1
P
o
ho
dne
pierwszego
rzdu
1.1
P
o
dsta
w
o
w
e
de ni je
Def.
Nie
h
funk
ja
f
b
dzie
okre±lona
w
p
ewn
ym
przedziale
ot
w
art
ym
za
wiera
j¡ ym
punkt
a
.
Ilor
azem
r
ó»ni
owym
funk ji
f
w
punk ie
a
d
la
przyr
ostu
h
nazyw
am
y
funk
j
g
a
(h) =
f
(a + h) − f(a)
h
(1)
Po
ho
dn¡
funk ji
f
w
punk ie
a
(ozn.
f
′
(a)
)
nazyw
am
y
grani
ilorazu
ró»ni o
w
ego:
lim
h
→0
f
(a + h) − f(a)
h
(2)
Inne
ozna zenia
p
o
ho
dnej:
P
o
ho
dn¡
funk
ji
f
w
punk
ie
a
ozna za
si
te»:
d
f
(x)
d
x
x
=a
b¡d¹
je±li
nie
trzeba
p
o
da
w
a¢,
w
jakim
punk
ie
jest
li zona
jak
o
d
f
(x)
d
x
.
Ozna zenia
d
f
(x)
d
x
p
o
ho
dz¡
o
d
Leibniza
(XVI
I
w.)
jednego
z
wynalaz ó
w
(ob
ok
Newtona)
ra
h
unku
ró»ni zk
o
w
ego.
P
o
ho
dzenie
tej
sym
b
oliki
jest
nastpuj¡ e:
Iloraz
ró»ni o
wy
(1)
mo»na
zapisa¢
jak
o:
przyrost wartości funkcji f
przyrost wartości argumentu x
=
∆f
∆x
;
p
o
ho
dna
jest
grani ¡
ilorazu
ró»ni o
w
ego,
i
"w
grani y"
zastpuje
si
∆
przez
d
.
Uwaga.
Sym
b
ol
d
f
(x)
d
x
nale»y
trakto
w
a¢
jak
o
je
dn¡
aªo±¢.
O
ile
wielk
o± i
z
li znik
a
zy
miano
wnik
a
tzn
∆f
zy
∆x
s¡
dobrze
okre±lone,
o
t
yle
o
ddzielnie
sym
b
ole
d
f
,
d
x
b
ez
do
datk
o
wy
h
umó
w
nie
ma
j¡
sensu,
lub
s¡
b
ezu»yte zne.
(gdyb
y
np.
rozpatryw
a¢
je
w
na
jbardziej
narzu a
j¡ y
si
sp
osób,
tzn.
jak
o
grani e,
gdy
przyrost
argumen
tu
d¡»y
do
zera,
to
otrzymaªob
y
si
zero).
Senso
wna,
b¡d¹
u»yte zna,
jest
jedynie
i
h
k
om
bina ja
d
f
d
x
.
Nie
ozna za
to,
»e
nie
wolno
w
ogóle
p
osªugiw
a¢
si
sym
b
olami
w
ro
dza
ju
d
f
zy
d
x
.
W
olno,
ale
jedynie
na
etapie
p
o±rednim
jakiego±
rozumo
w
ania,
którego
naªem
b
dzie
jaki±
w
p
eªni
legaln
y
ju»
sym
b
ol
w
ro
dza
ju
d
f
d
x
zy
R f (x)dx
.
Przykª.
f
(x) = x
2
,
f
′
(3) = 6
.
P
o
ho
dna
funk
ji
w
punk
ie
ma
bardzo
wyrazist
y
sens
geometry zn
y
.
(R
YS.)
Roz-
patrzm
y
wykres
funk
ji
y
= f (x)
.
Ustalm
y
do
datnie
h
i
przepro
w
ad¹m
y
prrost¡
przez
punkt
y:
(x, f (x))
i
(x + h, f (x + h))
.
Prost¡
tak
¡
nazyw
am
y
sie
zn¡
krzyw
ej.
Jak
wida¢,
iloraz
ró»ni o
wy
jest
tangensem
k
¡ta
α
h
,
który
sie zna
t
w
orzy
z
osi¡
OX
.
Gdy
h
→ 0
,
to
sie zne
d¡»¡
do
prostej
grani znej
sty znej
do
krzyw
ej
w
punk
ie
x
.
T
ak
wi
f
′
(a) = tg α
(3)
Nie
k
a»da
funk
ja
i¡
gªa
p
osiada
p
o
ho
dn¡
( o
w
ilustra ji
geometry znej
zna zy
,
»e
nie
k
a»da
krzyw
a
p
osiada
st
y zn¡,
a
je±li
na
w
et
tak,
to
tak
a
st
y zna
nie
jest
jednozna znie
okre±lona).
I
tak
np.
funk
ja
f
(x) = |x|
nie
p
osiada
p
o
ho
dnej
w
punk
ie
x
= 0
.
Mam
y
b
o
wiem:
lim
h
→0
+
f
(h) − f(0)
h
= +1,
oraz
lim
h
→0
−
f
(h) − f(0)
h
= −1.
1
W
p
o
wy»szym
jednak
przypadku
mo»em
y
mó
wi¢
o
p
o
ho
dny h
je
dnostr
onny h,
tzn.
gra-
ni a
h
ilorazó
w
ró»ni o
wy
h:
lim
h
→0
+
(p
o
ho
dna
pra
w
ostronna)
i
lim
h
→0
−
(p
o
ho
dna
lew
ostron-
na).
Dokªadniej,
mam
y:
Def.
P
o
ho
dn¡
pr
awostr
onn¡
(lewostr
onn¡)
funk
ji
f
w
punk
ie
a
nazyw
am
y
grani
f
′
+
(a) = lim
h
→0
+
f
(a + h) − f(a)
h
,
f
′
−
(a) = lim
h
→0
−
f
(a + h) − f(a)
h
.
(4)
S¡
jednak
te»
funk
je,
które
(w
jakim±
punk
ie)
w
ogóle
nie
p
osiada
j¡
p
o
ho
dnej
ani
lew
o-,
ani
pra
w
ostronnej.
Np.
funk
ja:
f
(x) = x sin
1
x
dla x 6= 0;
f
(0) = 0
(5)
jest
i¡
gªa,
le z
nie
p
osiada
p
o
ho
dnej
(ani
lew
o-,
ani
pra
w
ostronnej)
w
zerze.
Nieist-
nienie
tej
p
o
ho
dnej
wynik
a
np.
z
nieistnienia
grani y
lim
x
→0
sin
1
x
.
Bo
wiem
grani a
ilorazu
ró»ni o
w
ego:
lim
h
→0
f
(h) − f(0)
h
= lim
h
→0
sin
1
h
nie
istnieje,
jak
to
widzieli±m
y
uprzednio
(2
wykªady
tem
u).
Istniej¡
tak»e
funk
je
i¡
gªe,
które
nie
p
osiada
j¡
p
o
ho
dnej
w
»adnym
punk
ie.
Rozw
a»am
y
te»
p
o
ho
dne
niesko« zone
(ma
to
miejs e,
gdy
grani a
ilorazu
ró»ni o-
w
ego
w
jakim±
punk
ie
d¡»y
do
niesk
o« zono± i).
