MMF 1

Metody Matematyczne Fizyki I – 2005/6

dr hab. Jan Iwaniszewski

Wykład (dla studentów I roku Fizyki, Fizyki Technicznej, Astronomii oraz Automatyki i Robotyki) wprowadza podsta-

wowe pojęcia, operacje i metody matematyczne stosowane w fizyce i technice. Główny nacisk położony jest na intuicyjne
zrozumienie istoty poszczególnych operacji, a przede wszystkim na zdobycie biegłości rachunkowej. Do wykładu prowadzone
są ćwiczenia rachunkowe. Zaliczenie przedmiotu następuje po zaliczeniu ćwiczeń i zdaniu egzaminu końcowego.

Treść wykładu

1. Liczby, podstawowe działania.

2. Funkcja jednej i wielu zmiennych: podstawowe pojęcia, funkcje elementarne, granica i ciągłość funkcji.

3. Różniczkowanie funkcji: pochodna i różniczka funkcji jednej zmiennej, pochodna cząstkowa, różniczka zupełna, pochod-

ne wyższych rzędów, szereg Taylora.

4. Całkowanie funkcji: całka nieoznaczona i oznaczona funkcji jednej zmiennej, podstawowe metody całkowania, całki

wielokrotne.

5. Równania różniczkowe zwyczajne: równania I rzędu o rozdzielonych zmiennych, równania liniowe I i II rzędu.

6. Współrzędne: układ współrzędnych kartezjańskich, biegunowych, cylindrycznych i sferycznych.

7. Algebra wektorów: dodawanie i mnożenie przez skalar, rozkład na składowe, zależność liniowa, przestrzeń wektorowa,

iloczyn skalarny i wektorowy.

8. Analiza wektorowa: pole skalarne i wektorowe, różniczkowanie i całkowanie wektorów, gradient, dywergencja, rotacja.

9. Metody przybliżone: szacowanie rzędu wielkości, rozwinięcie w szereg.

10. Rachunek prawdopodobieństwa: podstawowe pojęcia, wartość średnia i wariancja, rozkład jednorodny i normalny.

11. Analiza pomiarów fizycznych: błędy i niepewności, pomiary bezpośrednie i pośrednie, prezentacja wyników, regresja

liniowa.

Zalecana literatura

1. F. W. Byron, R. W. Fuller, Matematyka w fizyce klasycznej i kwantowej, T. I (PWN, Warszawa, 1973)

2. G. M. Fichtenholz, Rachunek różniczkowy i całkowy, T. 1-3I (PWN, Warszawa, 1999)

3. E. Karaśkiewicz, Zarys teorii wektorów i tensorów (PWN, Warszawa, 1971).

4. W. Krysicki, L. Włodarski, Analiza matematyczna w zadaniach, T. I-II (PWN, Warszawa, 1999)

5. W. Korczak, M. Trajdos, Wektory, pochodne, całki ((PWN, Warszawa, 1997)

6. W. Leksiński, I. Nabiałek, W. Żakowski, Matematyka dla studiów eksperymentalnych (WNT, Warszawa, 1977)

7. K. Szałajko, Matematyka T.1 (PWN, Warszawa, 1984)

8. S. Romanowski, W. Wrona, Matematyka wyźsza dla studiów technicznych (PWN, Warszawa, 1962)

9. B. Gdowski, E. Pluciński, Zbiór zadań z rachunku wektorowego i geometrii analitycznej (Oficyna Wydawnicza Poli-

techniki Warszawskiej, 2000)

10. G. A. Korn, T. M. Korn, Matematyka dla pracowników naukowych i technicznych, cz. 1 i 2 (PWN, Warszawa, 1983)

11. red. I Dziubiński, T. Świątkowski, Poradnik Matematyczny, cz.1 i 2 (PWN, Warszawa, 1985)

12. I. N. Bronsztejn, K. A. Siemiendiajew, Matematyka, poradnik encyklopedyczny (PWN, Warszawa, 1968)

13. B. Piłat, M. J. Wasilewski, Tablice całek (WNT, Warszawa, 1983)

14. A. Bielski, R.Ciuryło, Podstawy metod opracowania pomiarów (Wyd. UMK, Toruń, 2001)

15. H. Szydłowski, Pracownia fizyczna (PWN, Warszawa, 1999)

MMF 2

Przedrostki liczbowe

wielokrotności

powielokrotności

10

3

kilo

k

10

−3

mili

m

10

6

mega M

10

−6

mikro

µ

10

9

giga

G

10

−9

nano

n

10

12

tera

T

10

−12

piko

p

10

15

peta

P

10

−15

femto

f

10

18

eksa

E

10

−18

atto

a

10

1

deka

da

10

−1

decy

d

10

2

hekto ha

10

−2

centy

c

Silnia

n! = 1 · 2 · 3 · . . . · (n − 1) · n , 0 ¬ n , 0! = 1

Symbol Newtona



n
k



=

n!

k!(n − k)!

, k ¬ n

Dwumian Newtona

(a + b)

n

=

n

X

k=0



n
k



a

k

b

n−k

Zadania I

Symbol Newtona

Wykazać, że:

1.



n
k



=



n

n − k



,

2.



n
k



+



n

k − 1



=



n + 1

k



,

3. 1 +



n

1



+



n

2



+ . . . +



n
n



= 2

n

,

4. 1 −



n

1



+



n

2



− . . . + (−1)

n



n
n



= 0,

Szacowanie rzędu wielkości

1. Promień Wszechświata szacuje się na 10

26

m, a liczbę nukleonów we Wszechświecie na 10

80

. Oszacować masę Wszech-

świata, średnią gęstość materii i średnią ilość nukleonów w 1 m

3

.

2. (Feynman T I cz.1 s.365) Dawno temu, w erze paleozoicznej kropla popołudniowej ulewy upadła na błotnistą równinę,

pozostawiając trwały ślad. Slad ten w postaci skamieliny odkopał pewnego upalnego dnia w wiele lat później student
geologii. Wysączywszy do dna wodę ze swojej manierki student ten bezskutecznie się zastanawiał, ile cząsteczek wody
z tej starożytnej kropli mogło znajdować się w manierce, którą przed chwilą opróżnił. Spróbuj Ty ocenić tę liczbę.

3. Oszacować jaki rezultat osiągnąłby skoczek wzwyż na Księżycu, jeżeli przyspieszenie grawitacyjne jest tam 6-krotnie

mniejsze niż na Ziemi.

4. Ciekły hel ma gęstość ρ = 0.13 g/cm

3

. Oszacować wartość promienia atomu He zakładając, że atomy są upakowane w

najgęstszej możliwej konfiguracji, która wypełnia 74% przestrzeni.

5. Jaki wpływ na wyniki konkurencji biegowych miało ustawienie strzelającego z pistoletu startera na murawie stadionu?

Dlaczego obecnie zawodnicy mają głośniki wmontowane w bloki startowe? Jak to pogodzić z faktem, że na mecie
fotokomórka ustawiona jest w dalszym ciągu z boku bieżni?

6. Cegła waży kilogram i pół cegły. Ile elektronów zawiera jedna cegła? (Głównym składnikiem glinek ceramicznych jest

kaolinit Al

2

Si

2

O

9

H

4

.)

