1. Punkty leżące na powierzchniach brył obrotowych 

W technice często mamy do czynienia z powierzchniami II stopnia do których można zaliczyć: 
walec, stożek i kulę. Konstrukcyjnie wyznaczone punkty, leżące na powierzchniach bocznych oraz 
przekroje płaszczyznami tych brył rozszerzają zdecydowanie naszą wyobraźnię o tworach 
przestrzennych w rzutowaniu prostokątnym, a więc i w zapisie konstrukcji technicznych.

 

     Dokonajmy analizy punktów znajdujących się na powierzchni bocznej walca. W tym celu 
przyjmijmy rzuty pionowe dwóch punktów

  A''

 i  

B''

, zakładając, że należą do powierzchni bocznej 

walca prostego stojącego na rzutni poziomej. Sytuację tą obrazuje rys. 3.1.  Zadaniem naszym będzie 
wyznaczenie rzutów poziomych tych punktów. Rozwiązanie zadania może nastąpić dwoma 
metodami. Obydwie metody zostały zaprezentowane na tym samym rys. 3.1.  

(1.1) Punkty leżące na powierzchni bocznej walca

Informatyka 4 - Lekcja 3

 Metoda I  (za pomocą przekroju) 

    Przez punkty A i B prowadzimy płaszczyznę pionowo - rzutującą  

j

'',  która jest równoległa do 

rzutni poziomej. Tak poprowadzona płaszczyzna wyznaczy nam przekrój walca w postaci okręgu, 
równoległego do rzutni poziomej, którego dwie średnice wzajemnie prostopadłe oznaczymy w 

Rys.3.1  Punkty leżące na powierzchni bocznej walca

Informatyka 4 - Lekcja 3

rzucie pionowym jako 

P''Q''

  i  

R''S''

. Jedna ze średnic 

PQ 

będzie równoległa do rzutni pionowej, 

druga 

RS

 do niej prostopadła. W rzucie pionowym otrzymamy zatem średnicę 

P''Q'' 

w wielkości 

rzeczywistej oraz średnicę 

R''S''

, która będzie punktem. Rzutem poziomym przekroju (okręgu) 

będzie okrąg pokrywający się z rzutem poziomym walca. Bez trudu na rzucie poziomym przekroju
można wyznaczyć rzuty poziome średnic 

P'Q'

   i  

R'S' 

przekroju walca płaszczyzną 

j''

. Na 

przekroju w postaci okręgu wyznaczymy poszukiwane rzuty poziome punktów 

A'

   i  

B'

. W celu 

oznaczenia widoczności punktów w rzucie pionowym prowadzimy pomocniczą płaszczyznę 

g'

, która 

określa widoczną część powierzchni walca. Wszystkie punkty leżące poniżej tej płaszczyzny są 
widoczne, natomiast powyżej są niewidoczne. Z przeprowadzonej analizy wynika zatem, że punkt 

A

w rzucie pionowym będzie niewidoczny. 

Metoda II  (za pomocą tworzących) 

     Zamiast  prowadzenia  płaszczyzny przechodzącej przez punkty A i B poprowadźmy przez te 
punkty dwie tworzące walca. W rzucie pionowym, będą to dwa odcinki  

t

1

''

  i  

t

2

''

 . Rzuty poziome 

tworzących  

t

1

'

   i  

t

2

' 

wyznaczymy ustalając w pierwszej kolejności rzuty punktów przecięcia 

tworzących z podstawą stożka  

I 

  i

   II

.  Na rzutach poziomych tworzących możemy wyznaczyć 

poszukiwane rzuty poziome punktów 

A' 

 i  

B'

. Jak widać z przedstawionej konstrukcji rzuty 

poziome punktów 

A' 

 i  

B'

 pokrywają się niezależnie od stosowanej metody. Widoczność ustalana 

jest analogicznie jak w poprzednim przypadku.  

 Podoba  konstrukcję ustalania rzutów punktów, tym razem 

QR

, przedstawiono na rys. 3.2 w 

odniesieniu do powierzchni stożka. Zarówno metoda przekroju płaszczyzną  

a''

 jak i metoda 

tworzących przyniosła oczekiwany efekt. 

(1.2) Punkty leżące na powierzchni bocznej stożka

Informatyka 4 - Lekcja 3

Z analizy widoczności punktów na powierzchni stożka wynika, że punkt 

Q 

w rzucie pionowym 

będzie niewidoczny, natomiast punkt 

R

 będzie widoczny. 

     Wyznaczanie punktów leżących na powierzchni kuli realizowane jest za pomocą metody 

przekroju płaszczyzną, przechodzącą przez analizowane punkty, równoległą do rzutni poziomej. 