I
tak
np.
dla
funk
ji
f
(x) =
√
x
mam
y
f
′
+
(0) = lim
h
→0+
√
h
− 0
h
= lim
h
→0+
1
√
h
= ∞
(b
o
lim
h
→0
√
h
= 0
);
b¡d¹
dla
p
o
ho
dnej
dwustronnej:
w
e¹m
y
f
(x) =
3
√
x
,
f
′
(0) = lim
h
→0
3
√
h
− 0
h
= lim
h
→0
1
3
√
h
2
= ∞
Def.
Mó
wim
y
,
»e
funk
ja
jest
r
ó»ni zkowalna
w
przedziale
ot
w
art
ym,
je±li
p
osiada
p
o-
ho
dn¡
sk
o« zon¡
w
k
a»dym
punk
ie
tego
przedziaªu.
F
unk
ja
jest
ró»ni zk
o
w
alna
w
prze-
dziale
domknit
ym
[a, b]
,
je±li
p
osiada
p
o
ho
dn¡
w
k
a»dym
punk
ie
w
ewntrzn
ym
prze-
dziaªu,
a
p
o
ho
dn¡
jednostronn¡
(pra
w
¡
lub
lew
¡)
w
lewym
/pra
wym
k
o« u
przedziaªu.
Def.
Mó
wim
y
,
»e
p
o
ho
dna
f
′
(x)
funk
ji
f
(x)
jest
i¡
gªa
w
przedziale
[a, b]
,
je±li
f
′
(x)
jest
i¡
gªa
w
ewn¡trz
przedziaªu,
p
o
ho
dna
pra
w
ostronna
jest
i¡
gªa
pra
w
ostronnie
w
punk
ie
a
,
za±
p
o
ho
dna
lew
ostronna
i¡
gªa
lew
ostronnie
w
punk
ie
b
.
1.2
Pierwsze
zastoso
w
ania
geometry zne
i
zy zne
p
o
ho
dnej
Def.
Przez
normaln¡
do
krzyw
ej
y
= f (x)
w
punk
ie
p
= (x, f (x)
rozumiem
y
prost¡,
prostopadª¡
do
st
y znej
w
p
i
prze
ho
dz¡ ej
przez
p
.
T
ak
wi :
•
ró
wnanie
prostej
st
y znej
do
krzyw
ej
y
= f (x)
w
punk
ie
p
= (x
0
, y
0
)
,
gdzie
y
0
=
f
(x
0
)
jest:
y
= f
′
(x
0
)x + f (x
0
) − f
′
(x
0
)x
0
,
lub
w
p
osta i
b
y¢
mo»e
ªat
wiejszej
do
zapamitania
y
− y
0
= f
′
(x
0
)(x − x
0
).
(6)
2
•
Dla
prostej
normalnej
mam
y:
W
sp
óª zynni
kierunk
o
wy
tej
prostej
to
−
1
f
′
(x
0
)
,
o
da
je
ró
wnanie
prostej
y
= −
1
f
′
(x
0
)
x
+ y
0
+
x
0
f
′
(x
0
)
lub
w
ró
wno
w
a»nej
p
osta i
f
′
(x
0
)(y − y
0
) = −(x − x
0
).
(7)
W
zy e,
zna zeniem
p
o
ho
dnej
jest
pr
dko±¢
(zmian
y
jakiej±
wielk
o± i
zy znej
w
zasie).
I
tak,
protot
yp
em
wszelki
h
taki
h
wielk
o± i
jest
dr
o
ga
(punktu
materialnego
jak
o
funk
ja
zasu).
P
o
ho
dna
drogi
p
o
zasie
to
wªa±nie
prdk
o±¢.
Analogi znie
de niuje
si
inne
ro
dza
je
prdk
o± i.
Np.
gdy
mam
y
rozpad
promieniot
w
ór zy
substan ji
radioakt
ywnej,
to
mo»em
y
mó
wi¢
o
szybk
o± i
rozpadu
(prdk
o± i
ub
ytku
masy
substan ji
radioakt
ywnej).
1.3
Ró»ni zk
o
w
anie
funk
ji
elemen
tarn
y
h
Zau
w
a»m
y
na
jsampierw,
»e
jest
pra
wdziw
e
T
w.
Je±li
funk
ja
f
jest
ró»ni zk
o
w
alna
w
punk
ie
x
,
to
jest
w
t
ym
punk
ie
i¡
gªa.
Do
w.
Sk
oro
f
jest
ró»ni zk
o
w
alna
w
punk
ie
x
,
to
istnieje
i
jest
sk
o« zona
grani a
ilorazu
ró»ni o
w
ego
lim
h
→0
f
(x + h) − f(x)
h
;
tak
wi
lim
h
→0
(f (x + h) − f(x)) = lim
h
→0
f
(x + h) − f(x)
h
· h = lim
h
→0
f
(x + h) − f(x)
h
· lim
h
→0
h
= 0,
o
ozna za,
»e
f
jest
i¡
gªa
w
punk
ie
x
.
CBDO
T
w.
P
o
ho
dna
funk
ji
staªej:
f
(x) = c
jest
ró
wna
0
:
d
c
d
x
= 0
(8)
Do
w.
Bo
wiem:
f
(x + h) = c
,
f
(x) = c
,
o
da
je
lim
h
→0
f
(x + h) − f(x)
h
= 0.
CBDO
T
w.
P
o
ho
dna
funk
ji
iden
t
y zno± io
w
ej
f
(x) = x
jest
ró
wna
1:
d
x
d
x
= 1.
(9)
Do
w.
Mam
y:
lim
h
→0
(x + h) − x
h
= lim
h
→0
h
h
= 1.
T
w.
Mam
y
nastpuj¡ e
wzory
dot
y z¡ e
ró»ni zk
o
w
ania
sum
y
,
ró»ni y
,
ilo
zyn
u
i
ilo-
razu
funk
ji
ró»ni zk
o
w
aln
y
h.
Je±li
f
(x)
,
g
(x)
s¡
ró»ni zk
o
w
alne
w
punk
ie
x
,
to
mam
y
d
(f (x) ± g(x))
d
x
=
d
f
(x)
d
x
±
d
g
(x)
d
x
lub
kró
ej
(f (x) ± g(x))
′
= f
′
(x) ± g
′
(x) ;
(10)
3
d
(f (x) · g(x))
d
x
=
d
f
(x)
d
x
· g(x) +
d
g
(x)
d
x
· f(x)
lub
(f (x) · g(x))
′
= f
′
(x)g(x) + g
′
(x)f (x)
(11)
d
f
(x)
g
(x)
d
x
=
d
f
(x)
d
x
· g(x) −
d
g
(x)
d
x
· f(x)
g
2
(x)
lub
f
(x)
g
(x)
′
=
f
′
(x)g(x)−g
′
(x)f (x)
g
2
(x)
(12)
Do
w.
(10)
(dla
sum
y):
(f (x) + g(x))
′
= lim
h
→0
(f (x + h) + g(x + h)) − (f(x) + g(x))
h
= lim
h
→0
f
(x + h) − f(x)
h
+ lim
h
→0
g
(x + h) − g(x)
h
= f
′
(x) + g
′
(x);
dla
ró»ni y
do
w
ó
d
jest
analogi zn
y
.
Do
w.
(11)
(f (x) · g(x))
′
= lim
h
→0
f
(x + h) · g(x + h) − f(x) · g(x)
h
(f (x)·g(x))
′
= lim
h
→0
(f (x + h) · g(x + h) − f(x + h) · g(x)) + (f(x + h) · g(x) − f(x) · g(x))
h
= lim
h
→0
f
(x + h)
g
(x + h) − g(x)
h
+ lim
h
→0
g
(x)
f
(x + h) − f(x)
h
= f
′
(x) · g(x) + g
′
(x) · f(x).