MMF 3

Funkcje elementarne

x

a

, a

x

, log

a

(x), sin(x), cos(x), tan(x), cot(x), arcsin(x), arccos(x), arctan(x), arccot(x)

Zadania II

Funkcje

1. Określić dziedzinę i przeciwdziedzinę wszystkich funkcji elementarnych (w przypadku funkcji wykładniczej i logaryt-

micznej uwzględnić wszystkie możliwe wartości parametru a).

2. Narysować na jednym wykresie przebieg następujących funkcji:

(a) y = x

w

dla różnych wartości rzeczywistego wykładnika w (uwzględnić wszystkie możliwe typy krzywych), określić

wzajemne relacje miedzy nimi,

(b) a

x

i log

a

(x) dla różnych wartości podstawy a, w tym dla a = 10 i a = e,

(c) funkcje trygonometryczne i funkcje do nich odwrotne (cyklometrycznych),

3. Korzystając z wzorów na sin(a + b), cos(a + b) i jedynki trygonometrycznej:

(a) znaleźć wzór na tg(a + b) i ctg(a + b),

(b) przedstawić sin(a) ± sin(b) oraz cos(a) ± cos(b) w postaci iloczynu funkcji sin i cos,

(c) przedstawić każdą funkcję trygonometryczną przez każdą inną funkcję (wziąć pod uwagę wartości x w różnych

ćwiartkach układu współrzędnych)

(d) przedstawić wszystkie funkcje trygonometryczne od argumentu połówkowego a/2 (np. sin(a/2)) przy pomocy

funkcji od argumentu a i odwrotnie.

4. Uprościć wyrażenia

(a)

(a

2

− b

2

)



(a + b)

2

− ab



b

3

− a

3

·

a −

a

2

a − b

b(a + 2b)

b − a

+

b

2

a − b

(b)

1

2+3

1 −

1

1 +

1
a

−

2

3

2 −

1

2 +

1
a

+

3

2

3 −

1

3 +

1
a

− a −

8

9a + 6

+

18

128a + 48

(c)

(1 − e

−2x

)

2

+ 2(1 + e

−x

) − 4

e

x

− e

−x

(d) log

a

b

x+y

· log

b

a

x−y

− log

b

a

y−x

· log

a

b

y+x

(e)

sin x ± sin y

cos x ± cos y

(f)

sin x + sin y
sin x − sin y

(g)

cos x − cos y
cos x + cos y

(h)

tan a + tan b
tan a − tan b

+

cot a + cot b
cot a − cot b

(i)

tan a + tan b

cot a + cot b

+ 1

tan a − tan b

cot a − cot b

− 1

(j) cos(4 arccos(x))

(k) sin(2 arctan(x))

(e) arcsin



1 − tan(x)

2

1 + tan(x)

2



(f) arccos



1

√

2



cos(x) + cos(x −

π

2

)



(g) arctan



1

tan x + cot y

−

1

cot x + tan y



(h) arccot

" p

1 − sin(2x)

2

− sin(2x)

#

(i) arcsin

h√

2 cos



x + arcsin



−

1

√

2



− cos x

i

(j) ln

"

1

(cos (arctan x))

2

− 2 cos



−

π

3



#

MMF 4

Wektory

Kombinacja liniowa wektorów

α~a + β~b + γ~c = ~

d

Wektory ~a, ~b i ~c są liniowo niezależne wtedy i tylko wtedy gdy α~a + β~b + γ~c = ~0 jedynie dla α = β = γ = 0.

Iloczyn skalarny

~a · ~b = ~b · ~a = |~a||~b| cos



<)(~a,~b)



= a

x

b

x

+ a

y

b

y

+ a

z

b

z

Iloczyn wektorowy

~a × ~b = −~b × ~a = |~a||~b| sin



<)(~a,~b)



~

e

⊥

=













~

e

x

~

e

y

~

e

z

a

x

a

y

a

z

b

x

b

y

b

z













,

gdzie ~

e

⊥

⊥~a i ~

e

⊥

⊥~b oraz wektory ~a, ~b i ~

e

⊥

tworzą układ prawoskrętny.

Iloczyn mieszany

[~a,~b, ~c] ≡ ~a · (~b × ~c) = ~b · (~c × ~a) = ~c · (~a × ~b) = −~a · (~c × ~b) = −~c · (~b × ~a) = −~b · (~a × ~c) =













a

x

a

y

a

z

b

x

b

y

b

z

c

x

c

y

c

z













Podwójny iloczyn wektorowy

~a × (~b × ~c) = (~a · ~c)~b − (~a · ~b)~c

Zadania III

1. Rozłożyć wektor ~

w na składowe wzdłuż wektorów ~a i ~b (geometrycznie i algebraicznie) oraz na składowe wzdłuż wek-

torów ~a, ~b i ~c (algebraicznie):

~

w

~a

~b

(5, 5)

(2, 1)

(1, 3)

(5, −3)

(1, 3)

(−1, 3)

(0, 5)

(−2, −1)

(2, −4)

(1, 2)

(−3, 1)

(−2, −4)

(3, 3)

(−1, 2)

(2, −4)

~

w

~a

~b

~c

(0, 2, 6)

(1, 1, 1)

(1, −1, 1)

(−1, 1, 1)

(2, −3, 1)

(−1, 1, −1) (−1, −1, −1)

(1, −1, 1)

(−1, −3, 2)

(1, 0, 0)

(0, 1, 0)

(0, 0, 1)

(−1, −3, 2)

(1, 0, 0)

(0, 1, 0)

(1, 1, 1)

(2, 5, −2)

(3, 1, −2)

(2, −3, −3)

(0, −3, −4)

(3, 2, −7)

(3, −2, 1)

(1, −2, 3)

(4, 0, −1)

(7, −3, 0)

(2, 3, −3)

(1, 4, −5)

(1, −1, 2)

2. Dla jakich wartości parametru p wektory ~a, ~b i ~c są liniowo niezależne?

~a

~b

~c

(2, −3, 4)

(0, −1, 2)

(−2, 2, p)

(−3, 2, −2)

(1, p, 1)

(3, −2, 3)

(3, −2, −1) (−2, 3, 4) (p, −2, −3)

(2, −1, 1)

(3, p, −3)

(−4, 2, 2)

3. W dowolnym pięciokącie poprowadzono 5 wektorów ze środka każdego boku do przeciwległego wierzchołka. Wykazać,

że suma tych wektorów jest równa zeru. Jaki ogólny wniosek można wysnuć z tego zadania?

MMF 5

4. Wektory ~a, ~b i ~c tworzą boki trójkąta ABC. Wykazać, że jeżeli punkty D, E i F dzielą odpowiednio boki BC, CA i

AB w stosunku m : n, to z wektorów

−−→

AD,

−−→

BE i

−−→

CF można zbudować trójkąt.

5. Wykazać, że jeżeli wektory ~

A, ~

B, ~

C i ~

D mają wspólny początek, a ich końce leżą na jednej płaszczyźnie to ~

D =

α ~

A + β ~

B + γ ~

C, gdzie α + β + γ = 1.

