Analiza portfelowa

Pojęcie portfela aktywów

Inwestorzy uwzględniają w swoich decyzjach, dotyczących 

określonego horyzontu czasowego, trzy czynniki: zysk, 
ryzyko i płynność. Metodą pozwalającą optymalizować 
decyzje w tym zakresie, jest analiza portfelowa. 

Portfel to zestaw papierów wartościowych, posiadany 

przez inwestora. 

Posiadanie aktywów w formie różnych walorów sprawia, że 

można obniżyć łączne ryzyko inwestycji, czyli można dobrać 
składniki portfela w ten sposób, aby całkowite ryzyko 
związane z zestawem walorów było niższe niż ryzyko 
związane z papierami wartościowymi z osobna. 

Jednocześnie inwestor oczekuje określonej stopy zwrotu z 

całego posiadanego zestawu walorów.

Stopa zwrotu i ryzyko

Podstawą analizy portfelowej jest stopa zwrotu i 

ryzyko. Dochód z posiadania akcji pochodzi z dywidendy 
oraz z zysku kapitałowego, który jest różnicą między ceną 
sprzedaży a ceną zakupu akcji. 

Nie ma pewności, czy takie same stopy zwrotu, dla podobnych 

odcinków czasu, będą możliwe do zrealizowania w 
przyszłości. 

Inwestor wybiera akcje, biorąc pod uwagę średnią stopę 

zwrotu z przeszłych okresów; a więc opiera się na 
przekonaniu, że stopa zwrotu będzie oscylować wokół 
oczekiwanej stopy zwrotu. 

Ta ostatnia kategoria jest zmienną losową realizującą się z 

określonym prawdopodobieństwem. 

Wielu autorów piszących o analizie portfelowej przyjmuje, że 

oczekiwana stopa zwrotu ma rozkład normalny, ale jest to 
mocne założenie.

Współczynnik beta

Stopy zwrotu obliczone dla wybranego okresu mogą 

być podstawą podziału akcji spółek na stabilne i 
spekulacyjne oraz przeciętne, czyli te, których 
procentowe zmiany stóp zwrotu wahają się podobnie 
jak indeks giełdowy (WIG). 

Stabilne akcje mają wahania cen (stóp zwrotu) mniejsze niż 

wahania WIG, a spekulacyjne – większe niż WIG. 

Podstawowym wskaźnikiem, który pozwala na syntetyczną 

ocenę stopnia „spekulacyjności” związanego z daną akcją 
(lub portfelem akcji) jest współczynnik beta, który wyraża 
stosunek ryzyka związanego z daną akcją do ryzyka 
związanego z inwestycją w cały indeks giełdowy.

Ryzyko portfela

Ryzyko jest drugą kategorią charakteryzującą zarówno 

pojedyncze akcje, jak i złożony z nich portfel. 

Ryzyko dotyczy niepewności stopy zwrotu w przyszłości i 

związane jest z wieloma czynnikami rynkowymi i 
pozarynkowymi. 

Ryzyko związane z rynkiem, czyli głównie z tym, że występuje 

hossa i bessa, nie da się wyeliminować drogą dywersyfikacji 
portfela z rynkowymi akcjami. 

Granicą korzyści z dywersyfikacji portfela akcji jest 30 

rodzajów akcji (30 spółek), co oznacza, że do tej 
granicy, dobieranie akcji do portfela może przynieść 
efekty w postaci obniżenia ryzyka, przy zachowanej 
stopie zwrotu. 

Można natomiast obniżyć łączne ryzyko związane z portfelem 

walorów, jeżeli zostaną w nim umieszczone także papiery 
wartościowe wierzycielskie – a więc obligacje czy bony 
skarbowe.

Do pomiaru ryzyka używa się klasycznych miar 

zmienności, jak wariancja, odchylenie standardowe i 
współczynnik zmienności.

 Miary te są obliczane na podstawie danych z przeszłości i 

realizują się z określonym prawdopodobieństwem. Są więc 
zmiennymi losowymi. 

Inwestor oczekuje ryzyka z inwestycji takiego, jakie 

charakteryzowało daną akcję w przeszłości, czyli zakłada, 
że ceny akcji będą się wahały w podobnym przedziale 
procentowym. Jest to mocne założenie.

 Inwestora tworzącego portfel interesuje zależność między 

ryzykiem a dochodem. Podstawą do badania takiej 
zależności jest wykres korelacyjny - mapa ryzyko-dochód.  
Umożliwia on odnalezienie spółek o największej 
dochodowości i relatywnie niskim ryzyku. 

