dr A. Czech

1

WERYFIKACJA HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH

Hipotezy statystyczne – sformułowane przypuszczenia dotyczące rozkładu populacji
generalnej

Rodzaje hipotez statystycznych:

•

parametryczne (najczęściej stosowane) – precyzują wartości parametrów w rozkładzie
populacji

•

nieparametryczne – weryfikowana hipoteza dotycząca rozkładu badanej cechy w
populacji generalnej nie precyzuje wartości parametrów tego rozkładu.

Weryfikacja hipotezy statystycznej – odbywa się poprzez zastosowanie specjalnego narzędzia
zwanego testem statystycznym

Test statystyczny – reguła postępowania, która każdej możliwej próbie losowej (tj. każdemu
punktowi przestrzeni próby) przyporządkowuje decyzję przyjęcia lub odrzucenia sprawdzanej
hipotezy.

0

H

- hipoteza zerowa tzn. bezpośrednio sprawdzana

1

H

- hipoteza alternatywna tzn. konkurencyjna w stosunku do hipotezy zerowej

dr A. Czech

2

UWAGA :

a)

istota rzeczy przy budowie każdego testu polega na uchronieniu się o od popełniania
błędów,

b)

przyjęcie i odrzucenie hipotezy w teście statystycznym nie jest równoznaczne z
logicznym udowodnieniem jej prawdziwości lub fałszywości.

Testy istotności – taki rodzaj testów, w których na podstawie wyników próby losowej
podejmuje się decyzję odrzucenia hipotezy sprawdzanej

0

H

lub stwierdza się, że jej brak jest

podstawą do jej odrzucenia.

HIPOTEZA

Prawdziwa

Fałszywa

Przyjęta

DECYZJA POPRAWNA

BŁĄD II RODZAJU

Odrzucona

BIĄD I RODZAJU

DECYZJA POPRAWNA

dr A. Czech

3

1.

Weryfikacja hipotez o średniej

A. Test dla wartości średniej populacji

Model I – populacja ma rozkład normalny

)

,

(

σ

m

N

o znanym odchyleniu standardowym

0

0

:

m

m

H

=

- hipoteza zerowa

0

1

:

m

m

H

≠

- hipoteza alternatywna

gdzie:

0

m - konkretna wartość hipotetyczna średniej.

Oblicza się wartość statystyki u:

n

m

x

u

σ

0

−

=

∑

=

i

x

n

x

1

- średnia arytmetyczna obliczona z wyników próby,

0

m - konkretna wartość hipotetyczna średniej,

σ

- odchylenie standardowe w populacji,

n – liczebność próby.

Z tablicy rozkładu normalnego standaryzowanego

)

1

,

0

(

N

wyznacza się wartość krytyczną

kr

u

α

dla założonego z góry małego prawdopodobieństwa na poziomie istotności

α

.

dr A. Czech

4

)

(u

ϕ

α

−

1

2

α

2

α

kr

u

α

u

kr

u

u

α

≥

- hipotezę

0

H

odrzucamy,

kr

u

u

α

<

- nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy

0

H

.

PRZYKŁAD

DANE: n=100,

30

=

σ

,

93

=

x

,

05

,

0

=

α

102

:

0

0

=

m

H

102

:

0

1

≠

m

H

33

,

2

100

30

102

93

0

=

−

=

−

=

n

m

x

u

σ

96

,

1

05

,

0

=

=

kr

kr

u

u

α

kr

u

u

α

>

- hipotezę

0

H

odrzucamy tzn.

102

0

≠

m

dr A. Czech

5

Model II - populacja ma rozkład normalny

)

,

(

σ

m

N

o nieznanym odchyleniu standardowym

0

0

:

m

m

H

=

- hipoteza zerowa

0

1

:

m

m

H

≠

- hipoteza alternatywna

gdzie:

0

m - konkretna wartość hipotetyczna średniej.

Oblicza się wartość statystyki t:

n

S

m

x

n

S

m

x

t

ˆ

1

0

0

−

=

−

−

=

gdzie:

(

)

∑

−

=

2

1

x

x

n

s

i

v

- obciążone odchylenie standardowe z próby,

(

)

∑

−

−

=

2

1

1

ˆ

x

x

n

s

i

v

- nieobciążone odchylenie standardowe z próby,

0

m - konkretna wartość hipotetyczna średniej,

n – liczebność próby,

Z tablicy rozkładu t-Studenta wyznacza się wartość krytyczną

kr

t

α

dla założonego z góry

małego prawdopodobieństwa na poziomie istotności

α

przy

1

−

=

n

r

stopniach swobody.

dr A. Czech

6

)

(t

f

α

−

1

2

α

2

α

t

α

,

1

−

n

t

- wartość krytyczna

kr

n

t

t

α

,

1

−

≥

- hipotezę

0

H

odrzucamy,

kr

n

t

t

α

,

1

−

<

- nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy

0

H

.

