PODSTAWY ANALIZY

ZADANIA

2

Całka oznaczona

1. Korzystając z podstawowego twierdzenia rachunku całkowego obliczyć całki:

a)

Z

π

3

π

4

x

sin

2

x

dx

b)

Z

√

2

2

1
2

1

q

(1 − x

2

) arc sin x

dx

2. Znaleźć pole figury ograniczonej krzywymi:

a) y =

1

1 + x

2

, y =

x

2

2



odp :

π

2

−

1

3



b) y = x

4

, y = 2 − x

2



odp :

44

15



c) y = 2x − x

2

, y = −x



odp :

9

2



d) y = sin x , y = cos x , x = 0, x =

π

2



odp : 2

√

2 − 2



e) y =

x

2

2

, y = x

2

, y = 2x (odp : 4)

f ) y = arctgx , y = arcctgx , x = 0 , x =

√

3

odp :

√

3π

6

!

g) y = 1 − x

2

− x , y = |x|

odp :

4

√

2

3

− 1

!

3. Znaleźć objętość bryły powstałej przez obrót krzywych wokół osi Ox:

a) y = tgx , x ∈



0,

π

4





odp :

π

4

(4 − π)



b) y = ln x , x ∈ h1, ei

(odp : π(e − 2))

c) y = 2x − 1, x ∈ h1, 3i



odp :

62

3

π



d) y = x

2

, y =

√

x (odp :

3

10

π)

e) y = 6 − x , y =

√

x



odp :

32

3

π



4. Wyprowadzić wzory na objętość i pole powierzchni bocznej:

(a) stożka ściętego o promieniach podstaw R i r (R > r) oraz wysokości H

(b) kuli o promieniu R

1

5. Oblicz długości łuków krzywych:

a) y = cosh x , x ∈ h0, 1i (odp : sinh(1))

b) y = ln (1 − x

2

) , x ∈



0,

1

2





odp : ln 3 −

1

2



c) 24xy = y

4

+ 48 , y ∈ h2, 4i



odp :

17

6



d) y =

√

x − x

2

+ arc sin

√

x , x ∈



1

9

,

1

4





odp :

1

3



e) x = e

t

cos t , y = e

t

sin t , z = e

t

, t ∈ h0, 1i



odp :

√

3 (e − 1)



6. Obliczyć powierzchnię bryły obrotowej powstałej z obrotu krzywej:

a) y = 2x − 1, x ∈ h1, 3i wokół osi Ox i osi Oy



odp : 12

√

5 π ,

8

√

5 π



b) y = sin x , 0 ¬ x ¬ π wokół osi Ox



odp : 2π



ln(

√

2 + 1) +

√

2



c) y = 6−x , y =

√

x , x ∈ h0, 6i wokół osi Ox

odp :

17

√

17 − 1

6

+ 4

√

2

!

π

!

3

Funkcja górnej granicy całkowania

Wyznaczyć ekstrema oraz punkty przegięcia wykresu funkcji

f (x) =

Z

x

1

1 − 2 ln t

t

3

!

dt



odp : f (

√

e) = max(f (x)) , (e

5
6

, f (e

5
6

)



4

Całka niewłaściwa

Zbadać zbieżność całek niewłaściwych:

a)

Z

∞

0

arctgx

1 + x

2

dx

odp :

π

2

8

!

b )

Z

0

−∞

(x + 1)e

x

dx

(odp : 0)

c)

Z

1

0

arc sin x

√

1 − x

2

dx

odp :

π

2

8

!

d)

Z

∞

0

√

x

1 + x

3

dx



odp :

π

3



e)

Z

∞

−1

1

x

2

+ 4x + 5

dx



odp :

π

4



f )

Z

0

−1

e

1
x

x

3

dx



odp : −

2

e



g)

Z

1

0

√

x ln x dx



odp : −

4

3



h)

Z

1

0

1

x

2

− 4x + 3

dx (odp: rozbieżna)

2