Przedmiotem zainteresowania inwestorów są akcje 

niezdominowane, czyli takie, które mają stopę zwrotu 
wyższą niż indeks giełdowy, a ryzyko niższe niż ryzyko dla 
całego indeksu giełdowego. 

Do analizy powinna zostać włączona  korelacja między 

stopami zwrotu z aktywów tworzących portfel. Jest to 
współczynnik przyjmujący wartości z przedziału < -1, 1>. 

Im wyższa wartość bezwzględna tego współczynnika, tym 

wyższa zależność między stopami zwrotu badanych akcji. 

Inwestor stara się tak dobrać akcje, by łączne ryzyko związane 

z całym portfelem minimalizować. 

Przeważnie stopy zwrotu z akcji są dodatnio i istotnie 

skorelowane z indeksem giełdowym (WIG). Jest to 
spowodowane stadnymi reakcjami inwestorów, czyli 
psychologicznymi prawami gry na giełdzie.

Inwestor poszukuje takich akcji, których stopy zwrotu nie są 

skorelowane dodatnio (co jest raczej trudne) albo 
przynajmniej ich korelacja jest możliwie słaba. Robi to przez 
wybieranie spółek z różnych branż, w tym bardziej i mniej 
wrażliwych na czynniki psychologiczne i koniunkturalne.

Oczekiwana stopa zwrotu portfela 

i ryzyko portfela

Chcąc dobrać papiery wartościowe tak, aby 

utworzyły odpowiedni dla inwestora zestaw, 
należy najpierw określić:

- cel tworzenia portfela, w tym okres, na jaki jest 

tworzony (krótki czy długi),

- jak dużo ma być składników (kilka, kilkanaście, 

kilkadziesiąt),

- kryteria doboru (duży zysk czy niskie ryzyko),
- kryterium oceny portfela – czyli jaki poziom zysku i 

ryzyka łącznie inwestor uzna za 
satysfakcjonujący.

Stopa zwrotu z portfela 

dwuskładnikowego

R

p

= w

1

* R

1

 + w

2

* R

2

Gdzie:
R

p

 – stopa zwrotu portfela

w

1

- udział spółki „1” w portfelu

w

2

 – udział spółki „2” w portfelu

R

1

 – oczekiwana stopa zwrotu akcji „1”

R

2

 – oczekiwana stopa zwrotu akcji „2”

Oczekiwana stopa zwrotu portfela jest średnią ważoną 

oczekiwanych stóp zwrotu akcji spółek wchodzących 
w skład portfela, przy czym wagami są udziały 
spółek w portfelu.

Stopa zwrotu portfela akcji przybiera wartości pomiędzy 

najniższą a najwyższą stopą zwrotu z poszczególnych 
składników portfela.

Ryzyko portfela dwuskładnikowego

Ryzyko portfela można wyrazić za pomocą wariancji i 

odchylenia standardowego .

Dla portfela dwuskładnikowego, wariancja stóp zwrotu wyraża 

się wzorem:

S

p

 

2

 = w

1

 

2

 * S

1

 

2  

+ w

2

 

2

 * S

2

 

2 

+ 2

 

w

1

 w

2

 S

1

 S

2

ρ

12

Gdzie:
S

2

p

 – wariancja portfela

s

1

- odchylenie standardowe stopy zwrotu dla składnika „1”

s

2

- odchylenie standardowe stopy zwrotu składnika „2”

ρ

12

 – współczynnik korelacji stóp zwrotu dla akcji spółek „1” 

oraz „2”

Bardzo istotny jest ostatni składnik równania, czyli 

współczynnik korelacji, gdyż może on przybierać wartości 
dodatnie lub ujemne i decydować o tym, czy łączne ryzyko 
związane z portfelem jest niższe, niż związane z 
poszczególnymi składnikami z osobna.

Pożądane są ujemne współczynniki korelacji, a jeśli to 

niemożliwe, możliwie niskie, gdyż wtedy cały ostatni 
składnik równania jest niski.