Do
w.
(12).
P
ok
a»em
y
na
jsampierw:
d
1
f
(x)
d
x
= −
1
f
2
(x)
d
f
(x)
d
x
.
(13)
Mam
y
b
o
wiem:
d
1
g
(x)
d
x
= lim
h
→0
1
g
(x + h)
−
1
g
(x)
!
=
−
1
lim
h
→0
g
(x + h)
·
1
g
(x)
· lim
h
→0
g
(x + h) − g(x)
h
= −
1
g
2
(x)
·
d
g
(x)
d
x
,
(14)
b
o
lim
h
→0
g
(x+h) = g(x)
;
i
p
onadto,
p
oniew
a»
g
(x) 6= 0
,
to
istnieje
takie
δ >
0
,
»e
dla
|h| < δ
za
ho
dzi
g
(x + h) 6= 0
,
tak
wi
wszystkie
wyra»enia
w
(14)
s¡
dobrze
okre±lone.
T
eraz
(12)
wynik
a
z
(11)
oraz
(13):
f
(x)
1
g
(x)
!
′
= f
′
(x) ·
1
g
(x)
+ f (x) ·
−
1
g
2
(x)
!
=
f
′
(x)g(x) − g
′
(x)f (x)
g
2
(x)
.
(15)
W
niosek.
P
o
dsta
wia
j¡
w
e
wzora
h
(10)
oraz
(11):
f
(x) = c
,
otrzymam
y:
(f (x) + c)
′
= f
′
(x),
(16)
(c · f(x))
′
= cf
′
(x).
(17)
W
zór
(16)
mó
wi,
»e
przesuni ie
wykresu
funk
ji
f
(x)
wzdªu»
osi
0Y
nie
ma
wpªywu
na
w
arto±¢
k
¡ta,
t
w
orzonego
przez
st
y zn¡
z
osiami
(R
YS.).
W
zór
natomiast
(17)
mó
wi,
»e
4
je»eli
przesk
alujem
y
wykres
funk
ji
y
= f (x) c
razy
,
to
t
yle
samo
razy
zwikszy
si
tangens
k
¡ta
na
h
ylenia
st
y znej.
T
w.
(x
n
)
′
= nx
n
−1
dla
n
∈ N.
(18)
Do
w.
Do
w
o
dzi
si
induk
yjnie.
Dla
n
= 0
i
n
= 1
wzór
ten
jest
pra
wdziwy
p.
(8)
i
(9).
Zaªózm
y
teraz,
»e
wzór
jest
pra
wdziwy
dla
n
− 1
,
i
mam
y
dla
n
,
z
wyk
orzystaniem
(11)
(x
n
)
′
= (x · x
n
−1
)
′
= 1 · x
n
−1
+ x · (n − 1) · x
n
−2
= n · x
n
−1
.
CBDO
T
w.
(x
n
)
′
= nx
n
−1
dla
n
∈ Z
.
Do
w.
W
e¹m
y
teraz
n <
0
.
Mam
y
,
z
(14)
i
(18)
(x
n
)
′
=
1
x
−n
′
= −
1
x
−2n
(x
−n
)
′
= n · x
−n−1
·
1
x
2n
= n · x
n
−1
.
CBDO
Uwaga.
W
zór
ten
sªuszn
y
jest
te»
dla
do
w
oln
y
h
wykªadnik
ó
w
rze zywist
y
h,
o
udo
w
o
d-
nim
y
nie o
p
ó¹niej.
Z
p
ok
azan
y
h
wªa±nie
faktó
w
wynik
a
o
d
razu
T
w.
(wzór
na
p
o
ho
dn¡
wielomian
u).
(a
n
x
n
+ a
n
−1
x
n
−1
+ · · · + a
1
x
+ a
0
)
′
= na
n
x
n
−1
+ · · · + 2a
2
x
+ a
1
.
T
w.
(sin x)
′
= cos x
.
Do
w.
(sin x)
′
= lim
h
→0
sin(x + h) − sin x
h
= lim
h
→0
2
h
· sin(
h
2
) · cos(x +
h
2
) =
= lim
h
→0
sin(
h
2
)
h
2
· lim
h
→0
cos(x +
h
2
) = cos x
(19)
T
w.
(cos x)
′
= − sin x
.
Do
w.
(cos x)
′
= lim
h
→0
cos(x + h) − cos x
h
= lim
h
→0
−2
h
· sin(
h
2
) · sin(x +
h
2
) =
= −lim
h
→0
sin(
h
2
)
h
2
· lim
h
→0
sin(x +
h
2
) = sin x
(20)
T
w.
(tg x)
′
=
1
cos
2
x
.
Do
w.
(tg x)
′
=
sin x
cos x
′
=
(sin x)
′
cos x − (cos x)
′
sin x
cos
2
x
=
cos
2
x
+ sin
2
x
cos
2
x
=
1
cos
2
x
.
T
w.
(ln x)
′
=
1
x
i
ogólniej
(log
a
x
)
′
=
1
x
ln a
.
5
Do
w.
(ln x)
′
= lim
h
→0
ln(x + h) − ln x
h
= lim
h
→0
1
h
ln
1 +
h
x
!
= lim
h
→0
1
x
ln
1 +
h
x
!
x
h
.
P
o
dsta
wm
y
teraz
y
=
h
x
.
P
oniew
a»
lim
h
→0
y
= 0
,
to
lim
h
→0
ln(x + h) − ln x
h
= lim
h
→0
1
x
ln
1 +
h
x
!
x
h
=
1
x
lim
y
→0
ln(1 + y)
1
y
.
Mam
y:
lim
y
→0
(1+y)
1
y
= e.
P
amita
j¡ ,
»e
logarytm
jest
funk
j¡
i¡
gª¡
wszdzie
w
dziedzinie,
a
w
sz zególno± i
dla
w
arto± i
argumen
tu
ró
wnej
e
,
mam
y
lim
y
→0
ln(1 + y)
1
y
= ln lim
y
→0
(1 + y)
1
y
= ln e = 1,
zatem
(ln x)
′
=
1
x
.
Drug¡
z±¢
t
wierdzenia
otrzymam
y
z
wªasno± i
logarytm
u:
(log
a
x
)
′
=
ln x
ln a
!
′
=
1
ln a
(ln x)
′
=
1
x
ln a
.
1.4
P
o
ho
dna
funk
ji
o
dwrotnej
Nie
h
b
dzie
dana
w
przedziale
[a, b]
funk
ja
ró»ni zk
o
w
alna
i
ró»no
w
arto± io
w
a
y
= f (x)
.
Wiadomo,
»e
istnieje
w
ó
w
zas
funk
ja
o
dwrotna
f
−1
(któr¡
ozna zym
y
tu
g
:
x
= g(y)
),
i¡
gªa
w
przedziale
[f (a), f (b)]
(lub
[f (b), f (a)]
zale»nie
o
d
tego,
zy
f
jest
rosn¡ a
zy
malej¡ a).
P
ok
a»em
y
,
»e
w
t
ym
przedziale
funk
ja
g
te»
jest
ró»ni zk
o
w
alna,
a
przy
ok
azji
wypro
w
adzim
y
wzór
na
p
o
ho
dn¡
funk
ji
o
dwrotnej.
Miano
wi ie
mam
y
T
w.
