Wykłady z matematyki
Anna Witaszczyk
34
Logistyka – Studia niestacjonarne I Stopnia Zaoczne
I rok
Semestr zimowy 2011/12
WYKŁADY Z MATEMATYKI
IX. ZASTOSOWANIE POCHODNEJ DO BADANIA FUNKCJI
Istotnymi zagadnieniami badania przebiegu funkcji są: zachowanie się funkcji na
końcach przedziałów, w których jest określona, monotoniczność, wypukłość.
1. REGUŁA DE L’HOSPITALA
Ważnym elementem badania funkcji jest ustalanie granic funkcji na końcach
przedziałów określoności funkcji oraz asymptot krzywej będącej wykresem funkcji.
Wyznaczanie granic funkcji w niektórych przypadkach może nastręczać pewnych trudności..
Dzieje się tak na przykład w przypadkach nieoznaczoności. Zajmiemy się teraz takimi
sytuacjami.
Jednym ze sposobów obliczania granic funkcji w przypadku nieoznaczoności typu
0
0
lub
∞
∞
, opartym na rachunku różniczkowym, jest twierdzenie zwane regułą de L’Hospitala.
Twierdzenie 9.1.1 (reguła de L’Hospitala). Jeżeli funkcje f(x) i g(x) posiadają
pochodne w sąsiedztwie punktu x=a oraz zachodzi związek
( )
( )
0
lim
lim
=
=
→
→
x
g
x
f
a
x
a
x
i jeżeli
istnieje granica ilorazu pochodnych
( )
( )
x
g
x
f
a
x
'
'
lim
→
, to istnieje również granica
( )
( )
x
g
x
f
a
x
→
lim
i
zachodzi równość
(9.1.1)
( )
( )
( )
( )
x
g
x
f
x
g
x
f
a
x
a
x
'
'
lim
lim
→
→
=
.
Wzór (9.1.1) stosuje się również do wyrażeń typu
∞
∞
.
Jeżeli iloraz
( )
( )
x
g
x
f
'
'
okaże się w dalszym ciągu wyrażeniem nieoznaczonym typu
0
0
lub
∞
∞
, to można stosować jeszcze raz regułę de L’Hospitala i badać granicę ilorazu
( )
( )
x
g
x
f
"
"
.
Regułę de L’Hospitala można stosować do danego ilorazu kilkakrotnie. Regułę de
L’Hospitala można stosować również w przypadku, gdy funkcje f(x) i g(x) są określone w
jednostronnym sąsiedztwie punktu x=a, tzn. gdy
−
→
a
x
lub
+
→
a
x
oraz w przypadku, gdy
x dąży do plus lub minus nieskończoności.
Przykład 9.1.1.
a)
1
1
lim
0
0
1
lim
0
0
=
=
=
−
→
→
x
x
H
x
x
e
x
e
.
Wykłady z matematyki
Anna Witaszczyk
35
b)
3
5
3
5
lim
3
5
lim
0
0
1
1
lim
2
1
2
4
1
3
5
1
=
=
=
=
−
−
→
→
→
x
x
x
x
x
x
x
H
x
.
c)
( )
0
lim
1
1
lim
1
ln
lim
0
2
0
0
=
−
=
−
=
∞
∞
=
+
+
+
→
→
→
x
x
x
x
x
x
x
H
x
.
d)
2
1
2
cos
lim
0
0
2
sin
lim
0
0
cos
1
lim
0
0
2
0
=
=
=
=
=
−
→
→
→
x
x
x
x
x
x
H
x
H
x
.
e)
0
1
lim
1
1
lim
ln
lim
=
=
=
∞
∞
=
+∞
→
+∞
→
+∞
→
x
x
x
x
x
x
H
x
.
Zajmiemy się symbolami nieoznaczonymi typu
∞
⋅
0
,
∞
−
∞
,
0
0 ,
∞
1 ,
0
∞
.
a) Jeżeli
( )
0
lim
=
→
x
f
a
x
oraz
( )
+∞
=
→
x
g
a
x
lim
lub
∞
−
, to iloczyn
( ) ( )
x
g
x
f
nazywamy
symbolem nieoznaczonym typu
∞
⋅
0
i sprowadzamy go do postaci
0
0
lub
∞
∞
, stosując
tożsamość
( ) ( )
( )
( )
x
g
x
f
x
g
x
f
1
=
lub
( ) ( )
( )
( )
x
f
x
g
x
g
x
f
1
=
.
Przykład 9.1.2.
(
)
[ ]
( )
0
lim
1
1
lim
1
ln
lim
0
ln
lim
0
2
0
0
0
=
−
=
−
=
∞
∞
=
=
∞
⋅
=
+
+
+
+
→
→
→
→
x
x
x
x
x
x
x
x
x
H
x
x
b) Różnicę
( ) ( )
x
g
x
f
−
nazywamy symbolem nieoznaczonym typu
∞
−
∞
, jeżeli
( )
( )
±∞
=
=
→
→
x
g
x
f
a
x
a
x
lim
lim
. Symbol ten sprowadzamy do postaci
0
0
stosując przekształcenie
( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
x
g
x
f
x
f
x
g
x
g
x
f
1
1
1
−
=
−
.
Przykład 9.1.3.
[
]
0
2
0
sin
cos
cos
sin
lim
0
0
cos
sin
1
cos
lim
0
0
sin
sin
lim
sin
1
1
lim
0
0
0
0
=
=
−
+
−
=
=
=
+
−
=
=
−
=
∞
−
∞
=
−
+
+
+
+
→
→
→
→
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
H
H
x
H
x
x
Wykłady z matematyki
Anna Witaszczyk
36
c) Potęga
( )
( )
x
g
x
f
może być symbolem nieoznaczonym typu
0
0 ,
∞
1 ,
0
∞
. Wówczas symbole
te sprowadzamy do postaci
∞
⋅
0
stosując tożsamość
( )
( )
( )
( )
x
f
x
g
x
g
e
x
f
ln
=
.
Przykład 9.1.4.
[ ]
1
lim
0
lim
0
)
ln
(
lim
ln
0
0
0
0
=
=
=
=
=
+
→
+
+
→
→
e
e
e
x
x
x
x
x
x
x
x
x
,
bo
(
)
0
ln
lim
0
=
+
→
x
x
x
, granica ta została obliczona w przykładzie 9.1.2.
2. ASYMPTOTY KRZYWEJ
Niech funkcja f(x) będzie określona w pewnym prawostronnym sąsiedztwie punktu x
0
.
Prosta o równaniu x=x
0
jest
asymptotą pionową prawostronną wykresu funkcji f(x), jeśli
( )
+∞
=
+
→
x
f
x
x
0
lim
lub
( )
−∞
=
+
→
x
f
x
x
0
lim
.
Analogicznie definiuje się
asymptotę lewostronną wykresu funkcji f.
Przykład 9.2.1 Prosta x=0 (oś OY) jest asymptotą pionową prawostronną funkcji
y=lnx, ponieważ
−∞
=
+
→
x
x
ln
lim
0
.
Prosta o równaniu x=x
0
jest
asymptotą pionową (obustronną) wykresu funkcji f(x),
jeśli jest jednocześnie asymptotą pionową lewostronną i prawostronną tego wykresu.
Przykład 9.2.2. Proste postaci
π
π
k
x
+
=
2
,
C
k
∈
są pionowymi asymptotami
funkcji
tgx
y
=
.
Przykład 9.2.3. Funkcja
(
)
2
1
ln
x
y
−
=
jest określona i ciągła w przedziale (-1,1).
Wykres tej funkcji ma dwie asymptoty pionowe: prawostronną x=-1, bo
( )
−∞
=
+
→
x
f
x
1
lim
i
lewostronną x=1, bo
( )
−∞
=
−
→
x
f
x
1
lim
.
Prosta o równaniu
b
ax
y
+
=
(
R
b
a
∈
,
,
0
≠
a
) jest
asymptotą ukośną
prawostronną (lewostronną) wykresu funkcji y=f(x), określonej w odpowiednim przedziale
nieograniczonym, jeżeli odległość punktu krzywej od tej prostej dąży do zera, gdy
+∞
→
x
(
−∞
→
x
), czyli
( ) (
)
[
]
0
lim
=
+
−
+∞
→
b
ax
x
f
x
(
( ) (
)
[
]
0
lim
=
+
−
−∞
→
b
ax
x
f
x
)
Poniższe twierdzenie pozwala wyznaczyć współczynnik kierunkowy a i wyraz wolny
b asymptoty ukośnej.
Twierdzenie 9.2.1. Jeżeli
(9.2.1)
( )
a
x
x
f
x
=
+∞
→
lim
i
( )
(
)
b
ax
x
f
x
=
−
+∞
→
lim
lub
(9.2.2)
( )
a
x
x
f
x
=
−∞
→
lim
i
( )
(
)
b
ax
x
f
x
=
−
−∞
→
lim
,
Wykłady z matematyki
Anna Witaszczyk
37
to wykres funkcji f ma asymptotę ukośną y=ax+b.
Gdy przynajmniej jedna z granic (9.2.1), (9.2.2) nie istnieje, wówczas funkcja nie ma
asymptoty.
Przykład 9.2.4. Wyznaczymy asymptoty funkcji
( ) ( )( )
2
1
3
+
−
=
x
x
x
x
f
. Dziedziną
funkcji jest zbiór
{ } (
) (
) (
)
+∞
∪
−
∪
−
∞
−
=
−
=
,
1
1
,
2
2
,
1
,
2
\
R
D
f
. Funkcja ma dwie asymptoty
pionowe (obustronne): x=-2, ponieważ
( )
−∞
=
−
=
+
−
→
−
0
8
lim
2
x
f
x
i
( )
+∞
=
−
=
−
−
→
+
0
8
lim
2
x
f
x
,
x=1, ponieważ
( )
−∞
=
=
−
→
−
0
1
lim
1
x
f
x
i
( )
+∞
=
=
+
→
+
0
1
lim
1
x
f
x
. Granice (9.2.1) i (9.2.2) są
równe:
( )
(
)(
)
a
x
x
x
x
x
x
f
x
x
=
=
+
−
=
±∞
→
±∞
→
1
2
1
lim
lim
3
,
( )
(
)
(
)(
)
(
)(
)
b
x
x
x
x
x
x
x
x
ax
x
f
x
x
x
=
−
=
+
−
+
−
=
−
+
−
=
−
±∞
→
±∞
→
±∞
→
1
2
1
2
lim
2
1
lim
lim
2
3
.
Stąd, badana funkcja ma asymptotę ukośną y=x-1.
Prosta y=b jest
asymptotą poziomą lewostronną (prawostronną) wykresu funkcji
f(x), jeśli
( )
b
x
f
x
=
−∞
→
lim
(
( )
b
x
f
x
=
+∞
→
lim
), gdzie
R
b
∈
.
