ρ
=
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
W
dx dy dz
dx
dy
dz
N
N
N
1
1
1
.......
Mechanika kwantowa
Stan układu zło
Ŝ
onego z N cz
ą
stek okre
ś
la
funkcja
falowa
Q
(x
1
, y
1
, z
1
, x
2
, y
2
, z
2
, ......x
N
, y
N
, z
N
,t)
gdzie x
k
, y
k
, z
k
współrz
ę
dne k-tej cz
ą
stki
W stanie stacjonarnym:
Q
(x
1
, y
1
, z
1
, x
2
, y
2
, z
2
, ......x
N
, y
N
, z
N
,t) =
Q
(x
1
, y
1
, z
1
, x
2
, y
2
, z
2
, ......x
N
, y
N
, z
N
)
@
f(t)
Sens fizyczny funkcji falowej
*Q
(x
1
, y
1
, z
1
, x
2
, y
2
, z
2
, ......x
N
, y
N
, z
N
)
*
2
=
D
(....)
W -
prawdopodobie
ń
stwo,
Ŝ
e współrz
ę
dne znajduj
ą
si
ę
pomi
ę
dzy x
1
a x
1
+dx
1
, y
1
a y
1
+dy
1
, z
1
a z
1
+dz
1
,.....,
x
N
a x
N
+dx
N
, y
N
a y
N
+dy
N
,z
N
a z
N
+dz
N
dx
1
@
dy
1
@
dz
1
,....., dx
N
@
dy
N
@
dz
N
= obj
ę
to
ść
" w
przestrzeni 3N wymiarowej
Ψ
( , , )
x y z dV
V
2
1
∫
=
Dla jednej cz
ą
stki w przestrzeni
trójwymiarowej
D = *Q(x ,y, z)*
2
dV
x
y
z
Funkcja falowa a fala de Broglie’a
*Q
(x
1
, y
1
, z
1
,
*
2
dla jednej cz
ą
stki
jest kwadratem amplitudy fali de Broglie’a
Q
(x
1
, y
1
, z
1
)
jest amplitud
ą
fali dla jednej cz
ą
stki
Funkcja falowa (1)
Jaka to ma by
ć
funkcja ?
Musi pozwoli
ć
na okre
ś
lenie prawdopodobie
ń
stwa,
zatem musi by
ć
:
- ci
ą
gła;
- jednoznaczna;
- znikaj
ą
ca w
niesko
ń
czono
ś
ci
Takie funkcje nazywaj
ą
si
ę
funkcjami klasy Q,
albo
funkcjami porz
ą
dnymi
Funkcja falowa (2)
Sk
ą
d wzi
ąć
funkcj
ę
falow
ą
?
Przepisu dostarcza mechanika kwantowa ...
Pozwala ona na znalezienie funkcji falowej
opisuj
ą
cej zachowanie dowolnego układu ...
Niewiele wiemy o funkcjach ...
Wszystko wiemy o funkcjach ...
liczba A
liczba B
funkcja
→
funkcja A
funkcja B
operator
→
Przepis na funkcj
ę
falow
ą
(1)
1. Napisa
ć
klasyczny wzór na energi
ę
układu:
E = E
kin
+ E
pot
= T + V
2. Przekształci
ć
wzór na energi
ę
tak, by zawierał
tylko współrz
ę
dne i p
ę
dy oraz stałe
(np. wyeliminowa
ć
pr
ę
dko
ść
)
3. Zamieni
ć
współrz
ę
dne i p
ę
dy na odpowiednie
operatory i utworzy
ć
operator energii całkowitej
Co to jest operator ?
mno
Ŝ
enie przez stał
ą
a·
a·
f(x)
mno
Ŝ
enie przez zmienn
ą
x·
x·
f(x)
podnoszenie do kwadratu
[ ]
2
[
f(x)
]
2
ró
Ŝ
niczkowanie
d/dx
d
f(x)
/dx
x
x
x
$
⋅
p
p
i
x
x
x
$
−
h
∂
∂
i
= −
1
p
p
i
y
y
y
$
−
h
∂
∂
p
p
i
z
z
z
$
−
h
∂
∂
(
)
p
p
x
y
z
2
2
2
2
2
2
2
2
2
$
h
∂
∂
∂
∂
∂
∂
+
+
$
H
Ψ
Ψ
=
E
E
T V
= +
= +
$
$
$
H
T
V
Operatory mechaniki kwantowej
Ka
Ŝ
dej wielko
ś
ci odpowiada operator:
i - jednostka urojona
Przepis na funkcj
ę
falow
ą
(2)
4. Rozwi
ą
za
ć
zagadnienie własne energii :
Operator energii
całkowitej
Energia całkowita
układu (liczba)
y
f
x
dy
dx
'
' ( )
=
=
y
f
x
d y
dx
d
dx
dy
dx
"
" ( )
=
=
=
2
2
Funkcja Pochodna
sin x cos x
cos x - sin x
log x
1
x
ax
nax
n
n-1
.....
