1. Punkty leżące na powierzchniach brył obrotowych

W technice często mamy do czynienia z powierzchniami II stopnia do których można zaliczyć:
walec, stożek i kulę. Konstrukcyjnie wyznaczone punkty, leżące na powierzchniach bocznych oraz
przekroje płaszczyznami tych brył rozszerzają zdecydowanie naszą wyobraźnię o tworach
przestrzennych w rzutowaniu prostokątnym, a więc i w zapisie konstrukcji technicznych.

Dokonajmy analizy punktów znajdujących się na powierzchni bocznej walca. W tym celu
przyjmijmy rzuty pionowe dwóch punktów

A''

i

B''

, zakładając, że należą do powierzchni bocznej

walca prostego stojącego na rzutni poziomej. Sytuację tą obrazuje rys. 3.1. Zadaniem naszym będzie
wyznaczenie rzutów poziomych tych punktów. Rozwiązanie zadania może nastąpić dwoma
metodami. Obydwie metody zostały zaprezentowane na tym samym rys. 3.1.

(1.1) Punkty leżące na powierzchni bocznej walca

Informatyka 4 - Lekcja 3

Metoda I (za pomocą przekroju)

Przez punkty A i B prowadzimy płaszczyznę pionowo - rzutującą

j

'', która jest równoległa do

rzutni poziomej. Tak poprowadzona płaszczyzna wyznaczy nam przekrój walca w postaci okręgu,
równoległego do rzutni poziomej, którego dwie średnice wzajemnie prostopadłe oznaczymy w

Rys.3.1 Punkty leżące na powierzchni bocznej walca

Informatyka 4 - Lekcja 3

rzucie pionowym jako

P''Q''

i

R''S''

. Jedna ze średnic

PQ

będzie równoległa do rzutni pionowej,

druga

RS

do niej prostopadła. W rzucie pionowym otrzymamy zatem średnicę

P''Q''

w wielkości

rzeczywistej oraz średnicę

R''S''

, która będzie punktem. Rzutem poziomym przekroju (okręgu)

będzie okrąg pokrywający się z rzutem poziomym walca. Bez trudu na rzucie poziomym przekroju
można wyznaczyć rzuty poziome średnic

P'Q'

i

R'S'

przekroju walca płaszczyzną

j''

. Na

przekroju w postaci okręgu wyznaczymy poszukiwane rzuty poziome punktów

A'

i

B'

. W celu

oznaczenia widoczności punktów w rzucie pionowym prowadzimy pomocniczą płaszczyznę

g'

, która

określa widoczną część powierzchni walca. Wszystkie punkty leżące poniżej tej płaszczyzny są
widoczne, natomiast powyżej są niewidoczne. Z przeprowadzonej analizy wynika zatem, że punkt

A

w rzucie pionowym będzie niewidoczny.

Metoda II (za pomocą tworzących)

Zamiast prowadzenia płaszczyzny przechodzącej przez punkty A i B poprowadźmy przez te
punkty dwie tworzące walca. W rzucie pionowym, będą to dwa odcinki

t

1

''

i

t

2

''

. Rzuty poziome

tworzących

t

1

'

i

t

2

'

wyznaczymy ustalając w pierwszej kolejności rzuty punktów przecięcia

tworzących z podstawą stożka

I

i

II

. Na rzutach poziomych tworzących możemy wyznaczyć

poszukiwane rzuty poziome punktów

A'

i

B'

. Jak widać z przedstawionej konstrukcji rzuty

poziome punktów

A'

i

B'

pokrywają się niezależnie od stosowanej metody. Widoczność ustalana

jest analogicznie jak w poprzednim przypadku.

Podoba konstrukcję ustalania rzutów punktów, tym razem

QR

, przedstawiono na rys. 3.2 w

odniesieniu do powierzchni stożka. Zarówno metoda przekroju płaszczyzną

a''

jak i metoda

tworzących przyniosła oczekiwany efekt.

(1.2) Punkty leżące na powierzchni bocznej stożka

Informatyka 4 - Lekcja 3

Z analizy widoczności punktów na powierzchni stożka wynika, że punkt

Q

w rzucie pionowym

będzie niewidoczny, natomiast punkt

R

będzie widoczny.

Wyznaczanie punktów leżących na powierzchni kuli realizowane jest za pomocą metody

przekroju płaszczyzną, przechodzącą przez analizowane punkty, równoległą do rzutni poziomej.