Przykład 9.2.5. Prosta y=0 jest asymptotą lewostronną funkcji
x
y
2
=
, ponieważ
0
2
lim
=
−∞
→
x
x
.
Przykład 9.2.6. Funkcja
( )
1
2
2
2
+
=
x
x
x
f
ma asymptotę poziomą y=2, ponieważ
( )
( )
2
lim
lim
=
=
+∞
→
−∞
→
x
f
x
f
x
x
.
Jeżeli w granicach z twierdzenia 9.2.1 otrzymamy a=0, to prosta y=b jest asymptotą
poziomą funkcji f(x).
Jeżeli funkcja ma asymptotę poziomą, to nie ma asymptoty ukośnej.
3. MONOTONICZNOŚĆ FUNKCJI
Badanie monotoniczności funkcji opiera się na twierdzeniu Lagrange’a (twierdzeniu
wartości średniej).
Twierdzenie 9.3.1 (Tw. Lagrange’a). Jeżeli funkcja jest ciągła w przedziale
domkniętym [a,b] i różniczkowalna we wnętrzu tego przedziału, to istnieje taki punkt
( )
b
a
c
,
∈
, że
( )
( ) ( )
a
b
a
f
b
f
c
f
−
−
=
′
.
Wykłady z matematyki
Anna Witaszczyk
38
Interpretacja geometryczna: iloraz przyrostu wartości funkcji do przyrostu argumentu
wyznacza współczynnik kierunkowy siecznej krzywej; jeżeli f jest ciągła i różniczkowalna, to
istnieje styczna do do krzywej równoległa do tej siecznej. Liczba f’© jest wartością
współczynnika kierunkowego tej stycznej.
Z twierdzenia Lagrange’a wynikają ważne wnioski:
Wniosek 9.3.1. Jeżeli f’(x)=0 dla każdego
[ ]
b
a
x
,
∈
, to f jest funkcją stałą w tym
przedziale.
Wniosek 9.3.2. Jeżeli f’(x)>0 dla każdego
[ ]
b
a
x
,
∈
, to f jest rosnąca w tym
przedziale.
Wniosek 9.3.3. Jeżeli f’(x)<0 dla każdego
[ ]
b
a
x
,
∈
, to f jest malejąca w tym
przedziale.
Przykład 9.3.1. Funkcja
( )
(
)
2
1
ln
x
x
f
−
=
, określona w przedziale (-1,1), ma
pochodną
( )
2
1
2
x
x
x
f
−
−
=
′
, która dla
(
)
0
,
1
−
∈
x
jest dodatnia, więc w tym przedziale funkcja
jest rosnąca, a dla
( )
1
,
0
∈
x
ujemna, więc f jest w tym przedziale malejąca.
Przykład 9.3.2. Funkcja
( )
(
)
x
e
x
x
f
1
2
+
=
, określona dla
R
x
∈
, ma pochodną
( ) (
)
0
1
2
≥
+
=
′
x
e
x
x
f
, dla każdego
R
x
∈
, zatem jest funkcją stale rosnącą.
4. EKSTREMA LOKALNE FUNKCJI
Funkcja f ma w punkcie x
0
maksimum (minimum) lokalne równe f(x
0
), jeżeli
istnieje takie otoczenie
(
)
δ
δ
+
−
0
0
, x
x
punktu x
0
, że dla każdego x z tego otoczenia zachodzi
nierówność
( ) ( )
0
x
f
x
f
≤
(
( ) ( )
0
x
f
x
f
≥
). Jeżeli funkcja osiąga w pewnym punkcie
maksimum lub minimum, to mówimy, że w tym punkcie funkcja posiada
ekstremum. Gdy
spełniona jest nierówność ostra (
( ) ( )
0
x
f
x
f
<
lub
( ) ( )
0
x
f
x
f
>
), to ekstremum nazywamy
właściwym.
Następujące twierdzenie podaje
warunek konieczny istnienia ekstremum funkcji.
Twierdzenie 9.4.1. Jeżeli funkcja f(x) dla x=x
0
przyjmuje ekstremum, to pochodna
funkcji w tym punkcie, jeżeli istnieje, jest równa zeru, czyli f’(x
0
)=0.
Punkt, w którym pierwsza pochodna równa się zero nazywamy
punktem
stacjonarnym.
Warunek f’(x
0
)=0 jest jedynie warunkiem koniecznym istnienia ekstremum lokalnego
funkcji w punkcie x
0
. Oznacza to, że jeżeli funkcja ma ekstremum i jest różniczkowalna w
punkcie x
0
, to f’(x
0
)=0, ale z faktu, że pochodna w pewnym punkcie jest równa zeru, nie
wynika, że w punkcie tym występuje ekstremum. Potwierdza to poniższy przykład.
Wykłady z matematyki
Anna Witaszczyk
39
Przykład 9.4.1. Funkcja f(x)=x
3
ma pochodną f’(x)=3x
2
równą zeru dla x=0, a jednak
funkcja ta nie ma ekstremum w tym punkcie.
Funkcja może mieć ekstremum także w punkcie, w którym pochodna funkcji nie
istnieje.
Przykład 9.4.2. Funkcja
( )
x
x
f
=
ma minimum lokalne w punkcie x=0. W punkcie
x=0 funkcja nie ma pochodnej, istnieją tylko różne pochodne jednostronne, lewostronna
równa -1 , prawostronna równa 1.
Przykład 9.4.3. Funkcja
( )
3
2
x
x
f
=
ma minimum dla x=0, chociaż nie posiada w tym
punkcie pochodnej. Jej pochodna lewostronna w punkcie x=0 równa się minus
nieskończoność, a prawostronna plus nieskończoność:
( )
3
3
2
x
x
f
=
′
,
−∞
=
−
→
3
0
3
2
lim
x
x
,
+∞
=
+
→
3
0
3
2
lim
x
x
. Funkcja
( )
3
2
x
x
f
=
posiada minimum, chociaż warunek konieczny (f’(x)=0)
nie jest spełniony.
Jeżeli f’(x
0
)=0 lub w punkcie x
0
funkcja nie ma pochodnej, wówczas w tym punkcie
może istnieć ekstremum i należy poddać funkcję dalszemu badaniu.. Polega ono na
sprawdzeniu, czy spełnione są warunki dostateczne.
Warunki dostateczne istnienia ekstremum funkcji.
Załóżmy, że w pewnym otoczeniu
(
)
δ
δ
+
−
0
0
, x
x
punktu x
0
istnieje pochodna f’(x),
która na lewo od x
0
oraz na prawo od x
0
(z osobna)zachowuje stały znak. Możliwe są
wówczas trzy przypadki:
a) Jeżeli
( )
0
>
′
x
f
dla
0
x
x
<
i
( )
0
<
′
x
f
dla
0
x
x
>
, tj. pochodna przechodząc przez x
0
zmienia znak z plusa na minus, to w punkcie x
0
funkcja f(x) ma maksimum. W przedziale
(
)
0
0
, x
x
δ
−
funkcja f(x) jest rosnąca, a w przedziale
(
)
δ
+
0
0
, x
x
malejąca, zatem f(x
0
) jest
największą wartością funkcji w przedziale
(
)
δ
δ
+
−
0
0
, x
x
.
b) Jeżeli
( )
0
<
′
x
f
dla
0
x
x
<
i
( )
0
>
′
x
f
dla
0
x
x
>
, tj. pochodna po przejściu przez x
0
zmienia znak z minusa na plus, to w punkcie x
0
funkcja f(x) ma minimum.
c) Jeżeli pochodna przy przejściu przez x
0
nie zmienia znaku, to w punkcie x
0
funkcja f(x) nie
ma ekstremum.
Przykład 9.4.4. Znajdziemy ekstremum funkcji
( )
x
x
x
f
ln
=
,
+
∈
R
x
.
( )
0
1
ln
=
+
=
′
x
x
f
dla
1
−
=
e
x
. W przedziale
( )
1
,
0
−
e
pochodna funkcji jest ujemna, a w
przedziale
(
)
+∞
−
,
1
e
pochodna jest dodatnia. Stąd
( )
1
1
−
−
−
=
e
e
f
jest wartością minimum
funkcji.
Przykład 9.4.5. Funkcja
( ) (
)
3
4
x
x
f
−
=
ma pochodną dla każdego
R
x
∈
równą
( )
(
)
2
4
3
x
x
f
−
−
=
′
. Dla x=4 pochodna
( )
0
4
=
′
f
, ale dla każdego
4
≠
x
pochodna funkcji jest
ujemna. Wynika z tego, że w punkcie x=4 funkcja nie ma ekstremum.
Wykłady z matematyki
Anna Witaszczyk
40
Przykład 9.4.6. Funkcja
( )
5
2
3
2
3
+
−
=
x
x
x
f
ma pochodną dla każdego
R
x
∈
równą
( )
x
x
x
f
3
3
2
−
=
′
. Pierwsza pochodna jest równa zeru dla x=0 oraz x=1. Punkty te dzielą zbiór
liczb rzeczywistych na trzy przedziały:
(
)
0
,
∞
−
,
( )
1
,
0
,
(
)
+∞
,
1
. Należy wyznaczyć znaki
pochodnej w tych przedziałach. Otrzymujemy, że
( )
0
>
′
x
f
dla
(
)
0
,
∞
−
∈
x
oraz
(
)
+∞
∈
,
1
x
(funkcja w tych przedziałach rośnie), pochodna jest natomiast ujemna w przedziale
( )
1
,
0
(w
przedziale tym funkcja maleje). W ten sposób zostały wyznaczone przedziały
monotoniczności. Przy przejściu przez x=0 następuje zmiana znaku pochodnej z plusa na
minus, zatem w tym punkcie funkcja ma maksimum lokalne. Przy przejściu przez x=1
pochodna zmienia znak z minusa na plus, więc funkcja osiąga minimum lokalne. Znając
punkty, w których funkcja ma ekstremum, możemy obliczyć wartości ekstremalne funkcji:
f
max
=f(0)=5, f
min
=f(1)=4,5.
Przy szukaniu ekstremum badanie znaku pierwszej pochodnej w otoczeniu danego
punktu można zastąpić przez badanie znaku drugiej pochodnej w danym punkcie. Podamy
teraz inne warunki dostateczne istnienia ekstremum.
Twierdzenie 9.4.2. Jeżeli funkcja f(x) w otoczeniu punktu x
0
posiada pierwszą i drugą
pochodną ciągłą i jeżeli
( )
0
0
=
′
x
f
i
( )
0
0
≠
′′
x
f
, to funkcja f ma w punkcie x
0
ekstremum –
maksimum, gdy
( )
0
0
<
′′
x
f
, a minimum, gdy
( )
0
0
>
′′
x
f
.
Przykład 9.4.7. Dla funkcji z przykładu 9.4.6 druga pochodna
( )
3
6
−
=
′′
x
x
f
. W
punktach, w których spełniony jest warunek konieczny istnienia ekstremum mamy:
( )
0
3
0
<
−
=
′′
f
- funkcja ma maksimum lokalne,
( )
0
3
1
>
=
′′
f
- funkcja ma minimum
lokalne.