Je±li
f
(x) = y
tzn.
x
= g(y)
,
to
g
′
(y) ≡
d
g
(y)
d
y
=
1
f
′
(x)
=
1
d
f
(x)
d
x
.
(21)
przy
zaªo»eniu
»e
f
′
(x) 6= 0
.
Do
w.
Przy
zadan
ym
x
w
e¹m
y
k
= f (x + h) − f(x)
.
Mam
y
wi
f
(x + h) = y + k
,
tzn.
x
+ h = g(y + k)
,
sk
¡d
h
= g(y + k) − g(y)
.
Mo»em
y
wi
trakto
w
a¢
h
jak
o
funk
j
k
.
Ze
wzgldu
na
i¡
gªo±¢
funk
ji
g
,
mam
y
lim
k
→0
h
(k) = 0
,
a
p
onadto
dla
k
6= 0
mam
y
h
6= 0
,
p
oniew
a»
funk
ja
g
jest
ró»no
w
arto± io
w
a.
Mam
y
wi :
g
′
(y) = lim
k
→0
g
(y + k) − g(y)
k
= lim
h
→0
h
f
(x + h) − f(x)
=
1
f
′
(x)
.
Przy
drugiej
ró
wno± i
p
o
wy»ej
k
orzystali±m
y
z
faktu,
i»
dla
funk
ji
i¡
gªy
h
F
(x)
,
G
(y)
mam
y:
Je±li
y
0
= F (x
0
)
,
to
lim
x
→x
0
G
(F (x)) = lim
y
→y
0
G
(y)
.
CBDO
6
Uwaga.
T
wierdzenie
p
o
wy»sze
ma
ilustra j/in
terpreta j
geometry zn¡.
Rozpatrzm
y
krzyw
¡
dan¡
ró
wnaniem
y
= f (x)
.
P
opro
w
ad¹m
y
w
jakim±
punk
ie
(x
0
, y
0
(tu
y
0
= f (x
0
)
)
st
y zn¡
do
tej
krzyw
ej
i
zna zm
y
przez
α
k
¡t
ut
w
orzon
y
przez
st
y zn¡
z
osi¡
OX
,
a
przez
β
k
¡t
ut
w
orzon
y
przez
st
y zn¡
z
osi¡
OY
.
O zywi± ie
α
=
π
2
− β
.
Wó
w
zas
tg β = ctg α
zyli
tg β =
1
tg α
zgo
dnie
z
wzorem
(21).
Za
p
omo
¡
p
o
wy»szego
t
wierdzenia
p
oli zym
y
p
o
ho
dne
k
olejn
y
h
funk
ji
elemen
tar-
n
y
h.
T
w.
(e
x
)
′
= e
x
i,
ogólniej,
(a
x
)
′
= a
x
ln a
.
Do
w.
W
e¹m
y
y
= f (x) = e
x
;
wtedy
x
= f
−1
(y) ≡ g(y) = ln y
.
Mam
y:
g
′
(y) =
1
y
=
1
e
x
=
1
f
′
(x)
,
a
ostatnia
ró
wno±¢
to
wªa±nie
f
′
(x) = (e
x
)
′
= e
x
.
W
ogólniejszym
przypadku
(a
x
)
′
,
bierzem
y
y
= f (x) = a
x
,
a
dla
funk
ji
o
dwrotnej
x
= g(y) = log
a
y
.
P
amitam
y
,
»e
g
′
(y) =
1
y
ln a
=
1
f
′
(x)
=⇒ f
′
(x) = a
x
ln a
.
CBDO
T
w.
a)
(arcsin x)
′
=
1
√
1−x
2
,
b)
(arccos x)
′
= −
1
√
1−x
2
.
Do
w.
a)
W
e¹m
y
y
= f (x) = arcsin x
i
wtedy
x
= g(y) = sin y
.
Mam
y:
g
′
(y) = cos y =
q
1 − sin
2
y
=
√
1 − x
2
=
1
f
′
(x)
,
(znak
pierwiastk
a
to
plus,
b
o
x
∈ [−
π
2
,
+
π
2
]
),
a
ostatnia
ró
wno±¢
to
f
′
(x) = (arcsin x)
′
=
1
√
1−x
2
.
b)
Rozw
a»ania
s¡
analogi zne:
y
= f (x) = arccos x
,
x
= g(y) = cos y
;
jedyna
ró»ni a
jest
w
znaku,
b
o
g
′
(y) = − sin y
i
dalej
jak
w
a),
z
wynikiem
k
o« o
wym
(arccos x)
′
=
−
1
√
1−x
2
.
CBDO
T
w.
(arctgx)
′
=
1
1+x
2
.
Do
w.
Dla
y
= f (x) = arctgx
jest
x
= g(y) = tg y
,
g
′
(y) =
1
cos
2
y
;
st¡d
f
′
(x) = cos
2
y
=
1
1+tg
2
y
=
1
1+(tg(arctg(x))
2
=
1
1+x
2
.
1.5
Ekstrema
funk
ji.
T
wierdzenie
Rolle'a
Def.
Nie
h
funk
ja
f
b
dzie
okre±lona
w
oto
zeniu
punktu
a
(tzn.
w
jakim±
przedziale
ot
w
art
ym,
za
wiera
j¡ ym
a
).
Je±li
istnieje
takie
δ >
0
,
»e
∀
h
:|h|<δ
: f (a + h) ¬ f(a),
(22)
to
mó
wim
y
,
»e
funk
ja
f
(x)
ma
maksimum
w
punk
ie
a
.
Je±li
za
±
przy
analogi zn
y
h
zaªo»enia
h
mam
y
nieró
wno±¢:
f
(a + h) f(a),
(23)
to
mó
wim
y
,
»e
funk
ja
f
(x)
ma
minimum
w
punk
ie
a
.
Inn
ymi
sªo
wy
,
w
punk
ie
a
wystpuje
maksim
um
(minim
um),
je±li
istnieje
takie
oto-
zenie
U
punktu
a
,
»e
f
(a)
jest
na
jwiksz¡
(na
jmniejsz¡)
li zb¡
w
zbiorze
w
arto± i,
jakie
funk
ja
f
przyjm
uje
na
U
.
Je±li
w
e
wzora
h
(22)
i
(23)
zast¡
pi¢
znaki
(
¬
)
przez
>
(
<
),
to
mam
y
do
zynienia
z
maksim
um
(minim
um)
wªa± iwym.
Def.
Maksima
i
minima
ob
ejm
ujem
y
wsp
óln¡
nazw
¡
ekstr
emów
funk
ji
f
.
Przykª.
1.
F
unk
ja
x
2
p
osiada
minim
um
w
punk
ie
x
= 0
;
7
2.
funk
ja
cos x
p
osiada
maksima
w
punkta
h
2kπ
,
k
∈ Z
oraz
minima
w
punkta
h
(2k + 1)π
,
k
∈ Z
.
3.
funk
ja
|x|
p
osiada
minim
um
w
x
= 0
.
Z
p
o
j iem
ekstrem
um
± i±le
jest
zwi¡zane
(ale
ró»ne)
p
o
j ie
kr
esów
warto± i
funk ji
na
zbiorze.
Ekstrema
s¡
p
o
j iami
lokalnymi:
Ab
y
st
wierdzi¢,
zy
funk
ja
p
osiada
ekstre-
m
um
w
dan
ym
punk
ie
a
,
wystar zy
zna¢
w
arto± i
funk
ji
w
dowolnie
maªym
oto
zeniu
punktu
a
.