6. Rozłozyć wektor ~p na składowe prostopadłą i równoległą do wektora ~q, oraz odwrotnie - wektor ~q względem wektora

~p, dla:

~p

~q

(1, 8)

(2, −3)

(−5, 2) (0, −4)
(−1, 4) (2, −8)
(5, −1) (3, −1)

~p

~q

(1, 1, 1)

(1, −1, 1)

(2, −1, 3)

(0, 1, 1)

(−2, −3, 6) (4, 0, −1)
(−3, −1, 1) (2, −1, 5)

7. Wyznaczyć wektor jednostkowy prostopadły do wektorów ~a = (1, −1, 0) i ~b = (1, 1, 1).

8. Wektor ~

A = (2, 1) ma początek w punkcie (0, 0). Znaleźć wektor prostopadły do niego o początku w punkcie (2, −1) i

końcu leżącym na wektorze ~

A.

9. Udowodnić, że przekątne rombu przecinają się pod kątem prostym.

10. Znaleźć składowe wektora

−−−→

P

1

P

2

równoległą i prostopadłą do wektora

−−−→

P

1

P

3

dla punktów P

1

(1, 2, −1), P

2

(0, 4, −3) i

P

3

(−1, −2, 3).

11. Znaleźć odległość punktu A(2, 3, 1) od prostej zadanej parametrycznie ~r = ~p + µ~q dla ~p = (2, −1, 3) i ~q = (1, 1, −2).

12. Jeżeli wektor ~a leży na płaszczyźnie, to jego cosinusy kierunkowe spełniają relację cos

2

(ϕ

x

) + cos

2

(ϕ

y

) = 1, gdyż

cos(ϕ

y

) = sin(ϕ

x

). Znaleźć relację wiążącą cosinusy kierunkowe wektora w przestrzeni trójwymiarowej.

13. Wektor ~a tworzy z osią OX kąt 60

o

, a z osią OZ kąt 135

o

. Jaki jest kąt pomiędzy wektorem ~a i osią OY ?

14. Pewien wektor tworzy z osiami układu kartezjańskiego kąty α, 2α i 3α. Wyznaczyć wszystkie możliwe wartości kąta α.

15. Obliczyć objętość czworościanu o wierzchołkach w punktach L

1

(0, 0, 1), L

2

(0, 1, 0), L

3

(−1, 0, 1) i L

4

(1, −1, 0).

16. W punktach A(−2, −1, 0) i B(−3, 2, 1) zaczepione są dwa wektory:

−→

AC = (2, −4, 1) i

−−→

BD = (0, −4, 3). Jeżeli wektory

te nie leżą w jednej płaszczyźnie to można na nich zbudować równoległościan (Jak? Czy w sposób jednoznaczny?).
Obliczyć jego objętość.

17. Wektory

−−→

AB = (0, −4, 0),

−→

AC = (0, 0, −4) i

−−→

AD = (4, 0, 0) tworzą krawędzie pewnego czworościanu. Obliczyć pole

powierzchni tego czworościanu.

18. Wyrazić w prostszej formie (tzn. w postaci wymagającej prostszych obliczeń) następujące iloczyny:

(a) (~a × ~b) · (~c × ~

d)

(b) (~a × ~b) × (~c × ~

d)

(c) ~a × (~b × ~c) + ~b × (~c × ~a) + ~c × (~a × ~b)

(d) (~a × ~b) · (~c × ~

d) + (~b × ~c) · (~a × ~

d) + (~c × ~a) · (~b × ~

d)

19. Wykazać słuszność następujących relacji:

(a) (~a × ~b) ·

h

(~b × ~c) × (~c × ~a)

i

= [~a,~b, ~c]

2

(b) (~a × ~b)

2

(~a × ~c)

2

−

h

(~a × ~b) · (~a × ~c)

i

2

= a

2

[~a,~b, ~c]

2

20. Wykazać, że jeżeli ~a, ~b i ~c nie leżą na jednej płaszczyźnie, to dla dowolnego ~

d zachodzi relacja

[~a,~b, ~c]~

d = [~b, ~c, ~

d]~a + [~a, ~

d, ~c]~b + [~a,~b, ~

d]~c

21. Z wersorów ~i, ~j, ~k zbudować potrójny iloczyn wektorowy typu (~a × ~b) × (~c × ~

d) o największej wartości.

22. Dane są wektory ~a i ~b. Znaleźć wektor ~c spełniający relacje: ~c × ~a = ~b i ~c · ~a = 0.

23. Dane są niezerowe wektory ~a, ~b i ~c oraz parametry liczbowe α i β. Wyznaczyć wektory ~x i ~y spełniające układ równań:

α~x+~y ×~c = ~a oraz β~y +~x×~c = ~b. Podać wzór ogólny oraz rozwiązanie dla ~a = (5, −3, 0), ~b = (6, 1, −5), ~c = (1, −1, −1),
α = 2 i β = −1.

MMF 6

Granice funkcji

Jeżeli lim

x→x

0

f (x) = a i lim

x→x

0

g(x) = b, to:

Granica iloczynu przez skalar

lim

x→x

0

[c · f (x)] = c · a

(c-dowolna stała)

Granica sumy

lim

x→x

0

[f (x) + g(x)] = a + b

Granica iloczynu

lim

x→x

0

[f (x) · g(x)] = a · b

Granica ilorazu

lim

x→x

0

"

f (x)

g(x)

#

=

a

b

(dla b 6= 0)

Granica funkcji złożonej

Jeżeli lim

x→x

0

f (x) = a i lim

x→a

g(x) = b, to lim

x→x

0

g(f (x)) = b

Pewne granice

lim

x→∞



1 +

1

x



x

= e

lim

x→0

sin(x)

x

= 1

Zadania IV

Wyznaczyć następujące granice (znak ±
oznacza, że należy policzyć dwie różne gra-
nice dla tej samej funkcji):

1. lim

x→±1

x + 1

x

3

+ 1

2. lim

x→±2

x − 1

4 − x

2

3. lim

x→±∞

√

x

2

+ 1

x

4.

lim

x→0, ±1, ±2, ±∞

1 − x

2x

2

+ 2x − 4

5. lim

x→0

√

a

2

− x − a

x

, dla a > 0

6. lim

x→0

tan x

x

7. lim

x→0

tan x

arctan x

8. lim

x→0

cos 2x − 1

sin 4x

9. lim

x→π/2

tan x +

1

x − π/2

!

Pokazać, że:

1. lim

x→−1

1 + x

1
3

1 + x

1
5

=

5
3

2. lim

x→−∞



1 +

1

x



x

= e

3. lim

x→0

(1 + x)

1
x

= e

4. lim

x→0

ln(1 + x)

x

= 1

5. lim

x→0

log

a

(1 + x)

x

=

1

ln(a)

6. lim

x→0

e

x

− 1

x

= 1

7. lim

x→0

a

x

− 1

x

= ln(a)

8. lim

x→∞

sin(x)

x

= 0

9. lim

x→0

cos(x) − 1

x

2

= −

1
2

MMF 7

Różniczkowanie

Definicja pochodnej

y

0

=

dy
dx

=

df (x)

dx

= lim

∆x→0

f (x + ∆x) − f (x)

∆x

= lim

x

1

→x

f (x

1

) − f (x)

x

1

− x

Pochodna sumy

d

dx

[f (x) + g(x)] =

df (x)

dx

+

dg(x)

dx

Pochodna iloczynu

d

dx

[f (x)g(x)] =

df (x)

dx

g(x) + f (x)

dg(x)

dx

Pochodna funkcji złożonej

d

dx

f [g(x)] =

df (y)

dy







y=g(x)

·

dg(x)

dx

Pochodna funkcji odwrotnej

d

dx

f

−1

(x) =

"

df (y)

dy







y=f

−1

(x)

#

−1

Pochodna wektora

d ~

a(t)

dt

=

d

dt

( a

x

(t), a

y

(t), a

z

(t) ) =

da

x

(t)

dt

,

da

y

(t)

dt

,

da

z

(t)

dt

!