Metoda druga nie jest wykorzystywana z takiego względu, iż w miejsce tworzących musielibyśmy
wprowadzić południki, które w rzutach są elipsami, trudnymi do precyzyjnej konstrukcji. W

geometrii znana jest siatkowa metoda wyznaczania elipsy określonej przez dwie średnice sprzężone,

Rys.3.2 Punkty leżące na powierzchni bocznej stożka

(1.3) Punkty leżące na powierzchni kuli

Informatyka 4 - Lekcja 3

ale jest to jednak metoda przybliżona. Skorzystamy zatem z metody przekroju, albowiem jest ona w

tym przypadku precyzyjna i nie powoduje żadnych niejednoznaczności. Przyjmijmy rzuty pionowe
punktów

Q''

i

R''

leżących na powierzchni kuli. Wyznaczenie rzutów poziomych punktów nie

powinno mam sprawić żadnych trudności. Jest to konstrukcja podobna jak w przypadku walca i
stożka. Przekrojem kuli płaszczyzna

a''

będzie okrąg, który w rzucie pionowym jest odcinkiem,

natomiast w rzucie poziomym jest okręgiem o niezmienionej wielkości. Rzut poziomy tego okręgu

wyznaczymy ustalając jego promień

r

w rzucie pionowym. Na rzucie poziomym okręgu znajdziemy

poszukiwane rzuty poziome punktów

Q'

i

R'

.

Rys.3.3 Punkty leżące na powierzchni kuli

Informatyka 4 - Lekcja 3

Widoczność punktów rozpatrujemy w przypadku kuli odrębnie dla każdego z rzutów. Granicą
widoczności dla rzutu poziomego jest płaszczyzna

b''

, natomiast dla rzutu pionowego płaszczyzna

g'.

Z analizy widoczności punktów w poszczególnych rzutach wynika, że rzut pionowy punktu

Q''

jest niewidoczny, ponieważ leży powyżej płaszczyzny

g''

. W rzucie poziomym oba punkty są

widoczne, ponieważ leżą nad płaszczyzną

b''

.

Informatyka 4 - Lekcja 3

2. Przekroje brył obrotowych płaszczyznami rzutującymi

Przekrojami brył obrotowych są głównie krzywe stopnia II, takie jak elipsa, okrąg, parabola.
Najczęściej mamy do czynienia z przekrojami w postaci okręgu lub elipsy. Zwykle rzutem
równoległym okręgu jest elipsa. Zatem skupimy się na tej krzywej, wyznaczając przekroje
podstawowych brył obrotowych II stopnia z jakimi mamy do czynienia w technice. Okrąg będziemy
definiowali podając dwie średnice wzajemnie prostopadłe. Taka definicja pozwala ustalić środek
okręgu oraz jego promień, jest ona wygodna, gdy będziemy definiować elipsę.

Definicja

Rzutem równoległym okręgu (w ogólnym położeniu) jest elipsa. Rzutem równoległym dwóch
średnic prostopadłych okręgu są średnice sprzężone elipsy, określające ją w sposób jednoznaczny.
Dwie średnice sprzężone, wzajemnie prostopadłe nazywamy osiami elipsy. Elipsa może być zatem
jednoznacznie określona przy pomocy jednej z nieskończenie wielu par średnic sprzężonych jakie
w niej występują.

Poniżej na rys. 3.4 przedstawiona zostanie konstrukcja siatkowa elipsy oparta na średnicach
sprzężonych

AB

i

CD

, która może być przydatna w rozwiązywaniu zadań konstrukcyjnych z

dziedziny brył obrotowych.

W oparciu o dwie średnice sprzężone

AB

i

CD

budujemy równoległobok

GEFH

. Poszczególne

ćwiartki równoległoboku dzielimy na cztery równe jednakowe części. Następnie postępując jak na
rysunku wyznaczamy poszczególne punkty należące do górnego zarysu elipsy. Podobnie
postępujemy z dolna częścią równoległoboku. Otrzymamy w ten sposób pełny zarys elipsy.

Wyznaczmy przekrój walca prostego stojącego na rzutni poziomej płaszczyzna pionowo - rzutującą

a''

(prostopadłą do rzutni pionowej). Przekrojem tego walca będzie elipsa, której osie główne są

Rys. 3.4. Konstrukcja siatkowa elipsy

(2.1) Przekrój walca płaszczyzną rzutującą

Informatyka 4 - Lekcja 3

odpowiednio:

P''Q''

- równoległa do rzutni pionowej oraz

R''S''

prostopadła do rzutni pionowej.

Ponieważ powierzchnia boczna walca jest prostopadła do rzutni poziomej, rzutem przekroju (elipsy)
będzie okrąg. Wyznaczenie rzutu poziomego osi elipsy jest zagadnieniem prostym, ponieważ punkty
krańcowe osi będą leżały na rzucie poziomym walca (powierzchnia prostopadła do podstawy.