Natomiast
wyzna zenie
kresó
w
zbioru
w
arto± i
funk
ji
na
zbiorze
X
wymaga
zna
jomo± i
funk
ji
na
aªym
X
.
Z
de ni ji
maksim
um
wynik
a
nat
y
hmiast
T
w.
Je±li
funk
ja
f
okre±lona
w
przedziale
[a, b]
osi¡
ga
kres
górn
y
w
punk
ie
c
nale-
»¡ ym
do
wntrza
tego
przedziaªu
(tzn.
a < c < b
),
to
funk
ja
p
osiada
maksim
um
w
c
.
(analogi znie
dla
kresu
dolnego
i
minim
um).
CBDO
Je±li
ok
a»e
si,
»e
kres
górn
y
funk
ji
jest
osi¡
gan
y
w
jedn
ym
z
k
o« ó
w
przedziaªu
[a, b]
(np.
w
a
),
to
nie
mówimy,
i»
w
t
ym
punk
ie
funk
ja
p
osiada
maksim
um,
p
oniew
a»
funk
ja
nie
jest
okre±lona
w
oto
zeniu
a
.
Np.
funk
ja
y
= x
na
zbiorze
X
= [0, 1]
p
osiada
kres
górn
y
ró
wn
y
1;
nie
nazyw
am
y
go
jednak
maksim
um.
T
w.
.
Je±li
funk
ja
f
jest
ró»ni zk
o
w
alna
w
punk
ie
c
i
p
osiada
w
t
ym
punk
ie
ekstre-
m
um,
to
f
′
(c) = 0
.
Do
w.
Zaªó»m
y
,
»e
f
p
osiada
w
punk
ie
c
maksim
um
(je±li
minim
um,
to
rozumo
w
anie
jest
analogi zne).
W
e¹m
y
wi
takie
δ >
0
,
ab
y
dla
do
w
olnego
h
takiego,
»e
|h| < δ
,
za
ho
dziªa
nieró
wno±¢
f
(c + h) − f(c) ¬ 0
.
Dziel¡
przez
h
,
otrzym
ujem
y
f
(c + h) − f(c)
h
¬ 0
dla
h >
0,
f
(c + h) − f(c)
h
0
dla
h <
0.
P
oniew
a»
z
zaªo»enia
istnieje
p
o
ho
dna
f
′
(c)
,
to
f
′
+
(c) = f
′
−
(c) = f
′
(c).
Z
p
oprzedni
h
nieró
wno± i
wynik
a
jednak,
»e
f
′
+
(c) ¬ 0 ¬ f
′
−
(c)
.
Musi
wi
b
y¢
f
′
+
(c) = 0 = f
′
−
(c),
o
zna zy
,
»e
f
′
(c) = 0.
CBDO
Uwaga.
T
wierdzenie
o
dwrotne
nie
za ho
dzi:
Ró
wno±¢
f
′
(c) = 0
mo»e
b
y¢
sp
eªniona,
mimo
i»
funk
ja
f
nie
p
osiada
ekstrem
um
w
c
.
Jest
tak
np.
dla
funk
ji
f
(x) = x
3
w
punk
ie
x
= 0
.
Def.
Je±li
funk
ja
jest
ró»ni zk
o
w
alna
w
x
= a
i
f
′
(a) = 0
,
to
punkt
x
= a
nazyw
am
y
punktem
kryty znym
funk
ji
f
.
Uwaga.
Istnienie
ekstrem
um
funk
ji
ró»ni zk
o
w
alnej
w
punk
ie
c
ozna za,
»e
st
y zna
do
krzyw
ej
y
= f (x)
w
punk
ie
(c, f (c)
jest
ró
wnolegªa
do
osi
OX
(z
mo»liw
o± i¡,
»e
si
z
t¡
osi¡
p
okryw
a).
T
w.
(Rolle'a).
Nie
h
funk
ja
f
b
dzie
i¡
gªa
w
przedziale
domknit
ym
[a, b]
i
ró»ni z-
k
o
w
alna
w
ewn¡trz
tego
przedziaªu.
Je±li
f
(a) = f (b)
,
to
istnieje
takie
c
,
»e
a < c < b
oraz
f
′
(c) = 0
.
Do
w.
Je±li
funk
ja
f
jest
staªa,
to
∀
x
∈[a,b]
f
′
(x) = 0
.
Mo»na
wtedy
wzi¡¢
do
w
oln
y
x
∈]a, b[
i
teza
t
w.
Rolle'a
b
dzie
sp
eªniona.
8
Zaªó»m
y
wi ,
»e
funk
ja
f
nie
jest
staªa;
np.
nie
h
przyjm
uje
w
arto± i
wiksze
o
d
f
(a)
.
Ozna za
j¡
przez
M
kres
górn
y
zbioru
w
arto± i
funk
ji
na
przedziale
[a, b]
,
mam
y:
M > f
(a)
.
Zatem,
z
t
w.
W
eierstrassa,
istnieje
takie
c
∈ [a, b]
,
»e
f
(c) = M
.
Przy
t
ym
a
6=
c
6= b
,
p
oniew
a»
z
zaªo»enia
f
(a) = f (b)
;
zatem
a < c < b
.
T
o
zna zy
,
»e
funk
ja
f
osi¡
ga
kres
górn
y
w
punk
jie
c
p
oªo»on
ym
w
ewn¡trz
przedziaªu
[a, b]
.
Zgo
dnie
z
t
wierdzeniem
nieda
wno
udo
w
o
dnion
ym
funk
ja
f
p
osiada
w
punk
ie
c
maksimum,
o
z
k
olei
implikuje
(pamita
j¡
o
rózni zk
o
w
alno± i
f
w
ewn¡trz
przedziaªu),
»e
f
′
(c) = 0
.
CBDO
Rys.
ilustra ja
t
w.
Rolle'a.
Uwaga.
T
wierdzenie
Rolle'a
mo»na
tak
sform
uªo
w
a¢:
Je±li
f
(x) = f (x + h)
,
to
istnieje
takie
θ
: 0 < θ < 1
,
»e
f
′
(x + θh) = 0.
(24)
przy
t
y
h
sam
y
h
zaªo»enia
h,
tzn.
funk
ja
f
ma
b
y¢
ró»ni zk
o
w
alna
w
ewn¡trz
przedziaªu
[x, x + h]
(lub
[x + h, x]
,
je±li
h <
0
;
nie
zakªadam
y
tu,
»e
h >
0
le z
jedynie
»e
h
6= 0
)
i
i¡
gªa
w
x
oraz
x
+ h
.
1.6
T
wierdzenie
Lagrange'a
i
Cau
h
y'ego
T
w.
(Lagrange'a).
Zaªó»m
y
(p
o
dobnie
jak
w
t
w.
Rolle'a),
»e
funk
ja
f
jest
i¡
gªa
w
przedziale
[a, b]
i
ró»ni zk
o
w
alna
w
ewn¡trz
tego
przedziaªu.
Za
ho
dzi
w
ó
w
zas
wzór
f
(b) − f(a)
b
− a
= f
′
(a + θh),
(25)
gdzie
h
= b − a
oraz
θ
∈]0, 1[
.
Uwaga.
W
zór
ten
nazyw
an
y
jest
te»
wzorem
Lagrange'a
na
w
arto±¢
±redni¡,
lub
t
wier-
dzeniem
o
przyrosta
h
sk
o« zon
y
h.
