 

h

o

 

[mm] 

b

o 

[mm]

 

τ

sp max

 

[MPa] 

d 

[mm] 

D 

[mm] 

τ

so max

 

[MPa] 

8 

300 

150 

28 

284 

300 

19 

200 

100 

63 

184 

200 

44 

100 

50 

250 

84 

100 

200 

50 

25 

384 

59 

75 

333 

 

Z tablicy 5 widać, że elementy okrągłe przenoszące moment skręcający są korzyst-

niejsze od prostokątnych. Przy podobnej powierzchni i przy tej samej grubości spoin 
pachwinowych nap

rężenia skręcające w tych elementach są mniejsze. Również wiel-

kość nakładek ma znaczenie.  
 

7. Ścinanie 
 

Rozważmy szczególny przypadek dwuosiowego stanu naprężeń, w którym na 

boki kwadratu będą oddziaływać tylko naprężenia normalne równe co do wartości ale 
o przeciwnym znaku (rys. 35). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
  

Rys. 35 

Stan naprężeń czystego ścinania 

 
  

Odzwierciedlić ten stan można na kole Mohra (rys.36) 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Rys. 36 

Odzwierciedlenie ścianie na kole Mohra 

Opracowanie Instytut Spawalnictwa - Gliwice.

Wszelkie prawa zastrze

żone. Powielanie lub rozpowszechnianie ca

ło

ści wzgl

ędnie

fragmentu w jakiejkolwiek formie i w jakikolwiek sposób jest zabronione.

KURS MIĘDZYNARODOWEGO

INŻYNIERA / TECHNOLOGA / MISTRZA / INSTRUKTORA SPAWALNIKA

(IWE/IWT/IWS/IWP)

Podstawy wytrzymałości materiałów

3.2

Instytut

Spawalnictwa

w Gliwicach

AW 33

Maksymalne naprężenie styczne można określić kiedy kąt obrotu płaszczyzny α wy-
niesie 

π/4. Przy takiej orientacji mamy więc tylko naprężenia styczne odkształcenie 

czysto postaciowe. Stan taki nazywa się czystym ścinaniem. W rzeczywistości  ści-
nanie  

jako efekt oddziaływania poprzecznych sił wewnętrznych jest technicznie nie-

możliwe.  Analizując  najprostszy  przykład  tzw.  ścinania  technologicznego  (rys.37) 

zawsze wystąpi moment gnący i w ślad za nim normalne naprężenia od zginania.  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Rys. 37 

Ścinanie sworznia 

 

Na rys. 37 przedstawiono w przybliżeniu rozkład obciążeń sworznia. Oprócz sił po-
przecznych  

pojawią się również momenty gnące. Gdy ucha połączenia sworzniowe-

go są dostatecznie sztywne udział momentu gnącego maleje i w  przybliżeniu inży-

nierskim można go pominąć. Stan naprężeń będzie można przedstawić w postaci: 

                                                     

A

T

=

τ

                                            (67) 

gdzie: 

siła poprzeczna (rys. 37) 

2

P

T

=   

A – pole powierzchni 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Rys. 38 Stan na

prężeń w nicie 

Opracowanie Instytut Spawalnictwa - Gliwice.

Wszelkie prawa zastrze

żone. Powielanie lub rozpowszechnianie ca

ło

ści wzgl

ędnie

fragmentu w jakiejkolwiek formie i w jakikolwiek sposób jest zabronione.

KURS MIĘDZYNARODOWEGO

INŻYNIERA / TECHNOLOGA / MISTRZA / INSTRUKTORA SPAWALNIKA

(IWE/IWT/IWS/IWP)

Podstawy wytrzymałości materiałów

Instytut

Spawalnictwa

w Gliwicach

3.2

AW 34

Klasycznym przykładem elementu pracującego na ścinanie jest nit. Chociaż połącze-

nia nitowe nie są już stosowane to stan obciążeń i naprężeń, które  tam występują 

wart jest wspomnienia. Charakterystyczną cechą połączenia nitowego jest jego cia-

sne dopasowanie w otworze (rys. 38). Z tego też powodu obliczenia wytrzymałościo-

we muszą uwzględniać zjawisko ścinania i docisku.  

Obliczenia na ścinanie opierają się na złożeniu, że naprężenia styczne rozłożone są 

równomiernie w przekrojach , a każdy z nitów o tej samej średnicy przenosi jednako-

wą część siły tnącej T. Jest to uproszczenie, ale dla celów inżynierskich dokładność 
ta

kiego  założenia  jest  wystarczająca.  Obliczenie  na  docisk  opiera  się  również  na 

pewnym  uproszczeniu,  które  stanowi,  że  ciśnienie  wywierane  przez  nit  na  ścianki 

otworu rozkłada się równomiernie na powierzchni rzutu pobocznicy nita ( rys.38 ). 