Odchylenie standardowe portfela wyraża się wzorem:

Mówi nam, o ile przeciętnie na plus lub na minus odchylają się 

przeciętne możliwe stopy zwrotu od oczekiwanej stopy 
zwrotu (czyli od średniej z przeszłości). Im wyższe 
odchylenie standardowe, tym wyższe ryzyko związane z 
inwestycją

2

p

S

Sp

Model portfela dwuskładnikowego

• Harry Markowitz w latach 1950-tych stworzył 

teorię portfela, która znalazła szerokie 
zastosowanie wśród inwestorów 
instytucjonalnych. Opiera się ona na dwóch 
podstawowych założeniach:

• rozproszenie stóp zwrotu ma rozkład normalny,
• im wyższy stopień podejmowanego ryzyka, tym 

wyższa wartość spodziewanych zysków.

• W praktyce prawie zawsze wzrost oczekiwanej 

stopy zwrotu jest mniejszy niż wzrost ryzyka.

Wariancja 

Aby wyjaśnić istotę korzyści z tworzenia portfela, można się 

posłużyć przykładem portfela dwuskładnikowego. 
Rozważymy dwa skrajne przypadki – gdy korelacja stop 
zwrotu dla dwóch akcji wynosi 1 oraz -1. 

Współczynnik korelacji dla akcji A (pierwszy składnik) i B (drugi 

składnik) wynosi 1. Wówczas:





2

2

2

1

1

2

S

w

S

w

S

p





2

2

1

1

S

w

S

w

S

p





Ponieważ wartości w nawiasie są nieujemne, otrzymujemy: 

A więc, odchylenie standardowe stopy zwrotu z portfela jest 
średnią ważoną ryzyk części składowych portfela.

Portfel dwuskładnikowy złożony 

z akcji A i B, o korelacji stóp zwrotu =1

Objaśnienie: A, B – punkty odpowiadające spółkom; odcinek AB – zbiór możliwych portfeli 

jakie można utworzyć z akcji tych dwóch spółek. Jeśli zmniejszamy udział akcji A i 
zwiększamy udział akcji B, to uzyskujemy wzrost stopy zwrotu i wzrost ryzyka z tego 
portfela. Inwestor może się więc „poruszać” po odcinku AB. Nie można w tym 
przypadku osiągnąć korzyści w postaci jednoczesnego wzrostu dochodu i spadku 
ryzyka.

A

B

R

S

Portfel dwuskładnikowy złożony 

z akcji A i B, o korelacji stóp zwrotu = -1

• Współczynnik korelacji stóp zwrotu dla akcji A i B wynosi -1. 

Jest to doskonała korelacja ujemna. Wariancja stóp zwrotu 
wyraża się wówczas wzorem:

S

2

p

= (w

1

 * s

1

 – w

2

 * s

2

)

2

Czyli:

S

p

 = |w

1

 * s

1

 – w

2

 * s

2

|

W tym przypadku, odchylenie standardowe nie jest średnią 

ważona odchyleń standardowych stóp zwrotu składników 
portfela. Możliwy jest taki portfel, dla którego ryzyko równe 
jest zero, a mianowicie dla następujących udziałów 
składników:

W

1

 = s

2 

/ (s

1 

+ s

2

)      oraz      w

2

 = s

1

 / (s

1 

+ s

2

)

R

S

C

A

B

D

Portfel złożony z akcji A 
i B, o korelacji stóp 
zwrotu = -1. Łamana 
ACDB przedstawia zbiór 
portfeli możliwych do 
ułożenia z akcji A i B. 
Portfel C charakteryzuje 
się zerowym ryzykiem i 
ma skład według wyżej 
podanych wzorów. 
Portfele leżące na 
odcinku AC są gorsze 
niż portfele na odcinku 
CD, gdyż stopa zwrotu 
jest niższa przy tym 
samym ryzyku. 
 

Portfele wieloskładnikowe

• W praktyce tworzy się portfele 

wieloskładnikowe. Analiza portfelowa 
podchodzi do nich jak do „syntetycznej spółki”, 
czyli za jej pomocą wyznacza się stopę zwrotu i 
ryzyko związane z całością inwestycji.

• Stopa zwrotu portfela jest średnią ważoną 

stóp zwrotu jego składników, zaś ryzyko 
zależy od odchyleń standardowych 
poszczególnych składników portfela oraz od 
korelacji ich stóp zwrotu. 

• Im niższa korelacja, tym lepszy efekt w 

postaci obniżonego ryzyka w porównaniu do 
poszczególnych akcji.

Korzyści i ograniczenia z 

dywersyfikacji portfela

• Dywersyfikacja portfela przynosi korzyści, ale 

nie każdy rodzaj ryzyka można zmniejszyć tym 
sposobem. 

