ρ

=

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

W

dx dy dz

dx

dy

dz

N

N

N

1

1

1

.......

Mechanika kwantowa

Stan układu zło

ż

onego z N cz

ą

stek okre

ś

la

funkcja

falowa

Q

(x

1

, y

1

, z

1

, x

2

, y

2

, z

2

, ......x

N

, y

N

, z

N

,t)

gdzie x

k

, y

k

, z

k

współrz

ę

dne k-tej cz

ą

stki

W stanie stacjonarnym:

Q

(x

1

, y

1

, z

1

, x

2

, y

2

, z

2

, ......x

N

, y

N

, z

N

,t) =

Q

(x

1

, y

1

, z

1

, x

2

, y

2

, z

2

, ......x

N

, y

N

, z

N

)

@

f(t)

Sens fizyczny funkcji falowej

*Q

(x

1

, y

1

, z

1

, x

2

, y

2

, z

2

, ......x

N

, y

N

, z

N

)

*

2

=

D

(....)

W -

prawdopodobie

ń

stwo,

ż

e współrz

ę

dne znajduj

ą

si

ę

pomi

ę

dzy x

1

a x

1

+dx

1

, y

1

a y

1

+dy

1

, z

1

a z

1

+dz

1

,.....,

x

N

a x

N

+dx

N

, y

N

a y

N

+dy

N

,z

N

a z

N

+dz

N

dx

1

@

dy

1

@

dz

1

,....., dx

N

@

dy

N

@

dz

N

= obj

ę

to

ść

" w

przestrzeni 3N wymiarowej

Ψ

( , , )

x y z dV

V

2

1

∫

=

Dla jednej cz

ą

stki w przestrzeni

trójwymiarowej

D = *Q(x ,y, z)*

2

dV

x

y

z

Funkcja falowa a fala de Broglie’a

*Q

(x

1

, y

1

, z

1

,

*

2

dla jednej cz

ą

stki

jest kwadratem amplitudy fali de Broglie’a

Q

(x

1

, y

1

, z

1

)

jest amplitud

ą

fali dla jednej cz

ą

stki

Funkcja falowa (1)

Jaka to ma by

ć

funkcja ?

Musi pozwoli

ć

na okre

ś

lenie prawdopodobie

ń

stwa,

zatem musi by

ć

:

- ci

ą

gła;

- jednoznaczna;

- znikaj

ą

ca w

niesko

ń

czono

ś

ci

Takie funkcje nazywaj

ą

si

ę

funkcjami klasy Q,

albo
funkcjami porz

ą

dnymi

Funkcja falowa (2)

Sk

ą

d wzi

ąć

funkcj

ę

falow

ą

?

Przepisu dostarcza mechanika kwantowa ...

Pozwala ona na znalezienie funkcji falowej

opisuj

ą

cej zachowanie dowolnego układu ...

Niewiele wiemy o funkcjach ...

Wszystko wiemy o funkcjach ...

liczba A

liczba B

funkcja



→



funkcja A

funkcja B

operator



→



Przepis na funkcj

ę

falow

ą

(1)

1. Napisa

ć

klasyczny wzór na energi

ę

układu:

E = E

kin

+ E

pot

= T + V

2. Przekształci

ć

wzór na energi

ę

tak, by zawierał

tylko współrz

ę

dne i p

ę

dy oraz stałe

(np. wyeliminowa

ć

pr

ę

dko

ść

)

3. Zamieni

ć

współrz

ę

dne i p

ę

dy na odpowiednie

operatory i utworzy

ć

operator energii całkowitej

Co to jest operator ?

mno

ż

enie przez stał

ą

a·

a·

f(x)

mno

ż

enie przez zmienn

ą

x·

x·

f(x)

podnoszenie do kwadratu

[ ]

2

[

f(x)

]

2

ró

ż

niczkowanie

d/dx

d

f(x)

/dx

x

x

x

$

⋅

p

p

i

x

x

x

$

−

h

∂

∂

i

= −

1

p

p

i

y

y

y

$

−

h

∂

∂

p

p

i

z

z

z

$

−

h

∂

∂

(

)

p

p

x

y

z

2

2

2

2

2

2

2

2

2

$

h

∂

∂

∂

∂

∂

∂

+

+

$

H

Ψ

Ψ

=

E

E

T V

= +

= +

$

$

$

H

T

V

Operatory mechaniki kwantowej

Ka

ż

dej wielko

ś

ci odpowiada operator:

i - jednostka urojona

Przepis na funkcj

ę

falow

ą

(2)