Mając dany rzuty poziome przekroju oraz osi elipsy powinniśmy określić widoczność punktów
krańcowych osi w rzucie poziomym. Granica widoczności dla rzutu pionowego jest płaszczyzna

b'

prostopadła do rzutni poziomej i równoległa do rzutni pionowej, przechodząca przez punkt

0'

. Jak

widać z przeprowadzonej analizy punkt

R''

w rzucie pionowym jest niewidoczny, pozostałe punkty

P''

,

Q''

i

S''

są widoczne.

Rys. 3.5. Przekrój walca płaszczyzną rzutującą

Informatyka 4 - Lekcja 3

Kolejnym przykładem przekroju bryły obrotowej płaszczyzną rzutującą jest przekrój stożka.
Przyjmijmy założenia do niniejszego zadania zgodnie z rys. 3.6. Stożek prosty stoi na rzutni
poziomej. Płaszczyzna krojąca opisana została literą

a''

. Przekrojem stożka w tym przypadku jest

elipsa, której osie główne (wzajemnie prostopadłe), podobnie jak w przypadku walca są
odpowiednio:

AB

- równoległa do rzutni pionowej oraz

CD

prostopadła do rzutni pionowej.

Rzutem pionowym tych osi będą średnice sprzężone wzajemnie prostopadłe. Krańcowe punkty osi

A''

i

B''

wyznaczymy metodą tworzących. Tworzące skrajne w rzucie pionowym, na których leżą

punkty

A''

i

B''

rzutują się w rzucie poziomym na oś poziomą rzutu stożka. Na rzutach poziomych

(2.2) Przekrój stożka płaszczyzną rzutującą

Rys. 3.6. Przekrój stożka płaszczyzną rzutującą

Informatyka 4 - Lekcja 3

tych tworzących wyznaczymy rzuty punktów

A'

i

B'

. Punkty

C

i

D

należące przecież do

powierzchni bocznej stożka wyznaczymy metodą przekroju płaszczyzną

b'',

równoległą do rzutni

poziomej

, w wyniku którego otrzymamy w rzucie poziomym okrąg o promieniu

r

. Konstrukcję tą

wykonano w rozdziale 2.2 niniejszej lekcji. Punkt

C''

zarysu przekroju zgodnie z wcześniejszymi

analizami jest niewidoczny, pozostałe punkty należące do osi są widoczne.

Kula jest kolejną bryłą dla której wyznaczymy przekrój płaszczyzną pionowo rzutującą

a''

.

Przekrojem kuli jest oczywiście okrąg, którego średnice wzajemnie prostopadłe są odpowiednio:

AB

- równoległa do rzutni pionowej oraz

CD

prostopadła do rzutni pionowej.

(2.3) Przekrój kuli płaszczyzną rzutującą

Informatyka 4 - Lekcja 3

Punkty A'' i B'' znajdują się na rzucie pionowym głównego południka, który w rzucie poziomym

rzutuje się w postaci odcinka leżącego na osi poziomej kuli. Możemy zatem bez trudu wyznaczyć

rzuty poziome punktów

A'

i

B'

. Rzuty poziome punktów

C

i

D

należące do powierzchni bocznej

kuli wyznaczymy metodą przekroju płaszczyzną

b''

, w wyniku którego otrzymamy w rzucie

poziomym okrąg o promieniu

r

. Konstrukcję tą wykonano w rozdziale 2.3 niniejszej lekcji. Punkt

C''

zarysu przekroju zgodnie z wcześniejszymi analizami jest niewidoczny, pozostałe punkty

Rys. 3.7. Przekrój kuli płaszczyzna pionowo - rzutującą

Informatyka 4 - Lekcja 3

należące do osi w rzucie pionowym są widoczne. W rzucie poziomym wszystkie punkty będą
widoczne ponieważ leżą powyżej płaszczyzny granicznej

g''

. Wyznaczone w powyższy sposób

rzuty osi pozwalają nam wykreślić zarys elipsy, będącej rzutem przekroju kuli. Punkty zmiany

widoczności

K'

i

L'

w rzucie poziomym wyznaczymy na rzucie poziomym głównego południka

kuli. W rzucie pionowym punkty te K'' i

L''

leżą w miejscu przecięcia się płaszczyzny

a''

z

płaszczyzną

g''

określającą granicę widoczności.

Przedstawione w trzech pierwszych lekcjach zagadnienia odwzorowań obiektów przestrzennych na
płaszczyźnie umożliwi nam sformułowanie zasad graficznego zapisu konstrukcji obiektów

technicznych. Zagadnienia te zostaną omówione w lekcjach 4 i 5.

Informatyka 4 - Lekcja 3