Różniczki

• dx - różniczka zmiennej x - nieskończenie mały (infinitezymalny) przyrost ∆x wartości zmiennej x

• dy = df = df (x) = f

0

(x)dx - różniczka funkcji y = f (x) - liniowa część przyrostu ∆y wartości

funkcji przy infinitezymalnej zmianie dx wartości argumentu

Zadania V

1. Wyprowadzić wzór na pochodną ilorazu dwóch funkcji: (a) badając granicę ilorazu różnicowego, (b) korzystając ze

wzorów na pochodną iloczynu, funkcji złożonej i funkcji potęgowej,

2. Wyznaczyć różniczkę sumy, iloczynu i ilorazu dwóch funkcji, oraz funkcji złożonej i odwrotnej.

3. Korzystając z definicji (granica ilorazu różnicowego) znaleźć pochodne następujących funkcji:

1

x

,

x + 1
x − 1

,

2

3 − 2x

,

√

x , 2

√

3x − 1 , xe−x ,

cos x

x

4. Obliczyć pochodne wszystkich funkcji elementarnych korzystając tylko z definicji (granica ilorazu różnicowego), z

wzorów na pochodną sumy, iloczynu, funkcji złożonej i funkcji odwrotnej, z obliczonych już pochodnych innych funkcji
elementarnych, oraz ze znanych relacji między funkcjami.

5. Korzystając ze znajomości pochodnych funkcji elementarnych oraz ze wzorów na pochodną sumy, iloczynu, itd., obliczyć

pochodne następujących funkcji (rezultat podać w możliwie najprostszej postaci):

1.

y = 4x

3

− 6x

2

+ 3x + 5 ,

2.

y = x

2

− 2x + 3

5

,

3.

y =

4

3x

3

√

x − x

2

√

x

3

,

4.

y = (1 − x) (x + 0.5)

2

2x

2

− x − 1

3

(2x + 1)

5

(3x − 3)

2

,

5.

y =



x

2

+ 3x + 2

x

2

− 3x + 2



3

2

,

6.

y = e

wx

[A sin(ax) + B cos(bx)] ,

7.

y = x

x

,

8.

y = ln e

2x

− e

−2x

,

9.

y = sin (tan(x)) ,

10.

y =

cot(3x) cot(2x) + 1

cot(2x) − cot(3x)

,

11.

y = ln (2 sin(3x)) ,

12.

y = log

10

r

1 − sin x
1 + sin x

!

,

13.

y = arctan

p

1 + x

2

− x



,

14.

y = cos

"

arcsin

r

1 − x

2

1 + x

2

!#

,

15.

y = x arctan(x) −

1
2

ln x

2

+ 1

.

MMF 8

Całka nieoznaczona

Funkcja pierwotna

f (x) =

dF (x)

dx

,

Z

dxf (x) = F (x) + const

Związek z pochodną

d

dx

Z

dxf (x) = f (x) ,

Z

dx

df (x)

dx

= f (x) + const

Liniowość

Z

dx [af (x) + bg(x)] = a

Z

dxf (x) + b

Z

dxg(x)

Całkowanie przez podstawienie (zamianę zmiennych)

Z

dxf (x) =

Z

dyf (g(y)) g

0

(y) , gdzie x = g(y)

Całkowanie przez części

Z

dxf

0

(x)g(x) = f (x)g(x) −

Z

dxf (x)g

0

(x)

Całka wektora

Z

dt ~

a(t) =

Z

dt ( a

x

(t), a

y

(t), a

z

(t) ) =

Z

dta

x

(t) ,

Z

dta

y

(t) ,

Z

dta

z

(t)



Całka oznaczona

Podstawowe własności

Z

a

a

dxf (x) = 0 ,

Z

b

a

dxf (x) = −

Z

a

b

dxf (x) ,

Z

b

a

dxf (x) =

Z

c

a

dxf (x) +

Z

b

c

dxf (x)

f (x) ­ 0 dla x ∈ (a, b) ⇒

Z

b

a

dxf (x) ­ 0

f (x) ­ g(x) dla x ∈ (a, b) ⇒

Z

b

a

dxf (x) ­

Z

b

a

dxg(x)

Twierdzenie o wartości średniej

Jeśli f (x) jest ciagła i ograniczona na (a, b), to:

Z

b

a

dx f (x) = f (

e

x)(b − a) , dla pewnego

e

x ∈ [a, b]

Podstawowy wzór rachunku całkowego

d

dx

Z

x

a

dy f (y) = f (x)

Z

b

a

dx f (x) = F (b) − F (a) , gdzie

Z

dxf (x) = F (x) + C

Całkowanie przez podstawienie (zamianę zmiennych)

Jeśli x = g(y) jest funkcją wzajemnie jednoznaczną, to:

Z

b

a

dx f (x) =

Z

v

u

dyf (g(y)) g

0

(y) , gdzie u = g

−1

(a) , v = g

−1

(b)

Całki niewłaściwe

Z

∞

a

dx f (x) = lim

b→∞

Z

b

a

dx f (x);

jeśli lim

x→a

+

f (x) = ±∞, to

Z

b

a

dx f (x) = lim

→0

+

Z

b

a+

dx f (x); i.t.d

MMF 9

Funkcje elementarne

f (x)

d

dx

f (x)

Z

f (x)dx

− − − − − − −− − − − − − − − − − − −− − − − − − − − − − − − − − − − −

x

a

ax

a−1







(a + 1)

−1

x

a+1

(a 6= −1)

ln |x|

(a = −1)

e

x

e

x

e

x

a

x

a

x

(ln a)

a

x

(ln a)

−1

ln x

x

−1

x ln x − x

log

a

x

x

−1

(ln a)

−1

x log

a

x − x (ln a)

−1

sin x

cos x

− cos x

cos x

− sin x

sin x

tan x

(cos x)

−2

− ln | cos x|

cot x

−(sin x)

−2

ln | sin x|

arcsin x

(1 − x

2

)

−

1
2

x arcsin x + (1 − x

2

)

1
2

arccos x

−(1 − x

2

)

−

1
2

x arccos x − (1 − x

2

)

1
2

arctan x

(1 + x

2

)

−1

x arctan x −

1
2

ln (1 + x

2

)

arccot x

−(1 + x

2

)

−1

x arccot x +

1
2

ln (1 + x

2

)

MMF 10

Zadania VI

1. Obliczyć całki nieoznaczone wszystkich funkcji elementarnych.
2. Obliczyć następujące całki:

1.

Z

dx

1

3 − 2x

2.

Z

dx

x

3 − 2x

3.

Z

dx

x

2

3 − 2x

4.

Z

dx

x

3

3 − 2x

5.

Z

dx

1

1 + x

2

6.

Z

dx

x

1 + x

2

7.

Z

dx

x

2

1 + x

2

8.

Z

dx

x

3

1 + x

2

9.

Z

dx

x

2

4 + x

6

10.

Z

dx

1

3 + 2

√

x

11.