PRZYKŁAD
DANE: n=26, S=30,

85

=

x

,

05

,

0

=

α

100

:

0

0

=

m

H

100

:

0

1

≠

m

H

5

,

2

1

26

30

100

85

1

0

=

−

−

=

−

−

=

n

S

m

x

t

0595

,

2

05

,

0

;

25

,

1

=

=

−

kr

kr

n

t

t

α

kr

n

t

t

α

,

1

−

≥

- hipotezę

0

H

odrzucamy tzn.

100

0

≠

m

dr A. Czech

7

Model III – populacja ma rozkład normalny

)

,

(

σ

m

N

lub dowolny inny rozkład średniej

wartości m i o skończonej, ale nieznanej wartości wariancji

2

σ

0

0

:

m

m

H

=

- hipoteza zerowa

0

0

:

m

m

H

≠

- hipoteza alternatywna

Test istotności dla tej hipotezy jest analogiczny jaj w Modelu I tzn. test U !!!
Zamiast wartości odchylenia standardowego z populacji generalnej

σ

przyjmuje się

wyznaczoną z dużej próby wartość odchylenia standardowego obciążonego S.

B.

Test dla dwóch wartości przeciętnych dwóch populacji

Model I – badamy dwie populacje generalne mające rozkłady normalne

)

,

(

1

1

σ

m

N

i

)

,

(

2

2

σ

m

N

,

gdzie odchylenia standardowe tych populacji

1

σ

,

2

σ

są znane.

Opierając się na wynikach dwóch niezależnych prób o liczebnościach

1

n

i

2

n

należy

sprawdzić hipotezę:

2

1

0

:

m

m

H

=

- hipoteza zerowa

2

1

1

:

m

m

H

≠

- hipoteza alternatywna

dr A. Czech

8

Oblicza się wartość statystyki u:

2

2

2

1

2

1

2

1

n

n

x

x

u

σ

σ

+

−

=

Statystyka ta ma rozkład normalny standaryzowany

)

1

,

0

(

N

.

)

(u

ϕ

α

−

1

2

α

2

α

kr

u

α

u

kr

u

u

α

≥

- hipotezę

0

H

odrzucamy,

kr

u

u

α

<

- nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy

0

H

.

dr A. Czech

9

Model II – badamy dwie populacje generalne mające rozkłady normalne

)

,

(

1

1

σ

m

N

i

)

,

(

2

2

σ

m

N

, gdzie odchylenia standardowe tych populacji

1

σ

,

2

σ

są nieznane, ale jednakowe

tzn.

2

1

σ

σ

=

.

Na podstawie wyników małych prób odpowiednio o liczbnościach

1

n

i

2

n

należy

zweryfikować hipotezę:

2

1

0

:

m

m

H

=

- hipoteza zerowa,

2

1

1

:

m

m

H

≠

- hipoteza alternatywna.

Oblicza się wartość statystyki













+

−

+

+

−

=

2

1

2

1

2

2

2

2

1

1

2

1

1

1

2

n

n

n

n

S

n

S

n

x

x

t

dr A. Czech

10

)

(t

f

α

−

1

2

α

2

α

t

α

;

2

2

1

−

+

n

n

t

- wartość krytyczna

kr

n

n

t

t

α

;

2

2

1

−

+

≥

- hipotezę

0

H

odrzucamy,

kr

n

n

t

t

α

;

2

2

1

−

+

<

- nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy

0

H

.

PRZYKŁAD

DANE:

16

1

=

x

,

14

2

=

x

,

8

1

=

n

,

7

2

=

n

,

05

,

0

=

α

,

8

88

2

1

=

S

,

7

39

2

2

=

S

2

1

0

:

m

m

H

=

2

1

1

:

m

m

H

≠

dr A. Czech

11

23

,

1

7

1

8

1

2

7

8

39

88

14

16

1

1

2

2

1

2

1

2

2

2

2

1

1

2

1

=













+

−

+

+

−

=













+

−

+

+

−

=

n

n

n

n

S

n

S

n

x

x

t

137

,

2

05

,

0

;

2

7

8

;

2

2

1

=

=

−

+

−

+

kr

kr

n

n

t

t

α

Ponieważ

kr

n

n

t

t

α

;

2

2

1

−

+

<

- nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy

0

H

.

Model III – badamy dwie populacje generalne mające rozkłady normalne lub inne o

skończonych ale nie znanych wariancjach

2

1

σ

i

2

2

σ

.

Na podstawie wyników dwóch dużych prób

1

n

i

2

n

należy sprawdzić hipotezę:

2

1

0

:

m

m

H

=

2

1

1

:

m

m

H

≠

Test istotności dla tej hipotezy jest analogiczny jak w Modelu I tzn. u !!!

Przy obliczaniu wartości u zamiast nieznanych wariancji

2

1

σ

i

2

2

σ

przyjmujemy wartości

2

1

S

i

2

2

S

uzyskane z dużych prób.

dr A. Czech

12

2.

Weryfikacja hipotezy dla wskaźników struktury

A. Test dla wskaźnika struktury populacji generalnej (procentu)

Model – populacja generalna ma rozkład dwupunktowy z parametrem p, tzn. frakcja
wyróżnionych elementów w populacji wynosi p. Z populacji wylosowano niezależnie do
próby dużą liczbę n elementów populacji (n>100)

Na podstawie wyników próby należy zweryfikować hipotezę:

0

0

:

p

p

H

=

- hipoteza zerowa,

0

1

:

p

p

H

≠

- hipoteza alternatywna.

