Rozdzia l 5

Obraz, rz

,

ad i j

,

adro macierzy

5.1

Obraz i rz

,

ad macierzy

Niech A

∈ K

m,n

,

A = [~a

1

, ~a

2

, . . . , ~a

n

],

~a

j

∈ K

m

, 1

≤ j ≤ n.

Obraz macierzy A definiujemy jako

R(A) := { A ∗ ~x : ~x ∈ K

n

} = span(~a

1

, ~a

2

. . . , ~a

n

)

⊆ K

m

.

Dalej, rz

,

ad kolumnowy macierzy A definiujemy jako

rz

k

(A) := dim (

R(A)) .

Oczywi´scie, 0

≤ rz

k

(A)

≤ min(m, n). Podobnie, przedstawiaj

,

ac A jako

wektory-wiersze (funkcjona ly),

A =









ˆ

a

T

1

...

ˆ

a

T

m









,

definiujemy rz

,

ad wierszowy macierzy A jako

rz

w

(A) = dim



R(A

T

)



= dim (span(ˆ

a

1

, ˆ

a

2

, . . . , ˆ

a

n

)) .

Podobnie jak dla rz

,

edu kolumnowego, 0

≤ rz

w

(A)

≤ min(m, n).

Mamy nast

,

epuj

,

ace wa˙zne twierdzenie.

43

44

ROZDZIA L 5. OBRAZ, RZ

,

AD I J

,

ADRO MACIERZY

Twierdzenie 5.1 Dla dowolnej macierzy A

∈ K

m,n

mamy

rz

k

(A) = rz

w

(A).

Dow´

od. Oznaczmy

k = rz

k

(A) oraz w = rz

w

(A).

Zauwa˙zmy najpierw, ˙ze permutacja kolumn macierzy nie zmienia ani jej
rz

,

edu kolumnowego (bo to tylko zmiana kolejno´sci wektor´ow) ani jej rz

,

edu

wierszowego (bo to tylko przenumerowanie wsp´o lrz

,

ednych, identyczne dla

ka˙zdego z wektor´ow). Podobnie rz

,

ed´ow nie zmienia permutacja wierszy.

Dokonajmy wi

,

ec, dla uproszczenia, takiej permutacji kolumn, a potem

wierszy, aby otrzymana macierz ˆ

A by la postaci

ˆ

A =

h

A

I

A

II

i

,

gdzie A

I

∈ K

m,k

, A

II

∈ K

m,n−k

, rz

k

(A

I

) = k, oraz

A

I

=

"

A

1

A

2

#

,

w

1

:= rz

w

(A

I

) = rz

w

(A

1

). Oczywi´scie

w

1

≤ w,

bo wiersze A

1

s

,

a “obci

,

etymi” wierszami ˆ

A.

Poniewa˙z wektory-wiersze macierzy A

2

s

,

a liniowo zale˙zne od wektor´ow-

wierszy macierzy A

1

to istnieje macierz B

∈ K

w

1

,m−w

1

taka, ˙ze A

T

2

= A

T

1

∗

B (gdzie kolejne kolumny B s

,

a wsp´o lczynnikami odpowiednich kombinacji

liniowych), czyli A

2

= B

T

∗ A

1

. Dla dowolnego ~x

∈ K

k

mamy wi

,

ec

A

I

∗ ~x =

"

A

1

∗ ~x

A

2

∗ ~x

#

=

"

A

1

∗ ~x

B

T

∗ A

1

∗ ~x

#

.

St

,

ad, A

1

∗ ~x = ~0 wtedy i tylko wtedy gdy A

I

∗ ~x = ~0, a poniewa˙z kolumny

macierzy A

I

s

,

a liniowo niezale˙zne, oznacza to tak˙ze liniow

,

a niezale˙zno´s´c ko-

lumn macierzy A

1

. A je´sli tak to ich liczba k nie mo˙ze przekroczy´c w

1

, czyli

wymiaru przestrzeni do kt´orej nale˙z

,

a.

5.2. PRZESTRZE ´

N ZEROWA (J

,

ADRO) MACIERZY

45

Otrzymali´smy wi

,

ec, ˙ze

rz

k

(A) = rz

k

( ˆ

A) = k

≤ w

1

≤ w = rz

w

( ˆ

A) = rz

w

(A).

Przeprowadzaj

,

ac podobne rozumowanie dla macierzy A

T

otrzymujemy

rz

w

(A)

≤ rz

k

(A), a st

,

ad ostatecznie rz

w

(A) = rz

k

(A), co nale˙za lo pokaza´c.

Na podstawie twierdzenia 5.1 poprawna jest nast

,

epuj

,

aca definicja rz

,

edu

macierzy.

Definicja 5.1 Rz

,

edem macierzy A nazywamy liczb

,

e

rz(A) := rz

k

(A) = rz

w

(A).

5.2

Przestrze´

n zerowa (j

,

adro) macierzy

Dla A

∈ K

m,n

zbi´or

N :=

n

~x

∈ K

n

: A

∗ ~x = ~0

o

nazywamy j

,

adrem macierzy A.

Niech k = rz(A). Za l´o˙zmy, ˙ze kolumny macierzy A zosta ly tak przesta-

wione, ˙ze otrzymana macierz ˆ

A ma posta´c

ˆ

A =

h

A

I

A

II

i

,

gdzie A

I

∈ K

m,k

, A

II

∈ K

m,n−k

, oraz rz(A

I

) = rz( ˆ

A) (= rz(A)). Je´sli

tak to kolumny macierzy A

II

s

,

a liniowo zale˙zne od kolumn macierzy A

I

.