Twierdzenie 9.4.2 nie rozstrzyga istnienia ekstremum, gdy
( )
0
0
=
′′
x
f
. W tym
wypadku stosujemy ogólniejszy warunek dostateczny istnienia ekstremum, który podaje
poniższe twierdzenie.
Twierdzenie 9.4.3. Jeżeli funkcja f(x) posiada w otoczeniu punktu x
0
pochodne ciągłe
aż do n-tego rzędu włącznie i jeżeli
( )
( )
( )
( )
0
...
0
1
0
0
=
=
=
′′
=
′
−
x
f
x
f
x
f
n
,
( )
( )
0
0
≠
x
f
n
,
to zachodzą dwa przypadki:
1) gdy n jest liczbą parzystą, funkcja f(x) ma maksimum w punkcie x
0
, gdy
( )
( )
0
0
<
x
f
n
, a
minimum, gdy
( )
( )
0
0
>
x
f
n
,
2) gdy n jest liczbą nieparzystą, ekstremum nie istnieje.
Przykład 9.4.8. Dana jest funkcja
( )
5
3
3
2
3
+
+
−
=
x
x
x
x
f
,
R
x
∈
. Aby wyznaczyć
ekstrema, obliczamy pochodną:
( )
(
)
2
2
1
3
6
6
3
−
=
+
−
=
′
x
x
x
x
f
i przyrównujemy do zera:
( )
(
)
1
0
1
3
0
2
=
⇔
=
−
⇔
=
′
x
x
x
f
. Druga pochodna
( )
6
6
−
=
′′
x
x
f
w punkcie x=1 jest
zerem. Ponieważ trzecia pochodna
( )
6
=
′′′
x
f
jest różna od zera, więc na mocy twierdzenia
9.4.3 funkcja w punkcie x=1 nie posiada ekstremum.
Wykłady z matematyki
Anna Witaszczyk
41
Przykład 9.4.9. Dla funkcji
( )
4
x
x
f
=
,
R
x
∈
pochodna
( )
3
4x
x
f
=
′
. Funkcja może
mieć ekstremum, gdy
0
4
3
=
x
, a więc dla x=0. Mamy:
( )
2
12x
x
f
=
′′
,
( )
0
0
=
′′
f
,
( )
x
x
f
24
=
′′′
,
( )
0
0
=
′′′
f
,
( )
( )
24
4
=
x
f
,
( )
( )
0
24
0
4
>
=
f
. Na mocy twierdzenia 9.4.3 funkcja
( )
4
x
x
f
=
osiąga w punkcie x=0 minimum.
5. WYPUKŁOŚĆ I WKLĘSŁOŚĆ FUNKCJI
Zajmiemy się wypukłością i wklęsłością funkcji oraz punktami przegięcia.
Funkcja
wypukła w pewnym otoczeniu punktu x
0
charakteryzuje się tym, że jej wykres w tym
otoczeniu leży nad styczną do krzywej y=f(x) w punkcie (x
0
,f(x
0
)). W przypadku
funkcji
wklęsłej zamiast „nad” trzeba powiedzieć „pod”.
Zakładamy, że funkcja f(x) ma w otoczeniu punktu x
0
dwie pierwsze pochodne ciągłe.
Na to, aby funkcja f(x) była wypukła (wklęsła) w przedziale (a,b) potrzeba i wystarcza,
by druga pochodna w tym przedziale była dodatnia (ujemna).
Zatem badanie wypukłości funkcji sprowadza się do ustalenia znaków drugiej
pochodne danej funkcji f(x).
Przykład 9.5.1. Funkcja
( )
x
a
x
f
=
, (a>0,
1
≠
a
),
R
x
∈
, jest wypukła w całej
dziedzinie, ponieważ
( )
a
a
a
x
x
ln
=
′
oraz
( )
0
)
(ln
2
>
=
″
a
a
a
x
x
.
Przykład 9.5.2. Funkcja f(x)=lnx, x>R jest wklęsła w całej dziedzinie, ponieważ
( )
0
1
1
ln
2
<
−
=
′
=
″
x
x
x
.
Punkt (x
0
,f(x
0
)) jest
punktem przegięcia krzywej, jeśli oddziela on część krzywej,
gdzie f(x) jest wypukła, od części, gdzie funkcja jest wklęsła.
Na to, aby w x
0
funkcja miała punkt przegięcia, trzeba, by
( )
0
0
=
′′
x
f
i
( )
x
f
′′
zmieniała znak przy przejściu przez x
0
.
Przykład 9.5.3. Znajdziemy przedziały wypukłości i wklęsłości oraz punkty
przegięcia dla
( )
x
x
x
x
x
f
+
+
−
−
=
2
3
4
36
2
,
R
x
∈
.
Obliczamy drugą pochodną i wyznaczamy punkty, w których
( )
0
=
′′
x
f
:
( )
1
72
6
4
2
3
+
+
−
−
=
′
x
x
x
x
f
,
R
x
∈
,
( )
0
72
12
12
2
=
+
+
−
=
′′
x
x
x
f
dla x=-3 lub x=2.
( )
0
>
′′
x
f
dla
(
)
2
,
3
−
∈
x
, więc w tym przedziale funkcja jest wypukła.
( )
0
<
′′
x
f
dla
(
)
3
,
−
∞
−
∈
x
oraz
(
)
+∞
∈
,
2
x
, zatem w tych przedziałach funkcja jest wklęsła.
Funkcja ma dwa punkty przegięcia: (-3,294) i (2,114).
Przykład 9.5.4. Wyznaczymy przedziały wypukłości i wklęsłości oraz punkty
przegięcia funkcji
Wykłady z matematyki
Anna Witaszczyk
42
( )
4
5
3
4
5
+
−
=
x
x
x
f
,
R
x
∈
.
Obliczamy drugą pochodną:
( )
3
4
20
15
x
x
x
f
−
=
′
,
( )
(
)
1
60
60
60
2
2
3
−
=
−
=
′′
x
x
x
x
x
f
.
Wyniki badania znaku drugiej pochodnej i wnioski przedstawia poniższa tabela:
x
(
)
0
,
∞
−
0
(0,1)
1
(
)
+∞
,
1
f’’(x)
-
0
-
0
+
f(x)
wklęsła nie ma punktu
przegięcia
wklęsła punkt przegięcia
(1,2)
wypukła
6. SCHEMAT BADANIA PRZEBIEGU FUNKCJI
Badanie funkcji ma na celu uzyskanie wyczerpującej informacji o tej funkcji. Może
ono być wykonane według schematu:
1. Analiza funkcji:
a) wyznaczenie dziedziny funkcji,
b) obliczenie granic na krańcach przedziałów określoności,
c) wyznaczenie asymptot,
d) wyznaczenie punktów przecięcia wykresu funkcji z osią OX oraz OY,
e) zbadanie parzystości i nieparzystości funkcji.
2. Analiza pierwszej pochodnej funkcji:
a) wyznaczenie zbioru, w którym funkcja jest różniczkowalna,
b) wyznaczenie miejsc zerowych pochodnej,
c) wyznaczenie zbiorów, w których
( )
0
>
′
x
f
i w których
( )
0
<
′
x
f
oraz określenie
monotoniczności funkcji,
d) wyznaczenie ekstremów lokalnych funkcji.
3. Analiza drugiej pochodnej funkcji:
a) wyznaczenie zbioru, w którym
( )
x
f
′
jest różniczkowalna,
b) wyznaczenie miejsc zerowych drugiej pochodnej,
c) określenie przedziałów wklęsłości i wypukłości funkcji,
d) wyznaczenie punktów przegięcia,
e) wyznaczenie ekstremów funkcji (gdy nie wyznaczono ich wcześniej).
4. Sporządzenie tabeli przebiegu zmienności funkcji.
5. Sporządzenie wykresu funkcji.
Przykład 9.6.1. Zbadamy przebieg zmienności funkcji
( )
x
x
x
f
−
=
1
2
.
1. Analiza funkcji:
a)
(
) (
)
+∞
∪
∞
−
∈
⇔
≠
−
,
1
1
,
0
1
x
x
,
b)
+∞
=
−
=
∞
∞
=
−
−∞
→
−∞
→
1
1
lim
1
lim
2
x
x
x
x
x
x
,
−∞
=
−
=
∞
∞
=
−
+∞
→
+∞
→
1
1
lim
1
lim
2
x
x
x
x
x
x
,
+∞
=
=
−
+
→
−
0
1
1
lim
2
1
x
x
x
,
−∞
=
=
−
−
→
+
0
1
1
lim
2
1
x
x
x
.
c) Z granic funkcji w nieskończoności wnioskujemy, że funkcja nie ma asymptot poziomych,
a z dwóch ostatnich, że ma asymptotę pionową x=1. Sprawdzamy istnienie asymptot
ukośnych. Asymptota ukośna y=ax+b:
Wykłady z matematyki
Anna Witaszczyk
43
( )
(
)
1
1
lim
lim
2
−
=
−
=
=
±∞
→
±∞
→
x
x
x
x
x
f
a
x
x
( )
(
)
( )
1
1
lim
1
lim
lim
2
2
2
−
=
−
−
+
=
−
−
−
=
−
=
±∞
→
±∞
→
±∞
→
x
x
x
x
x
x
x
ax
x
f
b
x
x
x
.
Prosta y=-x-1 jest asymptotą ukośną obustronną.
d) Punkty przecięcia z osią OX:
( )
0
0
0
2
=
⇔
=
⇔
=
x
x
x
f
.
Punkty przecięcia z osią OY:
( )
0
0
0
=
⇒
=
f
x
.
e)
( ) ( )
( )
( )
x
f
x
x
x
x
x
f
≠
+
=
−
−
−
=
−
1
1
2
2
i
( )
( )
x
f
x
f
−
≠
−
.
Stąd funkcja f(x) nie jest ani funkcją parzystą, ani nieparzystą.
2. Analiza pierwszej pochodnej:
( )
(
)
( )
(
)
(
)
2
2
2
2
1
2
1
1
1
2
x
x
x
x
x
x
x
x
f
−
+
−
=
−
−
−
−
=
′
.
a)
(
) (
)
+∞
∪
∞
−
=
′
,
1
1
,
f
D
.
b) Miejsca zerowe pochodnej:
( )
(
)
0
2
0
=
−
−
⇔
=
′
x
x
x
f
.
Funkcja ma dwa punkty stacjonarne: x=0 i x=2.
c)
( )
(
)
( )
2
,
0
0
2
0
∈
⇔
>
−
−
⇔
>
′
x
x
x
x
f
,
( )
(
)
(
) (
)
+∞
∪
∞
−
∈
⇔
<
−
−
⇔
<
′
,
2
0
,
0
2
0
x
x
x
x
f
.
