2007 05 14 praid 25651 Nieznany

background image

Prawdopodobieństwo i statystyka

14.05.2007 r.

___________________________________________________________________________

Zadanie 1.

Niech X będzie zmienną losową o rozkładzie Pareto o gęstości

⎪⎩

>

+

=

0

0

0

)

2

(

64

)

(

5

x

gdy

x

gdy

x

x

f

.

Niech Y będzie zmienną losową równą

>

=

3

3

3

0

x

gdy

X

x

gdy

Y

.

Wyznaczyć

).

3

|

(

>

X

Y

Var

(A)

9

8


(B) 1

(C)

9

50

(D)

9

12

(E)

9

75

1

background image

Prawdopodobieństwo i statystyka

14.05.2007 r.

___________________________________________________________________________

Zadanie 2.

Niech

będą niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym rozkładzie

ujemnym dwumianowym

2

1

, X

X

4

3

,

2

bin

(

)

K

,

2

,

1

,

0

dla

4

1

4

3

1

2

=

⎟⎟

⎜⎜

⎛ +

=

=

n

n

n

n

X

P

n

i

,

Wyznaczyć

)

6

|

3

(

2

1

1

=

+

=

X

X

X

P

.

(A)

21

10

(B)

21

4

(C)

2

1

(D)

21

6

(E)

21

11

2

background image

Prawdopodobieństwo i statystyka

14.05.2007 r.

___________________________________________________________________________

Zadanie 3.

Zmienna losowa N ma rozkład Poissona z parametrem

0

>

λ

. Rozważamy losową

liczbę zmiennych losowych

, przy czym zmienne losowe

są niezależne wzajemnie i niezależne od zmiennej losowej N. Każda ze

zmiennych losowych

ma rozkład Weibulla o gęstości

N

X

X

X

,

,

,

2

1

K

N

X

X

X

,

,

,

2

1

K

i

X

>

=

0

0

0

)

exp(

2

)

(

2

x

gdy

x

gdy

x

x

x

p

θ

θ

θ

,

gdzie

0

>

θ

jest nieznanym parametrem. Obserwujemy tylko te spośród zmiennych

, które są większe od 10. Nie wiemy ile jest pozostałych zmiennych ani

jakie są ich wartości. Przypuśćmy, że zaobserwowaliśmy cztery wartości większe od
10 i suma ich kwadratów jest równa 1200. Na podstawie tych danych wyznaczyć
estymatory największej wiarogodności parametrów

N

X

X

X

,

,

,

2

1

K

θ

i

λ

.

(A)

i

4

ˆ

= e

θ

4

ˆ =

λ

(B)

300

1

ˆ =

θ

i

e

4

ˆ =

λ

(C)

300

1

ˆ =

θ

i

3

/

1

4

ˆ

e

=

λ

(D)

200

1

ˆ =

θ

i

e

4

ˆ =

λ

(E)

i

4

ˆ

= e

θ

e

4

ˆ =

λ


3

background image

Prawdopodobieństwo i statystyka

14.05.2007 r.

___________________________________________________________________________

Zadanie 4.


W urnie znajdują się trzy kule białe i dwie czarne. Powtarzamy następujące
doświadczenie: losujemy z urny kulę, odkładamy na bok i dorzucamy do urny kulę
białą. Dopiero po trzykrotnym powtórzeniu doświadczenia w urnie nie było już kul
czarnych. Obliczyć prawdopodobieństwo, że w pierwszym doświadczeniu
wylosowano kulę czarną.

(A)

4

3

(B)

7

3

(C)

125

6

(D)

125

8

(E)

7

4

4

background image

Prawdopodobieństwo i statystyka

14.05.2007 r.

___________________________________________________________________________

Zadanie 5.

Załóżmy, że

są niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym

rozkładzie wykładniczym i

K

K

,

,

,

,

1

0

n

X

X

X

λ

1

=

i

EX

. Niech

>

=

=

k

i

i

a

X

k

N

0

:

0

min

,

gdzie

a

jest ustaloną liczbą dodatnią. Podać rozkład prawdopodobieństwa zmiennej

N.

(A)

(

)

k

a

a

a

k

N

P

+

+

=

=

λ

λ

λ

dla

K

,

2

,

1

,

0

=

k

(B)

(

)

k

a

a

a

k

N

P

+

+

=

=

λ

λ

λ

dla

K

,

2

,

1

,

0

=

k

(C)

(

)

!

1

exp

k

a

a

k

N

P

k

⎛−

=

=

λ

λ

dla

K

,

2

,

1

,

0

=

k

(D)

(

)

(

)( )

!