Rys.
ilustra ja
t
w.
Lagrange'a.
Wida¢,
»e
sz zególn
ym
przypadkiem
(gdy
f
(a) = f (b)
)
jest
t
w.
Rolle'a.
Ok
azuje
si,
»e
do
w
ó
d
t
w.
Lagrange'a
mo»na
spro
w
adzi¢
do
t
w.
Rolle'a.
Do
w.
W
e¹m
y
miano
wi ie
funk
j
g
(x) = f (a) − f(x) + (x − a)
f
(b) − f(a)
b
− a
(26)
i
p
onadto
g
(x)
jest
i¡
gªa
na
[a, b]
i
ró»ni zk
o
w
alna
w
]a, b[
;
jej
p
o
ho
dna
jest
g
′
(x) = −f
′
(x) +
f
(b) − f(a)
b
− a
P
onadto
g
(b) = 0 = g(a)
,
zatem
g
(x)
sp
eªnia
zaªo»enia
t
w.
Rolle'a.
Sk
oro
tak,
to
p
o
ho
dna
g
′
(x)
znik
a
w
p
ewn
ym
punk
ie
midzy
a
i
b
.
Mo»em
y
to
wyp
o
wiedzie¢
tak,
»e
istnieje
takie
θ
: 0 < θ < 1
,
»e
g
′
(a + θh) = 0 tzn. 0 = −f
′
(a + θh) +
f
(b) − f(a)
b
− a
,
zyli
za
ho
dzi
wzór
z
tezy
t
w.
Lagrange'a.
CBDO
9
Uwaga.
W
sp
osób
p
o
dobn
y
,
jak
wzór
(24)
przy
t
w.
Rolle'a,
mo»na
tez
t
w.
Lagrange'a
sform
uªo
w
a¢
jak
o:
Dla
funk
ji
f
ró»ni zk
o
w
alnej
w
ewn¡trz
przedziaªu
[x, x + h]
i
i¡
gªej
na
[x, x + h]
(to
dla
h >
0
;
dla
h <
0
jest
to
przedziaª
[x + h, x]
)
istnieje
takie
θ
: 0 < θ < 1
,
»e
f
(x + h) = f (x) + f
′
(x + θh) · h.
(27)
Z
t
w.
Lagrange'a
wypªyw
a
j¡
dw
a
wnioski,
bardzo
w
a»ne
dla
ra
h
unku
aªk
o
w
ego:
T
w.
Je±li
∀
x
∈]a,b[
za
ho
dzi
f
′
(x) = 0
,
to
funk
ja
w
t
ym
przedziale
jest
staªa.
Do
w.
Na
mo
y
udo
w
o
dnionego
dopiero
o
wzoru
(27),
mam
y
b
o
wiem
dla
k
a»dego
x
i
h
:
f
(x) = f (x + h)
,
o
ozna za,
»e
f
(x) =
onst.
CBDO
T
w.
Je±li
∀
x
∈]a,b[
za
ho
dzi
f
′
(x) = g
′
(x)
,
to
f
(x) = g(x)+
onst.
Do
w.
Mam
y:
(f (x)−g(x))
′
= f
′
(x)−g
′
(x) = 0
,
zyli
funk
ja
f
(x)−g(x)
ma
p
o
ho
dn¡
ró
wn¡
zeru.
Na
mo
y
dopiero
o
udo
w
o
dnionego
t
wierdzenia
zna zy
to,
»e
f
(x) − g(x)
jest
staªa,
tzn.
f
(x) = g(x)+
onst.
CBDO
T
w.
(Cau
h
y'ego;
zasem
z
przydomkiem:
O
w
arto± i
±redniej).
Je±li
funk
je
f
i
g
s¡
i¡
gªe
na
przedziale
[a, b]
i
ró»ni zk
o
w
alne
w
ewn¡trz
oraz
je±li
∀
x
∈]a,b[
jest
g
′
(x) 6= 0
,
to
istnieje
takie
θ
∈]0, 1[
,
»e
f
(b) − f(a)
g
(b) − g(a)
=
f
′
(a + θh)
g
′
(a + θh)
,
(28)
gdzie
h
= b − a
.
Przed
do
w
o
dem
Uwaga.
T
wierdzenie
Lagrange'a
otrzym
uje
si
z
t
w.
Cau
h
y'ego,
je±li
p
o
dsta
wi¢
g
(x) =
x
.
Ok
azuje
si,
»e
tak»e
t
w.
Cau
h
y'ego
wynik
a
z
t
w.
Lagrange'a,
ale
tu
trzeba
zaargu-
men
to
w
a¢
nastpuj¡ o:
Do
w.
W
e»m
y
funk
j
G
(x) = f (a) − f(x) + (g(x) − g(a))
f
(b) − f(a)
g
(b) − g(a)
(miano
wnik
g
(b)−g(a)
jest
ró»n
y
o
d
zera
ze
wzgldu
na
zaªo»enie,
»e
wszdzie
w
przedziale
]a, b[
mam
y
g
′
(x) 6= 0
i
t
w.
Rolle'a).
F
unk
ja
G
(x)
sp
eªnia
zaªo»enia
t
w.
Rolle'a:
Jest
ró»ni zk
o
w
alna
i
i¡
gªa
jak
trzeba,
oraz
G
(a) = 0 = G(b)
.
P
o
ho
dna
funk
ji
G
(x)
jest
G
′
(x) = −f
′
(x) + g
′
(x)
f
(b) − f(a)
g
(b) − g(a)
;
(29)
zatem
(z
t
w.
Rolle'a)
istnieje
takie
θ
∈]a, b[
,
»e
G
′
(a + θh) = 0
.
P
o
dsta
wia
j¡
x
= a + θh
w
e
wzorze
(29),
otrzym
ujem
y
(28).
Analogi znie
do
sp
osobu,
w
jaki
t
w.
Rolle'a
i
Lagrange'a
b
yªy
wyra»ane
wzorami
(24)
i
(27),
mo»na
t
w.
Cau
h
y'ego
sform
uªo
w
a¢
tak:
Istnieje
θ
∈]0, 1[
takie,
»e
f
(x + h) − f(x)
g
(x + h) − g(x)
=
f
′
(x + θh)
g
′
(x + θh)
.
(30)
Uwaga:
W
p
o
wy»szym
wzorze
θ
jest
TO
SAMO
w
li zniku
i
miano
wniku.
10
1.7
Ró»ni zk
o
w
anie
funk
ji
zªo»on
y
h
Nie
h
y
= f (x)
,
z
= g(y)
,
przy
t
ym
funk
ja
g
jest
okre±lona
na
zbiorze
w
arto± i
funk
ji
f
;
p
onadto
nie
h
f
i
g
b
d¡
ró»ni zk
o
w
alne,
a
p
o
ho
dna
g
′
nie
h
b
dzie
i¡
gªa.
Nastpuj¡ y
wzór
wyra»a
p
o
ho
dn¡
funk
ji
zªo»onej
g
(f (x))
przez
p
o
ho
dne
f
′
i
g
′
.
T
w.
(g(f (x))
′
= f
′
(x) · g
′
(f (x)),
tzn.
d
(g(f (x))
d
x
=
d
f
(x)
d
x
·
"
d
g
(y)
d
y
#
y
=f (x)
.
(31)
Do
w.
Przy
dan
y
h
x
i
h
6= 0
w
e¹m
y
k
= f (x + h) − f(x)
,
tzn.
f
(x + h) = y + k
.