0

p

- hipotetyczna wartość parametru p.

Oblicza się wartość statystyki u:

n

q

p

p

n

m

u

0

0

0

−

=

gdzie:

0

0

1 p

q

−

=

,

dr A. Czech

13

n

m

- wskaźnik struktury z próby,

m – liczba wyróżnionych elementów w próbie,

0

p

- hipotetyczna wartość parametru p.

Statystyka ta ma rozkład normalny standaryzowany

)

1

,

0

(

N

.

)

(u

ϕ

α

−

1

2

α

2

α

kr

u

α

u

kr

u

u

α

≥

- hipotezę

0

H

odrzucamy,

kr

u

u

α

<

- nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy

0

H

.

dr A. Czech

14

B. Test dla dwóch wskaźników struktury (procentów)

Model – są dwie populacje generalne o rozkładach dwupunktowych z parametrami
odpowiednio

1

p

i

2

p

(frakcje elementów wyróżnionych w tych populacjach).

Na podstawie dwóch dużych prób o liczebnościach

1

n

i

2

n

należy sprawdzić hipotezę:

2

1

0

:

p

p

H

=

- hipoteza zerowa,

2

1

1

:

p

p

H

≠

- hipoteza alternatywna.

Oblicza się wartość statystyki u:

n

q

p

n

m

n

m

u

2

2

1

1

−

=

gdzie:

p

q

−

=

1

1

1

n

m

,

2

2

n

m

- wskaźniki struktury uzyskane z obu prób,

dr A. Czech

15

2

1

2

1

n

n

m

m

p

+

+

=

- wartość średniego wskaźnika struktury z obu prób,

2

1

2

1

n

n

n

n

n

+

=

- wartość pseudookoloczności z próby n.

1

n

- liczba elementów w próbie I,

2

n

- liczba elementów w próbie II,

Statystyka ta ma rozkład normalny standaryzowany

)

1

,

0

(

N

.

)

(u

ϕ

α

−

1

2

α

2

α

kr

u

α

u

kr

u

u

α

≥

- hipotezę

0

H

odrzucamy,

kr

u

u

α

<

- nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy

0

H

.

dr A. Czech

16

3.

Weryfikacja hipotez o wariancji

A.

Test dla wariancji populacji generalnej

Model – populacja generalna ma rozkład normalny

)

,

(

σ

m

N

o nieznanych parametrach

σ

,

m

.

Z populacji tej wylosowano niezależnie n elementów do próby.

Na podstawie wyników próby należy zweryfikować hipotezę:

2

0

2

0

:

σ

σ

=

H

- hipoteza zerowa,

2

0

2

1

:

σ

σ

≠

H

- hipoteza alternatywna.

Oblicza się wartość statystyki

2

χ

:

2

2

,

1

2

0

2

2

α

χ

σ

χ

−

<

=

n

nS

lub

2

2

1

,

1

2

0

2

2

α

χ

σ

χ

−

−

>

=

n

nS

hipotezę

0

H

odrzucamy

dr A. Czech

17

)

(

2

χ

f

2

α

2

α

χ

2

2

1

,

α

χ

−

kr

2

2

,

α

χ

kr

- wartość krytyczna

PRZYKŁAD
DANE: n=25,

5

2

=

S

,

05

,

0

=

α

3

:

2

0

0

=

σ

H

- hipoteza zerowa,

3

:

2

0

0

≠

σ

H

- hipoteza alternatywna

401

,

12

2

025

,

0

;

24

2

2

,

1

=

=

−

χ

χ

α

n

364

,

39

2

975

,

0

;

24

2

2

1

,

1

=

=

−

−

χ

χ

α

n

366

,

39

3

5

25

2

2

>

⋅

=

χ

- hipotezę

0

H

odrzucamy

dr A. Czech

18

B.

Test dla dwóch wariancji

Model – dane są dwie populacje generalne mające odpowiednio rozkłady normalne

)

,

(

1

1

σ

m

N

i

)

,

(

2

2

σ

m

N

o nieznanych parametrach. Z populacji tych wylosowano niezależnie dwie próby

o liczebnościach odpowiednio

1

n

i

2

n

.

Na podstawie wyników próby należy zweryfikować hipotezę:

2

0

2

0

:

σ

σ

=

H

- hipoteza zerowa,

2

0

2

1

:

σ

σ

>

H

- hipoteza alternatywna.

Oblicza się wartość statystyki

2

2

2

1

ˆ

ˆ

S

S

F

=

gdzie:

2

2

2

1

ˆ

ˆ

S

S

>

;

1

;

1

2

1

−

−

n

n

F

α

kr

n

n

F

α

;

1

;

1

2

1

−

−

F

Jeżeli

α

;

1

;

1

2

1

−

−

>

n

n

F

F

to hipotezę

0

H

odrzucamy.