• Ryzyko rynkowe, związane z czynnikami typu 

zmiany stóp procentowych, ogólna 
koniunktura, podatki, ceny surowców itp., nie 
da się wyeliminować. 

• Inwestor może pozbyć się jedynie ryzyka 

specyficznego, związanego z daną akcją. 

• Według Markowitza, nabywając 30 

rodzajów akcji, eliminujemy ryzyko 
specyficzne - taki portfel jest bardzo 
zbliżony do rynkowego.

A

B

C

D

X

T

U

R

S

A,B,C,D – portfele jedno-
składnikowe. Cała figura 
oznacza zbiór  zwszystkich 
możliwych portfeli złożonych z 
czterech akcji. Inwestor wybiera 
jeden z  portfeli, które są 
położone na brzegu XD. Każdy 
portfel położony we wnętrzu 
figury, na jej dolnym brzegu lub 
na brzegu AX jest gorszy, gdyż 
przy tym samym ryzyku i z tych 
samych akcji można otrzymać 
portfel o wyższej stopie zwrotu.

A

B

C

D

X

M

R

S

Portfel czterech akcji 
przedstawia figura XMD – jej 
brzegi i wnętrze; F to punkt 
odpowiadający instrumentom 
wolnym od ryzyka. Dołączając 
je do portfela, inwestor 
otrzymuje możliwość wybrania 
któregoś z portfeli na odcinku 
FM, które składają się zarówno 
z akcji, jak i instrumentów 
wolnych od ryzyka, a nie jest 
zdominowany.

F

Portfele wieloskładnikowe

• punkt A (portfel jednoskładnikowy zawierający tylko akcje 

A) reprezentuje najniższe ryzyko;

• punkt D (zawiera tylko akcje D) – najwyższe ryzyko;
• punkt X – portfel o najniższym prawdopodobieństwie straty;
• punkt M – portfel rynkowy;
• odcinek FM – inwestor jest po części kredytodawcą;
• półprosta na prawo od M – inwestor jest po części 

kredytobiorcą;

• krzywa XM – portfele zachowawcze (większy przyrost R niż 

S w miarę przesuwania się od punktu X w stronę M);

• krzywa XD – portfele agresywne (większy przyrost S niż R w 

miarę przesuwania się w prawo).

• punkt F – portfel wolny od ryzyka.

Model jednowskaźnikowy Sharpe’a

 i współczynnik beta

Model Sharpe’a wyrażony jest wzorem:

R = α + βR

M

 + ε 

Gdzie: 

R – stopa zwrotu akcji spółki,
R

M

 – stopa zwrotu wskaźnika rynku (indeksu 

giełdowego),

α – wyraz wolny równania,
β – współczynnik beta,
ε – składnik losowy.

•  

• Równanie to  może być wyznaczone dla 

dowolnej akcji i dla dowolnego portfela na 
rynku akcji. Nazywane jest linią 
charakterystyczną akcji. 

• Obie stopy zwrotu występujące w równaniu są 

rzeczywiste, czyli obliczone na podstawie 
danych z przyjętego do analizy okresu. 
Wskaźnikiem rynku jest stopa zwrotu portfela 
rynkowego. Składnik losowy równania uznaje 
się za nieistotny w porównaniu z czynnikiem 
rynkowym i pomija się go w obliczeniach. 

•  Podstawową rolę w interpretacji 

wskaźnika Sharpe’a odgrywa 
współczynnik beta. Wskazuje on, o ile 
jednostek (punktów procentowych) w 
przybliżeniu wzrośnie stopa zwrotu akcji, 
gdy stopa zwrotu wskaźnika rynku 
wzrośnie o jednostkę (jeden punkt 
procentowy).

Interpretacja współczynnika beta:

•β  >  1  :  stopa  zwrotu  danej  akcji  silnie  reaguje  na  zmiany 

zachodzące  na  rynku,  wzrasta  ona  (lub  spada)  o  więcej  procent,  niż 
wzrasta  (spada)  stopa  zwrotu  z  całego  rynku;  np.  dla  β  =  2  ,    WIG 
wzrasta  o  1%  to  stopa  zwrotu  z  danej  akcji  wzrasta  o  2%;  podobnie 
jest  ze  spadkiem.  Takie  akcje  warto  posiadać  w  okresie  hossy,  a  w 
czasie bessy lepiej ich nie mieć. Są one agresywne. 