Funkcja jest rosnąca dla
( )
2
,
0
∈
x
i malejąca dla
(
)
0
,
∞
−
∈
x
oraz dla
(
)
+∞
∈
,
2
x
.
d) Funkcja ma minimum lokalne w punkcie x=0 równe f(0)=0 i maksimum lokalne w punkcie
x=2 równe f(2)=-4.
3. Analiza drugiej pochodnej:
( ) (
)(
)
(
)
( )(
)
(
)
(
)
3
4
2
2
1
2
1
1
2
2
1
2
2
x
x
x
x
x
x
x
x
f
−
=
−
−
−
−
−
−
−
=
′′
.
a)
(
) (
)
+∞
∪
∞
−
=
′′
,
1
1
,
f
D
.
b) Dla każdego
f
D
x
′′
∈
jest
( )
0
≠
′′
x
f
, zatem funkcja nie ma punktów przegięcia.
c)
( )
(
)
(
)
1
,
0
1
0
1
0
3
∞
−
∈
⇔
>
−
⇔
>
−
⇔
>
′′
x
x
x
x
f
,
( )
(
)
(
)
+∞
∈
⇔
<
−
⇔
<
−
⇔
<
′′
,
1
0
1
0
1
0
3
x
x
x
x
f
.
Stąd funkcja jest wypukła w przedziale
(
)
1
,
∞
−
i wklęsła w przedziale
(
)
+∞
,
1
.
4. Tabela przebiegu zmienności funkcji:
x
(
)
0
,
∞
−
0
(0,1)
1
( )
2
,
1
2
(
)
+∞
,
2
f’ (x)
-
0
+
×
+
0
-
f’’(x)
+
+
+
×
-
-
-
f(x)
funkcja
maleje
w sposób
wypukły
min=0
funkcja
rośnie
w sposób
wypukły
×
funkcja
rośnie
w sposób
wklęsły
max=-
4
funkcja
maleje
w sposób
wklęsły
Wykłady z matematyki
Anna Witaszczyk
44
X. RACHUNEK CAŁKOWY
1.CAŁKA NIEOZNACZONA
Niech funkcja f będzie określona w pewnym przedziale T. Funkcją pierwotną funkcji
f w danym przedziale nazywamy taką funkcję F, której pochodna jest równa f dla
T
x
∈
, tzn.
( ) ( )
x
f
x
F
=
′
dla
T
x
∈
,
lub, korzystając z definicji różniczki, f(x)dx jest różniczką funkcji F(x), tzn.
( ) ( )
dx
x
f
x
dF
=
.
Przykład 10.1.1.
a)
Funkcją
pierwotną
funkcji
( )
5
x
x
f
=
jest
funkcja
( )
6
6
1
x
x
F
=
,
gdyż
( )
( )
x
f
x
x
x
F
=
=
′
=
′
5
6
)
6
1
(
.
b) Funkcją pierwotną funkcji
( )
x
x
f
sin
=
jest funkcja
( )
x
x
F
cos
−
=
.
c) Funkcją pierwotną funkcji
( )
x
e
x
f
=
jest funkcja
( )
x
e
x
F
=
.
Zauważmy, że (przykład 10.1.1.a) funkcja
2
6
1
6
+
x
jest również funkcją pierwotną
funkcji
( )
5
x
x
f
=
. Co więcej,
C
x
+
6
6
1
, gdzie C jest dowolną stałą, też jest funkcją pierwotną
funkcji
( )
5
x
x
f
=
. Ogólnie słuszne jest twierdzenie:
Twierdzenie 10.1.1. Jeżeli F(x) jest funkcją pierwotną funkcji f(x), to F(x)+C, gdzie C
jest dowolną stałą, jest też funkcją pierwotną funkcji f(x).
Zbiór wszystkich funkcji pierwotnych danej funkcji f nazywamy
całką nieoznaczoną
tej funkcji i zapisujemy:
( )
( )
∫
+
=
C
x
F
dx
x
f
.
Iloczyn f(x)dx nazywa się
wyrażeniem podcałkowym, funkcja f(x) – funkcją
podcałkową, x – zmienną całkowania, funkcję y=F(x)+C nazywamy krzywą całkową lub
całką ogólną funkcji f(x). Jeżeli za C podstawimy konkretne wartości, to otrzymane
wyrażenia nazywać będziemy
całkami szczególnymi funkcji f(x). Widać stąd, że całkowanie,
czyli znajdowanie wszystkich funkcji pierwotnych danej funkcji, nie jest działaniem
jednoznacznym. Jeśli jednak znamy jedną całkę szczególną, to inne otrzymamy przez dodanie
do niej dowolnej stałej. Geometrycznie oznacza to, że krzywe całkowe otrzymujemy z
wykresu dowolnej całki szczególnej za pomocą przesunięcia równoległego wzdłuż osi OY.
Przez każdy punkt płaszczyzny przechodzi dokładnie jedna krzywa całkowa.
Na podstawie wzorów rachunku różniczkowego otrzymujemy następujące
podstawowe wzory rachunku całkowego, które umożliwiają znajdowanie całki
nieoznaczonej dla pewnych funkcji elementarnych:
(10.1.1)
∫
=
C
dx
0
;
(10.1.2)
∫
∫
+
=
=
C
x
dx
dx
1
;
Wykłady z matematyki
Anna Witaszczyk
45
(10.1.3)
∫
+
+
=
+
C
x
dx
x
1
1
α
α
α
dla
1
−
≠
α
;
(10.1.4)
∫
+
=
C
x
dx
x
ln
1
;
(10.1.5)
∫
+
=
C
a
a
dx
a
x
x
ln
,
∫
+
=
C
e
dx
e
x
x
;
(10.1.6)
∫
+
−
=
C
x
xdx
cos
sin
,
∫
+
=
C
x
xdx
sin
cos
;
(10.1.7)
∫
+
=
C
tgx
x
dx
2
cos
,
∫
+
−
=
C
ctgx
x
dx
2
sin
;
(10.1.8)
∫
+
−
=
+
=
−
'
arccos
arcsin
1
2
C
x
C
x
x
dx
;
(10.1.9)
∫
+
−
=
+
=
+
'
1
2
C
arcctg
C
arctgx
x
dx
;
gdzie C i C’ – dowolne stałe. Powyższe wzory są prawdziwe w przedziałach, w których
funkcje podcałkowe są ciągłe.
Podobnie jak dla pochodnych, istnieją
reguły całkowania:
Twierdzenie 10.1.2. Jeżeli f(x) jest funkcją całkowalną w pewnym przedziale oraz a
jest dowolną stałą, to funkcja af(x) jest też całkowalna w tym przedziale i
( )
( )
∫
∫
+
=
C
dx
x
f
a
dx
x
af
.
Twierdzenie 10.1.3. Jeżeli funkcje f(x) oraz g(x) są całkowalne w pewnym przedziale,
to
( ) ( )
[
]
( )
( )
∫
∫
∫
±
=
±
dx
x
g
dx
x
f
dx
x
g
x
f
.
Przykład 10.1.2. Wyznaczmy całkę
(
)
∫
−
+
dx
x
x
4
3
6
2
.
Korzystając z tw. 10.1.3 i 10.1.2, a następnie ze wzorów (10.1.3) i (10.1.2) mamy:
(
)
∫
∫
∫
∫
+
−
+
=
+
−
⋅
+
⋅
=
−
+
=
−
+
C
x
x
x
C
x
x
x
dx
xdx
dx
x
dx
x
x
4
2
3
2
4
2
3
3
6
4
3
6
4
3
6
2
3
2
3
2
2
.
Przykład 10.1.3. Obliczmy całkę
dx
x
x
x
∫
−
+
2
4
1
. Należy przekształcić wzór funkcji
tak, aby można było zastosować podstawowe wzory i reguły całkowania:
C
x
x
x
dx
x
dx
x
dx
x
dx
x
x
x
x
x
dx
x
x
x
+
+
+
=
−
+
=
−
+
=
−
+
∫
∫
∫
∫
∫
−
1
ln
3
1
1
1
1
3
2
2
2
2
2
4
2
4
.
Przykład 10.1.4.
∫
∫
∫
∫
+
−
−
−
−
=
−
=
C
tgx
ctgx
dx
x
dx
x
dx
x
x
x
x
dx
x
x
x
2
2
2
2
2
2
2
2
cos
1
sin
1
sin
cos
sin
cos
sin
cos
2
cos
.
Wykłady z matematyki
Anna Witaszczyk
46
Przykład 10.1.5. Znajdziemy krzywą całkową
dx
x
x
∫
+
1
2
przechodzącą przez punkt
2
3
,
1
.
( )
∫
∫
+
=
+
+
=
+
=
+
C
x
F
C
x
x
dx
x
x
dx
x
x
ln
2
1
1
1
2
2
.
Jeśli
krzywa
ma
przechodzić
przez
dany
punkt,
to
( )
2
3
1
=
+
C
F
.
Zatem
1
2
3
1
ln
2
1
=
⇒
=
+
+
C
C
i szukana krzywa ma równanie
( )
1
ln
2
1
2
+
+
=
x
x
x
F
.
Przykład 10.1.6. Wyznaczymy krzywą całkową
dx
x
dx
∫
3
przechodzącą przez punkt
( )
2
,
8
.
C
x
C
x
dx
x
dx
x
dx
+
=
+
=
=
∫
∫
−
3
2
3
2
3
1
3
2
3
2
3
.
( )
4
2
6
2
8
−
=
⇒
=
+
⇒
=
C
C
F
i szukana krzywa to
4
2
3
3
2
−
=
x
y
.
2.CAŁKOWANIE PRZEZ PODSTAWIENIE
Metoda całkowania przez podstawienie nazywana jest często metodą całkowania przez
zamianę zmiennej. Aby obliczyć całkę
( )
dx
x
f
∫
, zmienną x zastępujemy nową zmienną t,
związaną ze zmienną za pomocą odpowiedniego wzoru x=g(t). Określając z tego wzoru
dx=g’(t)dt i podstawiając, otrzymamy
( )
( )
( ) ( )
∫
∫
′
=
dt
t
g
t
g
f
dx
x
f
.
Trudność obliczania całki tą metodą polega głównie na wyborze odpowiedniego
podstawienia. Można wyróżnić pewne podstawienia typowe dla niektórych klas funkcji, nie
można jednak dać uniwersalnych rad, kiedy należy stosować tą metodę i jakiej zamiany
zmiennej należy dokonać.
Przykład 10.2.1. Obliczymy przez podstawienie całkę
∫
+
dx
x
x
2
3
. Podstawimy w
miejsce
3
2
+
x
zmienną t, co zapisujemy:
∫
∫
∫
+
+
=
+
=
=
=
=
=
=
=
+
=
+
−
C
x
C
t
t
dt
t
dt
t
dt
xdx
dt
xdx
t
x
dx
x
x
2
2
1
2
1
2
2
3
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
3
3
.
Przykład 10.2.2. Obliczymy całkę
(
)
∫
+
dx
x
3
4
sin
.