W konsekwencji A

II

= A

I

∗ B dla pewnej B ∈ K

k,n−k

. Za l´o˙zmy teraz, ˙ze

~x

∈ N ( ˆ

A). Przedstawiaj

,

ac ~x w postaci

~x =

"

~x

I

~x

II

#

,

~x

I

∈ K

k

, ~x

II

∈ K

n−k

, mamy

~0 = ˆ

A

∗ ~x =

h

A

I

A

II

i

"

~x

I

~x

II

#

= A

I

∗ ~x

I

+ A

II

∗ ~x

II

= A

I

∗ ~x

I

+ A

I

∗ B + ~x

II

= A

I

∗ (~x

I

+ B

∗ ~x

II

).

46

ROZDZIA L 5. OBRAZ, RZ

,

AD I J

,

ADRO MACIERZY

Ostatnie wyra˙zenie jest liniow

,

a kombinacj

,

a kolumn macierzy A

I

, a poniewa˙z

kolumny te s

,

a liniowo niezale˙zne to kombinacja ta daje wektor zerowy tylko

wtedy gdy ~x

I

+ B

∗ ~x

II

= ~0, czyli ~x

I

=

−B ∗ ~x

II

. St

,

ad

N ( ˆ

A) =

( "

−B ∗ ~x

II

~x

II

#

: ~x

II

∈ K

n−k

)

=

( "

−B

I

n−k

#

∗ ~x : ~x

II

∈ K

n−k

)

.

Przedstawiaj

,

ac B kolumnowo, B = [~b

1

, . . . ,~b

n−k

], otrzymujemy ostatecznie

N ( ˆ

A) =

R

"

−B

I

n−k

#!

= span

"

−~b

1

~e

1

#

, . . . ,

"

−~b

n−k

~e

n−k

#!

,

gdzie jak zwykle ~e

j

∈ K

n−k

jest j-tym wersorem. Poniewa˙z ~e

1

, . . . , ~e

n−k

s

,

a

liniowo niezale˙zne to liniowo niezale˙zne s

,

a te˙z wektory w powy˙zszym “span”.

St

,

ad dim(

N ( ˆ

A)) = n

− k = n − rz(A). Wobec r´owno´sci dim(N ( ˆ

A)) =

dim(

N (A)) (bo permutacja kolumn skutkuje jedynie przestawieniem wsp´o l-

rz

,

ednych w j

,

adrze) dostajemy nast

,

epuj

,

acy wniosek.

Wniosek 5.1 Dla dowolnej macierzy A

∈ K

m,n

dim(

N (A)) + dim(R(A)) = n.

5.3

Rozk lad przestrzeni wzgl

,

edem obrazu i

j

,

adra

Zatrzymajmy si

,

e na chwil

,

e na przypadku gdy K

⊆ C. Poniewa˙z wtedy





n

X

j=1

~a

j

∗ x

j





=

n

X

j=1

~a

j

∗ x

j

(gdzie sprz

,

e˙zenie wektora oznacza sprz

,

e˙zenie “po wsp´o lrz

,

ednych”) to wektory

(~a

1

, . . . , ~a

n

) oraz (~a

1

, . . . , ~a

n

) s

,

a jednocze´snie albo liniowo niezale˙zne, albo

liniowo zale˙zne. St

,

ad rz(A) = rz(A) (gdzie zn´ow sprz

,

e˙zenie macierzy oznacza

sprz

,

e˙zenie “po wsp´o lrz

,

ednych”). W konsekwencji,

rz(A

H

) = rz(A

T

) = rz(A

T

) = rz(A).

Latwo mo˙zna te˙z wywnioskowa´c inn

,

a w lasno´s´c; mianowicie, je´sli

A = B

∗ C,

5.3. ROZK LAD PRZESTRZENI WZGL

,

EDEM OBRAZU I J

,

ADRA

47

A

∈ K

m,n

, B

∈ K

m,k

, C

∈ K

k,n

, to

rz(A)

≤ min(rz(B), rz(C)).

Rzeczywi´scie, r´owno´s´c A = B

∗C oznacza, ˙ze kolumny macierzy A s

,

a liniow

,

a

kombinacj

,

a kolumn macierzy B, a st

,

ad

R(A) ⊆ R(B) i w konsekwencji

rz(A)

≤ rz(B). Bior

,

ac z kolei transpozycj

,

e mamy A

T

= C

T

∗ B

T

i to samo

rozumowanie daje

R(A

T

)

⊆ R(B

T

) oraz

rz(A) = rz(A

T

)

≤ rz(B

T

) = rz(B).

Na koniec jeszcze jedno istotne twierdzenie.

Twierdzenie 5.2 Niech K

⊆ C i A ∈ K

m,n

. Wtedy

K

m

=

R(A) ⊕ N (A

H

)

K

n

=

R(A

H

)

⊕ N (A).

Dow´

od. Wystarczy pokaza´c pierwsz

,

a z tych r´owno´sci. W tym celu naj-

pierw uzasadnimy, ˙ze suma jest sum

,

a prost

,

a. Rzeczywi´scie, je´sli ~y

∈ R(A) ∩

N (A) to A

H

∗ ~y = ~0 oraz istnieje ~x ∈ K

n

taki, ˙ze A

∗ ~x = ~y. St

,

ad

k~yk

2

2

= ~y

H

∗ ~y = (A ∗ ~x)

H

∗ ~y = ~x

H

∗ (A

H

∗ ~y) = ~0,

czyli ~y = ~0 i suma podprzestrzeni jest prosta.

Pozostaje pokaza´c, ˙ze wymiar sumy prostej wynosi m. Mamy bowiem

dim



R(A) ⊕ N (A

H

)



= dim (

R(A)) + dim



N (A

H

)



= dim (

R(A)) +

h

m

− dim



R(A

H

)

i

= dim (

R(A)) + [m − dim (R(A))]

= m.