Metoda druga nie jest wykorzystywana z takiego względu, iż w miejsce tworzących musielibyśmy 
wprowadzić południki, które w rzutach są elipsami, trudnymi do precyzyjnej konstrukcji. W 

geometrii znana jest siatkowa metoda wyznaczania elipsy określonej przez dwie średnice sprzężone, 

Rys.3.2  Punkty leżące na powierzchni bocznej stożka 

(1.3) Punkty leżące na powierzchni kuli

Informatyka 4 - Lekcja 3

ale jest to jednak metoda przybliżona. Skorzystamy zatem z metody przekroju, albowiem jest ona w 

tym przypadku precyzyjna i nie powoduje żadnych niejednoznaczności. Przyjmijmy rzuty pionowe 
punktów 

Q''

 i 

R''

 leżących na powierzchni kuli. Wyznaczenie rzutów poziomych punktów nie 

powinno mam sprawić żadnych trudności. Jest to konstrukcja podobna jak w przypadku walca i 
stożka. Przekrojem kuli płaszczyzna 

a'' 

będzie okrąg, który w rzucie pionowym jest odcinkiem, 

natomiast w rzucie poziomym jest okręgiem o niezmienionej wielkości. Rzut poziomy tego okręgu 

wyznaczymy ustalając jego promień 

r

 w rzucie pionowym. Na rzucie poziomym okręgu znajdziemy 

poszukiwane rzuty poziome punktów 

Q' 

 i  

R'

. 

 

 

Rys.3.3  Punkty leżące na powierzchni kuli

Informatyka 4 - Lekcja 3

 Widoczność punktów rozpatrujemy w przypadku kuli odrębnie dla każdego z rzutów. Granicą 
widoczności dla rzutu poziomego jest płaszczyzna 

b''

, natomiast dla rzutu pionowego płaszczyzna 

g'. 

Z analizy widoczności punktów w poszczególnych rzutach wynika, że rzut pionowy punktu 

Q''

 

jest niewidoczny, ponieważ leży powyżej płaszczyzny 

g''

. W rzucie poziomym oba punkty są 

widoczne, ponieważ leżą nad płaszczyzną 

b''

. 

  

Informatyka 4 - Lekcja 3

2. Przekroje brył obrotowych płaszczyznami rzutującymi 

    Przekrojami brył obrotowych są głównie krzywe stopnia II, takie jak elipsa, okrąg, parabola.  
Najczęściej mamy do czynienia z przekrojami w postaci okręgu lub elipsy. Zwykle rzutem 
równoległym okręgu jest elipsa. Zatem skupimy się na tej krzywej, wyznaczając przekroje 
podstawowych brył obrotowych II stopnia z jakimi mamy do czynienia w technice. Okrąg będziemy 
definiowali podając dwie średnice wzajemnie prostopadłe. Taka definicja pozwala ustalić środek 
okręgu oraz jego promień, jest ona wygodna, gdy będziemy definiować elipsę.

 

Definicja

 

    Rzutem równoległym okręgu (w ogólnym położeniu) jest elipsa. Rzutem równoległym dwóch 
średnic prostopadłych okręgu są średnice sprzężone elipsy, określające ją w sposób jednoznaczny. 
Dwie średnice sprzężone, wzajemnie prostopadłe nazywamy osiami elipsy. Elipsa może być zatem 
jednoznacznie określona przy pomocy jednej z nieskończenie wielu par średnic sprzężonych jakie 
w niej występują. 

 

Poniżej na rys. 3.4 przedstawiona zostanie konstrukcja siatkowa elipsy oparta na średnicach 
sprzężonych

 AB

 i 

CD

, która może być przydatna w rozwiązywaniu zadań konstrukcyjnych z 

dziedziny brył obrotowych. 

W oparciu o dwie średnice sprzężone 

AB

 i 

CD

 budujemy równoległobok 

GEFH

. Poszczególne 

ćwiartki równoległoboku dzielimy na cztery równe jednakowe części. Następnie postępując jak na 
rysunku wyznaczamy poszczególne punkty należące do górnego zarysu elipsy. Podobnie 
postępujemy z dolna częścią równoległoboku. Otrzymamy w ten sposób pełny zarys elipsy. 

Wyznaczmy przekrój walca prostego stojącego na rzutni poziomej płaszczyzna pionowo - rzutującą  

a''

 (prostopadłą do rzutni pionowej). Przekrojem tego walca będzie elipsa, której osie główne są 

 

 

Rys. 3.4.  Konstrukcja siatkowa elipsy

(2.1) Przekrój walca płaszczyzną rzutującą

Informatyka 4 - Lekcja 3

odpowiednio: 

P''Q''

 - równoległa do rzutni pionowej oraz 

R''S''

 prostopadła do rzutni pionowej. 

Ponieważ powierzchnia boczna walca jest prostopadła do rzutni poziomej, rzutem przekroju (elipsy) 
będzie okrąg. Wyznaczenie rzutu poziomego osi elipsy jest zagadnieniem prostym, ponieważ punkty 
krańcowe osi będą leżały na rzucie poziomym walca (powierzchnia prostopadła do podstawy. 