Z

dx

√

x

3 + 2x

12.

Z

dx

√

x

3 + 2

√

x

13.

Z

dx

√

x

3

√

x + 2x

14.

Z

dx

x

√

4x

2

+ 1

15.

Z

dx

x

√

x

2

− 4

16.

Z

dx

1

√

3 − 2x

2

17.

Z

dx

x

√

3 − 2x

2

18.

Z

dx

x

2

√

3 − 2x

2

19.

Z

dx

x

3

√

3 − 2x

2

20.

Z

dx

x

√

x − 2x

5
2

x

3
2

−

√

x

21.

Z

dx

2x

3
2

− 3x

3

√

x

22.

Z

dx x sin x

23.

Z

dx x sin x cos x

24.

Z

dx x sin

2

x cos x

25.

Z

dx x

2

sin x

26.

Z

dx x

2

sin x cos x

27.

Z

dx x sin(2x

2

− 3)

28.

Z

dx (2x

2

− 3) sin x

29.

Z

dx cos

2

x

30.

Z

dx cos

3

x

31.

Z

dx cos

4

x

32.

Z

dx

cos x

1 + 4 sin x

33.

Z

dx

cos x

1 + 4 sin

2

x

34.

Z

dx

sin(2x)

4 − cos

2

x

35.

Z

dx

[5 + 6 cos(2x)] sin x

4 − cos

2

x

36.

Z

dx

1

1 + cos 2x

37.

Z

dx

1

1 + cos x

38.

Z

dx

sin x

√

1 + cos 2x

39.

Z

dx

e

x

2 + 3e

x

40.

Z

dx

e

2x

+ e

−x

1 + 2e

2x

41.

Z

dx xe

x

42.

Z

dx x

2

e

x

43.

Z

dx x e

x

2

44.

Z

dx (2x − 3) e

2x

2

−6x

45.

Z

dx (2x

2

− 6x) e

2x−3

46.

Z

dx x ln x

47.

Z

dx ln(x

2

− 3)

48.

Z

dx x

2

ln x

49.

Z

dx x ln(x

2

)

50.

Z

dx e

ax

[b sin(wx) + c cos(wx)]

51.

Z

dx tan(x) ln(cos x)

52.

Z

dx x arccos x

53.

Z

dx x

2

arccos x

54.

Z

dx

arctan(2x)

1 + 4x

2

55.

Z

dx (3x +

x

3

3

)

−1

x

1 + arccot(

x
3

)

MMF 11

Zadania VII

Obliczyć następujące całki oznaczone (jeżeli całki są niewłaściwe podać dodatkowo czy są one zbieżne czy rozbieżne):

1.

Z

2

−2

dx x

2.

Z

2

−2

dx x

2

3.

Z

2

−2

dx x

3

4.

Z

4

1

dx

√

2x + 1

5.

Z

1

0

dx

√

1 − x

2

6.

Z

2

0

dx (x

3

+ x)

√

x

2

+ 1

7.

Z

−

1
2

0

dx

1

2 + 8x

2

8.

Z

∞

−∞

dx

1

a

2

+ x

2

9.

Z

∞

1

dx

1 − x

(x

2

− 2x + 2)

2

10.

Z

∞

1

dx

1 − x

(x

2

− 2x + 1)

3

11.

Z

3

0

dx

√

x + 1 + 1

(x + 1)

2

+

√

1 + x

12.

Z

ln 2

− ln 2

dx

e

2x

1 + e

x

13.

Z

∞

0

dx e

−x

14.

Z

∞

0

dx xe

−x

15.

Z

∞

0

dx e

−ax

, a > 0

16.

Z

∞

0

dx xe

−ax

, a > 0

17.

Z

∞

0

dx x

2

e

−ax

, a > 0

18.

Z

∞

0

dx xe

−ax

2

, a > 0

19.

Z

1

0

dx

e

3 ln x

√

2 + x

4

20.

Z

1

−1

dx x 10

x

21.

Z

e

1
e

dx

1

x + x ln x

22.

Z

2

1

dx

ln(πx)

x

2

23.

Z

e

1
e

dx

1

x(ln x)

2

+ x

24.

Z

√

e

1

√

e

dx

1

x

1

q

1 − (ln x)

2

25.

Z

π

2

−

π

2

dx cos

3

(x)

26.

Z

π

2

−

π

2

dx sin

3

(x)

27.

Z

π

2

0

dx cos

3

(x)

28.

Z

π

2

0

dx sin

5

(x)

29.

Z

π

π

4

dx cos(2x) sin(3x)

30.

Z

5π

6

−

π

6

dx

cos(2x)

sin

2

x

31.

Z

π

4

π

6

dx

cos

2

(2x)

sin(4x)

32.

Z

π

2

−

π

2

dx

cos x

√

1 + sin x

33.

Z

(

π

6

)

2

0

dx

1

√

x

sin(

√

4x)

34.

Z

1

0

dx arccos



1
2

x



35.

Z

1

√

3

√

3

dx

1

(1 + x

2

)arccotx

36.

Z

−

π

2

0

dx

arctan



x

2



x

2

+ 4

MMF 12

Szereg Taylora

f (x) =

n

X

k=0

1

k!

f

(k)

(x

0

) (x − x

0

)

k

+ R

n

(x; x

0

)

Dla x

0

= 0 szereg Taylora nazywa się szeregiem Maclaurina.

Zadania VIII

1. Rozwinąć w szereg Taylora uwzględniając wyrazy rzędu (x − x

0

)

5

:

(a) w punkcie x = 0 wszystkie funkcje elementarne, które są w tym punkcie określone,

(b) w punkcie x

0

= 1 funkcje x

p

(dla p < 0), ln x, log

10

x, cot x,

(c) w punkcie x

0

= π/4 wszystkie funkcje trygonometryczne, a w x

0

= π/2 te z nich, które są tam

określone.

Których funkcji elementarnych nie można rozwinąć w szereg Taylora ani w x

0

= 0, ani w x

0

= 1?

2. Wyznaczyć trzy początkowe różne od zera wyrazy szeregu Taylora następujących funkcji:

(a) f (x) =

√

x+

√

2−x

1+

√

x

, w punkcie x

0

= 1,

(b) f (x) = arccos



√

3

2

− x



−

π

2

, w punkcie x

0

=

√

3

2

,

(c) f (x) = arctan



√

3 − x



w punkcie x

0

=

√

3,

3. Wyznaczyć trzy początkowe różne od zera wyrazy szeregu Maclaurina następujących funkcji:

(a) f (x) =

√

4 − 2x + x

2

,

(b) f (x) =

3

√

2 − 3x

2

,

(c) f (x) =

1

√

2+x

2

,

(d) f (x) =

1

3

√

(2−6x+15x

2

)

2

,

(e) f (x) = x + 1 − (1 + 2x)

1/2

,

(f) f (x) = x (2x

2

− e

−2x

2

),

(g) f (x) = 1 − 2x − e

−2x

,

(h) f (x) = ln

1+x
1−x

,

(i) f (x) = ln

h

1−x

2

1+x

2

i

.