Wykłady z matematyki
Anna Witaszczyk
47
(
)
(
)
∫
∫
+
+
−
=
+
−
=
=
=
=
=
+
=
+
C
x
C
t
tdt
dt
dx
dt
dx
t
x
dx
x
3
4
cos
4
1
cos
4
1
sin
4
1
4
1
4
3
4
3
4
sin
.
Przykład 10.2.3. Całka funkcji
b
ax
+
1
wynosi:
C
b
ax
C
t
t
dt
a
dt
a
dx
dt
adx
t
b
ax
dx
b
ax
+
+
=
+
=
=
=
=
=
+
=
+
∫
∫
ln
ln
1
1
1
.
Przykład 10.2.4. Obliczymy całkę
∫
+
dx
e
e
x
x
1
2
.
( )
∫
∫
∫
=
+
−
=
−
=
−
=
=
−
=
⇒
=
+
=
+
C
t
t
dt
t
t
dt
t
dt
dx
e
t
e
t
e
dx
e
e
x
x
x
x
x
ln
1
1
1
1
1
1
2
(
)
'
1
ln
1
ln
1
C
e
e
C
e
e
x
x
x
x
+
+
−
=
+
+
−
+
=
.
Przykład 10.2.5. Całkę
dx
x
x
∫
+
4
3
2
2
liczymy przez podstawienie
.
2
3
+
=
x
t
Wtedy
dx
x
dt
2
3
=
i
dt
dx
x
3
1
2
=
.
(
)
∫
∫
∫
+
+
=
+
=
=
=
+
−
C
x
C
t
dt
t
t
dt
dx
x
x
4
3
3
4
3
4
1
4
4
3
2
2
9
4
9
4
3
1
3
1
2
.
Zauważmy, że słuszny jest następujący wzór:
(10.2.1)
( )
( )
( )
∫
+
=
′
C
x
f
dx
x
f
x
f
ln
.
Aby go uzasadnić, wystarczy zastosować podstawienie f(x)=t, f’(x)dx=dt. Otrzymamy wtedy
( )
( )
( )
∫
∫
+
=
+
=
=
′
C
x
f
C
t
t
dt
dx
x
f
x
f
ln
ln
.
Przykład 10.2.6.
C
x
x
dx
x
x
x
+
+
−
=
+
−
−
∫
4
6
ln
4
6
6
2
2
2
, bo
(
)
′
+
−
=
−
4
6
6
2
2
x
x
x
.
Przykład 10.2.7.
∫
∫
+
=
=
C
x
dx
x
x
ctgxdx
sin
ln
sin
cos
, bo
(
)
′
=
x
x
sin
cos
.
Przykład 10.2.8.
∫
∫
+
−
=
−
−
=
C
x
dx
x
x
tgxdx
cos
ln
cos
sin
, bo
(
)
′
=
−
x
x
cos
sin
.
Wykłady z matematyki
Anna Witaszczyk
48
Poniższe typy całek również przez podstawienie f(x)=t, f’(x)dx=dt sprowadzają się do
całek elementarnych:
(10.2.2)
( )
( )
∫
∫
=
′
dt
e
dt
e
x
f
t
x
t
,
(10.2.3)
( )
( )
∫
∫
=
′
n
n
t
dt
dt
x
f
x
f
,
(10.2.4)
( ) ( )
dt
t
dt
x
f
x
f
n
n
∫
∫
=
′
.
Na podstawie powyższych przykładów widać, że metoda podstawiania, przy
umiejętnie dobranym podstawieniu przyspiesza i ułatwia znajdowanie funkcji pierwotnych.
3. CAŁKOWANIE PRZEZ CZĘŚCI
Metoda całkowania przez części opiera się na następującym wzorze:
(10.3.1)
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
∫
∫
′
−
=
′
dx
x
g
x
f
x
g
x
f
dx
x
g
x
f
,
gdzie funkcje f(x) i g(x) w przedziale T mają ciągłe pochodne f’(x) i g’(x).
Wzór (10.3.1) sprowadza obliczenie
( ) ( )
∫
′
dx
x
g
x
f
do obliczenia innej całki
( ) ( )
∫
′
dx
x
g
x
f
. Przekształcenie takie jest celowe w przypadku, gdy ostatnia całka okaże się
prostsza do obliczenia niż wyjściowa. Niestety, podobnie jak w metodzie podstawiania, nie
ma ogólnych wskazówek , kiedy to zachodzi. Aby zastosować wzór do obliczenia całki
( )
∫
dx
x
v
, wyrażenie podcałkowe należy przedstawić w postaci iloczynu dwóch czynników: f i
g’. Jako g’ zawsze wybieramy takie wyrażenie, z którego przez całkowanie łatwo można
wyznaczyć g, a jako f przyjmujemy funkcję, którą przy różniczkowaniu się upraszcza.
Przykład 10.3.1. Obliczymy całkę
∫
xdx
x sin
.
∫
∫
∫
+
+
−
=
+
−
=
−
=
=
=
′
=
′
=
=
C
x
x
x
xdx
x
x
x
xdx
g
f
x
g
x
f
xdx
x
sin
cos
cos
cos
cos
sin
1
sin
sin
.
Zauważmy, że poprawne jest również następujące zastosowanie wzoru na całkowanie przez
części:
∫
∫
−
=
=
=
′
=
′
=
=
xdx
x
x
x
x
g
x
f
x
g
x
f
xdx
x
cos
2
1
sin
2
1
2
1
cos
sin
sin
2
2
2
,
ale całka po prawej stronie jest bardziej skomplikowana od wyjściowej i sposób ten nie
przybliża do obliczenia całki
∫
xdx
x sin
.
Przykład 10.3.2. Aby obliczyć całkę
∫
xdx
x sin
2
, trzeba zastosować wzór (10.3.1)
dwa razy:
=
=
=
′
=
′
=
=
+
−
=
−
=
=
′
=
′
=
=
∫
∫
x
g
f
x
g
x
f
xdx
x
x
x
x
g
x
f
x
g
x
f
xdx
x
sin
1
cos
cos
2
cos
cos
2
sin
sin
2
2
2
(
)
C
x
x
x
x
x
xdx
x
x
x
x
+
+
+
−
=
−
+
−
=
∫
cos
2
sin
2
cos
sin
sin
2
cos
2
2
.
Przykład 10.3.3. Aby obliczyć całkę
∫
xdx
ln
, należy przyjąć, że g’(x)=1.
Wykłady z matematyki
Anna Witaszczyk
49
∫
∫
+
−
=
−
=
=
=
′
=
′
=
=
C
x
x
x
dx
x
x
x
g
x
f
g
x
f
xdx
ln
ln
1
1
ln
ln
.
Przykład 10.3.4.
(
)
∫
∫
+
+
−
=
+
−
=
=
+
=
′
=
′
=
=
C
x
xarctgx
dx
x
x
xarctgx
x
g
x
f
g
arctgx
f
arctgxdx
2
2
2
1
ln
2
1
1
2
2
1
1
1
1
.
Przykład 10.3.5.
=
−
=
=
′
=
′
=
=
−
=
=
=
′
=
′
=
=
∫
∫
x
g
e
f
x
g
e
f
xdx
e
x
e
x
g
e
f
x
g
e
f
xdx
e
x
x
x
x
x
x
x
cos
sin
sin
sin
sin
cos
cos
(
)
∫
∫
−
+
=
+
−
−
=
xdx
e
x
e
x
e
xdx
e
x
e
x
e
x
x
x
x
x
x
cos
cos
sin
cos
cos
sin
.
Stąd
x
e
x
e
xdx
e
x
x
x
cos
sin
cos
2
+
=
∫
i
(
)
C
x
x
e
xdx
e
x
x
+
+
=
∫
cos
sin
2
1
cos
.
4.CAŁKA OZNACZONA
Niech f(x) będzie funkcją określoną na przedziale domkniętym [a,b]. Przedział [a,b]
podzielmy punktami x
0
, x
1
,…, x
n
, takimi, że a=x
0
<x
1
<…<x
n-1
<x
n
=b na n przedziałów
częściowych [x
i-1
,x
i
] odpowiednio o długościach
1
−
−
=
i
i
i
x
x
x
∆∆∆∆
, i=1,2,…,n. Liczbę
{
}
n
n
x
x
∆∆∆∆
∆∆∆∆
,...,
max
1
=
δ
nazywa się średnicą danego podziału.
W każdym przedziale częściowym obierzmy punkt
i
x , czyli
i
i
i
x
x
x
≤
≤
−
1
, utwórzmy
iloczyny
( )
i
i
x
x
f
∆∆∆∆
oraz sumę S
n
wszystkich takich iloczynów:
( )
( )
( )
∑
=
=
+
+
=
n
i
i
i
n
n
n
x
x
f
x
x
f
x
x
f
S
1
1
1
...
∆∆∆∆
∆∆∆∆
∆∆∆∆
.
Liczbę S
n
nazywa się
sumą całkową (sumą całkową Reimanna) funkcji f na przedziale [a,b].
Utwórzmy teraz
normalny ciąg podziałów przedziału [a,b] na przedziały częściowe,
to znaczy taki ciąg, że
0
→
n
δ
przy
+∞
→
n
(oznacza to, że długości wszystkich
przedziałów częściowych dążą do zera, gdy ich liczba dąży do nieskończoności). Ciągowi
temu odpowiada ciąg
{ }
n
S
sum całkowych funkcji f. Rozważmy granicę
(
)
(
)
( )
∑
=
→
∞
→
→
∞
→
=
n
i
i
i
n
n
n
x
x
f
S
n
n
1
0
0
lim
lim
∆∆∆∆
δ
δ
.
Jeśli dla każdego normalnego ciągu podziałów przedziału [a,b] i każdego wyboru
punktów pośrednich
i
x w przedziałach częściowych tych podziałów istnieje ta sama
skończona granica ciągu
{ }
n
S
sum całkowych funkcji f, to granicę tą nazywamy
całką
oznaczoną funkcji f na przedziale [a,b] i oznaczamy symbolem
( )
∫
b
a
dx
x
f
. Zatem
( )
(
)
( )
∑
∫
=
→
∞
→
=
n
i
i
i
n
b
a
x
x
f
dx
x
f
n
1
0
lim
∆∆∆∆
δ
.
Wykłady z matematyki
Anna Witaszczyk
50
Liczbę a nazywa się dolną granicą całkowania, liczbę b – górną granicą całkowania,
przedział [a,b] – przedziałem całkowania.
Do tej pory zakładaliśmy, że a<b. Dodatkowo przyjmujemy, że
( )
( )
∫
∫
−
=
a
b
b
a
dx
x
f
dx
x
f
oraz
( )
0
=
∫
a
a
dx
x
f
.
Funkcję f , dla której istnieje całka oznaczona
( )
∫
b
a
dx
x
f
, nazywa się funkcją
całkowalną (w sensie Reimanna) na przedziale [a,b]. Dla takiej funkcji całka oznaczona jest
granicą dowolnie wybranego ciągu
{ }
n
S
sum całkowych, odpowiadającego normalnemu
ciągowi podziałów przedziału [a,b].