Funkcja Pochodna
u' v-u v'
v
2
(
)
'
'
( ( )
u
v
u v
u v
u' v+u v'
d
dx
f u x
d(f(u)
du
du
dx
u
v
+
+
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
Przepis na funkcj
ę
falow
ą
(3)
Równanie to nosi nazw
ę
równania Schrödingera
Erwin Schrödinger, 1887-1961
,
Nobel 1933
Jest to równanie podobne do równania
amplitudy fali w akustyce ...
Funkcje wielu zmiennych ...
Funkcja jednej zmiennej y = f (x),
Wykres na płaszczyźnie
Pochodna
Druga pochodna
Pochodne róŜnych funkcji:
Funkcja
f(x,y,z)= x y
xyz
x y z
z
4
3
3
5
3
2
2
2
+
−
+
Pierwsze pochodne (3):
∂
∂
∂
∂
∂
∂
f x y z
x
=
x y
yz
xy z
f x y z
y
= x
xz
x yz
f x y z
z
= xy
x y
z
( , , )
( , , )
( , , )
12
3
6
4
3
6
3
3
10
2
2
3
2
2
2
+
−
+
−
−
+
Funkcja wielu zmiennych ...
Funkcja dwóch lub trzech zmiennych
Funkcja dwóch zmiennych z = f (x, y)
Wykres w przestrzeni ...
Funkcja trzech zmiennych t = f (x, y, z)
Wykres w przestrzeni czterowymiarowej ...
Jak oblicza się pochodne funkcji wielu zmiennych ?
Traktując wszystkie pozostałe zmienne jak stałe ...
Pochodna funkcji trzech zmiennych
Pierwsze pochodne
Drugie pochodne (pierwsza po x - 3):
∂
∂
∂
∂ ∂
∂
∂ ∂
2
2
2
2
2
2
2
24
6
12
3
12
3
6
f x y z
x
=
xy
y z
f x y z
y x
=
x
z
xyz
f x y z
z x
= y
xy
( , , )
( , , )
( , , )
−
+
−
−
Drugie pochodne (pierwsza po y - 3):
∂
∂
∂
∂ ∂
∂
∂ ∂
2
2
2
2
2
2
2
6
12
3
12
3
6
f x y z
y
=
x z
f x y z
x y
=
x
z
xyz
f x y z
z y
= x
x y
( , , )
( , , )
( , , )
−
+
−
−
Drugie pochodne (pierwsza po z - 3):
∂
∂
∂
∂ ∂
∂
∂ ∂
2
2
2
2
2
2
10
3
6
3
6
f x y z
z
=
f x y z
x z
= y
xy
f x y z
y z
= x
x y
( , , )
( , , )
( , , )
−
−
Pochodna funkcji trzech zmiennych
Drugie pochodne
Równanie algebraiczne:
’
zawiera jedną lub więcej niewiadomych oraz
stałe (parametry);
‚
w zaleŜności od liczby zmiennych jest równaniem
jednej, dwóch lub n zmiennych;
‚
w zaleŜności od potęg, w których występują
zmienne moŜe być 1, 2, 3, n-tego stopnia;
’
rozwiązaniem są odpowiednie liczby lub
zbiory liczb
Równanie róŜniczkowe
’
zawiera funkcje, ich pochodne, oraz zmienne
‚
moŜe być równaniem róŜniczkowym funkcji jednej
lub wielu zmiennych;
‚
w zaleŜności od rzędu pochodnych moŜe być
równaniem pierwszego lub wyŜszych rzędów;
’
rozwiązaniem są funkcje odpowiedniej liczby
zmiennych
Równanie róŜniczkowe ...
JuŜ
wszystko wiemy o funkcjach ...