Przykład zastosowania twierdzenia (4.25)

Ryzyko portfela

1. Stopa zwrotu z akcji.

Cenę akcji w dniu t (przyjmijmy, że jest to na przykład kurs zamknięcia) oznaczany przez

t

P .

Wtedy stopa zwrotu osiągnięta w wyniku zmiany wartości akcji od dnia

1



t

do t wynosi:

(D1.1)

1

1









t

t

t

t

P

P

P

r

.

Jest to względny zysk, jaki uzyskalibyśmy kupując akcję w dniu

1



t

(po kursie zamknięcia)

i sprzedając w dniu t (po kursie zamknięcia). Tak samo możemy wyliczać stopy zwrotu od-

powiadające dowolnemu okresowi.

Stopa zwrotu z akcji w każdym okresie zależy oczywiście od sytuacji na rynku i w związku

możemy

t

r traktować jako zmienne losowe. Często przyjmuje się i tak będzie w tym przykła-

dzie, że stopy zwrotu ze wszystkich dni są zmiennymi losowymi o takim samym rozkładzie.

W takiej sytuacji wartość oczekiwaną zmiennej

t

r traktujemy jako prognozę stopy zwrotu w

okresie t (oczekiwaną stopę zwrotu), a odchylenie standardowe zmiennej

t

r opisujące rozpro-

szenie realizacji traktujemy jako miarę ryzyka inwestycji.

Oczywiście najlepiej byłoby inwestować w akcje o wysokiej oczekiwanej stopie zwrotu i ma-

łym ryzyku (odchyleniu standardowym). Niestety na ogół wysokiej oczekiwanej stopie zwro-

tu towarzyszy wysokie ryzyko. Jeżeli chcemy je ograniczyć powinniśmy dokonać dywersyfi-

kacji naszej inwestycji, czyli stworzyć portfel złożony z pewnej ilości różnych akcji, których

ceny zachowują się w odmienny sposób. W punkcie 3 zobaczymy, co to znaczy.

2. Oczekiwana stopa zwrotu z portfela

Załóżmy, że zakupiliśmy pewne ilości n różnych akcji i stopy zwrotu z tych akcji w pewnym

okresie oznaczmy:

n

r

r

r

,

,

,

2

1



. Wtedy stopa zwrotu z portfela w tym okresie wyraża się wzo-

rem

2

(D1.2)

n

n

p

r

w

r

w

r

w

r











2

2

1

1

,

gdzie

n

w

w

w

,

,

,

2

1



są udziałami poszczególnych akcji w wartości portfela, czyli

1

0





i

w

oraz

1

1







n

i

i

w

.

3. Ryzyko portfela.

Ryzyko portfela mierzymy, podobnie jak to było w przypadku akcji, jako odchylenie standar-

dowe stopy zwrotu. Zauważmy, że zgodnie ze wzorem (D1.2) stopa zwrotu z portfela jest

zmienną losową, będącą sumą zmiennych losowych

i

i

r

w . Przy tym wariancja zmiennej loso-

wej

i

i

r

w jest równa:

2

2

2

)

var(

)

var(

i

i

i

i

i

i

w

r

w

r

w







.

Korzystając z twierdzenia (4.25) możemy wyliczyć wariancję (a następnie odchylenie stan-

dardowe) stopy zwrotu portfela:

)

,

cov(

2

)

var(

)

var(

)

var(

)

var(

1

2

2

1

1

j

j

i

i

n

j

i

n

n

P

r

w

r

w

r

w

r

w

r

w

r





















,

co po wykorzystaniu własności wariancji i kowariancji daje wzór:

(D1.3)

)

,

cov(

2

)

var(

1

2

2

2

2

2

2

2

1

2

1

j

i

n

j

i

j

i

n

n

P

r

r

w

w

w

w

w

r



























.

Widać z niego, że warunkiem zmniejszenia ryzyka portfela jest zbudowanie go z akcji o

ujemne skorelowanych cenach (o ujemnej kowariancji).

Więcej na temat teorii portfela można znaleźć na przykład w: Jajuga K., Jajuga T. , Inwe-

stycje.

3

4