Poniższe twierdzenia podają warunki konieczne i dostateczne całkowalności funkcji.
Twierdzenie 10.4.1 (warunek konieczny całkowalności). Jeżeli f jest funkcją
całkowalną na przedziale [a,b], to f jest funkcją ograniczoną na tym przedziale.
Twierdzenie to orzeka, że ograniczoność funkcji jest warunkiem koniecznym jej
całkowalności.
Twierdzenie 10.4.2 (trzy warunki dostateczne całkowalności). Jeśli spełniony jest
dowolny z następujących warunków:
(1) funkcja f jest ciągła na przedziale [a,b],
(2) funkcja f jest ograniczona na przedziale [a,b] i ma w nim skończoną liczbę punktów
nieciągłości,
(3) jest funkcją monotoniczną na przedziale [a,b],
to f jest funkcją całkowalną na przedziale [a,b].
Z twierdzenia tego wynika, że ciągłość funkcji na przedziale domkniętym nie jest
warunkiem koniecznym całkowalności tej funkcji na tym przedziale.
Interpretacja geometryczna. Niech f będzie funkcją ciągłą i nieujemną na przedziale
[a,b]. Weźmy pod uwagę figurę D ograniczoną liniami: y=0, y=f(x), x=a, x=b, czyli
( )
( )
{
}
x
f
y
b
x
a
R
y
x
D
≤
≤
∧
≤
≤
∈
=
0
:
,
2
.
Będziemy
nazywać
ją
trapezem
krzywoliniowym (gdy f(x)=mx+n, to figura D jest „zwykłym” trapezem). Interpretacja
geometryczna całki oznaczonej
( )
∫
b
a
dx
x
f
jest następująca:
(1) Jeśli f jest funkcją ciągłą i nieujemną na przedziale [a,b], to całka oznaczona
( )
∫
b
a
dx
x
f
jest
polem
D
trapezu
krzywoliniowego
( )
( )
{
}
x
f
y
b
x
a
R
y
x
D
≤
≤
∧
≤
≤
∈
=
0
:
,
2
:
( )
D
dx
x
f
b
a
=
∫
.
Wykłady z matematyki
Anna Witaszczyk
51
(2)
Jeśli
f
jest
funkcją
ciągłą
i
niedodatnią
na
przedziale
[a,b],
( )
( )
{
}
x
f
y
b
x
a
R
y
x
D
≤
≤
∧
≤
≤
∈
=
0
:
,
2
, to:
( )
D
dx
x
f
b
a
−
=
∫
.
Poniższe twierdzenie podaje sposób obliczania całki oznaczonej przy założeniu, że
znamy jakąkolwiek funkcję pierwotną funkcji podcałkowej. Jest to podstawowe twierdzenie
rachunku całkowego. Wyraża ono związek całki oznaczonej z całką nieoznaczoną.
Twierdzenie 10.4.3 (Newtona-Leibniza). Jeśli f jest funkcją ciągłą na przedziale [a,b]
i F jest jej dowolną funkcją pierwotną, to
(10.4.1)
( )
( ) ( )
a
F
b
F
dx
x
f
b
a
−
=
∫
.
Równość ta nazywa się wzorem Newtona-Leibniza. Prawą stronę wzoru (10.4.1)
zapisuje się zwykle w postaci
( )
[
]
b
a
x
F
albo
( )
b
a
x
F
.
Przykład 10.4.1.
a)
[
]
(
)
1
1
0
0
cos
2
cos
cos
sin
2
0
2
0
=
+
=
−
−
−
=
−
=
∫
π
π
π
x
xdx
.
b)
[
]
(
)
1
0
1
0
sin
2
sin
sin
cos
2
0
2
0
=
−
=
−
=
=
∫
π
π
π
x
xdx
.
c)
3
2
1
3
1
1
1
3
1
3
1
2
=
+
−
=
−
=
∫
x
dx
x
.
d)
[ ]
( )
(
)
2
3
2
1
2
1
2
1
2
2
1
2
2
1
2
−
=
−
−
=
=
−
−
∫
x
xdx
.
e)
[ ]
( )
(
)
0
2
2
4
1
4
1
4
4
2
2
4
2
2
3
=
−
−
=
=
−
−
∫
x
dx
x
.
f)
[
]
( )
2
4
4
1
1
1
1
1
1
1
1
2
π
π
π
=
+
=
−
−
=
=
+
−
−
∫
arctg
arctg
arctgx
dx
x
.
Własności całki oznaczonej. Niektóre własności całki oznaczonej zostały już podane.
Teraz zostaną sformułowane kolejne.
(1) Wartość całki oznaczonej nie zależy od oznaczenia zmiennej całkowania:
( )
( )
∫
∫
=
b
a
b
a
dt
t
f
dx
x
f
.
(2) Funkcja całkowalna na przedziale domkniętym jest także całkowalna na każdym
podprzedziale domkniętym tego przedziału.
Wykłady z matematyki
Anna Witaszczyk
52
(3) (addytywność względem funkcji podcałkowej). Jeżeli funkcje f i g są całkowalne
na przedziale [a,b], to również ich suma (różnica) jest funkcją całkowalną na tym przedziale i
przy tym:
( ) ( )
(
)
( )
( )
∫
∫
∫
±
=
±
b
a
b
a
b
a
dx
x
g
dx
x
f
dx
x
g
x
f
.
(4) Jeśli f jest funkcją całkowalną na przedziale [a,b] oraz k jest stałą, to również
funkcja kf jest całkowalna na tym przedziale i
( )
( )
∫
∫
=
b
a
b
a
dx
x
f
k
dx
x
kf
.
(5) Zmiana wartości funkcji w skończonej liczbie punktów przedziału (nie wyklucza
się przy tym końców przedziału) nie wpływa ani na całkowalność tej funkcji, ani na wartość
całki, jeśli funkcja jest całkowalna.
(6) (addytywność względem przedziału całkowania). Jeśli a, b, c są dowolnymi
punktami przedziału, na którym funkcja jest całkowalna, to
( )
( )
( )
∫
∫
∫
=
+
b
a
b
c
c
a
dx
x
f
dx
x
f
dx
x
f
.
(7) Całka funkcji nieujemnej jest liczbą nieujemną.
(8) (monotoniczność całki oznaczonej). Jeśli funkcje f i g są całkowalne na przedziale
[a,b] oraz
( ) ( )
x
g
x
f
≤
dla
[ ]
b
a
x
,
∈
, to również
( )
( )
∫
∫
≤
b
a
b
a
dx
x
g
dx
x
f
.
(9) (dwustronne oszacowanie całki oznaczonej). Jeśli f jest funkcją całkowalną na
przedziale [a,b] oraz
( )
M
x
f
m
≤
≤
dla
[ ]
b
a
x
,
∈
, to
(
)
( )
(
)
a
b
M
dx
x
f
a
b
m
b
a
−
≤
≤
−
∫
.
(10) Jeśli f jest funkcją całkowalną na przedziale [a,b], to również funkcja
f
(wartość bezwzględna funkcji f) jest całkowalna na tym przedziale oraz
( )
( )
∫
∫
≤
b
a
b
a
dx
x
f
dx
x
f
.
Natomiast z całkowalności funkcji
f
nie wynika całkowalność funkcji f.
(11) Jeśli f jest funkcją nieparzystą i całkowalną, to
( )
0
=
∫
−
a
a
dx
x
f
.
Przykład 10.4.2
0
2
2
3
=
∫
−
dx
x
.
Wykłady z matematyki
Anna Witaszczyk
53
(12) Jeśli f jest funkcją parzystą i całkowalną, to
( )
( )
( )
∫
∫
∫
=
=
−
−
a
a
a
a
dx
x
f
dx
x
f
dx
x
f
0
0
2
2
.
Przykład 10.4.3.
[ ]
(
)
3
1
5
3
16
0
8
3
2
3
1
2
2
2
0
3
2
0
2
2
2
2
=
=
−
=
⋅
=
=
∫
∫
−
x
dx
x
dx
x
.
Funkcja górnej granicy całkowania. Niech f będzie funkcją całkowalną na
przedziale [a,b]. Dla każdego
[ ]
b
a
x
,
∈
rozważmy całkę
( )
∫
x
a
dt
t
f
. Całka ta istnieje, gdyż f jest
funkcją całkowalną na przedziale [a,b] i przedział [a,x] jest podprzedziałem przedziału [a,b].
Jeśli x jest ustalone, to całka ta jest określoną liczbą. Potraktujmy teraz górną granicę x jako
zmienną x przedziału [a,b]; wówczas całka ta będzie funkcją tej zmiennej – funkcją górnej
granicy całkowania. Oznaczmy ją literą F:
( )
( )
∫
=
x
a
dt
t
f
x
F
,
[ ]
b
a
x
,
∈
.
Własności funkcji F takie, jak ciągłość, różniczkowalność są zależne od własności
funkcji podcałkowej f. Mówi o tym poniższe twierdzenie.
Twierdzenie 10.4.4 (o pochodnej funkcji górnej granicy całkowania). Jeżeli f jest
funkcją ciągłą na przedziale [a,b], to funkcja górnej granicy całkowania F jest różniczkowalna
na tym przedziale i przy tym
( )
( )
( )
∫
=
=
′
x
a
x
f
dt
t
f
dx
d
x
F
)
(
,
[ ]
b
a
x
,
∈
.
Twierdzenie 10.4.4 mówi , że jeśli f jest funkcją ciągłą na przedziale [a,b], to funkcja
F jest jedną z jej funkcji pierwotnych.
Zauważmy jeszcze, że funkcja F jako funkcja różniczkowalna jest funkcją ciągłą na
przedziale [a,b]. Wykazuje się, że dla zapewnienia ciągłości funkcji F wystarczy założyć
całkowalność funkcji na przedziale [a,b].
Wartość średnia funkcji. Niech f będzie funkcją całkowalną na przedziale [a,b], a y
niech oznacza taką liczbę, że
( )
∫
∫
=
b
a
b
a
dx
x
f
dx
y
, co jest równoważne temu, że
(10.4.2)
( )
∫
−
=
b
a
dx
x
f
a
b
y
1
.
Liczbę y daną ostatnią równością nazywa się wartością średnią funkcji f na
przedziale [a,b]. W interpretacji geometrycznej, wartość średnia funkcji f na przedziale [a,b],
całkowalnej i nieujemnej na tym przedziale, to taka liczba y , że pole trapezu
krzywoliniowego ograniczonego liniami y=0, y=f(x), x=a, x=b jest równe polu prostokąta o
długościach boków y i (b-a).