Mając dany rzuty poziome przekroju oraz osi elipsy powinniśmy określić widoczność punktów 
krańcowych osi w rzucie poziomym. Granica widoczności dla rzutu pionowego jest płaszczyzna 

b'

prostopadła do rzutni poziomej i równoległa do rzutni pionowej, przechodząca przez punkt 

0'

. Jak 

widać z przeprowadzonej analizy punkt  

R''

 w rzucie pionowym jest niewidoczny, pozostałe punkty 

P''

, 

Q''

 i  

S''

 są widoczne. 

 

 

Rys. 3.5.  Przekrój walca płaszczyzną rzutującą

Informatyka 4 - Lekcja 3

     Kolejnym  przykładem przekroju bryły obrotowej płaszczyzną rzutującą jest przekrój stożka. 
Przyjmijmy założenia do niniejszego zadania zgodnie z rys. 3.6. Stożek prosty stoi na rzutni 
poziomej. Płaszczyzna krojąca opisana została literą 

a''

 . Przekrojem stożka w tym przypadku jest 

elipsa, której osie główne (wzajemnie prostopadłe), podobnie jak w przypadku walca są 
odpowiednio: 

AB

 - równoległa do rzutni pionowej oraz 

CD

 prostopadła do rzutni pionowej. 

    Rzutem pionowym tych osi będą średnice sprzężone wzajemnie prostopadłe. Krańcowe punkty osi 

A''

 i 

B''

 wyznaczymy metodą tworzących. Tworzące skrajne w rzucie pionowym, na których leżą 

punkty 

A''

 i 

B''

 rzutują się w rzucie poziomym na oś poziomą rzutu stożka. Na rzutach poziomych 

(2.2) Przekrój stożka płaszczyzną rzutującą

 

 

Rys. 3.6.  Przekrój stożka płaszczyzną rzutującą

Informatyka 4 - Lekcja 3

tych tworzących wyznaczymy rzuty punktów 

A'

 i 

B'

. Punkty 

C

 i 

D 

należące przecież do 

powierzchni bocznej stożka wyznaczymy metodą przekroju płaszczyzną  

b'', 

równoległą do rzutni 

poziomej

, w wyniku którego otrzymamy w rzucie poziomym okrąg o promieniu 

r

. Konstrukcję tą 

wykonano w rozdziale 2.2 niniejszej lekcji. Punkt 

C''

 zarysu przekroju zgodnie z wcześniejszymi 

analizami jest niewidoczny, pozostałe punkty należące do osi są widoczne.

 

     Kula jest kolejną bryłą dla której wyznaczymy przekrój płaszczyzną pionowo rzutującą 

a''

.

 

Przekrojem kuli jest oczywiście okrąg, którego średnice wzajemnie prostopadłe są odpowiednio: 

AB

- równoległa do rzutni pionowej oraz 

CD

 prostopadła do rzutni pionowej.  

(2.3) Przekrój kuli płaszczyzną rzutującą

Informatyka 4 - Lekcja 3

Punkty A''  i  B'' znajdują się na rzucie pionowym głównego południka, który w rzucie poziomym 

rzutuje się w postaci odcinka leżącego na osi poziomej kuli. Możemy zatem bez trudu wyznaczyć 

rzuty poziome punktów 

A' 

 i 

B'

. Rzuty poziome punktów 

C

 i 

D 

należące do powierzchni bocznej 

kuli wyznaczymy metodą przekroju płaszczyzną  

b''

, w wyniku którego otrzymamy w rzucie 

poziomym okrąg o promieniu 

r

. Konstrukcję tą wykonano w rozdziale 2.3 niniejszej lekcji. Punkt 

C''

 zarysu przekroju zgodnie z wcześniejszymi analizami jest niewidoczny, pozostałe punkty 

 

 

Rys. 3.7.  Przekrój kuli płaszczyzna pionowo - rzutującą

Informatyka 4 - Lekcja 3

należące do osi w rzucie pionowym są widoczne. W rzucie poziomym wszystkie punkty będą 
widoczne ponieważ leżą powyżej płaszczyzny granicznej  

g''

. Wyznaczone w powyższy sposób 

rzuty osi pozwalają nam wykreślić zarys elipsy, będącej rzutem przekroju kuli. Punkty zmiany 

widoczności 

K'

 i 

L'

 w rzucie poziomym wyznaczymy na rzucie poziomym głównego południka 

kuli. W rzucie pionowym punkty te K''  i 

L''

 leżą w miejscu przecięcia się płaszczyzny 

a''

  z 

płaszczyzną  

g''

 określającą granicę widoczności.

  

  

Przedstawione w trzech pierwszych lekcjach zagadnienia odwzorowań obiektów przestrzennych na 
płaszczyźnie umożliwi nam sformułowanie zasad graficznego zapisu konstrukcji obiektów 

technicznych. Zagadnienia te zostaną omówione w lekcjach 4 i 5.

Informatyka 4 - Lekcja 3