4. Rozwi

ą

za

ć

zagadnienie własne energii :

Operator energii
całkowitej

Energia całkowita
układu (liczba)

y

f

x

dy

dx

'

' ( )

=

=

y

f

x

d y

dx

d

dx

dy

dx

"

" ( )

=

=

=











2

2

Funkcja Pochodna

sin x cos x

cos x - sin x

log x

1
x

ax

nax

n

n-1

.....

Funkcja Pochodna

u' v-u v'

v

2

(

)

'

'

( ( )

u

v

u v

u v

u' v+u v'

d

dx

f u x

d(f(u)

du

du

dx

u
v

+

+

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

Przepis na funkcj

ę

falow

ą

(3)

Równanie to nosi nazw

ę

równania Schrödingera

Erwin Schrödinger, 1887-1961

,

Nobel 1933

Jest to równanie podobne do równania
amplitudy fali w akustyce ...

Funkcje wielu zmiennych ...

Funkcja jednej zmiennej y = f (x),

Wykres na płaszczyźnie

Pochodna

Druga pochodna

Pochodne różnych funkcji:

Funkcja

f(x,y,z)= x y

xyz

x y z

z

4

3

3

5

3

2

2

2

+

−

+

Pierwsze pochodne (3):

∂

∂

∂

∂

∂

∂

f x y z

x

=

x y

yz

xy z

f x y z

y

= x

xz

x yz

f x y z

z

= xy

x y

z

( , , )

( , , )

( , , )

12

3

6

4

3

6

3

3

10

2

2

3

2

2

2

+

−

+

−

−

+

Funkcja wielu zmiennych ...

Funkcja dwóch lub trzech zmiennych

Funkcja dwóch zmiennych z = f (x, y)

Wykres w przestrzeni ...

Funkcja trzech zmiennych t = f (x, y, z)

Wykres w przestrzeni czterowymiarowej ...

Jak oblicza się pochodne funkcji wielu zmiennych ?

Traktując wszystkie pozostałe zmienne jak stałe ...

Pochodna funkcji trzech zmiennych

Pierwsze pochodne

Drugie pochodne (pierwsza po x - 3):

∂

∂

∂

∂ ∂

∂

∂ ∂

2

2

2

2

2

2

2

24

6

12

3

12

3

6

f x y z

x

=

xy

y z

f x y z

y x

=

x

z

xyz

f x y z

z x

= y

xy

( , , )

( , , )

( , , )

−

+

−

−

Drugie pochodne (pierwsza po y - 3):

∂

∂

∂

∂ ∂

∂

∂ ∂

2

2

2

2

2

2

2

6

12

3

12

3

6

f x y z

y

=

x z

f x y z

x y

=

x

z

xyz

f x y z

z y

= x

x y

( , , )

( , , )

( , , )

−

+

−

−

Drugie pochodne (pierwsza po z - 3):

∂

∂

∂

∂ ∂

∂

∂ ∂

2

2

2

2

2

2

10

3

6

3

6

f x y z

z

=

f x y z

x z

= y

xy

f x y z

y z

= x

x y

( , , )

( , , )

( , , )

−

−

Pochodna funkcji trzech zmiennych

Drugie pochodne

Równanie algebraiczne:

’

zawiera jedną lub więcej niewiadomych oraz
stałe (parametry);

‚

w zależności od liczby zmiennych jest równaniem
jednej, dwóch lub n zmiennych;

‚

w zależności od potęg, w których występują
zmienne może być 1, 2, 3, n-tego stopnia;

’

rozwiązaniem są odpowiednie liczby lub
zbiory liczb

Równanie różniczkowe

’

zawiera funkcje, ich pochodne, oraz zmienne

‚

może być równaniem różniczkowym funkcji jednej
lub wielu zmiennych;

‚

w zależności od rzędu pochodnych może być
równaniem pierwszego lub wyższych rzędów;

’

rozwiązaniem są funkcje odpowiedniej liczby
zmiennych

Równanie różniczkowe ...

Już

wszystko wiemy o funkcjach ...