•0  <  β  <1  :  stopa  zwrotu  akcji  wzrasta  (spada)  o  mniej  niż 

wzrasta (spada) stopa zwrotu z całego rynku; np. dla β = 0,5 ,  WIG 
wzrasta o 1% to stopa zwrotu z danej akcji wzrasta o 0,5%; podobnie 
jest  ze  spadkiem.  Takie  akcje  można  posiadać  w  okresie  bessy,  a  w 
czasie hossy nie opłaca się ich mieć. Są one defensywne.

•β = 1 : stopa zwrotu akcji wzrasta (spada) o tą sama wielkość 

procentową,  co  stopa  zwrotu  dla  całego  rynku.  Akcja  jest 
„przeciętna”.

•β  =  0  :  stopa  zwrotu  akcji  nie  zmienia  się,  gdy  zmienia  się 

stopa zwrotu rynku. Taką charakterystykę mają instrumenty wolne od 
ryzyka (bony skarbowe).

•β  <  0  :  zmiany  stopy  zwrotu  danej  akcji  mają  przeciwny 

kierunek  do  stopy  zwrotu  z  całego  rynku.  W  praktyce  prawie  się  ich 
nie spotyka. Ich posiadanie byłoby korzystne w czasie bessy.

Powyższe  interpretacje  dotyczą  także  portfeli  papierów 

wartościowych. 

Linia  charakterystyczna  akcji  wyraża  zależność  między 

stopą zwrotu akcji a stopą zwrotu rynku. Nie jest to zależność 
przyczynowo  –  skutkowa,  a  jedynie  współwystępowanie 
zjawisk. 

Współczynnik beta wyraża się wzorem:

2

cov

M

m

s





     
Gdzie:

cov

M 

-  kowariancja  stopy  zwrotu  akcji  i  stopy  zwrotu 

wskaźnika rynku,

s

M

  –  odchylenie  standardowe  stopy  zwrotu  akcji 

(podniesione do kwadratu oznacza wariancję).

M

M

s

s







i

n

i

i

p

w











1

Inny wzór na współczynnik beta:

Gdzie:
ρ

M 

- współczynnik korelacji stopy zwrotu akcji i stopy zwrotu wskaźnika rynku,

s – odchylenie standardowe stopy zwrotu akcji.
Dla portfela akcji wyznacza się współczynnik beta w taki sam sposób, jak dla 

pojedynczej akcji, 

jedynie podstawia się do wzoru stopę zwrotu portfela, zamiast akcji. Współczynnik 

beta portfela obliczyć można jako średni ważony współczynnik beta składników portfela, 
czyli według wzoru:

β

p

 – współczynnik beta portfela,

n – liczba spółek w portfelu,
w

i

 – udział akcji i-tej spółki w portfelu,

β

i

 – współczynnik beta akcji i-tej spółki.

W praktyce dane do oszacowania linii charakterystycznej danej akcji to dane historyczne. 

Do porównywania i oceny portfeli (funduszy inwestycyjnych) używa się 

wskaźników

 opartych na współczynniku beta portfeli (funduszy). Przykładowo, wskaźnik 

Sharpe’a 

wyznaczany jest według wzoru:

s

R

R

Sh

f





Gdzie: 
Sh – miernik Sharpe’a,
R – przeciętna stopa zwrotu portfela w danym okresie,
R

f

 – przeciętna wartość stopy zwrotu wolnej od ryzyka w danym okresie,

S – odchylenie stopy zwrotu portfela w rozpatrywanym okresie.

Im  wyższa  wartość  tego  wskaźnika,  tym  lepszy  portfel  (fundusz).  Licznik  wyraża 

bowiem nadwyżkę stopy zwrotu ponad tą, którą można uzyskać bez ryzyka, a mianownik 
– ryzyko, jakie charakteryzuje portfel. 

Istnieją  także  inne  wskaźniki  służące  ocenie  portfeli  –  miernik  Treynora  (w 

mianowniku  ma  betę  portfela,  pozostałe  elementy  tak  jak  we  wskaźniku  Sharpe’a)  i 
miernik  Jensena  (różnica  między  stopą  zwrotu  portfela  a  pewną  przeciętną  stopą 
zwrotu dla rynku). 

Aby ocenić portfel jako efektywny, mierniki te powinny przybierać wartości dodatnie 

i  możliwie  wysokie.  Wskaźniki  te  są  używane  do  oceny  efektywności  portfeli  funduszy 
inwestycyjnych i innych inwestorów instytucjonalnych.