1

exp

k

a

a

k

N

P

k

λ

λ

=

=

dla

K

,

2

,

1

,

0

=

k

(E)

(

)

!

1

exp

k

a

a

a

a

k

N

P

k

+

+

=

=

λ

λ

dla

K

,

2

,

1

,

0

=

k



5

background image

Prawdopodobieństwo i statystyka

14.05.2007 r.

___________________________________________________________________________

Zadanie 6.

Niech

będą niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym

rozkładzie jednostajnym na przedziale

K

K

,

,

,

,

2

1

n

X

X

X

[ ]

θ

,

0

, gdzie

0

>

θ

jest nieznanym parametrem.

Rozważamy estymator nieobciążony parametru

θ

postaci

(

)

n

n

n

n

aX

T

X

X

X

T

:

1

2

1

,

,

,

=

=

K

,

gdzie

i a jest pewną stałą. Wtedy

{

n

n

X

X

X

X

,

,

,

min

2

1

:

1

K

=

}


(A)

(

0

lim

0

0

=

>

>

>

ε

θ

θ

ε

θ

n

n

T

P

)

(B)

(

)

=

>

>

>

θ

ε

ε

θ

θ

ε

θ

1

exp

lim

0

0

n

n

T

P

(C)

(

)

=

>

>

>

θ

ε

ε

θ

θ

ε

θ

1

exp

lim

0

0

n

n

T

P

(D)

(

)

+

+

=

>

>

>

θ

ε

θ

ε

ε

θ

θ

ε

θ

1

exp

1

exp

1

lim

0

0

n

n

T

P

(E)

(

)

+

+

=

>

>

>

θ

ε

θ

ε

ε

θ

θ

ε

θ

1

exp

1

exp

1

lim

0

0

n

n

T

P


6

background image

Prawdopodobieństwo i statystyka

14.05.2007 r.

___________________________________________________________________________

Zadanie

7.


Niech

będą niezależnymi zmiennymi losowymi z rozkładu Weibulla o

gęstości

n

X

X

X

,

,

,

2

1

K

(

)

>

=

0

0

0

exp

3

)

(

3

2

x

gdy

x

gdy

x

x

x

f

θ

θ

θ

,

gdzie

0

>

θ

jest nieznanym parametrem. Przedział ufności dla parametru

θ

w oparciu

o estymator największej wiarogodności

(

)

n

n

n

X

X

X

,

,

,

ˆ

ˆ

2

1

K

θ

θ

=

parametru

θ

otrzymujemy rozwiązując nierówność

z

n

n

)

(

ˆ

θ

σ

θ

θ

,

gdzie )

(

θ

σ

jest wariancją asymptotyczną statystyki

(

)

n

n

n

X

X

X

,

,

,

ˆ

ˆ

2

1

K

θ

θ

=

i liczba z

spełnia

95

,

0

)

(

ˆ

lim

=



+∞

z

n

P

n

n

θ

σ

θ

θ

.

Tak otrzymany przedział ma postać

(A)

(

)

(

)

+

=

=

n

i

i

n

i

i

n

X

n

n

X

n

1

3

1

3

96

,

1

,

96

,

1

(B)

(

)

(

)

+

=

=

n

i

i

n

i

i

n

X

n

n

n

X

n

n

1

3

1

3

96

,

1

,

96

,

1

(C)

⎛ +

⎛ −

=

=

n

X

n

n

X

n

n

i

i

n

i

i

96

,

1

1

,

96

,

1

1

1

3

1

3

(D)

(

) (

)

+

+

=

=

96

,

1

,

96

,

1

1

3

1

3

n

n

X

n

n

X

n

i

i

n

i

i

(E)

⎛ +

⎛ −

=

=

n

n

X

n

n

X

n

i

i

n

i

i

96

,

1

1

,

96

,

1

1

1

3

1

3

7

background image

Prawdopodobieństwo i statystyka

14.05.2007 r.

___________________________________________________________________________

Zadanie

8.


Zakładając, że zmienne losowe

są niezależne i mają rozkłady normalne

5

2

1

,

,

,

X

X

X

K

)

1

,

(

~

i

m

N

X

i

zbudowano test jednostajnie najmocniejszy dla weryfikacji hipotezy

przy alternatywie

na poziomie istotności 0,05.

0

:

0

=

m

H

0

:

1

>

m

H

W rzeczywistości okazało się, że wektor

ma rozkład normalny taki,

że

)

,

,

,

(

5

2

1

X

X

X

K

i

m

EX

i

=

,

=

=

=

0

1

1

|

|

5

,

0

)

,

(

pp

w

j

i

gdy

j

i

gdy

X

X

Cov

j

i

Wyznaczyć rzeczywisty rozmiar testu.