(j) f (x) =

ln(1+x+x

2

)

2x+x

2

,

(k) f (x) = ln(cos(x)),

(l) f (x) = x

h

sin



√

π

2

− x

2



−

√

π

2

− x

2

i

,

4. Ile wyrazów rozwinięcia w szereg Maclaurina funkcji e

x

należy wykorzystać aby otrzymać dokładność

rzędu 0.01 dla x = 1 , 0.5 , 0.1 , 0.05 , 0.01? Dla uzyskania wartości dokładnych można posłużyć się
tablicami lub obliczeniami na kalkulatorze.

5. Wykorzystując rozwinięcie w szereg Taylora funkcji arctan(x) (w jakim punkcie?) wyznaczyć liczbę

π z dokładnością do dwóch cyfr po przecinku.

6. Korzystając z rozwinięcia w szereg Taylora i znanych wartości funkcji podać przybliżoną wartość

liczbową (z dokładnością do 0.01) następujących wyrażeń:

1

3

√

0.95

, cos(36

◦

), cos(2

◦

), tan



9

40

π



, (1.1)

1.1

,

ln(2.8) (wartości liczb e i π obliczyć także korzystając z szeregu Taylora).

MMF 13

Rozkład prawdopodobieństwa

wartość średnia x, odchylenie standardowe S

x

, wariancja S

2

x

:

zmienna dyskretna:

x =

N

2

X

n=N

1

x

n

P

n

,

S

2

x

=

N

2

X

n=N

1

(x

n

− x)

2

P

n

zmienna ciągła:

x =

Z

x

2

x

1

dx xP (x) ,

S

2

x

=

Z

x

2

x

1

dx (x − x)

2

P (x)

Rozkład jednorodny
(jednostajny, prostokątny):

P (x) =

(

1

b−a

dla x ∈ [a, b],

0

dla x 6∈ [a, b]

x =

1
2

(b − a),

S

x

=

1

√

3

1
2

(b − a)

Rozkład Gaussa
(normalny):

P (x) =

1

√

2πσ

2

e

−

(x − x

0

)

2

2σ

2

x = x

0

,

S

x

= σ

Standaryzowany rozkład
Gaussa:

y =

x − x

0

σ

,

P (y) =

1

√

2π

e

−

y

2

2

y = 0,

S

y

= 1

Pomiar pojedynczy – dominuje błąd systematyczny

Pomiar bezpośredni wielkości x

˜

x – wartość zmierzona
∆x – najwyższa możliwa wartość błędu (błąd maksymalny)

}

zapis rezultatu: x = ˜

x ± ∆x

Pomiar pośredni wielkości z = f (x, y, . . .)

˜

z = f (˜

x, ˜

y, . . .) , ∆z =









∂f (˜

x, ˜

y, . . .)

∂ ˜

x







 ∆x +









∂f (˜

x, ˜

y, . . .)

∂ ˜

y







 ∆y + . . . , (metoda różniczki zupełnej)

Jeśli z = f (x, y, . . .) = C · x

u

· y

v

· . . . , to

∆z

˜

z

=







u

∆x

˜

x







 +







v

∆y

˜

y







 + . . . (metoda pochodnej logarytmicznej)

Seria pomiarów – dominuje błąd przypadkowy

Pomiar bezpośredni wielkości x

wartość średnia:

¯

x =

1

N

N

X

n=1

x

n

,

odchylenie standardowe pojedynczego pomiaru:

S

x

=

v

u

u

t

1

N − 1

N

X

n=1

(x

n

− ¯

x)

2

,

odchylenie standardowe wartości średniej:

S

¯

x

=

1

√

N

S

x

=

v

u

u

t

1

N (N − 1)

N

X

n=1

(x

n

− ¯

x)

2

,

Pomiar pośredni wielkości z = f (x, y, . . .)

wartość średnia:

¯

z = f (¯

x, ¯

y, . . .)

odchylenie standardowe pojedynczego pomiaru:

S

z

=

s

∂f (¯

x, ¯

y, . . .)

∂ ¯

x



2

S

2

x

+



∂f (¯

x, ¯

y, . . .)

∂ ¯

y



2

S

2

y

+ . . . ,

odchylenie standardowe wartości średniej:

S

¯

z

=

s

∂f (¯

x, ¯

y, . . .)

∂ ¯

x



2

S

2

¯

x

+



∂f (¯

x, ¯

y, . . .)

∂ ¯

y



2

S

2

¯

y

+ . . . ,

MMF 14

Błąd maksymalny (prawdopodobieństwo α = 0.9973)

∆x = 3S

¯

x

,

⇒

x = ¯

x ± 3S

¯

x

,

∆z = 3S

¯

z

,

⇒

z = ¯

z ± 3S

¯

z

,

Niepewność

U

¯

x

= kS

¯

x

,

(dla k = 1 niepewność standardowa, dla k > 1 niepewność rozszerzona)

⇒

x = ¯

x ± U

¯

x

,

U

¯

z

= kS

¯

z

,

⇒

z = ¯

z ± U

¯

z

,

Mała seria pomiarów – metoda Studenta-Fishera

U

¯

x

= t

α

(ν)S

¯

x

, (ν = N − 1),

⇒

x = ¯

x ± t

α

(ν)S

¯

x

(α - poziom ufności, ν - liczba st.swobody, t

α

(ν) - wsp. Studenta-Fishera)

jeśli niepewność standardowa, to t

0.6827

(ν), jeśli błąd maksymalny to t

0.9973

(ν)

Błędy systematyczny i przypadkowy są porównywalne

wartość średnia ¯

x, odchylenie standardowe wartości średniej S

¯

x

, błąd systematyczny ε

x

,

Pomiar bezpośredni wielkości x

błąd maksymalny:

∆x = ε

x

+ t

0.9973

(ν)S

¯

x

odchylenie standardowe (niepewność):

S =

r

S

2

¯

x

+

1
3

ε

2

x

,

Pomiar pośredni wielkości z = f (x, y, . . .)

błąd maksymalny:

∆z =









∂f (¯

x, ¯

y, . . .)

∂ ¯

x







 (ε

x

+ t

0.9973

(ν)S

¯

x

) +









∂f (¯

x, ¯

y, . . .)

∂ ¯

y







 (ε

y

+ t

0.9973

(ν)S

¯

y

) + . . .

odchylenie standardowe (niepewność):

S

¯

z

=

s

∂f (¯

x, ¯

y, . . .)

∂ ¯

x



2



S

2

¯

x

+

1
3

ε

2

x



+



∂f (¯

x, ¯

y, . . .)

∂ ¯

y



2



S

2

¯

y

+

1
3

ε

2

y



+ . . .

Wynik pomiaru

błąd maksymalny:

x = ¯

x ± ∆x ,

z = ¯

z ± ∆z

niepewność:

x = ¯

x ± S ,

z = ¯

z ± S

¯

z

Porównanie bł¸edów

pojedynczy pomiar:

bł¸ad systematyczny ε

seria pomiarów:

rozst¸ep r = x

max

− x

min

relacja mi¸edzy parametrami

przypadek

kryterium

r  ε

tylko bł¸ad systematyczny

r <

1
2

ε

r ≈ ε

oba rodzaje bł¸edów

1
2

ε < r < 10ε

r  ε

tylko bł¸ad przypadkowy

r > 10ε

MMF 15

Średnia ważona

pomiar tej samej wielkości z różną precyzją:



¯

x

j

, S

¯

x

j

, j = 1, 2, . . . , J

¯

x =

P

J
j=1

w

j

¯

x

j

P

J
j=1

w

j

,

S

2

¯

x

=

1

P

J
j=1

w

j

,

w

j

=

1

S

2

¯

x

j

Regresja liniowa

Dopasowanie prostej y = ax + b do wyników pomiarów: {x

n

, y

n

} , n = 1, 2, . . . , N

ˆa =

(xy) − (x) · (y)

(x

2

) − (x)

2

,

S

2

ˆ

a

=

1

N − 2

(d

2

)

(x

2

) − (x)

2

,

ˆb =

(x

2

) · (y) − (x) · (xy)

(x

2

) − (x)

2

,

S

2

ˆ

b

= S

2

ˆ

a

(x

2

) ,

C

ˆ

a,ˆ

b

= − S

2

ˆ

b

(x)

(x

2

) − (x)

2

.

gdzie

d

n

= y

n

− ˆax

n

− ˆb

(u) ≡

1

N

N

X

n=1

u

n

.

