GEOMETRIA

Zad.1. Dane są punkty A(1,0,3), B(-1,1,3), C(0,2,-2):
a) wskazać trzy wektory równoległe do wektora

⃗

AB

,

b) wskazać trzy wektory prostopadłe do wektora

⃗

AC

,

c) który z wektorów

⃗

u[

1
2

,−1,

5
2

]

,⃗v[ 1,2,5] , ⃗

w [

−

1

10

,

1
5

,−

1
2

]

jest równoległy do wektora

⃗

AC

,

d) który z wektorów

⃗

u[ 2,−1,0] ,⃗v [1,2,0] , ⃗

w [0,0,1]

jest prostopadły do wektora

⃗

AB

,

e) obliczyć iloczyn wektorowy wektorów

⃗

AB

i

⃗

AC

,

f) obliczyć sinus kąta między wektorami

⃗

AB

i

⃗

AC

,

g) obliczyć cosinus kąta między wektorami

⃗

AB

i

⃗

AC

,

h) obliczyć pole równoległoboku ABCD,
i) czy punkty A, B, C leżą na jednej prostej? Odp. Uzasadnij.

Zad.2. Napisać równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkty A(1,0,1), B(1,2,2),
C(0,-1,-2).

Zad.3. Wyznaczyć punkty przecięcia płaszczyzny

π

: 2x+y-z+4=0 z osiami układu

współrzędnych, a następnie obliczyć pole trójkąta ABC.

Zad.4. Dane są dwie proste l i k:

l:

{

x=2+ 4t

y =t

z =−1−2t

k:

x +1

2

=

2y=2− z

a) podać współrzędne trzech dowolnych punktów należących do prostej l,
b) podać współrzędne trzech dowolnych punktów należących do prostej k,
c) napisać równania kierunkowe prostej l,
d) napisać równania parametryczne prostej k,
e) sprawdzić, czy proste l i k są równoległe.

Zad.5. Dane są proste l i k:

l:

{

x+ y −z =2

2x+ z=1

k:

1− x= y+1=

z +1

2

a) napisać równania parametryczne prostej l,
b) napisać równania krawędziowe prostej k,
c) napisać równania prostej prostopadłej do prostych l i k przechodzącej przez
punkt P(1,0,-2).

Zad.6. Napisać równania prostej l przechodzącej przez punkt P(0,-1,1) prostopadłej
do płaszczyzny

π

: 2x-3z+1=0.

Zad.7. Napisać równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkt P(0,1,2) równoległej

do prostej l:

{

x+ y+1=0

3x+ z−2=0

.

Zad.8. Napisać równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkt P(2,0,2) zawierającej

prostą l:

2x=

1− y

2

=

z +1

2

.

Zad.9. Napisać równania parametryczne prostej przechodzącej przez punkt P(1,0,-3)

prostopadłej do l:

{

x=2+3t

y =1−t

z =2

i równoległej do płaszczyzny

π

:y-z+5=0.

Zad.10. Nazwać i naszkicować zbiór punktów

P( x , y , z)ϵ R

3

określony równaniem:

a) x

2

+z

2

=25

i) x

2

+y

2

=-1

p) z=3-

√

x

2

+

y

2

b) (y-1)

2

+(x+1)

2

=1

j) z=2+x

2

+y

2

r) y=

√

2x

2

+

z

2

c) xy=1

k) x=y

2

+z

2

s) z= (x-1)

2

+(y+1)

2

d) y=x

2

-x

l) y=1-x

2

-z

2

t) x

2

+y

2

+z

2

=36

e) z=x

2

-4

ł) z=3x

2

+y

2

u) (x-1)

2

+(y+1)

2

+(z-1)

2

=1

f) x+y=0

m) z=2-(x

2

+2y

2

)

w) x

2

+4y

2

+9z

2

=36

g) y+2=0

n) x

2

=z

2

+y

2

y) 4x

2

+y

2

-16z

2

=16

h) x+y+z=1

o) z=

√

x

2

+

y

2

z) x

2

+4y

2

-4z

2

=-4