Naprężenia ścinające w przekrojach nitów wynoszą: 

                                                 

os

R

d

m

n

P

≤

=

4

2

π

τ

                                       (68) 

gdzie: P – 

siła działająca na połączenie[N] 

 

m – 

liczba płaszczyzn ścinania 

 

n – 

liczba nitów w połączeniu 

 

d – 

średnica nita [mm] 

 

R

os

 – 

wytrzymałość obliczeniowa na ścinanie  [MPa]  

Dla obliczenia naprężeń wynikających z docisku: 

                                                      

d

d

R

nd

P ≤

=

δ

σ

                                       (69) 

gdzie: 

δ - 

grubość [mm] 

 

R

d

 – nacisk dopuszczalny [MPa]   

  

Przykład 13 

Połączono dwie blachy na styk za pomocą dwu nakładek o grubości t

1

 = 8 mm 

kazda

. Siła P = 720 kN przenosi się za pomocą pierwszej grupy nitów o wytrzymało-

ści obliczeniowej R

os

= 100 MPa 

 

z lewej blachy 

o grubości t = 10 mm na obie nakład-

ki,  a  poprzez  drugą  grupę  nitów  na  prawą  blachę  o  tej  samej  grubości  (rys.39). 
Wszys

tkie nity mają średnicę d = 20 mm 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Rys. 39 

Połączenie nitowe 

 

Warunek wytrzymałości na ścinanie dla jednego nitu  ze wzoru (68) wyniesie: 

12

100

2

4

20

720000

4

2

2

≈

=

≥

π

π

os

mR

d

P

n

 

Opracowanie Instytut Spawalnictwa - Gliwice.

Wszelkie prawa zastrze

żone. Powielanie lub rozpowszechnianie ca

ło

ści wzgl

ędnie

fragmentu w jakiejkolwiek formie i w jakikolwiek sposób jest zabronione.

KURS MIĘDZYNARODOWEGO

INŻYNIERA / TECHNOLOGA / MISTRZA / INSTRUKTORA SPAWALNIKA

(IWE/IWT/IWS/IWP)

Podstawy wytrzymałości materiałów

3.2

Instytut

Spawalnictwa

w Gliwicach

AW 35

Warunek wytrzymałości na docisk (zgniecenie w otworze) ze wzoru (69) dla wartości 
docisku dopuszczalnego R

d

 = 240 MPa wyniesie: 

15

240

20

10

720000 =

=

≥

d

tdR

P

n

 

W przypadku 

połączenia z nitami posiadającymi dwie płaszczyzny ścinania (dwucię-

te) 

decydującym będzie warunek docisku. 

 
  

Przykład 14 
 

Obliczyć  siłę  jaką  musi  wywierać  stempel  wykrojnika  wycinającego  krążki  o 

średnicy d = 20 mm z blachy stalowej o grubości t = 3 mm. Wytrzymałość doraźna na 

ścianie blachy wynosi R

t

 = 300 MPa.   

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Rys. 40  

Stan naprężeń w wykrojniku 

 
Pole prze

kroju ścinanego wyniesie: 

2

4

,

188

3

20

mm

dt

A

=

=

=

π

π

 

Siła zostanie obliczona z zależności: 

N

R

A

P

t

56520

300

4

,

188

=

=

=

 

 

Przykład 15 
 

Jaki powinien 

być stosunek wysokości h łba do średnicy d cylindrycznej próbki 

przeznaczonej do próby rozciągania, aby  zabezpieczyć stan, w którym nastąpi ze-

rwanie jej w jej części cylindrycznej. Wytrzymałość na rozciągania materiału próbki 
R

m = 

460 MPa, wytrzy

małość obliczeniowa na ścinanie materiału próbki R

t

= 280 MPa  

Warunek wytrzymałości na ścinanie główki próbki: 

t

t

dR

P

h

R

dh

P

π

π

>

⇒

>

 

 

Warunek wytrzymałość na rozciąganie (zniszczenia próbki siłą P): 
 

4

4

2

2

d

R

P

R

d

P

m

m

π

π

>

⇒

>

 

 

Zatem wysokość główki próbki h wyniesie: 

Opracowanie Instytut Spawalnictwa - Gliwice.

Wszelkie prawa zastrze

żone. Powielanie lub rozpowszechnianie ca

ło

ści wzgl

ędnie

fragmentu w jakiejkolwiek formie i w jakikolwiek sposób jest zabronione.

KURS MIĘDZYNARODOWEGO

INŻYNIERA / TECHNOLOGA / MISTRZA / INSTRUKTORA SPAWALNIKA

(IWE/IWT/IWS/IWP)

Podstawy wytrzymałości materiałów

Instytut

Spawalnictwa

w Gliwicach

3.2

AW 36

t

m

dR

d

R

h

π

π

4

2

>

 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 

 

Rys. 41 

Ścianie główki próbki do próby rozciągania 

 

Po przekształceniu i zredukowaniu: 

t

m

R

R

d

h

4

>

 

 i ostatecznie: 

41

,

0

4

1

>

>

t

m

R

R

d

h

 

 

Przykład 16 
 

Obliczyć siłę jaką można przyłożyć do końca dźwigni jeśli naprężenia oblicze-

niowe materiału wpustu łączącego dźwignię z wałem wynoszą R

t

=500 MPa? Wpust 

jest  prostopadłościenny  o  wymiarach  40x6x6  mm.  Długość  dźwigni  wynosi l = 750 
mm. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Rys. 42 

Obciążenie wpustu w dźwigni 

 

Siła tnąc powinna spełnić warunek: 

kN

FA

R

T

t

12

6

40

500

<

<

<

 

 

Opracowanie Instytut Spawalnictwa - Gliwice.

Wszelkie prawa zastrze

żone. Powielanie lub rozpowszechnianie ca

ło

ści wzgl

ędnie

fragmentu w jakiejkolwiek formie i w jakikolwiek sposób jest zabronione.

KURS MIĘDZYNARODOWEGO

INŻYNIERA / TECHNOLOGA / MISTRZA / INSTRUKTORA SPAWALNIKA

(IWE/IWT/IWS/IWP)

Podstawy wytrzymałości materiałów

3.2

Instytut

Spawalnictwa

w Gliwicach

AW 37