Zastosujm
y
teraz
wzór
Lagrange'a
na
w
arto±¢
±redni¡
w
w
ersji
(27)
do
funk
ji
g
;
otrzymam
y
g
(f (x + h)) − g(f(x))
h
=
g
(y + k) − g(y)
h
= g
′
(y + θk) ·
k
h
= g
′
(y + θk) ·
f
(x + h) − f(x)
h
.
dla
p
ewnego
θ
∈]0, 1[
(pamita
jm
y
,
»e
θ
jest
p
ewn¡
funk
j¡
h
).
Co
stanie
si
z
p
o
wy»szym
wyra»eniem,
gdy
w
e¹miem
y
jego
grani
przy
h
→ 0
?
Otó»
ze
wzgldu
na
i¡
gªo±¢
funk
ji
g
,
mam
y
lim
h
→0
k
= 0
,
a
p
oniew
a»
0 < θ < 1
,
to
ró
wnie»
lim
h
→0
θk
= 0
.
Sk
oro
tak,
to
lim
h
→0
(y +
θk
) = y
,
o
w
p
oª¡ zeniu
z
i¡
gªo± i¡
funk
ji
g
′
da
je
lim
h
→0
g
′
(y + θk) = g
′
(y) = g
′
(f (x)).
Mam
y
wi :
d
g
(f (x))
d
x
= lim
h
→0
g
(f (x + h)) − g(f(x))
h
= lim
h
→0
g
′
(y+θk)lim
h
→0
f
(x + h) − f(x)
h
= g
′
(f (x))·f
′
(x).
Przykª.
(sin
2
x
)
′
na
dw
a
sp
osob
y
Przykª.
(e
sin x
)
′
= ...
Przykª.
Udo
w
o
dnim
y
teraz
anonso
w
an
y
w
ze±niej
wzór
(x
a
)
′
= ax
a
−1
dla a ∈ R.
Do
w.
Napiszm
y
x
a
w
p
osta i:
x
a
= e
a
ln x
i
ze
wzoru
na
p
o
ho
dn¡
funk
ji
zªo»onej
(x
a
)
′
= (e
a
ln x
)
′
=
d
e
a
ln x
d
x
=
d
a
ln x
d
x
·
d
e
y
d
y
y
=a ln x
= a
1
x
e
y
|
y
=a ln x
= ax
−1
x
a
= ax
a
−1
CBDO
Niejednokrotnie
trzeba
kilk
akrotnie
zastoso
w
a¢
t
wierdzenie
o
p
o
ho
dnej
funk
ji
zªo»onej.
Mam
y
np.
p
o
ho
dn¡
funk
ji
trzykrotnie
zªo»onej:
h
(g(f (x)))
′
= f
′
(x) · g
′
(f (x)) · h
′
(g(f (x))
Sztu zka
mnemote
hni zna:
W
zór
p
o
wy»szy
mo»na
zapamita¢
np.
w
nastpuj¡ y
sp
osób:
Ozna zm
y:
y
= f (x)
,
z
= g(y)
,
w
= h(z)
,
oraz
W
(x) = h(g(f (x)))
.
Mo»na
wtedy
napisa¢
d
W
d
x
=
d
w
d
z
·
d
z
d
y
·
d
y
d
x
,
pamita
j¡ ,
w
jaki
h
punkta
h
s¡
li zone
wszystkie
p
o
ho
dne.
W
p
o
wy»szym
wzorze
p
o
ho
dne
za
ho
wuj¡
si
jak
uªamki.
Ale
UW
A
GA!
Jest
to
zbie»-
no±¢
przypadk
o
w
a;
inne
p
o
ho
dne
(zwª.
z¡stk
o
w
e)
ju»
si
tak
nie
za
ho
wuj¡!
Uwaga
wzór
na
p
o
ho
dn¡
funk
ji
o
dwrotnej
z
wzoru
na
p
o
ho
dn¡
funk
ji
zªo»onej
11
1.8
Zwi¡zek
midzy
znakiem
p
o
ho
dnej
a
monotoni zno± i¡
funk-
ji
Z
t
w.
Lagrange'a
wynik
a
nastpuj¡ y
zwi¡zek
p
omidzy
znakiem
p
o
ho
dnej
a
t
ym,
zy
funk
ja
ro±nie,
zy
maleje.
T
w.
*
Je±li
∀
x
∈[a,b]
za
ho
dzi
nieró
wno±¢
f
′
(x) > 0
,
to
funk
ja
f
jest
w
t
ym
przedziale
± i±le
rosn¡ a.
Je±li
mam
y
f
′
(x) < 0
,
to
funk
ja
f
jest
± i±le
malej¡ a.
Do
w.
Z
wzoru
(27)
mam
y
,
dla
h >
0
:
f
(x + h) > f (x)
je±li
w
przedziale
[x, x + h]
p
o
ho
dna
jest
stale
do
datnia,
b¡d¹
f
(x + h) < f (x)
,
je±li
p
o
ho
dna
jest
stale
ujemna.
Czyli
funk
ja
jest
± i±le
rosn¡ a
w
pierwszym
przypadku,
a
± i±le
malej¡ a
w
drugim.
CBDO
Uwaga.
Je±li
zaªo»y¢,
»e
za
ho
dzi
nieró
wno±¢
nieostra
f
′
(x) 0
(
f
′
(x) ¬ 0
),
to
w
tezie
mam
y
,
»e
funk
ja
jest
rosn¡ a
(malej¡ a).
Za
ho
dzi
ró
wnie»
t
wierdzenie
o
dwrotne
do
p
o
wy»szego:
T
w.
Je±li
funk
ja
f
jest
ró»ni zk
o
w
alna
w
punk
ie
c
i
ro±nie
(maleje)
w
jakim±
prze-
dziale
]a, b[
za
wiera
j¡ ym
ten
punkt,
to
f
′
(c) 0
(o
dp
o
wiednio
f
′
(c) ¬ 0
).
Do
w.
Je±li
f
ro±nie,
to
dla
h >
0
mam
y
f
(c + h) − f(c) 0 =⇒
f
(c + h) − f(c)
h
0
i
prze
ho
dz¡
do
grani y
lim
h
→0
otrzym
ujem
y
f
′
(c) 0
.
Je±li
funk
ja
f
maleje,
to
rozumo
w
anie
jest
analogi zne.
CBDO
Z
t
w.
*
wynik
a
T
w.
Je±li
f
′
(c) > 0
i
p
o
ho
dna
f
′
(x)
jest
i¡
gªa
w
punk
ie
c
,
to
funk
ja
f
jest
± i±le
rosn¡ a
w
p
ewn
ym
oto
zeniu
punktu
c
.
Analogi znie:
Je±li
f
′
(c) < 0
i
p
o
ho
dna
f
′
(x)
jest
i¡
gªa
w
punk
ie
c
,
to
funk
ja
f
jest
± i±le
malej¡ a
w
p
ewn
ym
oto
zeniu
punktu
c
.
Do
w.
P
oniew
a»
funk
ja
f
′
(x)
jest
i¡
gªa
w
c
,
to
nieró
wno±¢
f
′
(c) > 0
mó
wi,
»e
w
p
ewn
ym
oto
zeniu
punktu
c
funk
ja
f
′
(x)
jest
do
datnia:
∃
δ>
0
: ∀
h<δ
: f
′
(c + h) > 0
.
Zna zy
to,
»e
p
o
ho
dna
f
′
jest
do
datnia
∀
x
: c − h < x < c + h
.