Dla dowolnego x mamy:

y = ˆax + ˆb

S

2

ˆ

y

= x

2

S

2

ˆ

a

+ S

2

ˆ

b

+ 2xC

ˆ

a,ˆ

b

MMF 16

Zadania IX

We wszystkich zadaniach odpowiedzi podawać zgodnie z zasadami prezentacji danych eksperymentalnych.

1. Wyznaczyć błędy maksymalne następujących wielkości złożonych:

(a) y = sin(xπ), dla x = 0.432 ± 0.002,

(b) z =

√

x + 2y dla x = 34(1), y = 12.35(5),

(c) z =

√

x − 2y dla x = 34(1), y = 12.35(5),

(d) u =

x + y

z

dla x = 23.12 ± 0.01, y = −7.3 ± 0.1, z = 57.6 ± 1.7,

(e) u =

πx

2

√

y

2z

dla x = 0.96 ± 0.01, y = 2.4 ± 0.1, z = 3400 ± 100,

2. Wyznaczyć wartości średnie, odchylenia standardowe pojedynczego pomiaru i wartości średniej, oraz

niepewność pomiaru dla podanych wartości poziomu ufności α:

(a) x = 23.43, 23.71, 24.18, 22.90, 23.83 dla α = 0.9,

(b) h = 8848, 8796, 8931, 8812, 8865, 8804, 8873, 8187, 8817, 8785, 8823, 8853 dla α = 0.95,

(c) V = 9.17, 9.56, 8.67, 8.94, 9.32, 9.02, 8.15, 8.88, 9.34, 9.78, 8.99, 9.19, 8.73, 9.42, 9.08, 8.85 dla α =

0.7,

3. Podać wynik pomiaru wielkości złożonych wraz z błędem maksymalnym i niepewnością standardową:

(a) y = 2x − 3, dla x = 0.74, 0.82, 0.71, 0.78, 0.77, 0.80, 0.75,

(b) z = x exp(−πt), dla x = 345, 367, 329, 339, 351, 354, t = 0.17, 0.23, 0.31, 0.26, 0.27, 0.34, 0.30, 0.27

(c) a =

b

2

√

c

4u

dla b = 2.56, 2.67, 2.46, 2.53, 2.59, c = 538(8), u = 3781, 3854, 3723,

(d) n = sin(α)

"

sin

h

d

!#

−1

dla α = 63

o

15

0

± 5

0

, h = 17.2, 17.1, 17.3, 17.3, 17.4, 17.2, d = 32 ± 2.

4. Wykonując pomiar pewnej wielkości na kilka różnych sposobów uzyskano następujące rezultaty:

(a) s

1

= 5680, S

1

= 320, s

2

= 5495, S

2

= 45,

(b) x

1

= 23.1, S

1

= 2.3, x

2

= 25.7, S

2

= 4.5, x

3

= 22.9, S

3

= 1.9,

(c) g

1

= 9.81, S

1

= 0.17, g

2

= 10, S

2

= 1, g

3

= 9.4, S

3

= 0.8, g

4

= 10.43, S

4

= 0.05, g

5

= 9.64, S

5

=

0.21,

Jaką wartość mierzonej wielkości i jej niepewności należy podać?

5. Wielkości x i y zależą od siebie liniowo. Zmierzono następujące wartości (x, y): (−4.5, 23), (3.2, 27),

(12.0, 27), (17.1, 28), (24.9, 31), (31.8, 32), (42.2, 33). Jakie wartości y i ich niepewności należy podać
dla x = 0, 10, 20, 30, 40?

6. Wielkości p i t związane są ze sobą relacją p = A exp(−kt). Wyznaczyć wartości parametrów A

i k jeżeli zmierzono następujące wartości (p, t): (9.2, 1.6), (8.5, 2.9), (8.0, 4.1), (7.6, 5.8), (6.6, 7.5),
(6.2, 9.2), (5.5, 12.0).

7. Aby określić powierzchnię prostokątnego stołu zmierzono miarą o podziałce 1 cm jego długość l =

1.73 m i szerokość d = 1.12 m. Jaką powierzchnię ma stół?

8. Ze śniegu ulepiono kulę. Jej masę zmierzono pięciokrotnie otrzymując następujące wartości wyrażone

w kg: 3.52, 3.71, 3.48, 3,64, 3.59. Średnicę kuli zmierzono 10-krotnie (w cm): 21.2, 22.3, 24.1, 23.4,
22.8, 21.9, 23.4, 22.7, 23.2, 23.9. Wyznaczyć gęstość masy śniegu.

MMF 17

9. Mierzono spadek napięcia i natężenie prądu płynącego przez układ dwóch rezystorów połączonych (a)

szeregowo, (b) równolegle. Uzyskano (a) U

a

= (8.9 ± 0.1) V , I

a

= (80 ± 5)µA, (b) U

b

= (8.1 ± 0.1) V ,

I

b

= (880 ± 10)µA. Wyznaczyć wartości oporu elektrycznego obu rezystorów.

10. Wyznaczyć wartość współczynnika rozszerzalności liniowej stalowego pręta. W temperaturze (20 ±

1)

o

C pręta miał 1543.32(1) mm długości, zaś w temperaturze (83 ± 1)

o

C miał 1544.27(1) mm. W

jakiś czas później powtórzono pomiar uzyskując 1543.27(1) mm długości w temperaturze (18 ± 1)

o

C,

oraz 1544.03(1) mm długości w temperaturze (69 ± 1)

o

C.

11. Wyznaczyć wartość współczynnika rozszerzalności liniowej pręta mosiężnego. Zmieniając tempera-

turę (dokładność 0.1

o

C) mierzono jego długość (dokładność 0.01mm). Uzyskano następujące rezul-

taty: 16.3

o

C – 1021.32 mm, 21.9

o

C – 1021.41 mm, 29.1

o

C – 1021.52 mm, 33.9

o

C – 1050.10 mm,

40.6

o

C – 1061.82 mm, 46.0

o

C – 1069.05 mm, 53.7

o

C – 1081.92 mm, 58.7

o

C – 1091.03 mm, 66.6

o

C –

1102.79 mm, 70.5

o

C – 1009.11 mm.

12. Badano wahadło matematyczne. Długość wahadła miała wartość (263.1 ± 0.1) cm. Mierząc czas

trwania 20 okresów uzyskano wartości (w sekundach): 65.02, 64.78, 64.81, 65.21, 64.96, 64.88, 61.03,
65.07, 65.93. Dokładność stopera wynosiła 0.01 s. Wyznaczyć wartość przyspieszenia grawitacyjnego.