Przykład 10.4.4. Wartość średnia funkcji
( )
2
1
x
x
f
=
na przedziale
2
,
2
1
wynosi:
Wykłady z matematyki
Anna Witaszczyk
54
1
2
2
1
3
2
1
3
2
1
2
1
2
1
2
2
1
2
2
1
2
=
+
−
=
−
=
−
=
∫
x
dx
x
y
.
W przykładzie 10.4.4 wartość średnia funkcji jest wartością tej funkcji w pewnym
punkcie x
0
przedziału
2
,
2
1
. Punkt ten znajdujemy z równania
( )
y
x
f
=
, czyli
1
1
2
=
x
, skąd
x
0
=1. W takich przypadkach mówi się, że funkcja
osiąga swoją wartość średnią. Nie zawsze
tak jest, może się zdarzyć, że równanie
( )
y
x
f
=
jest sprzeczne. Poniższe twierdzenie podaje
warunek dostateczny tego, aby funkcja osiągała swoją wartość średnią.
Twierdzenie 10.4.5. Jeżeli f jest funkcją ciągłą na przedziale [a,b], to wewnątrz tego
przedziału istnieje punkt x
0
taki, że
( )
( )
0
1
x
f
dx
x
f
a
b
b
a
=
−
∫
, czyli
( )
0
x
f
y
=
,
( )
b
a
x
,
0
∈
.
W interpretacji geometrycznej oznacza to, że jeśli
y jest wartością średnią ciągłej
funkcji f na przedziale [a,b], to prosta
y
y
=
przecina wykres tej funkcji co najmniej w
jednym punkcie o odciętej z przedziału (a,b).
5. ZASTOSOWANIA GEOMETRYCZNE CAŁKI OZNACZONEJ
Ze sposobu definiowania całki oznaczonej wynika jej podstawowe zastosowanie
geometryczne – do obliczania pól obszarów ograniczonych osią OX, wykresem funkcji
( )
0
≥
x
f
i prostymi x=a, x=b. Uogólnimy wzory uzyskane przy interpretacji geometrycznej:
pole obszaru ograniczonego wykresem dwóch funkcji ciągłych f
1
i f
2
przy czym
( )
( )
x
f
x
f
2
1
≤
dla każdego
[ ]
b
a
x
,
∈
, oraz prostymi x=a i x=b (które w szczególnym przypadku mogą
redukować się do punktów przecięcia się wykresów funkcji),jest równe:
(10.5.1)
( )
( )
[
]
∫
−
=
b
a
dx
x
f
x
f
D
1
2
, gdzie
( )
( )
( )
{
}
x
f
y
x
f
b
x
a
R
y
x
D
2
1
2
:
,
≤
≤
∧
≤
≤
∈
=
Przykład 10.5.1. Obliczymy pole obszaru zawartego między hiperbolą xy=1 i prostą
2x+2y-5=0. Rozwiązując układ równań
+
−
=
=
2
5
1
x
y
x
y
, otrzymujemy odcięte punktów
przecięcia wykresów funkcji
2
1
1
=
x
,
2
2
=
x
. Wykres funkcji liniowej w przedziale
2
,
2
1
leży
nad
wykresem
hiperboli,
zatem
należy
obliczyć
pole
obszaru
( )
+
−
≤
≤
∧
≤
≤
∈
=
2
5
1
2
2
1
:
,
2
x
y
x
x
R
y
x
D
. Zgodnie ze wzorem (10.5.1):
[ ]
2
2
2
1
2
2
1
2
2
ln
2
8
15
ln
2
5
2
1
2
5
j
x
x
x
dx
x
x
D
−
=
−
+
−
=
−
+
−
=
∫
.
Wykłady z matematyki
Anna Witaszczyk
55
Przykład 10.5.2. Obliczymy pole obszaru ograniczonego parabolą
x
y
=
2
i prostą
y=x-2 dla
0
≥
y
. Z odpowiedniego układu równań znajdujemy, że odcięta punktu przecięcia
prostej z parabolą wynosi 4, a odcięta punktu przecięcia danej prostej z osią OX wynosi 2.
Mamy więc:
(
)
[ ]
[ ]
2
4
2
2
4
0
3
4
2
4
0
3
10
2
2
1
3
2
2
j
x
x
x
dx
x
dx
x
D
=
−
−
=
−
−
=
∫
∫
.
Przykład 10.5.3. Pole obszaru ograniczonego dwiema parabolami
2
4
x
y
−
=
i
x
x
y
2
2
−
=
jest równe:
(
)
(
)
[ ]
2
2
1
2
3
2
1
2
2
1
2
2
9
4
2
3
4
2
2
2
4
j
x
x
x
dx
x
x
dx
x
x
x
D
=
+
+
−
=
+
+
−
=
+
−
−
=
−
−
−
∫
∫
.
Całka oznaczona ma również inne zastosowania geometryczne. Służy do obliczania
długości łuku krzywej, objętości bryły obrotowej, pola powierzchni bryły obrotowej.
6.CAŁKA NIEWŁAŚCIWA
Przy omawianiu całki oznaczonej
( )
∫
b
a
dx
x
f
zakładaliśmy, że przedział całkowania
[a,b] jest ograniczony i funkcja podcałkowa f(x) jest ograniczona na tym przedziale.
Zajmiemy się teraz uogólnieniem całki oznaczonej w przypadku, gdy przedział całkowania
lub funkcja podcałkowa są nieograniczone. Gdy
+∞
=
b
lub
−∞
=
a
lub funkcja f(x) jest
nieograniczona, to symbolami
( )
∫
+∞
a
dx
x
f
,
( )
∫
∞
−
b
dx
x
f
,
( )
∫
+∞
∞
−
dx
x
f
oraz symbolem
( )
∫
b
a
dx
x
f
(gdy f – nieograniczona) będziemy oznaczać nowy rodzaj całek –
całki niewłaściwe. Rozpatrzymy całki niewłaściwe w przedziale nieograniczonym i całki
niewłaściwe z funkcji nieograniczonej.
Całki niewłaściwe na przedziale nieograniczonym. Niech funkcja f(x) będzie
określona w przedziale
[
)
+∞
,
a
i całkowalna w każdym podprzedziale
[ ]
A
a,
tego przedziału.
Całką funkcji f(x) w granicach od a do plus nieskończoności nazywamy granicę (skończoną
lub nie), całki oznaczonej
( )
∫
A
a
dx
x
f
, gdy A dąży do plus nieskończoności, i oznaczamy
symbolem
( )
∫
+∞
a
dx
x
f
. Zatem:
(10.6.1)
( )
( )
∫
∫
+∞
→
+∞
=
A
a
A
a
dx
x
f
dx
x
f
lim
.
Jeśli ta granica jest skończona, mówimy, że całka jest
zbieżna, a funkcję f(x)
nazywamy całkowalną w przedziale
[
)
+∞
,
a
. Jeśli granica jest nieskończona bądź nie istnieje,
to mówimy o całce, że jest
rozbieżna.
Wykłady z matematyki
Anna Witaszczyk
56
Przykład 10.6.1.
a)
[
]
2
lim
lim
1
1
lim
1
1
0
0
2
0
2
π
=
=
=
+
=
+
+∞
→
+∞
→
+∞
→
+∞
∫
∫
arctgA
arctgx
dx
x
dx
x
A
A
A
A
A
.
b)
1
1
1
lim
1
lim
1
lim
1
1
1
2
1
2
=
+
−
=
−
=
=
+∞
→
+∞
→
+∞
→
+∞
∫
∫
A
x
dx
x
dx
x
A
A
A
A
A
.
Podobnie jak dla całek właściwych, jeśli funkcja podcałkowa jest ciągła i nieujemna,
wartość całki jest równa polu figury ograniczonej krzywą i osią OX w przedziale
[
)
+∞
,
a
.
Funkcje rozpatrywane w powyższym przykładzie są nieujemne w swoich dziedzinach i ciągłe
w przedziałach całkowania. W przykładzie 10.6.1a wyznaczyliśmy więc pole powierzchni
ograniczonej krzywą
2
1
1
x
y
+
=
, osią OY i asymptotą poziomą krzywej – osią OX, natomiast
w przykładzie 10.6.1b pole powierzchni ograniczonej krzywą
2
1
x
y
=
, prostą x=1 i osią OX
(również jest to asymptota pozioma danej funkcji).
Przykład 10.6.2. Zbadajmy, czy pole ograniczone krzywą
x
y
1
=
i jej asymptotą
poziomą dla
1
≥
x
ma skończoną wartość.
[ ]
(
)
+∞
=
−
=
=
=
+∞
→
+∞
→
+∞
→
+∞
∫
∫
1
ln
ln
lim
ln
lim
1
lim
1
1
1
1
A
x
dx
x
dx
x
A
A
A
A
A
.
W tym przypadku całka jest rozbieżna.
Podobnie do (10.6.1) definiujemy całkę funkcji f(x) w przedziale
(
]
a
,
∞
−
:
(10.6.2)
( )
( )
∫
∫
−∞
→
∞
−
=
a
B
B
a
dx
x
f
dx
x
f
lim
, B<a
Jeżeli funkcja f(x) jest określona dla każdego
R
x
∈
i całkowalna w każdym
przedziale domkniętym, to całka w przedziale
(
)
+∞
∞
−
,
jest równa:
(10.6.3)
( )
( )
( )
∫
∫
∫
+∞
→
−∞
→
+∞
∞
−
+
=
A
a
A
a
B
B
dx
x
f
dx
x
f
dx
x
f
lim
lim
,
R
a
∈
.
przy czym całkę tą uważamy za zbieżną tylko wtedy, gdy obie całki niewłaściwe po prawej
stronie (10.6.3) są zbieżne.
Przykład 10.6.3. Obliczymy całkę
∫
+∞
∞
−
−
dx
xe
x
2
.
∫
∫
∫
−
+∞
→
−
−∞
→
+∞
∞
−
−
+
=
A
x
A
B
x
B
x
dx
xe
dx
xe
dx
xe
0
0
2
2
2
lim
lim
.
2
1
2
1
2
1
lim
2
1
lim
lim
2
2
2
0
0
−
=
+
−
=
−
=
−
−∞
→
−
−∞
→
−
−∞
→
∫
B
B
B
x
B
B
x
B
e
e
dx
xe
.
2
1
2
1
2
1
lim
2
1
lim
lim
2
2
2
0
0
=
+
−
=
−
=
−
+∞
→
−
+∞
→
−
+∞
→
∫
A
A
A
x
A
A
x
A
e
e
dx
xe
.
Wykłady z matematyki
Anna Witaszczyk
57
Zatem
0
2
=
∫
+∞
∞
−
−
dx
xe
x
.
Całkę nieoznaczoną
∫
−
dx
xe
x
2
oblicza się przez podstawienie
2
x
t
−
=
.