Na
mo
y
T
w.
*,
funk
ja
f
jest
rosn¡ a
w
t
ym
przedziale.
CBDO
Uwaga.
P
o
wy»sze
t
wierdzenie
mo»na
przeform
uªo
w
a¢
w
nastpuj¡ y
sp
osób:
i)
Je±li
f
′
(c) 6= 0
,
to
(przy
zaªo»eniu
i¡
gªo± i
p
o
ho
dnej)
funk
ja
f
jest
ró»no
w
arto-
± io
w
a
w
p
ewn
ym
oto
zeniu
punktu
c
,
tzn.
dla
]c − δ, c + δ[
(
δ >
0
).
Sk
oro
tak,
to
funk
ja
f
p
osiada
w
t
ym
przedziale
funk
j
o
dwrotn¡
x
= g(y)
,
zyli
ró
wnanie:
y
= f (x)
p
osiada
w
t
ym
przedziale
dokªadnie
jedno
rozwi¡zanie..
ii)
Jak
wiem
y
,
p
o
ho
dna
tej»e
funk
ji
o
dwrotnej
g
′
(y)
jest
o
dwrotno± i¡
p
o
ho
dnej
funk
ji
f
′
(x)
.
iii)
P
o
wy»sze
fakt
y:
Przy
zaªo»eniu
f
′
(c) 6= 0
istnieje
w
oto
zeniu
punktu
f
(c)
funk
ja
o
dwrotna,
lub
»e
ró
wnanie:
y
= f (x)
ma
dokªadnie
jedno
rozwi¡zanie
o
oto
zeniu
punktu
c
przenosz¡
si
na
wy»sze
wymiary
,
tzn.
za
ho
dz¡
dla
o
dwzoro
w
a«
R
n
→ R
n
.
O zywi± ie
k
onie zne
jest
stoso
wne
uogólnienie
p
o
j¢.
Bdzie
o
t
ym
mo
w
a
w
semestrze
I
I.
12
1.9
W
yra»enia
nieozna zone
i
reguªa
de
l'Hospitala
Czsto
zdarza
si
k
onie zno±¢
obli zania
grani
p
osta i
nastpuj¡ ej:
lim
x
→a
f
(x)
g
(x)
,
gdzie f (a) = 0 = g(a).
(32)
W
yra»enia
tego
ro
dza
ju
nosz¡
nazw
wyr
a»e«
nie
ozna zony h
typu
0
0
.
T
w.
Je±li
funk
je
f
i
g
s¡
i¡
gªe
w
przedziale
domknit
ym
[a, b]
i
s¡
ró»ni zk
o
w
alne
w
ewn¡trz
tego
przedziaªu
i
je±li
f
(a) = 0 = g(a)
,
to
lim
x
→a
+
f
(x)
g
(x)
= lim
x
→a
+
f
′
(x)
g
′
(x)
(33)
przy
zaªo»eniu,
»e
ta
ostatnia
grani a
istnieje.
Do
w.
Klu zem
do
do
w
o
du
jest
t
wierdzenie
Cau
h
y'ego
o
w
arto± i
±redniej
(2
stron
y
w
ze±niej).
Ozna zm
y:
x
= a + h
.
Nale»y
do
wie±¢,
»e
lim
h
→0
+
f
(x + h)
g
(x + h)
= lim
h
→0
+
f
′
(x + h)
g
′
(x + h)
.
(34)
Ale:
Ró
wno± i:
f
(a) = 0 = g(a)
i
wzór
Cau
h
y'ego
(28)
da
j¡:
f
(a + h)
g
(a + h)
=
f
(a + h) − f(a)
g
(a + h) − g(a)
=
f
′
(a + θh)
g
′
(a + θh)
dla
p
ewnego
θ
∈]0, 1[
.
Ozna zm
y
F
(x) =
f
′
(x)
g
′
(x)
.
Z
zaªo»enia
lim
h
→0
+
F
(a + h)
istnieje.
P
oniew
a»
za±
lim
h
→0
+
= 0
,
to
te»
lim
θh
→0
+
= 0
i,
o
za
t
ym
idzie,
lim
h
→0
+
F
(a + θh)
te»
istnieje
i
jest
ró
wne
lim
h
→0
+
F
(a + h)
;
mam
y
wi
lim
h
→0
+
f
′
(x + θh)
g
′
(x + θh)
= lim
h
→0
+
f
′
(x + h)
g
′
(x + h)
sk
¡d
otrzym
ujem
y
wzór
(33).
CBDO
Analogi zne
t
wierdzenie
mam
y
w
przypadku
grani y
lew
ostronnej.
W
przypadku,
gdy
p
o
ho
dne
f
′
i
g
′
s¡
i¡
gªe
w
punk
ie
a
,
a
p
onadto
g
′
(a) 6= 0
,
ze
wzoru
(33)
(plus
jego
o
dp
o
wiednik
a
dla
grani y
lew
ostronnej)
nat
y
hmiast
wynik
a
wzór
de
l'Hospitala:
lim
x
→a
f
(x)
g
(x)
=
f
′
(a)
g
′
(a)
(35)
Uwaga:
P
o
pra
w
ej
stronie
p
o
wy»szego
wzoru
nie
ma
grani y!
Analogi zne
wzory
mam
y
w
przypadku
grani
jednostronn
y
h
i
p
o
ho
dn
y
h
jedno-
stronn
y
h.
Przykª.
lim
x
→0
ln(1 + x)
x
;
lim
x
→0
e
x
− 1
x
Uwaga.
Je±li
zdarzy
si,
»e
p
o
pra
w
ej
stronie
wyra»enia
(35)
mam
y
f
′
(a) = g
′
(a) = 0
,
to
tego»
wzoru
nie
daje
si
stoso
w
a¢.
Ale
mo»na
p
ostp
o
w
a¢
rekuren yjnie!
tzn.
bada¢
wy»sze
p
o
ho
dne.
13
Uwaga.
P
o
wy»sze
t
wierdzenia
dot
y zyªy
wyra»e«
t
ypu
0
0
.
Przez
sztu zki
z
zamian¡
zmienn
y
h
i
inne,
mo»na
te»
li zy¢
inne
wyra»enia
nieozna zone:
∞
∞
;
∞ − ∞
;
1
∞
;
0
0
;
∞
0
.
NA
WICZENIA:
P
o
wy»sze
t
yp
y
grani
z
wypro
w
adzeniami
i
przykªada-
mi;
oraz
asymptot
y
funk
ji.
14
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
2 Pochodna calkaid 21156 ppt
Rozpuszczalniki organiczne pochodne alifatyczne (oprócz metanolu
potencjal spoczynkowy i jego pochodzenie
Klastry turystyczne, pochodzenie nazwy, co to
Naturalne źródła węglowodorów i ich pochodne
W 5 POCHODNE
Kr 029 Zieby Darwina umozliwiaja stestowanie rywalizujacych koncepcji pochodzenia
Pochodne zadania cz 2 id 364419
07 Pochodne WzoryPodstawowe
pochodne i całki
jednofunkcyjne pochodne weglowodorow odpowiedzi
Pochodne II IMiR
pochodne wyzszych rzedow id 364 Nieznany
2009 03 26 prezentacja pochodne Nieznany
4 pochodna funkcji jednej zmiennej
Pochodna
Kwasy i ich pochodne polecenai, Szkoła, Biologia
więcej podobnych podstron