(A) 0,11

(B) 0,08

(C) 0,15

(D) 0,07

(E) 0,02

8

background image

Prawdopodobieństwo i statystyka

14.05.2007 r.

___________________________________________________________________________

Zadanie

9.


Obserwujemy

niezależnych zmiennych losowych o tym samym

rozkładzie Pareto o gęstości

4

3

2

1

,

,

,

X

X

X

X

⎪⎩

>

+

=

+

0

0

0

)

1

(

)

(

1

1

1

1

x

gdy

x

gdy

x

x

f

θ

θ

θ

i

niezależnych zmiennych losowych o tym samym rozkładzie Pareto o

gęstości

5

2

1

.

,

,

Y

Y

Y

K

⎪⎩

>

+

=

+

0

0

0

)

1

(

)

(

1

2

2

2

x

gdy

x

gdy

x

x

f

θ

θ

θ

gdzie

1

θ

i

2

θ

są nieznanymi parametrami dodatnimi.

Wszystkie zmienne losowe są niezależne. Testujemy hipotezę

2

:

2

1

0

=

θ

θ

H

przy

alternatywie

2

:

2

1

1

<

θ

θ

H

za pomocą testu o obszarze krytycznym

<

=

t

K

2

1

ˆ

ˆ

θ

θ

gdzie

i są estymatorami największej wiarogodności odpowiednio parametrów

1

ˆ

θ

2

ˆ

θ

1

θ

i

2

θ

wyznaczonymi na podstawie prób losowych

i

.

Dobrać stałą t tak, aby otrzymać test o rozmiarze 0,05.

4

3

2

1

,

,

,

X

X

X

X

5

2

1

.

,

,

Y

Y

Y

K


(A)

1628

,

0

=

t


(B)

5358

,

1

=

t


(C)

6511

,

0

=

t


(D)

6736

,

1

=

t


(E)

3852

,

0

=

t




9

background image

Prawdopodobieństwo i statystyka

14.05.2007 r.

___________________________________________________________________________

Zadanie

10.


Niech

będą niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym

rozkładzie wykładniczym o wartości oczekiwanej 1. Obliczyć

n

X

X

X

X

,

,

,

,

2

1

0

K

{

}

(

)

0

1

0

|

,

,

,

min

X

X

X

X

E

n

K

(A)

(

)

(

)

(

0

0

0

exp

exp

1

1

nX

X

nX

n

+

)

(B)

(

)

(

)

(

0

0

0

)

1

(

exp

)

1

(

exp

1

1

1

X

n

X

X

n

n

+

+

+

+

)

(C)

(

)

(

)

(

0

0

0

exp

exp

1

1

nX

X

nX

n

)

(D)

(

)

(

)

0

exp

1

1

nX

n

(E)

1

1

+

n

10

background image

Prawdopodobieństwo i statystyka

14.05.2007 r.

___________________________________________________________________________

Egzamin dla Aktuariuszy z 14 maja 2007 r.

Prawdopodobieństwo i statystyka


Arkusz odpowiedzi

*




Imię i nazwisko : ........................ K L U C Z O D P O W I E D Z I ..............................

Pesel ...........................................



Zadanie nr

Odpowiedź Punktacja

1 C

2 B

3 D

4 E

5 D

6 D

7 B

8 A

9 C

10 D







*

Oceniane są wyłącznie odpowiedzi umieszczone w Arkuszu odpowiedzi.

Wypełnia Komisja Egzaminacyjna.

11


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
2007 05 14 prawdopodobie stwo i statystykaid 25652
2007.05.14 prawdopodobie stwo i statystyka
mat fiz 2007 05 14
2000 10 14 praid 21577 Nieznany
2007 05 14 matematyka finansowaid 25650
2007 05 14 Uzasadnienie TK do Ustawy lustracyjnej
2009 10 05 praid 26669 Nieznany
2007 03 05 gazeta prawna KASS6L Nieznany
2005 12 05 praid 25348 Nieznany
14 05 2013 grammaire contrastiv Nieznany (2)
1997 04 05 praid 18576 Nieznany
2007 05 Szkola konstruktorowid Nieznany
05 Komunikacja aplikacji z ser Nieznany
cwiczenie 14 id 125164 Nieznany
1996 10 26 praid 18571 Nieznany
05 rozdzial 04 nzig3du5fdy5tkt5 Nieznany (2)

więcej podobnych podstron