z
r
x
y
Równanie Schrödingera dla atomu wodoru $
HΨ = Ψ
E , Ψ = Ψ (x,y,z) 2
h
2
e
-
∇2Ψ −
Ψ = E ⋅ Ψ
2m
4πε r
o
(
2
2
∂ 2
∂ 2
∂ 2
+
+
h
Ψ +
e
1
0
4
Ψ + E ⋅ Ψ =
∂ 2
∂ 2
y
∂ 2
x
z )
πε
2m
o
r
r =
x 2 + y 2 + z 2
Równanie Schrödingera dla atomu wodoru (c.d.)
2
∂ 2Ψ
∂ 2Ψ
∂ 2Ψ
+
+
+ 2 m ⋅
e
1
E + 4 o
2
2
2 Ψ =
∂
0
2
∂ 2
∂ 2
x
y
z
πε
h2
x + y + z
!!!
NIE DA SIĘ ROZWIĄZAĆ ANALITYCZNIE !!
Układ współrzędnych
z
M
h
r
W układzie
współrzędnych
n
kartezja
x
ńskich:
x , y , z
M
M
M
y
W układzie współrzędnych
biegunowych sferycznych:
r, h, n
Układ współrzędnych (2) x = r@cosn@sinh
M
r =
x 2 + y 2 + z 2
y = r@sinn@sinh
M
ϑ =
z
arcco
s
z = r@cosh
M
r
z
M
h
r
ϕ =
x
arcco
s
x 2 + y 2
n
x
y
Równanie Schrödingera dla atomu wodoru (3) Po zamianie układu współrzędnych na biegunowe sferyczne: 1
2
∂Ψ ∂
Ψ
∂ Ψ
2
1
sinϑ ∂
r
+
sinϑ ∂ +
2
2 +
r ⋅ sinϑ
∂ r ∂ r
∂ϑ
∂ϑ
sinϑ ∂ϕ
2
2
m
e
+
E +
Ψ = 0
2
h
4πε ⋅ r
o
NIE UCZYĆ SIĘ NA PAMIĘĆ !!!
Obejrzeć i zapomnieć ...
Rozwiązanie r. Schrödingera dla atomu wodoru
*R(r)*2dr
prawdopodobieństwo radialne, elektron pomiędzy r a r + dr
*Y(h,n)*2 MhMn prawdopodobieństwo ką towe, elektron w kierunku pomiędzy
h a h+Mh oraz n a n+Mn
Równanie Schrödingera dla atomu wodoru (2) Q(x,y,z) = Q(r, h, n) Q(r, h, n) = R(r)@Y(h, n) Rozdzielenie zmiennych w równaniu różniczkowym = rozdział na kilka równań WARUNEK KONIECZNY:
Q(r, h, n) JEST
FUNKCJĄ PORZĄDNĄ
R(r)
Y(h, n) SĄ
TAKśE KLASY Q
Warunki dla funkcji klasy Q (1) muszą być spełnione, żeby rozwiązanie dla atomu wodoru składało się z funkcji porządnych Energia całkowita moż e przybierać tylko pewne wartoś ci:
π m e 4
const
E
e
= −
=
ε 2
2 h n2
n2
o
gdzie n = 1,2,3, .......
GŁÓWNA LICZBA KWANTOWA
Warunki dla funkcji klasy Q (2) r
r
r
Moment pędu: M = m × v × r Moment pę du elektronu moż e przybierać tylko pewne wartoś ci:
M = l(l + 1 ) h gdzie l = 0,1,2, ..... (n-1) POBOCZNA LICZBA KWANTOWA
ORBITALNA LICZBA KWANTOWA
Warunki dla funkcji klasy Q (3) Moment pę du moż e mieć tylko pewne orientacje w przestrzeni, tj. jego składowa w wybranym kierunku osi z moż e przybierać pewne wartoś ci: M = m⋅ h
z
gdzie m = -l, -l + 1,....,0, .....l - 1, l MAGNETYCZNA LICZBA KWANTOWA
Wartości energii całkowitej n = 7
n = 4
n = 3
Energia
n = 2
elektronu
n = 1
Moment pędu i jego składowa Mz l =2
l =3
z
z
3£
2£
2£
£
£
0
0
-£
-£
-2£
-2£
-3£
m = 0,±1,±2
m = 0,±1,±2,±3
Liczby kwantowe
n
l
m
1
0
0
2
0
0
1
-1,0,+1
3
0
0
1
-1,0,+1
2
-2,-1,0,+1,+2
4
0
0
1
-1,0,+1
2
-2,-1,0,+1,+2
3
- 3,-2,-1,0,+1,+2+3
Każda kombinacja liczb odpowiada jednej funkcji falowej