13. Badano współczynnik tarcia k mierząc czas zsuwania się klocka prostopadłościennego po równi po-

chyłej. Zmierzono: kąt nachylenia równi α = 37(1)

0

, długość równi L = 268.5(1) cm, masę klocka

m = 85.75(05) g, rozmiary klocka a = 81.3(1) mm, b = 41.5(1) mm, c = 26.9(1) mm. Czas zsu-
wania wynosił (z dokł. do 0.1 s): 1.6, 1.7, 1.5, 1.6, 1.5, 1.4, 1.6, 1.5, 1.6, 1.7. Wyznaczyć wartość
współczynnika k.

MMF 18

Całki podwójne

Z

S

Z

dS f (x, y) =

b

Z

a

dx

y

2

(x)

Z

y

1

(x)

dy f (x, y) =

d

Z

c

dy

x

2

(y)

Z

x

1

(y)

dx f (x, y)

Z

S

Z

dx dy f (x, y) =

Z

S

Z

du dv |J(u, v)| f (x(u, v), y(u, v))

J(u, v) =

D(x, y)
D(u, v)

=















∂x(u, v)

∂u

∂x(u, v)

∂v

∂y(u, v)

∂u

∂y(u, v)

∂v















←− jakobian

np. przy zamianie współrzędnych kartezjańskich (x, y) na biegunowe (r, ϕ) jakobian ma postać: J = r.

Całki potrójne

Z Z

V

Z

dV f (x, y, z) =

b

Z

a

dx

y

2

(x)

Z

y

1

(x)

dy

z

2

(x, y)

Z

z

1

(x, y)

dz f (x, y, z)

Z Z

V

Z

dx dy dz f (x, y, z) =

Z Z

V

Z

du dv dw |J(u, v, w)| f (x(u, v, w), y(u, v, w), z(u, v, w))

J(u, v, w) =

D(x, y, z)

D(u, v, w)

=





















∂x(u, v, w)

∂u

∂x(u, v, w)

∂v

∂x(u, v, w)

∂w

∂y(u, v, w)

∂u

∂y(u, v, w)

∂v

∂y(u, v, w)

∂w

∂z(u, v, w)

∂u

∂z(u, v, w)

∂v

∂z(u, v, w)

∂w





















←− jakobian

np. jakobian przyjmuje następującą postać przy zamianie współrzędnych:

kartezjańskie

−→

cylindryczne

J = r

kartezjańskie

−→

sferyczne

J = r

2

sin θ

Zadania IX

Obliczyć całki podwójne:

1. obszar: kwadrat x ∈ (0, π), y ∈ (0, π); f (x, y) = sin(ax + by), dla dowolnych stałych a i b

2. obszar: trójkąt x ∈ (0, π), y ∈ (0, x); f (x, y) = sin(ax + by), dla dowolnych stałych a i b

3. obszar: trójkąt o wierzchołkach (1, −1), (3, −1), (1, 3); f (x, y) = x/

√

5 − y,

4. obszar: trójkąt o wierzchołkach (1, 2), (4, 2), (2, 4); f (x, y) = 1/(1 + x + y),

5. obszar: trójkąt o wierzchołkach (−3, −2), (−2, 0), (0, 1); f (x, y) = 1/(x

2

+ y

2

),

6. obszar pomiędzy odcinkiem [0, π] na osi OX oraz krzywą y = sin x; f (x, y) = sin x

√

1 − y sin x,

7. obszar: x ¬ 0, y ­ 0, x

2

+ y

2

¬ R

2

; f (x, y) = arctan (y/x),

MMF 19

8. obszar pomiędzy krzywymi y = a sin x i y = b sin x na odcinku x ∈ [0, π] dla dowolnych stałych a i b; f (x, y) =

x+y

sin x

,

9. obszar pomiędzy prostymi: y = x, y = 2x, y = 1 − x, y = 1 − 2x; f (x, y) = 1/(x

2

y),

10. obszar dla x > 0 zawarty pomiędzy parabolami: y = 2x

2

− 1, y = 2x

2

− 4, y = −x

2

, y = 3x

2

; f (x, y) = x

−3

p

y − 2x

2

.

Obliczyć całki potrójne:

11. obszar: prostopadłościan o wierzchołkach (0, 0−, 0), (1, 0, 0), (0, 2, 0), (0, 0, 3); f (x, y, z) = 1/(1 + x + y + z),

12. obszar: ostrosłup o wierzchołkach (0, 0, 0), (1, 0, 0), (0, 2, 0), (0, 0, 3); f (x, y, z) = 1/(1 + x + y + z),

13. obszar: graniastosłup o podstawie o wierzchołkach (1, 0, 1), (2, 0, 1), (3, 0, 2) i wysokości h = 4; f (x, y, z) = y/

√

x + z,

14. obszar: równoległościan o wierzchołkach (0, 0, 0), (1, 0, 0), (1, 1, 0) i (1, 1, 1); f (x, y, z) = x

√

y + z,

15. obszar: walec o środku w punkcie (0, 0, 0), wysokości h równoległej do osi OZ i o promieniu R; f (x, y, z) =

p

x

2

+ y

2

+ z

2

,

16. obszar: kula o środku w punkcie (0, 0, 0), i promieniu R; f (x, y, z) =

p

x

2

+ |yz|,

17. obszar: część wspólna kuli o promieniu R i walca o promieniu R/2, obie bryły mają środek w punkcie (0, 0, 0), oś walca

leży wzdłuż osi OY ; f (x, y, z) = (x + z)y/(x

2

+ z

2

).

18. Wyprowadzić wzory na objętość: walca, stożka, elipsoidy (półosie a, b i c).

19. Obliczyć objętość części wspólnej kuli o promieniu R i stożka o promieniu % i wysokości h:

(a) gdy jego wierzchołek leży w środku kuli,

(b) gdy jego wierzchołek leży na powierzchni kuli a oś symetrii przechodzi przez środek kuli.

Rozważyć wszystkie przypadki. Jaka jest objętość wycinka kuli (w kształcie stożka) o kącie bryłowym równym 1
steradianowi? (Co to jest steradian?)

20. Środek kuli o promieniu R

1

umieszczony jest na powierzchni kuli o promieniu R

2

. Obliczyć objętość części wspólnej

obu kul (rozważyć wszystkie przypadki).

21. Obliczyć objętość obszaru ograniczonego płaszczyzną OXY , powierzchnią boczną walca o równaniu x

2

+ y

2

= 4 oraz

powierzchnią paraboloidy obrotowej z = z

0

+ a(x

2

+ y

2

).

22. Moment bezwładności brył sztywnych względem danej osi obrotu wyraża się całką po objętości bryły:

I =

Z Z

V

Z

dV r

2

%(x, y, z) ,

gdzie r jest odległością danego punktu od osi obrotu. Wyprowadzić wzory na momenty bezwładności względem wszyst-
kich osi symetrii następujących brył o jednorodnie rozłożonej masie całkowitej M (przyjąć dodatkowe parametry
określające kształt brył):

(a) sześcian,

(b) prostopadłościan,

(c) walec,

(d) stożek,

(e) elipsoida obrotowa,

(f) torus,

(g) sześcioramienna gwiazdka z choinki.