Przykład 10.6.4. Obliczymy pole obszaru ograniczonego wykresem funkcji
2
1
1
x
y
+
=
i jej asymptotą. Asymptotą tej funkcji jest oś OX. Ponieważ nie są ustalone
granice przedziału całkowania, należy rozumieć, że chodzi tu o cały obszar pod wykresem
krzywej, czyli o całkę w przedziale
(
)
+∞
∞
−
,
. Ponieważ
2
1
1
x
y
+
=
jest funkcją parzystą i
całka obliczona w przykładzie 10.6.1a jest zbieżna, więc korzystając z własności (12) całki
oznaczonej:
π
=
+
=
+
+
+
=
+
∫
∫
∫
∫
+∞
+∞
∞
−
+∞
∞
−
0
2
0
2
0
2
2
1
1
2
1
1
1
1
1
1
dx
x
dx
x
dx
x
dx
x
.
Całka niewłaściwa z funkcji nieograniczonej. Niech f(x) będzie funkcją
nieograniczoną na przedziale
[
)
b
a,
(tzn.
( )
±∞
=
−
→
x
f
b
x
lim
) i całkowalną w każdym przedziale
[ ]
β
,
a
, gdzie
b
a
<
<
β
. Punkt b nazywa się punktem osobliwym funkcji f(x). Granicę
( )
∫
−
→
β
β
a
b
dx
x
f
lim
nazywamy
całką niewłaściwą nieograniczonej funkcji f(x) na przedziale
[ ]
b
a,
i
oznaczamy symbolem „zwykłej” całki oznaczonej
( )
∫
b
a
dx
x
f
. Zatem
(10.6.4)
( )
( )
∫
∫
−
→
=
β
β
a
b
b
a
dx
x
f
dx
x
f
lim
.
Przy tym, jeśli granica po prawej stronie jest skończona, to mówimy, że całka niewłaściwa
( )
∫
b
a
dx
x
f
jest
zbieżna. Gdy dodatkowo założyć, że funkcja f jest ciągła i nieujemna na
przedziale
[
)
b
a,
, to zbieżność całki niewłaściwej (10.6.4) oznacza, że pole figury
( )
( )
{
}
x
f
y
b
x
a
R
y
x
D
≤
≤
∧
<
≤
∈
=
0
:
,
2
jest skończone i równe tej całce.
Jeśli rozważana w (10.6.4) granica jest niewłaściwa (równa
∞
±
) albo nie istnieje, to
mówimy, że całka niewłaściwa
( )
∫
b
a
dx
x
f
jest
rozbieżna.
Przykład 10.6.5. Zbadajmy całkę funkcji
( )
x
x
f
−
=
1
1
w przedziale [0,1].
Dziedziną tej funkcji jest zbiór
(
)
1
,
∞
−
, funkcja nie jest określona dla x=1,
( )
+∞
=
−
→
x
f
x
1
lim
,
punkt x=1 jest więc punktem osobliwym. Zatem jest to całka niewłaściwa postaci (10.6.4).
Obliczymy najpierw całkę nieoznaczoną:
C
x
C
t
dt
t
dt
dx
t
x
dx
x
+
−
−
=
+
−
=
−
=
−
=
=
−
=
−
∫
∫
−
1
2
1
1
1
2
1
.
Całka niewłaściwa:
Wykłady z matematyki
Anna Witaszczyk
58
( )
[
]
(
)
1
1
1
lim
1
lim
1
1
lim
1
0
1
0
1
1
0
=
+
−
−
=
−
−
=
−
=
−
−
−
→
→
→
∫
∫
β
β
β
β
β
β
x
dx
x
dx
x
f
.
Rozważana całka niewłaściwa jest zbieżna i równa 1.
Możliwe są jeszcze inne przypadki całki niewłaściwej z funkcji nieograniczonej. I tak,
gdy f(x) jest funkcją nieograniczoną na przedziale
(
]
b
a,
(tzn.
( )
±∞
=
+
→
x
f
a
x
lim
) i całkowalną w
każdym przedziale
[ ]
b
,
α
, gdzie
b
a
<
<
α
(punkt a jest punktem osobliwym funkcji f(x)), to
całkę niewłaściwą nieograniczonej funkcji f(x) na przedziale
[ ]
b
a,
definiujemy równością:
(10.6.5)
( )
( )
∫
∫
+
→
=
b
a
b
a
dx
x
f
dx
x
f
α
α
lim
.
Przykład 10.6.6. Przykładem całki typu (10.6.5) jest
∫
1
0
ln xdx
:dziedzina funkcji
podcałkowej -
(
)
+∞
,
0
, punkt x=0 jest punktem osobliwym -
−∞
=
−
→
x
x
ln
lim
0
.Całka
nieoznaczona została obliczona w przykładzie 10.3.3.
[
]
(
)
1
ln
1
1
ln
lim
ln
lim
ln
lim
ln
2
.
91
.
Pr
0
1
0
3
.
3
.
10
.
Pr
1
0
1
0
−
=
+
−
−
=
−
=
=
+
+
+
→
→
→
∫
∫
z
z
x
x
x
xdx
xdx
α
α
α
α
α
α
α
α
.
Całka jest zbieżna. Skorzystaliśmy z wyniku uzyskanego w przykładzie 9.1.2, że
0
ln
lim
0
=
+
→
x
x
x
. Granica ta została obliczona z wykorzystaniem reguły de L’Hospitala.
Jeśli punktami osobliwymi funkcji f są oba krańce przedziału (a,b), to:
(10.6.6)
( )
( )
( )
∫
∫
∫
−
+
→
→
+
=
β
β
α
α
c
b
c
a
b
a
dx
x
f
dx
x
f
dx
x
f
lim
lim
,
gdzie
( )
b
a
c
,
∈
.
Przykład 10.6.7. Obliczymy całkę
∫
−
−
1
1
2
1
1
dx
x
. Na krańcach przedziału (-1,1), który
jest dziedziną funkcji podcałkowej, funkcja jest nieograniczona, jej wartości dążą do plus
nieskończoności. Przyjmijmy we wzorze (10.6.6) c=0. Otrzymujemy:
( )
[
]
[
]
=
+
=
−
+
−
=
−
+
−
+
→
−
→
→
−
→
−
∫
∫
∫
β
β
α
α
β
β
α
α
0
1
0
1
0
2
1
0
2
1
1
1
arcsin
lim
arcsin
lim
1
1
lim
1
1
lim
x
x
dx
x
dx
x
dx
x
f
(
)
(
)
π
π
π
β
α
β
α
=
+
=
−
+
−
=
−
+
→
−
→
2
2
0
arcsin
arcsin
lim
arcsin
0
arcsin
lim
1
1
.
Czasami
zachodzi
potrzeba
wykorzystania
całki
niewłaściwej
z
funkcji
nieograniczonej w przedziale niewłaściwym. Gdy punkt a jest punktem osobliwym funkcji
f(x), to przyjmuje się, że:
(10.6.7)
( )
( )
( )
∫
∫
∫
+∞
+∞
+
=
c
c
a
a
dx
x
f
dx
x
f
dx
x
f
,
(
)
+∞
∈
,
a
c
,
gdzie całki po prawej stronie (10.6.7) wyrażają się wzorami (10.6.5) i (10.6.1) oraz
Wykłady z matematyki
Anna Witaszczyk
59
(10.6.8)
( )
( )
( )
∫
∫
∫
+
=
∞
−
∞
−
a
c
c
a
dx
x
f
dx
x
f
dx
x
f
,
(
)
,
, a
c
∞
−
∈
,
gdzie całki po prawej stronie (10.6.8) wyrażają się wzorami (10.6.2) i (10.6.4).
Przykład 10.6.8. Obliczymy
∫
+∞
0
2
1
dx
x
. Funkcja jest nieograniczona w punkcie x=0.
Przyjmijmy, że c=1. Zgodnie z (10.6.7):
(10.6.9)
∫
∫
∫
+∞
+∞
+
=
1
2
1
0
2
0
2
1
1
1
dx
x
dx
x
dx
x
.
Zajmijmy się pierwszą z całek:
+∞
=
+
−
=
−
=
=
+
+
+
→
→
→
∫
∫
α
α
α
α
α
α
1
1
lim
1
lim
1
lim
1
0
1
0
1
2
0
1
0
2
x
dx
x
dx
x
.
Całka
∫
+∞
0
2
1
dx
x
jest zatem rozbieżna, ponieważ pierwsza z całek po prawej stronie (10.6.9) jest
rozbieżna (zachowanie się pozostałej nie ma już wtedy znaczenia).
Przykład 10.6.9. Obliczymy
∫
∞
−
−
1
1
1
dx
x
. Funkcja jest nieograniczona w punkcie x=1.
Przyjmijmy w (10.6.8), że c=0. Otrzymujemy:
(10.6.10)
∫
∫
∫
−
+
−
=
−
∞
−
∞
−
1
0
0
1
1
1
1
1
1
1
dx
x
dx
x
dx
x
.
Zajmijmy się pierwszą z całek:
[
]
(
)
−∞
=
−
−
=
−
=
−
=
−
−∞
→
−∞
→
−∞
→
∞
−
∫
∫
1
ln
1
ln
lim
1
ln
lim
1
1
lim
1
1
0
)
1
.
2
.
10
(
0
0
B
x
dx
x
dx
x
B
B
B
B
B
.
Całka
∫
∞
−
−
1
1
1
dx
x
jest zatem rozbieżna, ponieważ, podobnie jak w przykładzie 10.6.8, pierwsza
z całek po prawej stronie (10.6.10) jest rozbieżna.
Przykład 10.9.10. Rozważając całkę
∫
+∞
∞
−
dx
x
2
1
należy zauważyć, że funkcja
podcałkowa ma punkt nieosobliwy x=0 i przedstawić ją w postaci sumy całek:
∫
∫
∫
+∞
∞
−
+∞
∞
−
+
=
0
2
0
2
2
1
1
1
dx
x
dx
x
dx
x
Całki po prawej stronie są typu (10.6.8) i (10.6.7). Ponieważ w przykładzie 10.6.8
otrzymaliśmy że
∫
+∞
0
2
1
dx
x
jest rozbieżna, więc również rozbieżna jest całka
∫
+∞
∞
−
dx
x
2
1
.
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
Matematyka LOGISTYKA wykład cz1
matematyka dyskretna w 2 id 283 Nieznany
Badania operacyjne wyklad 2 id Nieznany
historia gospodarcza wyklady id Nieznany
Matematyka finansowa, Wyklad 9 F
Podstawy Logistyki Wykład I
Logistyka wykład, 9 01 2013
Chemia ogolna wyklady 5 6 2012 Nieznany
Lancuch logistyczny referat id Nieznany
Logistyka 6 id 272409 Nieznany
Inzynieria wyklad wprowadzajacy Nieznany
Matematyka Sem 2 Wykład Całki Powierzchniowe
Pedagogika ogolna wyklady 2013 Nieznany
matematyka wzory id 284044 Nieznany
Ocena zgodnosci wyklad 4 akredy Nieznany
Miernictwo Komentarz do wykładów cz2
Matematyka dyskretna id 283281 Nieznany
GW Wyklad06 cz2
więcej podobnych podstron